https://math-wiki.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=%D7%90%D7%9C%D7%94Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]2026-07-23T21:02:40Zתרומות המשתמשMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-113_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%AA_%D7%93%D7%99%D7%95%D7%9F-%D7%A2%D7%93%D7%99_%D7%A0%D7%99%D7%91&diff=8458שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב2010-12-13T20:21:55Z<p>אלה: /* שאלות על lcm */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== עבודת הגשה ==<br />
::הבנתי מהמרצים שבגלל שחלק מתלמידים היו בחו"ל במהלך החופש וגם בגלל שהבוחן הוקדם בשבוע (שיצא שהבוחן יתקיים בסוף החופש)<br />
::אז העבודה אולי תידחה או שגם יהיה ניתן להגיש אותה מאוחר יותר למי שלא סיים.<br />
::אני לא סיימתי עם העבודה ואני עד עכשיו עובד עליה ועל השעורים ואני לא מאמין שאני אספיק לסיים אותם.<br />
::מישהו יכול להגיד לי אם העבודה אכן נדחתה, או שיכול לקשר אותי לאחד המרצים (מייל/פלאפון) כדי שאני אוכל לשאול אותם?<br />
::בכל מקרא, האם בלי קשר לזה אני אוכל להגיש את העבודה בתאריך אחר בגלל העבודה שהיא ניתנה כעבודה לחופש בהתעלמות מהעובדה שחלק <br />
::מהתלמידים יהיו בחופשה והעובדה שהבוחן הוקדם בשבוע, אני ידוע שהיה את כל החופש ושהעבודה <br />
::באמת לא היתה קשה, אבל לא כולם הספיקו לסיים את העבודה בגלל הבוחן או חופשה או סיבות אחרות.<br />
::אם מישהו יכול לענות לי בהקדם האפשרי אני אשמח, '''תודה רבה.'''<br />
<br />
<br />
== בהמשך לשאלה קודמת ==<br />
רציתי לשאול אם בתרגיל 4.16 א' יש להוכיח את נכונות תהליך גראם שמידט או מותר להניח שהוא מתקיים? --[[משתמש:תמיר מאיר|תמיר מ.]] 21:03, 10 בדצמבר 2010 (IST)--<br />
<br />
== פולינום מינימלי וחברים ==<br />
<br />
יש לי שאלה: אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז עדיין אפשר להגיד שיש לפ"מ ולפ"א אותם גורמים אי-פריקים? (כי רציתי לפתור בעזרת זה את תרגיל 1. ב. חלק 2 מהעבודה לחנוכה).<br />
<br />
'''עדי:כן. פשוט ריבוייהם בפ"מ לא בהכרח יהיו 1.<br />
<br />
== שאלה 4 בסוף תרגיל 8 ==<br />
<br />
לא הבנתי את השאלה. הכוונה בהעברה לקבוצה ניצבת כך ש spanS=spanT, היא פשוט (עוד פעם) תהליך גראם שמידט? מה זה אומר "מה הצורה של spanS, הפורש של הווקטורים"? ומה זה אומר "בשימוש הנוסחאות מהכיתה מצא (..)"? איזה נוסחאות?<br />
תודה!<br />
<br />
'''עדי:<br />
<br />
'''spanS=spanT: כלומר שיפרשו את אותו מרחב<br />
<br />
'''מה הצורה של spanS: החלט בהתאם למימד על איזה "יצור" גאומטרי יושב המרחב<br />
<br />
'''בשיומש הנוסחאות מהכיתה:עבור מציאת מקדמי הצרוף הלנארי<br />
:אבל מה זה הנוסחאות מהכיתה, אילו נוסחאות?<br />
<br />
'''עבור וקטור y <br />
<math>c_i=yb_i/{||b_i||^2}</math><br />
<br />
== שאלה 4 - תרגיל 8 ==<br />
<br />
בשאלה זו מתבקש למצוא את המקדמים של הצירוף הליניארי של S כך שנקבל וקטור מסוים, שם רשום שנשתמש בנוסחאות מהכיתה.<br />
הנוסחאות שלמדנו בכיתה תקפות לבסיסים אורתוגונליים, אך בשאלה מתבקש הצירוף הליניארי של הוקטורים הלא אורתוגונליים.<br />
אני מפספס משהו...?<br />
<br />
'''עדי:<br />
'''בטא את הוקטור כצירוף לנארי של הבסיס הניצב. אח"כ שים לב שכל איבר בבסיס הניצב מבוטא בתהליך ג-ש כצרוף לנארי של הבסיס המקורי. לכן סך הכל תקבל צרוף לנארי של הבסיס המקורי.<br />
<br />
'''נ.ב. : ראשית בידקו אם הוקטור הנדרש בכלל שייך למרחב הפורש הנ"ל...<br />
<br />
== שאלות על lcm ==<br />
<br />
אפשר להגיד שהLCM של כמה פולינומים "מכיל" לפחות אחד מהפולינומים, כלומר- לפחות לפולינום אחד מתוך הפולינומים שעליהם עושים LCM, LCM מחלק אותו? תודה<br />
:לא, זה אפילו כמעט תמיד בהכרח לא נכון. ה-lcm הוא *כפולה* של הפולינומים, בשביל שהוא גם יחלק את אחד הפולינומים הוא יצטרך אז להיות שווה לאותו פולינום, וה-lcm שווה לאחד הפולינומים אמ"ם אותו פולינום הוא כפולה של כל שאר הפולינומים.. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:49, 13 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::למה הוא יהיה צריך להיות שווה לאותו פוילנום? אתה בטוח שלא מתקיים ש <br />
lcm(f1(x),..fkx) = fi(x)*q(x) z (הZ כדי לתקן עברית אנגלית), לפחות לi אחד? אין לי הוכחה פורמלית אבל זה נראה לי ממש נכון כי הlcm צריך להכיל את כל הגורמים האי פריקים של כל הפולינומים, ולכן מכיל את כל הגורמים האי פריקים של לפחות אחד מהם במעלה זהה לזה של הפולינום או יותר ולכן מחלק אחד מהפולינומים, או שאני טועה?<br />
<br />
:::(לא מתרגלת) לפי ויקיפדיה זה אמור להיות נכון, לפחות עבור מספרים. זו ההגדרה! אבל זה לא מה שכתבת קודם. lcm לא מחלק אותו - הוא מחלק את lcm.<br />
::::אה כן, הוא מחלק את lcm ולא להפך. אשמח אם מתרגל יענה הטענה נכונה או לא.<br />
:::::תסתכל בשאלה שמתחת לזו, ותקרא טוב את ההגדרה. זה פשוט ההגדרה.<br />
::::::אני עניתי על השאלה שמתחת לזו =]. וזה לא נובע מההגדרה, זה יותר מסובך. (וחוץ מזה הרגע מתרגל אמר שזה ממש לא נכון אז יש לי סיבה טובה לחשוש שזה באמת לא נכון).<br />
:::::::ענית לי על השאלה שמתחת לזו XD. למה זה לא נובע מההגדרה? ההגדרה היא שה-<math>lcm(pols)</math> מתחלק בכל ה-pols, וההגדרה של מתחלק היא שקיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>lcm(pols)=f(x)*pol</math> לכל pol מתוך ה-pols. והמתרגל ענה שזה לרוב לא נכון, כי אמרת את הטענה הפוך.<br />
::::::::אה התכוונתי שlcm מחלק אותו..<br />
:::::::::אם אני לא טועה, <math>lcm(x,x+1)=x^2+x</math>. הפרכתי...<br />
<br />
== LCM ==<br />
<br />
אפשר לקבל את ההגדרה המדוייקת (המתמטית) עבור lcm של פולינומים?<br />
<br />
לא מצאתי אותה בויקיפדיה.<br />
<br />
תודה!<br />
:(לא מתרגל), אני די בטוח שההגדרה היא- lcm(pols)|pols וגם לכל f(x) אחר שמחלק את ה-pols, מתקיים f(x)|lcm(pols).<br />
::תודה, אבל זה לא אמור להיות קצת הפוך? ככה:<br />
::pols מחלק את <math>lcm(pols)</math> וגם לכל <math>f(x)</math> '''שמתחלק''' ב-pols מתקיים <math>lcm(pols)</math> מחלק את <math>f(x)</math>?<br />
::ויש לי על ההגדרה הזו שתי שאלות:<br />
::1. מה זה אומר (שוב, מתמטית) שפולינום מחלק פולינום?<br />
::2. האם יש עוד הגדרה, שאומרת שהמעלה של <math>lcm(pols)</math> היא הקטנה מבין כל מעלות הפולינומים ש-pols מחלק?<br />
::שוב תודה!<br />
:::אוכל לענות לך על שאלה 1, מקווה שעם התשובה תוכל לענות גם על האחרות. אם פולינום fx מחלק את הפולינום rx, אז קיים qx כך ש fx=rx*qx. (דומה למספרים רק עם פולינומים).<br />
::::תודה רבה.</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-113_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%AA_%D7%93%D7%99%D7%95%D7%9F-%D7%A2%D7%93%D7%99_%D7%A0%D7%99%D7%91&diff=8455שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב2010-12-13T20:01:42Z<p>אלה: /* שאלות על lcm */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== בהמשך לשאלה קודמת ==<br />
רציתי לשאול אם בתרגיל 4.16 א' יש להוכיח את נכונות תהליך גראם שמידט או מותר להניח שהוא מתקיים? --[[משתמש:תמיר מאיר|תמיר מ.]] 21:03, 10 בדצמבר 2010 (IST)--<br />
<br />
== פולינום מינימלי וחברים ==<br />
<br />
יש לי שאלה: אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז עדיין אפשר להגיד שיש לפ"מ ולפ"א אותם גורמים אי-פריקים? (כי רציתי לפתור בעזרת זה את תרגיל 1. ב. חלק 2 מהעבודה לחנוכה).<br />
<br />
'''עדי:כן. פשוט ריבוייהם בפ"מ לא בהכרח יהיו 1.<br />
<br />
== שאלה 4 בסוף תרגיל 8 ==<br />
<br />
לא הבנתי את השאלה. הכוונה בהעברה לקבוצה ניצבת כך ש spanS=spanT, היא פשוט (עוד פעם) תהליך גראם שמידט? מה זה אומר "מה הצורה של spanS, הפורש של הווקטורים"? ומה זה אומר "בשימוש הנוסחאות מהכיתה מצא (..)"? איזה נוסחאות?<br />
תודה!<br />
<br />
'''עדי:<br />
<br />
'''spanS=spanT: כלומר שיפרשו את אותו מרחב<br />
<br />
'''מה הצורה של spanS: החלט בהתאם למימד על איזה "יצור" גאומטרי יושב המרחב<br />
<br />
'''בשיומש הנוסחאות מהכיתה:עבור מציאת מקדמי הצרוף הלנארי<br />
:אבל מה זה הנוסחאות מהכיתה, אילו נוסחאות?<br />
<br />
'''עבור וקטור y <br />
<math>c_i=yb_i/{||b_i||^2}</math><br />
<br />
== שאלה 4 - תרגיל 8 ==<br />
<br />
בשאלה זו מתבקש למצוא את המקדמים של הצירוף הליניארי של S כך שנקבל וקטור מסוים, שם רשום שנשתמש בנוסחאות מהכיתה.<br />
הנוסחאות שלמדנו בכיתה תקפות לבסיסים אורתוגונליים, אך בשאלה מתבקש הצירוף הליניארי של הוקטורים הלא אורתוגונליים.<br />
אני מפספס משהו...?<br />
<br />
'''עדי:<br />
'''בטא את הוקטור כצירוף לנארי של הבסיס הניצב. אח"כ שים לב שכל איבר בבסיס הניצב מבוטא בתהליך ג-ש כצרוף לנארי של הבסיס המקורי. לכן סך הכל תקבל צרוף לנארי של הבסיס המקורי.<br />
<br />
'''נ.ב. : ראשית בידקו אם הוקטור הנדרש בכלל שייך למרחב הפורש הנ"ל...<br />
<br />
== שאלות על lcm ==<br />
<br />
אפשר להגיד שהLCM של כמה פולינומים "מכיל" לפחות אחד מהפולינומים, כלומר- לפחות לפולינום אחד מתוך הפולינומים שעליהם עושים LCM, LCM מחלק אותו? תודה<br />
:לא, זה אפילו כמעט תמיד בהכרח לא נכון. ה-lcm הוא *כפולה* של הפולינומים, בשביל שהוא גם יחלק את אחד הפולינומים הוא יצטרך אז להיות שווה לאותו פולינום, וה-lcm שווה לאחד הפולינומים אמ"ם אותו פולינום הוא כפולה של כל שאר הפולינומים.. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:49, 13 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::למה הוא יהיה צריך להיות שווה לאותו פוילנום? אתה בטוח שלא מתקיים ש <br />
lcm(f1(x),..fkx) = fi(x)*q(x) z (הZ כדי לתקן עברית אנגלית), לפחות לi אחד? אין לי הוכחה פורמלית אבל זה נראה לי ממש נכון כי הlcm צריך להכיל את כל הגורמים האי פריקים של כל הפולינומים, ולכן מכיל את כל הגורמים האי פריקים של לפחות אחד מהם במעלה זהה לזה של הפולינום או יותר ולכן מחלק אחד מהפולינומים, או שאני טועה?<br />
<br />
:::(לא מתרגלת) לפי ויקיפדיה זה אמור להיות נכון, לפחות עבור מספרים. זו ההגדרה! אבל זה לא מה שכתבת קודם. lcm לא מחלק אותו - הוא מחלק את lcm.<br />
::::אה כן, הוא מחלק את lcm ולא להפך. אשמח אם מתרגל יענה הטענה נכונה או לא.<br />
:::::תסתכל בשאלה שמתחת לזו, ותקרא טוב את ההגדרה. זה פשוט ההגדרה.<br />
::::::אני עניתי על השאלה שמתחת לזו =]. וזה לא נובע מההגדרה, זה יותר מסובך. (וחוץ מזה הרגע מתרגל אמר שזה ממש לא נכון אז יש לי סיבה טובה לחשוש שזה באמת לא נכון).<br />
:::::::ענית לי על השאלה שמתחת לזו XD. למה זה לא נובע מההגדרה? ההגדרה היא שה-<math>lcm(pols)</math> מתחלק בכל ה-pols, וההגדרה של מתחלק היא שקיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>lcm(pols)=f(x)*pol</math> לכל pol מתוך ה-pols. והמתרגל ענה שזה לרוב לא נכון, כי אמרת את הטענה הפוך.<br />
<br />
== LCM ==<br />
<br />
אפשר לקבל את ההגדרה המדוייקת (המתמטית) עבור lcm של פולינומים?<br />
<br />
לא מצאתי אותה בויקיפדיה.<br />
<br />
תודה!<br />
:(לא מתרגל), אני די בטוח שההגדרה היא- lcm(pols)|pols וגם לכל f(x) אחר שמחלק את ה-pols, מתקיים f(x)|lcm(pols).<br />
::תודה, אבל זה לא אמור להיות קצת הפוך? ככה:<br />
::pols מחלק את <math>lcm(pols)</math> וגם לכל <math>f(x)</math> '''שמתחלק''' ב-pols מתקיים <math>lcm(pols)</math> מחלק את <math>f(x)</math>?<br />
::ויש לי על ההגדרה הזו שתי שאלות:<br />
::1. מה זה אומר (שוב, מתמטית) שפולינום מחלק פולינום?<br />
::2. האם יש עוד הגדרה, שאומרת שהמעלה של <math>lcm(pols)</math> היא הקטנה מבין כל מעלות הפולינומים ש-pols מחלק?<br />
::שוב תודה!<br />
:::אוכל לענות לך על שאלה 1, מקווה שעם התשובה תוכל לענות גם על האחרות. אם פולינום fx מחלק את הפולינום rx, אז קיים qx כך ש fx=rx*qx. (דומה למספרים רק עם פולינומים).<br />
::::תודה רבה.</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-113_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%AA_%D7%93%D7%99%D7%95%D7%9F-%D7%A2%D7%93%D7%99_%D7%A0%D7%99%D7%91&diff=8452שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב2010-12-13T19:27:03Z<p>אלה: /* שאלות על lcm */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== בהמשך לשאלה קודמת ==<br />
רציתי לשאול אם בתרגיל 4.16 א' יש להוכיח את נכונות תהליך גראם שמידט או מותר להניח שהוא מתקיים? --[[משתמש:תמיר מאיר|תמיר מ.]] 21:03, 10 בדצמבר 2010 (IST)--<br />
<br />
== פולינום מינימלי וחברים ==<br />
<br />
יש לי שאלה: אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז עדיין אפשר להגיד שיש לפ"מ ולפ"א אותם גורמים אי-פריקים? (כי רציתי לפתור בעזרת זה את תרגיל 1. ב. חלק 2 מהעבודה לחנוכה).<br />
<br />
'''עדי:כן. פשוט ריבוייהם בפ"מ לא בהכרח יהיו 1.<br />
<br />
== שאלה 4 בסוף תרגיל 8 ==<br />
<br />
לא הבנתי את השאלה. הכוונה בהעברה לקבוצה ניצבת כך ש spanS=spanT, היא פשוט (עוד פעם) תהליך גראם שמידט? מה זה אומר "מה הצורה של spanS, הפורש של הווקטורים"? ומה זה אומר "בשימוש הנוסחאות מהכיתה מצא (..)"? איזה נוסחאות?<br />
תודה!<br />
<br />
'''עדי:<br />
<br />
'''spanS=spanT: כלומר שיפרשו את אותו מרחב<br />
<br />
'''מה הצורה של spanS: החלט בהתאם למימד על איזה "יצור" גאומטרי יושב המרחב<br />
<br />
'''בשיומש הנוסחאות מהכיתה:עבור מציאת מקדמי הצרוף הלנארי<br />
:אבל מה זה הנוסחאות מהכיתה, אילו נוסחאות?<br />
<br />
'''עבור וקטור y <br />
<math>c_i=yb_i/{||b_i||^2}</math><br />
<br />
== שאלה 4 - תרגיל 8 ==<br />
<br />
בשאלה זו מתבקש למצוא את המקדמים של הצירוף הליניארי של S כך שנקבל וקטור מסוים, שם רשום שנשתמש בנוסחאות מהכיתה.<br />
הנוסחאות שלמדנו בכיתה תקפות לבסיסים אורתוגונליים, אך בשאלה מתבקש הצירוף הליניארי של הוקטורים הלא אורתוגונליים.<br />
אני מפספס משהו...?<br />
<br />
'''עדי:<br />
'''בטא את הוקטור כצירוף לנארי של הבסיס הניצב. אח"כ שים לב שכל איבר בבסיס הניצב מבוטא בתהליך ג-ש כצרוף לנארי של הבסיס המקורי. לכן סך הכל תקבל צרוף לנארי של הבסיס המקורי.<br />
<br />
'''נ.ב. : ראשית בידקו אם הוקטור הנדרש בכלל שייך למרחב הפורש הנ"ל...<br />
<br />
== שאלות על lcm ==<br />
<br />
אפשר להגיד שהLCM של כמה פולינומים "מכיל" לפחות אחד מהפולינומים, כלומר- לפחות לפולינום אחד מתוך הפולינומים שעליהם עושים LCM, LCM מחלק אותו? תודה<br />
:לא, זה אפילו כמעט תמיד בהכרח לא נכון. ה-lcm הוא *כפולה* של הפולינומים, בשביל שהוא גם יחלק את אחד הפולינומים הוא יצטרך אז להיות שווה לאותו פולינום, וה-lcm שווה לאחד הפולינומים אמ"ם אותו פולינום הוא כפולה של כל שאר הפולינומים.. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:49, 13 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::למה הוא יהיה צריך להיות שווה לאותו פוילנום? אתה בטוח שלא מתקיים ש <br />
lcm(f1(x),..fkx) = fi(x)*q(x) z (הZ כדי לתקן עברית אנגלית), לפחות לi אחד? אין לי הוכחה פורמלית אבל זה נראה לי ממש נכון כי הlcm צריך להכיל את כל הגורמים האי פריקים של כל הפולינומים, ולכן מכיל את כל הגורמים האי פריקים של לפחות אחד מהם במעלה זהה לזה של הפולינום או יותר ולכן מחלק אחד מהפולינומים, או שאני טועה?<br />
<br />
:::(לא מתרגלת) לפי ויקיפדיה זה אמור להיות נכון, לפחות עבור מספרים. זו ההגדרה! אבל זה לא מה שכתבת קודם. lcm לא מחלק אותו - הוא מחלק את lcm.<br />
::::אה כן, הוא מחלק את lcm ולא להפך. אשמח אם מתרגל יענה הטענה נכונה או לא.<br />
:::::תסתכל בשאלה שמתחת לזו, ותקרא טוב את ההגדרה. זה פשוט ההגדרה.<br />
<br />
== LCM ==<br />
<br />
אפשר לקבל את ההגדרה המדוייקת (המתמטית) עבור lcm של פולינומים?<br />
<br />
לא מצאתי אותה בויקיפדיה.<br />
<br />
תודה!<br />
:(לא מתרגל), אני די בטוח שההגדרה היא- lcm(pols)|pols וגם לכל f(x) אחר שמחלק את ה-pols, מתקיים f(x)|lcm(pols).<br />
::תודה, אבל זה לא אמור להיות קצת הפוך? ככה:<br />
::pols מחלק את <math>lcm(pols)</math> וגם לכל <math>f(x)</math> '''שמתחלק''' ב-pols מתקיים <math>lcm(pols)</math> מחלק את <math>f(x)</math>?<br />
::ויש לי על ההגדרה הזו שתי שאלות:<br />
::1. מה זה אומר (שוב, מתמטית) שפולינום מחלק פולינום?<br />
::2. האם יש עוד הגדרה, שאומרת שהמעלה של <math>lcm(pols)</math> היא הקטנה מבין כל מעלות הפולינומים ש-pols מחלק?<br />
::שוב תודה!<br />
:::אוכל לענות לך על שאלה 1, מקווה שעם התשובה תוכל לענות גם על האחרות. אם פולינום fx מחלק את הפולינום rx, אז קיים qx כך ש fx=rx*qx. (דומה למספרים רק עם פולינומים).<br />
::::תודה רבה.</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-113_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%AA_%D7%93%D7%99%D7%95%D7%9F-%D7%A2%D7%93%D7%99_%D7%A0%D7%99%D7%91&diff=8451שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב2010-12-13T19:25:40Z<p>אלה: /* LCM */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== בהמשך לשאלה קודמת ==<br />
רציתי לשאול אם בתרגיל 4.16 א' יש להוכיח את נכונות תהליך גראם שמידט או מותר להניח שהוא מתקיים? --[[משתמש:תמיר מאיר|תמיר מ.]] 21:03, 10 בדצמבר 2010 (IST)--<br />
<br />
== פולינום מינימלי וחברים ==<br />
<br />
יש לי שאלה: אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז עדיין אפשר להגיד שיש לפ"מ ולפ"א אותם גורמים אי-פריקים? (כי רציתי לפתור בעזרת זה את תרגיל 1. ב. חלק 2 מהעבודה לחנוכה).<br />
<br />
'''עדי:כן. פשוט ריבוייהם בפ"מ לא בהכרח יהיו 1.<br />
<br />
== שאלה 4 בסוף תרגיל 8 ==<br />
<br />
לא הבנתי את השאלה. הכוונה בהעברה לקבוצה ניצבת כך ש spanS=spanT, היא פשוט (עוד פעם) תהליך גראם שמידט? מה זה אומר "מה הצורה של spanS, הפורש של הווקטורים"? ומה זה אומר "בשימוש הנוסחאות מהכיתה מצא (..)"? איזה נוסחאות?<br />
תודה!<br />
<br />
'''עדי:<br />
<br />
'''spanS=spanT: כלומר שיפרשו את אותו מרחב<br />
<br />
'''מה הצורה של spanS: החלט בהתאם למימד על איזה "יצור" גאומטרי יושב המרחב<br />
<br />
'''בשיומש הנוסחאות מהכיתה:עבור מציאת מקדמי הצרוף הלנארי<br />
:אבל מה זה הנוסחאות מהכיתה, אילו נוסחאות?<br />
<br />
'''עבור וקטור y <br />
<math>c_i=yb_i/{||b_i||^2}</math><br />
<br />
== שאלה 4 - תרגיל 8 ==<br />
<br />
בשאלה זו מתבקש למצוא את המקדמים של הצירוף הליניארי של S כך שנקבל וקטור מסוים, שם רשום שנשתמש בנוסחאות מהכיתה.<br />
הנוסחאות שלמדנו בכיתה תקפות לבסיסים אורתוגונליים, אך בשאלה מתבקש הצירוף הליניארי של הוקטורים הלא אורתוגונליים.<br />
אני מפספס משהו...?<br />
<br />
'''עדי:<br />
'''בטא את הוקטור כצירוף לנארי של הבסיס הניצב. אח"כ שים לב שכל איבר בבסיס הניצב מבוטא בתהליך ג-ש כצרוף לנארי של הבסיס המקורי. לכן סך הכל תקבל צרוף לנארי של הבסיס המקורי.<br />
<br />
'''נ.ב. : ראשית בידקו אם הוקטור הנדרש בכלל שייך למרחב הפורש הנ"ל...<br />
<br />
== שאלות על lcm ==<br />
<br />
אפשר להגיד שהLCM של כמה פולינומים "מכיל" לפחות אחד מהפולינומים, כלומר- לפחות לפולינום אחד מתוך הפולינומים שעליהם עושים LCM, LCM מחלק אותו? תודה<br />
:לא, זה אפילו כמעט תמיד בהכרח לא נכון. ה-lcm הוא *כפולה* של הפולינומים, בשביל שהוא גם יחלק את אחד הפולינומים הוא יצטרך אז להיות שווה לאותו פולינום, וה-lcm שווה לאחד הפולינומים אמ"ם אותו פולינום הוא כפולה של כל שאר הפולינומים.. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:49, 13 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::למה הוא יהיה צריך להיות שווה לאותו פוילנום? אתה בטוח שלא מתקיים ש <br />
lcm(f1(x),..fkx) = fi(x)*q(x) z (הZ כדי לתקן עברית אנגלית), לפחות לi אחד? אין לי הוכחה פורמלית אבל זה נראה לי ממש נכון כי הlcm צריך להכיל את כל הגורמים האי פריקים של כל הפולינומים, ולכן מכיל את כל הגורמים האי פריקים של לפחות אחד מהם במעלה זהה לזה של הפולינום או יותר ולכן מחלק אחד מהפולינומים, או שאני טועה?<br />
<br />
:::(לא מתרגלת) לפי ויקיפדיה זה אמור להיות נכון, לפחות עבור מספרים. זו ההגדרה! אבל זה לא מה שכתבת קודם. lcm לא מחלק אותו - הוא מחלק את lcm.<br />
::::אה כן, הוא מחלק את lcm ולא להפך. אשמח אם מתרגל יענה הטענה נכונה או לא.<br />
<br />
== LCM ==<br />
<br />
אפשר לקבל את ההגדרה המדוייקת (המתמטית) עבור lcm של פולינומים?<br />
<br />
לא מצאתי אותה בויקיפדיה.<br />
<br />
תודה!<br />
:(לא מתרגל), אני די בטוח שההגדרה היא- lcm(pols)|pols וגם לכל f(x) אחר שמחלק את ה-pols, מתקיים f(x)|lcm(pols).<br />
::תודה, אבל זה לא אמור להיות קצת הפוך? ככה:<br />
::pols מחלק את <math>lcm(pols)</math> וגם לכל <math>f(x)</math> '''שמתחלק''' ב-pols מתקיים <math>lcm(pols)</math> מחלק את <math>f(x)</math>?<br />
::ויש לי על ההגדרה הזו שתי שאלות:<br />
::1. מה זה אומר (שוב, מתמטית) שפולינום מחלק פולינום?<br />
::2. האם יש עוד הגדרה, שאומרת שהמעלה של <math>lcm(pols)</math> היא הקטנה מבין כל מעלות הפולינומים ש-pols מחלק?<br />
::שוב תודה!<br />
:::אוכל לענות לך על שאלה 1, מקווה שעם התשובה תוכל לענות גם על האחרות. אם פולינום fx מחלק את הפולינום rx, אז קיים qx כך ש fx=rx*qx. (דומה למספרים רק עם פולינומים).<br />
::::תודה רבה.</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=8438שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-12-13T17:17:40Z<p>אלה: /* תשובה */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
== תרגול עם אפי ==<br />
<br />
מישהו יודע איפה התירגול מחר בבוקר עם אפי כהן?<br />
:מבנה 216, חדר 201.<br />
<br />
== לגבי הבוחן. ==<br />
<br />
צריך לדעת לבוחן את התהליך וביצועו של שינוי איברים בטור בכדי שיתכנס? או שמספיק לדעת לבוחן אם ניתן לעשות את השינוי/ מתכנסת בהחלט וכו...<br />
[ידוע שצריך לדעת את החומר הזה בגדול והן למבחן הסופי, השאלה אם זה גם נכלל בהיקף המידע והביצוע של הבוחן....]<br />
תודה.<br />
<br />
:לא צריך את זה לבוחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:43, 5 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הגשת תרגיל 8 ==<br />
<br />
אם אפשר לדעת מתי תאריך הגשת תרגיל 8<br />
<br />
:תלוי מי. אצלי (ארז) ההגשה היא לשבוע הקרוב, כלומר יום ראשון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:18, 6 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אם אתה אצל אפי, ההגשה גם ביום א ('''הבהרה:''' הודעה זו נשלחה על ידי תלמיד של אפי ולא על ידי אפי עצמו...)<br />
::ומי שאצל אדוארד?<br />
<br />
== בוחן ==<br />
<br />
שלום רב,<br />
<br />
האם תעלו בהמשך את הבוחן ואת התשובות לו (אני מדבר גם על הוחן שנערך לתיכוניסטים וגם לבוחן שנערך לסטודנטים הרגילים)?<br />
<br />
תודה רבה מראש!<br />
<br />
:לגבי התיכוניסטים אני לא יודע, לרגילים נעלה בימים הקרובים<br />
<br />
== תרגיל 7 שאלה 3 ==<br />
<br />
ארז,<br />
לא הבנתי את הפתרון שלך לשאלה 3 בתרגיל 7 (הבנתי את מה שאמרת בהתחלה, ואז כשפירקת את הסכום ל2 שברים, לא הבנתי בכלל מאיפה הגעת אליהם). אפשר קצת הסבר?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
תציב שם a=0,1,...5 ותראה שסה"כ מקבלים את כל האינדקסים האפשריים. למה הדבר דומה? נסתכל על מספרים קטנים יותר, במקום 12 ניקח 4. נראה לחלק את הטוב <math>\sum a_n</math> לשני טורים:<br />
<math>\sum a_{4n-a+2}-a_{4n-a}</math> עבור a=0,1.<br />
<br />
מה נקבל?<br />
<math>4n-0+2,4n-0,4n-1+2,4n-1</math> שזה סה"כ <math>4n-1,4n,4n+1,4n+2</math> וזה בדיוק לחלק את הסדרה ל4 תתי סדרות שבהן לוקחים כל איבר רביעי..<br />
<br />
אחרי שמבינים שלקחנו 12 תתי סדרות, שאר הפתרון הוא אלגברי/טריגונומטרי/אינפיניטיסימלי :) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:36, 8 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אבל לא הבנתי גם את הרעיון שמאחורי ההוכחה.. הרי חילוק לתתי סדרות הוא כמו השמת סוגריים (נראה לי), ולמדנו שאם הטור שהתקבל מטור אחר ע"י השמת סוגריים והטור המקורי לא מתכנסים ומתבדרים יחד..<br />
::זה לא כמו השמת סוגריים, בכיתה שלי הראתי כיצד אפשר לחלק טורים באופן חוקי. נניח אתה רוצה לחלק טור לשניים, אתה פשוט מאפס פעם את האיברים הזוגיים ופעם את האי זוגיים. בינתיים ברור שסכום שני הטורים הללו שווה למקורי. עכשיו יש משפט שאם אתה מעלים את האפסים האלה, סכום הטור נשאר זהה. והנה חלקנו טור לסכום טור האיבריים הזוגיים וטור האיברים האי זוגיים. (בתרגיל אנחנו מחלקים ל6 טורים בעלי סימנים מתחלפים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:18, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:::אה, הבנתי, אבל לא עשינו את זה בכיתת התרגול שלי (אדוארד)...<br />
::::אפשר להראות את זה גם בעזרת סכומים חלקיים. כל סכום חלקי של הטור ניתן לפרק לסכום של שישה סכומים חלקיים אחרים, כאשר אלה מתכנסים, ואז להשתמש באריתמטיקה של גבולות של סדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:46, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::סליחה על ההטרדה, אבל לא הבנתי את החלוקה לסכום של 2 הביטויים... מה עשית? בעצם חילקת את הטור ל12 טורים רק שחיברת כל 2 מהם ביחד?<br />
<br />
:::משהו כזה, צורת הרישום שם קצת לא מדויקת. זה לא בדיוק שאני מחבר כל שניים מהם, אלא אני בפועל מחלק את הטור ל6 ולא ל12 (כי מתקבלים במונה 6 ערכים שונים, כל אחד בפלוס מינוס. בכל טור אני משאיר את הפלוס מינוס של ערך מסוים, וכך אני מקבל טור עם סימנים מתחלפים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:57, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::אני עדיין מתקשה להבין מה אומר הסכום של 2 האיברים שבטור. הסכום של שני הביטויים שמופיעים בטור, זה בעצם סכום של כל איבר וזה שאחריו? (בכל אחד מ6 הטורים)? אבל אם כן, אז זה לא אמור להיות לכל n אי-זוגי? (כי אם זה סכום של איבר ועוקבו, אז כל האיברים פרט לראשון ולאחרון יופיעו פעמיים). ועוד שאלה- אז איך חילקנו את הטור ל6 ולא ל12 אם המחזור של n הוא 12 ולא 6?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני אנסה להבהיר באמצעות דוגמא. שוב, נניח שמדובר במחזור 4 במקום 12, כלומר <math>sin(\frac{n\pi}{2})</math>. הסינוס מקבל 4 ערכים שונים, עבור <math>n=1,2,3,4</math> והם <br />
<br />
<math>r_1=1,r_2=0,r_3=-r_1=-1,r_4=-r_2=0</math>. <br />
<br />
ניתן, איפוא, לחלק את הערכים האלה לזוגות <math>\pm r_1, \pm r_2</math>. נסתכל על איברי הטור <math>\sum \frac{sin(\frac{n\pi}{2})}{ln(n+1)}</math>:<br />
<br />
<math>\frac{r_1}{ln(2)}+\frac{r_2}{ln(3)}+\frac{r_3}{ln(4)}+\frac{r_4}{ln(5)}+\frac{r_1}{ln(6)}+\frac{r_2}{ln(7)}+\frac{r_3}{ln(8)}+\frac{r_4}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
לפי האמור מעלה, זה שווה בעצם ל<br />
<br />
<math>\frac{r_1}{ln(2)}+\frac{r_2}{ln(3)}-\frac{r_1}{ln(4)}-\frac{r_2}{ln(5)}+\frac{r_1}{ln(6)}+\frac{r_2}{ln(7)}-\frac{r_1}{ln(8)}-\frac{r_2}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
אז מחלקים את הטור הזה ל2 (זה המקבילה של לחלק את הטור בשאלה ל6):<br />
<br />
<math>\sum b_n=\frac{r_1}{ln(2)}-\frac{r_1}{ln(4)}+\frac{r_1}{ln(6)}-\frac{r_1}{ln(8)}+...</math><br />
<br />
<math>\sum c_n=\frac{r_2}{ln(3)}-\frac{r_2}{ln(5)}+\frac{r_2}{ln(7)}-\frac{r_2}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
קל מאד לראות שהטורים b_n,c_n מתכנסים לפי משפט לייבניץ. <br />
<br />
בשאלה המקורית זה בדיוק אותו דבר רק שיש <math>\pm r_1,...,\pm r_6</math>.<br />
:הבנתי עכשיו לגמרי תודה רבה מקרב לב!!<br />
<br />
== לא הבנתי את שאלה 7 (תרגיל 7).. ==<br />
<br />
איך בסעיף א' זה מתבדר וב-ב' זה מתכנס?? שני התנאים בסעיפים א' ו-ב' הם אותו התנאי!!<br />
<br />
:התנאי איננו אותו התנאי בשני הסעיפים, התנאי בסעיף ב' חזק יותר. בסעיף ב' לא רק שהמנה בערך מוחלט קטנה מ1, אלא גם קיים איזשהו מספר קטן מ1 שהמנה בערך מוחלט תהיה תמיד קטנה שווה לו, כלומר היא לא שואפת ל1, מה שיכול להיות בסעיף א'. לראיה קח את הסדרה <math>{a_n} = \frac{1}{n}</math>, המקיימת את התנאי שבסעיף א' ואינה מקיימת את התנאי שבסעיף ב'. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 12:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::אבל התנאי בסעיף א' גורר את ב', כי אם נסמן את הביטוי הזה שקטן מאלפא xn, אז נניח בשלילה שxn<1 לכל n אבל לא מתקיים ש xn<=a<1 לכל n, ולכן קיים n שבשבילו xn>a, לכל a שקטן מאחד, או במילים אחרות xn הוא חסם מלעיל של הקבוצה <math>(-infinity, 1)</math> ולכן xn הנ"ל בהכרח גדול שווה ל1 בסתירה לכך שהוא קטן מאחד. לא ככה?<br />
:::תנאי ב' גורר את תנאי א'. אתה ניסית להוכיח ההפך, אבל בחוסר הצלחה. x_n אינו מספר מסויים שגדול מכל a. זו סדרה שיש בה איברים שגדולים מכל a. דוגמא פשוטה: <math>0.9,0.99,0.999,0.9999,...</math>. ברור שאין a קטן מאחד שגדול יותר מכל איברי הסדרה כיוון שהיא שואפת לאחד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::לא הבנתי...... x_n עבור n מסוים הוא מספר, לא סדרה...<br />
:::::רשמת "ולכן קיים n שבשבילו xn>a, לכל a שקטן מאחד" זה לא נכון. לכל a יהיה x_n אחר כמו בדוגמא לעיל, כמו בחסמים.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::::עכשיו אני מבין בערך את הכוונה של מה שאתם אומרים, אבל זה עדיין לא מסתדר עם העובדה, שהשלילה של המשפט, "לכל n מתקיים x_n (הביטויים התהפכו) קטן מכל a שקטן מאחד" (המשפט הנתון), היא "קיים x_n שגדול מכל a שקטן מאחד".<br />
:::::::לא נסחת את המשפט כמו שצריך ולכן השלילה שגוייה. המשפט הינו "קיים a כך שלכל n מתקיים x_n<a", והשלילה שלו הינה "לכל a קיים n כך ש x_n>=a" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:49, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::::::אוקי<br />
<br />
== משפט ליפשיץ ומשפט לייבניץ ==<br />
<br />
בתרגול, כתבנו שמשפט לייבניץ, הוא מה שכתבנו בהרצאה שהוא משפט ליפשיץ. (על התכנסות טור מתחלף). מישהו שיודע בוודאות, יכול להגיד מהו משפט ליפשיץ ומהו משפט לייבניץ? תודה!<br />
:משפט לייבניץ - תהי an סדרה לא עולה חיובית מתכנסת לאפס, אזי הטור <math>\sum (-1)^na_n</math>מתכנס.<br />
::אז מה זה משפט ליפשיץ?<br />
:::לא יודע.<br />
<br />
== לגבי הבוחן ==<br />
<br />
בעמוד הראשי כתוב "הבוחן ופתרונו", עם ה' הידיעה, כאילו קיים רק בוחן אחד. ז"א שלא יופיע באתר הבוחן של התיכוניסטים ופתרונו?<br />
תודה<br />
:ממש ניתוח בלשני (:. אני אזכיר שוב, המתרגלים של התיכוניסטים לא נכנסים לפורום, תדברו איתם ישירות (במייל) ואם הם רוצים לפרסם פתרון הם יעשו זאת. אין קשר לשימוש הרשלני שלי בהא הידיעה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:18, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== האם מותר לי? ==<br />
<br />
האם מותר לי לכתוב ש (x-8)^2+(19x-358)}/(x-8)<= (x-8)^2/(x-8)}<br />
כש x שואף ל 7, הרי ש 19X7<358<br />
<br />
:תוכיח את זה אלגברית. תאמר איזה תנאי דלתא צריך לקיים כך שבסביבת דלתא יתקיים אי השיוויון שרשמת. בגדול נשמע כמו רעיון נכון (בלי שבדקתי לעומק את המספרים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:15, 11 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== רק ליתר ביטחון ==<br />
<br />
לא צריך לפרט את ההכנה להוכחות של התכנסות פונקציות, נכון? כלומר למה הגענו דווקא ל-<math>\delta=\varepsilon</math> (למשל) ולא <math>\delta=\varepsilon-1</math>. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 19:39, 11 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:צריך להוכיח שאם דלתא מקיים את התכונה אזי הגדרת הגבול מתקיימת, כלומר לכל איקס שקרוב לאיקס-אפס עד כדי דלתא, הפונקציה מופעלת על איקס קרובה לגבול עד כדי אפסילון. --[[מיוחד:תרומות/84.108.188.70|84.108.188.70]] 00:55, 12 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הגשת תרגיל בקבוצה של אדוארד ==<br />
<br />
האם מי שנמצא בקבוצה של אדוארד צריך להגיש למחר את תרגיל 8?<br />
:רק את תרגיל 7, לפי הידוע לי (אני אצל אדוארד).<br />
<br />
== תרגיל 7, שאלה 2, סעיף a ==<br />
<br />
לא ברורה לי ההגדרה של <math>D_n^k</math>. הרי אם <math>d_k=\sum_{n=k}^{\infty }a_n=d_1,d_2,...d_k=\sum_{n=1}^{\infty }a_n,\sum_{n=2}^{\infty }a_n,...,\sum_{n=k}^{\infty }a_n</math> אז סדרת הסכומים החלקיים <math>D_n^k=\sum_{k=1}^{n }d_k=d_1,d_1+d_2,...,\sum_{k=1}^{n }d_k</math><br />
<br />
ולא <math>D_n^k=a_k+...+a_{k+n}</math> כמו שכתוב.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני לא מבין את המשוואה <math>\sum_{n=k}^{\infty }a_n=d_1,d_2,...d_k</math>. איך סכום על הסדרה a_n מk עד אינסוף הפך לסכום על d_n מ1 עד k?<br />
<br />
<math>d_k=\sum_{n=k}^{\infty }a_n=a_k+a_{k+1}+...</math>. ולכן סדרת הסכומים החלקיים של הטור הזה הינה <math>D^k_1=a_k, D^k_2=a_{k+1},...</math> <br />
<br />
אני אדגיש: עבור k '''קבוע''', <math>D^k_n</math> היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>d_k</math>.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 12 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:נראה לי שהבנתי: כשאמרת סדרת סכומים חלקיים, התכוונת לסדרת הסכומים החלקיים של הטור, שמיוצג על ידי <math>d_k</math>. אני חשבתי שהתכוונת לסדרת הסכומים החלקיים של הסדרה <math>d_k</math> שאבריה הם סכומים. תודה.<br />
<br />
== תרגיל 8 ==<br />
<br />
שכחתי להגיש את התרגיל בשיעור היום, איך אוכל להעביר אותו לבדיקה בכל זאת?<br />
:להגיש יום חמישי.<br />
<br />
== תרגיל 9 ==<br />
<br />
מתי הוא יעלה?<br />
:היום</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=8423שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-12-12T08:13:55Z<p>אלה: /* תרגיל 7, שאלה 2, סעיף a */ פסקה חדשה</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
== תרגול עם אפי ==<br />
<br />
מישהו יודע איפה התירגול מחר בבוקר עם אפי כהן?<br />
:מבנה 216, חדר 201.<br />
<br />
== לגבי הבוחן. ==<br />
<br />
צריך לדעת לבוחן את התהליך וביצועו של שינוי איברים בטור בכדי שיתכנס? או שמספיק לדעת לבוחן אם ניתן לעשות את השינוי/ מתכנסת בהחלט וכו...<br />
[ידוע שצריך לדעת את החומר הזה בגדול והן למבחן הסופי, השאלה אם זה גם נכלל בהיקף המידע והביצוע של הבוחן....]<br />
תודה.<br />
<br />
:לא צריך את זה לבוחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:43, 5 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הגשת תרגיל 8 ==<br />
<br />
אם אפשר לדעת מתי תאריך הגשת תרגיל 8<br />
<br />
:תלוי מי. אצלי (ארז) ההגשה היא לשבוע הקרוב, כלומר יום ראשון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:18, 6 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אם אתה אצל אפי, ההגשה גם ביום א ('''הבהרה:''' הודעה זו נשלחה על ידי תלמיד של אפי ולא על ידי אפי עצמו...)<br />
::ומי שאצל אדוארד?<br />
<br />
== בוחן ==<br />
<br />
שלום רב,<br />
<br />
האם תעלו בהמשך את הבוחן ואת התשובות לו (אני מדבר גם על הוחן שנערך לתיכוניסטים וגם לבוחן שנערך לסטודנטים הרגילים)?<br />
<br />
תודה רבה מראש!<br />
<br />
:לגבי התיכוניסטים אני לא יודע, לרגילים נעלה בימים הקרובים<br />
<br />
== תרגיל 7 שאלה 3 ==<br />
<br />
ארז,<br />
לא הבנתי את הפתרון שלך לשאלה 3 בתרגיל 7 (הבנתי את מה שאמרת בהתחלה, ואז כשפירקת את הסכום ל2 שברים, לא הבנתי בכלל מאיפה הגעת אליהם). אפשר קצת הסבר?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
תציב שם a=0,1,...5 ותראה שסה"כ מקבלים את כל האינדקסים האפשריים. למה הדבר דומה? נסתכל על מספרים קטנים יותר, במקום 12 ניקח 4. נראה לחלק את הטוב <math>\sum a_n</math> לשני טורים:<br />
<math>\sum a_{4n-a+2}-a_{4n-a}</math> עבור a=0,1.<br />
<br />
מה נקבל?<br />
<math>4n-0+2,4n-0,4n-1+2,4n-1</math> שזה סה"כ <math>4n-1,4n,4n+1,4n+2</math> וזה בדיוק לחלק את הסדרה ל4 תתי סדרות שבהן לוקחים כל איבר רביעי..<br />
<br />
אחרי שמבינים שלקחנו 12 תתי סדרות, שאר הפתרון הוא אלגברי/טריגונומטרי/אינפיניטיסימלי :) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:36, 8 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אבל לא הבנתי גם את הרעיון שמאחורי ההוכחה.. הרי חילוק לתתי סדרות הוא כמו השמת סוגריים (נראה לי), ולמדנו שאם הטור שהתקבל מטור אחר ע"י השמת סוגריים והטור המקורי לא מתכנסים ומתבדרים יחד..<br />
::זה לא כמו השמת סוגריים, בכיתה שלי הראתי כיצד אפשר לחלק טורים באופן חוקי. נניח אתה רוצה לחלק טור לשניים, אתה פשוט מאפס פעם את האיברים הזוגיים ופעם את האי זוגיים. בינתיים ברור שסכום שני הטורים הללו שווה למקורי. עכשיו יש משפט שאם אתה מעלים את האפסים האלה, סכום הטור נשאר זהה. והנה חלקנו טור לסכום טור האיבריים הזוגיים וטור האיברים האי זוגיים. (בתרגיל אנחנו מחלקים ל6 טורים בעלי סימנים מתחלפים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:18, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:::אה, הבנתי, אבל לא עשינו את זה בכיתת התרגול שלי (אדוארד)...<br />
::::אפשר להראות את זה גם בעזרת סכומים חלקיים. כל סכום חלקי של הטור ניתן לפרק לסכום של שישה סכומים חלקיים אחרים, כאשר אלה מתכנסים, ואז להשתמש באריתמטיקה של גבולות של סדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:46, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::סליחה על ההטרדה, אבל לא הבנתי את החלוקה לסכום של 2 הביטויים... מה עשית? בעצם חילקת את הטור ל12 טורים רק שחיברת כל 2 מהם ביחד?<br />
<br />
:::משהו כזה, צורת הרישום שם קצת לא מדויקת. זה לא בדיוק שאני מחבר כל שניים מהם, אלא אני בפועל מחלק את הטור ל6 ולא ל12 (כי מתקבלים במונה 6 ערכים שונים, כל אחד בפלוס מינוס. בכל טור אני משאיר את הפלוס מינוס של ערך מסוים, וכך אני מקבל טור עם סימנים מתחלפים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:57, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::אני עדיין מתקשה להבין מה אומר הסכום של 2 האיברים שבטור. הסכום של שני הביטויים שמופיעים בטור, זה בעצם סכום של כל איבר וזה שאחריו? (בכל אחד מ6 הטורים)? אבל אם כן, אז זה לא אמור להיות לכל n אי-זוגי? (כי אם זה סכום של איבר ועוקבו, אז כל האיברים פרט לראשון ולאחרון יופיעו פעמיים). ועוד שאלה- אז איך חילקנו את הטור ל6 ולא ל12 אם המחזור של n הוא 12 ולא 6?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני אנסה להבהיר באמצעות דוגמא. שוב, נניח שמדובר במחזור 4 במקום 12, כלומר <math>sin(\frac{n\pi}{2})</math>. הסינוס מקבל 4 ערכים שונים, עבור <math>n=1,2,3,4</math> והם <br />
<br />
<math>r_1=1,r_2=0,r_3=-r_1=-1,r_4=-r_2=0</math>. <br />
<br />
ניתן, איפוא, לחלק את הערכים האלה לזוגות <math>\pm r_1, \pm r_2</math>. נסתכל על איברי הטור <math>\sum \frac{sin(\frac{n\pi}{2})}{ln(n+1)}</math>:<br />
<br />
<math>\frac{r_1}{ln(2)}+\frac{r_2}{ln(3)}+\frac{r_3}{ln(4)}+\frac{r_4}{ln(5)}+\frac{r_1}{ln(6)}+\frac{r_2}{ln(7)}+\frac{r_3}{ln(8)}+\frac{r_4}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
לפי האמור מעלה, זה שווה בעצם ל<br />
<br />
<math>\frac{r_1}{ln(2)}+\frac{r_2}{ln(3)}-\frac{r_1}{ln(4)}-\frac{r_2}{ln(5)}+\frac{r_1}{ln(6)}+\frac{r_2}{ln(7)}-\frac{r_1}{ln(8)}-\frac{r_2}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
אז מחלקים את הטור הזה ל2 (זה המקבילה של לחלק את הטור בשאלה ל6):<br />
<br />
<math>\sum b_n=\frac{r_1}{ln(2)}-\frac{r_1}{ln(4)}+\frac{r_1}{ln(6)}-\frac{r_1}{ln(8)}+...</math><br />
<br />
<math>\sum c_n=\frac{r_2}{ln(3)}-\frac{r_2}{ln(5)}+\frac{r_2}{ln(7)}-\frac{r_2}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
קל מאד לראות שהטורים b_n,c_n מתכנסים לפי משפט לייבניץ. <br />
<br />
בשאלה המקורית זה בדיוק אותו דבר רק שיש <math>\pm r_1,...,\pm r_6</math>.<br />
:הבנתי עכשיו לגמרי תודה רבה מקרב לב!!<br />
<br />
== לא הבנתי את שאלה 7 (תרגיל 7).. ==<br />
<br />
איך בסעיף א' זה מתבדר וב-ב' זה מתכנס?? שני התנאים בסעיפים א' ו-ב' הם אותו התנאי!!<br />
<br />
:התנאי איננו אותו התנאי בשני הסעיפים, התנאי בסעיף ב' חזק יותר. בסעיף ב' לא רק שהמנה בערך מוחלט קטנה מ1, אלא גם קיים איזשהו מספר קטן מ1 שהמנה בערך מוחלט תהיה תמיד קטנה שווה לו, כלומר היא לא שואפת ל1, מה שיכול להיות בסעיף א'. לראיה קח את הסדרה <math>{a_n} = \frac{1}{n}</math>, המקיימת את התנאי שבסעיף א' ואינה מקיימת את התנאי שבסעיף ב'. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 12:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::אבל התנאי בסעיף א' גורר את ב', כי אם נסמן את הביטוי הזה שקטן מאלפא xn, אז נניח בשלילה שxn<1 לכל n אבל לא מתקיים ש xn<=a<1 לכל n, ולכן קיים n שבשבילו xn>a, לכל a שקטן מאחד, או במילים אחרות xn הוא חסם מלעיל של הקבוצה <math>(-infinity, 1)</math> ולכן xn הנ"ל בהכרח גדול שווה ל1 בסתירה לכך שהוא קטן מאחד. לא ככה?<br />
:::תנאי ב' גורר את תנאי א'. אתה ניסית להוכיח ההפך, אבל בחוסר הצלחה. x_n אינו מספר מסויים שגדול מכל a. זו סדרה שיש בה איברים שגדולים מכל a. דוגמא פשוטה: <math>0.9,0.99,0.999,0.9999,...</math>. ברור שאין a קטן מאחד שגדול יותר מכל איברי הסדרה כיוון שהיא שואפת לאחד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::לא הבנתי...... x_n עבור n מסוים הוא מספר, לא סדרה...<br />
:::::רשמת "ולכן קיים n שבשבילו xn>a, לכל a שקטן מאחד" זה לא נכון. לכל a יהיה x_n אחר כמו בדוגמא לעיל, כמו בחסמים.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::::עכשיו אני מבין בערך את הכוונה של מה שאתם אומרים, אבל זה עדיין לא מסתדר עם העובדה, שהשלילה של המשפט, "לכל n מתקיים x_n (הביטויים התהפכו) קטן מכל a שקטן מאחד" (המשפט הנתון), היא "קיים x_n שגדול מכל a שקטן מאחד".<br />
:::::::לא נסחת את המשפט כמו שצריך ולכן השלילה שגוייה. המשפט הינו "קיים a כך שלכל n מתקיים x_n<a", והשלילה שלו הינה "לכל a קיים n כך ש x_n>=a" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:49, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::::::אוקי<br />
<br />
== משפט ליפשיץ ומשפט לייבניץ ==<br />
<br />
בתרגול, כתבנו שמשפט לייבניץ, הוא מה שכתבנו בהרצאה שהוא משפט ליפשיץ. (על התכנסות טור מתחלף). מישהו שיודע בוודאות, יכול להגיד מהו משפט ליפשיץ ומהו משפט לייבניץ? תודה!<br />
:משפט לייבניץ - תהי an סדרה לא עולה חיובית מתכנסת לאפס, אזי הטור <math>\sum (-1)^na_n</math>מתכנס.<br />
::אז מה זה משפט ליפשיץ?<br />
:::לא יודע.<br />
<br />
== לגבי הבוחן ==<br />
<br />
בעמוד הראשי כתוב "הבוחן ופתרונו", עם ה' הידיעה, כאילו קיים רק בוחן אחד. ז"א שלא יופיע באתר הבוחן של התיכוניסטים ופתרונו?<br />
תודה<br />
:ממש ניתוח בלשני (:. אני אזכיר שוב, המתרגלים של התיכוניסטים לא נכנסים לפורום, תדברו איתם ישירות (במייל) ואם הם רוצים לפרסם פתרון הם יעשו זאת. אין קשר לשימוש הרשלני שלי בהא הידיעה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:18, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== האם מותר לי? ==<br />
<br />
האם מותר לי לכתוב ש (x-8)^2+(19x-358)}/(x-8)<= (x-8)^2/(x-8)}<br />
כש x שואף ל 7, הרי ש 19X7<358<br />
<br />
:תוכיח את זה אלגברית. תאמר איזה תנאי דלתא צריך לקיים כך שבסביבת דלתא יתקיים אי השיוויון שרשמת. בגדול נשמע כמו רעיון נכון (בלי שבדקתי לעומק את המספרים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:15, 11 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== רק ליתר ביטחון ==<br />
<br />
לא צריך לפרט את ההכנה להוכחות של התכנסות פונקציות, נכון? כלומר למה הגענו דווקא ל-<math>\delta=\varepsilon</math> (למשל) ולא <math>\delta=\varepsilon-1</math>. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 19:39, 11 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:צריך להוכיח שאם דלתא מקיים את התכונה אזי הגדרת הגבול מתקיימת, כלומר לכל איקס שקרוב לאיקס-אפס עד כדי דלתא, הפונקציה מופעלת על איקס קרובה לגבול עד כדי אפסילון. --[[מיוחד:תרומות/84.108.188.70|84.108.188.70]] 00:55, 12 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הגשת תרגיל בקבוצה של אדוארד ==<br />
<br />
האם מי שנמצא בקבוצה של אדוארד צריך להגיש למחר את תרגיל 8?<br />
:רק את תרגיל 7, לפי הידוע לי (אני אצל אדוארד).<br />
<br />
== תרגיל 7, שאלה 2, סעיף a ==<br />
<br />
לא ברורה לי ההגדרה של <math>D_n^k</math>. הרי אם <math>d_k=\sum_{n=k}^{\infty }a_n=d_1,d_2,...d_k=\sum_{n=1}^{\infty }a_n,\sum_{n=2}^{\infty }a_n,...,\sum_{n=k}^{\infty }a_n</math> אז סדרת הסכומים החלקיים <math>D_n^k=\sum_{k=1}^{n }d_k=d_1,d_1+d_2,...,\sum_{k=1}^{n }d_k</math><br />
<br />
ולא <math>D_n^k=a_k+...+a_{k+n}</math> כמו שכתוב.</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=8422שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-12-12T07:52:04Z<p>אלה: /* הגשת תרגיל בקבוצה של אדוארד */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
== תרגול עם אפי ==<br />
<br />
מישהו יודע איפה התירגול מחר בבוקר עם אפי כהן?<br />
:מבנה 216, חדר 201.<br />
<br />
== לגבי הבוחן. ==<br />
<br />
צריך לדעת לבוחן את התהליך וביצועו של שינוי איברים בטור בכדי שיתכנס? או שמספיק לדעת לבוחן אם ניתן לעשות את השינוי/ מתכנסת בהחלט וכו...<br />
[ידוע שצריך לדעת את החומר הזה בגדול והן למבחן הסופי, השאלה אם זה גם נכלל בהיקף המידע והביצוע של הבוחן....]<br />
תודה.<br />
<br />
:לא צריך את זה לבוחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:43, 5 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הגשת תרגיל 8 ==<br />
<br />
אם אפשר לדעת מתי תאריך הגשת תרגיל 8<br />
<br />
:תלוי מי. אצלי (ארז) ההגשה היא לשבוע הקרוב, כלומר יום ראשון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:18, 6 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אם אתה אצל אפי, ההגשה גם ביום א ('''הבהרה:''' הודעה זו נשלחה על ידי תלמיד של אפי ולא על ידי אפי עצמו...)<br />
::ומי שאצל אדוארד?<br />
<br />
== בוחן ==<br />
<br />
שלום רב,<br />
<br />
האם תעלו בהמשך את הבוחן ואת התשובות לו (אני מדבר גם על הוחן שנערך לתיכוניסטים וגם לבוחן שנערך לסטודנטים הרגילים)?<br />
<br />
תודה רבה מראש!<br />
<br />
:לגבי התיכוניסטים אני לא יודע, לרגילים נעלה בימים הקרובים<br />
<br />
== תרגיל 7 שאלה 3 ==<br />
<br />
ארז,<br />
לא הבנתי את הפתרון שלך לשאלה 3 בתרגיל 7 (הבנתי את מה שאמרת בהתחלה, ואז כשפירקת את הסכום ל2 שברים, לא הבנתי בכלל מאיפה הגעת אליהם). אפשר קצת הסבר?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
תציב שם a=0,1,...5 ותראה שסה"כ מקבלים את כל האינדקסים האפשריים. למה הדבר דומה? נסתכל על מספרים קטנים יותר, במקום 12 ניקח 4. נראה לחלק את הטוב <math>\sum a_n</math> לשני טורים:<br />
<math>\sum a_{4n-a+2}-a_{4n-a}</math> עבור a=0,1.<br />
<br />
מה נקבל?<br />
<math>4n-0+2,4n-0,4n-1+2,4n-1</math> שזה סה"כ <math>4n-1,4n,4n+1,4n+2</math> וזה בדיוק לחלק את הסדרה ל4 תתי סדרות שבהן לוקחים כל איבר רביעי..<br />
<br />
אחרי שמבינים שלקחנו 12 תתי סדרות, שאר הפתרון הוא אלגברי/טריגונומטרי/אינפיניטיסימלי :) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:36, 8 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אבל לא הבנתי גם את הרעיון שמאחורי ההוכחה.. הרי חילוק לתתי סדרות הוא כמו השמת סוגריים (נראה לי), ולמדנו שאם הטור שהתקבל מטור אחר ע"י השמת סוגריים והטור המקורי לא מתכנסים ומתבדרים יחד..<br />
::זה לא כמו השמת סוגריים, בכיתה שלי הראתי כיצד אפשר לחלק טורים באופן חוקי. נניח אתה רוצה לחלק טור לשניים, אתה פשוט מאפס פעם את האיברים הזוגיים ופעם את האי זוגיים. בינתיים ברור שסכום שני הטורים הללו שווה למקורי. עכשיו יש משפט שאם אתה מעלים את האפסים האלה, סכום הטור נשאר זהה. והנה חלקנו טור לסכום טור האיבריים הזוגיים וטור האיברים האי זוגיים. (בתרגיל אנחנו מחלקים ל6 טורים בעלי סימנים מתחלפים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:18, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:::אה, הבנתי, אבל לא עשינו את זה בכיתת התרגול שלי (אדוארד)...<br />
::::אפשר להראות את זה גם בעזרת סכומים חלקיים. כל סכום חלקי של הטור ניתן לפרק לסכום של שישה סכומים חלקיים אחרים, כאשר אלה מתכנסים, ואז להשתמש באריתמטיקה של גבולות של סדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:46, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::סליחה על ההטרדה, אבל לא הבנתי את החלוקה לסכום של 2 הביטויים... מה עשית? בעצם חילקת את הטור ל12 טורים רק שחיברת כל 2 מהם ביחד?<br />
<br />
:::משהו כזה, צורת הרישום שם קצת לא מדויקת. זה לא בדיוק שאני מחבר כל שניים מהם, אלא אני בפועל מחלק את הטור ל6 ולא ל12 (כי מתקבלים במונה 6 ערכים שונים, כל אחד בפלוס מינוס. בכל טור אני משאיר את הפלוס מינוס של ערך מסוים, וכך אני מקבל טור עם סימנים מתחלפים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:57, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::אני עדיין מתקשה להבין מה אומר הסכום של 2 האיברים שבטור. הסכום של שני הביטויים שמופיעים בטור, זה בעצם סכום של כל איבר וזה שאחריו? (בכל אחד מ6 הטורים)? אבל אם כן, אז זה לא אמור להיות לכל n אי-זוגי? (כי אם זה סכום של איבר ועוקבו, אז כל האיברים פרט לראשון ולאחרון יופיעו פעמיים). ועוד שאלה- אז איך חילקנו את הטור ל6 ולא ל12 אם המחזור של n הוא 12 ולא 6?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני אנסה להבהיר באמצעות דוגמא. שוב, נניח שמדובר במחזור 4 במקום 12, כלומר <math>sin(\frac{n\pi}{2})</math>. הסינוס מקבל 4 ערכים שונים, עבור <math>n=1,2,3,4</math> והם <br />
<br />
<math>r_1=1,r_2=0,r_3=-r_1=-1,r_4=-r_2=0</math>. <br />
<br />
ניתן, איפוא, לחלק את הערכים האלה לזוגות <math>\pm r_1, \pm r_2</math>. נסתכל על איברי הטור <math>\sum \frac{sin(\frac{n\pi}{2})}{ln(n+1)}</math>:<br />
<br />
<math>\frac{r_1}{ln(2)}+\frac{r_2}{ln(3)}+\frac{r_3}{ln(4)}+\frac{r_4}{ln(5)}+\frac{r_1}{ln(6)}+\frac{r_2}{ln(7)}+\frac{r_3}{ln(8)}+\frac{r_4}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
לפי האמור מעלה, זה שווה בעצם ל<br />
<br />
<math>\frac{r_1}{ln(2)}+\frac{r_2}{ln(3)}-\frac{r_1}{ln(4)}-\frac{r_2}{ln(5)}+\frac{r_1}{ln(6)}+\frac{r_2}{ln(7)}-\frac{r_1}{ln(8)}-\frac{r_2}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
אז מחלקים את הטור הזה ל2 (זה המקבילה של לחלק את הטור בשאלה ל6):<br />
<br />
<math>\sum b_n=\frac{r_1}{ln(2)}-\frac{r_1}{ln(4)}+\frac{r_1}{ln(6)}-\frac{r_1}{ln(8)}+...</math><br />
<br />
<math>\sum c_n=\frac{r_2}{ln(3)}-\frac{r_2}{ln(5)}+\frac{r_2}{ln(7)}-\frac{r_2}{ln(9)}+...</math><br />
<br />
קל מאד לראות שהטורים b_n,c_n מתכנסים לפי משפט לייבניץ. <br />
<br />
בשאלה המקורית זה בדיוק אותו דבר רק שיש <math>\pm r_1,...,\pm r_6</math>.<br />
:הבנתי עכשיו לגמרי תודה רבה מקרב לב!!<br />
<br />
== לא הבנתי את שאלה 7 (תרגיל 7).. ==<br />
<br />
איך בסעיף א' זה מתבדר וב-ב' זה מתכנס?? שני התנאים בסעיפים א' ו-ב' הם אותו התנאי!!<br />
<br />
:התנאי איננו אותו התנאי בשני הסעיפים, התנאי בסעיף ב' חזק יותר. בסעיף ב' לא רק שהמנה בערך מוחלט קטנה מ1, אלא גם קיים איזשהו מספר קטן מ1 שהמנה בערך מוחלט תהיה תמיד קטנה שווה לו, כלומר היא לא שואפת ל1, מה שיכול להיות בסעיף א'. לראיה קח את הסדרה <math>{a_n} = \frac{1}{n}</math>, המקיימת את התנאי שבסעיף א' ואינה מקיימת את התנאי שבסעיף ב'. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 12:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::אבל התנאי בסעיף א' גורר את ב', כי אם נסמן את הביטוי הזה שקטן מאלפא xn, אז נניח בשלילה שxn<1 לכל n אבל לא מתקיים ש xn<=a<1 לכל n, ולכן קיים n שבשבילו xn>a, לכל a שקטן מאחד, או במילים אחרות xn הוא חסם מלעיל של הקבוצה <math>(-infinity, 1)</math> ולכן xn הנ"ל בהכרח גדול שווה ל1 בסתירה לכך שהוא קטן מאחד. לא ככה?<br />
:::תנאי ב' גורר את תנאי א'. אתה ניסית להוכיח ההפך, אבל בחוסר הצלחה. x_n אינו מספר מסויים שגדול מכל a. זו סדרה שיש בה איברים שגדולים מכל a. דוגמא פשוטה: <math>0.9,0.99,0.999,0.9999,...</math>. ברור שאין a קטן מאחד שגדול יותר מכל איברי הסדרה כיוון שהיא שואפת לאחד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::לא הבנתי...... x_n עבור n מסוים הוא מספר, לא סדרה...<br />
:::::רשמת "ולכן קיים n שבשבילו xn>a, לכל a שקטן מאחד" זה לא נכון. לכל a יהיה x_n אחר כמו בדוגמא לעיל, כמו בחסמים.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:20, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::::עכשיו אני מבין בערך את הכוונה של מה שאתם אומרים, אבל זה עדיין לא מסתדר עם העובדה, שהשלילה של המשפט, "לכל n מתקיים x_n (הביטויים התהפכו) קטן מכל a שקטן מאחד" (המשפט הנתון), היא "קיים x_n שגדול מכל a שקטן מאחד".<br />
:::::::לא נסחת את המשפט כמו שצריך ולכן השלילה שגוייה. המשפט הינו "קיים a כך שלכל n מתקיים x_n<a", והשלילה שלו הינה "לכל a קיים n כך ש x_n>=a" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:49, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
::::::::אוקי<br />
<br />
== משפט ליפשיץ ומשפט לייבניץ ==<br />
<br />
בתרגול, כתבנו שמשפט לייבניץ, הוא מה שכתבנו בהרצאה שהוא משפט ליפשיץ. (על התכנסות טור מתחלף). מישהו שיודע בוודאות, יכול להגיד מהו משפט ליפשיץ ומהו משפט לייבניץ? תודה!<br />
:משפט לייבניץ - תהי an סדרה לא עולה חיובית מתכנסת לאפס, אזי הטור <math>\sum (-1)^na_n</math>מתכנס.<br />
::אז מה זה משפט ליפשיץ?<br />
:::לא יודע.<br />
<br />
== לגבי הבוחן ==<br />
<br />
בעמוד הראשי כתוב "הבוחן ופתרונו", עם ה' הידיעה, כאילו קיים רק בוחן אחד. ז"א שלא יופיע באתר הבוחן של התיכוניסטים ופתרונו?<br />
תודה<br />
:ממש ניתוח בלשני (:. אני אזכיר שוב, המתרגלים של התיכוניסטים לא נכנסים לפורום, תדברו איתם ישירות (במייל) ואם הם רוצים לפרסם פתרון הם יעשו זאת. אין קשר לשימוש הרשלני שלי בהא הידיעה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:18, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== האם מותר לי? ==<br />
<br />
האם מותר לי לכתוב ש (x-8)^2+(19x-358)}/(x-8)<= (x-8)^2/(x-8)}<br />
כש x שואף ל 7, הרי ש 19X7<358<br />
<br />
:תוכיח את זה אלגברית. תאמר איזה תנאי דלתא צריך לקיים כך שבסביבת דלתא יתקיים אי השיוויון שרשמת. בגדול נשמע כמו רעיון נכון (בלי שבדקתי לעומק את המספרים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:15, 11 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== רק ליתר ביטחון ==<br />
<br />
לא צריך לפרט את ההכנה להוכחות של התכנסות פונקציות, נכון? כלומר למה הגענו דווקא ל-<math>\delta=\varepsilon</math> (למשל) ולא <math>\delta=\varepsilon-1</math>. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 19:39, 11 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:צריך להוכיח שאם דלתא מקיים את התכונה אזי הגדרת הגבול מתקיימת, כלומר לכל איקס שקרוב לאיקס-אפס עד כדי דלתא, הפונקציה מופעלת על איקס קרובה לגבול עד כדי אפסילון. --[[מיוחד:תרומות/84.108.188.70|84.108.188.70]] 00:55, 12 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הגשת תרגיל בקבוצה של אדוארד ==<br />
<br />
האם מי שנמצא בקבוצה של אדוארד צריך להגיש למחר את תרגיל 8?<br />
:רק את תרגיל 7, לפי הידוע לי (אני אצל אדוארד).</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-113_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%AA_%D7%93%D7%99%D7%95%D7%9F-%D7%A2%D7%93%D7%99_%D7%A0%D7%99%D7%91&diff=8418שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב2010-12-11T18:59:38Z<p>אלה: /* עבודת ההגשה */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==<br />
<br />
שלום,<br />
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?<br />
תודה!<br />
<br />
'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''<br />
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''<br />
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''<br />
===עוד שאלה===<br />
תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!<br />
<br />
== תרגיל האתגר ==<br />
<br />
במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== האם צריך להוכיח ==<br />
<br />
לגבי שתי הטענות הבאות:<br />
-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;<br />
-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-<br />
האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!<br />
<br />
'''איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.<br />
:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..<br />
<br />
'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?<br />
:בשאלה 4.16<br />
<br />
'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה<br />
<br />
::אבל השאלה אם צריך להוכיח את תהליך גראם שמידט מחדש בשביל 4.16, אי אפשר להגיד ש"נפעיל את התהיך על הבסיס"?<br />
<br />
== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==<br />
<br />
האם אני תמיד יכול להגיד ש <math><v,v>=||v||^2</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...<br />
<br />
:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה קטנה, על מ"פ ==<br />
<br />
אם ידוע ש <math><v,u>=0</math>, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!<br />
<br />
:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.<br />
::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה<br />
<br />
== עבודת ההגשה ==<br />
<br />
בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?<br />
<br />
:קרא כאן:<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA| כפולה משותפת מינימלית]<br />
<br />
:(אופיר ר.)<br />
הלינק מפנה לדף ריק <br />
<br />
אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשה??<br />
<br />
:(לא מתרגל) הכפולה המשותפת המינימלית של פולינומים הוא הפולינום מהמעלה הנמוכה ביותר אשר כולם מחלקים אותו. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:29, 7 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:lcm זה קיצור של "least common multiple" או בעברית "כפולה משותפת מינימאלית". הכפולה המשותפת המינימאלית של קבוצת מספרים הוא מספר שהוא 1) כפולה של כל המספרים 2) הוא המינימאלי (כלומר כל כפולה אחרת של כל המספרים היא כפולה שלו). באופן דומה מגדירים כפולה משותפת מינימאלית עבור פולינומים: זה פולינום שהוא כפולה של כל הפולינומים והוא מינימאלי, או אפשר להשתמש באפיון שלידור רשם למעלה (שהוא בהכרח מהמעלה הנמוכה ביותר). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:03, 7 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
במילים אחרות זה האנלוג ללרשום Min על קבוצה של מספרים?<br />
<br />
:לא, פשוט תקרא בויקיפדיה - lcm - כפולה משותפת מינימלית. למשל מתקיים: lcm(6,21)=42.<br />
<br />
== מימד של חיתוך/איחוד ==<br />
<br />
האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.<br />
לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.<br />
<br />
מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
== שאלה על האתגר ==<br />
<br />
מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!<br />
<br />
:מדובר בגרעין של ההעתקה <math>(T - \lambda I)^n</math>, כלומר מרחב הפתרונות של <math>{(T - \lambda I)^n}v = 0</math> [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== העתקה צמודה ==<br />
<br />
האם ההעתקה הצמודה היא בחומר, ואם כן אז מהי? תודה!<br />
'''לא. זה הנושא הבא<br />
<br />
== מכפלה פנימית ==<br />
<br />
האם אפשר להגדיר על כל מרחב וקטורי ממימד סופי מכפלה פנימית? ואם כן צריך להוכיח את זה?<br />
:כל מרחב וקטורי ממימד סופי איזומורפי ל-<math>\mathbb{R}^n</math>, ושם יש לנו למשל את המכפלה הפנימית הסטנדרטית. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:58, 7 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ממבחן (דחוף לבוחן) ==<br />
<br />
שלום,<br />
במבחן 2003 מועד א' (http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a63.pdf), חלק אמריקאי שאלה 4, על מכפלות פנימיות- בתשובות כתבו שהתשובה הנכונה היא 1, שתי ה'מ"פ' הנתונות הן לא מ"פ. אבל לדעתי התשובה הנכונה היא 4, שA היא מ"פ וB לא- כי שתי הפונקציות מקיימות לינארית ברכיב הראשון, הפונקציה B לא מקיימת סימטריה (מעל R ולא C) ולא אי שליליות, אבל A כן מקיימת את הכל, כי היא גם סימטרית, בקלות לפי חילופיות הכפל, והיא אי שלילית, מכיוון ש <br />
<math><x,x>=<(x1,x2),(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2>=0</math> (ו0 כשx=0 כמובן). איפה אני טועה? תודה!<br />
:: (לא מתרגל) - אל תשכח שמכפלה פנימית צריכה לקיים גם כי <v,v> הינו אפס אם"ם v = 0. האם מכפלה זו מקיימת זאת?<br />
:::התכונה שהמ"פ <v,v> צריכה להיות 0 אם"ם V=0 נובעת מהתכונות האחרות, הרמיטיות ואי שליליות נדמה לי, כך שאם הוכחתי את האחרות לא חובה להוכיח את התכונה הזאת. אז הייתי צריך לטעות בהוכחת תכונה אחרת אם זה לא נכון.<br />
::::דווקא לא. אי שליליות אומר במפוש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס. אמנם זה שמתקבל שוויון עבור וקטור האפס נובע מלינאריות ברכיב ראשון, אבל הטענה באי שליליות היא חמורה יותר - שהרי נאמר בה ששוויון יתקיים אך ורק עבור וקטור האפס. זה כמובן לא קורה במקרה הזה. חוץ מזה, שאם תסתכל על הטענה שבתרגיל 1.7 (זה שנעזרנו בו לצורך פתרון שאלה 1.6 בתרגול 7) תוכל להראות גם בעזרתה שזו לא מ"פ. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
:::::תודה (אבל הטענה שאמרת לא קשורה (כי בה יש 3x1y2 ולא x1y2))<br />
:::::: (הלא מתרגל מקודם) - גל, אני חושב שקצת סיבכת. הדוגמא הכי פשוטה שאני יכול להביא היא הוקטור (5, 5-). הוקטור הזה שונה מאפס, זה ברור, אך לפי ההגדרת המכפלה הפנימית, המכפלה תצא אפס. כמו שציינתי קודם, האם"ם <br />
:::::: באי-השליליות הוא דבר חשוב. צריך גם שוקטור האפס מאפס את המכפלה, וגם שרק וקטור האפס מאפס את המכפלה. עפ"י הדוגמא שהראתי לעיל, ברור שזה לא קורה, מה שדוחה את היותה מכפלה פנימית.<br />
:::::::זה בדיוק מה שאמרתי, איפה הסיבוך שבפה. אני מצטט את מה שכתבתי "אי שליליות אומר במפורש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> \ >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס", זה לא אותו הדבר כמו שאתה כתבת? ולגבי שילוב המטריצה (מי שאמר שזה לא קשור) - אז במקום 3 מציבים 1, המטריצה משתנה בהתאם ודווקא זו הנקודה בעזרתה אתה יכול להוכיח שזו לא מ"פ.<br />
:::::::אגב, דוגמה פשוטה עוד יותר היא <math>(-1,1)</math> ודוגמה חמורה יותר היא <math>(-x,x)</math>. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
== שאלה 4.9 ==<br />
<br />
האם הכוונה בשאלה זו היא שאני צריך למצוא ממש דוגמא למ"פ? לדוגמא: כמו מכפלה סטנדרטית וכו'...<br />
מה הכוונה ב- <math>V=Rn[x]</math> ?? האם ה - X-ים הם סקלרים או וקטורים? הרי הגדרנו ממ"פ ואורתונורמליות על וקטורים<br />
<br />
תשובה??? מישהו??<br />
<br />
== החומר לבוחן ==<br />
<br />
מה הוא החומר לבוחן של קבוצת התיכוניסטים? האם הוא כולל וקטורים אורתוגונליים והיטלים?<br />
:החומר הוא עד ההתחלה של מכפלה פנימית. לא כולל וקטורים אורתוגונלים, לא כולל נורמות, לא כולל היטלים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:51, 7 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה בקשר לבוחן ==<br />
<br />
האם צריך לדעת משהו בקשר לנוסחת קראמר?<br />
<br />
== שילוש מטריצה ==<br />
<br />
יש דבר שאני לא בטוח לגביו בשילוש מטריצה, שלא הצלחתי למצוא אף מקום שבו הוא נמצא בצורה מסודרת. שאני לא הבנתי, הוא מה צריך לעשות אחרי השילוש הראשון. כלומר, ניסינו לשלש, קיבלנו וקטור, השלמנו אותו לבסיס, הכפלנו B=p-1AP ועכשיו צריך לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, נכון? אבל אחרי שניסינו לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, ויצא לנו משולשית, איפה שמים אותו עכשיו ואיפה שמים את המשלשות, כלומר איך נראית המכפלה<br />
<math>D=??A??</math> כאשר D משולשית? מהן הסימני שאלה? ומהי המטריצה המשולשית?<br />
תודה!<br />
<br />
:(לא מתרגל) לאחר השלב הראשון בשילוש נקבל (אותיות קטנות יהיו סקלרים ואותיות גדולות מטריצות) <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
a&*\\<br />
0&B<br />
\end{array}} \right) = {P^{ - 1}}AP</math>, עכשיו נבצע את אותו תהליך על B ונקבל Q כך ש <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
b&*\\<br />
0&C<br />
\end{array}} \right) = {Q^{ - 1}}BQ</math>, נסמן <math>Q' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
1&0\\<br />
0&Q<br />
\end{array}} \right)</math>, אזי מתקיים <math>{(Q')^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
1&0\\<br />
0&{{Q^{ - 1}}}<br />
\end{array}} \right)</math>, וכן מתקיים: <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
a&*&*\\<br />
0&b&*\\<br />
0&0&C<br />
\end{array}} \right) = {(Q')^{ - 1}}{P^{ - 1}}APQ'</math>. זהו השלב השני בשילוש. את השלבים הבאים נבצע באופן דומה ונרכיב את המטריצה המשלשת באופן דומה גם כן, עד שנגיע למטריצה משולשית הדומה למטריצה המקורית. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:12, 9 בדצמבר 2010 (IST)<br />
:תודה רבה רבה על ההשקעה..<br />
<br />
== בקשה ==<br />
<br />
יש סיכוי להעלות את הפתרון של תרגיל 7 לפני הבוחן?<br />
תודה רבה מראש!<br />
<br />
== לכסינות העתקה ==<br />
<br />
למדנו על מתי מטריצה היא לכסינה, למשל כאשר יש לה "מספיק" ו"ע בת"ל. אך האם יש גם משפט על לכסינות של העתקה? תנאי מספיק בשביל שהעתקה תהיה לכסינה? (אם זה חשוב, אני צריך את זה בשביל שאלה ממבחן שמבקשת להוכיח שהעתקה כלשהי ניתנת ללכסון; אני יכול אולי להצליח להראות שיש בסיס שבשבילו [T]B אלכסונית, אבל אולי יש דרך יותר קלה?)<br />
<br />
:הקריטריון המפורט לליכסון מטריצה תקף גם לגבי העתקות (באנלוגיה), וניתן להוכיח את הקריטריון להעתקות על פי הקריטריון למטריצות, ע"י כך שתיקח עבור העתקה T מטריצת ייצוג כלשהי שלה <math>{\left[ T \right]_B}</math>, ותפעיל עליה את הקריטריון עבור מטריצות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:24, 9 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
: העתקה היא לכסינה אם ורק אם יש לה מטריצה מייצגת אלכסונית, אם ורק אם יש לה מטריצה מייצגת לכסינה, אם ורק אם כל המטריצות המייצגות אותה לכסינות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 12:40, 9 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עזרה בפתרון שאלה (תשס"ג, סמסטר ב', מועד א', חלק א', שאלה 3 סעיף ב') ==<br />
<br />
מישהו יכול לעזור בפתרון?<br />
:לא הבנתי איזה מבחן (מה זה אומר סמסטר ב'?)<br />
'''אל תתייחס לסמסטר ב', התכוונתי למבחן תשס"ג (זה היה בסמסטר ב', אבל אין סמסטר א'...)'''<br />
: אני חושב שאתה יכול להניח שהיא לא נילפוטנטית, ואז תגיע לכך שהערך העצמי לא רק 0<br />
:<br />
:השאלה היא להוכיח שמט' משולשית עם אפסים על האלכסון היא נילפוטנטית? אפשר פשוט בחישוב ישיר של כפל המטריצה עם עצמה ולהראות שכל פעם יש עוד "אלכסון אפסים" עד שהמט' הופכת למט' האפס. זה אולי ההוכחה הכי לא אלגנטית, אבל היא עובדת...<br />
<br />
אבל אז מה עם סעיף ג'? אם נניח בשלילה שA לא נילפוטנטית זה עדיין לא אומר בהכרח ש:<math>A^{k}\cdot v\neq 0</math> !<br />
:אז אתה יכול לומר שאם למטריצה יש רק ע"ע אפס, אז היא משולשית עם אפסים על האלכסון, או דומה למשולשית עם אפסים על האלכסון (משהו כזה, אני לא כותב בדיוק הוכחה פורמלית אלא רק כדי שתבין את הרעיון), ולכן ע"פ ב' היא נילפוטנטית!<br />
<br />
'''תודה רבה!'''<br />
:: אני חייב להעיר לעזרת אחרים כאן. את השאלה הזו פתרתי, ונכון, כדי לפתור את ב' בחישוב פשוט של כפל כל פעם כדי לראות שהיא מתאפסת זה לא אלגנטי במיוחד, אך עם זאת, יש פתרון אלגנטי במיוחד, ואני חושב שכדאי שתנסו לחשוב עליו.<br />
:: נתון שמטריצה היא משולשית עם אלכסון אפסים. נתון זה אומר לנו משהו חשוב על הדטרמיננטה של המטריצה. מכאן יש עוד קצת לחשוב והפיתרון הוא הדבר הכי אלגנטי שיש. <br />
:: אגב, לזה שענה מעליי, זה נראה לי לא נכון בהכרח שמטריצה בעלת ערך עצמי אפס היא בהכרח דומה למשולשית או משולשת בעצמה. אין לי הפרכה ביד, אבל זו טענה חזקה מידי מכדי לומר אותה. עם זאת, יש נתון מאוד מעניין לגבי A<br />
:: שאמור לעזור לכם להבין למה היא כן דומה למטריצה משולשית עם אפסים. וגם בכדי לעדן יותר את ההוכחה, תצטרכו להוכיח בכלל שאם מטריצות דומות, אז אחת נילפוטנטית גוררת שהשניה נילפוטנטית.<br />
:: שיהיה בהצלחה לכולם!<br />
<br />
'''את ב אפשר לפתור על פי קיילי המילטון. מצא את הפולינום האופייני של המטריצה, והצב לתוכו את המטריצה. מה קיבלת? מקקוה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]'''<br />
<br />
== עזרה בשאלה ==<br />
<br />
מבחן מהתשס"א, מועד ב', חלק א', שאלה 1 ב'- צ"ל הוכחה של אם ורק אם. מישהו הצליח את הכיוון משמאל לימין? והאם ההוכחה שלי לכיוון מימין לשמאל נכונה? הבסיס הנתון הוא בסיס ל T[u] ולכן Tu1,..Tuk בת"ל ולכן T חח"ע ולכן kerT=0 U ולכן הדרוש נכון?<br />
<br />
שלום, נאמר שבבוחן יהיו שלוש שאלות. 1. מתרגילי הבית, 2. הוכחת משפט, 3. תרגיל ממבחן.<br />
שאלה 1 שהייתה בבוחן הייתה רק בחלקה (סעיפים ב'+ג') מתרגילי הבית בעוד שסעיף א' לא היה.<br />
אני ועד כמה שאני יודע עוד תלמידים לא הצלחנו את שאלה 1א. תהיה התחשבות כלשהי בנושא?<br />
<br />
== בקשר לבוחן ==<br />
<br />
שלום, נאמר שבבוחן יהיו שלוש שאלות. 1. מתרגילי הבית, 2. הוכחת משפט, 3. תרגיל ממבחן. שאלה 1 שהייתה בבוחן הייתה רק בחלקה (סעיפים ב'+ג') מתרגילי הבית בעוד שסעיף א' לא היה. <br />
<br />
אני ועד כמה שאני יודע עוד תלמידים לא הצלחנו את שאלה 1א. תהיה התחשבות כלשהי בנושא?<br />
<br />
== תרגול השלמה ==<br />
<br />
בתרגול השלמה שהועלה לאתר רשום הרבה פעמים ת"מ.<br />
אני לא יודע מה זה ת"מ מעולם לא ניתקלתי בזה אשמח אם מישהו יוכל לומר לי מה זה.<br />
חבל שקורה הרבה פעמים שרושמים לנו דברים ללא הסברים זה נורא תוקע!<br />
<br />
:תת מרחב<br />
<br />
תודה רבה :)<br />
<br />
== שאלות על עבודת ההגשה לחנוכה ==<br />
<br />
1. האם סעיף 4 הוא באמת לא חובה?<br />
2. האם ציון העבודה נכלל בציון התרגיל?<br />
<br />
== תרגיל 8 ==<br />
<br />
אפשר עזרה\הכוונה\רמז\שביב של נקודת אור ממישהו לגבי סעיף 4.9 בתרגיל שמונה - מה רוצים שם? אני לא מצליח להבין את מהות השאלה<br />
וכמו כן אני לא מבין מה ז"א <math>{1,x,x^2...,x^n}</math> יהווה בסיס אורת' אלה סקלרים לא וקטורים...<br />
<br />
===תשובה===<br />
תשים לב באיזה מרחב וקטורי מדובר, הלא הוא מרחב ה'''פולינומים'''. לכן האיברים הללו אינם סקלרים, x הוא משתנה ואלה הם פולינומים. אתה צריך להגדיר מכפלה פנימית בין כל שני פולינומים <math><a_0+...+a_jx^j,b_0+...+b_kx^k></math> כך שהבסיס לעיל יהיה א"נ. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:43, 10 בדצמבר 2010 (IST)<br />
<br />
תודה רבה :))<br />
<br />
== בהמשך לשאלה קודמת ==<br />
רציתי לשאול אם בתרגיל 4.16 א' יש להוכיח את נכונות תהליך גראם שמידט או מותר להניח שהוא מתקיים? --[[משתמש:תמיר מאיר|תמיר מ.]] 21:03, 10 בדצמבר 2010 (IST)--<br />
<br />
== פולינום מינימלי וחברים ==<br />
<br />
יש לי שאלה: אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז עדיין אפשר להגיד שיש לפ"מ ולפ"א אותם גורמים אי-פריקים? (כי רציתי לפתור בעזרת זה את תרגיל 1. ב. חלק 2 מהעבודה לחנוכה).</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=7791שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-11-19T21:40:10Z<p>אלה: /* תרגיל 5 שאלה 2 */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טור מתבדר ==<br />
<br />
אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה כללית ==<br />
<br />
בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').<br />
<br />
עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math> מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.<br />
<br />
== עוד שאלה כללית:] ==<br />
<br />
צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הבהרת מושגים ==<br />
<br />
לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== גדולללללל ==<br />
<br />
בואנה אדווה כל הכבודדדד!<br />
חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
<br />
האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה? <br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?<br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף? <br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. נכון ומותר להשתמש.<br />
<br />
2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה ==<br />
<br />
אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?<br />
אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.<br />
<br />
אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)<br />
אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז <br />
<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math><br />
(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?<br />
:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין<br />
<br />
<br />
::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math> אז ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.<br />
<br />
::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים <br />
<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון <br />
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?<br />
<br />
::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?<br />
<br />
2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.<br />
<br />
3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.<br />
<br />
4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר<br />
<br />
5. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.<br />
::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.<br />
:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''<br />
<br />
<br />
תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>. <br />
<br />
אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
===תשובה לתשובה===<br />
אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!<br />
<br />
:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.<br />
::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.<br />
:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?<br />
::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.<br />
:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה <br />
:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.<br />
<br />
<br />
קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול. <br />
<br />
שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית<br />
<br />
:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.<br />
<br />
== תרגיל 5 שאלה 2 ==<br />
<br />
ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?<br />
<br />
:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.<br />
<br />
::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....<br />
<br />
::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)<br />
:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:<br />
:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.<br />
:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.<br />
<br />
:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?<br />
<br />
<br />
::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.<br />
<br />
::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה<br />
<br />
::::::::אני לא בטוח איך הוכחתם עם אלפא אבל יש תשובה של שתי שורות לשאלה הזו, בכל אופן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:26, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::::אני יודעת שההוכחה של טענה 2 בהסתמך על טענה 1 היא שתי שורות, אבל 1 היא כמעט עמוד. לפחות עכשיו יש פה איזשהו אתגר<br />
<br />
::::::::::שוב, אני לא בטוח איך מגיעים מאחד לשתיים בקלות. הכוונה בתרגיל היא ממש הוכחה לפי הגדרה. למעשה אין לזה קשר אמיתי לחומר, והתרגיל הזה בא רק כי צריך לדעת אותו לשאלות האחרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:36, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
טוב, מצאתי הוכחה קצרה לפי אריתמטיקה של גבולות ודברים כאלו. ושאלה כללית, מתי צריך להוכיח שקיים גבול? (בפרט, האם בתרגיל הזה צריך?)<br />
<br />
== שאלה על משפט. ==<br />
<br />
יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:<br />
{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז<br />
:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)<br />
:ב. L<1 -> liman=0<br />
:ג. L>1 -> liman=infinity<br />
:ד. L=1 -> אי ודאות.<br />
אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.<br />
<br />
לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== סדרת קושי ==<br />
<br />
בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>. <br />
<br />
לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה 5 סעיף f ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty </math> ולכן הטור מתכנס?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טורים ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?<br />
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=7790שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-11-19T21:39:49Z<p>אלה: /* תרגיל 5 שאלה 2 */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טור מתבדר ==<br />
<br />
אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה כללית ==<br />
<br />
בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').<br />
<br />
עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math> מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.<br />
<br />
== עוד שאלה כללית:] ==<br />
<br />
צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הבהרת מושגים ==<br />
<br />
לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== גדולללללל ==<br />
<br />
בואנה אדווה כל הכבודדדד!<br />
חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
<br />
האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה? <br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?<br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף? <br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. נכון ומותר להשתמש.<br />
<br />
2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה ==<br />
<br />
אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?<br />
אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.<br />
<br />
אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)<br />
אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז <br />
<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math><br />
(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?<br />
:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין<br />
<br />
<br />
::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math> אז ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.<br />
<br />
::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים <br />
<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון <br />
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?<br />
<br />
::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?<br />
<br />
2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.<br />
<br />
3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.<br />
<br />
4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר<br />
<br />
5. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.<br />
::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.<br />
:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''<br />
<br />
<br />
תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>. <br />
<br />
אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
===תשובה לתשובה===<br />
אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!<br />
<br />
:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.<br />
::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.<br />
:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?<br />
::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.<br />
:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה <br />
:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.<br />
<br />
<br />
קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול. <br />
<br />
שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית<br />
<br />
:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.<br />
<br />
== תרגיל 5 שאלה 2 ==<br />
<br />
ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?<br />
<br />
:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.<br />
<br />
::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....<br />
<br />
::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)<br />
:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:<br />
:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.<br />
:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.<br />
<br />
:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?<br />
<br />
<br />
::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.<br />
<br />
::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה<br />
<br />
::::::::אני לא בטוח איך הוכחתם עם אלפא אבל יש תשובה של שתי שורות לשאלה הזו, בכל אופן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:26, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::::אני יודעת שההוכחה של טענה 2 בהסתמך על טענה 1 היא שתי שורות, אבל 1 היא כמעט עמוד. לפחות עכשיו יש פה איזשהו אתגר<br />
<br />
::::::::::שוב, אני לא בטוח איך מגיעים מאחד לשתיים בקלות. הכוונה בתרגיל היא ממש הוכחה לפי הגדרה. למעשה אין לזה קשר אמיתי לחומר, והתרגיל הזה בא רק כי צריך לדעת אותו לשאלות האחרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:36, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
טוב, מצאתי הוכחה קצרה לפי אריתמטיקה של גבולות ודברים כאלו. ושאלה באופן כללי, מתי צריך להוכיח שקיים גבול? (בפרט, האם בתרגיל הזה צריך?)<br />
<br />
== שאלה על משפט. ==<br />
<br />
יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:<br />
{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז<br />
:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)<br />
:ב. L<1 -> liman=0<br />
:ג. L>1 -> liman=infinity<br />
:ד. L=1 -> אי ודאות.<br />
אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.<br />
<br />
לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== סדרת קושי ==<br />
<br />
בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>. <br />
<br />
לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה 5 סעיף f ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty </math> ולכן הטור מתכנס?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טורים ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?<br />
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=7789שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-11-19T21:39:28Z<p>אלה: /* תרגיל 5 שאלה 2 */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טור מתבדר ==<br />
<br />
אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה כללית ==<br />
<br />
בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').<br />
<br />
עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math> מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.<br />
<br />
== עוד שאלה כללית:] ==<br />
<br />
צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הבהרת מושגים ==<br />
<br />
לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== גדולללללל ==<br />
<br />
בואנה אדווה כל הכבודדדד!<br />
חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
<br />
האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה? <br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?<br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף? <br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. נכון ומותר להשתמש.<br />
<br />
2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה ==<br />
<br />
אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?<br />
אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.<br />
<br />
אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)<br />
אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז <br />
<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math><br />
(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?<br />
:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין<br />
<br />
<br />
::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math> אז ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.<br />
<br />
::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים <br />
<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון <br />
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?<br />
<br />
::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?<br />
<br />
2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.<br />
<br />
3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.<br />
<br />
4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר<br />
<br />
5. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.<br />
::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.<br />
:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''<br />
<br />
<br />
תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>. <br />
<br />
אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
===תשובה לתשובה===<br />
אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!<br />
<br />
:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.<br />
::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.<br />
:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?<br />
::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.<br />
:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה <br />
:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.<br />
<br />
<br />
קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול. <br />
<br />
שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית<br />
<br />
:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.<br />
<br />
== תרגיל 5 שאלה 2 ==<br />
<br />
ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?<br />
<br />
:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.<br />
<br />
::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....<br />
<br />
::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)<br />
:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:<br />
:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.<br />
:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.<br />
<br />
:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?<br />
<br />
<br />
::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.<br />
<br />
::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה<br />
<br />
::::::::אני לא בטוח איך הוכחתם עם אלפא אבל יש תשובה של שתי שורות לשאלה הזו, בכל אופן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:26, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::::אני יודעת שההוכחה של טענה 2 בהסתמך על טענה 1 היא שתי שורות, אבל 1 היא כמעט עמוד. לפחות עכשיו יש פה איזשהו אתגר<br />
<br />
::::::::::שוב, אני לא בטוח איך מגיעים מאחד לשתיים בקלות. הכוונה בתרגיל היא ממש הוכחה לפי הגדרה. למעשה אין לזה קשר אמיתי לחומר, והתרגיל הזה בא רק כי צריך לדעת אותו לשאלות האחרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:36, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
טוב, מצאתי הוכחה קצרה לפי אריתמטיקה של גבולות ודברים כאלו. ושאלה באופן כללי, מתי צריך להוכיח שקיים גבול? (בפרט, האם בתרגיל הזה צריך?)<br />
<br />
== שאלה על משפט. ==<br />
<br />
יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:<br />
{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז<br />
:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)<br />
:ב. L<1 -> liman=0<br />
:ג. L>1 -> liman=infinity<br />
:ד. L=1 -> אי ודאות.<br />
אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.<br />
<br />
לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== סדרת קושי ==<br />
<br />
בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>. <br />
<br />
לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה 5 סעיף f ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty </math> ולכן הטור מתכנס?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טורים ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?<br />
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=7787שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-11-19T21:28:49Z<p>אלה: /* תרגיל 5 שאלה 2 */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טור מתבדר ==<br />
<br />
אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה כללית ==<br />
<br />
בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').<br />
<br />
עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math> מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.<br />
<br />
== עוד שאלה כללית:] ==<br />
<br />
צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הבהרת מושגים ==<br />
<br />
לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== גדולללללל ==<br />
<br />
בואנה אדווה כל הכבודדדד!<br />
חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
<br />
האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה? <br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?<br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף? <br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. נכון ומותר להשתמש.<br />
<br />
2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה ==<br />
<br />
אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?<br />
אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.<br />
<br />
אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)<br />
אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז <br />
<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math><br />
(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?<br />
:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין<br />
<br />
<br />
::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math> אז ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.<br />
<br />
::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים <br />
<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון <br />
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?<br />
<br />
::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?<br />
<br />
2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.<br />
<br />
3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.<br />
<br />
4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר<br />
<br />
5. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.<br />
::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.<br />
:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''<br />
<br />
<br />
תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>. <br />
<br />
אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
===תשובה לתשובה===<br />
אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!<br />
<br />
:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.<br />
::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.<br />
:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?<br />
::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.<br />
:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה <br />
:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.<br />
<br />
<br />
קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול. <br />
<br />
שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית<br />
<br />
:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.<br />
<br />
== תרגיל 5 שאלה 2 ==<br />
<br />
ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?<br />
<br />
:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.<br />
<br />
::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....<br />
<br />
::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)<br />
:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:<br />
:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.<br />
:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.<br />
<br />
:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?<br />
<br />
<br />
::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.<br />
<br />
::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה<br />
<br />
::::::::אני לא בטוח איך הוכחתם עם אלפא אבל יש תשובה של שתי שורות לשאלה הזו, בכל אופן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:26, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::::אני יודעת שההוכחה של טענה 2 בהסתמך על טענה 1 היא שתי שורות, אבל 1 היא כמעט עמוד. לפחות עכשיו יש פה איזשהו אתגר<br />
<br />
== שאלה על משפט. ==<br />
<br />
יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:<br />
{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז<br />
:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)<br />
:ב. L<1 -> liman=0<br />
:ג. L>1 -> liman=infinity<br />
:ד. L=1 -> אי ודאות.<br />
אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.<br />
<br />
לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== סדרת קושי ==<br />
<br />
בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>. <br />
<br />
לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה 5 סעיף f ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty </math> ולכן הטור מתכנס?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טורים ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?<br />
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=7785שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-11-19T21:22:41Z<p>אלה: /* תשובה לתשובה */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טור מתבדר ==<br />
<br />
אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה כללית ==<br />
<br />
בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').<br />
<br />
עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math> מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.<br />
<br />
== עוד שאלה כללית:] ==<br />
<br />
צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הבהרת מושגים ==<br />
<br />
לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== גדולללללל ==<br />
<br />
בואנה אדווה כל הכבודדדד!<br />
חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
<br />
האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה? <br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?<br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף? <br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. נכון ומותר להשתמש.<br />
<br />
2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה ==<br />
<br />
אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?<br />
אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.<br />
<br />
אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)<br />
אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז <br />
<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math><br />
(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?<br />
:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין<br />
<br />
<br />
::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math> אז ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.<br />
<br />
::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים <br />
<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון <br />
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?<br />
<br />
::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?<br />
<br />
2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.<br />
<br />
3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.<br />
<br />
4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר<br />
<br />
5. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.<br />
::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.<br />
:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''<br />
<br />
<br />
תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>. <br />
<br />
אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
===תשובה לתשובה===<br />
אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!<br />
<br />
:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.<br />
::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.<br />
:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?<br />
::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.<br />
:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה <br />
:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.<br />
<br />
<br />
קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול. <br />
<br />
שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית<br />
<br />
:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.<br />
<br />
== תרגיל 5 שאלה 2 ==<br />
<br />
ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?<br />
<br />
:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.<br />
<br />
::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....<br />
<br />
::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)<br />
:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:<br />
:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.<br />
:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.<br />
<br />
:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?<br />
<br />
<br />
::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.<br />
<br />
::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה<br />
<br />
== שאלה על משפט. ==<br />
<br />
יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:<br />
{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז<br />
:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)<br />
:ב. L<1 -> liman=0<br />
:ג. L>1 -> liman=infinity<br />
:ד. L=1 -> אי ודאות.<br />
אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.<br />
<br />
לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== סדרת קושי ==<br />
<br />
בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>. <br />
<br />
לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה 5 סעיף f ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty </math> ולכן הטור מתכנס?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טורים ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?<br />
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)</div>אלהhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90&diff=7784שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא2010-11-19T21:21:22Z<p>אלה: /* תרגיל 5 שאלה 2 */</p>
<hr />
<div>{{הוראות דף שיחה}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]<br />
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טור מתבדר ==<br />
<br />
אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה כללית ==<br />
<br />
בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').<br />
<br />
עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math> מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.<br />
<br />
== עוד שאלה כללית:] ==<br />
<br />
צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== הבהרת מושגים ==<br />
<br />
לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== גדולללללל ==<br />
<br />
בואנה אדווה כל הכבודדדד!<br />
חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....<br />
<br />
== שאלה 1 תרגיל 6 ==<br />
<br />
האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
<br />
האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה? <br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?<br />
:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף? <br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. נכון ומותר להשתמש.<br />
<br />
2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== עוד שאלה ==<br />
<br />
אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?<br />
אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.<br />
<br />
אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)<br />
אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז <br />
<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math><br />
(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?<br />
:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין<br />
<br />
<br />
::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math> אז ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.<br />
<br />
::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים <br />
<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון <br />
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?<br />
<br />
::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
1. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?<br />
<br />
2. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.<br />
<br />
3. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.<br />
<br />
4. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר<br />
<br />
5. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.<br />
::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)<br />
:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.<br />
:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''<br />
<br />
<br />
תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>. <br />
<br />
אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
===תשובה לתשובה===<br />
אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!<br />
<br />
:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.<br />
::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.<br />
:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?<br />
::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.<br />
:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה <br />
:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.<br />
<br />
<br />
קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול. <br />
<br />
שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
<br />
::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית<br />
<br />
:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== תרגיל 5 שאלה 2 ==<br />
<br />
ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?<br />
<br />
:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.<br />
<br />
::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....<br />
<br />
::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)<br />
:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:<br />
:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.<br />
:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.<br />
<br />
:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?<br />
<br />
<br />
::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.<br />
<br />
::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה<br />
<br />
== שאלה על משפט. ==<br />
<br />
יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:<br />
{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז<br />
:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)<br />
:ב. L<1 -> liman=0<br />
:ג. L>1 -> liman=infinity<br />
:ד. L=1 -> אי ודאות.<br />
אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.<br />
<br />
לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== סדרת קושי ==<br />
<br />
בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>. <br />
<br />
לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== שאלה 5 סעיף f ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty </math> ולכן הטור מתכנס?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)<br />
<br />
== טורים ==<br />
<br />
האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?<br />
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)</div>אלה