Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-27T19:38:14Z

אנונימי: /* 3.27 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]

=שאלות=

== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==

אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)

== חובת הגשה ==

כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.
:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?

'''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו

== תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==

מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?
:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?
:נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

== שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==

1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.

2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.
:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::תודה!

== חיוביות בשדה המרוכבים ==

איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?
:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)
::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?

== גרעין של מטריצה ==

שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!

'''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av=0\}</math>

== שאלה 3.30א ==

לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.

עדי

:את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda \le 1</math>? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)
:גם ב-ב' זה ככה או לא?

== תרגיל 10 - שאלה 3.23א' ==

בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח
ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?
:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)
:: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)

== תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==

מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?

== משפט או לא? ==

שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)

(צל"ע=צמוד לעצמו)

== 3.27 ==

אפשר רמז?

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-29T20:47:36Z

אנונימי: /* שאלה 1.4 */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
=שאלות=

== למה? ==

הדט' של פ"מ שווה לפ"מ בחזקת n??

'''מה?
:ד"ר צבאן כתב שהדט' של פולינום מינימלי שווה לפולינום המימינלי (כפול I) בחזקתn (http://math-wiki.com/images/9/9b/Charpolydivminpoly%5En.pdf, סוף המסמך), ואני שאלתי- למה זה? תודה!
::{{לא מתרגל}} כי <math>|m_A(x)I|=\begin{vmatrix}m_A(x)&0&\cdots&0\\0&m_A(x)&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&m_A(x)\end{vmatrix}</math> וזו מטריצה אלכסונית, לכן = למכפלת אברי האלכסון הראשי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 23:28, 22 בנובמבר 2010 (IST)
:::תודה!!

== נכונות טענה ==

שלום רב,

האם הטענה הבאה נכונה: "אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכן, כדי שמטריצה תהיה לכסינה, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי זהים לאלו של מטריצה אלכסונית". במילים אחרות, הטענה אומרת שמטריצה <math>A</math> (מגודל <math>nXn</math>) לכסינה אם:

1. <math>P_A(x)=(x-a_1)^{k_1}...(x-a_i)^{k_i}</math> כאשר <math>k_1+...+k_i = n</math>

2. <math>m_A(x)=(x-a_1)...(x-a_i)</math>.

תודה! [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:[[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:02, 22 בנובמבר 2010 (IST)
::אפשר להשתמש במשפט הזה (מבלי להוכיח אותו שוב)? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 22:12, 22 בנובמבר 2010 (IST)
:::אני רק אדגיש שאני הפנתי לדף באתר משנה שעברה, אני לא יודע אם מותר לכם להשתמש בזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:19, 22 בנובמבר 2010 (IST)

'''עדי: תסתכל בארכיון2, עניתי על זה, ריבויי שורשי הפ"א הם 1 בפ"מ. שזה גם מה שאומר המשפט של ארז ושלך. כן, אפשר להשתמש בזה, למדנו את זה גם בתירגול.

==5.22 לגבי ה-trace==
שלום רב,
אני חושב שאני יודע איך ה-trace של המט', אך רק מתוך אינטואיציה, מישהו יכול להיות אולי רמז לדרך הפתרון?
תודה [[משתמש:Sretter|שקד רטר]]

'''עדי: חשוב על משהו אחר שמשותף למט' דומות והסק מסקנה על העיקבה שלהן
תודה!!! [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 09:54, 23 בנובמבר 2010 (IST)

== תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן ==

בעמ' 95 תרגיל 1.1, אמור להיות כתוב u,v "עם או בלי אינדקסים" במקום "עם או בלי סקלרים", נכון?
והחלק שיותר חשוב לשיעורי הבית, ב1.4 ב' ו-ג', המ"פ הן מתרגיל 1.3, לא 1.1, נכון? תודה

'''עדי:
'''1.1:כן.

'''1.4:גם כן.

== שאלה 1.9 ==

מה הם הוקטורים הסטנדרטיים ב <math>C^n</math>? (כלומר e_1 לדוגמה, שווה ל <math>(1,0,..,0)</math> או למשהו אחר?)
עריכה-עוד שאלה בנושא: האם ניתן להתייחס לוקטורים הסט' ei כוקטורי שורות? כי אם לא, אז יהיה חלק בתרגיל שיהיה קשה לביצוע, מכיוון שv הוא סכום של וקטורי עמודות, וכדי לכפול אותו במטריצה מימין יש להתייחס לשורותיו ולא לעמודותיו... תודה!

:אני לא מתרגל, אבל לדעתי הרעיון בוקטרים מעל שדה הוא שיש לך, כמו שאמרת, את הוקטורים e1, e2, ... en מעל כל שדה, וזה שיש לך i לא אמור לשנות לך.
::לא הבנתי...

'''עדי:נכון מאוד. הכוונה שאתה יכול ליצור כל וקטור מרוכב מצרוף לינארי של e1,...,en כאשר i הוא אחר הסקלרים האפשריים.

'''לגבי החלק השני, למה החלטת שאלו וקטורי עמודות? כמובן שאם דורשים <math>vAu^*</math> אז הוקטורים מוגדרים כך שהמכפלה ביניהם מוגדרת.
:פעלתי לפי הרמז, וכדי לחשב את האגף עם המטריצות, צריך לעשות את כפל A עם v משמאל- ולפי הרמז, צריך לכתוב את v כסכום של הוקטורים הסטנדרטיים, שבדרך כלל אנחנו '''מתייחסים אליהם כוקטורי עמודה''' ולא שורה, ולכן שאלתי אם אפשר הפעם להתחייס אליהם כוקטורי שורה. אם כן אפשר להתחייס אליהם כוקטורי שורה, אז נראה לי שצריך להשתמש בכפל שורה שורה כדי לבדוק את הכפל... לא?(ראי שאלה למטה).

'''למה וקטור שורה כפול מטריצה הוא שורה שורה? עושים כרגיל שורה כפול עמודה ומקבלים שוב וקטור.

*[[מדיה:דוגמא.pdf|דוגמא]]
:תודה!

== כפל שורה שורה ==

מישהו יכול בבקשה לרשום את החוק "כפל שורה-שורה"? (אם אני זוכר נכון יש לו 2 סעיפים). אני לא מצליח למצוא אותו בשום מקום. תודה!

'''בקשר למה זה?
:חשבתי לנסות להשתמש בזה בתרגיל 1.9, בכפל v עם A.

'''אז למה שורה-שורה? תפעל לפי הרמז, לפני שאתה ניגש לפיתרון היזכר מה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור שורה <math>e_i</math> משמאל ומה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור עמודה <math>e_j</math> מימין.

== שאלה 1.13 ==

השאלה אומרת שיש שלושה וקטורים שבמכפלה פנימית עם עצמם שווים ל- 1- ועם אחד מהאחרים שווים ל- 3. צ"ל שסכומם הוא אפס.
הכוונה בתרגיל היא שיש מרחב מכפלה פנימית שפועל כך או שאלו ארבע וקטורים מיוחדים במכפלה הסטנדרטית שמקיימים את התנאים? או אלי בכלל אנחנו לא יודעים על איזו מכפלה סקלרית מדובר וצריך להוכיח רק לפי ההגדרות?

תודה מראש!

'''עדי: לא עבור מכפלה ספציפית. עבור מ"פ כלשהי על 4 וקטורים ספציפיים. כן,לפי הגדרות.

== 1.13 ==

אפשר רמז לתרגיל 1.13? אין לי מושג מאיפה להתחיל בכלל...
: תנסה לחשב את המכפלה הפנימית של סכום ארבעת הוקטורים ;)
::ווואי פתאום זה כל כך קל! תודה רבה!!!
::: בכיף ;)

== הרצאה ותרגול בחנוכה ==

האם יתקיימו הרצאה ושיעור תרגול בחנוכה?
:לקבוצה של ד"ר צבאן לא יתקיימו שיעורים בלינארית בכלל, רק התרגול באינפי שנקבע מולנו. [[משתמש:Gordo6|גל]]

'''עדי: בעיקרון זה תלוי בהספק שלנו בתירגול הקרוב אבל כפי שנראה כרגע לא, רק בוחן ב9/12.

== עבודת ההגשה לחנוכה ==

איפה היא? לא מצאתי אותה בעמוד הראשי, למרות שכתוב שהיא נמצאת שם. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:56, 25 בנובמבר 2010 (IST)

'''בתרגילים

== 1.9- הבהרה ==

האם הכוונה ב- <math>e_{1},...,e_{n}</math> היא לווקטורי הבסיס הסטנדרטי?

'''כן

== שאלה חשובה לגבי 1.9 ==

אפשר בבקשה מהם הוקטורים הסטנדרטיים בC^n במפורש? זה חשוב, כדי צריך לדעת מהם הצמודים להם. לדוגמה, אם הוקטורים הסט' בC הם כמו בR, כלומר <math>e1=(1,0,..)</math> וכו', אז הצמוד של זה הוא הוקטור עצמו, אבל הוקטור הסט' בC הוא <math>e1=(1+i,0,..)</math> אז כבר הצמוד של זה הוא משהו אחר. תודה מראש

'''עדי:
''' <math>(1+i,0,..)=(1+i)e_1</math>
'''כלומר הם הוקטורים הסט' הרגילים עם מקדמים מעל שדה המרוכבים
:ז"א שהצמוד של e1 שווה לe1, נכון?

'''כן, באופן כללי הצמוד של <math>ke_i</math> הוא הצמוד של k כפול <math>e_i</math>.

'''למה זה רלוונטי לשאלה זו?
:כי בחישוב של u כוכבית הייתי צריך לחשב את הצמודים של הוקטורים הסט'- לא משנה- הסתדרתי- תודה רבה

== שאלה 1.6 ==

האם בשאלה 1.6 אפשר למצוא את ערכי אלפא בתלות ב-<math>x_1, x_2</math> מהם בנויים הוקטורים (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=(x_1+x_2)/(x_1*x_2)</math>, או שחייבים למצוא ערך מספרי (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=3</math>)? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

==רמז ל 1.6==

'''אתם יכולים להשתמש בטענה המוצגת ב 1.7:

'''<math><v,u>:=vAu^t</math> היא מ"פ

'''אמ"מ

'''<math>A=A^t</math> , <math>a_{11},a_{22}>0</math> , <math>|A|>0</math>.

===שאלה לגבי הרמז===
יכולים זה "יכולים בלי בוכחה" או "יכולים אבל דרוש הוכחה"?

==שאלה 1.4==
סעיף ב': לא הבנתי איך מחשבים מכפלה פנימית של מטריצות ומה הקשר לתרגיל 1.1(ג)?
סעיף ג': לא הבנתי איזה מ"ו זה ומעל איזה שדה? מה הקשר ל1.1(ד) ומה הם a,b?

:יועיל לך לעיין [[#תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן|כאן]]. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:28, 29 בנובמבר 2010 (IST)

אההה חחח.. עכשיו הכל מסתדר לי! תודה (:

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-29T20:07:15Z

אנונימי: /* שאלות */

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-10-23T18:53:15Z

אנונימי: /* המשך שאלה על תרגול 2 שאלה 8 */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]

=שאלות=

== שאלה 5א תרגול 2 ==

שלום רב,
הצלחתי להוכיח את שאלה 5א ללא שימוש באפסילון, למרות מה שכתוב בגוף התרגול. השתמשתי בדרך של הוכחה בשלילה ושימוש בתכונות של חסם תחתון וחסם עליון ושל חסמי מלעיל ומלרע (שוב, ללא שימוש באפסילון). האם זה בסדר? בכל אופן, לא מצאתי דרך אשר עושה שימוש באפסילון. כל פעם שניסיתי - נתקעתי. האם אתם יכולים לתת הכוונה כלשהי כיצד לעשות זאת עם אפסילון? תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

===תשובה===
מהן התכונות של חסם עליון בעזרתן הוכחת? את מניח בשלילה שאחד גדול מהשני, מה הלאה? איפה הסתירה? יש להראות שיש איבר a שגדול ממש מאיבר b, עושים את זה בעזרת משפט שלמדנו בקשר לחסמים המזכיר את אפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 02:22, 22 באוקטובר 2010 (IST)
:האם אי אפשר להגיע לסתירה על ידי הוכחה בשלילה באופן הבא: supA>infB ולכן infB לא חסם מלעיל של A ולכן קיים a ב-A עבורו a>infB אבל עפ"י נתון גם עבור ה-a הספיציפי הזה לכל b ב-B עפ"י נתון a קטן שווה ל-b ולכן a חסם מלרע של הקבוצה B אבל a>infB וזהי סתירה. בהוכחה זו אני לא רואה שום שימוש באפסילון, חוץ מזה לא זכור לי שדיברנו על המשפט המסויים שציינת, אתה יכול לצטט אותו?

::האמת שזה נכון מאד. המשפט עם האפסילון: תהי A קבוצה חסומה מלעיל. אזי M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\epsilon</math>. זה בדיוק מה שאתה אומר, רק בשימוש באפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:38, 22 באוקטובר 2010 (IST)
:::אז האם זה בסדר שבתרגול עצמו אכתוב את ההוכחה ללא אפסילון? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::::כן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:05, 22 באוקטובר 2010 (IST)
:::::מה המשפט הנוגע ל-A חסומה מלרע?
::::::תהי A קבוצה חסומה מלרע. אזי m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\epsilon</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:14, 22 באוקטובר 2010 (IST)
::::::: תודה :)- ארז אתה מתרגל אינפי1 לתיכוניסטים במחצית הזו?
:::::::: לפי מה שידוע לי הוא מתרגל רק למבוגרים בסמסטר זה (ובקורס זה).
::::::::: באסה :( :)

== שאלה 6 ==

סליחה, בצורה יותר מסודרת: האם בשאלה 6 אני יכול להשתמש בפונקציות שאני מכיר וע"י כך להגדיר קבוצות ע"מ להראות דוגמא נגדית, לדוגמא: {A={ arctanx∶ ∀x∈R & x>0?

===תשובה===
אין צורך... תשתמש בקבוצות פשוטות בהרבה (קטעים פתוחים/סגורים בציר הממשיים) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:07, 22 באוקטובר 2010 (IST)

== הצעת ייעול ==

לא עדיף לחלק את הארכיונים השונים לפי תרגולים, כלומר שארכיון 1 יהיה עבור תרגול 1 בלבד וכך הלאה?!? כך יהיה יותר נוח לחפש בין השאלות השונות. אולי כדאי להוציא את השאלות שעוסקות בתרגול 2 אל מחוץ לארכיון 1? אני בטוח שככה יהיה לרוב המשתמשים נוח יותר. שבוע טוב, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== תרגול 2, שאלות 2,8 ==

שבוע טוב!
1. לגבי שאלה 2 לא כ"כ הבנתי מה צריך להוכיח ולמה זה קשור. אני יודעת שX בין אפסילון לאפס אבל איך אני יכולה לדעת אם הוא שווה ל0 או לא..
2. בשאלה 8 האם יש קשר בין ההוכחה בלי הסוגריים להוכחה של הסוגריים. יש עדיפות להוכיח קודם את אחת ההוכחות בשביל להצליח להוכיח את השניה..
תודה!

== המשך שאלה על תרגול 2 שאלה 8 ==

מבקשים ממני להוכיח שm חסם תחתון של A אבל זה לא תמיד אפס כי ידוע שa גדול מאפס..? זה לא בעצם שמספיק להוכיח רק את ההוכחה שבסוגריים כי רק היא נכונה..
(שהרי אם 0 הוא חסם תחתון של a אז 1/0 הוא חסם תחתון של A בחזקת -1 וזה בעצם אין פתרון אז זה אומר שהיא לא חסומה..)

לדעתי, ההוכחה שבסוגריים הינה מקרה פרטי של A כאשר, כמו שציינת, החסם התחתון (שים לב שזה חסם תחתון ולא מלרע) הוא באמת 0.
כאשר ההוכחה הכללית מתייחסת למקרים שבהם infA שונה מ-0.

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-10-23T18:52:50Z

אנונימי: /* המשך שאלה על תרגול 2 שאלה 8 */

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא

2010-10-18T20:24:48Z

אנונימי: /* שאלה 1.4 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

==תרגיל 1.1==
אפשר עזרה בהוכחה בבקשה? ישבתי על זה כשעה ולא הגעתי להישגים. אשמח להדרכה. תודה!

עדי: ראשית, שים לב שהפונ' היא מקב' סופית לעצמה, כך שגם מבחינה הגיונית זה מתבקש (מאוד חשוב ש"נאמין" בתכונה לפני שנתאמץ להוכיחה). הנח שהאחת מתקיימת והשניה לא והגע לסתירה. לדוג' f חח"ע. נניח שאיננה על אזי קיים איבר בטווח ללא מקור אזי..
ולהיפך בכיוון השני

==תרגיל 1.12==
האם כדי להוכיח את המבוקש, אפשר להגיד שכל תמורה אפשר להפוך לצורה של מכפלת חילופים, וכל חילוף הוא היפוך סדר, ואז להגיד את מה שכתוב ברמז ולסיים את ההוכחה? או שצריך להוכיח את אחד מהשלבים שאמרתי או את הרמז? או שבכלל יש לי בעיה אחרת בהוכחה? תודה רבה!!

עדי: הדרך שלך תתקבל

==תרגיל 1.3==
האם הכוונה בתרגיל 1.3 ב"שלוש ההצגות האפשריות" היא: 1. הצגה רגילה, 2. פירוק לחילופים, 3. פירוק למחזורים או שיש עוד הצגה שצריך להציג באמצעותה את כל אחת מהתמורות? תודה רבה, גל.

עדי: אלו 3 הדרכים

[[משתמש:Gordo6|גל א.]] 15:52, 15 באוקטובר 2010 (IST)

:כמדומני שהכוונה לשלוש ההצגות המתוארות באותו עמוד למעלה (א,ב,ג), ובדוגמא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:58, 15 באוקטובר 2010 (IST)

::אוקי, תודה.

== פירוק לחילופים ==

מסתבר שלא הבנתי את ההסבר שהיה בתירגול לגבי פירוק לחילופים.
אפשר בבקשה לקבל הסבר, עם דוגמה או שתיים?
תודה מראש.

==תרגיל 1.12==

אפשר להוכיח את התרגיל בדרך אחרת מהרמז? (כי הצלחתי בדרך אחרת יותר מובנת לי)

== 1.12 ==

האם ניתן להסתמך על כך ש- <math>signT*signO=Sign(T*O)</math> ?

== שאלה 1.4 ==

בשאלה 1.4 א', האם זה בסדר להוכיח ש<math>TG</math> היא חח"ע ועל ולכן היא תמורה (ע"פ ההגדרה)?

משוב - סמסטר א' תשעא

2010-10-16T21:12:56Z

אנונימי: /* הערה 1 */

{{משוב}}

=רועי בוסי=
==הערה 1==

=ארז שיינר=
==הערה 1 ==

=עדי ניב=
==הערה 1 ==

=ד"ר בועז צבאן=
==הערה 1 ==
מרצה נהדר, מסביר בצורה ברורה ונותן את הכלים למחשבה בכדי לגשת לתרגילים.
מעביר את השיעורים בצורה נעימה ועם הומור קל.
אשמח אם תהיה אפשרות לדבר טיפה יותר בקול או להשיג רמקול קטן כזה, זה יקל על ההקשבה.
4/5

משוב - סמסטר א' תשעא

2010-10-16T21:11:54Z

אנונימי:

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-10-03T11:30:11Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - לקראת המבחן

=שאלות=
==המבחן===
באיזה בניין וחדר יהיה המועד ב' בבדידה?

==הפגישה==
באיזה שעה הפגישה והיכן?
==פקטור==
היה פקטור במבחן?

===תשובה===
כן

==חלוקת הציון==
כיצד מחלקים את הציון? כמו בלינארית או שהבוחן ייחשב לכולם? ואם כן באיזה אופן?
תודה מראש, גל.
==ציונים==
מישהו יודע מתי יהיו ציונים?
==שאלה חשובה ממבחן==
בכמה דרכים ניתן לחלק 40 עטים ממוספרים <math>(1,2,...,40)</math> בין 30 סטודנטים?

לא הבנתי את השאלה:
*האם צריך לחלק את כל ה-40, כך שיהיו 10 סטודנטים שיקבלו 2 עטים? או לחלק רק 30 עטים?
*האם מותר שחלק מהסטודנטים יקבלו 0 עטים? למשל - כל העטים לסטודנט אחד?

אגב, תשובה סופית של השאלה תעזור לי מאוד, בשביל לבדוק את עצמי.

===תשובה (לא מתרגל)===
כל האפשרויות הללו תופסות. אני הייתי פותר את השאלה כך: עבור כל עט יש שלושים אפשרויות, ולכן בסה"כ יש <math>30^{40}</math> אפשרויות. האם זה פתרון נכון?

:אני מניח שהכוונה ל40 עטים ספציפיים, כלומר לא יכול להיות שעט מספר 2 יהיה אצל שני תלמידים.

::נו?תסתכל על זה כך - לעט 1 יש 30 אפשרויות (תלמיד 1 עד תלמיד 30) וגם לעט 2 יש 30 אפשרויות וגם ... וגם לעט 40 יש 30 אפשרויות. ולכן בסה"כ התשובה שציינתי מתקיימת

:::צודק, טעות שלי.

==הוכחת יחס בפרט==
אם נתונה קבוצה B סופית ודי קטנה (כ-5 איברים) ואומרים יהי R יחס על B, הוכיחו ש-R יחס סדר חלקי (או שקילות, לא משנה). האם אני יכולה לכתוב בצורה מפורשת את R ופשוט לכתוב בצורה מפורשת למה היא טרנזטיבית, רפלקסיבית ואנטי סימטרית (או סימטרית), או שאני חייבת לעשות את זה באופן כללי ולא מפורש?
==2007 מועד ב'==
קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=278200810428508.pdf

בשאלה 1 צריך לרשום בצורת CNF ו-DNF שתי פונקציות שהן ביטוי לוגי. אין לי מושג על מה מדובר, אבל זה לא בחומר - נכון?

שאלה 2 על דטרמיננטות - אני אמורה לדעת לפתור אותה ושאלה דומה יכולה להופיע במבחן מועד ב'? (אני עם אפי, למדנו דטרמיננטות שיעור אחד)

בשאלה 4-ג',ד' ובשאלה 5 צריך להסביר משהו או רק לתת תשובה סופית?
==מבחן 2007 מועד א'==
קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=208200823203518.pdf

בחלק II שאלה 3 (שצריך להוכיח באינדוקציה), הבדיקה עבור n=1 יצאה לא נכונה! יש טעות בתרגיל או שאני טועה?

בבקשה תענו!

דרך אגב, כל חלק III הוא לא בחומר, נכון?

אה ועוד משהו: יש למישהו פתרונות של המבחן הזה? או לפחות פתרונות סופיים? אם מישהו פתר אותו, אז שיכתוב פה ונשווה :).

במיוחד חשובה לי השאלה בקומבינטוריקה: 1-ב', יצא לי 208.

==בקשה לפקטור==
המבחן היה ברמה קשה מאוד אז נשמח לקבל פקטור. תודה!
אני בטוח שבגלל שביקשת יהיה פקטור :) (לא שאני מתנגד )
::מצטרפת!
::מצתרף, וזה בלי קשר לבעיות הרבות שהיו, הפסקת חשמל, בעיות בתופס, ועוד.. או לפחות שיקימו מועד מיוחד כדי שהמועד ב' לא תיהיה ההזדמנות האחרונה, זה די מלחיץ, וגם באמת שהתנאים והרמה לא היו בסדר, בהצלחה לכל מי שהולך למועד ב'

==שאלות על הפתרון==
בשאלה של התמורות, קבעתם את A להיות הקבוצה שבה איבר זוגי מסויים מופיע במקומו, ואז חישבתם את הסכום של כל הקבוצות האלו. אבל זה בעצם החיתוך של המשלימים, אז צריך לעשות את סך כל האפשרויות פחות הסכום שיצא, לא?
ולגבי השאלה עם השוויון בין הסיגמות, אתם יכולים לכתוב את הפיתרון? (הוא לא מופיע). תודה!

==פתרון המבחן==
שלום. אתם יכולים בבקשה לפרסם את הפתרון של המבחן? תודה!
==הצלחה במועד ב'==
שלום. אני נבחנתי במועד א' ונראה לי שנכשלתי ככה שגם בסופי יהיה לי ציון נכשל. אבל זה בכלל לא אומר שבמהלך כל הקורס ישבתי עם פה פעור ולא הבנתי מילה. עכשיו אני צריכה לגשת למועד ב', ובו אני רוצה להצליח. לא להצליח 80, אלא להצליח 100 לפחות. אני מוכנה לחרוש בשביל זה כמה שצריך, ואפילו יותר. אבל אני רוצה שהחרישה תהיה יעילה כמה שאפשר. אז מתרגלים, בתור מי שהצליחו באיזה קורס או שניים, בבקשה תספרו מנסיונכם, מהי הדרך הכי אפקטיבית ללמוד למבחן? מה ייתן לי את מירב הסיכויים לקבל 100?

תודה מראש!

אני עדיין מחכה לתשובה, בבקשה...
:אני לא בטוח שהם עוד עוכבים אחרי הדף הזה, אבל אולי אם תשאל את השאלה בדף השיחה של אחד המתרגלים הם יענו לך (למשל [[שיחת משתמש:ארז שיינר]] ו[[שיחת משתמש:Adam Chapman]]. את רשימת כל מפעילי המערכת (רובם מתרגלים) תמצא [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93%3A%D7%A8%D7%A9%D7%99%D7%9E%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%9D&username=&group=sysop&limit=50 כאן]). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 00:36, 10 בספטמבר 2010 (IDT)

::תודה לך :)

===תשובה===
*קודם כל יש לוודא שיש לך את כל החומר מההרצאות ושאת מבינה כל דבר ודבר שנעשה בהרצאה (אחר כך כנ"ל לגבי התרגילים)
*יש לעבור על מבחן מועד א' ולוודא שאת מבינה בדיוק איפה טעית, ואיך היית מקבלת 100 אם היית נגשת אליו.
*יש לפתור את כל תרגילי השנה ומבחנים משנים קודמות, דבר ראשון מבלי להסתכל בפתרונות, ולאחר מכן לוודא שפתרת נכון
*תנסי לקבוע שעת קבלה עם המתרגל שלך או מתרגל אחר בקורס שלך (עדיף באמצעות המייל, לא כולם עוקבים אחרי הדף הזה בשלב זה, כמו שאור ציין).
*אני אציין שמה שאמרתי הוא כללי מכיוון שאיני מתרגל בדידה ולכן איני יכול לכוון יותר למקצוע הזה. הכוונה נוספת תוכלי לקבל ממתרגלי בדידה.

בהצלחה,

[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:52, 10 בספטמבר 2010 (IDT)

::תודה רבה!!
::מבין הדברים שכתבת, משנה מה אעשה קודם ומה אחר כך? ובשביל מה שעת קבלה?

:::שעת קבלה לשאול שאלות (אם יש) וגם להתייעץ לגבי הלימודים ספציפית לקורס. לגבי הסדר, אני חושב שנוח לעבוד לפי נושאים הרצאה-תרגול-תרגיל בית (כלומר להבין את ההרצאה בנושא ואז את התרגול בנושא ואז תרגיל בית בנושא ואז לעבור לנושא הבא). אחרי שיש שליטה בחומר עוברים למבחנים ודברים דומים.

==עוד 2 שאלות קצרות ואחרונות בהחלט!==
יש לי עוד 2 שאלות קצרות שאפשר לענות עליהם עם תשובה סופית בלבד.
:האם <math>P(AxB)=P(A)xP(B)</math>?
:נניח A=}1,2,3,{. מספר היחסים על A הוא 2 בחזקת 9 (לפי תשובה לשאלה קודמת), נכון? ומספר יחסים השקילות על A, איך מחשבים את זה? מחשבים אז זה בצורה אחרת, על ידי מספר מחלקות השקילות האפשריות נכון? המחלקות האפשריות הן 1,2,3; 12,3; 1,23; 2,13; 123; כלומר 5? או שיש לי טעות? תודה!

===תשובה===
התשובה היא לא. <math>P(A \times B) = P(A) \times P(B)</math> זה שקר ברוב המקרים. אם <math>A=\{1,2\}</math> ו<math>B=\{3,4\}</math> אז <math>\{(1,3),(2,4)\} \in P(A \times B) \setminus P(A) \times P(B)</math>. הכי טוב להבין זאת דרך עוצמות. <math>|P(A \times
B)|=2^{|A| \cdot |B|}, |P(A) \times P(B)|=2^{|A|+|B|}</math>.

{{התנגשות}}לא. נניח בשלילה שזה נכון, אזי:
{|
{{equation|l=<math>|\mathcal P(A\times B)|</math>|r=<math>2^{|A|\cdot|B|}</math>}}
{{equation|o=<math>\not=</math>|r=<math>2^{|A|+|B|}</math>|c=קיימות <math>A</math> ו-<math>B</math> כך ש:}}
{{equation|r=<math>2^{|A|}\cdot2^{|B|}</math>}}
{{equation|r=<math>|\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)|</math>}}
|}

בסתירה לכך שאם שתי קבוצות שוות אז עוצמתן שווה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 14:38, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה! ובקשר לשאלה השנייה, עם מספר היחסים על A, צדקתי או שיש לי טעות? תודה
::לא משנה כבר, בהצלחה!

==2 שאלות, אם מתרגל עדיין נמצא פה..==
-אם יש נוסחת נסיגה לא הומוגנית, שהאיבר החופשי שלה, במקום להיות מחובר מהצורה <math>a^n*q(n)</math> הוא פשוט מספר ללא n, לדוגמה 4, (כלומר: נוסחת נסיגה לדוגמה תהיה an=an-1+an-2+4) מה מציבים בנוסחת הנסיגה? פשוט k ללא n? או 4 בחזקת n כפול k? כי אם מציבים ביטוי ללא n, יש בעיה שהיא- מה להציב בan-1 וכו'.
-אם אפשר עזרה נוספת בנוגע[http://math-wiki.com/index.php/%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA#.D7.91.D7.A2.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.A0.D7.A7.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.9D_.D7.94.D7.A8.D7.9B.D7.91.D7.AA_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA..._-.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.91.D7.A7.D7.A9.D7.94..- לשאלה הנל], תודה

===תשובה===
אם משוואת ההפרשים היא משהו בסגנון <math>f(n+k)=a_1 f(n+k-1)+\dots+a_k f(n)+c</math> כאשר c הוא קבוע (דהיינו מספר שלא תלוי בn) אז מחפשים פיתרון פרטי של משוואת ההפרשים שיהיה פונקציה קבועה, למשל <math>h(n)=b</math> ואז פותרים את המשוואה<math>b=a_1 b+\dots+a_k b+c</math> ומקבלים פיתרון <math>b=\frac{c}{1-(a_1+\dots+a_k)}</math> וממשיכים באלגוריתם לפיתרון נוסחת הנסיגה כרגיל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:55, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה!

===עוד אפשרות===
אם לא בא לך לזכור את כל המקרים אפשר להפוך את 4 ל- <math>(1^n)*4</math>

==שאלה לסיום==
למדנו את הכלל-a כפול b= למקסימום של הערכים.
האם אפשר להסיק:
תהי k עוצמה. מכפלת k בעצמה שווה לk?

===תשובה===
ראשית להבהיר, למדנו את המשפט הזה לגבי עוצמות אינסופיות, עבור סופיות כמובן שזה לא עובד.
ושנית המכפלה תהיה שווה ל-k רק אם העוצמה קטנה או שווה ל-k

==שיבוצי הכיתות==

בניין 605

הקבוצה של אפי: 
חדר 101: מסטודנט אבני תומר עד מלמד שירן 
חדר 102: מסטודנט מרזוק חופית עד שרקנסקי אלה 

הקבוצה של שי: 
חדר 103: מסטודנט אבוטבול עומר עד כרמל רום 
חדר 104: מסטודנט לביא גל עד שרעבי רועי

==חוקי עוצמות==
אחד החוקים שכתוב לי במחברת הוא שעבור עוצמות a,b,d מתקיים: אם <math>a<b</math> אז <math>a^d<b^d</math>. השאלה היא מהן העוצמות a,b,d, האם זה גם עבור עוצמות סופיות?

השאלה היא בהמשך לדוגמה נגדית שמישהו נתן: <math>2<3</math> אבל 2 בחזקת א0 שווה 3 בחזקת א0.

===תשובה===
כנראה זה קטן שווה, גם אם d=0 יש שוויון
:כן, כנראה. תודה. בכל מקרה, תשובה חד משמעית ממתרגל תעזור. אולי אפשר ממש להגיד מתי קורה השוויון, ואז להגביל a,b,d כך שהוא לא יקרה אף פעם?
::אני לא מתרגל, אבל לפי דעתי אם זה גדול ממש זה לא תורם יותר מדי, לעומת זאת אם זה גדול שווה זה מראה על קיום פונ' חחע מצד אחד ופונ' על מצד שני.

===תשובת מתרגל===
אני כן מתרגל, והאמת היא שאם קבוצות מקיימות <math>|A| \leq |B|</math> אם ורק אם קיימת פונקצייה על מB ל A שזה קורה אם ורק אם יש פונקצייה חח"ע מA לB. המשמעות של <math>|A| < |B|</math> היא שקיימת פונקצייה על מB לA אך לא קיימת פונקצייה על מA לB, שזה קורה אם ורק אם קיימת פונקצייה חח"ע מA לB אך לא קיימת פונקצייה חח"ע מB לA.
בהצלחה במבחן היום! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:28, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

:טעות שלי, החוק באמת כתוב עם שווה גם במחברת.

==מתי המבחן?==
בשלוש וחצי או ארבע? האם התשובה היא ב100 אחוז? תודה!
: בארבע, זה הרי מה שנכתב כאן ובמערכת המידע האישי...
ואיפה?
:שוב, מערכת מידע אישי ולפי מספר קורס 88195 (ולאחר מכן 08 עבור אפי 11 עבור שי) תוכל לראות באיזה חדר אתה משובץ

==שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה==
שלום רב,

אם מבקשים ממני את מספר תתי הקבוצות של <math>\{1,...,n\}</math> שבהן יש מספרים עוקבים (ביחס רקורסיה), האם מותר לי לפתור כך:

"
עפ"י הסעיף הקודם (סעיף 3) קיבלנו שמספר האפשרויות לתתי הקבוצות של הקבוצה הנתונה בהן אין מספרים עוקבים בכלל הוא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math>. מכיוון שלכל תת קבוצה יש שתי אפשרויות (שתכיל עוקבים או שלא תכיל עוקביים) ויש בסה"כ <math>2^n</math> תתי קבוצות אז נגדיר <math>g(n)</math> להיות מספר הקבוצות בהן יש מספרים עוקבים ולכן <math>g(n)=2^n-f(n)=2^n-f(n-1)-f(n-2)</math>?"

אם לא, איך אני יכול לפתור? תודה, גל.
==תרגיל 2==
איפה התשובות של שאלות 8,9? (http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf)

==אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?==
אני כבר ממש מיואש, כל פונקציה שאני בונה יוצאת לא חחע ולא על! זאת שאלה ממש קשה, אבל גם ממש חשובה למבחן, אז אפשר, בבקשה, פתרון או הכוונה? תודה!

===תשובה===
בשאלה הזו לא מצפים ממך לבנות פונקציה כי אם להשתמש בחוקים אלמנטריים שאתה יודע בחשבון עוצמות.
ההוכחה שמצופה מכם היא כזו:

מצד אחד <math>2^\lambda>\lambda</math> ולכן <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>.
מאידך, <math>2 \leq k \leq 2^\lambda</math> ולכן <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> ולכן <math>k^\lambda=2^\lambda</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:33, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:אני פשוט לא מאמין, סתם ישבתי לי ובניתי פונקציות..
:בכל מקרה, לא הבנתי אף אחד מהשלבים שעשית! קראתי שוב לאט, ובטוח גם אם הפתרון שלך נכון אז חסר בו פירוט הכרחי באיזשהו מקום- איך אתה יודע שK בחזקת גימל שווה ל2 בחזקת גימל?
::כי <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda</math>

::לימדו אתכם בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל <math>\lambda<k</math> מתקיים <math>k^\lambda=k</math>. גם לימדו אתכם בהרצאה שאם עוצמה k קטנה מקיימת <math>\gamma \leq k \leq \gamma</math> אז <math>k=\gamma</math>. אלו הם שני החוקים שהשתמשתי בהם בהוכחה הנ"ל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:48, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:::לא!!! התכוונתי לאיך אתה יודע את כל אחד מ2 השלבים האלה! ברור לי שאם אתה יודע שאחד גדול מהשני והשני גדול מהראשון אז על פי קנטור ברנשטיין יש שוויון!!את התוצאה <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda</math> פשוט המצאת. כמו כן פשוט כתבת שאם<math>2^\lambda>\lambda</math> אז <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> וש <math>2^\lambda>\lambda</math> אז <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>בלי להסביר! מאיפה הבנת את הדברים האלה?? אתה יכול להסביר בבקשה למה K בחזקת גימל גדול מ2 בחזקת גימל ולמה להפך?? תודה

:::לימדו בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל <math>\lambda<k</math> מתקיים <math>k^\lambda=k</math>. במשפט הזה תחליף את k ב-<math>2^\lambda</math> (אינסופי כי <math>\lambda</math> אינסופית נתון). ידוע ש- <math>\lambda<2^\lambda</math> לפי קנטור. לכן לפי המשפט הזה, <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>.

:::חוץ מזה, ידוע שכאשר a,b,c עוצמות: אם a<b, אז <math>a^c<b^c</math> ולכן אם נתון <math>2 \leq k \leq 2^\lambda</math> אז <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> (העלינו הכל בחזקת <math>\lambda</math> והשיוויון ממה שהוכחנו קודם). זהו עכשיו לפי קנטור ברנשטיין מ.ש.ל. אגב אני לא מתרגלת אבל מקווה שעזרתי.
::::תודה על העזרה, אדם, אני ממש לא רוצה להעליב, אבל אי אפשר להבין כשישר כותבים תוצאה. אבל נראה לי שיש פה טעות, כי למשל למשפט אם a<b, אז <math>a^c<b^c</math> אני יכול לתת דוגמה נגדית. ודבר שני, אני ממש לא זוכר שלמדנו בהרצאה את מה שאת ואדם אמרתם שלמדנו. תודה

:::::איזו דוגמה נגדית? (שים לב ש-c זו עוצמה, לא משלים. הסימונים שהשתמשתי בהם הם לא משהו..) אם אתה עם אפי, אז החוק הזה כתוב לך בעמוד האחרון שלפני קומבינטוריקה (מצחיק, הרגע שמתי לב שכל התרגיל הזה הוא חוק מספר 8 שכתוב שם במדוייק).
:::::את מה שאדם כתב אין לי במחברת. בכלל, בקושי יש חוקים שלמדנו על עוצמות כלשהן (כשלא ידוע מהי העוצמה). אם הייתה רשימה של כל החוקים האלו זה היה כ-ל-כ-ך עוזר!
::::::למשל, 2 בחזקת א0 שווה ל3 בחזקת א0, לא?
:::::::וואלה, נראה לי שאתה צודק... אז אולי החוק הזה הוא אם a,b,c עוצמות אינסופיות? לא יודעת. יש איזה מתרגל שיכול לעזור פה?

===תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)===
אני מתרגל, ואין לי מושג מי היה המתרגל או המרצה שלכם, חברה, אך נדמה לי שלא רשמתם במחברתכם את כל מה שנאמר בהרצאות או בתרגולים. אני נתתי את רשימת החוקים של חשבון עוצמות גם בתרגול שלי וגם בתרגול העזר של הקורס. שני החוקים שרשמתי למעלה (בפרט הראשון) הם נכונים ונוסחם הוא בדיוק מה שניסחתי לכם למעלה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:31, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

==בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-==
זהו המשך לשאלה ששאלתי קודם, [http://math-wiki.com/index.php/%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA#3_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.9C_.D7.94.D7.A8.D7.9B.D7.91.D7.AA_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA השאלה]. אני ממש, ממש תקוע, בסעיף א' כיוון שמאלה, ובסעיף ב' שני הכיוונים (אדם, כנראה שלא הבנתי את הפתרון שלך). למשל ב-ב', אם f חחע, אז לפי מה שהבנתי (וגם בדקתי את זה!) היא הפיכה '''משמאל''' ולא מימין. לכן קיימת פו' כך ש hf=id. אבל זה ממש בעייתי ולא עוזר לפתור את הבעיה, כי צריך להוכיח שלכל תמונה של פי, כלומר לכל gf, קיים מקור g, אבל איך אפשר להוכיח את זה, הרי גם אם נרכיב את ההופכי של f משמאל, יצא hgf, שזה לא נותן כלום! מה עושים? (אם אפשר תשובה מפורטת גם לזה וגם לסעיפים\כיוונים האחרים) תודה רבה!

===תשובה===
אכן הייתה לי טעות בהקלדה אך כדאי שתקרא את התשובה שרשמתי למטה שוב.

עכשיו אולי אוסיף משהו שיסייע להבנה:

אם אתה רוצה להוכיח שפי היא על אתה צריך לקחת איבר בטווח ולהראות שיש לו מקור ,כלומר איזשהו g כך שgf שווה לאיבר בטווח שלקחת. אף אחד לא אומר לך שהאיבר בטווח הוא מן הצורה gf. זה מה שאתה צריך להוכיח!

אתה צריל לקחת איבר כללי בטווח, אותו <math>\psi</math> ומראה שקיימת g כך ש<math>\psi=g \circ f</math>.
זה מה שעשיתי בוהכחה למטה. אני ממליץ לך לקרוא אותה שוב.[[מיוחד:תרומות/79.180.9.140|79.180.9.140]] 19:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:
:לא הבנתי את המשפט:"לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math>", באמת שלא הבנתי למה G שווה לפסי הרכבה H ומה זה אומר "לפי פונקציה פי". אפשר הסבר קצת מפורט יותר? תודה!

::אתה צריך להראות שקיימת g כך ש<math>\psi=g \circ f</math>. לא נתונה לך g שאתה צריך להוכיח שהיא <math>g=\psi \circ h \in C^B</math>. אתה יכול לבחור איזו g שאתה רוצה. אתה רק צריך להסביר למה אותה g שבחרת היא מקור לפסי. אני בחרתי את g להיות הפונקציה <math>\psi \circ h</math> והראיתי שהיא אכן מקור לפסי. מכיוון שפסי הוא שרירותי זה אומר שהראיתי שלכל פסי שרירותי קיים מקור, ולכן פי היא על. כדי להראות שקיים מקור לאיבר אתה צריך לציין את המקור הפוטנציאלי ולהראות שהוא אכן מקור. המקור הוא לא מ שנתון לך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:42, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:::'''אבל איך אתה יכול לדעת שg יכולה להיות מורכבת מפונקציה פסי ומהפונקציה h? ובאותה צורה, איך זה שאתה בוחר "פסי שרירותי" אם אתה קובע שהפסי הזה הוא הרכבה של g ושל f? אשמח לתשובה מפורטת ומובנת הפעם, שלא אצטרך לשבור את הראש כדי לנסות להבין אותה! תודה רבה!'''

::::g יכולה להיות פסי הרכבה h משום שהמקור של פסי צריך להיות פונקציה מB לC ופסי הרכבה h הינה פונקציה מB לC. אני אכן בחרתי פסי שרירותי לא קבעתי שהוא הרכבה של g על f. אני בחרתי פסי שרירותי הראיתי שניתן למצוא לו מקור. מהו אותו מקור? אותו מקור הוא פסי הרכבה h. לכל פונקציה פסי מA לB, התמונה של פסי הרכבה h היא פסי ותמונה של פי מכילה את כל הפונקציות מB לC, דהיינו פי היא על.
שמע, ידידי, אין לי מושג איך לסייע לך מעבר לכך. כל מה שאני יכול לומר זה שאני ממליץ לך להוכיח כתרגיל שהפונקציה <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> שמקיימת לכל <math>x \in \mathbb{Z}</math>, <math>f(x)=x+1</math> היא על, ואז תראה שמבחינה אלגוריתמית אין הבדל בין ההוכחה הזו להוכחה שרשמתי לך למעלה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:42, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

==הפרכה בעזרת דוגמה==
בתרגיל 2 שאלה 5.ב, למה אי אפשר לתת דוגמה בשביל להפריך טרנזטיביות? הרי אם מראים שקיים B '''מסויים מאוד''' שעבורו אין טרנזטיביות, אז כבר R לא טרנזטיבי...לא?

השאלה: http://www.math-wiki.com/images/8/87/10BdidaTargil2.pdf

התשובה: http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf

===תשובה===
כן. אפשר לעשות גם את זה. אני לא חושב שעבור B ספציפי להראות שאין טרנזיטיביות יותר קצר מלהראות פשוט שאין טרנזיטיביות. מספיקה העובד שB מכיל שני איברים שונים. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלה 1ג מועד א 2008==
שלום רב,
האם ההוכחה שלי לשאלה 1ג נכונה?

"
נניח בשלילה שהחיתוך המתבקש אינו שווה לקבוצה ובה הקבוצה הריקה, ולכן משום שהקבוצה הריקה היא איבר המשותף לכל קבוצות החזקה קיימת קבוצה <math>X\in P(A)</math> ושמקיימת גם <math>X\in P(B)</math> (נשים לב שקבוצה זו שונה מהקבוצה הריקה)....... בסוף נקבל ש- <math>X\subseteq A \bigcap B</math> ולכן החיתוך אינו קבוצה ריקה, וזו סתירה?"

כמובן שעם פירוט של כל השלבים באמצע. תודה מראש, גל.

===אישור===
תשובה נכונה בהחלט. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:52, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלה==
מהי עוצמת הקבוצה של קבוצות שאינן סופיות ואינן קו-סופיות (שהמשלים שלהן אינו סופי) מתוך הטבעיים? האם זה א כי קבוצה של קבוצות אינסופיות? או לא? תודה!

===תשובה===
התשובה היא <math>\aleph</math> אך לא כי "קבוצה של קבוצות אינסופיות".
הקבוצה <math>\{\mathbb{N},\mathbb{R}\}</math> היא קבוצה של קבוצות אינסופיות המכילה שני איברים בדיוק.
בלי קשר, כפי שלמדנו, המונח "אינסופי" הוא בעל משמעות מאוד רחבה בקורס הזה ולא ניתן להיעזר במונח הזה כדי לטעון אמיתות של תשובה מדוייקת כמו <math>\aleph</math> .

העוצמה של הסופיות היא <math>\aleph_0</math> וזו גם העוצמה של הקוסופיות.
העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא <math>\aleph</math>.
אחד מן החוקים שלימדנו אתכם לגבי חשבון עוצמות הוא שכשלוקחים קבוצה אינסופית ומפחיתים ממנה תת-קבוצה בעוצמה קטנה ממש ממנה אז העוצמה לא קטנה, ולכן אחרי שמפחיתים את תת-הקבוצות הסופיות ותת הקבוצות הקוסופיות מכלל תת-הקבוצות של הטבעיים נשארים עם קבוצה שעוצמתה <math>\aleph</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:45, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:למה העוצמה של הסופיות היא <math>\aleph_0</math> וזו גם העוצמה של הקוסופיות?
::אהה. הנחתי שאת זה עברנו אם הגענו כבר לשאלה מה הגודל של ההפחתה. OK, אז ככה:

הגודל של תת-הקבוצות בגודל k (סופי) הוא לפחות <math>\aleph_0</math> מצד אחד, ומאידך הוא אינו עולה על <math>\aleph_0^k</math>, ומכיוון שלk סופי מקבלים שמספר תת הקבוצות בגודל k הוא <math>\aleph_0</math>.
כעת, קבוצת התת-קבוצות הסופיות היא איחוד זר של קבוצת תת הקבוצות מגודל אחד עם תת הקבוצות מגודל 2 וכו'. דהיינו, הגודל של קבוצת תת הקבוצות הסופיות הוא <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0</math>, שזה בעצם (לפי מה שלמדנו) <math>\aleph_0</math>.

יש התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות הקוסופיות לקבוצות הסופיות ע"י שליחת קבוצה למשלימה, ולכן עוצמת תת הקבוצות הקו-סופיות גם היא <math>\aleph_0</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:04, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:תודה רבה!!

==פרטים בקשר למבחן==
בחלק מהמקומות כתוב שהמבחן ב4 ובחלק 3 וחצי, אפשר שעה (וגם מיקום, אם אפשר) סופיים? תודה!
==הרכבה ריקה==
אם <math>S=\{(a,b)\}</math> ו-<math>R=\{(b,c)\}</math> אז S הרכבה R זו קבוצה ריקה, או "לא קיים"?

===תשובה===
"לא קיים" זה מונח בעייתי.
מונח יותר נכון הוא "לא מוגדר".
בהינתן יחסים R בין A לB וS בין C לD, ההרכבה <math>S \circ R</math> מוגדרת אם B=C. (כמו בפונקציות)
במקרה שהצגת למעלה אני מניח שהתכוונת שS וR הם יחסים על A כלשהי שמכילה את a, b וc,
ואז התשובה היא באמת קבוצה ריקה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

::תודה. אני התכוונתי ש-S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C, אם כך התשובה פה היא לא מוגדר, אם הבנתי נכון.
::: הבנת נכון.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==סריג==
אפשר בבקשה דוגמה לסריג?

===תשובה===
<math>\{a,b,c,d \}</math> עם היחס סדר חלקי "<" כדלקמן : a>b,a>c,b>d,c>d.

[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:31, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:לפי ההגדרה, לכל שני איברים צריך להיות סופרימום ואינפימום. אתה יכול בבקשה לכתוב מהם לכל שני איברים?

::אם תיקח שני איברים שאחד גדול מהשני תקבל שהסופרימום הוא הגדול בין השנים והאינפימום הוא הקטן בין השניים. הקושיה היחידה שנותרה היא מה קורה בין c לb ובמקרה זה האינפימום הוא d והסופרימום הוא a. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:::אה, נראה לי שהבנתי. תודה. אבל "<" הוא לא יחס סדר חלקי, לא? (למשל אין רפלקסיביות)

::::"<" מעל המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא (ולכן גם יחס סדר חלקי). פה הוא רק סימון. במקומו יכולתי לרשום R או כל דבר אחר. סתם נוח לי לרשום "<" כי אז ברור מה "כיוון" הסדר (כדי למנוע בלבול מקסימלי-מינימלי).[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:36, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:::::אבל איך? הרי אין רפלקסיביות...

===תשובה לשאלות על התשובה===
נו! כשכתבתי ">" יחס סדר חלקי התכוונתי שהוא מקיים רפלקסיביות+ את היחסים שרשמתי+את היחסים שמקבלים מתוך היחסים שרשמתי בהינתן הטרנזיטיביות של היחס.
אם אתה רוצה שארשום את כל הזוגות בצורה מפורטת אז הנה:
<math>R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,a),(c,a),(d,a),(d,c),(d,b)\}</math>.
מקווה שזה יסייע להבנה.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:וואו, זה מבלבל. תודה וסליחה על ההטרחה.

==שאלה על אחת השאלות פה==
מה זה: "מספר ה'''יחסים''' על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?
:מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)
::תודה. הכוונה לכל יחס אפשרי? אז יש אינסוף! למשל: קטן, גדול, מקיים <math>a-b \in Z</math>, מקיים <math>a^2=b</math> ועוד ועוד ועוד... נראה לי שלא הבנתי.
::ולמה זה הגודל של <math>P(A \times A)</math>?

:::העובדה שרשמת שלוש נקודות לא את הופכת הרשימה לאינסופית. יחס, כפי שלמדתם, הוא תת קבוצה של <math>A\times A</math>. הרי בין כל זוג סדור של איברים מהקבוצה יכול להתקיים היחס או לא להתקיים. היחס הוא הקבוצה של כל הזוגות הסדורים בינהם מתקיים היחס. בפרט, כל קבוצה המוכלת ב<math>A\times A</math> מהווה יחס אחד. אוסף כל היחסים הינו אוסף כל תתי הקבוצות הנ"ל וזה בדיוק <math>P(A\times A)</math>. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:15, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
::::אההה.. הבנתי. תודה! (ומה שאני רשמתי הוא אמנם אינסופי, כי למשל <math>a^n=b</math> לכל <math>n \in N</math> הוא יחס נפרד, אבל יש שם יחסים שקולים כי הקבוצה סופית).
:::::בדיוק, ומעל קבוצה אינסופית כמו השלמים בהחלט יש אינסוף יחסים. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'==
אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!
:אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל
::מצטערת בשבילך שהכל נמחק, בפעם הבאה אחרי כל כמה שורות תעתיק את כל מה שכתבת ואז תוכל להדביק במקרה הצורך.
==שאלה 2 מועד ב' 2008==
יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: <math>(-1)^n*{1519-101n \choose 20}</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה
:אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום
::כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:
<math>((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n})</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות <math>{1519-101n \choose 20}</math> או <math>{1519-101n \choose 20-n}</math>

==איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')==
האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת?
נניח <math>f(x1,u1)=f(x2,u2)</math> וכן <math>f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1</math> ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!

===תשובה+הערות כתיבה===

1)אם רוצים לרשום לכתוב "}" אז כותבים }\ ואם רוצים לכתוב "{" אז כותבים {\.

2) "מוכל ב" כותבים (כשצד שמאל מוכל בצד ימין) subseteq\ וכשצד ימין מוכל בצד שמאל supseteq\. מוכל ממש זה אותה פקודה רק בלי הeq.

3) "שייך" ל רושמים (כשצד שמאל שייך לצד ימין) כin\ וכשצד ימין שייך לשמאל רושמים ni\.

עכשיו לגבי התשובה:

התשובה שלך איננה נכונה משום שאתה מנסה להוכיח טענה שהיא שקרית, דהיינו ניתן לתת לה דוגמאות נגדיות. A כוללת לפחות שני איברים שונים, נסמנם x1 וx2. כעת <math>f(x_1,\{x_2\})=\emptyset=f(x_2,\{x_1\})</math>, משמע f לא חח"ע.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלות 2א+ב מועד ב 2009==
שלום רב,
כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:

"ישנם <math>n</math> מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא <math>n!</math>. כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:

1. <math>n</math> לפני <math>n-1</math>

2. <math>n</math> אחרי <math>n-1</math>"

השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות <math>0.5n!</math> תמורות כנדרש:

1. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש <math>0.5n!</math> תמורות שעונות לתנאי זה".

2. "כעת נגדיר <math>A</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, <math>B</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה <math>f:A->B</math> ע"י לכל <math>x</math> ב-<math>A</math> יתקיים ש<math>f(x)=y</math>כאשר <math>y</math> היא התמורה בה איברי <math>x</math> מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה <math>1,2</math> תהפוך ל-<math>2,1</math>). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן <math>|A|=|B|</math> ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש-<math>|A|+|B|=2|A|=|C|</math> (כאשר <math>C</math> היא קבוצת כל התמורות). נציב <math>|C|=n!</math> ונקבל את העוצמה הדרושה של <math>A</math>...".

הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי?
תודה מראש, גל.

===תשובה===
אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל <math>n!</math> אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש<math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math> והחלק השני הוא ההפוך- <math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן <math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math>, אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין <math>n</math> ל<math>n-1</math>, ולכן התוצאה היא <math>0.5n!</math>. בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא <math>1/6n!</math>. אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה

===הערונת===
אתה מתכוון ל6 אפשרויות ולא שלוש (כל אפשרות שקולה לתמורה על שלושה איברים ומסםר התמורות על 3 איברים הוא 6), ולכן התוצאה שרשמת שהיא שישית ממספר התמורות על n איברים היא נכונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:09, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

===תשובה להערונת===
התכוונתי שיש 3 אפשרויות כאשר יודעים כבר ש<math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, 3 אפשרויות אלה הן כאשר <math>n-2</math> מופיע לפני שניהם, בניהם או אחרי שניהם (זה המספר שמחפשים), ובאותו אופן כמו בסעיף הקודם, גם פה 3 האפשרויות האלה שוות, ולכן כל אחת מהן שווה ל<math>1/6n!</math> וסכומן שווה ל<math>0.5n!</math> :) אבל תאכלס אפשר לעשות את זה שוב מההתחלה כשלא מתייחסים לסעיף א' ויש <math>n!</math> אפשרויות סך הכל ואז מחלקים את זה ל!3 אפשרויות שוות, כלומר 6.
:סבבה, זו גם דרך. רק עשה לי טובה, במקרים כאלה במבחן, אם אתה מניח הנחות יסוד כאלו, כמו שאתה מדבר על "אפשרויות כאשר יודעים כבר ש<math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, 3", אז רשום זאת! אל תיתן לבודק לנחש את זה, כי זה עלול להוריד נקודות. מספיק שרשמת את שתי המילים האלו וזה כבר ניקוד מלא. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:48, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלה קצרצרה נוספת==
מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!

===תשובה===
מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של <math>P(A \times A)</math>, שהיינו <math>2^{n^2}</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלה קצרה מאוד על עוצמות==
קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!

===תשובה===
ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם <math>k</math> אינסופית ו<math>\lambda<k</math> אזי <math>k^\lambda=k</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==3 שאלות על הרכבת פונקציות==
-אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math> או ש <math>f(g(x))=x</math>? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה).
-אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון?
-איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?
:ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל ש'''f הפיכה מימין''' אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.
:ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח <math>O(h(x))=x</math> ולכן (?) <math>h(x)*f=x</math> ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!

===תשובה===
אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math>.

בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:

כיוון אחד

1) אם <math>f</math> חח"ע אזי היא הפיכה משמאל ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה <math>h : B \rightarrow A</math>.

2) כעת, לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math> ולכן <math>\Phi</math> על.

כיוון שני

1) אם <math>f</math> לא חח"ע אז קיימים <math>a_1,a_2 \in A</math> שונים כך ש<math>f(a_1)=f(a_2)</math>.

2) לכן לכל <math>g \in C^B</math>, הפונקציה <math>\Phi(g)=g \circ f</math> מקיימת <math>g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2)</math>.

3) אולם, קיימות הפונקציות <math>h \in C^A</math> כך ש<math>h(a_1) \neq h(a_2)</math>, כי <math>C</math> מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך <math>\Phi</math> איננה על.

[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
====אם F חחע אז היא הפיכה '''משמאל''', לא מימין, לא?====

צודק, רשמתי את ה"הפיכה מימין" כשהתכוונתי להפיכה משמאל, וגם השתמשתי בה כהפיכה משמאל כך שהמילה "ימין" צריכה פשוט להיות מוחלפת ב"משמאל". אשנה זאת מיד.[[מיוחד:תרומות/79.180.9.140|79.180.9.140]] 19:11, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

==שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות==
נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל
:(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!

===תשובה===
כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.

[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!

==עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)==
הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!

===תשובה===
את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה <math>(a,b,c)</math> כך ש<math>a אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) <math>b=c</math> או 2) <math>b<c</math> או 3) <math>b>c</math>. כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה

==איחוד או חיתוך==
סליחה שאני שואלת המון שאלות..

איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)

שוב, תודה מראש!

===שאלות זה טוב===
אם <math>X \subseteq A \bigcap B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcap B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> וגם <math>x \in B</math>. מכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ומכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in B</math> אז <math>X \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:תודה רבה, אבל: אם <math>X \subseteq A \bigcup B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcup B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> ואז*** <math>X \subseteq A</math>, או <math>x \in B</math> ואז*** <math>X \subseteq B</math>.
:מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?

::כל <math>x\in X</math> מקיים <math>x\in A</math> '''-או-''' <math>x\in B</math>. בפרט, מאד ייתכן שקיים <math>x\in X</math> כך ש<math>x\notin A</math>. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

:::באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם '''''לכל''''' <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!

==הוכחה טריוויאלית==
מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם <math>P(A)</math> מוכל (או שווה) ב(ל)-<math>P(B)</math> אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?

(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)

===תשובה===
אם <math>P(A) \subseteq P(B)</math> אז לכל <math>X \in P(A)</math> מתקיים <math>X \in P(B)</math>.
בפרט, <math>A \in P(A)</math> ולכן <math>A \in P(B)</math>, כלומר <math>A \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
:אהה, תודה!

==יחסים==
האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)

===תשובה===
כן [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה!

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-09-01T18:22:35Z

אנונימי: /* הלמה של צורן */

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-09-01T18:21:43Z

אנונימי: /* שאלות */

משוב

2010-08-20T21:42:57Z

אנונימי: /* יפית נתני */

=דף משוב והערות למורים=
בדף זה תוכלו לרשום משוב והערות על המרצים והמתרגלים שלכם.

מטרת דף זה הינה לאפשר בצורה אנונימית לתת ביקורות בונות למורים שלכם, על מנת לשפר את איכות הלמידה.

בסוף הסמסטר ישנו סקר הוראה המשקף את רמת שביעות הרצון של התלמידים מהקורס שעבר. המשוב, לעומת זאת, מאפשר שני דברים חשובים מאד:

* בקרת רמת שביעות הרצון מהקורס '''במהלך הסמסטר''' ותיקון המרצה/מתרגל בהתאם.
* הערות בונות מעבר לניקוד בין 1-5. בעזרת ההערות שלכם המרצה/מתרגל יכול לשפר לטובתו ולטובתכם.

לסיכום: '''מי שאינו מתלונן עכשיו, לא יוכל להתלונן אחר כך...'''

'''שימו לב: אם אתם כותבים הודעה בזמן שאתם מחוברים לחשבון הוויקי שלכם, שם המשתמש שלכם ירשם כעורך ההודעה. אם תוסיפו הודעה כאשר אתם לא מחוברים לחשבון תירשם כתובת הIP שלכם. ניתן להתחבר בשם המשתמש 'אנונימי' ללא סיסמא'''

= הוראות =
===הוספת מורה חדש===
כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על הטאב '''עריכה''' למעלה משמאל ל'דף תוכן' ו'שיחה' ולהוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>= שם המורה =</nowiki>'''

===הוספת הערה למורה===
כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על הכפתור '''[עריכה]''' משמאל לשם המורה, להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת ההערה ==</nowiki>'''

ולרשום מתחתיה את ההערה שלכם.

=אדם צ'פמן=

==הערה 1==
מתרגל מצויין. רואים שהוא מבין את החומר מצויין, ויודע להסביר אותו בצורה שלרוב יותר מובנת מהצורה שמוצגת במהלך ההרצאה.
לפעמים אי הסדר טיפה מבלבל אבל אם מקשיבים לכל דבריו אז הכל מובן.
ציון: 4

==הערה 2==
מצטרף לזה שמעליי, באמת מתרגל מעולה. מסביר את החומר בצורה טובה, לפעמים הקצב קצת מהר אבל תמיד מספיקים את כל מה שעברנו במהלך ההרצאה. בנוסף מאוד נחמד ומוכן להישאר אחרי התרגול לענות על שאלות בצורה סבלנית. מקווה שיהיו לי עוד הרבה מתרגלים כמוהו.
ציון :5/5

== הערה 3 ==
אדם מתרגל מעולה, רואים שהוא יודע את החומר מכל כיוון שלא תשאל, עונה על השאלות שלנו בצורה ברורה תוך שניות מבלי לגמגם לרגע!
סבלני במיוחד גם לקשיי קליטה כמוני :)
ציון: 5\5

==הערה4==
רק רציתי להגיד תודה לאדם צ'פמן על התגבור היום. עשה לי המון סדר בדברים :)

=ארז שיינר=

==הערה 1==
http://www.youtube.com/watch?v=1IRGHpk6bPg - תגובה לקורס האחרון.

=רונית כץ=
==הערה 1==

=גארי וינוקור=
==הערה 1==

=גרישה אושרוביץ'=
==הערה 1==

=יפית נתני=
==הערה 1==
מתרגלת מעולה!!! מסבירה כמו שצריך!!
==הערה 2==
מתרגלת טובה, נחמדה ומסבירה היטב כשצריך, למרות שבזמן האחרון היא התחילה לרוץ עם החומר יותר מדי מהר. נשמח אם היא תאט קצת את הקצב.

=שני תורג'מן=
==הערה 1==

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-14T10:27:57Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==תרגיל 4 שאלה 4==
מהו הישר הממשי? תודה, גל.
==שאלה 5==
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

'''תשובה'''

הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')

==חיתוך==
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
אני יכולה להסיק מזה שB=C?
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>

==תרגיל 3, שאלה 3==

כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?

==שאלה 1 סעיף ד'==

הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?

'''תשובה'''

כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')

==תשובה==
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)

==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==

סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math>
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?

'''תשובה'''

אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')

==שאלה==

אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?

תודה רבה!

:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]

==שאלה 2==
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math>
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math>
כש<math>a=(x/2)</math>
ו<math>b=(x+1/2)</math>
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)

'''תשובה'''

את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')

==להוכיח שפונקציה היא על==

ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.

אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?

ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.

לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?

ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.

===תשובה===
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)

:תודה על התשובה. מה זה id?

הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.

==שאלות 2 ו3-א'==
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.

בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?

אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.
תודה רבה.

'''תשובה מאוד חלקית'''

אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math>

===תשובה (אולי פחות חלקית)===
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?

באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה.

בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?

ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?

שמע,
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.

בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.

באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה רבה!

==אותה שאלה==
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.

נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.

===תשובה===
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

==הודעה לקראת הבוחן==
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)

1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.

2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).

3) אורך הבוחן יהיה שעה.

4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.

5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

==הוכחה שפונקציה היא על==
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.

:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
::תודה

==שאלה כללית==
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?

===תשובה===
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?

==שתי שאלות==
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?

2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?

תודה רבה.

===תשובה===
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.

2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

==שאלה על הגדרת הפונקציה==
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.

אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות

:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על פונקציה חח"ע==
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.

==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math>

(שני)

== שאלה לגבי הבוחן==
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-13T10:36:47Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

=שאלות=
==שאלה 1ב==
האם הכוונה היא להביע את הוקטור u באמצעות הסקלרים או להביע את הסקלרים באמצעות x,y,z,w? תודה מראש!
==ציוני הבוחן בלינארית==
עשיתי את הבוחן ותעודת הזהות שלי לא מופיעה ברשימה. מצד שני מופיעה תעודת זהות זהה לשלי חוץ ממספר אחד (האחרון). אל מי לפנות? (ת.ז. 205781990, מופיעה 205781997)

===תשובה===
כנראה שזו תעודת הזהות שלך, אני אתקן

==שאלה 1ה מדף העבודה==
שלום רב,
בתסעיף ה עליי למצוא בסיס שיקיים את המתבקש בסעיף... האם מספיק שאני אמצא וקטור שמקיים את שתי המשוואות (כמובן שאני אראה שהוא אכן מקיים אותן ע"י הצבה) או שאתם רוצים שאני אפתור את כל המשוואות עם הסקלרים, אגיע לפתרון כללי ואציב ערכים לסקלרים כדי לקבל בסיס כלשהו?
תודה רבה מראש...

===תשובה===
צריך לפתור את מערכת המשוואות, לא לדעת מראש מה הפתרון ולהציב. אחרת איך אתה יודע שהוא הפתרון היחיד ומהווה בסיס?

==שאלה 6.37 ג-ד==
אם לא הצלחתי להוכיח את ג' (כי אני כנראה קצת מטומטם) מותר לי בכל זאת לטעון אותו כדי לפתור את ד'?

===תשובה===
כן אתה יכול להשתמש בזה.

==שאלה ראשונה מהדף==
בסעיף a יצא לי משוואה אחת, והגעתי אליה על ידי הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטוריםV1 V2 ן-V3. אז בסעיף ב' אני פשוט צריכה להחזיר את המקדמים שהצבתי בהתחלה?

===תשובה===
*אני לא מבין איך הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטורים יכול לקדם אותך. הרי הוקטורים בSpan הם לא הסקלרים שנכפלים בוקטורים v1,v2,v3. צריך להגיע למשוואות על x,y,z,w כך שוקטור שמקיים משוואות אלא יהיה בSpan.
*בסעיף ב' צריך לפתור את מערכת המשוואות שמצאת בסעיף א'. כמו שפתרנו מערכות משוואות עד היום.

==6.30 ד'==
לא הבנתי מהי בדיוק המטריצה הנלווית, איך היא נראית? אפשר אולי את ההגדרה המתמטית?

וגם גיגלתי את המושג ובויקיפדיה יש מטריצה נלווית אחרת...
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94_%D7%A0%D7%9C%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA מטריצה נלוית בויקי]

===תשובה===
זו מויקי היא סה"כ השחלוף של זו מהחוברת עם החלפת סימני המשתנים.

אני אסביר איך היא נראית:
*זו מטריצה ריבועית <math>n\times n</math>
*השורה התחתונה ברורה - קבועים <math>a_0,...,a_{n-1}</math>
*האלכסון הראשון מעל האלכסון הראשי הוא אחדות
*כל השאר אפסים

ובהגדרה מתמטית:

<math>[A]_{n,i}:=a_{i-1}</math>

<math>\forall i<n:[A]_{i,i+1}:=1</math>

וכל השאר אפסים.

==Span==
השאלה שלי מאוד פשוטה- מה ההגדרה המתמטית המדוייקת (כלומר לא במילים, רק בכתיב מתמטי) של <math>Span(A)</math> עבור קבוצה <math>A</math> כלשהי?

===תשובה===
יהא V מ"ו מעל שדה F ותהי <math>S \subseteq V</math> קבוצה המוכלת בV

שתי הגדרות שקולות: (יש יותר)

*<math>Span(S)=\{u=\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i|\alpha_i \in F, v_i \in S,n \in \mathbb{N}\}</math>
*<math>Span(S)</math> הינו חיתוך כל תתי המרחבים של V המכילים את S.

==6.30 ג'==
איה הוא?

===תשובה===
רק תלמידים חכמים רואים אותו
:התכוונת שרק תלמידי חכמים רואים אותו

== שאלה כללית על אינדוקציה==
תמיד באינדוקציה אנחנו מוכיחים שהטענה נכונה לכל n טבעי או אם הגבלות מסויימות(גדול שווה וכו').
השאלה שלי היא האם מותר להוכיח עבור n טבעי מסויים, כלומר שקיים n שעבורו הביטוי מתקיים. אם השאלה לא מובנת אז אני אחדד אותה-כשאנחנו מוכיחים טענה, אנחנו מוכיחים עבור n=1 ואז מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומכאן מוכיחים שהטענה נכונה עבור n=k+1 השאלה אם כשאני מניח ש-n=k אני אני יכול להניח שלא כל k פותר אלא k מסויים(ספציפי) כלומר קיים k כזה, ומכאן להוכיח שגם קיים n=k+1 שפותר. תודה מראש!אגב, השאלה היא על 6.40 כי אני לא רואה דרך אחרת\כיוון להוכיח אותה(סעיף ב') אם משהו יוכל לתת לי כיוון אחר אני אשמח

===תשובה===
באופן כללי באינדוקציה אתה צריך להוכיח עבור המקרה הראשון n=1 ולהוכיח את הכלל "אם מתקיים עבור k אז מתקיים עבור k+1". לא מספיק להוכיח פחות מזה.

לגבי סעיף ב' ב6.40, אין דרך להוכיח את זה באינדוקציה. אינדוקציה על מה?

רמז: כמה מטריצות יש מעל שדה סופי?

:לא הבנתי את הרמז, אינסוף? אגב, הכוונה הייתה ל6.41 כמובן

::מטריצות מגודל קבוע כמובן, נגיד nxn.

:::מה זה בכלל אומר שהמטריצה הפיכה מעל שדה סופי?
::::בדיוק אותו דבר שזה אומר מעל שדה אינסופי. קיימת B כך שAB=BA=I. מכיוון שI מוגדרת רק על ידי אפסים ואחדות היא מוגדרת מעל כל שדה.
::::איברי המטריצה הם מהשדה הסופי (אם לזה אתה מתכוון...)

==שאלה מהדף==
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?

===תשובה===
כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכו'. למשל
<math>\{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\}</math> (כמובן שזה לא הפתרון פה...)

==שאלה 4.3==
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...

===תשובה===
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.

כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math> --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 15:41, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

===רמז לפתרון===
בשאלות כאלה, לפעמים, נוח לחשוב על הגאומטריה. למשל, במרחב התלת מימדי יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים (מימד 2) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.

==שאלה 4.3==

בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?

===תשובה===
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.

:יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?
:מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?

::הרישום אומר שהם תמיד שונות. יש להוכיח או להפריך את זה (דוגמא אחת שם הם שוות מהווה הפרכה)

==שאלה 2.9==

רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ?
תודה

===תשובה===
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.

== 6.30 ב' ==
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?

===תשובה===
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.

== שאלה 1 מקובץ התרגילים==
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?
 
תודה

===תשובה===
כן, סעיפים א' וג'

== 6.30 ==
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?

===תשובה===
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )

במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.

== תרגיל 6.23 ==
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?

===תשובה===
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.

==עוד שאלה על 6.34==
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!

===תשובה===
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.

והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.

הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).

הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).

==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!

===תשובה===
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.

תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.

השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.

ארז.

== תרגיל 2.9 ==
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..

===תשובה===
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)

== שאלה על משפט ==

המשפט: V מ"ו מעל שדה F
תהי K שמוכלת בV.
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.

ההוכחה שהמרצה כתב:
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.

אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?

===תשובה===
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.

סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).

==שאלה 6.37==
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-13T09:39:00Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

=שאלות=
==שאלה 1ה מדף העבודה==
שלום רב,
בתסעיף ה עליי למצוא בסיס שיקיים את המתבקש בסעיף... האם מספיק שאני אמצא וקטור שמקיים את שתי המשוואות (כמובן שאני אראה שהוא אכן מקיים אותן ע"י הצבה) או שאתם רוצים שאני אפתור את כל המשוואות עם הסקלרים, אגיע לפתרון כללי ואציב ערכים לסקלרים כדי לקבל בסיס כלשהו?
תודה רבה מראש...

==שאלה 6.37 ג-ד==
אם לא הצלחתי להוכיח את ג' (כי אני כנראה קצת מטומטם) מותר לי בכל זאת לטעון אותו כדי לפתור את ד'?
==שאלה ראשונה מהדף==
בסעיף a יצא לי משוואה אחת, והגעתי אליה על ידי הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטוריםV1 V2 ן-V3. אז בסעיף ב' אני פשוט צריכה להחזיר את המקדמים שהצבתי בהתחלה?

==6.30 ד'==
לא הבנתי מהי בדיוק המטריצה הנלווית, איך היא נראית? אפשר אולי את ההגדרה המתמטית?

וגם גיגלתי את המושג ובויקיפדיה יש מטריצה נלווית אחרת...
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94_%D7%A0%D7%9C%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA מטריצה נלוית בויקי]

===תשובה===
זו מויקי היא סה"כ השחלוף של זו מהחוברת עם החלפת סימני המשתנים.

אני אסביר איך היא נראית:
*זו מטריצה ריבועית <math>n\times n</math>
*השורה התחתונה ברורה - קבועים <math>a_0,...,a_{n-1}</math>
*האלכסון הראשון מעל האלכסון הראשי הוא אחדות
*כל השאר אפסים

ובהגדרה מתמטית:

<math>[A]_{n,i}:=a_{i-1}</math>

<math>\forall i<n:[A]_{i,i+1}:=1</math>

וכל השאר אפסים.

==Span==
השאלה שלי מאוד פשוטה- מה ההגדרה המתמטית המדוייקת (כלומר לא במילים, רק בכתיב מתמטי) של <math>Span(A)</math> עבור קבוצה <math>A</math> כלשהי?

===תשובה===
יהא V מ"ו מעל שדה F ותהי <math>S \subseteq V</math> קבוצה המוכלת בV

שתי הגדרות שקולות: (יש יותר)

*<math>Span(S)=\{u=\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i|\alpha_i \in F, v_i \in S,n \in \mathbb{N}\}</math>
*<math>Span(S)</math> הינו חיתוך כל תתי המרחבים של V המכילים את S.

==6.30 ג'==
איה הוא?

===תשובה===
רק תלמידים חכמים רואים אותו
:התכוונת שרק תלמידי חכמים רואים אותו

== שאלה כללית על אינדוקציה==
תמיד באינדוקציה אנחנו מוכיחים שהטענה נכונה לכל n טבעי או אם הגבלות מסויימות(גדול שווה וכו').
השאלה שלי היא האם מותר להוכיח עבור n טבעי מסויים, כלומר שקיים n שעבורו הביטוי מתקיים. אם השאלה לא מובנת אז אני אחדד אותה-כשאנחנו מוכיחים טענה, אנחנו מוכיחים עבור n=1 ואז מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומכאן מוכיחים שהטענה נכונה עבור n=k+1 השאלה אם כשאני מניח ש-n=k אני אני יכול להניח שלא כל k פותר אלא k מסויים(ספציפי) כלומר קיים k כזה, ומכאן להוכיח שגם קיים n=k+1 שפותר. תודה מראש!אגב, השאלה היא על 6.40 כי אני לא רואה דרך אחרת\כיוון להוכיח אותה(סעיף ב') אם משהו יוכל לתת לי כיוון אחר אני אשמח

===תשובה===
באופן כללי באינדוקציה אתה צריך להוכיח עבור המקרה הראשון n=1 ולהוכיח את הכלל "אם מתקיים עבור k אז מתקיים עבור k+1". לא מספיק להוכיח פחות מזה.

לגבי סעיף ב' ב6.40, אין דרך להוכיח את זה באינדוקציה. אינדוקציה על מה?

רמז: כמה מטריצות יש מעל שדה סופי?

:לא הבנתי את הרמז, אינסוף? אגב, הכוונה הייתה ל6.41 כמובן

::מטריצות מגודל קבוע כמובן, נגיד nxn.

:::מה זה בכלל אומר שהמטריצה הפיכה מעל שדה סופי?
::::בדיוק אותו דבר שזה אומר מעל שדה אינסופי. קיימת B כך שAB=BA=I. מכיוון שI מוגדרת רק על ידי אפסים ואחדות היא מוגדרת מעל כל שדה.
::::איברי המטריצה הם מהשדה הסופי (אם לזה אתה מתכוון...)

==שאלה מהדף==
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?

===תשובה===
כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכו'. למשל
<math>\{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\}</math> (כמובן שזה לא הפתרון פה...)

==שאלה 4.3==
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...

===תשובה===
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.

כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math> --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 15:41, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

===רמז לפתרון===
בשאלות כאלה, לפעמים, נוח לחשוב על הגאומטריה. למשל, במרחב התלת מימדי יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים (מימד 2) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.

==שאלה 4.3==

בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?

===תשובה===
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.

:יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?
:מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?

::הרישום אומר שהם תמיד שונות. יש להוכיח או להפריך את זה (דוגמא אחת שם הם שוות מהווה הפרכה)

==שאלה 2.9==

רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ?
תודה

===תשובה===
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.

== 6.30 ב' ==
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?

===תשובה===
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.

== שאלה 1 מקובץ התרגילים==
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?
 
תודה

===תשובה===
כן, סעיפים א' וג'

== 6.30 ==
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?

===תשובה===
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )

במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.

== תרגיל 6.23 ==
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?

===תשובה===
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.

==עוד שאלה על 6.34==
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!

===תשובה===
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.

והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.

הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).

הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).

==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!

===תשובה===
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.

תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.

השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.

ארז.

== תרגיל 2.9 ==
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..

===תשובה===
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)

== שאלה על משפט ==

המשפט: V מ"ו מעל שדה F
תהי K שמוכלת בV.
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.

ההוכחה שהמרצה כתב:
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.

אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?

===תשובה===
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.

סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).

==שאלה 6.37==
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A

משוב

2010-08-11T15:55:28Z

אנונימי: /* אדם צ'פמן */

=דף משוב והערות למורים=
בדף זה תוכלו לרשום משוב והערות על המרצים והמתרגלים שלכם.

מטרת דף זה הינה לאפשר בצורה אנונימית לתת ביקורות בונות למורים שלכם, על מנת לשפר את איכות הלמידה.

בסוף הסמסטר ישנו סקר הוראה המשקף את רמת שביעות הרצון של התלמידים מהקורס שעבר. המשוב, לעומת זאת, מאפשר שני דברים חשובים מאד:

* בקרת רמת שביעות הרצון מהקורס '''במהלך הסמסטר''' ותיקון המרצה/מתרגל בהתאם.
* הערות בונות מעבר לניקוד בין 1-5. בעזרת ההערות שלכם המרצה/מתרגל יכול לשפר לטובתו ולטובתכם.

לסיכום: '''מי שאינו מתלונן עכשיו, לא יוכל להתלונן אחר כך...'''

'''שימו לב: אם אתם כותבים הודעה בזמן שאתם מחוברים לחשבון הוויקי שלכם, שם המשתמש שלכם ירשם כעורך ההודעה. אם תוסיפו הודעה כאשר אתם לא מחוברים לחשבון תירשם כתובת הIP שלכם. ניתן להתחבר בשם המשתמש 'אנונימי' ללא סיסמא'''

= הוראות =
===הוספת מורה חדש===
כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על הטאב '''עריכה''' למעלה משמאל ל'דף תוכן' ו'שיחה' ולהוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>= שם המורה =</nowiki>'''

===הוספת הערה למורה===
כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על הכפתור '''[עריכה]''' משמאל לשם המורה, להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

'''<nowiki>== כותרת ההערה ==</nowiki>'''

ולרשום מתחתיה את ההערה שלכם.

=אדם צ'פמן=

==הערה 1==
מתרגל מצויין. רואים שהוא מבין את החומר מצויין, ויודע להסביר אותו בצורה שלרוב יותר מובנת מהצורה שמוצגת במהלך ההרצאה.
לפעמים אי הסדר טיפה מבלבל אבל אם מקשיבים לכל דבריו אז הכל מובן.
ציון: 4

==הערה 2==
מצטרף לזה שמעליי, באמת מתרגל מעולה. מסביר את החומר בצורה טובה, לפעמים הקצב קצת מהר אבל תמיד מספיקים את כל מה שעברנו במהלך ההרצאה. בנוסף מאוד נחמד ומוכן להישאר אחרי התרגול לענות על שאלות בצורה סבלנית. מקווה שיהיו לי עוד הרבה מתרגלים כמוהו.
ציון :5/5

=ארז שיינר=

==הערה 1==
http://www.youtube.com/watch?v=1IRGHpk6bPg - תגובה לקורס האחרון.

משוב

2010-08-09T18:57:32Z

אנונימי: /* אדם צ'פמן */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T16:00:24Z

אנונימי: /* שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן==
האם עלינו לדעת מאיפה מגיע הסימון <math>i</math> במספר המרוכב (הסבר על ידי שימוש בעותק של <math>R</math> בתוך <math>C</math> כפי שאלי הראה לנו בכיתה)?
תודה מראש.

==מערכות שקולות?==
הגדרה: שתי מערכות של משוואות לינאריות ב'''אותם הנעלמים''' נקראות שקולות אם למערכות יש אותה קבוצת פתרונות.

השאלה שלי: האם יכול להיות מצב של שתי מערכות של משוואות לינאריות שיש להן אותה קבוצת פתרונות אבל לא אותם הנעלמים? מה הכוונה אותם הנעלמים?

תודה.

===תשובה===
הרי מה זה אותם נעלמים? זה קצת חסר משמעות... הכוונה היא שתי מערכות עם אותו מספר נעלמים, כלומר מטריצות עם אותו מספר עמודות. שימו לב אבל שאם מספר המשוואות שונה המטריצות לא יהיו שקולות שורה.

==הוכחה שקבוצה כלשהי עם פעולות היא שדה==
האם צריך להוכיח גם שאין מחלקי אפס? תודה.
==דמיון מטריצות==
האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A?
תודה רבה.

:אני חושבת שכן כי זה יחס שקילות ויש בו סימטריות.

::ענית יפה. קל לראות שזה נכון אם כופלים בP וP^-1 בשני הצדדים מקבלים נוסחא דומה רק עם B לבד. כלומר <math>B=PAP^{-1}</math>

==הוכחה שכאשר <math>p</math> לא ראשוני, <math>\mathbb{Z}_p</math> הוא לא שדה==
נניח בשלילה ש-<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה. <math>p</math> לא ראשוני לכן נגדיר <math>p=k \dot m</math> כאשר m,k טבעיים. לכן <math>k,m<p</math> ואז <math>1<=k,m<=p-1</math>. מוגדר <math>k*m=(k \dot m)mod p</math>.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת <math>k*m*m^{-1}</math> ואז יוצא <math>k=0</math> (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: <math>k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0</math> ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה?
תודה מראש.

*לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

===תשובה===
ההוכחה עם השלבים היא בדיוק אותו דבר, פרט לעובדה שהיא מוכיחה למה אם יש מחלקי אפס זה אינו שדה. מספיק לומר שיש מחלקי אפס ולכן זה לא שדה, אלא אם נבקש להוכיח את זה.

==שימוש ב"טריקים" במבחן ובבוחן==
זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" בבוחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math>), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
אי אפשר מבלי לפרט. אם זו מטריצה 2 על 2 ניתן לומר שזו הנוסחא להופכית. וניתן לכפול בהופכית ולהגיד שככה אתה פותר, זה לגיטימי מאד.

==תרגיל 6.37==
האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן
Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p?
או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

===תשובה===
יש 2 דברים:
1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש<math>A^k~B^k</math> אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן <math>(P^{-1}BP)^k</math> לא בהכרח שווה ל<math>P^{-k}B^kP^k</math>. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

<math>(abc)^2=abcabc</math> אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל <math>aabbcc=a^2b^2c^2</math>. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך <math>A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B</math> ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

:סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.
:בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

===תשובה===
אין נוסחא כללית לרמת הפירוט. יש להפעיל הגיון ולשאול במקרים ספציפיים.

לשאלה לגבי האינדוקציה - אינדוקציה זו הדרך המתמטית להוכיח את זה. לפעמים בכיתה אנחנו מדלגים על אינדוקציות טריוויאליות מעין זו. לכתוב את זה k פעמים זה כמובן בלתי אפשרי, כי k הוא משתנה....

==שאלה על הקובץ של המרוכבים==
באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?
:כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

===תשובה===
אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

===תשובה===
מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?
:בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)
::דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות
:::איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?
::::מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)
:::::לקח לי הרבה זמן למצוא את זה, אבל מצאתי במחברת הערה שאומרת שאם A הפיכה אזי אפשר להפוך את A לI ע"י פעולות שורה אלמ'. אני עדיין לא מבין איך 2 האיקסים הנוספים (x4,x5) ואיך המטריצות האלמנטריות נכנסות לתמונה. אשמח לרמזים עבים יותר, במיוחד כי מחר הבוחן ואני משקיע את מירב המאמצים כדי להתכונן אליו. תודה רבה מראש.
::::::כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות וכל פעולת דירוג היא כפל במטריצות אלמנטריות. רמז יותר עבה מזה הוא פתרון התרגיל. כמובן שאני לא יכול לפתור את התרגיל לפני שהגשתם אותו...

==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

:לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^{-1}</math> כך ש-<math>a*a^{-1}=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

:תודה רבה!

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T15:59:28Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן==
האם עלינו לדעת מאיפה מגיע הסימון <math>i</math> במספר המרוכב?
תודה מראש.

==מערכות שקולות?==
הגדרה: שתי מערכות של משוואות לינאריות ב'''אותם הנעלמים''' נקראות שקולות אם למערכות יש אותה קבוצת פתרונות.

השאלה שלי: האם יכול להיות מצב של שתי מערכות של משוואות לינאריות שיש להן אותה קבוצת פתרונות אבל לא אותם הנעלמים? מה הכוונה אותם הנעלמים?

תודה.

===תשובה===
הרי מה זה אותם נעלמים? זה קצת חסר משמעות... הכוונה היא שתי מערכות עם אותו מספר נעלמים, כלומר מטריצות עם אותו מספר עמודות. שימו לב אבל שאם מספר המשוואות שונה המטריצות לא יהיו שקולות שורה.

==הוכחה שקבוצה כלשהי עם פעולות היא שדה==
האם צריך להוכיח גם שאין מחלקי אפס? תודה.
==דמיון מטריצות==
האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A?
תודה רבה.

:אני חושבת שכן כי זה יחס שקילות ויש בו סימטריות.

::ענית יפה. קל לראות שזה נכון אם כופלים בP וP^-1 בשני הצדדים מקבלים נוסחא דומה רק עם B לבד. כלומר <math>B=PAP^{-1}</math>

==הוכחה שכאשר <math>p</math> לא ראשוני, <math>\mathbb{Z}_p</math> הוא לא שדה==
נניח בשלילה ש-<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה. <math>p</math> לא ראשוני לכן נגדיר <math>p=k \dot m</math> כאשר m,k טבעיים. לכן <math>k,m<p</math> ואז <math>1<=k,m<=p-1</math>. מוגדר <math>k*m=(k \dot m)mod p</math>.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת <math>k*m*m^{-1}</math> ואז יוצא <math>k=0</math> (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: <math>k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0</math> ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה?
תודה מראש.

*לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

===תשובה===
ההוכחה עם השלבים היא בדיוק אותו דבר, פרט לעובדה שהיא מוכיחה למה אם יש מחלקי אפס זה אינו שדה. מספיק לומר שיש מחלקי אפס ולכן זה לא שדה, אלא אם נבקש להוכיח את זה.

==שימוש ב"טריקים" במבחן ובבוחן==
זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" בבוחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math>), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
אי אפשר מבלי לפרט. אם זו מטריצה 2 על 2 ניתן לומר שזו הנוסחא להופכית. וניתן לכפול בהופכית ולהגיד שככה אתה פותר, זה לגיטימי מאד.

==תרגיל 6.37==
האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן
Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p?
או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

===תשובה===
יש 2 דברים:
1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש<math>A^k~B^k</math> אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן <math>(P^{-1}BP)^k</math> לא בהכרח שווה ל<math>P^{-k}B^kP^k</math>. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

<math>(abc)^2=abcabc</math> אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל <math>aabbcc=a^2b^2c^2</math>. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך <math>A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B</math> ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

:סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.
:בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

===תשובה===
אין נוסחא כללית לרמת הפירוט. יש להפעיל הגיון ולשאול במקרים ספציפיים.

לשאלה לגבי האינדוקציה - אינדוקציה זו הדרך המתמטית להוכיח את זה. לפעמים בכיתה אנחנו מדלגים על אינדוקציות טריוויאליות מעין זו. לכתוב את זה k פעמים זה כמובן בלתי אפשרי, כי k הוא משתנה....

==שאלה על הקובץ של המרוכבים==
באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?
:כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

===תשובה===
אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

===תשובה===
מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?
:בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)
::דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות
:::איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?
::::מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)
:::::לקח לי הרבה זמן למצוא את זה, אבל מצאתי במחברת הערה שאומרת שאם A הפיכה אזי אפשר להפוך את A לI ע"י פעולות שורה אלמ'. אני עדיין לא מבין איך 2 האיקסים הנוספים (x4,x5) ואיך המטריצות האלמנטריות נכנסות לתמונה. אשמח לרמזים עבים יותר, במיוחד כי מחר הבוחן ואני משקיע את מירב המאמצים כדי להתכונן אליו. תודה רבה מראש.
::::::כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות וכל פעולת דירוג היא כפל במטריצות אלמנטריות. רמז יותר עבה מזה הוא פתרון התרגיל. כמובן שאני לא יכול לפתור את התרגיל לפני שהגשתם אותו...

==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

:לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^{-1}</math> כך ש-<math>a*a^{-1}=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

:תודה רבה!

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T14:48:52Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==דמיון מטריצות==
האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A?
תודה רבה.

==הוכחה שכאשר <math>p</math> לא ראשוני, <math>\mathbb{Z}_p</math> הוא לא שדה==
נניח בשלילה ש-<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה. <math>p</math> לא ראשוני לכן נגדיר <math>p=k \dot m</math> כאשר m,k טבעיים. לכן <math>k,m<p</math> ואז <math>1<=k,m<=p-1</math>. מוגדר <math>k*m=(k \dot m)mod p</math>.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת <math>k*m*m^{-1}</math> ואז יוצא <math>k=0</math> (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: <math>k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0</math> ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה?
תודה מראש.

*לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

==שימוש ב"טריקים" במבחן==
זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" במבחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math>), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 6.37==
האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן
Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p?
או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

===תשובה===
יש 2 דברים:
1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש<math>A^k~B^k</math> אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן <math>(P^{-1}BP)^k</math> לא בהכרח שווה ל<math>P^{-k}B^kP^k</math>. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

<math>(abc)^2=abcabc</math> אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל <math>aabbcc=a^2b^2c^2</math>. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך <math>A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B</math> ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

:סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.
:בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

==שאלה על הקובץ של המרוכבים==
באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?
:כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

===תשובה===
אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

===תשובה===
מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?
:בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)
::דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות
:::איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?
::::מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)

==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

:לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^{-1}</math> כך ש-<math>a*a^{-1}=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

:תודה רבה!

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:36:00Z

אנונימי: /* תשובה לתשובה :) */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:34:52Z

אנונימי: /* תשובה לתשובה :) */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה גל.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:34:04Z

אנונימי: /* תשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.125</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה גל.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:22:37Z

אנונימי: /* תשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:21:34Z

אנונימי: /* תשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p אי זוגי).

מקווה שעזרתי, גל.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:20:35Z

אנונימי: /* הוכחה שיש איבר הופכי בשדה Z_p */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

==תשובה==
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p אי זוגי).

מקווה שעזרתי, גל.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T13:11:12Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^-1</math> כך ש-<math>a*a^-1=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:47:31Z

אנונימי: /* שאלות */ הקפצת שאלות שלא נענו

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם). כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

תודה מראש, גל.

==התרגיל במרוכבים==
בשביל מה הוא שם? סתם תרגול?
:כן, אחרת לא היו מעלים לזה פתרונות...

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:46:19Z

אנונימי: /* התרגיל במרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==התרגיל במרוכבים==
בשביל מה הוא שם? סתם תרגול?
:כן, אחרת לא היו מעלים לזה פתרונות...

==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם). כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

תודה מראש, גל.

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:32:00Z

אנונימי: /* תרגיל 1 בקובץ המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם). כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

תודה מראש, גל.

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:30:34Z

אנונימי: /* תרגיל 1 בקובץ המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם) כפי שכתוב בדף הפתרונות. כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

תודה מראש, גל.

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:29:32Z

אנונימי: /* תרגיל 1 בקובץ המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם) כפי שכתוב בדף הפתרונות. כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

תודה מראש, גל אורדו.

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:14:15Z

אנונימי: /* תרגיל 1 בקובץ המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> (ד"א: זווית זו מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם) כפי שכתוב בדף הפתרונות. כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, ויצא לי כפי שהוא מראה (כלומר יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:12:37Z

אנונימי: /* תרגיל 1 בקובץ המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כפי שכתוב בדף הפתרונות. כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, ויצא לי כפי שהוא מראה (כלומר יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:11:56Z

אנונימי: /* תרגיל 1 בקובץ המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 5.16==
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math>
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כפי שכתוב בדף הפתרונות. כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, ויצא לי כפי שהוא מראה (כלומר יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...
== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T14:04:36Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==
שלום רב,
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha)=\frac{1}{-\sprt{3}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כפי שכתוב בדף הפתרונות. כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, ויצא לי כפי שהוא מראה (כלומר יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...
== 6.20 ==
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

===תשובה===
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

==שאלה 6.20==
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

===תשובה===
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math>

==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?

===תשובה===
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T11:32:03Z

אנונימי: /* שאלה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה ==
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

===תשובה===
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.
:::::::::תודה, הצלחתי.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-06T09:22:50Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 6.19==
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?
תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

==שאלה 6.20==
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

===תשובה===
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

==שאלה 5.12==
מה הכוונה ב-Ak?
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)
תודה
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

===תשובה===
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

==שאלה==
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math>

===תשובה===
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.

אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

==שאלה כללית==

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

===תשובה===
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

==שאלה 5.3ב'==
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית

===תשובה===
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...
===תשובה===
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math>
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-05T11:54:43Z

אנונימי: /* שאלה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=

==שאלה==
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?
:כן...

==שאלה על מט' מחלקת אפס==
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

===תשובה===
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש

<math>ab=0</math>.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math>

ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.
:תודה.

==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

===תשובה===
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..
::צודק :) אז אמרתי.
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מהוקטור).

==שאלה==

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

===תשובה===
5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

<math> A_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math> A_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_3=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>, <math>A_4=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}
</math>,

<math>A_5=0</math>

וכדומה.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T19:08:30Z

אנונימי: /* שאלה 3א בתרגיל 3 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
:לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
::את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:::סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
::::בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:::::נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
::::::אוקיי תודה :)
::::::את לא צריכה לדחות את זה למחר, זה יותר פשוט ממה שאת חושבת. יצא לי 3 שורות (כאשר יש מעבר שורה לפני כל <math>\Leftrightarrow</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:59, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:::::::אני אתה, וחוץ מזה דחיתי למחר כי כרגע יש לי דברים חשובים יותר לעשות, ביניהם לעשות הפסקה קצרה...

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T19:07:26Z

אנונימי: /* שאלה 3א בתרגיל 3 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערב לפיה f פונקציה אם 0 מצוי בטבעיים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
:לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
::את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:::סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
::::בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:::::נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
::::::אוקיי תודה :)
::::::את לא צריכה לדחות את זה למחר, זה יותר פשוט ממה שאת חושבת. יצא לי 3 שורות (כאשר יש מעבר שורה לפני כל <math>\Leftrightarrow</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:59, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:::::::אני אתה, וחוץ מזה דחיתי למחר כי כרגע יש לי דברים חשובים יותר לעשות, ביניהם לעשות הפסקה קצרה...

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T19:03:08Z

אנונימי: /* שאלות */ הקפצת שאלות שלא נענו

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
:לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
::את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:::סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
::::בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:::::נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
::::::אוקיי תודה :)
::::::את לא צריכה לדחות את זה למחר, זה יותר פשוט ממה שאת חושבת. יצא לי 3 שורות (כאשר יש מעבר שורה לפני כל <math>\Leftrightarrow</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:59, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:::::::אני אתה, וחוץ מזה דחיתי למחר כי כרגע יש לי דברים חשובים יותר לעשות, ביניהם לעשות הפסקה קצרה...

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:53:43Z

אנונימי: /* שאלה 3א בתרגיל 3 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
אוקיי תודה :)

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:47:01Z

אנונימי: /* שאלה 3א בתרגיל 3 */ טעות הדפסה מתמטית

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>N</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
אוקיי תודה :)

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:46:12Z

אנונימי: /* שאלה 3א בתרגיל 3 */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>mathbb{Z}</math> ל-<math>mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>N</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
אוקיי תודה :)

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:44:09Z

אנונימי: /* שאלות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>Z</math> ל-<math>N</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>N</math> (אבל איבר ב-<math>Z</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>N</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>N</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
אוקיי תודה :)

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:40:40Z

אנונימי: /* שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד. */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.
אוקיי תודה :)

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:32:24Z

אנונימי: /* הרכבת יחסים */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?
בנתיים עשיתי את זה רק עם דוגמאות מסוימות.. אבל אני חושבת שאפשר להוכיח את זה איכשהו...
:נראה לי שאפשר, אם אני אספיק אני אשב על זה מחר ואנסה להוכיח/להפריך, ואנסה גם להעלות לכאן.

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:23:53Z

אנונימי: /* שאלות */ הוקפץ כי לא נענה בניגוד לשאלות אחרות שפורסמו מאוחר יותר.

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-02T18:18:18Z

אנונימי: /* שאלה 8 א */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

=שאלות=

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==הרכבת יחסים==
אם R הוא יחס שקילות, אז R הרכבה R יתן לי את R?
: לא בהכרח, ראה את: [[#שאלה על הרכבת יחסים|הרכבת יחסים]]
את/ה בטוח/ה? כי הדוגמא שארז נתן היא כאשר R הוא לא שקילות. ולפי מה שעשיתי שהרכבתי R יחס שקילות על R קיבלתי את אותו הR...
:סליחה, לא שמתי לב לקטע שהיחס הוא יח"ש. אבל בוא נאמר ככה - אם הדרך שלך נכונה אז התשובה תהיה נכונה... האם עשית את זה עבור R מסוים או עבור כל R שהוא?

==שאלה 8 א==
איך יכול להיות שמיחס על השלמים ללא 0 (כלומר גם השליליים), יתקבל יחס סדר חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, הרי הזוג (4,2-) שייך לR אבל הוא לא חלק מיחס חלקי על <math>\mathbb{N}</math>, כי יש שם שליליים
:(4,2-) לא שייך ל-R כי בסעיף א' מגדירים אותו על N במקום <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math>, כלומר: <math>\mathcal R=\{(a,b)\in\mathbb N^2:a|b\}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:27, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
:: כלומר אני מגדיר את R על Z בלי 0, ואז מגדיר אותו בסעיף א' מחדש על N? ובסעיף ב' הוא עדיין על N, כי גם 2 בחזקת K תמיד טבעי? אז למה הגדנו בהתחלה על כל השלמים חוץ מ0? על מה בדיוק היחס R?
::: אפשר לומר זאת כך, אבל בעצם מה שנאמר בתחית השאלה הוא שהיחס תקף לכל איבר שלם שאינו אפס (תבדוק את זה ותראה שהוא אכן מוגדר גם לשליליים). בסעיף א פשוט מבקשים ממך "לצמצם" את היחס ולבדוק רק על N (הוא לא יהיה יחס סדר חלקי עבור Z). גל.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

==שאלה 8 ב==
מבקשים ממני להוכיח שR הוא יחס סדר חלקי על הקבוצה <math>\{2^k|k\in\N\}</math> (אני אסמן קבוצה זו כ-A לצורך נוחות כתיבה בהמשך השאלה). מכיוון ש-A היא תת קבוצה של N האם מותר לי לומר באופן אוטומטי כי גם במקרה זה היחס R הוא יחס סדר חלקי? במקרה כזה, עליי להוכיח רק את התנאי השני לקיומו של יחס סדר מלא.
 תודה, גל.
::ככה אני עשיתי, נראה לי שאפשר.

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

==שאלה 9 ב'==
נקח את הקבוצה:<math>\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,n),...\}</math> בתור A. זו קבוצה אינסופית..
זאת אומרת שהיחס המוגדר בשאלה הוא <math>\{(1,x)R(1,y)|x \le y\}</math> זהו יחס סדר מלא וA אינסופית, כך שהטענה בשאלה לא נכונה!
אנא התיחסו לכך בהקדם או תקנו אותי אם אני טועה.

תודה!

--[[משתמש:אפרת חסון|אפרת חסון]] 00:29, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

:צודקת, יפה מאד. אין צורך לענות על הסעיף הזה.

==תרגיל 4==
מופיעים בתרגיל שני סוגים של מכפלות: קרטזית ו... מה? עד כמה שאני יודע אין עוד מסוג של מכפלה בין שתי קבוצות, אלא אם הן םונקציות ואז הסימן הזה אומר הרכבה, רעיון בעייתי בגלל שאין סום סימן לקיומן כפונקציות.

מה פשר העיגול בין הקבוצות?
:סימן ההרכבה רלוונטי גם ליחסים שאינם פונקציות: [[#תרגיל 2]]. 22:43, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 5==
בשאלה 5 מסמנים לך R בחזקת 1-,מה זה אומר??למדנו את זה רק לפונקציות
:[[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:19, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5א'==
בשאלה מגדירים <math>R^{-1}</math> אבל מה שמקבלים כשהופכים את R הוא בכלל לא פונקציה (כי למקור 2 קיימים שני ערכים של Y).. אז מה אני צריכה לכתוב? לא מוגדר?
:הגדרנו בכיתה את <math>\mathcal R^{-1}</math> גם אם הוא לא פונקציה: [[#שאלה5.א]]. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:16, 1 באוגוסט 2010 (IDT)
::אוקיי,הבנתי. תודה.
:::הקרדיט ל-84.111.91.16. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:21, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 2==
לפי תנאי היחס, x-y<1. הנחתי שקיימת סימטריות ואני מקבל ש- x-y>-1. האם בגלל שאין סתירה מתקיימת סימטריות?
:אין סימטריות. כן מתקבלת סתירה, אבל לא לכל x,y, אלא רק לאלה שמקיימים <math>x-y<1</math> אבל לא מקיימים <math>x-y>-1</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:14, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==5.ב.1==
האם משמעות הביטוי היא שאיקס פלוס שני וואי לחלק לשלוש זה מס' שלם או ההפך?
:ש-<math>\frac{x+2y}{3}\in\mathbb{Z}</math> (כי 3 מחלק את x+2y ללא שארית). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:07, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה לגבי נושאי הבוחן==
מה הם הנושאים לבוחן ביום רביעי ?
:עד עוצמות, לא כולל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:04, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה5.א==
מה זה אומר s בחזקת מינוס אחת?

===תשובה===

לכל יחס <math>R \subseteq A \times A</math> מוגדר יחס הופכי <math>R^{-1}</math> באופן הבא:
<math>R^{-1} = \{(x,y) \in A \times A : (y,x) \in R\}</math>
בעצם הופכים אפוא את כל הזוגות ביחס המקורי.

==שאלה3==

אם R יחס על A, האם זה אומר שצריך להיות ייצוג בצורת זוג סדור לכל איבר שנמצא בA?
:לא, זה הכרחי רק בפונקציות. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:08, 1 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על הרכבת יחסים==
מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

===תשובה===
דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה <math>R \subseteq A\times A</math>.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

<math>(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R</math>

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן <math>a=b=c=d=e</math>.

--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 5 א'==
בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות...
הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

:למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 7 ג'==
הכוונה ל <math>(AXA)\setminus (R\cup I_{A})</math> או ל <math>((AXA)\setminus R)\cup I_{A} </math> ?
::לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

==תרגיל 6==
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB.
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A
(a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

===תשובה===
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math>

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי:
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math>

<math> ((a,b),(a,b))\in G </math>

תודה.

==הערה==
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

===תשובה===
יש ארכיון [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)
:דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

==תרגילים 3 ו4==
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

===תשובה===

*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math>

===הערה===
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.
===הערה===
אבל R תמיד רפלקסיבי,לא?X שייך לAi וגם X שייך לAi...

====תשובה====
אם נניח ש Ai כולן קבוצות ריקות. האם R רפלקסיבי?

=== ===
אבל נתון שהאיחוד כולו נותן את A אז איך ייתכן שAi כולן ריקות?

==תרגיל 2==
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

*תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

===תשובה===

שאלה טובה.
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math>

כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

==תרגיל 2==
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?
תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.

הגשות של תרגילים יהיו תמיד בימי רביעי.
יפית נתני.