משפט ז'ורדן

2020-12-02T13:44:50Z

איתן799: /* משפט ז'ורדן */

==בלוק ז'ורדן==
בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה
::<math>J_n(\lambda):=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\\vdots & \ddots & \ddots &\lambda & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}</math>

לדוגמא,

::<math>J_3(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>, <math>J_3(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</math>

נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא:
<math>J_1(2)\oplus J_2(0)\oplus J_2(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}</math>

==משפט ז'ורדן==
תהי A מטריצה ריבועית, כך ש[[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ז'ורדן.
בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

==תכונות של מטריצת ז'ורדן==
תהי מטריצה <math>A</math> הניתנת לז'ירדון. אזי:
*כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.
*גודל בולק הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.

'''דוגמא'''

מהן צורת הז'ורדן האפשריות עבור מטריצה בעלת פולינום אופייני <math>f_A(x)=(x-1)^4(x-2)^3</math> ופולינום מינימלי
<math>m_A(x)=(x-1)^2(x-2)^3</math>

'''תשובה'''

*<math>J_2(1)\oplus J_2(1) \oplus J_3(2)</math>
*<math>J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)</math>

'''דוגמא'''

הוכיחו כי כל מטריצה דומה למשוחלפת של עצמה.

'''דוגמא'''

הוכיחו כל כל שתי מטריצות מרוכבות ריבועיות מסדר 3 בעלות אותו הפולינום האופייני ואותו הפולינום המינימלי דומות

'''דוגמא'''

הוכיחו/הפריכו: מטריצות מרוכבות בעלות אותו פולינום אופייני, אותו פולינום מינימלי ואותו ריבוי גיאומטרי עבור כל ערך עצמי הן דומות

'''הפרכה'''

*<math>J_3(0)\oplus J_3(0) \oplus J_1(0)</math>
*<math>J_3(0)\oplus J_2(0) \oplus J_2(0)</math>

'''דוגמא'''

תהיינה שתי מטריצות משולשיות עליונות עם אותו מספר קבוע על האלכסון, כך שכל הקבועים באלכסון המשני גדולים ממש מאפס. הוכיחו כי הן דומות.

==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==

[[מדיה:JordanAll.pdf|סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן]]

[[מדיה:זרדון מטריצה.pdf|סיכום הכללים, האלגוריתם ודוגמאות על ידי גיא בלשר]] - [[משתמש:גיא|גיא]]

==אלגוריתם לז'ירדון מטריצה==

תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.

*נמצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>

*עבור כל ע"ע <math>\lambda</math> נמצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל <math>K_\lambda</math> באופן הבא:

:*נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק <math>(x-\lambda)</math> בפולינום המינימלי

:*נמצא בסיס ל <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1})</math> באופן הבא:

::*נביט במטריצה <math>(A-\lambda I)^{k-1}</math> ונבחר עמודות <math>C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}),...,C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})</math> המהוות בסיס למרחב העמודות <math>C([A-\lambda I]^{k-1})</math>

::*נפתור את מערכת המשוואות <math>x_1(A-\lambda I)C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + x_p(A-\lambda I)C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})=0</math>

::*לכל וקטור <math>x=(x_1,...,x_n)</math> בבסיס למרחב הפתרונות למערכת נסמן <math>u_x=x_1e_{i_1}+...+x_pe_{i_p}</math>. '''הערה''': שימו לב כי תמיד מתקיים <math>C_i(A)=Ae_i</math> כאשר <math>e_i</math> הוקטור ה-i בבסיס הסטנדרטי.

::*עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול <math>(A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x</math> לבסיס בסדר משמאל לימין.

:*באופן דומה נמצא בסיס עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-2})</math> ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.

:*נמשיך בתהליך עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-3}),...,V_\lambda</math> עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של <math>\lambda</math>.

*נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה

*נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.

==דוגמאות==

===ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית===
מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

:<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

*ראשית, נחשב את הפולינום האופייני <math>p_A(x)=x^5</math>, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית

*שנית, נמצא את הפולינום המינימלי <math>m_A(x)=x^3</math>, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3

*כעת נמצא בסיס ל <math>C(A^{3-1})</math> מהצורה <math>A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k</math> באופן הבא:
**נבחר עמודות של המטריצה <math>A^2</math> המהוות בסיס ל- <math>C(A^2)</math>
**כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ- <math>A^2e_i</math>

:<math>A^2=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

לכן בסיס למרחב העמודות הינו <math>A^2e_1</math>

*כעת המסלול <math>A^2e_1,Ae_1,e_1</math> הוא חלק של הבסיס המז'רדן '''משמאל לימין'''. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.

*השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו (<math>A^2e_1</math>) לבסיס למרחב <math>N(A)\cap C(A^{3-2})=N(A)\cap C(A)</math> מהצורה <math>Av_1,Av_2,...,Av_p</math> באופן הבא:
**נבחר בסיס <math>u_1,...,u_r</math> למרחב העמודות <math>C(A)</math>
**נפתור את המערכת <math>A(a_1u_1+...+a_ru_r)</math> על מנת למצוא בסיס ל <math>N(A)\cap C(A)</math>
**נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה

בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:

:<math>u_1= (0,0,0,1,0)</math>

:<math>u_2= (1,0,-1,0,0)</math>

:<math>u_3= (-1,1,1,0,0)</math>

כעת נפתור את המערכת <math>a_1Au_1+a_2Au_2+a_3Au_3=0</math>, זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן <math>Au_1,Au_2,Au_3</math>:

:<math>N \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix} = span\{(0,1,0),(-1,0,1)\}</math>

כיוון שאלו המקדמים <math>a_1,a_2,a_3</math> אנו מקבלים את בסיס ל <math>N(A)\cap C(A)</math>:

:<math>\{u_2,u_3-u_1\}=\{Ae_2,A(e_5-e_1)\}</math>

'''הערה''': שימו לב ש<math>u3=Ae_5</math> כיוון שזו העמודה '''החמישית'''

כיוון ש <math>Ae_2=A^2e_1</math> אנו משמטים איבר זה ונשארים עם <math>A(e_5-e_1)</math>

*המסלול <math>A(e_5-e_1),e_5-e_1</math> משלים לנו את הבסיס המז'רדן.

====סיכום====
הבסיס המז'רדן הינו

:<math>A^2e_1,Ae_1,e_1,A(e_5-e_1),e_5-e_1</math>

נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס

:<math>P=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{pmatrix}</math>

אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:

:<math>P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.

===ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד===

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

:<math>A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 2 \\

\end{pmatrix}</math>

*ראשית נמצא את הפולינום האופייני <math>p_A(x)=(x-2)^6</math>, כלומר 2 הינו הערך העצמי היחיד

*לפי משפט קיילי המילטון <math>(A-2I)^6=0</math> ולכן <math>A-2I</math> ניליפוטנטית.

*נמצא לה צורת ז'ורדן <math>J=P^{-1}(A-2I)P = P^{-1}AP - P^{-1}2IP = P^{-1}AP-2I</math>

*לכן צורת הז'ורדן של המטריצה A הינה <math>J+2I</math>, כאשר הבסיס המז'רדן הוא אותו בסיס המז'רדן את <math>A-2I</math>.

:<math>A-2I=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

*כעת <math>(A-2I)^2=0</math>, לכן נמצא בסיס ל<math>C(A-2I)</math>

*העמודה הראשונה, השנייה והחמישית פורסות את מרחב העמודות של המטריצה ולכן הבסיס הינו <math>(A-2I)e_1,(A-2I)e_2,(A-2I)e_5</math>

*בסיס זה מייצר שלושה מסלולים מאורך שתים, ולכן מצאנו מיד בסיס מז'רדן:

:<math>(A-2I)e_1,e_1,(A-2I)e_2,e_2,(A-2I)e_5,e_5</math>

:<math>P=\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 2.5 & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

ושוב, הפלא ופלא, מתקיים:

:<math>P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\

\end{pmatrix}</math>

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משפט ז'ורדן