Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

קובץ:25Linear1SummerTestASol.pdf

2025-09-07T08:34:39Z

אריאל:

אלגברה לינארית 1/מבחנים

2025-09-07T08:34:12Z

אריאל: /* מבחנים ופתרונותיהם */

=מבחנים=

==מבחנים ופתרונותיהם==

שימו לב: בסמסטר הקיץ נבחנים התיכוניסטים, ובמועד חורף או סמסטר א' נבחנים התלמידים הבוגרים של מתמטיקה. (בחורף זה בדר"כ קל יותר)

תשפ"ה
*[[מדיה:25Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה]], [[מדיה:25Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון]]

תשפ"ד
*[[מדיה:24Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד]], [[מדיה:24Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:24Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד]], [[מדיה:24Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון]]

תשפ"ג
*[[מדיה:23Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג]], [[מדיה:23Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג]], [[מדיה:23Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון]]

תשפ"ב
*[[מדיה:22Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22Linear1SummerTestC.pdf|מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22Linear1SummerTestCSol.pdf|פתרון]]

תשפ"א
*[[מדיה:21Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestC.pdf|מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestCSol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א]]

תש"פ
*[[מדיה:20Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]]
*[[מדיה:20Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]]

תשע"ט:
*[[מדיה:19Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:18Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]]

*[[מדיה:18Linear1ExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1ExmTestSol.pdf| פתרון מבחן דמה תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]]

תשעז:
*[[מדיה:LinearExamA2017.pdf| מועד א' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:LinearExamA2017Sol.pdf| פתרון מועד א' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה:LinearExamB2017.pdf| מועד ב' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:Linear1ExamB2017Sol.pdf| פתרון מועד ב' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה: LinAlg1-2017-MoedA.pdf| מועד א חורף תשע"ז]],[[מדיה: LinAlg1_2017_MoedA-sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע"ז]].

תשעו:
*[[מדיה:16Linear1MoedA.pdf|מועד א קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedASol.pdf|פתרון מועד א קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:16Linear1MoedB.pdf|מועד ב קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:LinAlg1TestA2016Sol.pdf|מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו]].

תשע"ה:
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015.pdf|מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]]
בפתרון של שאלה 4,ב יש טעות חישוב קלה. תשובה נכונה (מסוג אחר) מאת עידו כרמל אפשר לראות [[מדיה: IDO_CARMEL_sol2015.4.2.jpeg | כאן]].

תשע"ד:
*[[מדיה:14Linear1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמה, קיץ 2014]], [[מדיה:14Linear1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמה, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamAndSol.pdf|מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamB.pdf|מבחן מועד ב', קיץ 2014]], [[מדיה:14linear1ExamBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב', קיץ 2014]]
*[[מדיה:LA1_2014a.docx|מבחן מועד א' חורף תשעד]], [[מדיה:LA1_2014a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעד- פיתרון]]

תשע"ג:
*[[מדיה:LA1_2013a.doc|מבחן מועד א' חורף תשע"ג]], [[מדיה:LA1_2013a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעג- פיתרון]]
* [[מדיה:La1_2013a_sol.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות]]

תשע"ב:
*[[מדיה:LA1_2012a.doc|מבחן מועד א' חורף תשעב]],[[מדיה:linear1LastExam3.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעב + פתרון]]
*[[מדיה:linear1LastExam4.doc|מועד ב חורף תשעב]], [[מדיה:linear1LastExam4S.doc|מועד ב חורף תשעב-פתרון חלקי]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2012.png|מבחן מועד א' קיץ תשע"ב]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'| פתרון מועד א קיץ תשעב]]

תשע"א:
*[[מדיה:11Linear1testA.pdf|מועד א' קיץ תשעא]],[[מדיה:11Linear1TestASol.pdf|פתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest.pdf|מבחן דמה 1 קיץ תשעא]], [[אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא|פתרון חלקי למבחן הדמה]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest2.pdf|מבחן דמה 2 קיץ תשעא]], [[מדיה:11Linear1Dumbtest2Sol.pdf|פתרון מבחן דמה 2 קיץ תשעא]]
*[[מדיה:linear1LastExam5.pdf|מועד א חורף תשעא+ פתרון]]

שנת תש"ע:
*[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשע]]
*[[מדיה: 10LinearTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשע]]
*[[מדיה:linear1LastExam7.doc|מועד א חורף תשע]], [[מדיה:linear1LastExam7Sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע]]

תשס"ט:
*[[מדיה:linear1LastExam6.doc|מועד א חורף תשסט]], [[מדיה:linear1LastExam6sol.pdf|פתרון מועד א חורף תשסט]]

תשס"ח
*[[מדיה:linear1LastExam2.doc|מועד א חורף תשסח]],[[מדיה:linear1LastExam2sol.doc|פתרון מועד א חורף תשסח]]

תשס"ו
* [[מדיה:linear1LastExam1.doc|מועד א חורף תשסו]]

*[[מדיה:88-112-2011S13b.pdf|פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

*[[מדיה:24.08.20Linear1.pdf|עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

==מבחנים נוספים==

[http://u.math.biu.ac.il/~reznikov/courses/linear.html מבחנים של פרופסור רזניקוב + אוסף שאלות שכדאי לפתור לפני הבחינה]

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html מבחנים באתר של בועז צבאן]

=בחנים=
*[[מדיה:LA1Summer2025Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"ה]], [[מדיה:LA1Summer2025SolAdi.pdf|הצעה לפתרון בוחן קיץ תשפ"ה באדיבות עדי מכנס]]
*[[מדיה:בוחן לינארית תיכוניסטים 2024.pdf|בוחן לינארית תיכוניסטים 2024]], [[מדיה:LinearSummer24QuizSolAdi.pdf|הצעה לפתרון בוחן קיץ תשפ"ד באדיבות עדי מכנס]]
*[[מדיה:Exam_LA_S_22.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:exam_LA_S_22_B_SOL.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:LASummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:LASummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:LASummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"פ]], [[מדיה:LASummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"פ]] (הבוחן בשנה זו היה ב XI)
*[[מדיה: LinAlg1Quiz2019Summer.pdf|בוחן קיץ תשע"ט]], [[מדיה: LinAlg1Quizsol2019Summer.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: linear1summer2018exam.pdf|בוחן קיץ תשע"ח]], [[מדיה: linear1summer2018examsol.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: 88112midexam2017.pdf| בוחן חורף תשע"ז]], [[מדיה: 88112midexam2017-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה: LinSummer2016mid.pdf|בוחן קיץ תשע"ו]], [[מדיה: LinSummer2016midSOL.pdf | ופתרונו]]
*[[מדיה:LinAlg1Quiz2016.pdf|בוחן חורף תשע"ו]], [[מדיה:LinAlg1Quiz2016-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2015SummerSolution.pdf| בוחן קיץ תשע"ה + פתרון]]
*[[מדיה:Linear1Bohan1.pdf|בוחן חורף תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2014SummerSolution.pdf|בוחן קיץ תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:13linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ג]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam1.doc|בוחן1 חורף תשע"ג]], [[מדיה:linear1SolExam1.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam2.doc|בוחן 2 חורף תשע"ג]] , [[מדיה:linear1SolExam2.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:12linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ב]],[[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1quizSol.pdf| בוחן קיץ תשע"א + פתרון]]
*[[מדיה:11Linear1FakeQuiz.pdf| בוחן דמה קיץ תשע"א]]
*[[מדיה:10Linear1BohanSol.pdf|בוחן קיץ תש"ע + פתרון]]

קובץ:23BdidaSummerTestBSol.pdf

2023-09-10T19:40:31Z

אריאל:

קובץ:23BdidaSummerTestB.pdf

2023-09-10T19:40:16Z

אריאל:

מבחנים בבדידה

2023-09-10T19:39:57Z

אריאל: /* מתמטיקה */

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד ב קיץ 2023 [[מדיה:23BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"ג]], [[מדיה:23BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"ג]]
* מועד א קיץ 2023 [[מדיה:23BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ג]], [[מדיה:23BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ג]]
* מועד ג קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ב קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"ב]]
* מועד א קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ג קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]
* מועד א קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

קובץ:Bdida2023QuizCSSol.pdf

2022-12-29T11:12:14Z

אריאל:

קובץ:Bdida2023QuizCS.pdf

2022-12-29T11:11:59Z

אריאל:

בחנים בבדידה

2022-12-29T11:11:46Z

אריאל: /* בחנים בר-אילן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

=בחנים בר-אילן=
*[[מדיה:Bdida2023QuizCS.pdf|בוחן מדמח חורף תשפ"ג]], [[מדיה:Bdida2023QuizCSSol.pdf|פתרון בוחן מדמח חורף תשפ"ג]]
*[[מדיה:BdidaSummer2022Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:BdidaSummer2022QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:BdidaSummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"ף]], [[מדיה:BdidaSummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"ף]] (הבוחן היה ב XI)
*[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעט]],[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעט]]
*[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעט]],[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעט]]
*[[מדיה:בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | בוחן קיץ תשעח]] [[מדיה:פתרון_בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | פתרון בוחן קיץ תשעח]]
*[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעח]],[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעח]]
*תשעז קיץ[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעז]],[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעז]].
*תשעז חורף [[מדיה:Bdida2017MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעז]],[[מדיה:Bdida2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעז]].
*תשעו קיץ [[מדיה:BdidaSummer2016MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעו]].
*תשעו חורף [[מדיה:Bdida2016MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעו + פתרון]].
*תשעה קיץ [[מדיה:פתרון הבוחן בבדידה.pdf|פתרון הבוחן]]
*תשעה קיץ-בוחן לדוגמא [[מדיה:בוחן לדוגמא.pdf|בוחן לדוגמא]] ופתרונו [[מדיה:פתרון הבוחן לדוגמא.pdf|פתרון הבוחן לדוגמא]]
*תשעה חורף [[מדיה:Bdida2015MiddleExam.pdf|בוחן תשעה + פתרון]]
*תשעד קיץ [[מדיה:MidExamBdida2014.pdf | בוחן תשע"ד + פתרון]]
*תשעד חורף [[מדיה:88195_בוחן_תשעד.pdf|שאלון בוחן]] ([[מדיה:Discrete_2014_QuizS.pdf|פתרון]])
*תשעג קיץ [[מדיה:MidExamBdida2013.pdf | בוחן בדידה תשעג +פתרון]]
*תשעג חורף [[מדיה:Bohan.doc|בוחן]],[[מדיה:BohanS.doc|פתרון]]
*תשעב קיץ [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88195/QuizSol_2012s.pdf פתרון בוחן אמצע]
*תשעא קיץ - בוחן דמה [[מדיה:11BdidaFakeQuiz.pdf|בוחן דמה קיץ תשעא]]

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

2022-11-28T08:44:36Z

אריאל: /* פתרון */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''אנטי-סימטרי''' אם מתקיים <math>\forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)</math>

כלומר, אם <math>x\neq y</math> אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y '''וגם''' היחס בין y לx.

'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספרים
*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים

'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hasse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.

'''הגדרה:''' יהי R יחס על A, אזי '''היחס ההופכי''' מוגדר להיות <math>R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}</math>

====תרגיל====

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

=====פתרון=====
*רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>
*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
*אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.

==איברים מיוחדים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר קטן ביותר/מינימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר גדול ביותר/מקסימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

מינוח/סימון: עבור קבוצה A נסמן לעיתים יחס סדר ב <math>\leq</math>. לא להתבלבל עם ה"קטן שווה" ה"רגיל"!. אם A קבוצה ו <math>leq</math> יחס סדר עליה, נסמן <math>(A,\leq)</math> ונקרא ל A קבוצה סדורה חלקית. עוד נאמר במקרה זה כי איבר x קטן שווה מאיבר y אם מתקיים <math>x\leq y</math>

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.

הערה: מינימום <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן מקסימום <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך!

====דוגמא====

נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

*5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
*4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
*2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מיני' יחיד אזי הוא איבר קטן ביותר

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מינימאלי יחיד ו y מקסימאלי יחיד אזי <math>x\leq y</math>

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה סופית לא ריקה. הוכיחו: קיים איבר מינימאלי.

=====פתרון=====
באינדוקציה על גודל הקבוצה <math>|A|=n</math>. עבור <math>n=1</math> האיבר מינימאלי.
נניח נכונות עבור <math>|A|=n-1</math> ותהא <math>|A|=n</math>. קיים <math>a\in A</math>, ונתבונן בקבוצה הסדורה <math>(A\smallsetminus \{a\},\leq )</math>, שם יש מינימאלי שנסמנו <math>b</math>.

נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים:

אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math>: יהי <math>y\in A</math>, כך ש- <math>y\leq b</math>, ונראה <math>y=b</math>: אכן, מההנחה נקבל <math>y\neq a</math>, ולכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>, ומכיון ש-b מינימלי שם נקבל <math>y=b</math>.

אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. יהי <math>y\leq a</math>, ונניח בשלילה <math>y\neq a</math>. לכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>. כעת מטרנזיטיבות נקבל <math>y\leq b</math>, וממינימליות b נקבל <math>y=b</math>. בסה"כ יש לנו <math>a\leq b\land b\leq a</math>, ומאנטי-סימטריות נקבל <math>a=b</math> בסתירה (כי <math>b\in A\setminus \{a\}</math>).

===הגדרה===

יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר קווי/לינארי'''.

====תרגיל====
יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר.

=====פתרון=====
יהא <math>y\in A</math> צ"ל: <math>x\leq y</math>: מהעובדה שהיחס לינארי נקבל <math>x\leq y\lor y\leq x</math>. נחלק למקרים:

1. אם <math>x\leq y</math> סיימנו.

2. אם <math>y\leq x</math> אז לפי הגדרת מינימליות (ונתון ש- <math>x</math> מינימלי) נקבל <math>x=y</math> ולכן <math>x\leq y</math> .

==חסמים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>
*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>

====דוגמא.====

נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

====דוגמא====
נביט במספרים הממשיים ובתת הקבוצה של כל המספרים עם מספר סופי של ספרות ששווים לספרות הראשונות של שורש 2. <math>B=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...\}</math>. חסמי המלעיל של הקבוצה הינם כל המספרים שגדולים או שווים לשורש 2 ואילו שורש 2 הוא החסם העליון של הקבוצה.

שימו לב, אם נביט בקבוצה B כתת קבוצה של המספרים הרציונאליים, חסמי המלעיל שלה יהיו כל האיברים הגדולים משורש 2 אך מכיוון ששורש 2 אינו רציונאלי, אין לB חסם עליון.

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
נביט בקבוצת הטבעיים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd).

למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של A. החסם העליון שלה ב <math>(P(A),\subseteq)</math> הוא
<math>\cup _{i\in I} A_i </math> והחסם התחתון (אם זה אוסף לא ריק) שלהם הוא<math>\cap_{i\in I}A_i</math>

==== תרגיל====
מצאו <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math> כך שבקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> קיים B שאין לו חסם עליון.

==== תרגיל====
עבור <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>, נסתכל בקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> וב <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של <math>\mathbb{N}</math>.

הוכיחו/הפריכו: אם <math>\cup_{i\in I}A_i \not\in X</math> אזי ל <math>\{A_i\mid i\in I\}</math> אין חסם עליון.

=== יחס סדר מילוני ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את '''היחס המילוני''' <math>R</math> ע"י

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>

==== דוגמא ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר

=== מכפלה של יחסי סדר ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את היחס <math>R</math> הבא:

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 \leq a_2) \land ( b_1 \preceq b_2)</math>

זהו יחס סדר:

הוכחה:

1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי <math>a\leq a, b\preceq b</math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>

2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>

3. טרנז' - תרגיל

==== דוגמה ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המוגדר לעיל.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> ותתי הקבוצות
*<math>B_1 = \{(4,-x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_2 = \{(4,x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_3 = \{(x,4) | x\in \mathbb{N} \}</math>

#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_2,B_3</math> כאשר <math>(\mathbb{N},\leq)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם יחס המכפלה
#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_1,B_2</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> ותתי הקבוצה <math>B = \{(4,\frac{1}{n+1}) | n\in \mathbb{N} \}</math>

מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(0,1],\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שני יחסי סדר משווים

הוכיחו/הפריכו:
#יחס המכפלה על <math>A\times B</math> הוא משווה.
#היחס המילוני על <math>A\times B</math> הוא משווה.

==== תרגיל ====
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> לא סופי המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\inf B\right\} =\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}</math> .
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> .

==תרגילים נוספים==

===תרגיל ממבחן===

הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי.

תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי.

'''הוכחה.'''

נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.

===תרגיל===

נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.

'''פתרון.'''

נבדוק את תכונות היחס:
*רפלקסיביות - ברור.
*אנטי-סימטריות - אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math> וגם <math>(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)</math> אזי <math>(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)</math> ולכן שני השברים המצומצמים שווים.
*טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד.

לכן R הינו יחס סדר חלקי.

שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?

=== תרגיל (ממבחן קיץ תשעה מועד ב) ===
תהא <math>X</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות (סדרה בינארית היא <math>a_1a_2a_3\dots</math> כאשר <math>a_n\in \{0,1\}</math>). נגדיר יחס <math>R</math> על <math>X</math> כך:
עבור <math>a=a_1a_2\dots ,b=b_1b_2\dots \in X</math>

<math>aRb \iff \; \forall n\; a_n-b_n \neq (-1)^n</math>

א. הוכיחו ש <math>R</math> יחס סדר על <math>X</math>

ב. קבעו האם <math>R</math> יחס סדר '''מלא''' על <math>X</math>

ג. מצאו (אם קיימים) איבר קטן וגדול ביותר ב <math>X</math> (ביחס ל <math>R</math>)

==== פתרון ====

דרך שקולה לתאר את היחס שמפשטת את השאלה היא כך

<math>aRb \iff \big( \forall k \; a_{2k}=1 \Rightarrow b_{2k}=1, \; a_{2k-1}=0\Rightarrow b_{2k-1}=0\big)</math>

כלומר במיקומים הזוגיים, אם a שווה 1 אז זה גורר ש b שווה 1

ובמיקומים האי זוגיים, אם a שווה 0 אז זה גורר ש b שווה 0

א. תרגיל לבד!

ב. לא סדר מלא, למשל <math>a=000\dots, b=111\dots </math> לא מתייחסים זה לזה.

ג. קימיים, <math>M=010101\dots</math> הינו איבר הגדול ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>aRM</math>

<math>m=101010\dots</math> הינו איבר קטן ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>mRa</math>

=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")

1. יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> הוכיחו: אם<math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר משווה עליה. אז <math>R</math> איבר מקסימלי ב <math>O</math>

2.הוכיח: אם ב <math>A</math> לפחות 2 איברים אז ב <math>(O,\subseteq)</math> אין איברים גדול ביותר

3. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math>

4. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math>

==== פתרון====
יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> ונניח כי הוא משווה. נוכיח כי הוא איבר מקסמאלית ב <math>O</math>. יהי <math>S\in O</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math> המקיים <math>R\subseteq S</math> צ"ל <math>R=S</math>

נניח בשלילה כי <math>R</math> מוכל ממש ב <math>S</math>

אזי קיים <math>(a,b)\in S\land(a,b)\notin R</math>. כיוון ש <math>R</math> יחס מלא אזי מתקיים <math>(b,a)\in R</math>
כיוןן ש <math>R\subseteq S</math> נובע כי <math>(b,a)\in S</math>

מכיוון ש <math>S</math> יחס סדר חלקי (בפרט אנטי סימטרי) אזי <math>a=b</math> (כי גם (<math>a,b)\in S</math>)
אזי קיבלנו כי ּ<math>(a,a)=(a,b)\notin R</math> סתירה לכך ש <math>R</math> יחס סדר מלא ובפרט רפלקסיבי.

=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 1,2,3,\dots,10\right\}</math> . עוד נגדיר <math>\mathbb{O}</math> להיות קבוצת כל יחסי השקילות על <math>X</math>.נגדיר יחס <math>\preceq</math> מעל <math>\mathbb{O}</math> על ידי הכלל <math>R_{1}\preceq R_{2}\iff\left(\left|X/R_{1}\right|<\left|X/R_{1}\right|\right)\lor\left(R_{1}=R_{2}\right)</math> כאשר <math>\left|X/R_{1}\right|</math> פירושו מספר האיברים בקבוצת המנה של היחס <math>R_{1}</math>.

1. הוכיחו: כי <math>\preceq</math> הוא יחס סדר על <math>\mathbb{O}</math>.

2. הוכיחו/הפריכו: זהו יחס סדר קווי

3. מצאו, אם קיימים, איבר קטן ביותר ב<math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math> ואיבר גדול ביותר ב <math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math>

=== תרגיל ===
תהא <math>A=\left\{ \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right):\,a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{N}\right\} =\mathbb{N}^{3}</math>. נגדיר יחס סדר (אין צורך להוכיח)<math>\leq</math> על A כך <math>\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)\leq\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)\iff\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} :\,a_{i}\leq b_{i}</math>

#מצאו <math>m\in A</math> איבר קטן ביותר, אם קיים.
#מצאו איברים מינמאלים ב <math>A\backslash\left\{ m\right\}</math> , אם קיימים.

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

2022-11-28T08:42:36Z

אריאל: /* פתרון */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''אנטי-סימטרי''' אם מתקיים <math>\forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)</math>

כלומר, אם <math>x\neq y</math> אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y '''וגם''' היחס בין y לx.

'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספרים
*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים

'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hasse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.

'''הגדרה:''' יהי R יחס על A, אזי '''היחס ההופכי''' מוגדר להיות <math>R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}</math>

====תרגיל====

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

=====פתרון=====
*רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>
*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
*אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.

==איברים מיוחדים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר קטן ביותר/מינימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר גדול ביותר/מקסימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

מינוח/סימון: עבור קבוצה A נסמן לעיתים יחס סדר ב <math>\leq</math>. לא להתבלבל עם ה"קטן שווה" ה"רגיל"!. אם A קבוצה ו <math>leq</math> יחס סדר עליה, נסמן <math>(A,\leq)</math> ונקרא ל A קבוצה סדורה חלקית. עוד נאמר במקרה זה כי איבר x קטן שווה מאיבר y אם מתקיים <math>x\leq y</math>

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.

הערה: מינימום <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן מקסימום <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך!

====דוגמא====

נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

*5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
*4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
*2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מיני' יחיד אזי הוא איבר קטן ביותר

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מינימאלי יחיד ו y מקסימאלי יחיד אזי <math>x\leq y</math>

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה סופית לא ריקה. הוכיחו: קיים איבר מינימאלי.

=====פתרון=====
באינדוקציה על גודל הקבוצה <math>|A|=n</math>. עבור <math>n=1</math> האיבר מינימאלי.
נניח נכונות עבור <math>|A|=n-1</math> ותהא <math>|A|=n</math>. קיים <math>a\in A</math>, ונתבונן בקבוצה הסדורה <math>(A\smallsetminus \{a\},\leq )</math>, שם יש מינימאלי שנסמנו <math>b</math>.

נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים:

אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math>: יהי <math>y\in A</math>, כך ש- <math>y\leq b</math>, ונראה <math>y=b</math>: אכן, מההנחה נקבל <math>y\neq a</math>, ולכן <math>y\in A\setminus {a}</math>, ומכיון ש-b מינימלי שם נקבל <math>y=b</math>.

אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. יהי <math>y\leq a</math>, ונניח בשלילה <math>y\neq a</math>. לכן <math>y\in A\setminus {a}</math>. כעת מטרנזיטיבות נקבל <math>y\leq b</math>, וממינימליות b נקבל <math>y=b</math>. בסה"כ יש לנו <math>a\leq b\land b\leq a</math>, ומאנטי-סימטריות נקבל <math>a=b</math> בסתירה (כי <math>b\in A\setminus {a}</math>).

===הגדרה===

יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר קווי/לינארי'''.

====תרגיל====
יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר.

=====פתרון=====
יהא <math>y\in A</math> צ"ל: <math>x\leq y</math>: מהעובדה שהיחס לינארי נקבל <math>x\leq y\lor y\leq x</math>. נחלק למקרים:

1. אם <math>x\leq y</math> סיימנו.

2. אם <math>y\leq x</math> אז לפי הגדרת מינימליות (ונתון ש- <math>x</math> מינימלי) נקבל <math>x=y</math> ולכן <math>x\leq y</math> .

==חסמים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>
*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>

====דוגמא.====

נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

====דוגמא====
נביט במספרים הממשיים ובתת הקבוצה של כל המספרים עם מספר סופי של ספרות ששווים לספרות הראשונות של שורש 2. <math>B=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...\}</math>. חסמי המלעיל של הקבוצה הינם כל המספרים שגדולים או שווים לשורש 2 ואילו שורש 2 הוא החסם העליון של הקבוצה.

שימו לב, אם נביט בקבוצה B כתת קבוצה של המספרים הרציונאליים, חסמי המלעיל שלה יהיו כל האיברים הגדולים משורש 2 אך מכיוון ששורש 2 אינו רציונאלי, אין לB חסם עליון.

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
נביט בקבוצת הטבעיים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd).

למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של A. החסם העליון שלה ב <math>(P(A),\subseteq)</math> הוא
<math>\cup _{i\in I} A_i </math> והחסם התחתון (אם זה אוסף לא ריק) שלהם הוא<math>\cap_{i\in I}A_i</math>

==== תרגיל====
מצאו <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math> כך שבקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> קיים B שאין לו חסם עליון.

==== תרגיל====
עבור <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>, נסתכל בקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> וב <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של <math>\mathbb{N}</math>.

הוכיחו/הפריכו: אם <math>\cup_{i\in I}A_i \not\in X</math> אזי ל <math>\{A_i\mid i\in I\}</math> אין חסם עליון.

=== יחס סדר מילוני ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את '''היחס המילוני''' <math>R</math> ע"י

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>

==== דוגמא ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר

=== מכפלה של יחסי סדר ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את היחס <math>R</math> הבא:

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 \leq a_2) \land ( b_1 \preceq b_2)</math>

זהו יחס סדר:

הוכחה:

1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי <math>a\leq a, b\preceq b</math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>

2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>

3. טרנז' - תרגיל

==== דוגמה ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המוגדר לעיל.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> ותתי הקבוצות
*<math>B_1 = \{(4,-x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_2 = \{(4,x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_3 = \{(x,4) | x\in \mathbb{N} \}</math>

#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_2,B_3</math> כאשר <math>(\mathbb{N},\leq)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם יחס המכפלה
#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_1,B_2</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> ותתי הקבוצה <math>B = \{(4,\frac{1}{n+1}) | n\in \mathbb{N} \}</math>

מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(0,1],\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שני יחסי סדר משווים

הוכיחו/הפריכו:
#יחס המכפלה על <math>A\times B</math> הוא משווה.
#היחס המילוני על <math>A\times B</math> הוא משווה.

==== תרגיל ====
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> לא סופי המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\inf B\right\} =\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}</math> .
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> .

==תרגילים נוספים==

===תרגיל ממבחן===

הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי.

תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי.

'''הוכחה.'''

נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.

===תרגיל===

נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.

'''פתרון.'''

נבדוק את תכונות היחס:
*רפלקסיביות - ברור.
*אנטי-סימטריות - אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math> וגם <math>(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)</math> אזי <math>(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)</math> ולכן שני השברים המצומצמים שווים.
*טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד.

לכן R הינו יחס סדר חלקי.

שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?

=== תרגיל (ממבחן קיץ תשעה מועד ב) ===
תהא <math>X</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות (סדרה בינארית היא <math>a_1a_2a_3\dots</math> כאשר <math>a_n\in \{0,1\}</math>). נגדיר יחס <math>R</math> על <math>X</math> כך:
עבור <math>a=a_1a_2\dots ,b=b_1b_2\dots \in X</math>

<math>aRb \iff \; \forall n\; a_n-b_n \neq (-1)^n</math>

א. הוכיחו ש <math>R</math> יחס סדר על <math>X</math>

ב. קבעו האם <math>R</math> יחס סדר '''מלא''' על <math>X</math>

ג. מצאו (אם קיימים) איבר קטן וגדול ביותר ב <math>X</math> (ביחס ל <math>R</math>)

==== פתרון ====

דרך שקולה לתאר את היחס שמפשטת את השאלה היא כך

<math>aRb \iff \big( \forall k \; a_{2k}=1 \Rightarrow b_{2k}=1, \; a_{2k-1}=0\Rightarrow b_{2k-1}=0\big)</math>

כלומר במיקומים הזוגיים, אם a שווה 1 אז זה גורר ש b שווה 1

ובמיקומים האי זוגיים, אם a שווה 0 אז זה גורר ש b שווה 0

א. תרגיל לבד!

ב. לא סדר מלא, למשל <math>a=000\dots, b=111\dots </math> לא מתייחסים זה לזה.

ג. קימיים, <math>M=010101\dots</math> הינו איבר הגדול ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>aRM</math>

<math>m=101010\dots</math> הינו איבר קטן ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>mRa</math>

=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")

1. יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> הוכיחו: אם<math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר משווה עליה. אז <math>R</math> איבר מקסימלי ב <math>O</math>

2.הוכיח: אם ב <math>A</math> לפחות 2 איברים אז ב <math>(O,\subseteq)</math> אין איברים גדול ביותר

3. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math>

4. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math>

==== פתרון====
יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> ונניח כי הוא משווה. נוכיח כי הוא איבר מקסמאלית ב <math>O</math>. יהי <math>S\in O</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math> המקיים <math>R\subseteq S</math> צ"ל <math>R=S</math>

נניח בשלילה כי <math>R</math> מוכל ממש ב <math>S</math>

אזי קיים <math>(a,b)\in S\land(a,b)\notin R</math>. כיוון ש <math>R</math> יחס מלא אזי מתקיים <math>(b,a)\in R</math>
כיוןן ש <math>R\subseteq S</math> נובע כי <math>(b,a)\in S</math>

מכיוון ש <math>S</math> יחס סדר חלקי (בפרט אנטי סימטרי) אזי <math>a=b</math> (כי גם (<math>a,b)\in S</math>)
אזי קיבלנו כי ּ<math>(a,a)=(a,b)\notin R</math> סתירה לכך ש <math>R</math> יחס סדר מלא ובפרט רפלקסיבי.

=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 1,2,3,\dots,10\right\}</math> . עוד נגדיר <math>\mathbb{O}</math> להיות קבוצת כל יחסי השקילות על <math>X</math>.נגדיר יחס <math>\preceq</math> מעל <math>\mathbb{O}</math> על ידי הכלל <math>R_{1}\preceq R_{2}\iff\left(\left|X/R_{1}\right|<\left|X/R_{1}\right|\right)\lor\left(R_{1}=R_{2}\right)</math> כאשר <math>\left|X/R_{1}\right|</math> פירושו מספר האיברים בקבוצת המנה של היחס <math>R_{1}</math>.

1. הוכיחו: כי <math>\preceq</math> הוא יחס סדר על <math>\mathbb{O}</math>.

2. הוכיחו/הפריכו: זהו יחס סדר קווי

3. מצאו, אם קיימים, איבר קטן ביותר ב<math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math> ואיבר גדול ביותר ב <math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math>

=== תרגיל ===
תהא <math>A=\left\{ \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right):\,a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{N}\right\} =\mathbb{N}^{3}</math>. נגדיר יחס סדר (אין צורך להוכיח)<math>\leq</math> על A כך <math>\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)\leq\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)\iff\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} :\,a_{i}\leq b_{i}</math>

#מצאו <math>m\in A</math> איבר קטן ביותר, אם קיים.
#מצאו איברים מינמאלים ב <math>A\backslash\left\{ m\right\}</math> , אם קיימים.

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

2022-11-28T08:13:25Z

אריאל: /* הגדרה */

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''אנטי-סימטרי''' אם מתקיים <math>\forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)</math>

כלומר, אם <math>x\neq y</math> אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y '''וגם''' היחס בין y לx.

'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספרים
*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים

'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hasse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.

'''הגדרה:''' יהי R יחס על A, אזי '''היחס ההופכי''' מוגדר להיות <math>R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}</math>

====תרגיל====

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

=====פתרון=====
*רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>
*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
*אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.

==איברים מיוחדים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר קטן ביותר/מינימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''איבר גדול ביותר/מקסימום''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

מינוח/סימון: עבור קבוצה A נסמן לעיתים יחס סדר ב <math>\leq</math>. לא להתבלבל עם ה"קטן שווה" ה"רגיל"!. אם A קבוצה ו <math>leq</math> יחס סדר עליה, נסמן <math>(A,\leq)</math> ונקרא ל A קבוצה סדורה חלקית. עוד נאמר במקרה זה כי איבר x קטן שווה מאיבר y אם מתקיים <math>x\leq y</math>

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.

הערה: מינימום <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן מקסימום <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך!

====דוגמא====

נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

*5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
*4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
*2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מיני' יחיד אזי הוא איבר קטן ביותר

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה. הוכיחו/הפריכו: אם x מינימאלי יחיד ו y מקסימאלי יחיד אזי <math>x\leq y</math>

==== תרגיל ====
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה סופית לא ריקה. הוכיחו: קיים איבר מינימאלי.

=====פתרון=====
באינדוקציה על גודל הקבוצה <math>|A|=n</math>. עבור <math>n=1</math> האיבר מינימאלי.
נניח נכונות עבור <math>|A|=n-1</math> ותהא <math>|A|=n</math>. קיים <math>a\in A</math>, ונתבונן בקבוצה הסדורה <math>(A\smallsetminus \{a\},\leq )</math>, שם יש מינימאלי שנסמנו <math>b</math>.

נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים:

אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math> (תרגיל לסטודנטים).

אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. כי אם מישהו שונה ממנו מתחתיו אז גם מתחת <math>b</math> (טרנזיטיביות) וכיון ש-<math>b</math> מינימאלי ב-<math>A\smallsetminus \{a\}</math> נקבל שזה <math>b</math> בסתירה לכך ש- <math>a\leq b\land a\neq b</math>.

===הגדרה===

יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר קווי/לינארי'''.

====תרגיל====
יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר.

=====פתרון=====
יהא <math>y\in A</math> צ"ל: <math>x\leq y</math>: מהעובדה שהיחס לינארי נקבל <math>x\leq y\lor y\leq x</math>. נחלק למקרים:

1. אם <math>x\leq y</math> סיימנו.

2. אם <math>y\leq x</math> אז לפי הגדרת מינימליות (ונתון ש- <math>x</math> מינימלי) נקבל <math>x=y</math> ולכן <math>x\leq y</math> .

==חסמים==

'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>
*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>

====דוגמא.====

נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

====דוגמא====
נביט במספרים הממשיים ובתת הקבוצה של כל המספרים עם מספר סופי של ספרות ששווים לספרות הראשונות של שורש 2. <math>B=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...\}</math>. חסמי המלעיל של הקבוצה הינם כל המספרים שגדולים או שווים לשורש 2 ואילו שורש 2 הוא החסם העליון של הקבוצה.

שימו לב, אם נביט בקבוצה B כתת קבוצה של המספרים הרציונאליים, חסמי המלעיל שלה יהיו כל האיברים הגדולים משורש 2 אך מכיוון ששורש 2 אינו רציונאלי, אין לB חסם עליון.

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
נביט בקבוצת הטבעיים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd).

למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>

====דוגמא (בהרצאה בד"כ)====
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של A. החסם העליון שלה ב <math>(P(A),\subseteq)</math> הוא
<math>\cup _{i\in I} A_i </math> והחסם התחתון (אם זה אוסף לא ריק) שלהם הוא<math>\cap_{i\in I}A_i</math>

==== תרגיל====
מצאו <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math> כך שבקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> קיים B שאין לו חסם עליון.

==== תרגיל====
עבור <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>, נסתכל בקבוצה הסדורה <math>(X,\subseteq)</math> וב <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף תתי קבוצות של <math>\mathbb{N}</math>.

הוכיחו/הפריכו: אם <math>\cup_{i\in I}A_i \not\in X</math> אזי ל <math>\{A_i\mid i\in I\}</math> אין חסם עליון.

=== יחס סדר מילוני ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את '''היחס המילוני''' <math>R</math> ע"י

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>

==== דוגמא ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר

=== מכפלה של יחסי סדר ===

יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את היחס <math>R</math> הבא:

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 \leq a_2) \land ( b_1 \preceq b_2)</math>

זהו יחס סדר:

הוכחה:

1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי <math>a\leq a, b\preceq b</math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>

2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>

3. טרנז' - תרגיל

==== דוגמה ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המוגדר לעיל.

נגדיר <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים

נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.

*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> ותתי הקבוצות
*<math>B_1 = \{(4,-x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_2 = \{(4,x) | x\in \mathbb{N} \}</math>
*<math>B_3 = \{(x,4) | x\in \mathbb{N} \}</math>

#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_2,B_3</math> כאשר <math>(\mathbb{N},\leq)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם יחס המכפלה
#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_1,B_2</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> ותתי הקבוצה <math>B = \{(4,\frac{1}{n+1}) | n\in \mathbb{N} \}</math>

מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(0,1],\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> עם היחס המילוני

==== תרגיל ====
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שני יחסי סדר משווים

הוכיחו/הפריכו:
#יחס המכפלה על <math>A\times B</math> הוא משווה.
#היחס המילוני על <math>A\times B</math> הוא משווה.

==== תרגיל ====
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> לא סופי המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\inf B\right\} =\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}</math> .
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> .

==תרגילים נוספים==

===תרגיל ממבחן===

הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי.

תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי.

'''הוכחה.'''

נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.

===תרגיל===

נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.

'''פתרון.'''

נבדוק את תכונות היחס:
*רפלקסיביות - ברור.
*אנטי-סימטריות - אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math> וגם <math>(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)</math> אזי <math>(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)</math> ולכן שני השברים המצומצמים שווים.
*טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד.

לכן R הינו יחס סדר חלקי.

שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?

=== תרגיל (ממבחן קיץ תשעה מועד ב) ===
תהא <math>X</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות (סדרה בינארית היא <math>a_1a_2a_3\dots</math> כאשר <math>a_n\in \{0,1\}</math>). נגדיר יחס <math>R</math> על <math>X</math> כך:
עבור <math>a=a_1a_2\dots ,b=b_1b_2\dots \in X</math>

<math>aRb \iff \; \forall n\; a_n-b_n \neq (-1)^n</math>

א. הוכיחו ש <math>R</math> יחס סדר על <math>X</math>

ב. קבעו האם <math>R</math> יחס סדר '''מלא''' על <math>X</math>

ג. מצאו (אם קיימים) איבר קטן וגדול ביותר ב <math>X</math> (ביחס ל <math>R</math>)

==== פתרון ====

דרך שקולה לתאר את היחס שמפשטת את השאלה היא כך

<math>aRb \iff \big( \forall k \; a_{2k}=1 \Rightarrow b_{2k}=1, \; a_{2k-1}=0\Rightarrow b_{2k-1}=0\big)</math>

כלומר במיקומים הזוגיים, אם a שווה 1 אז זה גורר ש b שווה 1

ובמיקומים האי זוגיים, אם a שווה 0 אז זה גורר ש b שווה 0

א. תרגיל לבד!

ב. לא סדר מלא, למשל <math>a=000\dots, b=111\dots </math> לא מתייחסים זה לזה.

ג. קימיים, <math>M=010101\dots</math> הינו איבר הגדול ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>aRM</math>

<math>m=101010\dots</math> הינו איבר קטן ביותר כי לכל <math>a</math> מתקים <math>mRa</math>

=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")

1. יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> הוכיחו: אם<math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר משווה עליה. אז <math>R</math> איבר מקסימלי ב <math>O</math>

2.הוכיח: אם ב <math>A</math> לפחות 2 איברים אז ב <math>(O,\subseteq)</math> אין איברים גדול ביותר

3. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math>

4. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math>

==== פתרון====
יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> ונניח כי הוא משווה. נוכיח כי הוא איבר מקסמאלית ב <math>O</math>. יהי <math>S\in O</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math> המקיים <math>R\subseteq S</math> צ"ל <math>R=S</math>

נניח בשלילה כי <math>R</math> מוכל ממש ב <math>S</math>

אזי קיים <math>(a,b)\in S\land(a,b)\notin R</math>. כיוון ש <math>R</math> יחס מלא אזי מתקיים <math>(b,a)\in R</math>
כיוןן ש <math>R\subseteq S</math> נובע כי <math>(b,a)\in S</math>

מכיוון ש <math>S</math> יחס סדר חלקי (בפרט אנטי סימטרי) אזי <math>a=b</math> (כי גם (<math>a,b)\in S</math>)
אזי קיבלנו כי ּ<math>(a,a)=(a,b)\notin R</math> סתירה לכך ש <math>R</math> יחס סדר מלא ובפרט רפלקסיבי.

=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 1,2,3,\dots,10\right\}</math> . עוד נגדיר <math>\mathbb{O}</math> להיות קבוצת כל יחסי השקילות על <math>X</math>.נגדיר יחס <math>\preceq</math> מעל <math>\mathbb{O}</math> על ידי הכלל <math>R_{1}\preceq R_{2}\iff\left(\left|X/R_{1}\right|<\left|X/R_{1}\right|\right)\lor\left(R_{1}=R_{2}\right)</math> כאשר <math>\left|X/R_{1}\right|</math> פירושו מספר האיברים בקבוצת המנה של היחס <math>R_{1}</math>.

1. הוכיחו: כי <math>\preceq</math> הוא יחס סדר על <math>\mathbb{O}</math>.

2. הוכיחו/הפריכו: זהו יחס סדר קווי

3. מצאו, אם קיימים, איבר קטן ביותר ב<math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math> ואיבר גדול ביותר ב <math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math>

=== תרגיל ===
תהא <math>A=\left\{ \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right):\,a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{N}\right\} =\mathbb{N}^{3}</math>. נגדיר יחס סדר (אין צורך להוכיח)<math>\leq</math> על A כך <math>\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)\leq\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)\iff\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} :\,a_{i}\leq b_{i}</math>

#מצאו <math>m\in A</math> איבר קטן ביותר, אם קיים.
#מצאו איברים מינמאלים ב <math>A\backslash\left\{ m\right\}</math> , אם קיימים.

תרגול 5 תשעז

2022-11-08T09:31:58Z

אריאל: /* פתרון */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==קבוצות==

:הגדרה (לא מדוייקת, אך מספיקה לצרכינו):
'''קבוצה''' הינה אוסף של איברים שונים. בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות:

<math>\{1,\text{horse},3\}</math>, <math>\{1,2,3\}</math> ו<math>\{1,\{2,3\},\{\}\}</math>

===שייכות והכלה===

איבר ה'''שייך''' לקבוצה אנו מסמנים בסימן <math>\in</math>. למשל <math>1\in\{1,2,3\}</math>, ואילו <math>4\notin\{1,2,3\}</math>. שימו לב שגם <math>1\notin\{\{1,2,3\}\}</math> שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math>.

*אומרים שקבוצה A '''מוכלת''' בקבוצה B (מסומן <math>A \subseteq B</math>) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB. בשפה מדויקת, A מוכלת בB אם מתקיים <math>\forall a\in A: a\in B</math>.

:דוגמא:
<math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>
כאשר
::<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}</math> המספרים הטבעיים
::<math>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}</math> המספרים השלמים
::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} : m,n\in \mathbb{Z},n\neq 0\}</math> המספרים הרציונאלים (שברים)
::<math>\mathbb{R}</math> המספרים הממשיים ("כל המספרים" על הישר)
::<math>\mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\}</math> המספרים המרוכבים

====תרגיל====

נסמן <math>A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} ,C=\{1 \} ,D=\{ \{1\} \}</math>. השלימו ע"י הכלה או שייכות:

א. <math>B</math>__<math>A</math>

ב. <math>C</math>__<math>A</math>

ג. <math>B</math>__<math>C</math>

ד. <math>A</math>__<math>D</math>

ה. <math>B</math>__<math>D</math>

ו. <math>D</math>__<math>C</math>

===איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי===

*'''חיתוך''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים גם לA וגם לB (מסומן <math>A\cap B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cap B \iff (a\in A \and a\in B)</math>.

*'''איחוד''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים לA או לB (מסומן <math>A\cup B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cup B \iff (a\in A \or a\in B)</math>.

*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.

*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A\setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\triangle B</math>). מתקיים כי
<math>x\in A\triangle B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A))</math>
<math>\iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math>

דוגמא:

יהיו <math>A=\{1,2,\{1\}\},B=\{1,\{2\}\},C=\{2,\{1,2\}\}</math> קבוצות.

אזי:

<math>A\cup B =\{1,2 ,\{1\},\{2\}\} </math>

<math>(A\cup B)\cap C =\{2\} </math>

<math> B \cap C = \varnothing</math>

<math>C \setminus A =\{\{1,2\}\}</math>

<math> B \triangle C = B \cup C</math>

<math> A \triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>

====תרגיל====
הוכח כי:
א. הקבוצה הריקה <math>\varnothing=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A

ב. <math>\varnothing \cap A = \varnothing </math>

ג. <math>\varnothing \cup A = A </math>

=====פתרון=====
א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\varnothing : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.
הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

ב. נשים לב שמתקיים: <math>x\in \varnothing \cap A \iff x\in \varnothing \and x\in A \iff F \land x\in A \iff F </math> כלומר ההנחה שיש איברים בחיתוך שקולה לסתירה, ולכן אין שם איברים וזו הקבוצה הריקה.

ג. <math>x\in \varnothing \cup A \iff x\in \varnothing \or x\in A\ \iff F \lor x\in A \iff x\in A </math>

====תרגיל====

הוכיחו או הפריכו:

א. <math>A\cap (B\smallsetminus C)=(A\cap B) \smallsetminus (A\cap C)</math>

ב. <math>A\triangle (B\cap C)=(A\triangle B) \cap (A\triangle C)</math>

=====פתרון=====

א. הוכחה אפשרית - טבלת שייכות (קצת תלוי מרצה)

פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:

<math>x\in A\cap (B\setminus C) \iff</math>
<math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff</math>
<math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>

בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:

<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff</math>
<math>[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]</math>

וזה בדיוק מה שרצינו.

הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:

בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>, ולכן

<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>

<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>

בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>. לכן

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>

<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>

(כי אם <math>x\in C</math> אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה)

<math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>

ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל: <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>.

===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
'''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A_1,A_2,\ldots,A_{17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

'''הגדרה:'''
יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:

<math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math>

<math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי

א. <math>\bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>

ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math>

ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

הוכחה:

א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.

ג. נתייחס ל-<math>\mathbb{R}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.

תרגול 5 תשעז

2022-11-08T09:30:48Z

אריאל: /* פתרון */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==קבוצות==

:הגדרה (לא מדוייקת, אך מספיקה לצרכינו):
'''קבוצה''' הינה אוסף של איברים שונים. בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות:

<math>\{1,\text{horse},3\}</math>, <math>\{1,2,3\}</math> ו<math>\{1,\{2,3\},\{\}\}</math>

===שייכות והכלה===

איבר ה'''שייך''' לקבוצה אנו מסמנים בסימן <math>\in</math>. למשל <math>1\in\{1,2,3\}</math>, ואילו <math>4\notin\{1,2,3\}</math>. שימו לב שגם <math>1\notin\{\{1,2,3\}\}</math> שכן האיבר היחיד בקבוצה זו הינה הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math>.

*אומרים שקבוצה A '''מוכלת''' בקבוצה B (מסומן <math>A \subseteq B</math>) אם כל האיברים בA הם גם איברים בB. בשפה מדויקת, A מוכלת בB אם מתקיים <math>\forall a\in A: a\in B</math>.

:דוגמא:
<math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>
כאשר
::<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}</math> המספרים הטבעיים
::<math>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}</math> המספרים השלמים
::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} : m,n\in \mathbb{Z},n\neq 0\}</math> המספרים הרציונאלים (שברים)
::<math>\mathbb{R}</math> המספרים הממשיים ("כל המספרים" על הישר)
::<math>\mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\}</math> המספרים המרוכבים

====תרגיל====

נסמן <math>A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} ,C=\{1 \} ,D=\{ \{1\} \}</math>. השלימו ע"י הכלה או שייכות:

א. <math>B</math>__<math>A</math>

ב. <math>C</math>__<math>A</math>

ג. <math>B</math>__<math>C</math>

ד. <math>A</math>__<math>D</math>

ה. <math>B</math>__<math>D</math>

ו. <math>D</math>__<math>C</math>

===איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי===

*'''חיתוך''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים גם לA וגם לB (מסומן <math>A\cap B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cap B \iff (a\in A \and a\in B)</math>.

*'''איחוד''' של שתי קבוצות A ו B הינו אוסף האיברים השייכים לA או לB (מסומן <math>A\cup B</math>). מתקיים ש<math>a \in A\cup B \iff (a\in A \or a\in B)</math>.

*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.

*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A\setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\triangle B</math>). מתקיים כי
<math>x\in A\triangle B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A))</math>
<math>\iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math>

דוגמא:

יהיו <math>A=\{1,2,\{1\}\},B=\{1,\{2\}\},C=\{2,\{1,2\}\}</math> קבוצות.

אזי:

<math>A\cup B =\{1,2 ,\{1\},\{2\}\} </math>

<math>(A\cup B)\cap C =\{2\} </math>

<math> B \cap C = \varnothing</math>

<math>C \setminus A =\{\{1,2\}\}</math>

<math> B \triangle C = B \cup C</math>

<math> A \triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>

====תרגיל====
הוכח כי:
א. הקבוצה הריקה <math>\varnothing=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A

ב. <math>\varnothing \cap A = \varnothing </math>

ג. <math>\varnothing \cup A = A </math>

=====פתרון=====
א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\varnothing : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.
הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

ב. נשים לב שמתקיים: <math>x\in \varnothing \cap A \iff x\in \varnothing \and x\in A \iff F \land x\in A \iff F </math> כלומר ההנחה שיש איברים בחיתוך שקולה לסתירה, ולכן אין שם איברים וזו הקבוצה הריקה.

ג. <math>x\in \varnothing \cup A \iff x\in \varnothing \or x\in A\ \iff F \lor x\in A \iff x\in A </math>

====תרגיל====

הוכיחו או הפריכו:

א. <math>A\cap (B\smallsetminus C)=(A\cap B) \smallsetminus (A\cap C)</math>

ב. <math>A\triangle (B\cap C)=(A\triangle B) \cap (A\triangle C)</math>

=====פתרון=====

א. הוכחה אפשרית - טבלת שייכות (קצת תלוי מרצה)

פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:

<math>x\in A\cap (B\setminus C) \iff</math>
<math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff</math>
<math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>

בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:

<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff</math>
<math>[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]</math>

וזה בדיוק מה שרצינו.

הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:

בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>, ולכן

<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>

<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>

בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>. לכן

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>

<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>

(כי אם <math>x\in C</math> אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה)

<math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>

ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל:

===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
'''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A_1,A_2,\ldots,A_{17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

'''הגדרה:'''
יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:

<math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math>

<math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי

א. <math>\bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>

ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math>

ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

הוכחה:

א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.

ג. נתייחס ל-<math>\mathbb{R}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.

קובץ:22BdidaSummerTestC.pdf

2022-10-23T12:22:10Z

אריאל:

מבחנים בבדידה

2022-10-23T12:21:48Z

אריאל: /* מתמטיקה */

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד ג קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ב קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"ב]]
* מועד א קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ג קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]
* מועד א קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשף_אסף_רינות_עי_יונתן_סמידוברסקי.pdf |מבחן תש"ף חורף של פרופ' רינות]] -פתרון ע"י יונתן סמידוברסקי

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

קובץ:22Linear1SummerTestC.pdf

2022-10-19T12:12:47Z

אריאל:

אלגברה לינארית 1/מבחנים

2022-10-19T12:12:27Z

אריאל: /* מבחנים ופתרונותיהם */

=מבחנים=

==מבחנים ופתרונותיהם==

שימו לב: בסמסטר הקיץ נבחנים התיכוניסטים, ובמועד חורף או סמסטר א' נבחנים התלמידים הבוגרים של מתמטיקה.

תשפ"ב
*[[מדיה:22Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22Linear1SummerTestC.pdf|מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב]]

תשפ"א
*[[מדיה:21Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestC.pdf|מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestCSol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א]]

תש"פ
*[[מדיה:20Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]]
*[[מדיה:20Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]]

תשע"ט:
*[[מדיה:19Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:18Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]]

*[[מדיה:18Linear1ExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1ExmTestSol.pdf| פתרון מבחן דמה תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]]

תשעז:
*[[מדיה:LinearExamA2017.pdf| מועד א' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:LinearExamA2017Sol.pdf| פתרון מועד א' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה:LinearExamB2017.pdf| מועד ב' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:Linear1ExamB2017Sol.pdf| פתרון מועד ב' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה: LinAlg1-2017-MoedA.pdf| מועד א חורף תשע"ז]],[[מדיה: LinAlg1_2017_MoedA-sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע"ז]].

תשעו:
*[[מדיה:16Linear1MoedA.pdf|מועד א קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedASol.pdf|פתרון מועד א קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:16Linear1MoedB.pdf|מועד ב קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:LinAlg1TestA2016Sol.pdf|מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו]].

תשע"ה:
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015.pdf|מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]]
בפתרון של שאלה 4,ב יש טעות חישוב קלה. תשובה נכונה (מסוג אחר) מאת עידו כרמל אפשר לראות [[מדיה: IDO_CARMEL_sol2015.4.2.jpeg | כאן]].

תשע"ד:
*[[מדיה:14Linear1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמה, קיץ 2014]], [[מדיה:14Linear1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמה, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamAndSol.pdf|מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamB.pdf|מבחן מועד ב', קיץ 2014]], [[מדיה:14linear1ExamBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב', קיץ 2014]]
*[[מדיה:LA1_2014a.docx|מבחן מועד א' חורף תשעד]], [[מדיה:LA1_2014a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעד- פיתרון]]

תשע"ג:
*[[מדיה:LA1_2013a.doc|מבחן מועד א' חורף תשע"ג]], [[מדיה:LA1_2013a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעג- פיתרון]]
* [[מדיה:La1_2013a_sol.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות]]

תשע"ב:
*[[מדיה:LA1_2012a.doc|מבחן מועד א' חורף תשעב]],[[מדיה:linear1LastExam3.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעב + פתרון]]
*[[מדיה:linear1LastExam4.doc|מועד ב חורף תשעב]], [[מדיה:linear1LastExam4S.doc|מועד ב חורף תשעב-פתרון חלקי]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2012.png|מבחן מועד א' קיץ תשע"ב]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'| פתרון מועד א קיץ תשעב]]

תשע"א:
*[[מדיה:11Linear1testA.pdf|מועד א' קיץ תשעא]],[[מדיה:11Linear1TestASol.pdf|פתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest.pdf|מבחן דמה 1 קיץ תשעא]], [[אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא|פתרון חלקי למבחן הדמה]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest2.pdf|מבחן דמה 2 קיץ תשעא]], [[מדיה:11Linear1Dumbtest2Sol.pdf|פתרון מבחן דמה 2 קיץ תשעא]]
*[[מדיה:linear1LastExam5.pdf|מועד א חורף תשעא+ פתרון]]

שנת תש"ע:
*[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשע]]
*[[מדיה: 10LinearTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשע]]
*[[מדיה:linear1LastExam7.doc|מועד א חורף תשע]], [[מדיה:linear1LastExam7Sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע]]

תשס"ט:
*[[מדיה:linear1LastExam6.doc|מועד א חורף תשסט]], [[מדיה:linear1LastExam6sol.pdf|פתרון מועד א חורף תשסט]]

תשס"ח
*[[מדיה:linear1LastExam2.doc|מועד א חורף תשסח]],[[מדיה:linear1LastExam2sol.doc|פתרון מועד א חורף תשסח]]

תשס"ו
* [[מדיה:linear1LastExam1.doc|מועד א חורף תשסו]]

*[[מדיה:88-112-2011S13b.pdf|פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

*[[מדיה:24.08.20Linear1.pdf|עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

==מבחנים נוספים==

[http://u.math.biu.ac.il/~reznikov/courses/linear.html מבחנים של פרופסור רזניקוב + אוסף שאלות שכדאי לפתור לפני הבחינה]

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html מבחנים באתר של בועז צבאן]

=בחנים=

*[[מדיה:Exam_LA_S_22.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:exam_LA_S_22_B_SOL.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:LASummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:LASummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:LASummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"פ]], [[מדיה:LASummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"פ]] (הבוחן בשנה זו היה ב XI)
*[[מדיה: LinAlg1Quiz2019Summer.pdf|בוחן קיץ תשע"ט]], [[מדיה: LinAlg1Quizsol2019Summer.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: linear1summer2018exam.pdf|בוחן קיץ תשע"ח]], [[מדיה: linear1summer2018examsol.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: 88112midexam2017.pdf| בוחן חורף תשע"ז]], [[מדיה: 88112midexam2017-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה: LinSummer2016mid.pdf|בוחן קיץ תשע"ו]], [[מדיה: LinSummer2016midSOL.pdf | ופתרונו]]
*[[מדיה:LinAlg1Quiz2016.pdf|בוחן חורף תשע"ו]], [[מדיה:LinAlg1Quiz2016-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2015SummerSolution.pdf| בוחן קיץ תשע"ה + פתרון]]
*[[מדיה:Linear1Bohan1.pdf|בוחן חורף תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2014SummerSolution.pdf|בוחן קיץ תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:13linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ג]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam1.doc|בוחן1 חורף תשע"ג]], [[מדיה:linear1SolExam1.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam2.doc|בוחן 2 חורף תשע"ג]] , [[מדיה:linear1SolExam2.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:12linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ב]],[[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1quizSol.pdf| בוחן קיץ תשע"א + פתרון]]
*[[מדיה:11Linear1FakeQuiz.pdf| בוחן דמה קיץ תשע"א]]
*[[מדיה:10Linear1BohanSol.pdf|בוחן קיץ תש"ע + פתרון]]

הוראות להתקנת LyX

2022-04-06T07:57:56Z

אריאל: /* התאמות לעברית */

=התקנה ללא תמיכה בעברית=

מ[https://www.lyx.org/ דף הבית של ליקס] גשו ל[https://www.lyx.org/Download דף ההורדות] והתקינו לפי ההוראות בהתאם למערכת ההפעלה שלכם.

שימו לב שעבור ווינדוס החל מגרסה 2.3 מומלץ להתקין הפצת TeX כמו MiKTeX או TeXLive לפני התקנת ליקס, מה שעשוי לקחת קצת זמן. כיום TeXLive כנראה יותר קל לשימוש.

אם תצטרכו לערוך רק מסמכים באנגלית זה כל מה שצריך.

= התקנה ידנית עם תמיכה בעברית=

תחילה התקינו את ליקס ללא תמיכה בעברית כפי שרשום למעלה.

כעת נסביר איך להשתמש ב-[https://en.wikipedia.org/wiki/XeTeX XeTeX] בליקס, שמאפשר להשתמש בגופנים רגילים שנמצאים אצלכם במחשב ובכל תו של unicode, כך שניתן לייצר מסמך אחד עם כמה שפות.

הורידו את הקובץ [http://u.math.biu.ac.il/~bauerto/lyx/hebrew_xetex_article.lyx hebrew_xetex_article.lyx] (או את הקובץ [http://u.math.biu.ac.il/~bauerto/lyx/hebrew_xetex_article-lyxformat-508.lyx הזה] לגרסה 2.2) והמטרה שלנו הוא להצליח לקמפל אותו ל-PDF.

בקובץ hebrew_xetex_article.lyx נעשה שימוש בגופנים של [http://culmus.sourceforge.net/ פרוייקט קולמוס], שאינם מגיעים כברירת מחדל בווינדוס. זה לא מסובך להתקין אותם. כדי להתקין אותם בווינדוס אפשר להתקין את הגופנים שנמצאים בקישור [http://culmus.sourceforge.net/download.html latest release הזה] או [http://http.debian.net/debian/pool/main/c/culmus/culmus_0.132.orig.tar.gz הזה]. פתחו את הקובץ לתיקייה, ובחרו בה את כל הקבצים בסיומת ttf וב-otf, לחצו כפתור ימני ובחרו "התקנה". בגופנים אלו אפשר להשתמש בכל תוכנה, למשל בוורד. קובץ שמסתיים ב-tar.gz אפשר לפתוח עם תוכנה כמו [https://7-zip.org 7-zip].
לחלופין, אפשר להוריד את [http://u.math.biu.ac.il/~bauerto/lyx/culmus-0.132_otf_ttf.zip קובץ ה-zip הזה] שמכיל את הקבצים עם סיומת ttf ו-otf שאותם צריכים להתקין.

בלינוקס זה יותר קל, ברוב ההפצות פשוט מתקינים את החבילה culmus או culmus-fonts במנהל החבילות, וייתכן שהם כבר מותקנים.

כדאי לוודא שמותקנות אצלכם חבילות הלאטך הבאות:
* xetex (ב-MikTeX צריך גם את miktex-xetex וב-TeXLive יש אוסף בשם xetex).
* miktex-xetex
* gyre
* gyre-math
* lm
* lm-math
* amstex
* enumitem
* hyperref
* tikz וכל מה שמתחיל ב-tikz
* polyglossia
* fontspec
הדרך להתקין אותן היא דרך תוכנת הניהול החדשה MiKTeX Console או TeX Live Manager.

כדי ליצור מסמך חדש בעברית מבלי להעתיק כל פעם מחדש את הקובץ hebrew_xetex_article.lyx , אפשר לשים אותו בתיקיית templates של ליקס. אז מהתפריט File->New from Template (או עם קיצור המקלדת Ctrl+Shift+N) לבחור את הקובץ הזה, שיתן את הבסיס למסמך ריק חדש בעברית. את תיקיות הקונפיגורציה של ליקס אפשר למצוא ב-Help->About LyX, תחת Library directory. בווינדוס זה כנראה בתוך C:\Program Files\LyX2.3\Resources.

==התאמות לעברית==

# בזמן העבודה בליקס עדיף להשאר תמיד באנגלית כשפת המערכת ולהחליף שפות בתוך ליקס. לכן הורידו את הקובץ [http://u.math.biu.ac.il/~bauerto/lyx/cua_he.bind cua_he.bind] ושימו אותו בתיקיית bind של ליקס (בלינוקס זה כנראה <nowiki>‎‎~/.lyx/bind‎/</nowiki> ובווינדוס זה בערך ‎C:\Users\<username>\AppData\Roaming\LyX2.3\bind או ‎%APPDATA%\LyX2.3\bind). בתפריט Tools->Preferences->Editing->Shortcuts בחרו בשדה "Bind file" את הקובץ cua_he שהורדתם.
# בתפריט Tools->Preferences->Editing->Keyboard/Mouse הפעילו את האפשרות "Use keyboard map", בשדה Primary בחרו null ובשדה Secondary בחרו hebrew.
# בתפריט Tools->Preferences->Language Settings->Language הורידו את הסימון "Mark foreign languages" שיוצר קווים מתחת לקטעים במסמך שהם לא מן השפה הראשית (כמו אנגלית במסמך בעברית).
# בתפריט Document->Settings->Fonts הפעילו את האפשרות "Use non-TeX fonts (via XeTex/LuaTeX)" ובשורה של Roman: בחרו משהו המסתיים ב CLM (למשל, David CLM).

==טיפים ומשאבים נוספים==

* רוצים להקליד מקף עברי (כמו ב"רמת־גן" לעומת "בר-אילן") ואת סימן הרפה? עד שזה יתווסף בליקס אפשר להוריד את הקובץ [http://u.math.biu.ac.il/~bauerto/lyx/hebrew_2.kmap hebrew_2.kmap] ולשים אותו למשל בתיקיית ה-kbd של ליקס. אז בחרו Tools->Preferences->Editing->Keyboard/Mouse ובשדה Secondary בחרו את הקובץ הנ"ל.

* השימוש בחיצים לא נוח בחלקים המתמטיים? נסו לשנות את בתפריט Tools->Preferences->Language Settings->Language את ההגדרה של "Cursor movement" מ-"Logical" ל-"Visual".

* בתפריט File->Export אפשר ליצא את הקובץ למגוון פורמטים. אותנו בדרך כלל יעניין PDF (XeTeX).

* היו דיווחים על תקלות בייצוא ל-PDF כאשר שם הקובץ בעברית או כולל רווחים. נסו לשנות את שם הקובץ בהתאם ודווחו האם זה עזר.

* בתפריט Help->Shortcuts מופיעים חלק מקיצורי המקלדת בליקס. למשל אותיות יווניות מקלידים עם התחילית Alt+M G ואז אות כלשהי. למשל Alt+M G A היא <math>\alpha</math>. הקלדת הקיצור נעשית עם אותיות קטנות, אלא אם כתוב Shift+ לפני האות.

'''אל תלמדו''' את כל קיצורי המקלדת מראש בעל פה. אם אתם שמים לב שאתם מבצעים פעולה זהה המון פעמים, כנראה שיש לה קיצור מקלדת, ורק אז למדו אותו. ראו בהמשך איך ליצור קיצורים משלכם.

* Ctrl+N ליצירת מסמך חדש, או Ctrl+Shift+N עבור מסמך חדש מדוגמה כמו hebrew_xetex_article.lyx.

* Ctrl+R יקמפל ויציג את המסמך כ-PDF, ואם רוצים לעדכן מסמך שכבר מוצג כ-PDF לחצו Ctrl+Shift+R. אם אין לכם תוכנה להצגת קבצי PDF אפשר לבחור את [https://www.sumatrapdfreader.org/free-pdf-reader.html Sumatra PDF] שהיא תוכנה חופשית ומהירה יותר מאלו של Adobe.

* Ctrl+M לכתוב נוסחה מתמטית.

* Ctrl+Shift+M לכתוב נוסחת תצוגה (ממורכזת באמצע שורה לבד). זה גם הקיצור להעביר בין נוסחה בתוך השורה לבין נוסחת תצוגה, כך שאין צורך להעתיק דברים מחדש.

* ) Alt+M ייצר זוג סוגריים שגדלים בהתאם לתוכן. כנ"ל עבור שאר סוגי הסוגריים ], }, |, >.

* רוצים להוסיף קיצורי מקלדת משלכם? בתפריט Tools->Preferences->Editing->Shortcuts אפשר להוסיף אותם בקלות. למשל אם רוצים להקליד אותיות בגופן הכפול כמו <math>\mathbb{Z}</math> או <math>\mathbb{R}</math> הוסיפו עם הכפתור New קיצור שהפונציה שלו היא math-insert \mathbb והקיצור שלו הוא Alt+M Shift+B. דוגמה לקיצור אחר שנוח להוסיף הוא דרך לקבל סוגריים כפולים כמו <math>\left\Vert \cdot \right\Vert</math> ושהסמן יופיע היכן שהנקודה. הפונקציה היא <nowiki>math-delim Vert Vert</nowiki> וקיצור אפשרי הוא Alt+M 2.

* [https://www.dropbox.com/s/40ostgvplaqbovf/%D7%94%D7%95%D7%A8%D7%90%D7%95%D7%AA%20%D7%A9%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%A9%20%D7%91%D7%A7%D7%A1%D7%98%D7%A2%D7%9A%20%D7%9C%D7%99%D7%A7%D7%A1.pdf?dl=0 הוראות שימוש והתקנה] של XeTeX לליקס מאת אור יער

* [https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX מדריך מוצלח ומפורט ללאטך בוויקיספר]

* [https://huji-il.libguides.com/LyX קישורים, הדרכות ועוד] באתר הספרייה למתמטיקה ולמדעי המחשב של האוניברסיטה העברית.

* [https://tobi.oetiker.ch/lshort/lshort.pdf The not so Short Introduction to LaTeX2e] מאת Tobi Oetiker.

* [https://frommindtotype.wordpress.com/lyx-book/ LyX, The Other Way of Writing] ספר חופשי מאת Ricardo G. Berlasso.

* [http://www.math.union.edu/~niefiels/old/Symbols.pdf דף פקודות ל-TeX]

* מי שמשתמש ישירות בלאטך, יכול להוריד את קובץ הדוגמה [http://u.math.biu.ac.il/~bauerto/lyx/hebrew_xetex_article.tex hebrew_xetex_article.tex] ל-XeTeX שנוצר אוטומטית על ידי ליקס.

=התקנת גרסה ישנה ממיט"ל=

יש גרסה ישנה של LyX רק ל־Windows שמתאימה גם לכתיבת עברית. גשו ל[https://meital.iucc.ac.il/he/סל-טכנולוגיות-2/עורך-latex-לכתיבה-מתמטית-lyx/ כאן] כדי להתקין אותה על אחריותכם.

'''הערות.'''

1. הגרסה שם היא 2.3.1 שיצאה בספטמבר 2018. מאז יצאו כבר ארבע גרסאות שמתקנות כל מיני בעיות עבור מסמכים בעברית ובאגים אחרים. מומלץ לבצע את ההתקנה הידנית.

2. אם הפעלתם את ההגנה מפני כופרות של Windows Defender, תצטרכו ליצור חריגה ידנית עבור LyX, אחרת שמירת מסמכים תיכשל ללא הסבר.

3. עבודה מתוך תיקייה שמסונכרנת ל-Google Drive (אולי גם עם תוכנות אחרות), אינה אפשרית. גם במקרה זה תתקבלנה הודעות שגיאה שאינן מועילות. עִבדו מתיקייה מקומית וסנכרנו ידנית. כנראה נפתר בגרסה 2.3.4, וזו עוד סיבה להתקנה ידנית.

4. שם התיקייה המכילה את הקבצים צריך להיות באנגלית.

=חומר ישן=
לארכיון, למקרה שנתקלים בקבצי ליקס ישנים.

==הדרכה כללית==
עקבו אחרי המדריך [https://meital.iucc.ac.il/wp-content/uploads/2019/02/מדריך-ליך.pdf הבא].

יש גם מדריך לא־מעודכן של ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', אשר מופיע בלינק הבא: [http://gadial.net/Documents/LyX%20Guide.pdf התקנת ליקס בעברית בווינדוס ובלינוקס]. אם אתם עדיין מתקשים, ואנגלית איננה מהווה מכשול עבורכם, המשיכו לקריאת המדור המתאים בעבור מערכת ההפעלה שברשותכם.

==Linux==
אנא עקבו אחר ההוראות במדריך הבא (זהירות, אנגלית!): [https://wiki.lyx.org/LyX/HebrewOnLinux התקנת ליקס בעברית ללינוקס].

==macOS==
אנא עקבו אחר ההוראות במדריך הבא (זהירות, אנגלית!): [https://docs.google.com/document/d/1dC3vK-iFCz_fwCsB9fhYuIF607fw4W9Vu0PdBDhLM0E/edit התקנת ליקס בעברית למק]. אם אתם נתקלים בבעיה מוזרה כשאתם מנסים לרנדר מסמכים נסו להתקין את החבילה FixLink.pkg מהאתר של MacTex [http://pages.uoregon.edu/koch/FixLink.pkg כאן].

==Windows==
(הערה) לאחרונה מצאתי לינק נוסף עם הדרכה להתקנה,יתכן ויותר קל לעבוד לפיו: [https://sites.google.com/site/hebrewlyx/installation התקנת ליקס עברית]

מי שמעונין להתקין שפת כתיבה במתמטיקה ועברית שיעבוד לפי ההוראות המפורטות הבאות (שימו לב שהלינק להורדת miktex 2.9 שבור, השתמשו בלינק הבא: http://miktex.org/2.9/setup )

http://www.ma.huji.ac.il/~sameti/tex/lyxhebrew.html

בנוסף, בכל גרסה של word החל מ-2010, ניתן לכתוב נוסחאות באמצעות שימוש בצירוף Alt+=

אחרי שתסיימו עם לינק זה יש הגדרות נוספות שיש לשנות:

הגדלת הרווח בין השורות (ברירת המחדל צפופה מדיי) document->text layout->line spacing

=באגים נפוצים=

אם יש בעיה על מחשבי האוניברסיטה לקרוא קובץ שהכנתם על ליקס במחשב מחוץ לאוניברסיטה: יכול להיות שזה בגלל שעבדתם ב LyX2.1 כאשר המחשבים באוניברסיטה עובדים עם LyX2.0.
הפתרון הוא כשאתם רוצים להעביר את הקובץ לכו לתפריט קובץ->יצא->LyX2.0.

שימו לב אם המקלדת במצב אנגלית או עברית כאשר אתם כותבים נוסחה מתמטית.

בזמן שאתם עובדים על קובץ, ליקס יוצר עותק גיבוי עם סיומת טילדה : lyx~, ותוך כדי שהקובץ פתוח לפעמים היא שומרת גם עותק עם סיומת סולמית lyx# . אלו קבצי גיבוי, בהם LyX שומרת את העותק הלפני-אחרון שנשמר על ידיכם ואת העותק שנשמר אוטומטית. אם המחשב מאתחל את עצמו לדעת באמצע החיים, או שאירעה תאונה דומה, יש למחוק את הסימנים המעצבנים בשם הקובץ ולהופכו לקובץ LyX רגיל.

הצעות לתיקונים ושיפורים t a r q u a i @ g m a i l

קובץ:22Linear1CSQuizSol.pdf

2021-11-22T10:22:32Z

אריאל:

89-112 מבחנים

2021-11-22T10:22:20Z

אריאל: /* 2022 */

=2007=
*[[מדיה:07Linear1CSTestA.pdf| 2007 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:07Linear1CSTestB.pdf| 2007 סמסטר א מועד ב]]
=2008=
*[[מדיה:08Linear1CSTestA.pdf| 2008 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:08Linear1CSTestB.pdf| 2008 סמסטר א מועד ב]]
=2009=
*[[מדיה:09Linear1CSTestA.pdf| 2009 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:09Linear1CSTestB.pdf| 2009 סמסטר א מועד ב]]
=2010=
*[[מדיה:10Linear1CSTestA.pdf| 2010 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:10Linear1CSTestB.pdf| 2010 סמסטר א מועד ב]]
=2011=
*[[מדיה:11Linear1CSTestA.pdf| 2011 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:11Linear1CSTestB.pdf| 2011 סמסטר א מועד ב]]
=2012=
*[[מדיה:12Linear1CSTestA.pdf| 2012 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:12Linear1CSTestB.pdf| 2012 סמסטר א מועד ב]]
=2013=
*[[מדיה:13Linear1CSTestA.pdf| 2013 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:13Linear1CSTestB.pdf| 2013 סמסטר א מועד ב]]
=2014=
*[[מדיה:14Linear1CSTestA.pdf| 2014 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:14Linear1CSTestB.pdf| 2014 סמסטר א מועד ב]]
=2015=
*[[מדיה:15Linear1CSTestA.pdf| 2015 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:15Linear1CSTestB.pdf| 2015 סמסטר א מועד ב]]
=2016=
*[[מדיה:16Linear1CSTestAv2.pdf| 2016 סמסטר א מועד א]] [[מדיה:16Linear1CSsolA.pdf| 2016 סמסטר א מועד א-פתרון]]
*[[מדיה:16Linear1CSTestB.pdf| 2016 סמסטר א מועד ב]] [[מדיה:16Linear1CSsolB.pdf| 2016 סמסטר א מועד ב-פתרון]]
=2017=
*[[מדיה:17Linear1CSTestA.pdf| 2017 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:17Linear1CSTestB.pdf| 2017 סמסטר א מועד ב]]
=2022=
*[[מדיה:22Linear1CSQuiz.pdf| בוחן סמסטר א]], [[מדיה:22Linear1CSQuizSol.pdf| ופתרונו]]

89-112 מבחנים

2021-11-22T10:16:39Z

אריאל: /* 2022 */

=2007=
*[[מדיה:07Linear1CSTestA.pdf| 2007 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:07Linear1CSTestB.pdf| 2007 סמסטר א מועד ב]]
=2008=
*[[מדיה:08Linear1CSTestA.pdf| 2008 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:08Linear1CSTestB.pdf| 2008 סמסטר א מועד ב]]
=2009=
*[[מדיה:09Linear1CSTestA.pdf| 2009 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:09Linear1CSTestB.pdf| 2009 סמסטר א מועד ב]]
=2010=
*[[מדיה:10Linear1CSTestA.pdf| 2010 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:10Linear1CSTestB.pdf| 2010 סמסטר א מועד ב]]
=2011=
*[[מדיה:11Linear1CSTestA.pdf| 2011 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:11Linear1CSTestB.pdf| 2011 סמסטר א מועד ב]]
=2012=
*[[מדיה:12Linear1CSTestA.pdf| 2012 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:12Linear1CSTestB.pdf| 2012 סמסטר א מועד ב]]
=2013=
*[[מדיה:13Linear1CSTestA.pdf| 2013 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:13Linear1CSTestB.pdf| 2013 סמסטר א מועד ב]]
=2014=
*[[מדיה:14Linear1CSTestA.pdf| 2014 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:14Linear1CSTestB.pdf| 2014 סמסטר א מועד ב]]
=2015=
*[[מדיה:15Linear1CSTestA.pdf| 2015 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:15Linear1CSTestB.pdf| 2015 סמסטר א מועד ב]]
=2016=
*[[מדיה:16Linear1CSTestAv2.pdf| 2016 סמסטר א מועד א]] [[מדיה:16Linear1CSsolA.pdf| 2016 סמסטר א מועד א-פתרון]]
*[[מדיה:16Linear1CSTestB.pdf| 2016 סמסטר א מועד ב]] [[מדיה:16Linear1CSsolB.pdf| 2016 סמסטר א מועד ב-פתרון]]
=2017=
*[[מדיה:17Linear1CSTestA.pdf| 2017 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:17Linear1CSTestB.pdf| 2017 סמסטר א מועד ב]]
=2022=
*[[מדיה:22Linear1CSQuiz.pdf| 2017 בוחן סמסטר א]], [[מדיה:22Linear1CSQuizSol.pdf| 2017 ופתרונו]]

קובץ:22Linear1CSQuiz.pdf

2021-11-22T10:16:16Z

אריאל:

89-112 מבחנים

2021-11-22T10:15:58Z

אריאל:

=2007=
*[[מדיה:07Linear1CSTestA.pdf| 2007 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:07Linear1CSTestB.pdf| 2007 סמסטר א מועד ב]]
=2008=
*[[מדיה:08Linear1CSTestA.pdf| 2008 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:08Linear1CSTestB.pdf| 2008 סמסטר א מועד ב]]
=2009=
*[[מדיה:09Linear1CSTestA.pdf| 2009 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:09Linear1CSTestB.pdf| 2009 סמסטר א מועד ב]]
=2010=
*[[מדיה:10Linear1CSTestA.pdf| 2010 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:10Linear1CSTestB.pdf| 2010 סמסטר א מועד ב]]
=2011=
*[[מדיה:11Linear1CSTestA.pdf| 2011 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:11Linear1CSTestB.pdf| 2011 סמסטר א מועד ב]]
=2012=
*[[מדיה:12Linear1CSTestA.pdf| 2012 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:12Linear1CSTestB.pdf| 2012 סמסטר א מועד ב]]
=2013=
*[[מדיה:13Linear1CSTestA.pdf| 2013 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:13Linear1CSTestB.pdf| 2013 סמסטר א מועד ב]]
=2014=
*[[מדיה:14Linear1CSTestA.pdf| 2014 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:14Linear1CSTestB.pdf| 2014 סמסטר א מועד ב]]
=2015=
*[[מדיה:15Linear1CSTestA.pdf| 2015 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:15Linear1CSTestB.pdf| 2015 סמסטר א מועד ב]]
=2016=
*[[מדיה:16Linear1CSTestAv2.pdf| 2016 סמסטר א מועד א]] [[מדיה:16Linear1CSsolA.pdf| 2016 סמסטר א מועד א-פתרון]]
*[[מדיה:16Linear1CSTestB.pdf| 2016 סמסטר א מועד ב]] [[מדיה:16Linear1CSsolB.pdf| 2016 סמסטר א מועד ב-פתרון]]
=2017=
*[[מדיה:17Linear1CSTestA.pdf| 2017 סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:17Linear1CSTestB.pdf| 2017 סמסטר א מועד ב]]
=2022=
*[[מדיה:22Linear1CSQuiz.pdf| 2017 בוחן סמסטר א]] *[[מדיה:22Linear1CSQuizSol.pdf| 2017 ופתרונו]]

89-113 תשעט סמסטר קיץ

2021-10-12T20:54:56Z

אריאל: /* מערכי תרגול */

[[89-113 אלגברה לינארית 2 למדעי המחשב]]

ברוכים הבאים לקורס! :-)

מרצה: תמר בר-און

מייל: tamarnachshoni@gmail.com

מתרגל: אריאל ויצמן

=סילבוס=

אלו הנושאים שנלמד בקורס:

1. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים.

2. לכסון

3. פולינום אופייני ומשפט קיילי המילטון.

4. שילוש.

5. פולינום מינימלי.

6. משפט ז'ורדן.

7. מרחבי מכפלה פנימית.

8. מרחבים נורמיים.

9. אורתוגנליות.

10. הטלות ותהליך גראם- שמידט.

11. מרחב ניצב.

12. העתקה צמודה.

13. אופרטורים מיוחדים.

14. שילוש ולכסון אורתוגונליים.

15. מטריצות חיוביות

=מבחנים משנים קודמות=

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2018SummerTestMoedA.pdf| תשע"ח מועד א']]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2018SummerTestMoedASol.pdf|פתרון מועד א']]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2018SummerTestMoedB.pdf| תשע"ח מועד ב']]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2018SummerTestMoedBSol.pdf|פתרון מועד ב']]

=מבחנים תשע"ט=

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerTestMoedA.pdf| תשע"ט מועד א']]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerTestMoedASol.pdf| פתרון]]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerTestMoedB.pdf| תשע"ט מועד ב']]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerTestMoedBSol.pdf| פתרון]]

=מבחנים לדוגמא=

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2018SummerExampleTest1.pdf| מבחן לדוגמא 1]]

[[מדיה: LinearAlgebra2CS2018SummerExampleTest2.pdf| מבחן לדוגמא 2]]

=מערכי תרגול=
*מערכי התרגול באדיבות אחיה בר-און.
*[[מדיה:LACSS79Tirg1.pdf| תרגול 1]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg2.pdf| תרגול 2]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg3Up.pdf| תרגול 3]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg4.pdf| תרגול 4]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg5.pdf| תרגול 5]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg6.pdf| תרגול 6]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg7.pdf| תרגול 7]]
*[[מדיה:LACSS79Tirg8.pdf| תרגול 8]]

=ציונים=
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTsFqJ-WxWK_6NztAjQL55AcJj3cCgUhfZXwlhZ5dtvIzOMqL8QOjwUTcLqxzzd4reF25ATNHkQvyGI/pubhtml?gid=1361179534&single=true ציוני הבוחן]

*[[מדיה:LACSS79quizSol.pdf| פתרון הבוחן]]

= תרגילים =
*[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx1.pdf| תרגיל 1]]

**[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx1Sol.pdf| פתרון]]

*[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx2.pdf| תרגיל 2]]

**[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx2Sol.pdf| פתרון]]

*[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx3.pdf| תרגיל 3]]

**[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx3SSol.pdf| פתרון]]

*[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx4.pdf| תרגיל 4]]

**[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx4Sol.pdf| פתרון]]

*[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx5.pdf| תרגיל 5]]

**[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx5Sol.pdf| פתרון]]

*[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx6.pdf| תרגיל 6]]

**[[מדיה: LinearAlgebra2CS2019SummerEx6Sol.pdf| פתרון]]

=קישורים נחמדים=

למי שעוד לא יצא להכיר את הבלוג "לא מדויק"- הגיע הזמן. הוא טוב גם לאוהבי מתמטיקה, וגם לאוהבי מחשבים.

[https://gadial.net/2011/11/29/eigenvalues_intro/ ערכים עצמיים מי, מה, כמה, ולמה]

[https://gadial.net/2011/12/03/eigenvalues_main/ ערכים עצמיים ועכשיו ברצינות]

[https://gadial.net/2011/12/07/minimal_polynomial_and_cayley_hamillton/ השילוש הקדוש, הפולינום המינימלי ומשפט קיילי-המילטון]

[https://gadial.net/2012/01/19/markov_chains_and_linear_algebra/ ואיך לכסון קשור לגוגל]

=שאלות ותשובות=
===כותרת השאלה===
איך כותבים שאלה?
====תשובה====
עושים העתק הדבק של השאלה הזו. בכותרת כותבים את הכותרת, ובשאלה את השאלה. כל אחד מוזמן לכתוב תשובה ואנחנו נעיר הערות בהתאם.

מבחנים בבדידה

2021-10-06T16:32:37Z

אריאל: /* מתמטיקה */

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד ג קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]
* מועד א קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

קובץ:21BdidaSummerTestCSol.pdf

2021-10-06T16:31:31Z

אריאל:

קובץ:21BdidaSummerTestC.pdf

2021-10-06T16:31:11Z

אריאל:

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-10-06T16:30:25Z

אריאל: /* מבחנים */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]
== ציוני XI ובוחן==
בדקו שהציונים שלך נכונים! במידה ויש טעות - שלחו מייל למישהו מאנשי הצוות של הקורס
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vQEoXk9rPhxqJUap1itrXWaYN-6tR8uSehg0IzHJbzTVqsUkX9zoBT0yxcFi2vOJqYFwui4_Ld5v7lk/pubhtml?gid=1954152412&single=true ציוני XI ובוחן בדידה]

== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא (כולל הקבצים שכתובים בהרצאה/תירגול)]]
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

* [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]

* [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]

* [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]

==הודעות==

===שעות קבלה לקראת המבחן===

*אריאל - יום חמישי, 14-17.
*נעם - יום חמישי, 18-20.
*אלעד - יום שישי, 10:30.
*ארז - יום ראשון, 9-13.

== בוחן ==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vRru8Slsa8TzWdAShmWK1RsCauubbKuOKSgk_tfw174a5tpDqTuQNuN1caGaVcW4yDSrNb0VdATa2kB/pubhtml?gid=2097517145&single=true ציוני הבוחן]
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).

חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).

מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.

[[מדיה:BdidaSummer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

קובץ:21BdidaSummerTestBSol.pdf

2021-09-25T19:53:23Z

אריאל:

קובץ:21BdidaSummerTestB.pdf

2021-09-25T19:52:45Z

אריאל:

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-09-25T19:52:05Z

אריאל: /* מבחנים */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]
== ציוני XI ובוחן==
בדקו שהציונים שלך נכונים! במידה ויש טעות - שלחו מייל למישהו מאנשי הצוות של הקורס
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vQEoXk9rPhxqJUap1itrXWaYN-6tR8uSehg0IzHJbzTVqsUkX9zoBT0yxcFi2vOJqYFwui4_Ld5v7lk/pubhtml?gid=1954152412&single=true ציוני XI ובוחן בדידה]

== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא (כולל הקבצים שכתובים בהרצאה/תירגול)]]
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

* [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]

* [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]

==הודעות==

===שעות קבלה לקראת המבחן===

*אריאל - יום חמישי, 14-17.
*נעם - יום חמישי, 18-20.
*אלעד - יום שישי, 10:30.
*ארז - יום ראשון, 9-13.

== בוחן ==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vRru8Slsa8TzWdAShmWK1RsCauubbKuOKSgk_tfw174a5tpDqTuQNuN1caGaVcW4yDSrNb0VdATa2kB/pubhtml?gid=2097517145&single=true ציוני הבוחן]
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).

חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).

מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.

[[מדיה:BdidaSummer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

אלגברה לינארית 1/מבחנים

2021-09-12T20:20:30Z

אריאל: /* מבחנים ופתרונותיהם */

=מבחנים=

==מבחנים ופתרונותיהם==

שימו לב: בסמסטר הקיץ נבחנים התיכוניסטים, ובמועד חורף או סמסטר א' נבחנים התלמידים הבוגרים של מתמטיקה.

תשפ"א
*[[מדיה:21Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]

תש"פ
*[[מדיה:20Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]]
*[[מדיה:20Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]]

תשע"ט:
*[[מדיה:19Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:18Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]]

*[[מדיה:18Linear1ExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1ExmTestSol.pdf| פתרון מבחן דמה תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]]

תשעז:
*[[מדיה:LinearExamA2017.pdf| מועד א' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:LinearExamA2017Sol.pdf| פתרון מועד א' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה:LinearExamB2017.pdf| מועד ב' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:Linear1ExamB2017Sol.pdf| פתרון מועד ב' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה: LinAlg1-2017-MoedA.pdf| מועד א חורף תשע"ז]],[[מדיה: LinAlg1_2017_MoedA-sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע"ז]].

תשעו:
*[[מדיה:16Linear1MoedA.pdf|מועד א קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedASol.pdf|פתרון מועד א קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:16Linear1MoedB.pdf|מועד ב קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:LinAlg1TestA2016Sol.pdf|מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו]].

תשע"ה:
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015.pdf|מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]]
בפתרון של שאלה 4,ב יש טעות חישוב קלה. תשובה נכונה (מסוג אחר) מאת עידו כרמל אפשר לראות [[מדיה: IDO_CARMEL_sol2015.4.2.jpeg | כאן]].

תשע"ד:
*[[מדיה:14Linear1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמה, קיץ 2014]], [[מדיה:14Linear1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמה, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamAndSol.pdf|מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamB.pdf|מבחן מועד ב', קיץ 2014]], [[מדיה:14linear1ExamBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב', קיץ 2014]]
*[[מדיה:LA1_2014a.docx|מבחן מועד א' חורף תשעד]], [[מדיה:LA1_2014a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעד- פיתרון]]

תשע"ג:
*[[מדיה:LA1_2013a.doc|מבחן מועד א' חורף תשע"ג]], [[מדיה:LA1_2013a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעג- פיתרון]]
* [[מדיה:La1_2013a_sol.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות]]

תשע"ב:
*[[מדיה:LA1_2012a.doc|מבחן מועד א' חורף תשעב]],[[מדיה:linear1LastExam3.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעב + פתרון]]
*[[מדיה:linear1LastExam4.doc|מועד ב חורף תשעב]], [[מדיה:linear1LastExam4S.doc|מועד ב חורף תשעב-פתרון חלקי]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2012.png|מבחן מועד א' קיץ תשע"ב]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'| פתרון מועד א קיץ תשעב]]

תשע"א:
*[[מדיה:11Linear1testA.pdf|מועד א' קיץ תשעא]],[[מדיה:11Linear1TestASol.pdf|פתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest.pdf|מבחן דמה 1 קיץ תשעא]], [[אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא|פתרון חלקי למבחן הדמה]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest2.pdf|מבחן דמה 2 קיץ תשעא]], [[מדיה:11Linear1Dumbtest2Sol.pdf|פתרון מבחן דמה 2 קיץ תשעא]]
*[[מדיה:linear1LastExam5.pdf|מועד א חורף תשעא+ פתרון]]

שנת תש"ע:
*[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשע]]
*[[מדיה: 10LinearTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשע]]
*[[מדיה:linear1LastExam7.doc|מועד א חורף תשע]], [[מדיה:linear1LastExam7Sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע]]

תשס"ט:
*[[מדיה:linear1LastExam6.doc|מועד א חורף תשסט]], [[מדיה:linear1LastExam6sol.pdf|פתרון מועד א חורף תשסט]]

תשס"ח
*[[מדיה:linear1LastExam2.doc|מועד א חורף תשסח]],[[מדיה:linear1LastExam2sol.doc|פתרון מועד א חורף תשסח]]

תשס"ו
* [[מדיה:linear1LastExam1.doc|מועד א חורף תשסו]]

*[[מדיה:88-112-2011S13b.pdf|פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

*[[מדיה:24.08.20Linear1.pdf|עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

==מבחנים נוספים==

[http://u.math.biu.ac.il/~reznikov/courses/linear.html מבחנים של פרופסור רזניקוב + אוסף שאלות שכדאי לפתור לפני הבחינה]

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html מבחנים באתר של בועז צבאן]

=בחנים=

*[[מדיה:LASummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:LASummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:LASummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"פ]], [[מדיה:LASummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"פ]] (הבוחן בשנה זו היה ב XI)
*[[מדיה: LinAlg1Quiz2019Summer.pdf|בוחן קיץ תשע"ט]], [[מדיה: LinAlg1Quizsol2019Summer.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: linear1summer2018exam.pdf|בוחן קיץ תשע"ח]], [[מדיה: linear1summer2018examsol.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: 88112midexam2017.pdf| בוחן חורף תשע"ז]], [[מדיה: 88112midexam2017-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה: LinSummer2016mid.pdf|בוחן קיץ תשע"ו]], [[מדיה: LinSummer2016midSOL.pdf | ופתרונו]]
*[[מדיה:LinAlg1Quiz2016.pdf|בוחן חורף תשע"ו]], [[מדיה:LinAlg1Quiz2016-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2015SummerSolution.pdf| בוחן קיץ תשע"ה + פתרון]]
*[[מדיה:Linear1Bohan1.pdf|בוחן חורף תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2014SummerSolution.pdf|בוחן קיץ תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:13linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ג]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam1.doc|בוחן1 חורף תשע"ג]], [[מדיה:linear1SolExam1.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam2.doc|בוחן 2 חורף תשע"ג]] , [[מדיה:linear1SolExam2.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:12linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ב]],[[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1quizSol.pdf| בוחן קיץ תשע"א + פתרון]]
*[[מדיה:11Linear1FakeQuiz.pdf| בוחן דמה קיץ תשע"א]]
*[[מדיה:10Linear1BohanSol.pdf|בוחן קיץ תש"ע + פתרון]]

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשפא

2021-09-12T20:18:51Z

אריאל: /* מבחנים */

[[88-112 אלגברה לינארית 1]]

== ציוני XI ובוחן==
בדקו שהציונים שלך נכונים! במידה ויש טעות - שלחו מייל למישהו מאנשי הצוות של הקורס
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTYM0TRybMekkLllrbH27asSaR41Mgy-KGMSP0n___QIdgBB8tdYWbMwqyD-nRiB1awmooNQYaA4HAP/pubhtml?gid=378442320&single=true ציוני XI ובוחן לינארית 1]

== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]

==קישורים==

*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות והתרגולים]]
* [[אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

*[https://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא | סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא]]

==מבחנים==
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]

==שיעורי חזרה למבחן==

לקראת המבחן ייערכו מספר שיעורי חזרה. כל שיעור מיועד לתלמידי כל הקבוצות, ולא רק למי שלמד במהלך הסמסטר אצל המרצה / המתרגל המעביר את השיעור. אנא הגיעו מוכנים עם שאלות על החומר / תרגילים שתרצו לפתור.
* שיעור חזרה של ארז - יתקיים ביום ראשון 22.8 בשעות 9-13, בקישור הזום של ההרצאה.
* שיעור חזרה של גיא - יתקיים ביום ראשון 22.8 בשעות 16-18, בקישור הזום של ההרצאה.

==הודעות==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vQEW859nVncMMQqIaZ4ilKUnEPdwRd-m4AMJhZ1fySgOyr7CZrq0TlNJLr15RagwuiDECDbhSdsJWK8/pubhtml?gid=103149866&single=true ציוני בוחן]
*[[מדיה:LASummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:LASummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
פה אפשר למצוא בחנים משנים קודמות [[אלגברה לינארית 1/מבחנים]]

בוחן בלינארית 1 יתקיים בתאריך 1/8/21 בשעה 9-11

חומר: עד מרחבים וקטורים, עד השיעור של יום ראשון, 25.7.2021

[[מדיה:LA1Summer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

קובץ:21Linear1SummerTestBSol.pdf

2021-09-12T20:18:20Z

אריאל:

קובץ:21Linear1SummerTestB.pdf

2021-09-12T20:17:35Z

אריאל:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשפא

2021-09-12T20:16:26Z

אריאל: /* מבחנים */

[[88-112 אלגברה לינארית 1]]

== ציוני XI ובוחן==
בדקו שהציונים שלך נכונים! במידה ויש טעות - שלחו מייל למישהו מאנשי הצוות של הקורס
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTYM0TRybMekkLllrbH27asSaR41Mgy-KGMSP0n___QIdgBB8tdYWbMwqyD-nRiB1awmooNQYaA4HAP/pubhtml?gid=378442320&single=true ציוני XI ובוחן לינארית 1]

== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]

==קישורים==

*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות והתרגולים]]
* [[אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

*[https://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא | סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא]]

==מבחנים==
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]],[[מדיה:21Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]],[[מדיה:21Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]

==שיעורי חזרה למבחן==

לקראת המבחן ייערכו מספר שיעורי חזרה. כל שיעור מיועד לתלמידי כל הקבוצות, ולא רק למי שלמד במהלך הסמסטר אצל המרצה / המתרגל המעביר את השיעור. אנא הגיעו מוכנים עם שאלות על החומר / תרגילים שתרצו לפתור.
* שיעור חזרה של ארז - יתקיים ביום ראשון 22.8 בשעות 9-13, בקישור הזום של ההרצאה.
* שיעור חזרה של גיא - יתקיים ביום ראשון 22.8 בשעות 16-18, בקישור הזום של ההרצאה.

==הודעות==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vQEW859nVncMMQqIaZ4ilKUnEPdwRd-m4AMJhZ1fySgOyr7CZrq0TlNJLr15RagwuiDECDbhSdsJWK8/pubhtml?gid=103149866&single=true ציוני בוחן]
*[[מדיה:LASummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:LASummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
פה אפשר למצוא בחנים משנים קודמות [[אלגברה לינארית 1/מבחנים]]

בוחן בלינארית 1 יתקיים בתאריך 1/8/21 בשעה 9-11

חומר: עד מרחבים וקטורים, עד השיעור של יום ראשון, 25.7.2021

[[מדיה:LA1Summer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה

2021-08-26T14:33:57Z

אריאל: /* הרצאות אריאל */

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]
== הרצאות ארז ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]
== הרצאות אריאל ==
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]
** [https://youtu.be/pQ6L-l6GBrQ הרצאה 6, חלק 1 (החלפה של גיא)]
** [https://youtu.be/qmG8eYTxg3U הרצאה 6, חלק 2 (החלפה של גיא)]

===סיכומי הרצאות זום===
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec13.pdf |הרצאה 13]]
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec1415.pdf |הרצאות 14-15]]
*[[מדיה:Bdida81ZoomTime.pdf |שעת קבלה לקראת מבחן]], [https://youtu.be/ZTyvfPFCFMY הקלטת שעת קבלה]

==תירגולים נעם ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]

==הרצאות אלעד==
*[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/VPpVWAL9VvQ הרצאה 6 חלק 1], [https://youtu.be/MYDuU6OSRNU הרצאה 6 חלק 2] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/RBe3FHxWf7E הרצאה 7] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

==הרצאות עדי==
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]

**[https://us02web.zoom.us/rec/share/83bAe8BcUSgl8VA-R3ReSz89EL-k7roMFy3WhUAveZRZOwqqyu9ZesEG8w47h0Jn.MIRDeYVM7DZHiq5N?startTime=1626847366000 קישור להרצאה של עדי מתאריך 21.7 ]

** [https://us02web.zoom.us/rec/share/csFXJKh4CFsCzpTHG3-FhQgYaB1ObtfEMfU1g6BGCRLPS_UQHmDTE80CQ9yZxTCS.d7BPnZrgk2spKwN4 הרצאה מתאריך 26.7]

** [https://us02web.zoom.us/rec/share/2oWN2SnnHPf337OIbsuA8A6zKy6N5IykBV0TqD7k3MuRfRrckzzVS9nLnucpNJUa.jtCJeURQyvtoDQZK הרצאה מתאריך 28.7]

== תירגולים אחיה ==
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MBF6npFkF2VIJuA5eF0a405 תירגולים אחיה]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul6.pdf|תירגול 6]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul7.pdf|תירגול 7]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul8.pdf|תירגול 8]]

== תירגולים גיא ברגר ==
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]

== תרגולים גלעד ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4n8uQ3ksVtuJUWZfKAvt6JM סרטוני התרגולים]

==תרגולים עוזי==
[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPpgqQLO2uDBWoFkkR2xr6XT סרטוני התרגולים]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi7.pdf|תרגול 7- המשך יחסי סדר ופונקציות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi8.pdf|תרגול 8- תמונה ותמונה הפוכה, הרכבה, ופונקציה הפוכה]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi10.pdf|תרגול 10- עוצמות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi11.pdf|תרגול 11- עוד עצמות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi12.pdf|תרגול 12- שוב עצמות ועוד קצת עיקרון המקסימום]]

קובץ:Bdida81ZoomTime.pdf

2021-08-26T14:32:42Z

אריאל:

סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה

2021-08-26T14:32:24Z

אריאל: /* הרצאות אריאל */

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]
== הרצאות ארז ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]
== הרצאות אריאל ==
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]
** [https://youtu.be/pQ6L-l6GBrQ הרצאה 6, חלק 1 (החלפה של גיא)]
** [https://youtu.be/qmG8eYTxg3U הרצאה 6, חלק 2 (החלפה של גיא)]

===סיכומי הרצאות זום===
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec13.pdf |הרצאה 13]]
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec1415.pdf |הרצאות 14-15]]
*[[מדיה:Bdida81ZoomTime.pdf |שעת קבלה לקראת מבחן]]

==תירגולים נעם ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]

==הרצאות אלעד==
*[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/VPpVWAL9VvQ הרצאה 6 חלק 1], [https://youtu.be/MYDuU6OSRNU הרצאה 6 חלק 2] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/RBe3FHxWf7E הרצאה 7] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

==הרצאות עדי==
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]

**[https://us02web.zoom.us/rec/share/83bAe8BcUSgl8VA-R3ReSz89EL-k7roMFy3WhUAveZRZOwqqyu9ZesEG8w47h0Jn.MIRDeYVM7DZHiq5N?startTime=1626847366000 קישור להרצאה של עדי מתאריך 21.7 ]

** [https://us02web.zoom.us/rec/share/csFXJKh4CFsCzpTHG3-FhQgYaB1ObtfEMfU1g6BGCRLPS_UQHmDTE80CQ9yZxTCS.d7BPnZrgk2spKwN4 הרצאה מתאריך 26.7]

** [https://us02web.zoom.us/rec/share/2oWN2SnnHPf337OIbsuA8A6zKy6N5IykBV0TqD7k3MuRfRrckzzVS9nLnucpNJUa.jtCJeURQyvtoDQZK הרצאה מתאריך 28.7]

== תירגולים אחיה ==
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MBF6npFkF2VIJuA5eF0a405 תירגולים אחיה]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul6.pdf|תירגול 6]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul7.pdf|תירגול 7]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul8.pdf|תירגול 8]]

== תירגולים גיא ברגר ==
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]

== תרגולים גלעד ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4n8uQ3ksVtuJUWZfKAvt6JM סרטוני התרגולים]

==תרגולים עוזי==
[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPpgqQLO2uDBWoFkkR2xr6XT סרטוני התרגולים]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi7.pdf|תרגול 7- המשך יחסי סדר ופונקציות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi8.pdf|תרגול 8- תמונה ותמונה הפוכה, הרכבה, ופונקציה הפוכה]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi10.pdf|תרגול 10- עוצמות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi11.pdf|תרגול 11- עוד עצמות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi12.pdf|תרגול 12- שוב עצמות ועוד קצת עיקרון המקסימום]]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-08-25T14:13:06Z

אריאל: /* שעות קבלה לקראת המבחן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]
== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]
==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא (כולל הקבצים שכתובים בהרצאה/תירגול)]]
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

=

==הודעות==

===שעות קבלה לקראת המבחן===

*אריאל - יום חמישי, 14-17.
*נעם - יום חמישי, 18-20.
*אלעד - יום שישי, 10:30.
*ארז - יום ראשון, 9-13.

== בוחן ==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vRru8Slsa8TzWdAShmWK1RsCauubbKuOKSgk_tfw174a5tpDqTuQNuN1caGaVcW4yDSrNb0VdATa2kB/pubhtml?gid=2097517145&single=true ציוני הבוחן]
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).

חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).

מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.

[[מדיה:BdidaSummer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-08-25T14:03:50Z

אריאל: /* שעות קבלה לקראת המבחן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]
== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]
==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא (כולל הקבצים שכתובים בהרצאה/תירגול)]]
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

=

==הודעות==

===שעות קבלה לקראת המבחן===

*אריאל - יום חמישי, 14-17.
*נעם - יום חמישי,
*אלעד - יום שישי, 10:30.
*ארז - יום ראשון, 9-13.

== בוחן ==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vRru8Slsa8TzWdAShmWK1RsCauubbKuOKSgk_tfw174a5tpDqTuQNuN1caGaVcW4yDSrNb0VdATa2kB/pubhtml?gid=2097517145&single=true ציוני הבוחן]
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).

חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).

מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.

[[מדיה:BdidaSummer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא

2021-08-25T14:03:02Z

אריאל: /* הודעות */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]
== נוכחות קורונה ==
נא למלא כל יום שלומדים (גם) פרונטלי
[https://docs.google.com/forms/d/1HeZW5u3PTCAZ9IO0OdWOmFl5Fl6CCLpclt93_NajNNQ/edit?ts=6106abd3 נוכחות קורונה]
==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא (כולל הקבצים שכתובים בהרצאה/תירגול)]]
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

==מבחנים==

* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]

=

==הודעות==

===שעות קבלה לקראת המבחן===

*אריאל - יום חמישי, 14-17.

== בוחן ==
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vRru8Slsa8TzWdAShmWK1RsCauubbKuOKSgk_tfw174a5tpDqTuQNuN1caGaVcW4yDSrNb0VdATa2kB/pubhtml?gid=2097517145&single=true ציוני הבוחן]
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).

חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).

מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.

[[מדיה:BdidaSummer2021MidlleExamInstructions.pdf | הוראות לבוחן]]

קובץ:LinAlgSum81Time.pdf

2021-08-23T08:20:31Z

אריאל:

סיכומי תרגולי זום

2021-08-23T08:20:04Z

אריאל:

קובץ:LinAlgSum81Les9.pdf

2021-08-01T18:52:50Z

אריאל:

סיכומי תרגולי זום

2021-08-01T18:52:25Z

אריאל:

קובץ:Bdida81ZoomLec1415.pdf

2021-07-29T11:22:34Z

אריאל:

סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה

2021-07-29T11:22:20Z

אריאל: /* סיכומי הרצאות זום */

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]
== הרצאות ארז ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]
== הרצאות אריאל ==
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]
** [https://youtu.be/pQ6L-l6GBrQ הרצאה 6, חלק 1 (החלפה של גיא)]
** [https://youtu.be/qmG8eYTxg3U הרצאה 6, חלק 2 (החלפה של גיא)]

===סיכומי הרצאות זום===
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec13.pdf |הרצאה 13]]
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec1415.pdf |הרצאות 14-15]]

==תירגולים נעם ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]

==הרצאות אלעד==
*[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/VPpVWAL9VvQ הרצאה 6 חלק 1], [https://youtu.be/MYDuU6OSRNU הרצאה 6 חלק 2] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/RBe3FHxWf7E הרצאה 7] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

==הרצאות עדי==
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]

**[https://us02web.zoom.us/rec/share/83bAe8BcUSgl8VA-R3ReSz89EL-k7roMFy3WhUAveZRZOwqqyu9ZesEG8w47h0Jn.MIRDeYVM7DZHiq5N?startTime=1626847366000 קישור להרצאה של עדי מתאריך 21.7 ]

** [https://us02web.zoom.us/rec/share/csFXJKh4CFsCzpTHG3-FhQgYaB1ObtfEMfU1g6BGCRLPS_UQHmDTE80CQ9yZxTCS.d7BPnZrgk2spKwN4 הרצאה מתאריך 26.7]

== תירגולים אחיה ==
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MBF6npFkF2VIJuA5eF0a405 תירגולים אחיה]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul6.pdf|תירגול 6]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul7.pdf|תירגול 7]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul8.pdf|תירגול 8]]

== תירגולים גיא ברגר ==
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]

== תרגולים גלעד ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4n8uQ3ksVtuJUWZfKAvt6JM סרטוני התרגולים]

==תרגולים עוזי==
[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPpgqQLO2uDBWoFkkR2xr6XT סרטוני התרגולים]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi7.pdf|תרגול 7- המשך יחסי סדר ופונקציות]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi8.pdf|תרגול 8- תמונה ותמונה הפוכה, הרכבה, ופונקציה הפוכה]]

קובץ:Bdida81ZoomLec13.pdf

2021-07-27T15:31:17Z

אריאל:

סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה

2021-07-27T15:31:04Z

אריאל: /* הרצאות אריאל */

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]
== הרצאות ארז ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]
== הרצאות אריאל ==
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]
** [https://youtu.be/pQ6L-l6GBrQ הרצאה 6, חלק 1 (החלפה של גיא)]
** [https://youtu.be/qmG8eYTxg3U הרצאה 6, חלק 2 (החלפה של גיא)]

===סיכומי הרצאות זום===
*[[מדיה:Bdida81ZoomLec13.pdf |הרצאה 13]]

==תירגולים נעם ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]

==הרצאות אלעד==
*[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/VPpVWAL9VvQ הרצאה 6 חלק 1], [https://youtu.be/MYDuU6OSRNU הרצאה 6 חלק 2] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

*[https://youtu.be/RBe3FHxWf7E הרצאה 7] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]

==הרצאות עדי==
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]

**[https://us02web.zoom.us/rec/share/83bAe8BcUSgl8VA-R3ReSz89EL-k7roMFy3WhUAveZRZOwqqyu9ZesEG8w47h0Jn.MIRDeYVM7DZHiq5N?startTime=1626847366000 קישור להרצאה של עדי מתאריך 21.7 ]

== תירגולים אחיה ==
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MBF6npFkF2VIJuA5eF0a405 תירגולים אחיה]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul6.pdf|תירגול 6]]
*[[מדיה:badida2021summerTirgul7.pdf|תירגול 7]]

== תירגולים גיא ברגר ==
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]

== תרגולים גלעד ==
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4n8uQ3ksVtuJUWZfKAvt6JM סרטוני התרגולים]

==תרגולים עוזי==
[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPpgqQLO2uDBWoFkkR2xr6XT סרטוני התרגולים]
*[[מדיה:badida2021summerTirgulUzi7.pdf|תרגול 7- המשך יחסי סדר ופונקציות]]