Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

2019-03-06T14:21:25Z

אור שחף:

במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
*<math>c</math> הוא קבוע.
*<math>f,g</math> פונקציות.
*הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math> .
*אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math>").
*<math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש- <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> .
:*<math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math> .
:*<math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש- <math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו- <math>\forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math> .

=אינטגרלים=
*אם <math>F,G</math> קדומות ל- <math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש- <math>F(x)=G(x)+c</math> .
*אם <math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> .
*אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ- <math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו- <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math> .
*לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> .
*לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f</math> .
*תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math> .
*נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> .
*נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש- <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math> .
*אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית.
:*{{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
::*{{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
* אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
* נניח כי <math>a<c<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> , ב- <math>[a,c]</math> וב- <math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> , ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> .
:*{{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו- <math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f</math> .
*אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> .
*הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
*'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
*'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> .
:*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> .
*'''הכללה לאי-שוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו- <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math> .
*אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> .
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> .
::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> .
*'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש- <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>).
*'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math> .
*לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה.
*'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> .
:*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
*'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .
:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f</math>
*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> .
*אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> .
*אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> .
*שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> .
*'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> .
*'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> .
*'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big|</math> .
*'''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math> .
*תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math> .
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> ויהי <math>a<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math> .
*<math>f</math> מונוטונית עולה ב- <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x)</math> .
*<math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math> .
*'''מבחן ההשוואה:''' נניח <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
*'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R</math> . אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
*'''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum\limits_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
:*בפרט מתקיים <math>\sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n)</math> .
*תהא <math>f</math> מוגדרת ב- <math>[a,\infty)</math> . <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אזי <math>\Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon</math> .
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> .
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו.
*'''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> . כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ו- <math>\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס.
*'''סכימה בחלקים:''' <math>\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k</math> .
*'''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum\limits_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח <math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math> . אזי <math>\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
*אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
*עבור <math>c\in(a,b)</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> , <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math> .
*תהי <math>f</math> מונוטונית ב- <math>(a,b]</math> . אזי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב- <math>(a,b]</math> .
*אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math> .
*'''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- <math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
*'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math> .
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> . אם <math>\int\limits_a^b|f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.

=סדרות וטורים של פונקציות=
==התכנסות במ"ש==
===סדרות===
* <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0</math>.
* נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
* <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>.
* סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math>.
* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש.

===טורים===
* טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>.
* '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בהחלט במ"ש על <math>I</math>.
* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.

====טורי חזקות====
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונקציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.
:* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>.
* '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.
* '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו.

=השתנות חסומה=
* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי <math>f</math> חסומה.
* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש <math>g,h</math> מונוטוניות עולות בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

משתמש:אור שחף

2017-06-10T21:18:23Z

אור שחף: ביטול גרסה 65306 של משהשגר (שיחה)

{| class="userCourses" cellpadding="3"
|-
! סמסטר
! שם הקורס
! מספר ההרצאה
! מרצה
! מספר התרגול
! מתרגל/ת
|-
| rowspan="2" | קיץ תש״ע
! [[בדידה לתיכוניסטים תש"ע|מתמטיקה בדידה]]
| 88-195-11
| ד״ר שי סרוסי
| 88-112-12
| גב׳ שני תורג׳מן
|-
! [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע|אלגברה לינארית 1]]
| 88-112-08
| ד״ר אלי בגנו
| 88-112-09
| גב׳ רונית כץ
|-
| rowspan="2" | א תשע״א
! [[88-113 סמסטר א' תשעא|אלגברה לינארית 2]]
| 88-113-08
| ד״ר [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]]
| 88-113-09
| מר [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]]
|-
! [[88-132 סמסטר א' תשעא|חשבון אינפיניטסימלי 1]]
| 88-132-07
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-132-08
| ד״ר אפי כהן
|-
| rowspan="2" | ב תשע״א
! [[88-133 תשעא סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]
| 88-133-07
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-113-08
| מר שי גול
|-
! [[שימושי מחשב תשע"א|שימושי מחשב במתמטיקה]], [http://u.math.biu.ac.il/~schiff/Teaching/151/]
| 88-151-06
| פרופ׳ ג׳רמי שיף
| 88-151-08
| מר גרגורי אושרוביץ
|-
| rowspan="2" | קיץ תשע״א 
! [[88-165 תשעא סמסטר קיץ|הסתברות וסטטיסטיקה כללית]]
| 88-165-05
| גב׳ רומי מגורי־כהן
| 88-165-06
| מר [[משתמש:Liord|ליאור דקל]]
|-
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא |אלגברה מופשטת 1]]
| 88-211-05
| פרופ׳ מיכאל מגרל
| 88-211-06
| מר [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]]
|-
| ספטמבר תשע״א
! [http://u.cs.biu.ac.il/~88-376/ שיטות נומריות]
| 88-376-05
| גב׳ אלכסנדרה אגרונוביץ׳
| 88-376-07
| גב׳ הילה בכר
|-
| rowspan="3" | א תשע״ב
! [http://u.cs.biu.ac.il/~89-110/ מבוא לחישוב]
| 88-170-01
| גב׳ נטלי פרידמן גב׳ מור ורד
| 88-170-03
| מר ערן שחם
|-
! [http://u.cs.biu.ac.il/~katzmik/88-526.html גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]
| 88-201-05
| פרופ׳ מיכאל כץ
| 88-201-07
| גב׳ אנה זרך
|-
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעב|חשבון אינפיניטסימלי 3]]
| 88-230-05
| פרופ׳ אנדרי לרנר
| 88-230-08
| גב׳ אורפז תורג׳מן
|-
| rowspan="3" | ב תשע״ב
! [[88-222 טופולוגיה/סמסטר ב תשעב/מגרל|טופולוגיה]]
| 88-222-05
| פרופ׳ מיכאל מגרל
| 88-222-07
| מר סולומון וישקאוצן
|-
! [[88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב|פונקציות מרוכבות 1]]
| 88-231-05
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-231-08
| מר שי גול
|-
! [[88-236 אינפי 4 תשעב סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 4]]
| 88-236-05
| פרופ׳ מרק אגרנובסקי
| 88-236-07
| גב׳ אנה זרך
|-
| rowspan="2" | קיץ תשע״ב
! [[מדר קיץ תשעב|מד״ר]]
| 88-240-04
| פרופ׳ ראובן כהן
| 88-240-05
| מר [[משתמש:Michael|מיכאל טויטו]]
|-
! [http://u.math.biu.ac.il/~michelm2/FAindex.html אנליזת פורייה ויישומים]
| 88-235-02
| ד״ר מיכאל מיכאלי
| colspan="2" | ''אין''
|-
| rowspan="6" | א תשע״ג
! [[88-341 תשעג סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]
| 88-341-01
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-341-03
| מר [[משתמש:Michael|מיכאל טויטו]]
|-
! [http://u.math.biu.ac.il/~lendesg/Teaching/88-241/ מד״ח]
| 88-241-01
| ד״ר שלמה ינץ
| 88-241-02
| מר גיא לנדסמן
|-
! [[88-315 סמסטר א תשעג|התמרות אינטגרליות]]
| 88-315-01
| ד״ר ליאוניד שוסטר
| colspan="2" | ''אין''
|-
! תורת הגרפים
| 88-555-01
| פרופ׳ יובל רויכמן
| colspan="2" | ''אין''
|-
! מבוא לקומבינטוריקה
| 88-554-01
| פרופ׳ יובל רויכמן
| colspan="2" | ''אין''
|-
! תורת המספרים
| 88-576-01
| פרופ׳ אנדריי רזניקוב
| colspan="2" | ''אין''
|-
| rowspan="6" | ב תשע״ג
|-
! [[88-320 פיזיקה למתמטיקאים תשעג סמסטר ב|פיזיקה למתמטיקאים]]
| 88-320-01
| פרופ׳ ראובן כהן
| 88-320-02
| מר ניר שרייבר
|-
! שימושי המתמטיקה ביום־יום
| 88-609-01
| ד״ר חיים שפירא
| colspan="2" | ''אין''
|-
! [[88-369 תשעג סמסטר ב|חקר ביצועים]]
| 88-369-01
| גב׳ אלכסנדרה אגרנוביץ׳
| 88-369-02
| מר עידן אלתר
|-
! [https://sites.google.com/site/biuoop13/home מבוא לתכנות מונחה עצמים]
| 88-174-01
| גב׳ תמר שרוט
| 88-174-02
| מר נתנאל גילרנטר
|-
! מבוא לתורת הקידוד
| 88-578-01
| פרופ׳ בוריס קוניאבסקי
| colspan="2" | ''אין''
|}
בוגר תואר ראשון במתמטיקה.

== סיכומי ותקצירי הרצאות ==
הרגישו חופשיים להסתכל על הסיכומים, לערוך אותם, לתקן שגיאות (מכל סוג) וכו׳. שימו לב שהם לא עודכנו מאז 2013.
* [[אינפי 2 סיכומי הרצאות ותרגילים על ידי אור שחף|חשבון אינפיניטסימלי 2, סמסטר ב תשע״א]]
* [[מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר|תקציר מד״ר, סמסטר קיץ תשע״ב]]
* [[אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר|תקציר אנליזת פורייה ויישומים, סמסטר קיץ תשע״ב]]
* ([[מדיה:תקציר אנליזה מודרנית 1.pdf|תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג]] – נכתב ע״י גיל סלס.)
* [[תקציר תורת הגרפים, סמסטר א תשע״ג]]
* [[תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג]]
* [[תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג]]
* ([[מדיה:IT-formula.pdf|נוסחאון בהתמרות אינטגרליות]] – נכתב ע״י רון גרשינסקי.)
* [[תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג]] – מבוסס על [http://u.math.biu.ac.il/~reuven/physics.pdf סיכום של הקורס מסמסטר א תשע״ג].
{{הערה|השימוש בסיכומים ובתקצירים באחריות המשתמש.}}

תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג

2013-10-09T13:06:07Z

אור שחף: /* נוסחאות נסיגה */

בתקציר זה, אלא אם צוין אחרת, כל המשתנים והנעלמים שלמים ואי־שליליים למעט <math>x,\alpha</math>. <math>p</math> ראשוני ו־<math>q</math> אינו שלם או אי־שלילי רק במקרים בהם הוא מוצג כמשתנה בפולינום. <math>\mathbb F</math> שדה.

* נסמן <math>[n]:=\{1,2,\dots,n\}=[1,n]\cap\mathbb N</math>. <math>S_n</math> היא קבוצת כל התמורות על <math>[n]</math>.
* '''חלוקת קבוצות''' של <math>A</math> ל־<math>n</math> היא בחירה של תתי־קבוצות <math>A_1,\dots,A_n\subseteq A</math> זרות עבורן <math>\biguplus_{k=1}^n A_k=A</math>.
* '''סדרת פיבונצ׳י''' תסומן <math>(F_n)_{n=0}^\infty</math> והיא מקיימת <math>F_n=\frac{5-\sqrt5}{10}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n+\frac2{5-\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n</math>.
* '''ריצוף דומינו''' של <math>A\subseteq\mathbb Z^2</math> הוא כיסוי של <math>A</math> על ידי קטעים זרים מאורך 1 שקצותיהם נקודות ב־<math>A</math>.
:* ללוח בגודל <math>m\times n</math> קיים ריצוף דומינו אם״ם <math>mn</math> זוגי.
:* ללוח בגודל <math>2\times n</math> קיימים <math>F_n</math> ריצופי דומינו.
* '''עקרון שובך יונים:''' בחלוקה של קבוצה סופית <math>A</math> ל־<math>n</math> יש לפחות תת־קבוצה אחת שמספר איבריה הוא לכל הפחות <math>|A|/n</math>.
* {{הערה|סימונים:}} <math>(\alpha)_k:=\prod_{i=0}^{k-1}(\alpha-i)</math> ו־<math>(n)_k=\begin{cases}\frac{n!}{(n-k)!},&k\le n\\0,&\text{else}\end{cases}</math>. בנוסף, <math>\binom nk:=\begin{cases}\frac{n!}{k!(n-k)!},&0\le k\le n\\0,&\text{else}\end{cases}</math> ו־<math>\binom\alpha k:=\frac{(\alpha)_k}{k!}</math>.
* '''חליפה:''' נניח <math>0\le k\le n</math>. חליפה של <math>k</math> איברים מתוך <math>n</math> היא <math>k</math>־יה סדורה של איברים שונים מקבוצה בת <math>n</math> איברים (כלומר, חליפה היא בחירה ללא חזרות ועם חשיבות לסדר). מספר החליפות הוא <math>P(n,k):=(n)_k</math>.
:* '''תמורה''' היא חליפה של <math>n</math> מתוך <math>n</math>, ומספר התמורות הוא <math>P(n):=(n)_n=n!</math>.
:* '''חליפה עם חזרות''' היא <math>k</math>־יה סדורה של <math>k</math> איברים (לא דווקא שונים) מתוך <math>n</math>. יש <math>n^k</math> חליפות עם חזרות.
* '''צירוף:''' נניח <math>0\le k\le n</math>. צירוף של <math>k</math> איברים מתוך <math>n</math> הוא תת־קבוצה של קבוצה בת <math>n</math> איברים (כלומר, צירוף הוא בחירה ללא חזרות ובלי חשיבות לסדר). מספר הצירופים הוא <math>C(n,k):=\binom nk</math>.
:* '''צירוף עם חזרות:''' הוא רב־קבוצה מסדר <math>k</math> של איברים מתוך קבוצה בת <math>n</math> איברים. יש <math>D(n,k):=\left(\!\!\!\binom nk\!\!\!\right):=\binom{n-1+k}k</math> צירופים עם חזרות.
::* מספר הצירופים עם חזרות של <math>k</math> מתוך <math>n</math> שווה למספר הדרכים לבחור <math>k</math> עצמים מתוך <math>n</math> סוגים, ששווה למספר הפתרונות השלמים ואי־שליליים ל־<math>\sum_{i=1}^n x_i=k</math>.
* '''הווקטור האופייני''' של קבוצה <math>A\subseteq [n]</math> מוגדר ע״י <math>\mathbf v_A:=(I_A(i))_{i=1}^n=\left(\begin{cases}1,&i\in A\\0,&i\not\in A\end{cases}\right)_{i=1}^n</math>.
* '''סדרה אונימוצלית''' היא סדרה <math>(a_i)_{i=1}^n</math> כך שקיים <math>k</math> עבורו <math>(a_i)_{i=1}^k</math> עולה במובן הרחב ו־<math>(a_i)_{i=k}^n</math> יורדת במובן הרחב.
:* <math>\Big(\tbinom ni\Big)_{i=0}^n</math> היא סדרה אונימוצלית כאשר אם <math>n</math> זוגי אז <math>k=n/2</math> ואחרת <math>k=\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil</math> (כי <math>\binom n{\lfloor n/2\rfloor}=\binom n{\lceil n/2\rceil}</math>).
* '''הפרת סדר''' בתמורה <math>\pi</math> היא זוג <math>i<j</math> כך ש־<math>\pi(j)<\pi(i)</math>. מספר הפרות הסדר מסומן <math>\mbox{inv}(\pi)</math> וסימן התמורה מוגדר כ־<math>\sgn(\pi):=(-1)^{\mbox{inv}(\pi)}</math>. התמרה <math>\pi</math> תקרא זוגית אם <math>\sgn(\pi)=1</math> ואי־זוגית אחרת. יש <math>n!/2</math> התמרות מכל סוג שסדרן <math>n</math>.
* '''מורד:''' עבור <math>\pi\in S_n</math> נקרא ל־<math>i</math> מורָד (descent) אם <math>\pi(i)>\pi(i+1)</math>. קבוצת המורדות תסומן <math>\mbox{Des}(\pi)</math>.
:* <math>\left|\Big\{\pi\in S_n:\ \mbox{Des}(\pi)\subseteq\{k\}\Big\}\right|=\binom nk</math>.
* '''אי־סדר מלא''' הוא תמורה <math>\pi\in S_n</math> כך ש־<math>\forall i:\ \pi(i)\ne i</math>. קבוצת האי־סדרים המלאים ב־<math>S_n</math> מסומנת <math>D_n</math> ומקיימת <math>|D_n|=n!\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}</math>.
* אם <math>0<k<p</math> אז <math>p\mid\binom pk</math>.
* יהי פולינום <math>f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k</math>. נסמן <math>(f\mod m)(x):=\sum_{k=0}^n(a_k\mod m)x^k</math>.
* <math>(1+x)^p\mod p=1+x^p</math>.
* '''משפט פרמה הקטן:''' <math>n^p\equiv n\pmod p</math>.
* '''פיתוח של מספר לפי ראשוני:''' נניח <math>p^d\le n</math> ו־<math>n<p^{d+1}</math>. אזי קיימים <math>a_0,\dots,a_d</math> שלמים כך ש־<math>\forall i:\ 0\le a_i<p</math> ו־<math>n=\sum_{i=0}^d a_ip^i</math>. סכום זה נקרא "הפיתוח של <math>n</math> לפי <math>p</math>".
* אם <math>n=2^d-1</math> אז <math>\forall 0\le k\le n:\ 2\nmid\binom nk</math>. לפיכך, <math>n=\sum_{i=0}^{d-1}2^i</math>.
* '''משפט לוקאס:''' נניח ש־<math>n=\sum_{i=0}^d a_i p^i</math> ו־<math>k=\sum_{i=0}^d b_i p^i</math> פיתוחים לפי <math>p</math>. אזי <math>\binom nk\equiv\prod_{i=0}^d\binom{a_i}{b_i}\pmod p</math>.
* <math>p\mid\binom nk</math> אם״ם בפיתוחים <math>n=\sum_{i=0}^d a_i p^i\ \and\ k=\sum_{i=0}^d b_i p^i</math> יש <math>i_0</math> עבורו <math>a_{i_0}<b_{i_0}</math>.
* '''פירוק/קומפוזיציה''' של <math>n</math> הוא הצגה של <math>n</math> כסכום של טבעיים.
:* יש <math>2^{n-1}</math> פירוקים של <math>n</math> (כאשר יש חשיבות לסדר (<math>2+1</math> שונה מ־<math>1+2</math>) וחזרות מותרות (<math>1+1+1</math> ייספר כפירוק של 3)).
* '''מקדם מולטינומי:''' מספר המילים מאורך <math>n</math> שבהן המספר <math>i</math> מופיע <math>n_i</math> פעמים (<math>\sum_i n_i=n</math>) הוא <math>\binom n{n_1,n_2,\dots}=n!\left/\prod_i n_i!\right.</math>.
* {{הערה|סימונים:}} <math>[n]_q:=\sum_{i=0}^{n-1}q^i</math>. כמו כן, <math>[n]_q!:=\prod_{i=1}^n [i]_q,\ [0]_q!=1</math> ו־<math>\forall 0\le k\le n:\ \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q:=\frac{[n]_q!}{[k]_q![n-k]_q!}</math>. ניתן להראות ש־<math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math> שלם.
:* <math>[n]_1=n</math> ו־<math>\forall q\ne 1:\ [n]_q=\frac{q^n-1}{q-1}</math>.
:* אם <math>q</math> זוגי אז <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math> אי־זוגי.
:* מספר התתי־מרחבים ממימד <math>k</math> של מרחב וקטורי <math>\mathbb F^n</math> (כאשר ל־<math>\mathbb F</math> יש <math>q</math> איברים) הוא <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math>.
* אם <math>0\le k\le n</math> אז <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q\in\mathbb N_0[q]</math>, כלומר זה פולינום במשתנה <math>q</math> שמקדמיו שלמים ואי־שליליים. למעשה, הוא גם מתוקן, דרגתו <math>k(n-k)</math> והוא סימטרי (כלומר המקדם של <math>q^i</math> שווה למקדם של <math>q^{k(n-k)-i}</math> לכל <math>0\le i\le k(n-k)</math>).
* '''הילוך שריג''' הוא סדרת צעדים בין נקודות ב־<math>\mathbb Z^2</math> שכל אחד מהם הוא הוספת 1 לאחת מהקואורדינטות של הנקודה בה נמצאים.
:* יש <math>\binom{m+n}n</math> הילוכי שריג מ־<math>(0,0)</math> ל־<math>(m,n)</math>.
:* נסמן <math>C_t(m,n)</math> כמספר הילוכי השריג מ־<math>(0,0)</math> ל־<math>(m,n)</math> שהשטח המוגבל על־ידם, ציר ה־x והישר <math>x=m</math> הוא <math>t</math>. בנוסף, נגדיר <math>P_{m,n}(q)=\sum_{t=0}^{mn} C_t(m,n)q^t</math>. אזי <math>P_{m,n}(q)=\begin{bmatrix}m+n\\n\end{bmatrix}_q</math>.
* נסמן <math>I_n(q):=\sum_{\pi\in S_n}q^{\mbox{inv}(\pi)}</math>. אזי <math>I_n(q)=[n]_q!</math>.
* יהי <math>\mathbf v=(v_i)_{i=1}^n\in\mathbb Z_2^n</math> וקטור שרכיביו אפסים ואחדות. אם <math>i<j</math> ו־<math>v_i>v_j</math> נכנה זאת הפרת סדר. אם נסמן <math>I_{n,k}(q)=\sum_{\mathbf v\in\mathbb Z_2^n\ \and\ |\{i:\ v_i=1\}|=k}q^{\mbox{inv}(\mathbf v)}</math> אז <math>I_{n,k}(q)=\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math>.
* '''חלוקה''' של <math>n</math> היא וקטור <math>\boldsymbol\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)</math> שסכום רכיביו הוא <math>n</math> (כלומר <math>\sum_{i=1}^k\lambda_i=n</math>) והם מסודרים בסדר יורד במובן הרחב. מספר החלוקות מסומן <math>p(n)</math>.
:* מספר החלוקות של <math>n</math> עם לכל היותר <math>k</math> רכיבים הוא המקדם של <math>q^n</math> בפולינום <math>\begin{bmatrix}n+k\\k\end{bmatrix}_q</math>, כלומר <math>C_n(n,k)</math>.
* '''דיאגרמת יאנג''' של חלוקה <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_k)</math> היא דיאגרמת משבצות כך שבשורה ה־<math>i</math> יש <math>\lambda_i</math> משבצות המיושרות לשמאל.
* '''טבלת יאנג''' היא התאמה חח״ע ממשבצות של דיאגרמת יאנג נתונה (שנוצרת מחלוקה של <math>n</math>) על <math>[n]</math> כך שהמספרים עולים לאורך השורות העמודות.
:* <math>f(\boldsymbol\lambda)</math> היא מספר טבלאות יאנג שקיימות לדיאגרמת יאנג הנוצרת מהחלוקה <math>\boldsymbol\lambda</math>.
::* <math>f(n-k,\underbrace{1,1,\dots,1}_k)=\binom{n-1}k\ \and\ f(n,n)=C_n\ \and\ f(n-k,k)=\frac{n-2k+1}n\binom nk</math>.
::* '''נוסחת הווים:''' תהי <math>\boldsymbol\lambda</math> ונרצה לחשב את <math>f(\boldsymbol\lambda)</math>. לכל משבצת בדיאגרמת יאנג נתאים "אורך וו" (hook length) כמספר המשבצות באותה שורה או עמודה שאחרי המשבצת הנתונה ועוד 1. נסמן <math>\Pi</math> כמכפלת אורכי הווים של כל המשבצות. אזי <math>f(\boldsymbol\lambda)=\frac{n!}\Pi</math>.
* '''הילוכי דיק''' הם הילוכי שריג מ־<math>(0,0)</math> ל־<math>(n,n)</math> שנמצאים על ומעל הישר <math>x=y</math>.
* '''מספר קטלן''' הוא מספר הילוכי דיק ל־<math>(n,n)</math>, מסומן <math>C_n</math> ושווה ל־<math>\frac1{n+1}\binom{2n}n</math>.
:* נניח ש־<math>0<a<b</math>. יש <math>\frac{b-a}{b+a}\binom{a+b}a</math> הילוכי דיק ל־<math>(a,b)</math> שאינם עוברים על הישר <math>x=y</math> למעט בנקודה <math>(0,0)</math>.
:* '''מילת דיק''' מאורך <math>2n</math> היא סדרה <math>(a_i)_{i=1}^{2n}</math> כך ש־<math>\forall i:\ a_i\in\{\pm1\}</math>, <math>\forall k:\ \sum_{i=1}^k a_i\ge0</math> ו־<math>\sum_{i=1}^{2n}a_i=0</math>. יש <math>C_n</math> מילות דיק מאורך <math>2n</math>.
:* '''עץ בינארי שלם/מלא''' הוא עץ כך שלכל אב יש בדיוק 2 בנים, כלומר לכל קודקוד שאינו עלה יש דרגה 3 למעט קודקוד אחד, שנקרא שורש. אם מבדילים בין הבן הימני לבן השמאלי אז יש <math>C_n</math> עצים בינארים מלאים עם <math>n+1</math> עלים.
:* בהינתן מכפלה לא אסוציאטיבית <math>x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_{n+1}</math> יש <math>C_n</math> דרכים להוסיף סוגריים.
:* '''שילוש של מצולע משוכלל''' בעל <math>n</math> קודקודים הוא מבנה גיאומטרי הנוצר מהמצולע כשמעבירים בו <math>n-3</math> אלכסונים שאינם חותכים זה את זה פרט לבקודקודי המצולע. יש <math>C_n</math> דרכים לשלש מצולע משוכלל בעל <math>n+2</math> צלעות.
* '''מספר בל''' הוא מספר חלוקות הקבוצה <math>[n]</math> ומסומן <math>B_n</math>.
* '''מספר סטירלינג הלא מסומן מסוג I''' הוא מספר התמורות על <math>[n]</math> עם <math>k</math> מחזורים ומסומן <math>C(n,k)</math>.
:* <math>n!=\sum_{k=1}^n C(n,k)</math>.
:* <math>C(n,n)=1\ \and\ C(n,1)=(n-1)!</math>.
* '''מספר סטירלינג מסוג I''' הוא <math>s(n,k):=(-1)^{n-k}C(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>s_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>s(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n s(n,k)x^k=(x)_n</math>.
* '''מספר סטירלינג מסוג II''' הוא מספר חלוקות הקבוצה <math>[n]</math> ל־<math>k</math> תתי־קבוצות לא ריקות ומסומן <math>S(n,k)</math>.
:* <math>B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>S_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>S(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n S(n,k)(x)_k=x^n</math>.
* <math>S_N=s_N^{-1}</math>.

=== פונקציות יוצרות ===
* טור חזקות פורמלי במשתנה <math>x</math> מכל <math>\mathbb F</math> (בד״כ <math>\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C</math>) הוא ביטוי מהצורה <math>\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> כאשר <math>\forall i:\ a_i\in\mathbb F</math>. הטור לא חייב להתכנס. אוסף טורי החזקות הפורמליים ב־<math>x</math> מעל <math>\mathbb F</math> מסומן <math>\mathbb F[[x]]</math>.
:* אם <math>\exists n_0:\ \forall i>n_0:\ a_i=0</math> אז הטור הוא פולינום. אוסף הפולינומים ב־<math>x</math> מעל <math>\mathbb F</math> מסומן <math>\mathbb F[x]</math>.
* '''נוסחת טיילור:''' אם <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> אז <math>a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i</math>.
* '''פונקציה יוצרת:''' לכל סדרה <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> נתאים פונקציה <math>\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math>.
* '''פונקציה יוצרת מעריכית:''' לכל סדרה <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> נתאים פונקציה <math>\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i!}x^i</math>. פונקציות אלה שימושיות לספירת עצמים עבורם הסדר משנה.
* נרצה לחשב את <math>c_n:=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}</math>. נגדיר <math>f_1(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> ו־<math>f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i</math> ולכן <math>f_1(x)f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i</math>.
* נרצה למצוא את מספר הפתרונות של <math>\sum_{i=1}^n t_i=k</math> כאשר <math>\forall i:\ t_i\in A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i} x^t</math> ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של <math>x^k</math> ב־<math>\prod_{i=1}^n f_i(x)</math>.
* נרצה למצוא כמה חליפות עם חזרות קיימות של <math>k</math> מתוך <math>n</math> כאשר כל <math>i</math> חייב להופיע מספר פעמים השייך לקבוצה <math>A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל <math>i</math> פונקציה <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i}\frac{x^t}{t!}</math> ולכן הכמות הדרושה היא המקדם של <math>\frac{x^k}{k!}</math> ב־<math>\prod_{i=1}^n f_i(x)</math>.
* אם <math>X:A\to\{0,1,\dots,n\}</math> משתנה מקרי כש־<math>|A|<\infty</math> ו־<math>f(x)=\sum_{k=0}^n |X^{-1}[\{k\}]|x^k</math> אז <math>f(1)=|A|</math>, התוחלת היא <math>\mbox{E}(X)=\frac{f'(1)}{f(1)}</math> והשונות היא <math>\mbox{V}(X)=\frac{f''(1)}{f(1)}+\mbox{E}(X)-\mbox{E}^2(X)</math>.

=== נוסחאות נסיגה ===
* '''נוסחת נסיגה''' מסדר <math>k</math> היא נוסחה מהצורה <math>\forall n\ge k:\ a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-k})</math>.
:* איברי סדרה המקיימת נוסחת נסיגה כזו נקבעים ע״י <math>k</math> האיברים הראשונים, והם נקראים תנאי ההתחלה.
:* '''נוסחת נסיגה לינארית''' מסדר <math>k</math> היא נוסחה מהצורה <math>\forall n\ge k:\ a_n=f(n)+\sum_{i=1}^k c_i(n)a_{n-i}</math>. אם <math>c_i</math> פונקציות קבועות אז נאמר שהנוסחה עם מקדמים קבועים. אם <math>f(n)\equiv0</math> אז נאמר שהיא הומוגנית.
::* קבוצת הסדרות הפותרות נוסחת נסיגה לינארית הומוגנית מסדר <math>k</math> היא מרחב וקטורי ממימד <math>k</math>.
* נרצה לחשב את אברי <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> בהינתן תנאי ההתחלה <math>(a_i)_{i=0}^{k-1}</math> ונוסחת נסיגה <math>\forall i\ge k:\ a_i=g(a_{i-1},\dots,a_{i-k})</math>. נעזר בפונקציה היוצרת <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math> ואם קיימת פונקציה <math>G</math> עבורה {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i+\sum_{i=k}^\infty g(a_{i-1},\dots,a_{i-k})x^i\\&=\sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i+G\!\left(x,\sum_{i=k}^\infty a_{i-1}x^{i-1},\dots,\sum_{i=k}^\infty a_{i-k}x^{i-k}\right)\\&=\sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i+G\!\left(x,f(x)-\sum_{i=0}^{k-2} a_ix^i,\dots,f(x)\right)\end{align}</math>}}אז נבודד את <math>f(x)</math> ונקבל נוסחה מפורשת למקדמים <math>a_i</math> של <math>x^i</math>.
* תהי נוסחת נסיגה לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים <math>a_n=\sum_{i=1}^k c_i a_{n-i}</math> מסדר <math>k</math>. נניח שיש <math>\alpha\in\mathbb C</math> עבורו <math>\forall n:\ a_n=\alpha^n</math> (לא תמיד זה נכון). אזי <math>\alpha=0</math> פתרון. <math>x^k-\sum_{i=1}^k c_i x^{k-i}</math> נקרא "הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה" ואם <math>\alpha\ne0</math> אז הוא שווה ל־0 בנקודה <math>\alpha</math>. יש לו <math>k</math> שורשים אם כל שורשיו מריבוי 1 ואם נניח שהם <math>\alpha_1,\dots,\alpha_k</math> אז <math>\forall n,i:\ a_n=\alpha_i^n</math>. המרחב הווקטורי של הפתרונות הוא אם כן <math>\left\{\left(\sum_{i=1}^k r_i\alpha_i^n\right)_{n=0}^\infty:\ \forall i:\ r_i\in\mathbb C\right\}</math>. אם נתונים תנאי ההתחלה ניתן גם לחשב את ה־<math>r_i</math>־ים.

=== נוסחאות ===
* '''נוסחת הנסיגה של פסקל:''' <math>\binom nk=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}</math>
* <math>\binom nk=\sum_{i=k}^n\binom{i-1}{k-1}</math>
* '''זהות הקפטן:''' <math>k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}</math>
* '''הבינום של ניוטון:''' <math>(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^n\binom\alpha k x^k</math>
* <math>\forall 0\le m\le k\le n:\ \binom nk\binom km=\binom nm\binom{n-m}{k-m}</math>
* <math>\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n</math>
* <math>\sum_{2\mid k}\binom nk=\sum_{2\nmid k}\binom nk=2^{n-1}</math>
* <math>\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k\binom nk=2^{n-1}n</math>
* <math>\forall 8\mid n:\ \sum_{4\mid k}\binom nk=2^{n-2}+2^{n/2-1}</math>
* <math>\sum_{\sum_{i=1}^k n_i=n}\binom n{n_1,\dots,n_k}=k^n</math>
* <math>\binom n{n_1,\dots,n_k}=\prod_{i=1}^k\binom {n-\sum_{j=1}^{i-1} n_j}{n_i}</math>
* '''נוסחת המולטינום:''' <math>\left(\sum_{i=1}^k x_i\right)^n=\sum_{\sum_{i=1}^k n_i=n}\binom n{n_1,\dots,n_k}\prod_{i=1}^k x_i^{n_i}</math>
* <math>\binom n{n_1,\dots,n_k}=\sum_{i=1}^k\binom{n-1}{n_1,\dots,n_{i-1},n_i-1,n_{i+1},\dots,n_k}</math>
* <math>\forall q>1:\ \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\prod_{i=1}^k\frac{q^{n-k+i}-1}{q^i-1}</math>
* <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\begin{bmatrix}n\\n-k\end{bmatrix}_q</math>
* <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_1=\binom nk</math>
* '''נוסחת q־פסקל:''' <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}_q+q^k\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}_q</math>
* '''q־בינום:''' <math>\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^ix)=\sum_{k=0}^n q^\binom k2\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q x^k</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי קטלן:''' <math>\forall n>1:\ C_n=\sum_{i=1}^{n-1}C_i C_{n-i}</math> ו־<math>C_0=C_1=1</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי בל:''' <math>\forall n>0:\ B_n=\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}B_{n-k}</math> ו־<math>B_0=1</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג לא מסומנים מסוג I:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ C(n,k)=C(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k)</math> ו־<math>C(0,0)=1\ \and\ \forall n<k:\ C(n,k)=0\ \and\ \forall n>0:\ C(n,0)=0</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג מסוג I:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג מסוג II:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k)</math> ו־<math>S(0,0)=1\ \and\ \forall n<k:\ s(n,k)=0\ \and\ \forall n>0:\ S(n,0)=0</math>
* <math>\binom{-1/2}n=\left(\frac{-1}4\right)^n\binom{2n}n</math>
* <math>\forall n>0:\ \binom{1/2}n=\frac{C_{n-1}}2\left(\frac{-1}4\right)^{n-1}</math>
* <math>\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n=\prod_{n=1}^\infty\frac1{1-x^n}</math>

משתמש:אור שחף

2013-10-04T11:45:48Z

אור שחף:

{| class="userCourses" cellpadding="3"
|-
! סמסטר
! שם הקורס
! מספר ההרצאה
! מרצה
! מספר התרגול
! מתרגל/ת
|-
| rowspan="2" | קיץ תש״ע
! [[בדידה לתיכוניסטים תש"ע|מתמטיקה בדידה]]
| 88-195-11
| ד״ר שי סרוסי
| 88-112-12
| גב׳ שני תורג׳מן
|-
! [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע|אלגברה לינארית 1]]
| 88-112-08
| ד״ר אלי בגנו
| 88-112-09
| גב׳ רונית כץ
|-
| rowspan="2" | א תשע״א
! [[88-113 סמסטר א' תשעא|אלגברה לינארית 2]]
| 88-113-08
| ד״ר [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]]
| 88-113-09
| מר [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]]
|-
! [[88-132 סמסטר א' תשעא|חשבון אינפיניטסימלי 1]]
| 88-132-07
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-132-08
| ד״ר אפי כהן
|-
| rowspan="2" | ב תשע״א
! [[88-133 תשעא סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]
| 88-133-07
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-113-08
| מר שי גול
|-
! [[שימושי מחשב תשע"א|שימושי מחשב במתמטיקה]], [http://u.math.biu.ac.il/~schiff/Teaching/151/]
| 88-151-06
| פרופ׳ ג׳רמי שיף
| 88-151-08
| מר גרגורי אושרוביץ
|-
| rowspan="2" | קיץ תשע״א 
! [[88-165 תשעא סמסטר קיץ|הסתברות וסטטיסטיקה כללית]]
| 88-165-05
| גב׳ רומי מגורי־כהן
| 88-165-06
| מר [[משתמש:Liord|ליאור דקל]]
|-
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא |אלגברה מופשטת 1]]
| 88-211-05
| פרופ׳ מיכאל מגרל
| 88-211-06
| מר [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]]
|-
| ספטמבר תשע״א
! [http://u.cs.biu.ac.il/~88-376/ שיטות נומריות]
| 88-376-05
| גב׳ אלכסנדרה אגרונוביץ׳
| 88-376-07
| גב׳ הילה בכר
|-
| rowspan="3" | א תשע״ב
! [http://u.cs.biu.ac.il/~89-110/ מבוא לחישוב]
| 88-170-01
| גב׳ נטלי פרידמן גב׳ מור ורד
| 88-170-03
| מר ערן שחם
|-
! [http://u.cs.biu.ac.il/~katzmik/88-526.html גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]
| 88-201-05
| פרופ׳ מיכאל כץ
| 88-201-07
| גב׳ אנה זרך
|-
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעב|חשבון אינפיניטסימלי 3]]
| 88-230-05
| פרופ׳ אנדרי לרנר
| 88-230-08
| גב׳ אורפז תורג׳מן
|-
| rowspan="3" | ב תשע״ב
! [[88-222 טופולוגיה/סמסטר ב תשעב/מגרל|טופולוגיה]]
| 88-222-05
| פרופ׳ מיכאל מגרל
| 88-222-07
| מר סולומון וישקאוצן
|-
! [[88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב|פונקציות מרוכבות 1]]
| 88-231-05
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-231-08
| מר שי גול
|-
! [[88-236 אינפי 4 תשעב סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 4]]
| 88-236-05
| פרופ׳ מרק אגרנובסקי
| 88-236-07
| גב׳ אנה זרך
|-
| rowspan="2" | קיץ תשע״ב
! [[מדר קיץ תשעב|מד״ר]]
| 88-240-04
| פרופ׳ ראובן כהן
| 88-240-05
| מר [[משתמש:Michael|מיכאל טויטו]]
|-
! [http://u.math.biu.ac.il/~michelm2/FAindex.html אנליזת פורייה ויישומים]
| 88-235-02
| ד״ר מיכאל מיכאלי
| colspan="2" | ''אין''
|-
| rowspan="6" | א תשע״ג
! [[88-341 תשעג סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]
| 88-341-01
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-341-03
| מר [[משתמש:Michael|מיכאל טויטו]]
|-
! [http://u.math.biu.ac.il/~lendesg/Teaching/88-241/ מד״ח]
| 88-241-01
| ד״ר שלמה ינץ
| 88-241-02
| מר גיא לנדסמן
|-
! [[88-315 סמסטר א תשעג|התמרות אינטגרליות]]
| 88-315-01
| ד״ר ליאוניד שוסטר
| colspan="2" | ''אין''
|-
! תורת הגרפים
| 88-555-01
| פרופ׳ יובל רויכמן
| colspan="2" | ''אין''
|-
! מבוא לקומבינטוריקה
| 88-554-01
| פרופ׳ יובל רויכמן
| colspan="2" | ''אין''
|-
! תורת המספרים
| 88-576-01
| פרופ׳ אנדריי רזניקוב
| colspan="2" | ''אין''
|-
| rowspan="6" | ב תשע״ג
|-
! [[88-320 פיזיקה למתמטיקאים תשעג סמסטר ב|פיזיקה למתמטיקאים]]
| 88-320-01
| פרופ׳ ראובן כהן
| 88-320-02
| מר ניר שרייבר
|-
! שימושי המתמטיקה ביום־יום
| 88-609-01
| ד״ר חיים שפירא
| colspan="2" | ''אין''
|-
! [[88-369 תשעג סמסטר ב|חקר ביצועים]]
| 88-369-01
| גב׳ אלכסנדרה אגרנוביץ׳
| 88-369-02
| מר עידן אלתר
|-
! [https://sites.google.com/site/biuoop13/home מבוא לתכנות מונחה עצמים]
| 88-174-01
| גב׳ תמר שרוט
| 88-174-02
| מר נתנאל גילרנטר
|-
! מבוא לתורת הקידוד
| 88-578-01
| פרופ׳ בוריס קוניאבסקי
| colspan="2" | ''אין''
|}
בוגר תואר ראשון במתמטיקה.

== סיכומי ותקצירי הרצאות ==
הרגישו חופשיים להסתכל על הסיכומים, לערוך אותם, לתקן שגיאות (מכל סוג) וכו׳.
* [[אינפי 2 סיכומי הרצאות ותרגילים על ידי אור שחף|חשבון אינפיניטסימלי 2, סמסטר ב תשע״א]]
* [[מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר|תקציר מד״ר, סמסטר קיץ תשע״ב]]
* [[אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר|תקציר אנליזת פורייה ויישומים, סמסטר קיץ תשע״ב]]
* ([[מדיה:תקציר אנליזה מודרנית 1.pdf|תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג]] – נכתב ע״י גיל סלס.)
* [[תקציר תורת הגרפים, סמסטר א תשע״ג]]
* [[תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג]]
* [[תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג]]
* ([[מדיה:IT-formula.pdf|נוסחאון בהתמרות אינטגרליות]] – נכתב ע״י רון גרשינסקי.)
* [[תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג]] – מבוסס על [http://u.math.biu.ac.il/~reuven/physics.pdf סיכום של הקורס מסמסטר א תשע״ג].
{{הערה|הערה:השימוש בסיכומים ובתקצירים באחריות המשתמש. אם מצאתם טעות אנא דווחו עליה.}}

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-04T11:41:28Z

אור שחף:

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה לריבוע המקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math>.
* '''פקטור לורנץ:''' <math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> (השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>) ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math> ממהירות האור.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-03T10:59:25Z

אור שחף: /* תורת היחסות הפרטית */

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math>.
* '''פקטור לורנץ:''' <math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> (השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>) ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math> ממהירות האור.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-03T10:41:33Z

אור שחף: /* תורת היחסות הפרטית */

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>S'</math> נעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math> אז <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> ו־<math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לכן השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>. לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math>.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-03T10:10:33Z

אור שחף:

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
* אם המסה קבועה אז <math>\vec F=m\ddot\vec r=-\nabla U_\vec r</math> ולכן למציאת נקודות שיווי משקל מספיק למצוא מתי <math>\ddot\vec r=\vec 0</math>. במקרה החד־מימדי נפתח את <math>U_x</math> לטור טיילור סביב נקודת שיווי משקל <math>x_0</math> ונרצה למצוא את תדירות התנודות הקטנות סביבה. <math>U_x(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{U_x^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i</math> ובגלל שהתנודות קטנות נסכים שחזקות גדולות מ־1 של <math>x-x_0</math> זניחות, כלומר נקרב <math>U_x(x)\approx U_x(x_0)+U_x'(x_0)(x-x_0)</math>. לכן נסמן <math>c=U_x'(x_0)</math> ואז <math>m\ddot x\approx -c(x-x_0)</math>. נקודת שיווי המשקל היא איפוא לא יציבה אם <math>c<0</math> ואז תדירות התנודות הקטנות היא <math>\omega=\sqrt\frac{-c}m</math>. אם <math>c>0</math> אז היא יציבה ו־<math>\omega=\sqrt\frac cm</math>, ואם <math>c=0</math> אז זו נקודת שיווי משקל מסתגלת.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לכן השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>. לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math>.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-03T09:10:54Z

אור שחף:

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>. בפרט <math>\Lambda(u)^{-1}=\Lambda(-u)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.
* '''קו עולם''' של גוף הוא אוסף הנקודות <math>\vec R</math> של הגוף ומתאר את מיקומו בזמנים שונים.
* נניח ש־<math>S'</math> מערכת ייחוס שנעה במהירות קבועה ביחס ל־<math>S</math>. קו העולם שלה הוא אוסף הנקודות <math>\vec R\,'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}</math>. קו העולם של <math>S</math> הוא <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}</math>. כלומר, אם צופה ב־<math>S'</math> מודד זמן של <math>T'</math>, צופה ב־<math>S</math> יימדוד את הזמן כ־<math>T=\gamma T'</math> ואת מיקום <math>S'</math> כ־<math>\gamma\beta T'</math>. המהירות של <math>S'</math> יחסית ל־<math>S</math> היא אם כן <math>v=\frac xt=\frac{cx}T=c\beta</math> (ולכן גם <math>\beta=\frac vc</math>). לכן השעון של <math>S'</math> נע לאט יותר משל <math>S</math>. לפי <math>T=\gamma T'</math> נובע <math>x=\beta T</math>, כלומר <math>S'</math> נעה ביחס ל־<math>S</math> במהירות <math>\beta</math>.
* '''טרנספורמציית לורנץ:''' בהנתן מאורע <math>e'=\begin{pmatrix}x'\\T'\end{pmatrix}</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S'</math> נקבל <math>e=\Lambda e'</math> מנקודת המבט של צופה ב־<math>S</math>.
* '''התארכות הזמן:''' שני אירועים מתרחשים בנקודה <math>x'=0</math> עבור צופה נע <math>S'</math>: <math>e_1'=\begin{pmatrix}0\\T_1'\end{pmatrix}\ \and\ e_2'=\begin{pmatrix}0\\T_2'\end{pmatrix}</math> (ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>T_2'-T_1'</math>). עבור צופה במערכת <math>S</math> המאורעות יתוארו כ־<math>e_i=\begin{pmatrix}\gamma\beta T_i'\\\gamma T_i'\end{pmatrix}</math>, ולכן הפרש הזמנים שלהם הוא <math>\gamma(T_2'-T_1')</math>, כלומר הזמן עבור צופה נע מתקצר ביחס לזמן עבור צופה נייח (שהוא צופה שעבורו המאורעות מתרחשים באותו מקום).
* '''התכווצות האורך:''' מוט מונח במערכת <math>S'</math> בקטע <math>[0,l']</math> ואינו נע בה. קווי העולם של קצותיו הם אוספי הנקודות <math>e_0'=\begin{pmatrix}0\\T'\end{pmatrix}\ \and\ e_{l'}'=\begin{pmatrix}l'\\T'\end{pmatrix}</math>. נעביר אותם למערכת <math>S</math> ואז <math>e_0=\begin{pmatrix}\gamma\beta T'\\\gamma T'\end{pmatrix}\ \and\ e_l=\begin{pmatrix}\gamma l'+\gamma\beta T'\\\gamma T'+\gamma\beta l'\end{pmatrix}</math>. בזמן <math>T=0</math> נקבל בכל קצה <math>T=\gamma T'=0\implies x_0=\gamma\beta T'=0</math> ו־<math>T=\gamma T'+\gamma\beta l'=0\implies x_l=\gamma l'+\gamma\beta T'=\gamma l'-\gamma\beta^2 l'</math>. לכן אורך המוט כפי שימדד במערכת <math>S</math> הוא <math>l=x_l-x_0=\sqrt{1-\beta^2}l'</math>. מנקודת המבט של <math>S'</math>, הצופה ב־<math>S</math> מדד את קצות המוט בזמנים שונים.
* '''חיבור מהירויות:''' נדון בתנועה בציר אחד. נניח שצופה 1 נע במהירות <math>v_1</math> ביחס לצופה 2, שנע במהירות <math>v_2</math> ביחס לצופה 3, וצופה 1 נע במהירות <math>v_3</math> ביחס לצופה 3. נסמן <math>\beta_i=\frac{v_i}c</math>. אזי <math>\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}</math>. נשים לב שאם <math>\beta_1=1</math> אז <math>\beta_3=1</math>, כלומר אם אחת המערכות נעה במהירות האור אז היא תראה נעה במהירות האור לכל צופה.
* '''מרחב מינקובסקי:''' מרחב 4־מימדי (מיקום תלת־מימדי וזמן) שבו המטריקה היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>. חבורת לורנץ היא חבורת המטריצות ששומרות על <math>\eta</math>. היא מסומנת <math>\mbox{SO}(3,1)</math> ויש לה 6 יוצרים:
::סיבובים בשני מימדים. למשל, <math>\mathbf R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0&0\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> היא מטריצת סיבוב במישור <math>xy</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים במישורים <math>yz,xz</math>.
::מטריצות boost. למשל, <math>\Lambda_x=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma\beta&0&0&\gamma\end{pmatrix}</math> היא סיבוב מוכלל במישור <math>xT</math>, ויש עוד שתי מטריצות יוצרות כאלה – הסיבובים המוכללים במישורים <math>yT,zT</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-02T23:03:56Z

אור שחף: המשך יבוא

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>
* '''מהירות האור בריק:''' <math>c=299792458\mathrm\frac ms</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאיבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== תורת היחסות הפרטית ==
* במכניקה הניוטונית הזמן לא תלוי בצופה אבל הקואורדינטות <math>x,y,z</math> כן. תורת היחסות מבטלת הפרדה זו. אם <math>|\vec r(t_2)-\vec r(t_1)|=c|t_2-t_1|</math> כאשר <math>\vec r</math> וקטור הקואורדינטות של קרן אור עם זמן <math>t</math> אז עבור צופה מהצד עם זמן <math>t'</math> מתקיים <math>|\vec r(t_2')-\vec r(t_1')|=c|t_2'-t_1'|</math>. כלומר, מהירות האור – ולא הזמן – אינווריאנטית לכל צופה.

=== מערכות ייחוס בתורת היחסות ===
* המשוואה הקודמת נשמרת תחת סיבובים קבועים (<math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math>), הזזות קבועות במיקום (<math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>) והזזות קבועות בזמן (<math>t=t'+t_0</math>).
* נדון במרחב חד־ממדי, כלומר עם ציר ה־<math>x</math> וציר הזמן <math>t</math>. נגדיר קואורדינטה חדשה <math>T=ct</math> ונגדיר <math>\vec R=\begin{pmatrix}x\\T\end{pmatrix}</math>.
* '''הנורמה של המרחב''' היא <math>s^2=T^2-x^2</math>, אף שאינה נורמה במובן המתמטי.
* '''המטריקה של המרחב''' היא <math>\eta=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>, אף שאינה מטריקה במובן המתמטי. היא מקיימת <math>s^2=\vec R^\top\eta\vec R</math>.
* עבור <math>u</math> נתון, <math>\Lambda=\Lambda(u)</math> היא המטריצה <math>\begin{pmatrix}\cosh(u)&\sinh(u)\\\sinh(u)&\cosh(u)\end{pmatrix}</math>. קבוצת המטריצות הללו מסומנת <math>\mbox{SO}(1,1)</math>.
* <math>\Lambda(u_1)\cdot\Lambda(u_2)=\Lambda(u_1+u_2)</math>.
* <math>\Lambda^\top\eta\Lambda=\eta</math>.
* אם <math>\vec R=\Lambda\vec R\,'</math> אז <math>s^2=(s')^2</math>.
* נגדיר <math>\beta=\tanh(u)</math> ו־<math>\gamma=\frac1\sqrt{1-\beta^2}</math>.
* <math>\Lambda=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא שווה ל־<math>\sqrt\frac2a\sin(kx)</math> בקטע <math>(0,a)</math> כאשר <math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math> כלשהו. הפונקציה צריכה להיות רציפה ולכן מתאפסת בקצוות, ונובע ש־<math>k=\frac{\pi n}a</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו. לפיכך ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.
* '''בור פוטנציאל סופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(-a,a)</math> ושווה ל־<math>V</math> בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן בקטע <math>(-a,a)</math> נקבל <math>\psi=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)</math> ל־<math>k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}</math>. אם <math>E<V</math> אז בקטע <math>(-\infty,a)</math> נקבל <math>\psi=C_3\exp(\alpha x)+C_4\exp(-\alpha x)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}</math>. מהתנאי <math>\psi\in L^2</math> נובע <math>\lim_{x\to-\infty}\psi(x)=0</math> ולכן <math>C_4=0</math>, ובאותו אופן <math>\psi=C_5\exp(-\alpha x)</math> בקטע <math>(a,\infty)</math>. לבסוף, נדרוש ש־<math>\psi</math> גזירה ברציפות לפי <math>x</math>, ובפרט רציפה. מדרישות אלה נובע ש־<math>\psi\equiv0</math>, אלא אם המשוואות של הדרישות תלויות, כלומר: <math>\begin{vmatrix}-\exp(\alpha a)&\cos(-ka)&\sin(-ka)&0\\0&\cos(ka)&\sin(ka)&-\exp(-\alpha a)\\-\alpha\exp(-\alpha a)&-k\sin(-ka)&k\cos(-ka)&0\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\alpha\exp(-\alpha a)\end{vmatrix}=0</math>. רק ערכי <math>E</math> הפותרים משוואה זו הם ע״ע עם פונקציה עצמית מתאימה. בסוף נותר רק לנרמל את <math>\psi</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-02T19:26:54Z

אור שחף:

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות (התנועה של) המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda^*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים מתאימים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/וקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle\mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המילטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\langle\varphi_k|\psi(\cdot,0)\rangle\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לפיכך מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\forall t:\ \psi(\cdot,t)\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* ''תכונות של <math>L_+,L_-</math>:''
** <math>[L_\pm,L^2]=\mathbf O</math>.
** <math>L^2=L_z^2+L_\pm L_\mp\mp L_z</math>.
** <math>[L_z,L_\pm]=\pm L_\pm</math>.


== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math> היא התדירות הזוויתית, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה <math>\psi</math> עצמית מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.

מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

2013-10-02T11:45:48Z

אור שחף:

''הערה:'' אינטגרל לא מסוים המסומן ב־<math>\int</math> הוא הצורה הכללית לפונקציות הקדומות לאינטגרנד, כלומר מוסיפים קבוע (למשל: <math>\int x\mathrm dx=\frac{x^2}2+c</math>). לעומת זאת, <math>\sim\!\!\!\!\!\!\int</math> נותן פונקציה קדומה אחת בלבד, ללא <math>c</math> (למשל: <math>\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dx=\frac{x^2}2</math>). נעיר שאינטגרל כזה לא תמיד מוגדר היטב, אבל זה לא משנה לצרכנו כל עוד נבחר אותו קבוע לכל הופעה של האינטגרל.

== משפטים חשובים ==
* ''תזכורת:'' נאמר שפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k>0:\ \forall x_1,x_2:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|</math>. פונקציה גזירה היא ליפשיץ אם״ם הנגזרת שלה חסומה.
* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\mathbf f(x,\mathbf y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\mathbf y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\mathbf y(x_0)=\mathbf y_0</math>. אזי למערכת <math>\mathbf y'=\mathbf f(x,\mathbf y)</math> יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\mathbf y)\in B}|f_k(x,\mathbf y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>.
* כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

== שיטות לפתרון מד״ר ==
=== מד״ר מסדר 1 ===
* מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>\exists y_0:\ N_1(y_0)=0</math> אזי <math>y\equiv y_0</math> פתרון, ואם <math>\exists x_0:\ M_2(x_0)=0</math> אזי <math>x\equiv x_0</math> פתרון. אחרת <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0</math>.
* נתונה מד״ר <math>y'=f(ax+by)</math>. אז נציב <math>z=ax+by</math> ו־<math>y'=\frac{z'-a}b</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math> ונקבל <math>q_p'=g\!\left(\frac qp\right)</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>.
* '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>.
* '''מד״ר לינארית:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)</math>. אם היא לינארית־הומוגנית אזי <math>y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}</math>, ובכל מקרה <math>y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>.
* '''משוואת ברנולי:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. נציב <math>z=y^{1-n}</math>, כאשר אם <math>n>1</math> אז <math>y\equiv0</math> פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־<math>\pm\infty</math>), אם <math>0<n<1</math> אז פתרון סינגולרי, ואם <math>n<0</math> אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>.
* מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>.
** אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־<math>\mu</math> כך שתהפוך למדויקת. <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math> תלויה רק ב־<math>x</math>, ואז <math>\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}</math>. היא תלויה רק ב־<math>y</math> אם״ם <math>b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>.
* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)\equiv y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי.
* נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>.
* אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>p=y'</math> ואז <math>x=\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math>. לחלופין, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>.
* אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>p=y'</math> ואז <math>y=px-\int x\mathrm dp</math>. לחלופין, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>.
* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים), <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה.
* '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>.
* '''משוואת לגראנז׳:''' נתונה המד״ר <math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math> עבור <math>\varphi(y')\not\equiv y'</math>. נציב <math>p:=y'</math> ואז <math>p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}</math>. לפיכך הפתרון הכללי הוא <math>\begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\displaystyle\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases}</math> או <math>y=p_i x+\psi(p_i)</math> לכל <math>p_i</math> כך ש־<math>p_i=\varphi(p_i)</math>.

=== מד״ר מסדר 2 ===
* בהנתן מד״ר <math>y''=f(x,y')</math> או <math>y''=f(y,y')</math> נציב <math>p=y'</math> ונקבל <math>p'=f(x,p)</math> או <math>pp_y'=f(y,p)</math>, בהתאמה. מתקיים <math>x=\int\frac{\mathrm dy}p=\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math> ו־<math>y=\int p\mathrm dx</math>.

=== מד״ר לינארית ===
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)</math>.
* אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי.
* '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>.
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל.
* '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>.
* הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
* '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
* נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וגם <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_k r^k</math> (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}x^i</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\Big)</math>.
:* '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> בפולינום האופייני הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>\mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.
* '''משוואת אוילר(–לגראנג׳)''' היא מד״ר לינארית מהצורה <math>(x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x)</math> עם <math>\forall k:\ a_k=\text{const.}</math>. מציבים <math>x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x>x_0\\-\mathrm e^t,&x<x_0\end{cases}</math> במד״ר ההומוגנית ואז <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots</math>. נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב <math>y=(x-x_0)^r</math> במד״ר ההומוגנית ולקבל <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0</math> (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0)</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נחליף את <math>C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}}</math> ב־<math>(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big)</math>.
:* אם <math>f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> במשוואה האינדיציאלית הוא <math>d</math> (אם לא שורש <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>(x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>.
* '''התמרת לפלס ההפוכה:''' עבור <math>c</math> כך ש־<math>c>\mbox{Re}(s_i)</math> לכל קוטב <math>s_i</math> של <math>g</math>, מתקיים <math>\mathcal L^{-1}[g](t)=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathrm e^{c+\mathrm ist}g(s)\mathrm ds</math>.
* נניח שמקדמי המד״ר קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.

==== פתרון באמצעות טורי חזקות ====
* נתונה מד״ר מהצורה <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> כאשר <math>\forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b)</math> ותהי <math>x_0\in(a,b)</math>. אם <math>f</math> וכל המקדמים <math>a_k</math> אנליטיים סביב <math>x_0</math> עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב <math>x_0</math> של המד״ר עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר.
* '''טור פרוביניוס''' הוא טור מהצורה <math>(x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k</math>.
* '''שיטת פרוביניוס:''' בהנתן <math>a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0</math> נחלק ב־<math>a_2(x)</math>. תהי <math>x_0</math> נקודה סינגולרית של <math>\frac1{a_2(x)}</math>. אם קיימים הגבולות <math>L_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\frac{a_1(x)}{a_2(x)},L_2=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)}</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_2+o(1))y=0</math>. לפי משפט, אם <math>x_0</math> נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב <math>x_0</math> בצורת בצורת טור פרוביניוס. נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם <math>o(1)=0</math> ע״י הצבת <math>y=(x-x_0)^r</math>, ואם פתרונות הפולינום הם <math>r_1,r_2</math> אזי יש שני פתרונות פרטיים בת״ל מהצורה <math>y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\}</math> כאשר <math>r_1-r_2\not\in\mathbb Z</math> ו־<math>y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{i=0}^\infty b_{1,i}(x-x_0)^i</math>,<math>y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i</math> כאשר <math>r_1-r_2\in\mathbb Z</math> ומתקיים בה״כ <math>r_1\ge r_2</math>. נציב אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים. ''הערה:'' נאמר ש־<math>f\in o(g)</math> אם <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>. לעתים כותבים "<math>o(1)</math>" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.
:* '''פונציית גמא:''' <math>\forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt</math>. היא מקיימת <math>\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)</math> וגם <math>\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל <math>x\in\mathbb R\setminus(-\mathbb N\cup\{0\})</math> ע״י <math>\Gamma(x-1)=\frac{\Gamma(x)}{x-1}</math>. ערך חשוב: <math>\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi</math>.
:* '''פונקציית בסל (מסוג ראשון):''' <math>J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{k!\Gamma(m+k+1)}\left(\frac x2\right)^{2k+m}</math> כאשר <math>m</math> היא ''דרגת הפונקציה''.
:* '''משוואת בסל:''' <math>x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0</math>. מתקיים <math>y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0</math> ולכן <math>\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2</math>, כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm m</math> ולכן אם <math>m\not\in\frac12\mathbb Z</math> אז הפתרון הכללי הוא <math>c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x)</math>. אחרת הפתרון הכללי הוא <math>c_1J_m(x)+c_2Y_m(x)</math> כאשר <math>Y_m(x)=\lim_{m'\to m}\frac{J_{m'}(x)\cos(\pi m')-J_{-m'}(x)}{\sin(\pi m')}</math> (זו ''פונקציית בסל מסוג שני'').

==== מערכות מד״ר ====
* '''שיטת ההצבה:''' נתונה המערכת <math>\begin{cases}y_1'=g(y_1,y_2)\\y_2'=h(y_1,y_2)\end{cases}</math>. אזי <math>\frac{\mathrm dy_1}{\mathrm dy_2}=\frac{g(y_1,y_2)}{h(y_1,y_2)}</math> ולכן ניתן למצוא את <math>y_1</math> כתלות ב־<math>y_2</math> או להפך. את הפתרון נותר להציב במערכת ולפתור שתי מד״ר נפרדות.
===== מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים =====
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא <math>\mathbf y'=\mathbf{Ay}+\mathbf f</math> כאשר <math>\lambda_i</math> הם הע״ע של <math>\mathbf A</math> (<math>i\in\{1,\dots,n\}</math>. ייתכן שחלק מהע״ע שווים), ו־<math>\mathbf v_i</math> הם הו״ע המתאימים להם, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, <math>\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> צריכים לפרוש את <math>\mathbb C^n</math> מעל השדה <math>\mathbb C</math>).
* לכל <math>i</math>, <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימה.
* ''תזכורת:'' מטריצה <math>\mathbf A</math> לכסינה אם״ם קבוצת הו״ע שלה היא <math>\mathbb C^n</math>, מה שמתקיים אם״ם הריבוי האלגברי של כל ע״ע שווה לריבויו הגיאומטרי. תנאי מספיק (אך לא הכרחי) לכך הוא שכל הע״ע שונים.
* אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לכסינה אז <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> הוא הפתרון הכללי.
* אם <math>\mathbf A</math> לכסינה נסמן ב־<math>\mathbf P</math> מטריצה מלכסנת שלה: <math>\mathbf P^{-1}\mathbf{AP}=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math>. נגדיר <math>\mathbf z=\mathbf P^{-1}\mathbf y</math> ולכן <math>\mathbf z'=\mathbf P^{-1}\mathbf y'=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\mathbf z+\mathbf P^{-1}\mathbf f</math>, ונותר לפתור <math>n</math> מד״ר נפרדות ולהציב ב־<math>\mathbf y=\mathbf{Pz}</math>.
* אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\sum_{\lambda_i} \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במערכת המד״ר ו־<math>d_i</math> הריבוי האלגברי של <math>\lambda_i</math>.
* נניח ש־<math>n=2</math> והמערכת הומוגנית. נסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> וגם <math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1'-a d y_1\\&=(a+d)y_1'+(bc-ad)y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2 וכן להציב ב־<math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-01T20:37:50Z

אור שחף: /* מכניקה המילטונית */

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
=== פונקציונלים ===
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.

=== מכניקה המילטונית ===
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
* '''שיווי משקל''' מתקיים בנקודות <math>\vec r_0</math> שבהן <math>\nabla U_\vec r(\vec r_0)=\vec 0</math>. אם <math>\vec r_0</math> מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של <math>\vec r_0</math> שבה <math>U_\vec r</math> פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/ורקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle \mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המלטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* <math>\langle\psi|\psi\rangle</math> קבוע בזמן.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לכן מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\psi\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שייתקבלו בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר <math>\psi</math> מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-01T17:23:49Z

אור שחף: /* פיזיקה */

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
=== פונקציונלים ===
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.

=== מכניקה המילטונית ===
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/ורקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle \mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle\left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המלטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* <math>\langle\psi|\psi\rangle</math> קבוע בזמן.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לכן מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\psi\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שייתקבלו בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר <math>\psi</math> מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-10-01T16:26:37Z

אור שחף:

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
=== פונקציונלים ===
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.

=== מכניקה המילטונית ===
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> ו־<math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\iiint_{\mathbb R^3}\varphi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב הילברט.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/ורקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle \mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial x}</math>. באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=|\langle p_0|\psi\rangle|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.
* '''משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):''' <math>\mathrm i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\vec r,t)=\mathcal H\psi(\vec r,t)</math> כאשר לכל <math>t</math>, <math>\psi(\cdot,t)</math> היא פונקציה <math>\mathbb R^3\to\mathbb C</math> ב־<math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math> ו־<math>\mathcal H</math> הוא אופרטור הרמטי המכונה ''ההמילטוניאן הקוונטי'', והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא <math>\frac{p^2}{2m}+U_x(x)</math> ולכן אם נחליף את <math>p</math> ב־<math>p_x</math> נקבל המלטוניאן קוונטי <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U_x(x)</math>, ובמספר מימדים <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U_\vec r(\vec r)</math>.
* <math>\langle\psi|\psi\rangle</math> קבוע בזמן.
* אם <math>|\varphi\rangle</math> מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם עם ע״ע <math>E</math> אזי <math>\varphi(\vec r,t)=\varphi(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac E\hbar t\right)</math>. לכן אם <math>\{(|\varphi_k\rangle,E_k)\}_k</math> אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה <math>\psi(\vec r,t)=\sum_k\varphi_k(\vec r)\exp\!\left(-\mathrm i\frac{E_k}\hbar t\right)</math>. לכן מתקיימת ''משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן'': <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r,t)+U_\vec r(\vec r)\psi(\vec r,t)=E\psi(\vec r,t)</math>. הערכים של <math>E</math> עבורם יש פתרון <math>\psi\in L^2</math> נקראים ''ערכי האנרגיה המותרים'', והם היחידים שייתקבלו בניסוי.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* '''אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:''' <math>L^2:=\left|\vec L\right|^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_i:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
* '''בור פוטנציאל אינסופי:''' במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־<math>x\in(0,a)</math> ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר <math>\psi</math> מתאפסת לכל <math>x\notin(0,a)</math>, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע <math>(0,a)</math>. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם <math>E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-30T21:23:42Z

אור שחף:

הערות:
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.

== הקדמה ==
=== יחידות ===
* '''זמן – שנייה:''' <math>\mathrm s</math>
* '''מרחק – מטר:''' <math>\mathrm m</math>
* '''מסה – קילוגרם:''' <math>\mathrm{kg}</math>
* '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
* '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>

=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac m{s^2}</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>
* '''קבוע פלאנק:''' <math>\hbar\approx1.05\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}</math>

=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''דל:''' <math>\nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix}</math>. ה''גרדיאנט'' הוא <math>\nabla f</math>, ה''דיברגנץ'' הוא <math>\nabla\cdot\vec F</math>, ה''רוטור/קרל'' – <math>\nabla\times\vec F</math>, וה''לפלסיאן'' – <math>\Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>.

=== קואורדינטות ===
<ul>
<li>עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים: 
{| border="1" class="wikitable"
|-
! מ־← ל־↓
! קרטזיות
! גליליות
! כדוריות
|- align="left"
! קרטזיות
|
| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! גליליות
| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
|
| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
|- align="left"
! כדוריות
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
|
|}
כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
</li>
<li><math>\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta</math>.</li>

== קינמטיקה ==
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.

=== אנרגיה ===
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>T:=E_k:=\frac{m v^2}2=\frac{p^2}{2m}</math>.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
* <math>W=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r=-\nabla U_\vec r</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta T=T(t_2)-T(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=T+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\sum_{i=1}^n \frac{m_i}M\vec r_i</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(T_i+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.

=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.

=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.

== מכניקה אנליטית ==
=== פונקציונלים ===
* '''פונקציונל:''' פונקציה <math>S</math> ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה <math>S(\vec q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt</math> כאשר <math>\mathcal L</math> היא ''הלגראנז׳יאן'' של הבעיה.
* '''מינימיזציה:''' נרצה למצוא את הפונקציה <math>\vec q</math> שעבורה <math>\vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b</math> ו־<math>S(\vec q)</math> מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר <math>\vec q</math> דיפרנציאבילית ו־<math>\mathcal L</math> גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל <math>i</math> מתקיימת ''משוואת אוילר–לגראנז׳'': <math>\frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0</math>.
* תהי <math>\vec q\,'=\vec q\,'(\vec q)</math> התמרת קואורדינטות מ־<math>\vec q</math> ל־<math>\vec q\,'</math>. אם <math>\vec q_0</math> מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־<math>\mathcal L</math> אזי גם <math>\vec q\,'_0:=\vec q\,'(\vec q_0)</math> מקיימת אותה ל־<math>\mathcal L</math>.
* '''פעולה:''' הפונקציונל <math>S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left(T_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt</math>. הלגראנז׳יאן נקרא ''הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת'', והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''עקרון המילטון/הפעולה המינימלית:''' הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל <math>\vec r</math>.
* '''תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>p_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial\dot q_i}</math>.
* '''כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות <math>\vec q</math>:''' הווקטור שרכיביו <math>F_i:=\frac{\partial(T-U)}{\partial q_i}</math>.
* ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־<math>F_i=\dot p_i</math>.
* '''קואורדינטה ציקלית:''' קואורדינטה <math>q_i</math> שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת <math>F_i\equiv 0</math> ולכן <math>p_i\equiv\text{const.}</math>.

=== מכניקה המילטונית ===
* '''התמרת לז׳נדר:''' תהי <math>f</math> פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה <math>x</math> ונגדיר <math>s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>. לכן <math>s</math> מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית <math>x(s)</math>. התמרת לז׳נדר של <math>f</math> מוגדרת כ־<math>g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s))</math>.
* <math>\frac{\partial g}{\partial s}=x</math>.
* התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
* '''המילטוניאן''' הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של <math>\dot\vec q</math>, כלומר <math>\mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(\vec p,\vec q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right)</math> כאשר <math>\vec p</math> התנע הצמוד ל־<math>\vec q</math> ו־<math>\mathcal L=T-U</math>. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
* '''משוואות המילטון:''' <math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i</math>. לכן במרחב <math>n</math>־מימדי נקבל <math>2n</math> מד״ח מסדר ראשון במקום <math>n</math> מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז'.
* בקואורדינטות קרטזיות <math>\vec q=(x,y,z)</math> התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
* '''סוגרי פואסון:''' בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים <math>A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t)</math> כאלה מוגדרים כ־<math>\{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)</math>.
* <math>\{A,B\}=-\{B,A\}</math>.
* מתקיים <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\}</math> כאשר <math>\frac{\partial A}{\partial t}</math> הוא השינוי ב־<math>A</math> לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י <math>\vec p(t),\vec q(t)</math>.
* '''מרחב פאזה:''' בהנתן מערכת עם <math>m</math> גופים במרחב <math>n</math>־מימדי, משוואות המילטון נותנות <math>2nm</math> משוואות ב־<math>2nm</math> נעלמים <math>q_{ij},p_{ij}</math> (כש־<math>\vec q_j</math> וקטורי קואורדינטות ו־<math>\vec p_j</math> תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב <math>2nm</math>־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות <math>q_{ij},p_{ij}</math> כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
* נניח שהלאגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר <math>t'=-t</math> ולכל גודל פיזיקלי <math>f=f(t)</math> נסמן <math>f'=f(t')</math>. אזי <math>\vec q\,'=\vec q\ \and\ \dot\vec q\,'=-\dot\vec q\ \and\ \vec p\,'=-\vec p</math>. אם הקואורדינטות קרטזיות אז <math>\mathcal H'=\mathcal H</math> ו־<math>\frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i'}=\dot q_i'\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i'}=-\dot p_i'</math>.
* '''משפט ליוביל:''' נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות <math>\rho(\vec q,\vec p)</math> המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח <math>\mathrm d\vec q(t)\mathrm d\vec p(t)=\prod_i\mathrm dq_i(t)\mathrm dp_i(t)</math> אינווריאנטי בזמן, כלומר <math>\mathrm d\vec q(t_1)\mathrm d\vec p(t_1)=\mathrm d\vec q(t_2)\mathrm d\vec p(t_2)</math>.
* '''חבורת לי:''' חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה <math>g</math> תלוי ב־<math>n</math> פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים) <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> כך שאם <math>g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot g(\beta_1,\dots,\beta_n)=g(\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math> אז <math>\gamma_i=\gamma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math> ואם <math>\Big(g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\Big)^{-1}=g(\beta_1,\dots,\beta_n)</math> אז <math>\beta_i=\beta_i(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> פונקציה חלקה לכל <math>i</math>. <math>n</math> ייקרא המימד של החבורה.
* '''משפחה חד־פרמטרית''' של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, <math>g=g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=r(\alpha)</math> לכל איבר <math>g</math> במשפחה ו־<math>r(\alpha)\cdot r(\beta)=r(\alpha+\beta)</math>.
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''משפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>s\in\mathbb R</math> כלשהו, כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=0</math>. אזי <math>\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-\mathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math> כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.

== מכניקת הקוונטים ==
=== הקדמה מתמטית ===
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־<math>|u\rangle</math>, אופרטורים ומטריצות כ־<math>\mathbf A</math>, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור <math>\mathbf A^\dagger</math>, צמוד של סקלר <math>\lambda</math> בתור <math>\lambda*</math>, צמוד של וקטור <math>|v\rangle^\dagger=\langle v|</math> ומכפלה סקלרית בתור <math>|v\rangle\cdot|u\rangle=\langle v|u\rangle</math>.
* '''מרחב הילברט:''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb C</math> עם מכפלה פנימית <math>\langle v|u\rangle</math> כך שהמרחב שלם. כלומר:
::<math>\langle u|u\rangle\ge0</math> לכל <math>|u\rangle</math> ושיוויון מתקיים אם״ם <math>|u\rangle=0</math>.
::<math>\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*</math>.
::המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר <math>\forall\lambda\in\mathbb C:\ \langle v|\lambda u\rangle=\lambda\langle v|u\rangle</math>.
::עבור <math>\Big\||v\rangle\Big\|:=\sqrt{\langle v|v\rangle}</math>, לכל סדרה <math>\{|v_n\rangle\}_{n=1}^\infty</math> עבורה <math>\lim_{n,m\to\infty}\Big\||v_m\rangle-|v_n\rangle\Big\|=0</math> (סדרת קושי) קיים <math>|v\rangle</math> כך ש־<math>|v_n\rangle\to|v\rangle</math>.
* '''אופרטור לינארי''' במרחב הילברט <math>\mathcal H</math> הוא העתקה לינארית <math>\mathbf A:\mathcal H\to\mathcal H</math>. פעולת האופרטור על <math>|u\rangle</math> תסומן בצורות <math>\mathbf A|u\rangle=|\mathbf A u\rangle</math>.
* '''אופרטור הרמטי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf A</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle v|\mathbf Au\rangle=\langle\mathbf Av|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf A^\dagger=\mathbf A</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
* מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
* '''אופרטור אוניטרי:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf U</math> כך ש־<math>\forall|u\rangle,|v\rangle:\ \langle \mathbf Uv|\mathbf Uu\rangle=\langle v|u\rangle</math>. באופן שקול: <math>\mathbf U^\dagger\mathbf U=\mathbf I</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
* '''אופרטור הטלה:''' אופרטור לינארי <math>\mathbf P</math> כך ש־<math>\mathbf P^2=\mathbf P</math>.
* הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
* '''מכפלה חיצונית:''' אופרטור לינארי <math>|u\rangle\langle v|</math>. לכל וקטור <math>|w\rangle</math> מתקיים <math>|u\rangle\langle v||w\rangle=|u\rangle\langle v|w\rangle=\langle v|w\rangle|u\rangle</math>.
* הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
* '''המשפט הספקטרלי במימד סופי:''' אם <math>\mathbf A</math> אופרטור הרמטי ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) אזי <math>\mathbf A=\sum_{i=1}^d\lambda_i|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''קומוטטור''' של אופרטורים הוא <math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A</math>.
* ''תכונות של קומוטטורים:''
** '''אנטי־קומוטטיביות:''' <math>[\mathbf A,\mathbf B]=-[\mathbf B,\mathbf A]</math>.
** '''זהות יעקובי:''' <math>[[\mathbf A,\mathbf B],\mathbf C]+[[\mathbf B,\mathbf C],\mathbf A]+[[\mathbf C,\mathbf A],\mathbf B]=\mathbf O</math>.
* אם <math>\mathbf A,\mathbf B</math> אופרטורים הרמטיים אז <math>[\mathbf A,\mathbf B]</math> הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר <math>[\mathbf A,\mathbf B]^\dagger=-[\mathbf A,\mathbf B]</math>. לכן <math>\mathrm i[\mathbf A,\mathbf B]</math> הרמטי.
* יהיו <math>\mathbf A,\mathbf B</math> מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (<math>[\mathbf A,\mathbf B]=\mathbf O</math>) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של <math>\mathbf A,\mathbf B</math>, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
* אם <math>f</math>פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר <math>f(\mathbf A)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}}{n!}\mathbf A^n</math> (ובאופן דומה אם לפיתוח של <math>f</math> יש חזקות שליליות).
* לכל אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math> ממימד סופי <math>d</math> עם ע״ע <math>\lambda_i</math> וו״ע מנורמלים <math>|v_i\rangle</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,d\}</math>) , אם <math>f(\mathbf A)</math> מוגדרת אז היא שווה ל־<math>\sum_{i=1}^d f(\lambda_i)|v_i\rangle\langle v_i|</math>.
* '''מרחב <math>L^2(\mathbb R)</math>:''' מרחב הפונקציות <math>\varphi:\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty |\varphi(x)|^2\mathrm dx</math> מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית <math>\langle\varphi|\psi\rangle:=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\psi(x)\mathrm dx</math>. זה מרחב הילברט.
* '''מרחב <math>L^2\!\left(\mathbb R^3\right)</math>:''' כמו <math>L^2(\mathbb R)</math>, אלא שהפונקציות הן <math>\mathbb R^3\to\mathbb R</math> ו־<math>\|\varphi\|^2:=\iiint_{-\infty}^\infty|\varphi(x,y,z)|^2\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz</math>. זה מרחב בנך.
* '''אופרטור <math>x</math>:''' אופרטור המסומן <math>x</math> עבורו לכל <math>|\varphi\rangle</math>, <math>x|\varphi\rangle</math> היא פונקציה <math>\mathbb R\to\mathbb C\uplus\{\infty\}\ \and\ x\mapsto x\varphi(x)</math>. לכן <math>\langle\varphi|x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty\varphi*(x)x\psi(x)\mathrm dx</math>, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. זה אופרטור הרמטי.
* '''אופרטור הגזירה:''' אופרטור <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> עבורו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}|\varphi\rangle=\left|\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\rangle</math>. הוא אינו מוגדר בחלק מ־<math>L^2</math>. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
* <math>\left[x,-\mathrm i\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]=\mathrm i</math>.
* '''פונקציית הדלתא של דיראק:''' <math>\delta</math> עבורה <math>\delta(x)=\begin{cases}0,&x\ne0\\\infty,&x=0\end{cases}</math> כך ש־<math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\mathrm dx=1</math>. היא מקיימת <math>\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx=f(0)</math> לכל <math>f</math> רציפה ב־0.
* <math>x\delta(x-x_0)\equiv x_0\delta(x-x_0)</math>.

=== פיזיקה ===
* '''מצב''' של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא ''מרחב המצבים''. שני מצבים ייחשבו ''בלתי נבדלים פיזיקלית'' אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
* '''סופרפוזיציה:''' מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
* '''התפתחות בזמן:''' אם <math>|v(t)\rangle</math> מתאר מצב בזמן <math>t</math> אז לכל שני זמנים <math>t_1,t_2</math> קיים אופרטור אוניטרי <math>\mathbf U(t_1,t_2)</math> כך ש־<math>|v(t_2)\rangle=\mathbf U(t_1,t_2)|v(t_1)\rangle</math>.
* '''אקסיומת המדידה:''' לכל גודל מדיד פיזיקלית <math>A'</math> מתאים אופרטור הרמטי <math>\mathbf A</math>. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של <math>\mathbf A</math>. אם תוצאת מדידה הייתה <math>\lambda_i</math> אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה <math>|\psi\rangle</math> אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־<math>\lambda</math>. כלומר, אם ל־<math>\lambda_i</math> יש ריבוי <math>n</math> ו־<math>\{|v_{ik}\rangle\}_{k=1}^n</math> הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא <math>P_i=\sum_{k=1}^n|v_{ik}\rangle\langle v_{ik}|</math>, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא <math>|\psi'\rangle=P_i|\psi\rangle</math> (או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה <math>\lambda_i</math> במדידה היא <math>\Pr(A'=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle</math>. שינוי זה במצב נקרא ''קריסת פונקציית/ורקטור הגל''.
** {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\lambda_i</math> לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע <math>|v_i\rangle</math> מנורמל אז <math>\Pr(A'=\lambda_i)=|\langle v_i|\psi\rangle|^2</math> ו־<math>|\psi'\rangle=|v_i\rangle</math>.
* '''ערך התצפית''' הוא תוחלת תוצאת המדידה של <math>\mathbf A</math>, ומסומן <math>\langle \mathbf A\rangle</math> או <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi</math> כאשר <math>|\psi\rangle</math> המצב לפני המדידה. אזי <math>\langle\mathbf A\rangle_\psi=\langle\psi|\mathbf A|\psi\rangle</math>.
* אם שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math> קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של <math>A'</math> לפי תוצאת מדידה <math>B'</math>. לכן גם מדידה לפי <math>\mathbf B</math> לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם <math>\mathbf A</math>. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
* בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום, <math>\varphi\in L^2</math>. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
* '''אופרטור המיקום''' של חלקיק בציר ה־<math>x</math> הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־<math>x</math>. באופן דומה מגדירים אופרטורים <math>y,z</math>.
* מתקיים <math>[x,y]=[y,z]=[x,z]=\mathbf O</math>.
* <math>x\mapsto\delta(x-x_0)</math> היא פונקציה עצמית של האופרטור <math>x</math> עם ע״ע <math>x_0</math>. לכן נסמן <math>|x_0\rangle=|\delta(x-x_0)\rangle</math>.
* '''פונקציית גל''' <math>\psi</math> של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה <math>x_0</math> היא <math>f_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2</math>. לכן ההסתברות למצוא את <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\Pr(a\le x\le b)=\int_a^b|\psi(x)|^2\mathrm dx</math>. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־<math>\mathbb R^3</math>.
* '''אופרטור התנע''' בציר ה־<math>x</math> הוא <math>p_x=-\mathrm i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> . באופן דומה מגדירים <math>p_y,p_z</math>. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא <math>\mathbf P=-\mathrm i\hbar\nabla</math>.
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=|\langle p_0|\psi\rangle|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''עקרון האי־ודאות:''' <math>\operatorname{Var}(\mathbf A)\operatorname{Var}(\mathbf B)\ge\hbar/4</math> לכל שני אופרטורים הרמטיים <math>\mathbf A,\mathbf B</math>. באופן שקול, <math>\left\langle\mathbf A^2\right\rangle\cdot\left\langle\mathbf B^2\right\rangle\ge\tfrac14|\langle[\mathbf A,\mathbf B]\rangle|^2</math>.

== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
** '''חוק הוק:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_0</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta l\cdot\sgn(\vec r-\vec r_0)</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta l</math> התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> בלבד וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, ו־<math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מטוטלת מתמטית:''' חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2</math> כאשר <math>R</math> אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא <math>-mgR\cos(\theta)</math>. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא <math>\frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta)</math> ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת <math>mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0</math>.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''כוח חיכוך:'''
:* '''חיכוך סטטי''' מתקיים כשאין תנועה. ''מקדם החיכוך הסטטי'' של חומר מסומן <math>\mu_s</math> ומקיים <math>\vec f^s\le\mu_s\vec N</math> כש־<math>\vec f^s</math> כוח החיכוך הסטטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* '''חיכוך קינטי''' מתקיים כשיש תנועה. ''מקדם החיכוך הקינטי'' של חומר מסומן <math>\mu_k</math> ומקיים <math>\vec f^k=\mu_k\vec N</math> כש־<math>\vec f^k</math> כוח החיכוך הקינטי ו־<math>\vec N</math> הכוח הנורמלי.
:* בקורס זה כל חומר מקיים <math>\mu_k<\mu_s</math>.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>. אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_{\vec0}^{z\cdot\hat\mathbf z}-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>\vec v_i</math> ואחריה <math>\vec u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2</math>. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
* אורך המסלול שעבר גוף הוא <math>s=\int v\mathrm dt</math>. לכן <math>\mathrm ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}</math> ו־<math>\mathrm dt=\mathrm ds/v</math>, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-30T16:03:53Z

אור שחף:

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-28T20:19:09Z

אור שחף:

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-27T16:09:18Z

אור שחף: /* מכניקה המילטונית */

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-27T16:07:17Z

אור שחף:

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-23T20:45:28Z

אור שחף: /* מכניקה אנליטית */

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-23T20:38:38Z

אור שחף:

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-18T15:28:14Z

אור שחף:

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-17T20:22:09Z

אור שחף:

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-17T09:49:20Z

אור שחף: /* מכניקה המילטונית */

תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

2013-09-16T21:21:00Z

אור שחף:

תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג

2013-08-28T17:23:19Z

אור שחף:

בקורס זה <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math> ו־<math>\mathbb N^+=\{1,2,\dots\}</math>. כמו כן, אלא אם צוין אחרת, <math>A^+:=A\cap\mathbb N^+</math>, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־<math>p</math> ראשוני.

__תוכן__
* '''משפט פיאנו:''' קיימת קבוצה בודדה <math>\mathbb N</math> שעבורה יש פונקציה <math>S:\mathbb N\to\mathbb N</math> המקיימת את אקסיומות פיאנו: <math>S</math> חח״ע, <math>0\not\in\mbox{Im}(S)</math>, <math>0\in\mathbb N</math> ואם <math>K\subseteq\mathbb N</math> מקיימת <math>0\in K\ \and\ (x\in K\iff S(x)\in K)</math> אזי <math>K=\mathbb N</math>.
* <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math> מחולק לשלוש קבוצות: יחידות – <math>U:=\{\pm1\}</math>, ראשוניים – <math>\mathcal P:=\{p\in\mathbb Z\setminus U:\ \forall ab=p:\ a\in U\ \or\ b\in U\}</math> ופריקים – <math>\mathbb Z\setminus\{0\}\setminus U\setminus\mathcal P</math>.
* לכל <math>a\in\mathbb N^+</math> ו־<math>b</math> קיים זוג יחיד של שארית <math>r</math> ומנה <math>q</math> כך ש־<math>b=qa+r,\ 0\le r<a</math>.
* '''המשפט הבסיסי של האתריתמטיקה:''' כל מספר ב־<math>\mathbb Z\setminus\{0,\pm1\}</math> ניתן לפירוק יחיד (עד כדי סדר ההכפלה) של גורמים ראשוניים.
* '''למת אוקלידס:''' אם <math>p\mid ab</math> אז <math>p\mid a\ \or\ p\mid b</math>.
* נסמן <math>p^m\mid\!\mid a</math> אם <math>p^m\mid a\ \and\ p^{m+1}\nmid a</math>.
* נניח ש־<math>a</math> ו/או <math>b</math> שונים מ־0. אזי קיים <math>d\in\mathbb N^+</math> יחיד (הנקרא מחלק משותף מקסימלי של <math>a,b</math> ומסומן <math>\gcd(a,b)=(a,b)</math>) עבורו <math>d\mid a,b</math> ואם <math>d'\in\mathbb Z</math> כך ש־<math>d'\mid a,b</math> אזי <math>d'\mid d</math>.
* אם <math>a\mid b,c</math> אזי <math>\forall x,y\in\mathbb Z:\ a\mid xb+yc</math>.
* <math>(a,b)=\min\{xa+yb:\ x,y\in\mathbb Z\}^+</math>.
* <math>a\mathbb Z+b\mathbb Z=(a,b)\mathbb Z</math>.
* אם <math>a,b</math> זרים ו־<math>a\mid bc</math> אזי <math>a\mid c</math>.
* אם <math>\forall i:\ k_i,m_i\in\mathbb N</math> וה־<math>p_i</math> שונים זה מזה אזי <math>\left(\prod_i p_i^{k_i},\prod_i p_i^{m_i}\right)=\prod_i p_i^{\min\{k_i,m_i\}}</math>.
* <math>m</math> יקרא חופשי מריבועים אם <math>\nexists p\in\mathcal P:\ p^2\mid m</math>.
* '''אלגוריתם אוקלידס:''' נניח <math>b\ne0</math> ונרצה לחשב <math>(a,b)</math> כאשר <math>a>b</math>. אם <math>r</math> שארית החלוקה של <math>a</math> ב־<math>b</math> אזי <math>(a,b)=(b,r)</math>. נמשיך כך עד שנקבל <math>(x,0)=x</math>. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את <math>ax+by=(a,b)</math>: נסמן <math>r_{-1}=a, r_0=b</math> ולכן בתהליך החישוב של <math>(a,b)</math> עם האלגוריתם נקבל <math>\forall0\le i\le k:\ r_{i-1}=r_iq_{i+1}+r_{i+1}</math> כאשר <math>r_{k+1}=(a,b)</math>. לפיכך:{{left|<math>\begin{align}r_{k+1}&=r_{k-1}-r_kq_{k+1}\\&=r_{k-1}-(r_{k-2}-r_{k-1}q_k)q_{k+1}\\&=r_{k-1}(1+q_kq_{k+1})-r_{k-2}q_{k+1}\\&=\dots\\&=r_0y-r_{-1}(-x)\\&=ax+by\end{align}</math>}}
* נאמר ש־<math>a,b</math> חופפים מודולו <math>m>1</math> (ונסמן <math>a\equiv b\pmod m</math>) אם <math>m\mid a-b</math>. <math>\equiv</math> מגדיר יחס שקילות כאשר <math>\bar a=[a]=a+m\mathbb Z</math> מחלקת השקילות של <math>a</math> ו־<math>\mathbb Z_m</math> קבוצת מחלקות השקילות.
* אם <math>m>1,\ k\ne0</math> ו־<math>ka\equiv kb\pmod m</math> אז <math>a\equiv b\pmod{m/(k,m)}</math>.
* יהי <math>\bar a\in\mathbb Z_m</math>. <math>(a,m)=1</math> אם״ם <math>\bar a</math> הפיך. ניתן למצוא את ההופכי ל־<math>\bar a</math> ע״י פתירת <math>ax+my=1</math>, ואז <math>\bar a^{-1}=\bar x</math>.
* <math>U_m:=\{\bar a\in\mathbb Z_m:\ (a,m)=1\}\subset\mathbb Z_m</math>.
* '''פונקציית אוילר''' היא <math>\varphi:\mathbb N^+\to\mathbb N^+</math> עבורה <math>\varphi(1):=1,\ \varphi(m):=|U_m|</math>.
* פונקציית אוילר כפלית אריתמטית.
* '''מערכת מלאה מודולו ''m''''' היא קבוצה <math>\{a_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathbb Z</math> עבורה <math>\forall a:\ \exists i:\ a\equiv a_i\pmod m</math>. קיים <math>i</math> יחיד כנ״ל לכל <math>a</math>. באופן שקול, המערכת מלאה מודולו <math>m</math> אם <math>\mathbb Z_m=\{\bar a_i\}_{i=1}^m</math>.
* אם <math>\{a_i\}_{i=1}^m</math> מלאה מודולו <math>m</math>, <math>(\alpha,m)=1</math> ו־<math>k</math> שלם אזי <math>\{\alpha a_i+k\}_{i=1}^m</math> מלאה מודולו <math>m</math>.
* '''מערכת מצומצמת מודולו ''m''''' היא קבוצה <math>\{a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> כך ש־<math>\forall\bar a\in U_m:\ \exists i:\ a\equiv a_i\pmod m</math>. באופן שקול, <math>U_m=\{\bar a_i\}_{i=1}^m</math>.
* אם <math>\{a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> מצומצמת מודולו <math>m</math> ו־<math>(\alpha,m)=1</math> אז <math>\{\alpha a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> מצומצמת מודולו <math>m</math>.
* אם <math>\forall i:\ p_i^{e_i}\mid\!\mid m</math> אזי <math>\varphi(m)=m\prod_i\left(1-\frac1{p_i}\right)</math>. בפרט, <math>\varphi\!\left(p^e\right)=p^e-p^{e-1}</math>.
* '''משפט גאוס:''' <math>\sum_{d\mid m}\varphi(d)=m</math>.
* '''משפט אוילר:''' אם <math>(a,m)=1</math> אז <math>a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m</math>. ''משפט פרמה'' הוא מקרה פרטי כאשר <math>m</math> ראשוני.
* '''משפט וילסון:''' <math>(p-1)!\equiv-1\pmod p</math>.
* '''מבחן הראשוניות של Solovay & Strassen:''' <math>m</math> ראשוני אם״ם <math>m=2</math> או <math>\forall x\in[1,m-1]\cap\mathbb Z:\ (x,m)=1\ \and\ x^\frac{m-1}2\equiv\left(\frac xm\right)\pmod m</math>.
:* אם <math>m</math> פריק אז <math>x</math> שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של <math>m</math>.
:* אם <math>m</math> פריק אז לפחות חצי מהמספרים <math>1,2,\dots,m-1</math> הם עדים לפריקות.
* '''משפט גאוס:''' <math>U_p</math> חבורה ציקלית, כלומר קיים <math>g\in U_p</math> כך ש־<math>\forall a\in U_p:\ \exists n:\ g^n\equiv a\pmod p</math>.
:* לכל <math>a</math> אותו <math>n</math> יחיד מודולו <math>p-1</math> ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו <math>p</math> של <math>a</math> לפי <math>g</math>" ומסומן <math>\log_g^{(p)}(a)</math>.
:* כל <math>g</math> כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש <math>\varphi(p-1)</math> כאלה.
:* {{הערה|הכללה:}} <math>U_n</math> ציקלית אם״ם <math>n\in\{2,4\}\cup\left\{p^k,2p^k:\ p\in\mathcal P\setminus\{2\}\ \and\ k\in\mathbb N^+\right\}</math>.

== פונקציות אריתמטיות ==
* <math>f:\mathbb N^+\to\mathbb C</math> נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ <math>\mbox{Im}(f)\subseteq\mathbb Z</math>.
* '''קונבולוציית דיריכלה''' בין שתי פונקציות אריתמטיות <math>f,g</math> מוגדרת ע״י <math>(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}d(d)g\!\left(\frac nd\right)=\sum_{mk=n}f(m)g(k)</math>. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
* נסמן <math>\delta_k(n):=1_{\{k\}}=\begin{cases}1,&n=k\\0,&\text{else}\end{cases}</math>. <math>\delta_1</math> היא פונקציית היחידה ביחס לקונבולוציה, כלומר <math>\forall f:\ \delta_1*f=f</math>.
* <math>f</math> אריתמטית תקרא כפלית אם <math>\forall m,n:\ f(mn)=f(m)f(n)</math> וכפלית אריתמטית אם <math>\forall (m,n)=1:\ f(mn)=f(m)f(n)</math>.
* אם <math>f,g</math> כפליות אריתמטיות אז כך גם <math>f*g</math>.
* '''פונקציית הממוצע האריתמטי''' של <math>f</math> מוגדרת ע״י <math>F(n):=\sum_{d\mid n}f(d)=(C*f)(n)</math> כאשר <math>\forall n:\ C(n)=1</math>.
* אם <math>f*g=\delta_1</math> אז <math>f</math> נקראת הפיכה (ביחס לקונבולוציית דיריכלה) ונסמן <math>f^{-1}:=g</math>.
* <math>f</math> הפיכה אם״ם <math>f(1)=\pm1</math>.
* אם <math>f</math> הפיכה וכפלית אריתמטית אז <math>f^{-1}</math> כפלית אריתמטית.
* '''פונקציית מוביוס''' היא <math>\mu=C^{-1}</math> ומקיימת <math>\mu(n)=\begin{cases}(-1)^s,&n=\prod_{i=1}^s p_i\ \and\ \forall i\ne j:\ p_i\ne p_j\end{cases}</math>.
* <math>\varphi(n)=\sum_{d\mid n}\mu\!\left(\frac md\right)d</math>.
* מגדירים <math>\tau(n):=|\{d\in\mathbb N:\ d\mid n\}|=\sum_{d\mid n}1=(C*C)(n)</math>.
* נגדיר <math>d_k(n):=\sum_{d\mid n}d^k</math>. מקרה שימושי הוא <math>d:=d_1</math> ואז <math>d=C\times I</math> כאשר <math>\forall n:\ I(n)=n</math>.
* <math>\varphi*\tau=d</math>.

== חוג השלמים של גאוס ==
האיברים ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]=\mathbb Z+\mathrm i\mathbb Z</math> נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר <math>u\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>u^{-1}\in\mathbb Z[\mathrm i]</math>) הם <math>\pm1,\pm\mathrm i</math>.
* אם <math>\alpha\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> ו־<math>u</math> יחידה אז <math>\alpha,u\alpha</math> נקראים דומים.
* נגדיר <math>N:\mathbb Z[\mathrm i]\to\mathbb Z</math> ע״י <math>N(a+b\mathrm i)=a^2+b^2=|a+b\mathrm i|^2</math>. היא כפלית (<math>N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)</math>) ו־<math>u</math> יחידה אם״ם <math>N(u)=1</math>.
* '''ראשוני של גאוס''' הוא שלם <math>\alpha</math> של גאוס שאינו יחידה ואם <math>\alpha=\beta\gamma</math> אז <math>\beta</math> או <math>\gamma</math> יחידות.
* אם <math>\alpha,\beta\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> כך ש־<math>\beta\ne0</math> אז יש <math>q,r\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>\alpha=\beta q+r</math> כך ש־<math>N(r)<N(\beta)</math>.
* '''משפט גאוס:''' ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]</math> קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים של גאוס.
* הראשוניים של גאוס מתחלקים לסוגים הבאים:
:* <math>1+\mathrm i</math>. הוא "קשור" ל־2 ע״י <math>2=-(1+\mathrm i)^2</math>.
:* לכל <math>p\equiv1\pmod4</math> יש פתרון ל־<math>x^2+y^2=p</math>. המספרים <math>x\pm\mathrm iy</math> הם ראשוניים לא דומים של גאוס.
:* כל <math>p\equiv3\pmod4</math> הוא גם ראשוני של גאוס.
* כל ראשוני של גאוס מחלק ראשוני טבעי כלשהו.
* אם <math>N(\alpha)\in\mathcal P</math> אז <math>\alpha</math> ראשוני של גאוס.

== פתרון משוואות דיופנטיות ==
* '''משוואה לינארית ב־2 נעלמים:''' נרצה לפתור <math>ax+by=c</math> כאשר <math>x,y</math> משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים:
:* <math>0\ne(a,b)\nmid c</math>: אין פתרון.
:* <math>(a,b)=1</math>: ניתן לפתור <math>ax_0+by_0=1</math> ע״י אלגוריתם אוקלידס (כמפורט בהמשך הסעיף). הפתרון הכללי הוא <math>x=cx_0+bk, y=cy_0-ak</math> לכל <math>k</math>.
:* <math>1\ne(a,b)\mid c</math>: נחלק את אגפי המשוואה ב־<math>(a,b)</math> ונקבל משוואה חדשה מהמקרה הקודם.
::* אם בפרט <math>(a,b)=c</math> אז ניתן לפתור גם באמצעות אלגוריתם אוקלידס.
* '''משפט השאריות הסיני:''' נניח ש־<math>\forall i\ne j:\ (m_i,m_j)=1</math> ונתונה <math>\{c_i\}_{i=1}^r\subset\mathbb Z</math>. למערכת <math>\forall i:\ x\equiv c_i\pmod{m_i}</math> קיים פתרון יחיד מודולו <math>m=\prod_{i=1}^r m_i</math>.
:* אם <math>\forall j:\ x_i\equiv\delta_i(j)\pmod{m_j}</math> אז <math>x\equiv\sum_{i=1}^r c_ix_i\pmod m</math>. ה־<math>x_i</math>־ים מקיימים <math>x_i=\frac m{m_i}b_i</math> כאשר <math>b_i:\equiv\left(\frac m{m_i}\right)^{-1}\pmod{m_i}</math>.
:* {{הערה|הכללה:}} אם לא נתון ש־<math>\forall i\ne j:\ (m_i,m_j)=1</math> אז יש פתרון אם״ם <math>\forall i\ne j:\ c_i\equiv c_j\pmod{(m_i,m_j)}</math>.

=== משוואות ריבועיות ===
בפרק זה <math>p\ne2</math> ו־<math>b</math> אי־זוגי.
* אם קיים פתרון ל־<math>x^2\equiv a\pmod p</math> אז <math>a</math> יקרא ''שארית ריבועית'' (ש״ר).
* יש <math>\frac{p+1}2</math> שאריות ריבועיות ב־<math>\mathbb Z_p</math> והן <math>0^2,1^2,\dots,\left(\frac{p-1}2\right)^2</math>.
* אם <math>m^2\equiv n^2\pmod p</math> אז <math>m\equiv\pm n\pmod p</math>.
* '''סימן לז׳נדר:''' <math>\left(\frac ap\right):=\begin{cases}0,&a\equiv0\pmod p\\1,&\exists\alpha:\ \alpha^2\equiv a\pmod p\\-1,&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך <math>a</math> שארית ריבועית אם״ם <math>\left(\frac ap\right)\ne-1</math>.
* '''משפט אוילר:''' <math>a^\frac{p-1}2\equiv\left(\frac ap\right)\pmod p</math>.
* '''למת גאוס:''' נסמן <math>p_1:=\frac{p-1}2</math> ונגדיר <math>\forall 0\le i\le p_1:\ r_i:\equiv ia\pmod p</math> כאשר <math>-p_1\le r_i\le p_1</math>. אזי <math>\left(\frac ap\right)=\prod_{i=1}^{p_1}\sgn(r_i)</math>.
* '''סימן יעקובי:''' יהי <math>b=\prod_{i=1}^r p_i</math>. מגדירים <math>\left(\frac ab\right)=\prod_{i=1}^r\left(\frac a{p_i}\right)</math>.
* אם <math>\left(\frac ab\right)=-1</math> אז ל־<math>x^2\equiv a\pmod b</math> אין פתרון. ההפך לא תמיד נכון.
* '''תכונות של סימני לז׳נדר ויעקובי:'''
:* <math>a_1\equiv a_2\pmod b</math> אז <math>\left(\frac{a_1}b\right)=\left(\frac{a_2}b\right)</math>.
:* <math>\left(\frac{a_1 a_2}b\right)=\left(\frac{a_1}b\right)\left(\frac{a_2}b\right)</math> ו־<math>\left(\frac a{b_1 b_2}\right)=\left(\frac a{b_1}\right)\left(\frac a{b_2}\right)</math>.
:* <math>\left(\frac1b\right)=1</math>, <math>\left(\frac{-1}b\right)=(-1)^\frac{b-1}2</math> ו־<math>\left(\frac2b\right)=(-1)^\frac{b^2-1}8</math>.
:* '''משפט ההדדיות הריבועית:''' אם גם <math>a</math> אי־זוגי אז <math>\left(\frac ab\right)=(-1)^\frac{(a-1)(b-1)}4\left(\frac ba\right)</math>.
* '''למת לגרנז׳:''' <math>-1</math> שארית ריבועית מודולו <math>p</math> אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math>. השורש מודולו <math>p</math> הוא <math>\frac{p-1}2!</math>.
* '''משפט פרמה:''' ל־<math>x^2+y^2=p</math> יש פתרון בשלמים אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math> (או <math>p=2</math>).
:* אם <math>p</math> לאו דווקא ראשוני אבל <math>p\equiv3\pmod4</math> אז עדיין אין פתרון בשלמים.
:* '''עקרון דיריכלה:''' נרצה לפתור את המשוואה. נסמן <math>N:=\frac{p-1}2!</math> ונניח <math>x_1+Ny_1\equiv x_1+Ny_2\pmod p</math> כך ש־<math>x_1\ne x_2\ \or\ y_1\ne y_2</math>. נסמן <math>x=x_1-x_2</math> ו־<math>y=y_1-y_2</math> והם פותרים את <math>x^2+y^2=p</math>.
* '''משפט אוילר:''' ל־<math>x^2+y^2=n\in\mathbb N^+</math> יש פתרון בשלמים אם״ם <math>\forall p^e\mid\!\mid n\ \and\ p\equiv3\pmod4:\ 2\mid e</math>.
* '''משפט דיריכלה:''' לכל <math>a>1</math> ו־<math>b</math> זר לו יש אינסוף ראשוניים <math>p</math> עבורם <math>p\equiv b\pmod a</math>. בפרט יש אינסוף ראשוניים עבורם <math>p\equiv1,3\pmod4</math>.
* <math>a</math> שארית ריבועית מודולו <math>p</math> לכל <math>p\in\mathcal P^+</math> אם״ם <math>\sqrt a\in\mathbb Z</math>.
* יהי <math>a\not\equiv0\pmod p</math> ונרצה לפתור <math>x^2\equiv a\pmod p</math> כשנתון ש־<math>a</math> שארית ריבועית: <math>x:\equiv\left(\begin{cases}a^\frac{p+1}4,&p\equiv3\pmod 4\\a^\frac{p+3}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv1\pmod p\\2a(4a)^\frac{p-5}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv-1\pmod p\end{cases}\right)\pmod p</math>. למקרה <math>p\equiv1\pmod8</math> יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו.

==== משוואות פיתגורס ====
נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של <math>x^2+y^2=z^2</math>.
* פתרון יקרא פרמיטיבי אם <math>(x,y,z)=1</math>.
* הפתרונות החיוביים (כלומר <math>x,y,z>1</math>) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו <math>m>n>0</math> זרים. אם הם אי־זוגיים אז <math>x=mn,\ y=\frac{m^2-n^2}2,\ z=\frac{m^2+n^2}2</math> ואם אחד מהם זוגי אז <math>x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2</math>.

==== עקומות רציונליות ====
* יהי <math>f</math> פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר <math>f\in\mathbb Q[x,y]</math>) שאינה פריקה (כלומר אין <math>g,h\in\mathbb C[x,y]</math> לא קבועות כך ש־<math>f=g\cdot h</math>). העקומה <math>C_f:=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ f(x,y)=0\}</math> תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה <math>\gamma(t)=(x(t),y(t))</math> (למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר <math>x,y</math> הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים.
* נניח ש־<math>f</math> לא פריקה ו־<math>\deg(f)=2</math>. אם ל־<math>f(x,y)=0</math> יש פתרון ב־<math>\mathbb Q^2</math> אז <math>C_f</math> רציונלית.
* '''משפט לג׳נדר:''' נרצה לדעת אם ל־<math>ax^2+by^2=c</math> יש פתרון רציונלי כאשר <math>a,b,c\in\mathbb Q</math>. ניתן להניח בה״כ ש־<math>a,b,c</math> שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם <math>-ab</math> ש״ר מודולו <math>c</math>, <math>ac</math> ש״ר מודולו <math>b</math> ו־<math>bc</math> ש״ר מודולו <math>a</math>.

==== משוואות פל ====
יהי <math>m>1</math> שאינו ריבועי. משוואת פל היא <math>x^2-my^2=1</math> כאשר <math>x,y\in\mathbb Z</math>. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי <math>x=1,\ y=0</math>.
* לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי.
* יהי <math>x_0+\sqrt m y_0</math> הפתרון החיובי המינימלי (נקרא "הפתרון הפונדמנטלי"), כלומר <math>x_0,y_0>0</math> כך ש־<math>x_0</math> הוא ה־<math>x</math> המינימלי הגדול מ־1 שקיים לו <math>y</math> הפותר את המשוואה. אזי כל הפתרונות הם <math>\pm\left(x_0+\sqrt my_0\right)^n</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math>.
:* {{הערה|הערה:}} בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה <math>\left(x_0+\sqrt my_0\right)\left(x+\sqrt my\right)=(x_0x+my_0y)+\sqrt m(y_0x+x_0y)</math>.

=== משוואות פולינומיאליות ===
יהי <math>m>1</math> ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־<math>f(x)\equiv0\pmod m</math> כאשר <math>f\in\mathbb Z[x]</math>.
* '''משוואה לינארית:''' <math>ax\equiv b</math>. קיים פתרון אם״ם <math>d:=(a,m)\mid b</math>. אם <math>x_0</math> פתרון פרטי של <math>ax\equiv b\pmod{m/d}</math> אז כל הפתרונות הם <math>x\equiv x_0+k\frac md\pmod m</math> כאשר <math>0\le k\le d-1</math>, ויש <math>d</math> פתרונות.
* מגדירים <math>N_f(m)=|\{x\in\mathbb Z_m:\ f(x)\equiv0\pmod m\}|</math>. זו פונקציה כפלית אריתמטית.
* '''שיטת הנזל:''' יהי <math>x_0</math> פתרון של <math>f(x)\equiv0\pmod{p^e}</math> כאשר <math>e\in\mathbb N^+</math> ונרצה לפתור <math>f(x)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו:
:* <math>f'(x_0)\equiv0\pmod p</math>: לכל <math>0\le k\le p-1</math> המספרים <math>x_0+kp^e</math> (מודולו <math>p^{e+1}</math>) הם הפתרונות למשוואה אם״ם <math>f(x_0)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>.
:* <math>f'(x_0)\not\equiv0\pmod p</math>: לכן <math>\left(f'(x_0)\right)^{-1}\pmod p</math> קיים ו־<math>x_0+kp^e</math> עבור <math>k:\equiv-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\frac{f(x_0)}{p^e}\pmod p</math> הוא הפתרון היחיד.
* '''משפט בסונט:''' אם <math>x_0</math> שורש של <math>f(x)\equiv0\pmod m</math> אז קיימת <math>g\in\mathbb Z_m[x]</math> כך ש־<math>f(x)=(x-x_0)g(x)</math> ו־<math>\deg(g)<\deg(f)</math>.
* '''חילוק פולינומים:''' אם <math>f,g\in\mathbb Z_m[x]</math> ו־<math>g</math> פולינום מתוקן אז קיימים <math>q,r\in\mathbb Z_m[x]</math> עבורם <math>f=g\cdot q+r</math> ו־<math>\deg(r)<\deg(g)</math>.
* '''משפט לגראנז׳:''' ל־<math>f\in\mathbb Z_p[x]</math> יש לכל היותר <math>\deg(f)</math> שורשים. בנוסף, אם <math>g\in\mathbb Z[x]</math> כך של־<math>g(x)\equiv0\pmod m</math> יש יותר מ־<math>\deg(g)</math> שורשים אז אז כל המקדמים ב־<math>g</math> מתחלקים ב־<math>p</math>.
:* {{הערה|הערה:}} המשפט לא מתקיים ל־<math>p</math> פריק.
* <math>\prod_{a=0}^{p-1}(x-a)\equiv x^p-x\pmod p</math>.
* ל־<math>f\in\mathbb Z_p[x]</math> יש <math>\deg\!\left(\gcd\!\left(f(x),x^p-x\right)\right)</math> שורשים שונים. בפרט, אם <math>\deg(f)\le p</math> אז ל־<math>f</math> יש <math>\deg(f)</math> שורשים שונים אם״ם <math>f(x)\mid x^p-x</math>.

משתמש:אור שחף

2013-08-26T22:24:14Z

אור שחף:

{| class="userCourses" cellpadding="3"
|-
! סמסטר
! שם הקורס
! מספר ההרצאה
! מרצה
! מספר התרגול
! מתרגל/ת
|-
| rowspan="2" | קיץ תש״ע
! [[בדידה לתיכוניסטים תש"ע|מתמטיקה בדידה]]
| 88-195-11
| ד״ר שי סרוסי
| 88-112-12
| גב׳ שני תורג׳מן
|-
! [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע|אלגברה לינארית 1]]
| 88-112-08
| ד״ר אלי בגנו
| 88-112-09
| גב׳ רונית כץ
|-
| rowspan="2" | א תשע״א
! [[88-113 סמסטר א' תשעא|אלגברה לינארית 2]]
| 88-113-08
| ד״ר [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]]
| 88-113-09
| מר [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]]
|-
! [[88-132 סמסטר א' תשעא|חשבון אינפיניטסימלי 1]]
| 88-132-07
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-132-08
| ד״ר אפי כהן
|-
| rowspan="2" | ב תשע״א
! [[88-133 תשעא סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]
| 88-133-07
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-113-08
| מר שי גול
|-
! [[שימושי מחשב תשע"א|שימושי מחשב במתמטיקה]], [http://u.math.biu.ac.il/~schiff/Teaching/151/]
| 88-151-06
| פרופ׳ ג׳רמי שיף
| 88-151-08
| מר גרגורי אושרוביץ
|-
| rowspan="2" | קיץ תשע״א 
! [[88-165 תשעא סמסטר קיץ|הסתברות וסטטיסטיקה כללית]]
| 88-165-05
| גב׳ רומי מגורי־כהן
| 88-165-06
| מר [[משתמש:Liord|ליאור דקל]]
|-
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא |אלגברה מופשטת 1]]
| 88-211-05
| פרופ׳ מיכאל מגרל
| 88-211-06
| מר [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]]
|-
| ספטמבר תשע״א
! [http://u.cs.biu.ac.il/~88-376/ שיטות נומריות]
| 88-376-05
| גב׳ אלכסנדרה אגרונוביץ׳
| 88-376-07
| גב׳ הילה בכר
|-
| rowspan="3" | א תשע״ב
! [http://u.cs.biu.ac.il/~89-110/ מבוא לחישוב]
| 88-170-01
| גב׳ נטלי פרידמן גב׳ מור ורד
| 88-170-03
| מר ערן שחם
|-
! [http://u.cs.biu.ac.il/~katzmik/88-526.html גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]
| 88-201-05
| פרופ׳ מיכאל כץ
| 88-201-07
| גב׳ אנה זרך
|-
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעב|חשבון אינפיניטסימלי 3]]
| 88-230-05
| פרופ׳ אנדרי לרנר
| 88-230-08
| גב׳ אורפז תורג׳מן
|-
| rowspan="3" | ב תשע״ב
! [[88-222 טופולוגיה/סמסטר ב תשעב/מגרל|טופולוגיה]]
| 88-222-05
| פרופ׳ מיכאל מגרל
| 88-222-07
| מר סולומון וישקאוצן
|-
! [[88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב|פונקציות מרוכבות 1]]
| 88-231-05
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-231-08
| מר שי גול
|-
! [[88-236 אינפי 4 תשעב סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 4]]
| 88-236-05
| פרופ׳ מרק אגרנובסקי
| 88-236-07
| גב׳ אנה זרך
|-
| rowspan="2" | קיץ תשע״ב
! [[מדר קיץ תשעב|מד״ר]]
| 88-240-04
| פרופ׳ ראובן כהן
| 88-240-05
| מר [[משתמש:Michael|מיכאל טויטו]]
|-
! [http://u.math.biu.ac.il/~michelm2/FAindex.html אנליזת פורייה ויישומים]
| 88-235-02
| ד״ר מיכאל מיכאלי
| colspan="2" | ''אין''
|-
| rowspan="6" | א תשע״ג
! [[88-341 תשעג סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]
| 88-341-01
| ד״ר שמחה הורוביץ
| 88-341-03
| מר [[משתמש:Michael|מיכאל טויטו]]
|-
! [http://u.math.biu.ac.il/~lendesg/Teaching/88-241/ מד״ח]
| 88-241-01
| ד״ר שלמה ינץ
| 88-241-02
| מר גיא לנדסמן
|-
! [[88-315 סמסטר א תשעג|התמרות אינטגרליות]]
| 88-315-01
| ד״ר ליאוניד שוסטר
| colspan="2" | ''אין''
|-
! תורת הגרפים
| 88-555-01
| פרופ׳ יובל רויכמן
| colspan="2" | ''אין''
|-
! מבוא לקומבינטוריקה
| 88-554-01
| פרופ׳ יובל רויכמן
| colspan="2" | ''אין''
|-
! תורת המספרים
| 88-576-01
| פרופ׳ אנדריי רזניקוב
| colspan="2" | ''אין''
|-
| style="background-color:#CCC;" rowspan="6" | ב תשע״ג (נוכחי)
|-
! [[88-320 פיזיקה למתמטיקאים תשעג סמסטר ב|פיזיקה למתמטיקאים]]
| 88-320-01
| פרופ׳ ראובן כהן
| 88-320-02
| מר ניר שרייבר
|-
! שימושי המתמטיקה ביום־יום
| 88-609-01
| ד״ר חיים שפירא
| colspan="2" | ''אין''
|-
! [[88-369 תשעג סמסטר ב|חקר ביצועים]]
| 88-369-01
| גב׳ אלכסנדרה אגרנוביץ׳
| 88-369-02
| מר עידן אלתר
|-
! [https://sites.google.com/site/biuoop13/home מבוא לתכנות מונחה עצמים]
| 88-174-01
| גב׳ תמר שרוט
| 88-174-02
| מר נתנאל גילרנטר
|-
! מבוא לתורת הקידוד
| 88-578-01
| פרופ׳ בוריס קוניאבסקי
| colspan="2" | ''אין''
|}
סטודנט לתואר ראשון (שנה שלישית) במתמטיקה.

== סיכומי ותקצירי הרצאות ==
הרגישו חופשיים להסתכל על הסיכומים, לערוך אותם, לתקן שגיאות (מכל סוג) וכו׳.
* [[אינפי 2 סיכומי הרצאות ותרגילים על ידי אור שחף|חשבון אינפיניטסימלי 2, סמסטר ב תשע״א]]
* [[מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר|תקציר מד״ר, סמסטר קיץ תשע״ב]]
* [[אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר|תקציר אנליזת פורייה ויישומים, סמסטר קיץ תשע״ב]]
* [[מדיה:תקציר אנליזה מודרנית 1.pdf|תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג]] – נכתב ע״י גיל סלס.
* [[תקציר תורת הגרפים, סמסטר א תשע״ג]]
* [[תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג]]
* [[תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג]]
* [[מדיה:IT-formula.pdf|נוסחאון בהתמרות אינטגרליות]] – נכתב ע״י רון גרשינסקי.
* [[תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג]] – מבוסס על [http://u.math.biu.ac.il/~reuven/physics.pdf סיכום של הקורס מסמסטר א תשע״ג].

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11

2013-08-12T14:32:51Z

אור שחף: /* דוגמאות */

{{המשך הגיע|תיאור=משפט 3|תאריך=24.5.11}}

=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}=
==משפט 4==
נניח שלטור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> יש רדיוס התכנסות <math>R>0</math>, אזי:
# f גזירה אינסוף פעמים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math>. רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R.
# לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>, <math>a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב <math>x_0</math>.
===הוכחה===
# באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
# הוכחנו בסעיף 1 ש-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math>. נציב <math>x=x_0</math> ונקבל <math>f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k</math>, כלומר <math>a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}</math>. {{משל}}
===מסקנה {{הערה|(משפט היחידות לטורי חזקות)}}===
נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in(a,b)\ne\varnothing</math>, אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.
====הוכחה====
נגדיר פונקציה גבולית <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math>.
עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=b_n</math>. {{משל}}
====הערה====
חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n</math> אבל <math>a_n\ne b_n</math> עבור n כלשהו.
==דוגמאות==
# נמצא את טור מקלורין <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math> של הפונקציה <math>f(x)=\frac1{1-x}</math>: ידוע לנו ש-<math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math> עבור <math>|x|<1</math>. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. {{משל}}
# נמצא טור טיילור של <math>f(x)=\frac1{1-x}</math> סביב <math>x_0=\frac12</math>, ז"א <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n</math>. ''דרך 1:'' {{left|<math>\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}</math>}}נציב <math>x=\frac12</math> לקבל <math>f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}</math> ולכן הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math>. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0. ''דרך 2:'' <math>\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n</math>. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר <math>\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1</math>, כלומר כש-<math>\left|x-\frac12\right|<\frac12</math>. {{משל}} ''נסכם:'' <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math> בקטע <math>(0,1)</math> ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
# נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f. ''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו. ''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: <math>\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}</math> עבור <math>\left|-x^2\right|<1</math>, ז"א <math>|x|<1</math>. עתה נעשה אינטגרציה: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt</math> לכל <math>|x|<1</math>, ולכן <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של <math>\arctan</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. {{משל}} אם מותר להציב <math>x=1</math> אז נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots</math>, אבל מכיוון שלא מתקיים <math>|1|<1</math> צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-<math>\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)</math>.
# מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>. ''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב). ''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
# {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 המקדם <math>a_{19}</math> של <math>x^{19}</math> מקיים <math>a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}</math> ולכן <math>f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}</math>. {{משל}}

==מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)==
'''הגדרה:''' מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.
===דוגמאות===
# <math>f'(x)=\sin(x)</math> היא מד"ר, שפתרונה הוא <math>f(x)=-\cos(x)+c</math> עבור קבוע c כלשהו.
# גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a.
# <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים.
# {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. {{המשך סיכום|תאריך=31.5.11}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11

2013-08-12T14:17:33Z

אור שחף: /* הקדמה - הגדרות */

{{כותרת נושא|אינטגרציה|נושא ראשון}}
'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===
[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]
נתון הגרף של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>.
נחלק את הקטע:
{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}
כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום" {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}}

כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל
<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}

----

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.

''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.

==משפט 0==
אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>

===הוכחה===
נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

----

'''הגדרה אינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף.

==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}==
תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.
# אם F קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>.

===הוכחה===
[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]]
# יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק ו-<math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק. לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(x)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\Delta x\to0</math>) <math>f(x)=</math>. {{משל}}
# נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> ולכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}

=האינטגרל לפי דרבו=
==הקדמה - הגדרות==
[[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]]
תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega:=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.

לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר:
* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>
* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>

==משפט 1==
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.

===הוכחה===
{|
{{=|l=m(b-a)
|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k
|c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>b-a=</math>, לכן:
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)
|o=\le
|c=לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>.
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)
|o=\le
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n M\Delta x_k
|o=\le
}}
{{=|r=M(b-a)
}}
|}
{{משל}}

נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.

==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==
תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.

===דוגמה===
בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.

לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

----

'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

==משפט 2==
תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>, תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי
{{left|
<math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>

<math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>
}}
(נזכיר ש-<math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ו-<math>\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x)</math>)

כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.

===הוכחה===
מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>

לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}

{{המשך סיכום|תאריך=22.2.11}}

כמו כן,
{{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}</math>}}

מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר <math>\Omega\lambda(P)</math> בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\Omega\lambda(P)</math>.

ההוכחה לסכום תחתון דומה. {{משל}}

===מסקנה 1===
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של <math>[a,b]</math>. אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
====הוכחה====
נבנה עידון משותף, ז"א <math>R=P\cup Q</math>. לפי משפט 2 מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline S(f,R)\le \overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math>. {{משל}}

===מסקנה 2===
עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
====הוכחה====
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-08-06T15:23:30Z

אור שחף:

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, והשלישי שבהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

__תוכן__
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n</math> ואז, אם ל־<math>\mathbf A</math> יש <math>n</math> שורות אז היא הפיכה. אם לא אז ניתן למחוק כמה שורות של <math>\mathbf A</math> (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך שהיא תהיה הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 4 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-08-03T19:44:54Z

אור שחף: /* המספר המינימלי של שאלות */

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, והשלישי שבהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

__תוכן__
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n</math> ואז, אם ל־<math>\mathbf A</math> יש <math>n</math> שורות אז היא הפיכה. אם לא אז ניתן למחוק כמה שורות של <math>\mathbf A</math> (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך שהיא תהיה הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-31T10:48:54Z

אור שחף:

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, והשלישי שבהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

__תוכן__
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n</math> ואז, אם ל־<math>\mathbf A</math> יש <math>n</math> שורות אז היא הפיכה. אם לא אז ניתן למחוק כמה שורות של <math>\mathbf A</math> (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך שהיא תהיה הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-31T10:43:10Z

אור שחף:

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ואחד מהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

__תוכן__
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n</math> ואז, אם ל־<math>\mathbf A</math> יש <math>n</math> שורות אז היא הפיכה. אם לא אז ניתן למחוק כמה שורות של <math>\mathbf A</math> (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך שהיא תהיה הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות (הוכחה ש־<math>k</math> הוא המספר המינימלי הדרוש של שאלות – בהמשך). שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-30T22:29:22Z

אור שחף:

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. ידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ואחד מהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

__תוכן__
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-30T22:28:02Z

אור שחף: /* חידות ללא מרגלים */

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ואחד מהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

__תוכן__
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-30T22:26:48Z

אור שחף:

ב[https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves חידות אבירים ונוכלים (Knights and Knaves)] מדברים על אי מסוים בו כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי, אך לא נעסוק בהם. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים, ואחד מהם טוען שלפחות אחד משני התושבים האחרים הוא אביר. אילו 2 שאלות כן/לא יכול האורח לשאול את התושבים על מנת להסיק את הסוגים שלהם?

ניצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה כפי שעושים באלגברה בוליאנית. נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\overbrace1^{B\text{ is a knave}}+\overbrace2^{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן לא ניתן לחשב את מספר הפתרונות באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, האם 3=3?" בתור <math>X_1\leftrightarrow1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם, ואז ניתן לחשוב על <math>\mathbf q</math> כעל פונקציה <math>\mathbf x\mapsto\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 2.1:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math>, לדוגמה, מאפשר לפתור את החידה כי תמיד מתקיים <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

בחידות מסוג זה נתונות עובדות, ונסמן כ־<math>S</math> את קבוצת הפתרונות <math>\mathbf x</math> המקיימים אותן. בד״כ המטרה היא למצוא <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>, כלומר למצוא שאלות שעבורן לכל וקטור תשובות <math>\mathbf r=\mathbf q(\mathbf x)</math> ניתן יהיה להסיק את וקטור הסוגים של התושבים, <math>\mathbf x=\mathbf q^{-1}(\mathbf r)</math>.

יהי <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> המספר המינימלי כך ש־<math>|S|\le2^k</math>. נוכיח ש־<math>k\le m</math>: החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math>. <math>\mathbf q</math> היא פונקציה על קבוצת וקטורי התשובות ולפיכך יש <math>|S|</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>. מאידך, <math>\mathbf q</math> מורכבת מ־<math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r</math>, דהיינו <math>2^{k-1}<|S|\le2^m</math>. נקבל <math>k-1<m</math> ולבסוף <math>k\le m</math> כי <math>k,m\in\mathbb Z</math>. {{משל}}

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה <math>S=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b\}</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה מהן (וגם את השורות המתאימות ב־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ו־<math>S</math> לא תשתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל.

:'''דוגמה 4.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

נשים לב שלפי משפט רושה–קפלי <math>|S|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ולכן <math>\operatorname{rank}(\mathbf A)=n-k</math>. השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן יש לה <math>n-k</math> שורות.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. לשם כך צריך להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(n-k+k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

:'''דוגמה 4.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>k=n-\operatorname{rank}(\mathbf A)=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== המספר המינימלי של שאלות ====
נניח ש־<math>m</math> הוא המספר המינימלי של שאלות הדרוש לפתרון חידת שאלות נתונה ונרצה להוכיח ש־<math>m=k=\lceil\log_2(|S|)\rceil</math>: תהי <math>V=\{\mathbf x:\ \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\}</math> כך ש־<math>\mathbf A\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> מטריצה כרצוננו ששורותיה בת״ל. לכן <math>|V|=2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^k</math> ובפרט קיימת פונקציה <math>f:S\to V</math> חח״ע. תהי <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{k\times n}</math> מטריצה כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> הפיכה ואז <math>\mathbf q':\mathbf v\mapsto\mathbf Q\mathbf v</math> חח״ע מ־<math>V</math>. נגדיר <math>\mathbf q=f^{-1}\circ\mathbf q'\circ f</math> ולכן <math>\mathbf q</math> חח״ע מ־<math>S</math> והיא מורכבת מ־<math>k</math> שאלות, כלומר <math>k\ge m</math>. בעבר הוכחנו ש־<math>k\le m</math> ולכן <math>m=k</math>. {{משל}}

תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג

2013-07-29T18:47:47Z

אור שחף:

בתקציר זה, אלא אם צוין אחרת, כל המשתנים והנעלמים שלמים ואי־שליליים למעט <math>x,\alpha</math>. <math>p</math> ראשוני ו־<math>q</math> אינו שלם או אי־שלילי רק במקרים בהם הוא מוצג כמשתנה בפולינום. <math>\mathbb F</math> שדה.

* נסמן <math>[n]:=\{1,2,\dots,n\}=[1,n]\cap\mathbb N</math>. <math>S_n</math> היא קבוצת כל התמורות על <math>[n]</math>.
* '''חלוקת קבוצות''' של <math>A</math> ל־<math>n</math> היא בחירה של תתי־קבוצות <math>A_1,\dots,A_n\subseteq A</math> זרות עבורן <math>\biguplus_{k=1}^n A_k=A</math>.
* '''סדרת פיבונצ׳י''' תסומן <math>(F_n)_{n=0}^\infty</math> והיא מקיימת <math>F_n=\frac{5-\sqrt5}{10}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n+\frac2{5-\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n</math>.
* '''ריצוף דומינו''' של <math>A\subseteq\mathbb Z^2</math> הוא כיסוי של <math>A</math> על ידי קטעים זרים מאורך 1 שקצותיהם נקודות ב־<math>A</math>.
:* ללוח בגודל <math>m\times n</math> קיים ריצוף דומינו אם״ם <math>mn</math> זוגי.
:* ללוח בגודל <math>2\times n</math> קיימים <math>F_n</math> ריצופי דומינו.
* '''עקרון שובך יונים:''' בחלוקה של קבוצה סופית <math>A</math> ל־<math>n</math> יש לפחות תת־קבוצה אחת שמספר איבריה הוא לכל הפחות <math>|A|/n</math>.
* {{הערה|סימונים:}} <math>(\alpha)_k:=\prod_{i=0}^{k-1}(\alpha-i)</math> ו־<math>(n)_k=\begin{cases}\frac{n!}{(n-k)!},&k\le n\\0,&\text{else}\end{cases}</math>. בנוסף, <math>\binom nk:=\begin{cases}\frac{n!}{k!(n-k)!},&0\le k\le n\\0,&\text{else}\end{cases}</math> ו־<math>\binom\alpha k:=\frac{(\alpha)_k}{k!}</math>.
* '''חליפה:''' נניח <math>0\le k\le n</math>. חליפה של <math>k</math> איברים מתוך <math>n</math> היא <math>k</math>־יה סדורה של איברים שונים מקבוצה בת <math>n</math> איברים (כלומר, חליפה היא בחירה ללא חזרות ועם חשיבות לסדר). מספר החליפות הוא <math>P(n,k):=(n)_k</math>.
:* '''תמורה''' היא חליפה של <math>n</math> מתוך <math>n</math>, ומספר התמורות הוא <math>P(n):=(n)_n=n!</math>.
:* '''חליפה עם חזרות''' היא <math>k</math>־יה סדורה של <math>k</math> איברים (לא דווקא שונים) מתוך <math>n</math>. יש <math>n^k</math> חליפות עם חזרות.
* '''צירוף:''' נניח <math>0\le k\le n</math>. צירוף של <math>k</math> איברים מתוך <math>n</math> הוא תת־קבוצה של קבוצה בת <math>n</math> איברים (כלומר, צירוף הוא בחירה ללא חזרות ובלי חשיבות לסדר). מספר הצירופים הוא <math>C(n,k):=\binom nk</math>.
:* '''צירוף עם חזרות:''' הוא רב־קבוצה מסדר <math>k</math> של איברים מתוך קבוצה בת <math>n</math> איברים. יש <math>D(n,k):=\left(\!\!\!\binom nk\!\!\!\right):=\binom{n-1+k}k</math> צירופים עם חזרות.
::* מספר הצירופים עם חזרות של <math>k</math> מתוך <math>n</math> שווה למספר הדרכים לבחור <math>k</math> עצמים מתוך <math>n</math> סוגים, ששווה למספר הפתרונות השלמים ואי־שליליים ל־<math>\sum_{i=1}^n x_i=k</math>.
* '''הווקטור האופייני''' של קבוצה <math>A\subseteq [n]</math> מוגדר ע״י <math>\mathbf v_A:=(I_A(i))_{i=1}^n=\left(\begin{cases}1,&i\in A\\0,&i\not\in A\end{cases}\right)_{i=1}^n</math>.
* '''סדרה אונימוצלית''' היא סדרה <math>(a_i)_{i=1}^n</math> כך שקיים <math>k</math> עבורו <math>(a_i)_{i=1}^k</math> עולה במובן הרחב ו־<math>(a_i)_{i=k}^n</math> יורדת במובן הרחב.
:* <math>\Big(\tbinom ni\Big)_{i=0}^n</math> היא סדרה אונימוצלית כאשר אם <math>n</math> זוגי אז <math>k=n/2</math> ואחרת <math>k=\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil</math> (כי <math>\binom n{\lfloor n/2\rfloor}=\binom n{\lceil n/2\rceil}</math>).
* '''הפרת סדר''' בתמורה <math>\pi</math> היא זוג <math>i<j</math> כך ש־<math>\pi(j)<\pi(i)</math>. מספר הפרות הסדר מסומן <math>\mbox{inv}(\pi)</math> וסימן התמורה מוגדר כ־<math>\sgn(\pi):=(-1)^{\mbox{inv}(\pi)}</math>. התמרה <math>\pi</math> תקרא זוגית אם <math>\sgn(\pi)=1</math> ואי־זוגית אחרת. יש <math>n!/2</math> התמרות מכל סוג שסדרן <math>n</math>.
* '''מורד:''' עבור <math>\pi\in S_n</math> נקרא ל־<math>i</math> מורָד (descent) אם <math>\pi(i)>\pi(i+1)</math>. קבוצת המורדות תסומן <math>\mbox{Des}(\pi)</math>.
:* <math>\left|\Big\{\pi\in S_n:\ \mbox{Des}(\pi)\subseteq\{k\}\Big\}\right|=\binom nk</math>.
* '''אי־סדר מלא''' הוא תמורה <math>\pi\in S_n</math> כך ש־<math>\forall i:\ \pi(i)\ne i</math>. קבוצת האי־סדרים המלאים ב־<math>S_n</math> מסומנת <math>D_n</math> ומקיימת <math>|D_n|=n!\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}</math>.
* אם <math>0<k<p</math> אז <math>p\mid\binom pk</math>.
* יהי פולינום <math>f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k</math>. נסמן <math>(f\mod m)(x):=\sum_{k=0}^n(a_k\mod m)x^k</math>.
* <math>(1+x)^p\mod p=1+x^p</math>.
* '''משפט פרמה הקטן:''' <math>n^p\equiv n\pmod p</math>.
* '''פיתוח של מספר לפי ראשוני:''' נניח <math>p^d\le n</math> ו־<math>n<p^{d+1}</math>. אזי קיימים <math>a_0,\dots,a_d</math> שלמים כך ש־<math>\forall i:\ 0\le a_i<p</math> ו־<math>n=\sum_{i=0}^d a_ip^i</math>. סכום זה נקרא "הפיתוח של <math>n</math> לפי <math>p</math>".
* אם <math>n=2^d-1</math> אז <math>\forall 0\le k\le n:\ 2\nmid\binom nk</math>. לפיכך, <math>n=\sum_{i=0}^{d-1}2^i</math>.
* '''משפט לוקאס:''' נניח ש־<math>n=\sum_{i=0}^d a_i p^i</math> ו־<math>k=\sum_{i=0}^d b_i p^i</math> פיתוחים לפי <math>p</math>. אזי <math>\binom nk\equiv\prod_{i=0}^d\binom{a_i}{b_i}\pmod p</math>.
* <math>p\mid\binom nk</math> אם״ם בפיתוחים <math>n=\sum_{i=0}^d a_i p^i\ \and\ k=\sum_{i=0}^d b_i p^i</math> יש <math>i_0</math> עבורו <math>a_{i_0}<b_{i_0}</math>.
* '''פירוק/קומפוזיציה''' של <math>n</math> הוא הצגה של <math>n</math> כסכום של טבעיים.
:* יש <math>2^{n-1}</math> פירוקים של <math>n</math> (כאשר יש חשיבות לסדר (<math>2+1</math> שונה מ־<math>1+2</math>) וחזרות מותרות (<math>1+1+1</math> ייספר כפירוק של 3)).
* '''מקדם מולטינומי:''' מספר המילים מאורך <math>n</math> שבהן המספר <math>i</math> מופיע <math>n_i</math> פעמים (<math>\sum_i n_i=n</math>) הוא <math>\binom n{n_1,n_2,\dots}=n!\left/\prod_i n_i!\right.</math>.
* {{הערה|סימונים:}} <math>[n]_q:=\sum_{i=0}^{n-1}q^i</math>. כמו כן, <math>[n]_q!:=\prod_{i=1}^n [i]_q,\ [0]_q!=1</math> ו־<math>\forall 0\le k\le n:\ \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q:=\frac{[n]_q!}{[k]_q![n-k]_q!}</math>. ניתן להראות ש־<math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math> שלם.
:* <math>[n]_1=n</math> ו־<math>\forall q\ne 1:\ [n]_q=\frac{q^n-1}{q-1}</math>.
:* אם <math>q</math> זוגי אז <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math> אי־זוגי.
:* מספר התתי־מרחבים ממימד <math>k</math> של מרחב וקטורי <math>\mathbb F^n</math> (כאשר ל־<math>\mathbb F</math> יש <math>q</math> איברים) הוא <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math>.
* אם <math>0\le k\le n</math> אז <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q\in\mathbb N_0[q]</math>, כלומר זה פולינום במשתנה <math>q</math> שמקדמיו שלמים ואי־שליליים. למעשה, הוא גם מתוקן, דרגתו <math>k(n-k)</math> והוא סימטרי (כלומר המקדם של <math>q^i</math> שווה למקדם של <math>q^{k(n-k)-i}</math> לכל <math>0\le i\le k(n-k)</math>).
* '''הילוך שריג''' הוא סדרת צעדים בין נקודות ב־<math>\mathbb Z^2</math> שכל אחד מהם הוא הוספת 1 לאחת מהקואורדינטות של הנקודה בה נמצאים.
:* יש <math>\binom{m+n}n</math> הילוכי שריג מ־<math>(0,0)</math> ל־<math>(m,n)</math>.
:* נסמן <math>C_t(m,n)</math> כמספר הילוכי השריג מ־<math>(0,0)</math> ל־<math>(m,n)</math> שהשטח המוגבל על־ידם, ציר ה־x והישר <math>x=m</math> הוא <math>t</math>. בנוסף, נגדיר <math>P_{m,n}(q)=\sum_{t=0}^{mn} C_t(m,n)q^t</math>. אזי <math>P_{m,n}(q)=\begin{bmatrix}m+n\\n\end{bmatrix}_q</math>.
* נסמן <math>I_n(q):=\sum_{\pi\in S_n}q^{\mbox{inv}(\pi)}</math>. אזי <math>I_n(q)=[n]_q!</math>.
* יהי <math>\mathbf v=(v_i)_{i=1}^n\in\mathbb Z_2^n</math> וקטור שרכיביו אפסים ואחדות. אם <math>i<j</math> ו־<math>v_i>v_j</math> נכנה זאת הפרת סדר. אם נסמן <math>I_{n,k}(q)=\sum_{\mathbf v\in\mathbb Z_2^n\ \and\ |\{i:\ v_i=1\}|=k}q^{\mbox{inv}(\mathbf v)}</math> אז <math>I_{n,k}(q)=\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q</math>.
* '''חלוקה''' של <math>n</math> היא וקטור <math>\boldsymbol\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)</math> שסכום רכיביו הוא <math>n</math> (כלומר <math>\sum_{i=1}^k\lambda_i=n</math>) והם מסודרים בסדר יורד במובן הרחב. מספר החלוקות מסומן <math>p(n)</math>.
:* מספר החלוקות של <math>n</math> עם לכל היותר <math>k</math> רכיבים הוא המקדם של <math>q^n</math> בפולינום <math>\begin{bmatrix}n+k\\k\end{bmatrix}_q</math>, כלומר <math>C_n(n,k)</math>.
* '''דיאגרמת יאנג''' של חלוקה <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_k)</math> היא דיאגרמת משבצות כך שבשורה ה־<math>i</math> יש <math>\lambda_i</math> משבצות המיושרות לשמאל.
* '''טבלת יאנג''' היא התאמה חח״ע ממשבצות של דיאגרמת יאנג נתונה (שנוצרת מחלוקה של <math>n</math>) על <math>[n]</math> כך שהמספרים עולים לאורך השורות העמודות.
:* <math>f(\boldsymbol\lambda)</math> היא מספר טבלאות יאנג שקיימות לדיאגרמת יאנג הנוצרת מהחלוקה <math>\boldsymbol\lambda</math>.
::* <math>f(n-k,\underbrace{1,1,\dots,1}_k)=\binom{n-1}k\ \and\ f(n,n)=C_n\ \and\ f(n-k,k)=\frac{n-2k+1}n\binom nk</math>.
::* '''נוסחת הווים:''' תהי <math>\boldsymbol\lambda</math> ונרצה לחשב את <math>f(\boldsymbol\lambda)</math>. לכל משבצת בדיאגרמת יאנג נתאים "אורך וו" (hook length) כמספר המשבצות באותה שורה או עמודה שאחרי המשבצת הנתונה ועוד 1. נסמן <math>\Pi</math> כמכפלת אורכי הווים של כל המשבצות. אזי <math>f(\boldsymbol\lambda)=\frac{n!}\Pi</math>.
* '''הילוכי דיק''' הם הילוכי שריג מ־<math>(0,0)</math> ל־<math>(n,n)</math> שנמצאים על ומעל הישר <math>x=y</math>.
* '''מספר קטלן''' הוא מספר הילוכי דיק ל־<math>(n,n)</math>, מסומן <math>C_n</math> ושווה ל־<math>\frac1{n+1}\binom{2n}n</math>.
:* נניח ש־<math>0<a<b</math>. יש <math>\frac{b-a}{b+a}\binom{a+b}a</math> הילוכי דיק ל־<math>(a,b)</math> שאינם עוברים על הישר <math>x=y</math> למעט בנקודה <math>(0,0)</math>.
:* '''מילת דיק''' מאורך <math>2n</math> היא סדרה <math>(a_i)_{i=1}^{2n}</math> כך ש־<math>\forall i:\ a_i\in\{\pm1\}</math>, <math>\forall k:\ \sum_{i=1}^k a_i\ge0</math> ו־<math>\sum_{i=1}^{2n}a_i=0</math>. יש <math>C_n</math> מילות דיק מאורך <math>2n</math>.
:* '''עץ בינארי שלם/מלא''' הוא עץ כך שלכל אב יש בדיוק 2 בנים, כלומר לכל קודקוד שאינו עלה יש דרגה 3 למעט קודקוד אחד, שנקרא שורש. אם מבדילים בין הבן הימני לבן השמאלי אז יש <math>C_n</math> עצים בינארים מלאים עם <math>n+1</math> עלים.
:* בהינתן מכפלה לא אסוציאטיבית <math>x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_{n+1}</math> יש <math>C_n</math> דרכים להוסיף סוגריים.
:* '''שילוש של מצולע משוכלל''' בעל <math>n</math> קודקודים הוא מבנה גיאומטרי הנוצר מהמצולע כשמעבירים בו <math>n-3</math> אלכסונים שאינם חותכים זה את זה פרט לבקודקודי המצולע. יש <math>C_n</math> דרכים לשלש מצולע משוכלל בעל <math>n+2</math> צלעות.
* '''מספר בל''' הוא מספר חלוקות הקבוצה <math>[n]</math> ומסומן <math>B_n</math>.
* '''מספר סטירלינג הלא מסומן מסוג I''' הוא מספר התמורות על <math>[n]</math> עם <math>k</math> מחזורים ומסומן <math>C(n,k)</math>.
:* <math>n!=\sum_{k=1}^n C(n,k)</math>.
:* <math>C(n,n)=1\ \and\ C(n,1)=(n-1)!</math>.
* '''מספר סטירלינג מסוג I''' הוא <math>s(n,k):=(-1)^{n-k}C(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>s_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>s(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n s(n,k)x^k=(x)_n</math>.
* '''מספר סטירלינג מסוג II''' הוא מספר חלוקות הקבוצה <math>[n]</math> ל־<math>k</math> תתי־קבוצות לא ריקות ומסומן <math>S(n,k)</math>.
:* <math>B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k)</math>.
:* יהי <math>N\in\mathbb N</math>. נסמן <math>S_N\in\mathbb R^{N\times N}</math> בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־<math>n</math> ובעמודה ה־<math>k</math> שלה הוא <math>S(n,k)</math>.
:* <math>\sum_{k=1}^n S(n,k)(x)_k=x^n</math>.
* <math>S_N=s_N^{-1}</math>.

=== פונקציות יוצרות ===
* טור חזקות פורמלי במשתנה <math>x</math> מכל <math>\mathbb F</math> (בד״כ <math>\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C</math>) הוא ביטוי מהצורה <math>\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> כאשר <math>\forall i:\ a_i\in\mathbb F</math>. הטור לא חייב להתכנס. אוסף טורי החזקות הפורמליים ב־<math>x</math> מעל <math>\mathbb F</math> מסומן <math>\mathbb F[[x]]</math>.
:* אם <math>\exists n_0:\ \forall i>n_0:\ a_i=0</math> אז הטור הוא פולינום. אוסף הפולינומים ב־<math>x</math> מעל <math>\mathbb F</math> מסומן <math>\mathbb F[x]</math>.
* '''נוסחת טיילור:''' אם <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> אז <math>a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i</math>.
* '''פונקציה יוצרת:''' לכל סדרה <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> נתאים פונקציה <math>\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math>.
* '''פונקציה יוצרת מעריכית:''' לכל סדרה <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> נתאים פונקציה <math>\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i!}x^i</math>. פונקציות אלה שימושיות לספירת עצמים עבורם הסדר משנה.
* נרצה לחשב את <math>c_n:=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}</math>. נגדיר <math>f_1(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> ו־<math>f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i</math> ולכן <math>f_1(x)f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i</math>.
* נרצה למצוא את מספר הפתרונות של <math>\sum_{i=1}^n t_i=k</math> כאשר <math>\forall i:\ t_i\in A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i} x^t</math> ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של <math>x^k</math> ב־<math>\prod_{i=1}^n f_i(x)</math>.
* נרצה למצוא כמה חליפות עם חזרות קיימות של <math>k</math> מתוך <math>n</math> כאשר כל <math>i</math> חייב להופיע מספר פעמים השייך לקבוצה <math>A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל <math>i</math> פונקציה <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i}\frac{x^t}{t!}</math> ולכן הכמות הדרושה היא המקדם של <math>\frac{x^k}{k!}</math> ב־<math>\prod_{i=1}^n f_i(x)</math>.
* אם <math>X:A\to\{0,1,\dots,n\}</math> משתנה מקרי כש־<math>|A|<\infty</math> ו־<math>f(x)=\sum_{k=0}^n |X^{-1}[\{k\}]|x^k</math> אז <math>f(1)=|A|</math>, התוחלת היא <math>\mbox{E}(X)=\frac{f'(1)}{f(1)}</math> והשונות היא <math>\mbox{V}(X)=\frac{f''(1)}{f(1)}+\mbox{E}(X)-\mbox{E}^2(X)</math>.

=== נוסחאות נסיגה ===
* '''נוסחת נסיגה''' מסדר <math>k</math> היא נוסחה מהצורה <math>\forall n\ge k:\ a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-k})</math>.
:* איברי סדרה המקיימת נוסחת נסיגה כזו נקבעים ע״י <math>k</math> האיברים הראשונים, והם נקראים תנאי ההתחלה.
:* '''נוסחת נסיגה לינארית''' מסדר <math>k</math> היא נוסחה מהצורה <math>\forall n\ge k:\ a_n=f(n)+\sum_{i=1}^k c_i(n)a_{n-i}</math>. אם <math>c_i</math> פונקציות קבועות אז נאמר שהנוסחה עם מקדמים קבועים. אם <math>f(n)\equiv0</math> אז נאמר שהיא הומוגנית.
::* קבוצת הסדרות הפותרות נוסחת נסיגה לינארית הומוגנית מסדר <math>k</math> היא מרחב וקטורי ממימד <math>k</math>.
* נרצה לחשב את אברי <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> בהינתן תנאי ההתחלה <math>(a_i)_{i=0}^{k-1}</math> ונוסחת נסיגה <math>\forall i\ge k:\ a_i=f(a_{i-1},\dots,a_{i-k})</math>. נעזר בפונקציה היוצרת <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math> ואם קיימת פונקציה <math>F</math> עבורה {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i+\sum_{i=k}^\infty f(a_{i-1},\dots,a_{i-k})x^i\\&=\sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i+F\!\left(x,\sum_{i=k}^\infty a_{i-1}x^{i-1},\dots,\sum_{i=k}^\infty a_{i-k}x^{i-k}\right)\\&=\sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i+F\!\left(x,f(x)-\sum_{i=0}^{k-2} a_ix^i,\dots,f(x)\right)\end{align}</math>}}אז נבודד את <math>f(x)</math> ונקבל נוסחה מפורשת למקדמים <math>a_i</math> של <math>x^i</math>.
* תהי נוסחת נסיגה לינארית הומוגנית <math>a_n=\sum_{i=1}^k c_i a_{n-i}</math> מסדר <math>k</math>. נניח שיש <math>\alpha\in\mathbb C</math> עבורו <math>\forall n:\ a_n=\alpha^n</math> (לא תמיד זה נכון). אזי <math>\alpha=0</math> פתרון. <math>x^k-\sum_{i=1}^k c_i x^{k-i}</math> נקרא "הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה" ואם <math>\alpha\ne0</math> אז הוא שווה ל־0 בנקודה <math>\alpha</math>. יש לו <math>k</math> שורשים אם כל שורשיו מריבוי 1 ואם נניח שהם <math>\alpha_1,\dots,\alpha_k</math> אז <math>\forall n,i:\ a_n=\alpha_i^n</math>. המרחב הווקטורי של הפתרונות הוא אם כן <math>\left\{\left(\sum_{i=1}^k r_i\alpha_i^n\right)_{n=0}^\infty:\ \forall i:\ r_i\in\mathbb C\right\}</math>. אם נתונים תנאי ההתחלה ניתן גם לחשב את ה־<math>r_i</math>־ים.

=== נוסחאות ===
* '''נוסחת הנסיגה של פסקל:''' <math>\binom nk=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}</math>
* <math>\binom nk=\sum_{i=k}^n\binom{i-1}{k-1}</math>
* '''זהות הקפטן:''' <math>k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}</math>
* '''הבינום של ניוטון:''' <math>(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^n\binom\alpha k x^k</math>
* <math>\forall 0\le m\le k\le n:\ \binom nk\binom km=\binom nm\binom{n-m}{k-m}</math>
* <math>\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n</math>
* <math>\sum_{2\mid k}\binom nk=\sum_{2\nmid k}\binom nk=2^{n-1}</math>
* <math>\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k\binom nk=2^{n-1}n</math>
* <math>\forall 8\mid n:\ \sum_{4\mid k}\binom nk=2^{n-2}+2^{n/2-1}</math>
* <math>\sum_{\sum_{i=1}^k n_i=n}\binom n{n_1,\dots,n_k}=k^n</math>
* <math>\binom n{n_1,\dots,n_k}=\prod_{i=1}^k\binom {n-\sum_{j=1}^{i-1} n_j}{n_i}</math>
* '''נוסחת המולטינום:''' <math>\left(\sum_{i=1}^k x_i\right)^n=\sum_{\sum_{i=1}^k n_i=n}\binom n{n_1,\dots,n_k}\prod_{i=1}^k x_i^{n_i}</math>
* <math>\binom n{n_1,\dots,n_k}=\sum_{i=1}^k\binom{n-1}{n_1,\dots,n_{i-1},n_i-1,n_{i+1},\dots,n_k}</math>
* <math>\forall q>1:\ \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\prod_{i=1}^k\frac{q^{n-k+i}-1}{q^i-1}</math>
* <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\begin{bmatrix}n\\n-k\end{bmatrix}_q</math>
* <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_1=\binom nk</math>
* '''נוסחת q־פסקל:''' <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}_q+q^k\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}_q</math>
* '''q־בינום:''' <math>\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^ix)=\sum_{k=0}^n q^\binom k2\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q x^k</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי קטלן:''' <math>\forall n>1:\ C_n=\sum_{i=1}^{n-1}C_i C_{n-i}</math> ו־<math>C_0=C_1=1</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי בל:''' <math>\forall n>0:\ B_n=\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}B_{n-k}</math> ו־<math>B_0=1</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג לא מסומנים מסוג I:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ C(n,k)=C(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k)</math> ו־<math>C(0,0)=1\ \and\ \forall n<k:\ C(n,k)=0\ \and\ \forall n>0:\ C(n,0)=0</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג מסוג I:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)</math>
* '''נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג מסוג II:''' <math>\forall n\in\mathbb N,k\in[n]:\ S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k)</math> ו־<math>S(0,0)=1\ \and\ \forall n<k:\ s(n,k)=0\ \and\ \forall n>0:\ S(n,0)=0</math>
* <math>\binom{-1/2}n=\left(\frac{-1}4\right)^n\binom{2n}n</math>
* <math>\forall n>0:\ \binom{1/2}n=\frac{C_{n-1}}2\left(\frac{-1}4\right)^{n-1}</math>
* <math>\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n=\prod_{n=1}^\infty\frac1{1-x^n}</math>

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-27T15:21:05Z

אור שחף: /* מערכת עובדות לינאריות */

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\overbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}^{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, מה היית עונה אם היו שואלים אותך אם אתה אביר?" בתור <math>X_1\leftrightarrow X_1\leftrightarrow X_1\leftrightarrow 1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.

:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה העובדות הנתונות בשאלה יוצרות מערכת משוואות לינאריות <math>\mathbf A\mathbf x=\mathbf b</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה שורות ממנה (וגם את השורות המתאימות מ־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ומרחב הפתרונות לא יישתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל ונסמן את מספר השורות ב־<math>k</math>.

:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}
:לפיכך <math>k=2</math>.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}}

עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>.

:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בדוגמה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== מערכת עובדות לא לינאריות ====

== חידות עם מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! אופרטור !! ערך
|-
| <math>\neg X</math> || <math>1-X</math>
|-
| <math>X\and Y</math> || <math>XY</math>
|-
| <math>X\uparrow Y</math> || <math>1-XY</math>
|-
| <math>X\or Y</math> || <math>X+Y-XY</math>
|-
| <math>X\downarrow Y</math> || <math>1-X-Y+XY</math>
|-
| <math>X\rightarrow Y</math> || <math>1-X+XY</math>
|-
| <math>X\nrightarrow Y</math> || <math>X-XY</math>
|-
| <math>X\leftarrow Y</math> || <math>1-Y+XY</math>
|-
| <math>X\nleftarrow Y</math> || <math>Y-XY</math>
|-
| <math>X\leftrightarrow Y</math> || <math>1-X-Y+2XY</math>
|-
| <math>X\nleftrightarrow Y</math> || <math>X+Y-2XY</math>
|}
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות <math>=</math> לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב <math>X</math> מרגל נסמן <math>X=p</math> עבור קבוע <math>p\in(0,1)</math> כלשהו. האופרטורים <math>\neg,\and,\leftrightarrow,\dots</math> מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות <math>X\and Y</math>, למשל, הוא ההסברות שהתושבים <math>X,Y</math> ידברו אמת בהנחה שהתושב <math>X</math> דובר אמת בהסברות <math>X</math> והתושב <math>Y</math> – בהסתברות <math>Y</math>. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים <math>X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y)</math>. לבסוף, נגדיר אופרטור <math>\Leftrightarrow</math> ע״י <math>X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases}</math> (בפרט, אם <math>X,Y</math> תושבים אז <math>X\Leftrightarrow Y</math> הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם <math>X,Y</math> אינם מרגלים אז <math>X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y</math>).

:'''דוגמה 6:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. <math>A</math> טוען ש־<math>C</math> נוכל, ו־<math>B</math> טוען ש־<math>A</math> שיקר הרגע. לכן מתקיים:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1-p\\
(2)&A\leftrightarrow(C\Leftrightarrow0)&\neq&0\\
(3)&B\leftrightarrow(C\nLeftrightarrow0)&\neq&0\end{array}</math>}}
:נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־<math>A,B,C</math> מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>A</math> מרגל ולכן <math>p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p</math>, ומכך נקבל <math>(B\leftrightarrow C)(1-2p)=0</math>. זה צריך להתקיים לכל <math>p\in(0,1)</math> ולכן <math>B\leftrightarrow C=0</math>. ההסתברות ש־<math>B</math> אמר אמת אם״ם <math>C</math> אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם <math>B=0</math> אז <math>C=1</math> ואם <math>B=1</math> אז <math>C=0</math>, כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-27T14:53:51Z

אור שחף: /* חידות עם שאלות */

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\overbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}^{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ותלוי בסוגים של תושבים. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>, ואת השאלה "<math>X_1</math>, מה היית עונה אם היו שואלים אותך אם אתה אביר?" בתור <math>X_1\leftrightarrow X_1\leftrightarrow X_1\leftrightarrow 1=X_1</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.

:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_2\or (r_1\leftrightarrow r_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\rightarrow r_2\end{pmatrix}</math>.

נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה העובדות הנתונות בשאלה יוצרות מערכת משוואות לינאריות <math>\mathbf A\mathbf x=\mathbf b</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה שורות ממנה (וגם את השורות המתאימות מ־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ומרחב הפתרונות לא יישתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל ונסמן את מספר השורות ב־<math>k</math>.

:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}
:לפיכך <math>k=2</math>.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}}

עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>.

:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בשאלה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== מערכת עובדות לא לינאריות ====

== חידות עם מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! אופרטור !! ערך
|-
| <math>\neg X</math> || <math>1-X</math>
|-
| <math>X\and Y</math> || <math>XY</math>
|-
| <math>X\uparrow Y</math> || <math>1-XY</math>
|-
| <math>X\or Y</math> || <math>X+Y-XY</math>
|-
| <math>X\downarrow Y</math> || <math>1-X-Y+XY</math>
|-
| <math>X\rightarrow Y</math> || <math>1-X+XY</math>
|-
| <math>X\nrightarrow Y</math> || <math>X-XY</math>
|-
| <math>X\leftarrow Y</math> || <math>1-Y+XY</math>
|-
| <math>X\nleftarrow Y</math> || <math>Y-XY</math>
|-
| <math>X\leftrightarrow Y</math> || <math>1-X-Y+2XY</math>
|-
| <math>X\nleftrightarrow Y</math> || <math>X+Y-2XY</math>
|}
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות <math>=</math> לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב <math>X</math> מרגל נסמן <math>X=p</math> עבור קבוע <math>p\in(0,1)</math> כלשהו. האופרטורים <math>\neg,\and,\leftrightarrow,\dots</math> מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות <math>X\and Y</math>, למשל, הוא ההסברות שהתושבים <math>X,Y</math> ידברו אמת בהנחה שהתושב <math>X</math> דובר אמת בהסברות <math>X</math> והתושב <math>Y</math> – בהסתברות <math>Y</math>. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים <math>X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y)</math>. לבסוף, נגדיר אופרטור <math>\Leftrightarrow</math> ע״י <math>X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases}</math> (בפרט, אם <math>X,Y</math> תושבים אז <math>X\Leftrightarrow Y</math> הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם <math>X,Y</math> אינם מרגלים אז <math>X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y</math>).

:'''דוגמה 6:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. <math>A</math> טוען ש־<math>C</math> נוכל, ו־<math>B</math> טוען ש־<math>A</math> שיקר הרגע. לכן מתקיים:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1-p\\
(2)&A\leftrightarrow(C\Leftrightarrow0)&\neq&0\\
(3)&B\leftrightarrow(C\nLeftrightarrow0)&\neq&0\end{array}</math>}}
:נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־<math>A,B,C</math> מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>A</math> מרגל ולכן <math>p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p</math>, ומכך נקבל <math>(B\leftrightarrow C)(1-2p)=0</math>. זה צריך להתקיים לכל <math>p\in(0,1)</math> ולכן <math>B\leftrightarrow C=0</math>. ההסתברות ש־<math>B</math> אמר אמת אם״ם <math>C</math> אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם <math>B=0</math> אז <math>C=1</math> ואם <math>B=1</math> אז <math>C=0</math>, כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-26T21:21:36Z

אור שחף: /* חידות עם שאלות */

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\overbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}^{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.

:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>.

נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה העובדות הנתונות בשאלה יוצרות מערכת משוואות לינאריות <math>\mathbf A\mathbf x=\mathbf b</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה שורות ממנה (וגם את השורות המתאימות מ־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ומרחב הפתרונות לא יישתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל ונסמן את מספר השורות ב־<math>k</math>.

:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}
:לפיכך <math>k=2</math>.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}}

עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>.

:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בשאלה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>.

==== מערכת עובדות לא לינאריות ====

== חידות עם מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! אופרטור !! ערך
|-
| <math>\neg X</math> || <math>1-X</math>
|-
| <math>X\and Y</math> || <math>XY</math>
|-
| <math>X\uparrow Y</math> || <math>1-XY</math>
|-
| <math>X\or Y</math> || <math>X+Y-XY</math>
|-
| <math>X\downarrow Y</math> || <math>1-X-Y+XY</math>
|-
| <math>X\rightarrow Y</math> || <math>1-X+XY</math>
|-
| <math>X\nrightarrow Y</math> || <math>X-XY</math>
|-
| <math>X\leftarrow Y</math> || <math>1-Y+XY</math>
|-
| <math>X\nleftarrow Y</math> || <math>Y-XY</math>
|-
| <math>X\leftrightarrow Y</math> || <math>1-X-Y+2XY</math>
|-
| <math>X\nleftrightarrow Y</math> || <math>X+Y-2XY</math>
|}
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות <math>=</math> לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב <math>X</math> מרגל נסמן <math>X=p</math> עבור קבוע <math>p\in(0,1)</math> כלשהו. האופרטורים <math>\neg,\and,\leftrightarrow,\dots</math> מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות <math>X\and Y</math>, למשל, הוא ההסברות שהתושבים <math>X,Y</math> ידברו אמת בהנחה שהתושב <math>X</math> דובר אמת בהסברות <math>X</math> והתושב <math>Y</math> – בהסתברות <math>Y</math>. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים <math>X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y)</math>. לבסוף, נגדיר אופרטור <math>\Leftrightarrow</math> ע״י <math>X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases}</math> (בפרט, אם <math>X,Y</math> תושבים אז <math>X\Leftrightarrow Y</math> הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם <math>X,Y</math> אינם מרגלים אז <math>X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y</math>).

:'''דוגמה 6:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. <math>A</math> טוען ש־<math>C</math> נוכל, ו־<math>B</math> טוען ש־<math>A</math> שיקר הרגע. לכן מתקיים:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1-p\\
(2)&A\leftrightarrow(C\Leftrightarrow0)&\neq&0\\
(3)&B\leftrightarrow(C\nLeftrightarrow0)&\neq&0\end{array}</math>}}
:נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־<math>A,B,C</math> מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>A</math> מרגל ולכן <math>p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p</math>, ומכך נקבל <math>(B\leftrightarrow C)(1-2p)=0</math>. זה צריך להתקיים לכל <math>p\in(0,1)</math> ולכן <math>B\leftrightarrow C=0</math>. ההסתברות ש־<math>B</math> אמר אמת אם״ם <math>C</math> אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם <math>B=0</math> אז <math>C=1</math> ואם <math>B=1</math> אז <math>C=0</math>, כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-26T15:53:33Z

אור שחף:

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\overbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}^{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה באמצעות משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם. מההגדרות נובע שאם <math>\mathbf x</math> הפתרון הנכון אז <math>\mathbf q=\mathbf r</math>.

:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>.



נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.

==== מערכת עובדות לינאריות ====
במקרה זה העובדות הנתונות בשאלה יוצרות מערכת משוואות לינאריות <math>\mathbf A\mathbf x=\mathbf b</math>. אם שורות המטריצה <math>\mathbf A</math> תלויות לינארית ניתן למחוק כמה שורות ממנה (וגם את השורות המתאימות מ־<math>\mathbf b</math>) כך ששורותיה יהיו בת״ל ומרחב הפתרונות לא יישתנה. לכן נניח בה״כ ששורות <math>\mathbf A</math> בת״ל ונסמן את מספר השורות ב־<math>k</math>.

:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\1&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}}
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}
:שורות <math>\mathbf A</math> בת״ל ומרחב הפתרונות לא גדל (ובוודאי לא קטן), כדרוש.

כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}}

עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו לתת־מרחב המשלים האורתוגונלי לו ([http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement Orthogonal complement]) ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}}

==== מערכת עובדות לא לינאריות ====

== חידות עם מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! אופרטור !! ערך
|-
| <math>\neg X</math> || <math>1-X</math>
|-
| <math>X\and Y</math> || <math>XY</math>
|-
| <math>X\uparrow Y</math> || <math>1-XY</math>
|-
| <math>X\or Y</math> || <math>X+Y-XY</math>
|-
| <math>X\downarrow Y</math> || <math>1-X-Y+XY</math>
|-
| <math>X\rightarrow Y</math> || <math>1-X+XY</math>
|-
| <math>X\nrightarrow Y</math> || <math>X-XY</math>
|-
| <math>X\leftarrow Y</math> || <math>1-Y+XY</math>
|-
| <math>X\nleftarrow Y</math> || <math>Y-XY</math>
|-
| <math>X\leftrightarrow Y</math> || <math>1-X-Y+2XY</math>
|-
| <math>X\nleftrightarrow Y</math> || <math>X+Y-2XY</math>
|}
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות <math>=</math> לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב <math>X</math> מרגל נסמן <math>X=p</math> עבור קבוע <math>p\in(0,1)</math> כלשהו. האופרטורים <math>\neg,\and,\leftrightarrow,\dots</math> מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות <math>X\and Y</math>, למשל, הוא ההסברות שהתושבים <math>X,Y</math> ידברו אמת בהנחה שהתושב <math>X</math> דובר אמת בהסברות <math>X</math> והתושב <math>Y</math> – בהסתברות <math>Y</math>. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים <math>X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y)</math>. לבסוף, נגדיר אופרטור <math>\Leftrightarrow</math> ע״י <math>X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases}</math> (בפרט, אם <math>X,Y</math> תושבים אז <math>X\Leftrightarrow Y</math> הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם <math>X,Y</math> אינם מרגלים אז <math>X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y</math>).

:'''דוגמה 6:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. <math>A</math> טוען ש־<math>C</math> נוכל, ו־<math>B</math> טוען ש־<math>A</math> שיקר הרגע. לכן מתקיים:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1-p\\
(2)&A\leftrightarrow(C\Leftrightarrow0)&\neq&0\\
(3)&B\leftrightarrow(C\nLeftrightarrow0)&\neq&0\end{array}</math>}}
:נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־<math>A,B,C</math> מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>A</math> מרגל ולכן <math>p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p</math>, ומכך נקבל <math>(B\leftrightarrow C)(1-2p)=0</math>. זה צריך להתקיים לכל <math>p\in(0,1)</math> ולכן <math>B\leftrightarrow C=0</math>. ההסתברות ש־<math>B</math> אמר אמת אם״ם <math>C</math> אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם <math>B=0</math> אז <math>C=1</math> ואם <math>B=1</math> אז <math>C=0</math>, כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-25T21:55:43Z

אור שחף:

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה לפני משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, הפתרון לא נותן לנו את התובנות שקיבלנו מפתרון כמערכת משוואות לינאריות, תובנות שיעזרו לנו בחידות שבהן שואלים שאלות. 

=== חידות עם שאלות ===
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם. מההגדרות נובע שאם <math>\mathbf x</math> הפתרון הנכון אז <math>\mathbf q=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 4:''' <math>m=2,n=3</math> ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}b_2\\b_1\leftrightarrow b_2\\b_1\or b_2\end{pmatrix}</math>.


חידה בסיסית מסוג זה תבקש למצוא שאלות כך שניתן יהיה להסיק את סוגם של כל התושבים. במקרה שאין עובדות החידות האלה טריוויאליות – ניתן לשאול כל תושב "האם 1=1?" (<math>X_i\leftrightarrow1</math>) ולהסיק את סוגו. זאת כמובן כאשר מספר השאלות שמותר לשאול הוא לכל הפחות מספר התושבים, מה שחייב להתקיים: אין עובדות, לכן מספר האפשרויות ל־<math>\mathbf b</math> הוא לכל היותר <math>2^m</math>. כל פתרון <math>\mathbf x</math> ייתן וקטור תשובות יחיד, לכן מספר האפשרויות ל־<math>\mathbf x</math> שווה למספר האפשרויות ל־<math>\mathbf b</math>. כמו כן, מספר הפתרונות האפשריים הוא <math>2^n</math>, לפיכך <math>2^n\le2^m</math> ולבסוף <math>n\le m</math>. {{משל}}

== חידות עם מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! אופרטור !! ערך
|-
| <math>\neg X</math> || <math>1-X</math>
|-
| <math>X\and Y</math> || <math>XY</math>
|-
| <math>X\uparrow Y</math> || <math>1-XY</math>
|-
| <math>X\or Y</math> || <math>X+Y-XY</math>
|-
| <math>X\downarrow Y</math> || <math>1-X-Y+XY</math>
|-
| <math>X\rightarrow Y</math> || <math>1-X+XY</math>
|-
| <math>X\nrightarrow Y</math> || <math>X-XY</math>
|-
| <math>X\leftarrow Y</math> || <math>1-Y+XY</math>
|-
| <math>X\nleftarrow Y</math> || <math>Y-XY</math>
|-
| <math>X\leftrightarrow Y</math> || <math>1-X-Y+2XY</math>
|-
| <math>X\nleftrightarrow Y</math> || <math>X+Y-2XY</math>
|}
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות <math>=</math> לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב <math>X</math> מרגל נסמן <math>X=p</math> עבור קבוע <math>p\in(0,1)</math> כלשהו. האופרטורים <math>\neg,\and,\leftrightarrow,\dots</math> מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות <math>X\and Y</math>, למשל, הוא ההסברות שהתושבים <math>X,Y</math> ידברו אמת בהנחה שהתושב <math>X</math> דובר אמת בהסברות <math>X</math> והתושב <math>Y</math> – בהסתברות <math>Y</math>. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים <math>X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y)</math>. לבסוף, נגדיר אופרטור <math>\Leftrightarrow</math> ע״י <math>X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases}</math> (בפרט, אם <math>X,Y</math> תושבים אז <math>X\Leftrightarrow Y</math> הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם <math>X,Y</math> אינם מרגלים אז <math>X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y</math>).

:'''דוגמה 6:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. <math>A</math> טוען ש־<math>C</math> נוכל, ו־<math>B</math> טוען ש־<math>A</math> שיקר הרגע. לכן מתקיים:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1-p\\
(2)&A\leftrightarrow(C\Leftrightarrow0)&\neq&0\\
(3)&B\leftrightarrow(C\nLeftrightarrow0)&\neq&0\end{array}</math>}}
:נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־<math>A,B,C</math> מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>A</math> מרגל ולכן <math>p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p</math>, ומכך נקבל <math>(B\leftrightarrow C)(1-2p)=0</math>. זה צריך להתקיים לכל <math>p\in(0,1)</math> ולכן <math>B\leftrightarrow C=0</math>. ההסתברות ש־<math>B</math> אמר אמת אם״ם <math>C</math> אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם <math>B=0</math> אז <math>C=1</math> ואם <math>B=1</math> אז <math>C=0</math>, כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-22T21:02:22Z

אור שחף:

באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>=</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P=Q</math>. אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמן <math>X=1</math> ואם נוכל – <math>X=0</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X=P</math>.

:'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&=&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&=&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&=&0\end{array}</math>}}
:באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&=&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&=&0\\
(3)&D&=&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&=&1\end{array}</math>}}
:כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C=0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B=0</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math>.

:'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

:'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

:'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

:'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וגם <math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C=0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה לפני משפט רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, הפתרון לא נותן לנו את התובנות שקיבלנו מפתרון כמערכת משוואות לינאריות, תובנות שיעזרו לנו בחידות שבהן שואלים שאלות. 

=== חידות עם שאלות ===
נגדיר ''שאלה'' כפסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ושתלוי בסוגים של תושבים, כמו השאלה <math>X_1\or X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות כדי להסיק את הסוג של כל אחד מהם. נסמן <math>\mathbf p=\begin{pmatrix}P_1\\\vdots\\P_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ישירות ש־<math>\mathbf p=\mathbf b</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם.

:'''דוגמה 4:''' <math>m=n=2</math> ואין עובדות. וקטור השאלות <math>\mathbf p=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה. אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}b_2\\b_1\leftrightarrow b_2\end{pmatrix}</math>.



== חידות עם מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top:0;"
! אופרטור !! ערך
|-
| <math>\neg X</math> || <math>1-X</math>
|-
| <math>X\and Y</math> || <math>XY</math>
|-
| <math>X\uparrow Y</math> || <math>1-XY</math>
|-
| <math>X\or Y</math> || <math>X+Y-XY</math>
|-
| <math>X\downarrow Y</math> || <math>1-X-Y+XY</math>
|-
| <math>X\rightarrow Y</math> || <math>1-X+XY</math>
|-
| <math>X\nrightarrow Y</math> || <math>X-XY</math>
|-
| <math>X\leftarrow Y</math> || <math>1-Y+XY</math>
|-
| <math>X\nleftarrow Y</math> || <math>Y-XY</math>
|-
| <math>X\leftrightarrow Y</math> || <math>1-X-Y+2XY</math>
|-
| <math>X\nleftrightarrow Y</math> || <math>X+Y-2XY</math>
|}
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות <math>=</math> לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב <math>X</math> מרגל נסמן <math>X=p</math> עבור קבוע <math>p\in(0,1)</math> כלשהו. האופרטורים <math>\neg,\and,\leftrightarrow,\dots</math> מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות <math>X\and Y</math>, למשל, הוא ההסברות שהתושבים <math>X,Y</math> ידברו אמת בהנחה שהתושב <math>X</math> דובר אמת בהסברות <math>X</math> והתושב <math>Y</math> – בהסתברות <math>Y</math>. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים <math>X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y)</math>. לבסוף, נגדיר אופרטור <math>\equiv</math> ע״י <math>X\equiv Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases}</math> (בפרט, אם <math>X,Y</math> תושבים אז <math>X\equiv Y</math> הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם <math>X,Y</math> אינם מרגלים אז <math>X\equiv Y=X\leftrightarrow Y</math>).

:'''דוגמה 6:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. <math>A</math> טוען ש־<math>C</math> נוכל, ו־<math>B</math> טוען ש־<math>A</math> שיקר הרגע. לכן מתקיים:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&=&1-p\\
(2)&A\leftrightarrow(C\equiv0)&\neq&0\\
(3)&B\leftrightarrow(C\not\equiv0)&\neq&0\end{array}</math>}}
:נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־<math>A,B,C</math> מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>A</math> מרגל ולכן <math>p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p</math>, ומכך נקבל <math>(B\leftrightarrow C)(1-2p)=0</math>. זה צריך להתקיים לכל <math>p\in(0,1)</math> ולכן <math>B\leftrightarrow C=0</math>, דהיינו <math>B+C-2BC=1</math>. חישוב באמצעות נגזרות יראה שלאגף שמאל יש נקודה קריטית אחת ב־<math>B=C=1/2</math>, ואז <math>B+C-2BC=1/2\ne1</math>. לכן היא מינימום והפתרון <math>(B,C)</math> נמצא על שפת <math>[0,1]^2</math>. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־<math>B=0,1</math> ונקבל <math>C=1,0</math> בהתאמה, כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-21T21:49:24Z

אור שחף:

== הבעיה ==
באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top: 0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. באופן דומה, אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמנו כ־<math>1</math> ואם נוכל – <math>0</math>. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>\Leftrightarrow</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P\Leftrightarrow Q</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען טענה <math>P</math> אז <math>X\Leftrightarrow P</math>.

'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&\Leftrightarrow&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}</math>}}
באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&\Leftrightarrow&0\\
(3)&D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\end{array}</math>}}
כאשר <math>\nleftrightarrow</math> מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־<math>\oplus</math>.

בסימונים אלו נגדיר ''עובדה'' בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון <math>A\leftrightarrow C\Leftrightarrow0</math> מ''דוגמה 1''.

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות קל לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{0,1\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_n\Leftrightarrow P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow0\Leftrightarrow1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B\Leftrightarrow1</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i\Leftrightarrow1</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}\Leftrightarrow\mathbf b</math>.

'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x\Leftrightarrow\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x\Leftrightarrow\mathbf A^{-1}\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וש־<math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)\Leftrightarrow1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C\Leftrightarrow0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. זו מערכת לא לינארית ולכן לא ניתן לפתור אותה בשיטה של רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, הפתרון לא נותן לנו את התובנות שקיבלנו מפתרון כמערכת משוואות לינאריות, תובנות שיעזרו לנו בחידות שבהן שואלים שאלות. 

=== חידות עם שאלות ===
נגדיר ''שאלה'' כפסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור ושתלוי בסוגים של התושבים, כגון <math>X_1\or X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות כדי להסיק את הסוג של כל אחד מהם. נסמן <math>\mathbf p\Leftrightarrow\begin{pmatrix}P_1\\\vdots\\P_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\in\{0,1\}^m</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ישירות ש־<math>\mathbf p\Leftrightarrow\mathbf b</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמו מקודם.

'''דוגמה 4:''' <math>m=n=2</math> ואין עובדות. וקטור השאלות <math>\mathbf p\Leftrightarrow\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה. אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}</math>.



== חידות עם מרגלים ==

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-07-20T21:53:56Z

אור שחף:

== הבעיה ==
באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב <math>X</math> טען ש־<math>P</math>") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> אביר ו־<math>C</math> טוען שהוא מאותו סוג כמו <math>D</math>. מה הסוג של כל תושב?
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== חידות ללא מרגלים ==
{| class="wikitable" style="direction:ltr; float:left; margin-top: 0;"
! <math>P</math> !! <math>Q</math> !! <math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. באופן דומה, אם תושב <math>X</math> הוא אביר אז נסמנו כ־<math>1</math> ואם נוכל – <math>0</math>. נעזר בסימון <math>\leftrightarrow</math> לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. <math>\Leftrightarrow</math> הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־<math>P\leftrightarrow Q</math> נותן 1 אז נוכל לסמן <math>P\Leftrightarrow Q</math>. לפיכך, אם <math>X</math> טוען ש־<math>P</math> אז <math>X\Leftrightarrow P</math>.

'''דוגמה 1.1:''' באמצעות סימונים אלו נציג את ''דוגמה 1'' כמערכת משוואות בוליאניות. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow1&\Leftrightarrow&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}</math>}}
באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\nleftrightarrow B\nleftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&A\nleftrightarrow B&\Leftrightarrow&0\\
(3)&D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\nleftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\end{array}</math>}}

=== חידות ללא שאלות ===
==== פתרון כמערכת משוואות ====
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות קל לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.

ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> ע״י <math>x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases}</math>. מכך נובע ש־<math>(\{0,1\},\nleftrightarrow,\and)</math> שדה. סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{1,0\}</math>) יוגדר בתור <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\and\dots\and P_m</math>. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נסמן <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_n\Leftrightarrow P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow0\Leftrightarrow1</math> מהניסוח המתמטי של ''דוגמה 1'' שקול ל־<math>A\nleftrightarrow B\Leftrightarrow1</math>, כלומר ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i\Leftrightarrow1</math>. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}\Leftrightarrow\mathbf b</math>.

'''דוגמה 1.2:''' ההצגה המטריציונית של ''דוגמה 1'' היא
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x\Leftrightarrow\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

'''דוגמה 1.3:''' נפתור את ''דוגמה 1''. חישוב פשוט מראה ש־<math>\mathbf A</math> הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־<math>\mathbf A^{-1}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math>. לכן <math>\mathbf x\Leftrightarrow\mathbf A^{-1}\mathbf b\Leftrightarrow\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}</math> – התושבים <math>A,B</math> נוכלים ו־<math>C,D</math> אבירים.

==== פתרון באמצעות ניחוש ====
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.

'''דוגמה 1.4:''' ננחש ש־<math>A</math> מ''דוגמה 1'' הוא אביר. מ־(2) נובע ש־<math>B</math> אביר ומ־(4) ש־<math>C</math> נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן <math>A</math> נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־<math>B</math> נוכל ו־<math>C,D</math> אבירים.

באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.

'''דוגמה 3:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C</math>, שאינם מרגלים. <math>A</math> טוען ש־<math>B</math> נוכל וש־<math>C</math> אביר, כלומר <math>A\leftrightarrow(\neg B\and C)\Leftrightarrow1</math>. אם ננחש ש־<math>A</math> אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־<math>\neg B\and C\Leftrightarrow0</math>. במקרה הזה אפשר לנחש ש־<math>B</math> נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן <math>\underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\underbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}_{A\text{ is a knave}}=4</math>. זו מערכת לא לינארית ולכן לא ניתן לפתור אותה בשיטה של רושה–קפלי.

חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של <math>\mathbf b</math> דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, הפתרון לא נותן לנו את התובנות שקיבלנו מפתרון כמערכת משוואות לינאריות, תובנות שיעזרו לנו בחידות שבהן שואלים שאלות. 

=== חידות עם שאלות ===
במקרה שאין מרגלים ואין עובדות החידות האלה טריוויאליות – ניתן לשאול כל תושב "האם 1=1?" (או כל שאלה אחרת שהתשובה לה ידועה) ולהסיק את סוגו. זאת כמובן כאשר מספר השאלות שמותר לשאול הוא לכל הפחות מספר התושבים, מה שחייב להתקיים אם החידה פתירה: אם יש <math>n</math> תושבים אז יש <math>2^n</math> אפשרויות לחלוקת הסוגים שלהם.



== חידות עם מרגלים ==

=== חידות ללא שאלות ===

==== פתרון כמערכת משוואות ====

==== פתרון באמצעות ניחוש ====

=== חידות עם שאלות ===


== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

חוג הפולינומים מעל שדה

2013-07-20T12:53:19Z

אור שחף: /* הגדרה */

== הגדרה ==

יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> כאשר <math>n\geq0</math> ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in F</math> נקרא '''פולינום במשתנה <math>x</math> מעל <math>F</math>'''. האיברים <math>a_0,\ldots,a_n</math> נקראים '''מקדמי הפולינום'''.

נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נאמר כי שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> הם שקולים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעצם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.

כל פולינום <math>f(x)</math> שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד <math>a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> עם <math>a_n\neq 0</math>. המספר <math>n</math> נקרא '''דרגת הפולינום''' ומסומן ב-<math>\deg f</math>. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות <math>-\infty</math>.

'''הערה:''' כל פולינום <math>f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n</math> משרה פונקציה מ-<math>F</math> לעצמו ששולחת את <math>u\in F</math> ל-<math>f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n</math>. אם השדה <math>F</math> סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.

'''אוסף הפולינומים מעל <math>F</math> במשתנה <math>x</math>''' יסומן ב-<math>F[x]</math>.
מגידירים על <math>F[x]</math> חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^nb_ix^n=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^n</math> (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math>
הפעולות האלה הופכות את <math>F[x]</math> לחוג.

'''הערה:''' כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.

== תכונות ==

אם <math>F</math> שדה, החוג <math>F[x]</math> הוא [[תחום אוקלידי]]. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:
* לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י [[האלגוריתם של אוקלידס]].
* <math>F[x]</math> [[תחום ראשי]], כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0).
* <math>F[x]</math> הוא תחום פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
* פולינום שונה מ-0 הוא [[אי-פריק]] אם ורק אם הוא [[ראשוני]].
* כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של <math>F[x]</math> הוא מקסימלי. בפרט, אם <math>p(x)\neq 0</math> הוא ראשוני (או אי פריק) אז <math>F[x]/p(x)F[x] </math> הוא שדה.

שיחת משתמש:Ohad Abarbanel

2013-07-11T16:46:18Z

אור שחף: /* הרצאה ותרגיל 8 בחקר הביצועים */ פסקה חדשה

<math>\forall \epsilon >0 \exists n_0 : \forall n>n_0 |a_n - a| < \epsilon \iff limit a_n = a</math>

== סיכומי הרצאות ==

היי אוהד,

את סיכומי ההרצאות שהעלאת אתה כתבת? באיזה פורמט?

אני שואל כי אם יהיה ניתן להמיר את זה לטקסט ויקי זה יעזור מאד. המטרה היא שהסיכומים יהיו באתר וכל אחד יוכל לתקן או להרחיב אותם (כפי שאני בעצמי עושה בתרגולים בלינארית ובבדידה.

תודה,

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:19, 3 באוגוסט 2011 (IDT)
:כן, את סיכומי ההרצאות אני כותב, בתוכנה שנקראת lyx. אני לא חושב שאפשר להפוך את זה לטקסט ויקי, זה כתוב בפורמט של התוכנה עצמה, והיא משתמשת בממיר פנימי כדי להמיר את הטקסט לקובץ pdf, או לכמה סוגי קבצים אחרים. --[[משתמש:Ohad Abarbanel|Ohad Abarbanel]] 16:42, 10 באוגוסט 2011 (IDT)

== הרצאה ותרגיל 8 בחקר הביצועים ==

אני נעזר [[88-369 חקר ביצועים/סמסטר א תשעב/סיכומי שיעור|בסיכומים שלך לחקר הביצועים]] (תודה רבה, אגב), ושמתי לב שהרצאה ותרגול 8 חסרים. האם תוכל להעלות אותם? (רצוי בהקדם, המבחן בעוד 3 ימים). תודה רבה! [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:46, 11 ביולי 2013 (IDT)

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-06-28T16:10:44Z

אור שחף: טיוטה

== הבעיה ==
באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות (בדרך כלל את הסוג של כמה מהתושבים) על סמך טענות שהתושבים טענו או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול, ולפעמים גם על סמך כמה עובדות שידועות לו.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> נוכל ו־<math>C</math> טוען ש־<math>D</math> מאותו סוג כמוהו (כמו <math>C</math>). יש למצוא את הסוג של כל תושב.
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== סימונים והגדרות ==
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. באופן דומה, אם תושב <math>A</math> הוא אביר אז נסמנו כ־<math>1</math> ואם נוכל – <math>0</math>. אם הוא מרגל נסמן <math>p</math>. אם תושב <math>B</math> יכול להיות מרגל אז נסמן את נכונות הטענה ה־<math>i</math> במספר שלו כ־<math>b_i</math>. כלומר, אם הטענה נכונה אז <math>b_i\Leftrightarrow1</math> ואחרת <math>b_i\Leftrightarrow0</math>. מכך נובע שאם הטענה ה־<math>i</math> של <math>B</math> היא <math>P</math> אז <math>b_i\Leftrightarrow P</math>, ומסיבות שיובנו בהמשך נעדיף את הסימון השקול <math>b_i\leftrightarrow P\Leftrightarrow1</math>. מובן שאם <math>B</math> אביר או נוכל אז <math>\forall i:\ b_i\Leftrightarrow B</math>, ולכן אם אנו כבר יודעים שתושב <math>B</math> אינו מרגל אז נסמן את טענותיו פשוט כ־<math>B</math>.

=== דוגמה ===
באמצעות סימונים אלו נפתור את דוגמה 1 כמערכת משוואות פשוטה. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow0&\Leftrightarrow&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}</math>}}
באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&A\leftrightarrow B&\Leftrightarrow&0\\
(3)&D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}</math>}}
עתה נציב את (2) ב־(1) ונקבל <math>0\leftrightarrow C\Leftrightarrow1</math>, כלומר <math>C\Leftrightarrow0</math>. נציב זאת ב־(4) ונקבל <math>A\Leftrightarrow1</math>, ואם נציב את התוצאה ב־(2) נקבל <math>B\Leftrightarrow0</math>. לסיכום, <math>A,D</math> אבירים ו־<math>B,C</math> נוכלים.

== חידות ללא מרגלים ==
=== חידות לינאריות ===
אלו חידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות. ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{1,0\},\leftrightarrow,\or)</math> ע״י <math>\neg:x\mapsto\begin{cases}1,&x=0\\0,&x=1\end{cases}</math>. נראה שזהו אכן איזומורפיזם:
* חח״ע ועל – טריוויאליים.
* <math>\neg(x+y)\Leftrightarrow\neg(x\nleftrightarrow y)\Leftrightarrow x\leftrightarrow y\Leftrightarrow\neg x\leftrightarrow\neg y</math>
* <math>\neg(x\cdot y)\Leftrightarrow\neg(x\and y)\Leftrightarrow\neg x\or\neg y</math>

מכך נובע ש־<math>(\{1,0\},\leftrightarrow,\or)</math> שדה. נגדיר סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{1,0\}</math>) בתור <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\or\dots\or P_m</math>. כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נגדיר <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n\Leftrightarrow P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע (לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow0\Leftrightarrow1</math> מפתרון דוגמה 1 שקול ל־<math>A\leftrightarrow B\Leftrightarrow0</math>, ששקול ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i\Leftrightarrow0</math>). לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}\Leftrightarrow\mathbf b</math>. למשל, את דוגמה 1 ניתן להציג באופן הבא:
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&1\\1&1&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x\Leftrightarrow\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן אז לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

== מקורות והשראות ==
{{left|
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic Fuzzy logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Many-valued_logic Many-valued logic]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-valued_logic Three-valued logic]
}}

משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום"

2013-06-27T17:34:08Z

אור שחף: טיוטה

== הבעיה ==
באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות (בדרך כלל את הסוג של כמה מהתושבים) על סמך טענות שהתושבים טענו או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול, ולפעמים גם על סמך כמה עובדות שידועות לו.

* '''דוגמה 1:''' האורח נתקל בתושבים <math>A,B,C,D</math>. אין מרגלים, וידוע ש־<math>A,C</math> מסוגים שונים. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, <math>B</math> טוען ש־<math>A</math> נוכל ו־<math>C</math> טוען ש־<math>D</math> מאותו סוג כמוהו (כמו <math>C</math>). יש למצוא את הסוג של כל תושב.
* '''דוגמה 2:''' האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם?

נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.

== סימונים והגדרות ==
באלגברה בוליאנית מסמנים <math>1</math> כפסוק אמת ו־<math>0</math> כפסוק שקר. באופן דומה, אם תושב <math>A</math> הוא אביר אז נסמנו כ־<math>1</math> ואם נוכל – <math>0</math>. אם הוא מרגל נסמן <math>p</math>. אם תושב <math>B</math> יכול להיות מרגל אז נסמן את נכונות הטענה ה־<math>i</math> במספר שלו כ־<math>b_i</math>. כלומר, אם הטענה נכונה אז <math>b_i\Leftrightarrow1</math> ואחרת <math>b_i\Leftrightarrow0</math>. מכך נובע שאם הטענה ה־<math>i</math> של <math>B</math> היא <math>P</math> אז <math>b_i\Leftrightarrow P</math>, ומסיבות שיובנו בהמשך נעדיף את הסימון השקול <math>b_i\leftrightarrow P\Leftrightarrow1</math>. מובן שאם <math>B</math> אביר או נוכל אז <math>\forall i:\ b_i\Leftrightarrow B</math>, ולכן אם אנו כבר יודעים שתושב <math>B</math> אינו מרגל אז נסמן את טענותיו פשוט כ־<math>B</math>.

=== דוגמה ===
באמצעות סימונים אלו נפתור את דוגמה 1 כמערכת משוואות פשוטה. <math>A</math> טוען ש־<math>B,C</math> מאותו סוג, כלומר הוא טוען <math>B\leftrightarrow C</math>. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של <math>B,C</math> נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־<math>A,C</math> שונים נובעת משוואה (4):
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&B\leftrightarrow A\leftrightarrow0&\Leftrightarrow&1\\
(3)&C\leftrightarrow C\leftrightarrow D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}</math>}}
באופן שקול:
{{left|<math>\begin{array}{llcl}
(1)&A\leftrightarrow B\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&1\\
(2)&A\leftrightarrow B&\Leftrightarrow&0\\
(3)&D&\Leftrightarrow&1\\
(4)&A\leftrightarrow C&\Leftrightarrow&0\end{array}</math>}}
עתה נציב את (2) ב־(1) ונקבל <math>0\leftrightarrow C\Leftrightarrow1</math>, כלומר <math>C\Leftrightarrow0</math>. נציב זאת ב־(4) ונקבל <math>A\Leftrightarrow1</math>, ואם נציב את התוצאה ב־(2) נקבל <math>B\Leftrightarrow0</math>. לסיכום, <math>A,D</math> אבירים ו־<math>B,C</math> נוכלים.

== חידות ללא מרגלים ==
=== חידות לינאריות ===
אלו חידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות. ניצור איזומורפיזם מהשדה <math>(\mathbb Z_2,+,\cdot)</math> ל־<math>(\{1,0\},\leftrightarrow,\or)</math> ע״י <math>\neg:x\mapsto\begin{cases}1,&x=0\\0,&x=1\end{cases}</math>. נראה שזהו אכן איזומורפיזם:
* חח״ע ועל – טריוויאליים.
* <math>\neg(x+y)\Leftrightarrow\neg(x\nleftrightarrow y)\Leftrightarrow x\leftrightarrow y\Leftrightarrow\neg x\leftrightarrow\neg y</math>
* <math>\neg(x\cdot y)\Leftrightarrow\neg(x\and y)\Leftrightarrow\neg x\or\neg y</math>

מכך נובע ש־<math>(\{1,0\},\leftrightarrow,\or)</math> שדה. נגדיר סכום <math>\sum_{i=1}^m P_i</math> (כאשר <math>\forall i:\ P_i\in\{1,0\}</math>) בתור <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_m</math> ומכפלה <math>\prod_{i=1}^m P_i</math> בתור <math>P_1\or\dots\or P_m</math>. כפל מטריצות מוגדר בהתאם.

כעת, אם התושבים הם <math>X_1,\dots,X_n</math> אז נגדיר <math>\mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix}</math>. אם כל <math>P_i</math> מייצג נעלם <math>X_j</math> או קבוע <math>1,0</math> אז נוכל להציג כל <math>P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n\Leftrightarrow P_{n+1}</math> בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע (לדוגמה, <math>B\leftrightarrow A\leftrightarrow0\Leftrightarrow1</math> מפתרון דוגמה 1 שקול ל־<math>A\leftrightarrow B\Leftrightarrow0</math>, ששקול ל־<math>\sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i\Leftrightarrow0</math>). לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים <math>\mathbf A</math> ווקטור מקדמים חופשיים <math>\mathbf b</math> כך ש־<math>\mathbf{Ax}\Leftrightarrow\mathbf b</math>. למשל, את דוגמה 1 ניתן להציג באופן הבא:
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&1\\1&1&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}_\mathbf A\underbrace\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}_\mathbf x\Leftrightarrow\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}}

הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־<math>\mathbf{Ax}=\mathbf b</math> אם״ם <math>\mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n</math> כאשר <math>\operatorname{Col}_i(\mathbf A)</math> העמודה ה־<math>i</math> של <math>\mathbf A</math>, ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד <math>n-\operatorname{rank}(\mathbf A)</math>. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן אז לחשב את מספר הפתרונות בתור <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}</math>. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר <math>\mathbf A</math> הפיכה.

== ראו גם ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Knights_and_Knaves Knights and Knaves] בוויקיפדיה האנגלית.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever The Hardest Logic Puzzle Ever] בוויקיפדיה האנגלית.