Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2014-01-19T11:41:57Z

לידור.א.:

* [[מדיה: Discrete_2014_HW01.pdf| תרגיל בית 1]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW01S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW02.pdf| תרגיל בית 2]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW02S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW03.pdf| תרגיל בית 3]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW03S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW04.pdf| תרגיל בית 4]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW04S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW05.pdf| תרגיל בית 5]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW05S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW06.pdf| תרגיל בית 6]]

* [[מדיה: Discrete_2014_HW07.pdf| תרגיל בית 7]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW07S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW08.pdf| תרגיל בית 8]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW08S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW09.pdf| תרגיל בית 9]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW09S.pdf|פיתרון]]).

'''אין חובת הגשה לתרגיל 9'''

קובץ:Discrete 2014 HW08S.pdf

2014-01-19T11:41:36Z

לידור.א.: פתרון לתרגיל בית 8 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

פתרון לתרגיל בית 8 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2014-01-19T11:38:15Z

לידור.א.:

* [[מדיה: Discrete_2014_HW01.pdf| תרגיל בית 1]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW01S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW02.pdf| תרגיל בית 2]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW02S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW03.pdf| תרגיל בית 3]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW03S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW04.pdf| תרגיל בית 4]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW04S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW05.pdf| תרגיל בית 5]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW05S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW06.pdf| תרגיל בית 6]]

* [[מדיה: Discrete_2014_HW07.pdf| תרגיל בית 7]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW07S.pdf|פיתרון]]).

* [[מדיה: Discrete_2014_HW08.pdf| תרגיל בית 8]]

* [[מדיה: Discrete_2014_HW09.pdf| תרגיל בית 9]] ([[מדיה: Discrete_2014_HW09S.pdf|פיתרון]]).

'''אין חובת הגשה לתרגיל 9'''

קובץ:Discrete 2014 HW05S.pdf

2014-01-19T11:37:12Z

לידור.א.: פתרון לתרגיל בית 5 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

פתרון לתרגיל בית 5 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

קובץ:Discrete 2014 HW08.pdf

2014-01-07T11:29:20Z

לידור.א.: לידור.א. העלה גרסה חדשה של הקובץ קובץ:Discrete 2014 HW08.pdf: תיקון

שיעורי בית מספר 8 בדידה חורף תשע"ד

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2014-01-07T11:26:18Z

לידור.א.:

דף זה כולל קישורים והנחיות לגבי תרגילי הבית.

==תרגיל 1==
[[מדיה: Discrete_2014_HW01.pdf| תרגיל בית 1]]
* [[מדיה: Discrete_2014_HW01S.pdf| פיתרון 1]]

==תרגיל 2==
[[מדיה: Discrete_2014_HW02.pdf| תרגיל בית 2]]
* [[מדיה: Discrete_2014_HW02S.pdf| פיתרון 2]]

==תרגיל 3==
'''שימו לב: שאלות 5, 6 תוקנו!'''

יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-12 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW03.pdf| תרגיל בית 3]]
* [[מדיה: Discrete_2014_HW03S.pdf| פיתרון 3]]

==תרגיל 4==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-19 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW04.pdf| תרגיל בית 4]]

==תרגיל 5==
'''שימו לב: הקובץ עודכן'''

יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-15 בדצמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW05.pdf| תרגיל בית 5]]

==תרגיל 6==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-22 בדצמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW06.pdf| תרגיל בית 6]]

==תרגיל 7==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-29 בדצמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW07.pdf| תרגיל בית 7]]

==תרגיל 8==
'''שימו לב: הקובץ עודכן'''

יש להגיש עד ה-12 בינואר (שתי הקבוצות).

[[מדיה: Discrete_2014_HW08.pdf| תרגיל בית 8]]

קובץ:Discrete 2014 HW08.pdf

2014-01-07T11:23:55Z

לידור.א.: לידור.א. העלה גרסה חדשה של הקובץ קובץ:Discrete 2014 HW08.pdf: תיקון תרגיל בית 8 בדידה חורף תשע"ד

שיעורי בית מספר 8 בדידה חורף תשע"ד

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2014-01-04T10:33:04Z

לידור.א.:

דף זה כולל קישורים והנחיות לגבי תרגילי הבית.

==תרגיל 1==
[[מדיה: Discrete_2014_HW01.pdf| תרגיל בית 1]]
* [[מדיה: Discrete_2014_HW01S.pdf| פיתרון 1]]

==תרגיל 2==
[[מדיה: Discrete_2014_HW02.pdf| תרגיל בית 2]]
* [[מדיה: Discrete_2014_HW02S.pdf| פיתרון 2]]

==תרגיל 3==
'''שימו לב: שאלות 5, 6 תוקנו!'''

יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-12 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW03.pdf| תרגיל בית 3]]
* [[מדיה: Discrete_2014_HW03S.pdf| פיתרון 3]]

==תרגיל 4==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-19 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW04.pdf| תרגיל בית 4]]

==תרגיל 5==
'''שימו לב: הקובץ עודכן'''

יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-15 בדצמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW05.pdf| תרגיל בית 5]]

==תרגיל 6==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-22 בדצמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW06.pdf| תרגיל בית 6]]

==תרגיל 7==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-29 בדצמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW07.pdf| תרגיל בית 7]]

==תרגיל 8==
יש להגיש עד ה-12 בינואר (שתי הקבוצות).

[[מדיה: Discrete_2014_HW08.pdf| תרגיל בית 8]]

קובץ:Discrete 2014 HW08.pdf

2014-01-04T10:31:34Z

לידור.א.: שיעורי בית מספר 8 בדידה חורף תשע"ד

שיעורי בית מספר 8 בדידה חורף תשע"ד

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2013-12-04T09:30:49Z

לידור.א.: /* תרגיל 5 */

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2013-12-04T09:30:35Z

לידור.א.: /* תרגיל 5 */

קובץ:Discrete 2014 HW05.pdf

2013-12-04T09:24:35Z

לידור.א.: לידור.א. העלה גרסה חדשה של הקובץ קובץ:Discrete 2014 HW05.pdf

שיעורי בית 5 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד (מודרך)

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-12-04T08:57:00Z

לידור.א.: /* תרגיל 5 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== מה זה סדרת קבוצות? ==

ב"ה

בשאלה 6 מדובר על "סדרת קבוצות",

מה הכוונה "סדרת קבוצות"?

יש אפשרות לקבל הגדרה?

האם זו סדרת קבוצות:

A:={{1},{2},{3}...{n}}

?

תודה רבה!!

:*סדרת קבוצות מוגדרת באופן דומה לסדרות של מספרים ממשיים באינפי. כלומר, לכל מספר טבעי מתאימים קבוצה.
:לדוגמה, נוכל להגדיר סדרת קבוצות <math>({A_n})</math> באופן הבא: <math>{A_n}: = \{ n\} </math>. אז נקבל את סדרת הקבוצות <math>\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\{ 4\} ,\{ 5\} ,...</math>.
:דוגמה נוספת היא אם נגדיר סדרה <math>({B_n})</math> על ידי ההגדרה באינדוקציה הבאה:
: <math>{B_0}: = \emptyset </math>
: <math>{B_{n + 1}}: = \{ {B_n}\} </math>
: במקרה הזה נקבל את סדרת הקבוצות <math>\emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} \} ,\{ \{ \{ \emptyset \} \} \} ,...</math>.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== שאלה בקומבינטוריקה ==

בספינה תועה נמצאו 20 ילדים.
הילדים לא זוכרים את יום הולדתם.
מה מספר האפשרויות לחלק להם ימי הולדת, כך שבדיוק שניי ילדים יקבלו יום זהה, ושאר הילדים יקבלו, כל אחד , יום הולדת שונה משלו.

בשנה יש 365 ימים.

נניח שבחרתי לשניי הילדים עם היום הולדת הזה, יום כלשהו מתוך ה-365 ימים. יש 365 אפשרויות לבחירה הזו.

כעת, שאר הילדים (18) צריכים לקבל כל אחד, יום הולדת שונה.

כלומר הם יכולים לקבל את מספר הצירופים של 18 מספרים שונים מתוך 364, שזה אם אני מבין נכון: <math>\binom{364}{18}</math>.

לכן בסך הכל התשובה היא <math>365 * \binom{364}{18}</math> ???

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
החישוב שלך נותן את מספר האפשרויות לבחור את התאריכים השונים (התאריך של היום הולדת הכפול ועוד 18 תאריכים לשאר ימי ההולדת)
אבל מתעלם מכך שבכל סידור כזה לכל ילד יש מספר תאריכים שונים בהם יכול להיות לו יום הולדת..(יכול להיות שילד א הוא הראשון שיש לו יומהולדת בשנה ויכול להיות שהוא השני גם אם התאריכים נשארים זהים זו כבר לא אותה חלוקה)
ככה שאם נותנים שמות לילדים התשובה כבר לא מדויקת.

:*כמו שנכתב לעיל, עליך לקחת בחשבון גם שהילדים שונים. דרך אחת לפתור את השאלה היא לבחור 2 ילדים מתוך ה20, <math>\binom{20}{2}</math>,
:ולבחור תאריך עבורם, 365 אופציות. לאחר מכן לבחור 18 תאריכים שונים מהתאריכים הנותרים, עם חשיבות לסדר כדי לקחת בחשבון את השוני בין
:הילדים: <math>\frac{364!}{346!}</math>. בסה"כ יוצא שמספר האופציות הוא <math>\binom{20}{2}*\frac{364!}{346!}*365</math>
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== שאלה בקומבינטוריקה ==

תהי {A={1,2,3,4,5,6,7,8 , ותהי S תת קבוצה של (P(A, משפחה של תת-קבוצות של A.

א'. נתון שבכל קבוצה ב-S יש 4 איברים וכל איבר של A שייך ל-3 קבוצות ב-S.
כמה קבוצות יש ב-S?

ניסיתי לקחת כל פעם 4 איברים מ-A כשבהתחלה אני לוקח את ה-4 הראשונים, אחר כך את ה-4 השניים, אחר כך את ה-4 השלישיים וכו'.
קבלתי את הקבוצות הבאות: (זה נראה לי קרוב לפתרון, אבל זה לא הפתרון, כי אצלי יוצא שכל איבר מופיע ב-4 קבוצות ב-S ולא ב3).
אלה הקבוצות שקבלתי:

{8,1,2,3},{7,8,1,2},{6,7,8,1},{5,6,7,8},{4,5,6,7},{3,4,5,6},{2,3,4,5},{1,2,3,4}

אבל כל איבר של A שייך ל-4קבוצות כאן, אם אני לא טועה.

בסעיף ב' שואלים:

האם יתכן שבכל קבוצה ב-S יש 3 איברים וכל איבר של A שייך ל-5 קבוצות ב-S.

אשמח לעזרה בשניי הסעיפים, ואם אפשר להכליל את הרעיון בהן לקבוצה A כלשהי...אשמח לדעת מה הרעיון בדיוק.

תודה מראש!

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
אם במקום למצוא דוגמא בסעיף א תניח שזה אפשרי (מה שנכון) ותבדוק לפי הנתונים מה סך האיברים בתוך הקבוצות השונות של S ואז
תחלק במספר האיברים בכל קבוצה ב S תגיע לתשובה..
אח"כ סעיף ב כבר פשוט.

:*הרעיון כאן הוא אכן ספירת איברים. בשני הסעיפים עליך להשוות את המספר האיברים בקבוצה A הנתונה למספר האיברים בתוך הקבוצות בS, כאשר
:הוא מחולק במספר המופעים של כל איבר.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== קומבינטוריקה ==

בחפיסת קלפים יש 52 קלפים (13 מכל סוג-עלה,תלתן,לב,יהלום).
26 מכל צבע-שחור ואדום). בכמה דרכים שונות אפשר לבחור:
א'. מלך ומלכה (שניי קלפים):
פתרון: zz 4^2 zz 4 אפשרויות למלך ו-4 אפשרויות למלכה.

ב'. מלך או מלכה (קלף אחד):

פתרון: 4 אפשרויות למלך ועוד 4 אפשרויות למלכה (סה"כ 8 אפשרויות)

ג'. מלך וקלף אדום (שניי קלפים):

כאן אני לא ממש יודע..מלך הרי יכול להיות או אדום או שחור. אם בחרתי מלך אדום, יש לכך 2 אפשרויות (יהלום או לב). כעת נותרו עוד 25 קלפים אדומים. לכן סה"כ 25*2.
מאידך, אם בחרתי מלך שחור, יש לכך 2 אפשרויות (תלתן או עלה). כעת יש 26 קלפים אדומים שמתוכם בוחרים קלף אדום. לכן סה"כ: 26*2.

אם כך, מה התשובה לסעיף ג'?

ד'.מלך או קלף אדום (קלף אחד)

גם כאן אני לא בטוח...
פתרון:4 אפשרויות למלך. אבל אם המלך אדום, אז נשארו פחות אדומים שמתוכם עליי לבחור קלף אדום. אם המלך שחור, מספר האדומים עבור הקלף האדום הוא 26.

אשמח לדעת אם צדקתי ב-א' ו-ב', ואשמח להסבר עבור סעיפים ג',ד'.

תודה מראש!

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
סעיפים א וב נראים סבבה
בסעיף ד אתה סתם מסתבך פשוט תחשוב כמה קלפים הם או אדומים או מלכים אם אתה כבר זוכר לא לספור מלכים אדומים פעמיים,זה כבר ממש פשוט..
ובסעיף ג הכיוון נכון תחלק למכים אדומים ושחורים.
בשביל המלכים השחורים החישוב ממש פשוט
בשביל המלכים האדומים בהתחלה תניח שאתה רוצה עוד קלף אדום שהוא לא מלך ואז זה אמור להיות קל ובסוף תזכו להוסיף את האפשרות של שתי המלכים האדומים..בהצלחה!

:*סעיפים א' וב' נכונים. בקשר לג', חילקת את מספר האופציות לשתי קבוצות, או שהמלך שחור או שהוא אדום, כל שנותר לך הוא לסכום את שתי האופציות הללו ולקבל את התוצאה המבוקשת.
:בסעיף ד' כמו שנאמר לעיל פשוט תחשב כמה קלפים הם או מלכים או אדומים.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== תרגיל 5 ==

באופן כללי, איך מוכחים שיחס טרנזיטיבי הוא היחס הטרנזיטיבי הקטן ביותר המכיל את היחס R?
אני לא מצליחה להבין איך לגשת לשאלה 2.
האם עליי לקחת איבר שנמצא בחיתוך של B ולהוכיח שהוא נמצא בT? ואם כן, איך מוגדרת הקבוצה חיתוך B? על ידי החיתוך של כל הקבוצות הטרנזיטיביות על A? ז"א שיש T1, T2 וכו...?
תודה מראש :)

:*<math>\bigcap B </math> הוא חיתוך כל היחסים הטרנזיטיביים על A '''שמכילים את R'''.
:בקשר להכלה, ניתן לעשות את זה בדרך של לקחת איבר באגף אחד ולהראות שהוא באגף אחר, אבל מעצם הגדרת <math>\bigcap B </math> אפשר להוכיח את
:זה גם בדרך קלה וישירה יותר. בכל מקרה שתי הדרכים יתקבלו.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

קובץ:Discrete 2014 HW05.pdf

2013-11-29T08:47:33Z

לידור.א.: שיעורי בית 5 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד (מודרך)

שיעורי בית 5 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד (מודרך)

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2013-11-29T08:37:03Z

לידור.א.:

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-11-27T12:33:10Z

לידור.א.: /* קומבינטוריקה */

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-11-27T12:28:12Z

לידור.א.: /* שאלה בקומבינטוריקה */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== מה זה סדרת קבוצות? ==

ב"ה

בשאלה 6 מדובר על "סדרת קבוצות",

מה הכוונה "סדרת קבוצות"?

יש אפשרות לקבל הגדרה?

האם זו סדרת קבוצות:

A:={{1},{2},{3}...{n}}

?

תודה רבה!!

:*סדרת קבוצות מוגדרת באופן דומה לסדרות של מספרים ממשיים באינפי. כלומר, לכל מספר טבעי מתאימים קבוצה.
:לדוגמה, נוכל להגדיר סדרת קבוצות <math>({A_n})</math> באופן הבא: <math>{A_n}: = \{ n\} </math>. אז נקבל את סדרת הקבוצות <math>\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\{ 4\} ,\{ 5\} ,...</math>.
:דוגמה נוספת היא אם נגדיר סדרה <math>({B_n})</math> על ידי ההגדרה באינדוקציה הבאה:
: <math>{B_0}: = \emptyset </math>
: <math>{B_{n + 1}}: = \{ {B_n}\} </math>
: במקרה הזה נקבל את סדרת הקבוצות <math>\emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} \} ,\{ \{ \{ \emptyset \} \} \} ,...</math>.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== שאלה בקומבינטוריקה ==

בספינה תועה נמצאו 20 ילדים.
הילדים לא זוכרים את יום הולדתם.
מה מספר האפשרויות לחלק להם ימי הולדת, כך שבדיוק שניי ילדים יקבלו יום זהה, ושאר הילדים יקבלו, כל אחד , יום הולדת שונה משלו.

בשנה יש 365 ימים.

נניח שבחרתי לשניי הילדים עם היום הולדת הזה, יום כלשהו מתוך ה-365 ימים. יש 365 אפשרויות לבחירה הזו.

כעת, שאר הילדים (18) צריכים לקבל כל אחד, יום הולדת שונה.

כלומר הם יכולים לקבל את מספר הצירופים של 18 מספרים שונים מתוך 364, שזה אם אני מבין נכון: <math>\binom{364}{18}</math>.

לכן בסך הכל התשובה היא <math>365 * \binom{364}{18}</math> ???

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
החישוב שלך נותן את מספר האפשרויות לבחור את התאריכים השונים (התאריך של היום הולדת הכפול ועוד 18 תאריכים לשאר ימי ההולדת)
אבל מתעלם מכך שבכל סידור כזה לכל ילד יש מספר תאריכים שונים בהם יכול להיות לו יום הולדת..(יכול להיות שילד א הוא הראשון שיש לו יומהולדת בשנה ויכול להיות שהוא השני גם אם התאריכים נשארים זהים זו כבר לא אותה חלוקה)
ככה שאם נותנים שמות לילדים התשובה כבר לא מדויקת.

:*כמו שנכתב לעיל, עליך לקחת בחשבון גם שהילדים שונים. דרך אחת לפתור את השאלה היא לבחור 2 ילדים מתוך ה20, <math>\binom{20}{2}</math>,
:ולבחור תאריך עבורם, 365 אופציות. לאחר מכן לבחור 18 תאריכים שונים מהתאריכים הנותרים, עם חשיבות לסדר כדי לקחת בחשבון את השוני בין
:הילדים: <math>\frac{364!}{346!}</math>. בסה"כ יוצא שמספר האופציות הוא <math>\binom{20}{2}*\frac{364!}{346!}*365</math>
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== שאלה בקומבינטוריקה ==

תהי {A={1,2,3,4,5,6,7,8 , ותהי S תת קבוצה של (P(A, משפחה של תת-קבוצות של A.

א'. נתון שבכל קבוצה ב-S יש 4 איברים וכל איבר של A שייך ל-3 קבוצות ב-S.
כמה קבוצות יש ב-S?

ניסיתי לקחת כל פעם 4 איברים מ-A כשבהתחלה אני לוקח את ה-4 הראשונים, אחר כך את ה-4 השניים, אחר כך את ה-4 השלישיים וכו'.
קבלתי את הקבוצות הבאות: (זה נראה לי קרוב לפתרון, אבל זה לא הפתרון, כי אצלי יוצא שכל איבר מופיע ב-4 קבוצות ב-S ולא ב3).
אלה הקבוצות שקבלתי:

{8,1,2,3},{7,8,1,2},{6,7,8,1},{5,6,7,8},{4,5,6,7},{3,4,5,6},{2,3,4,5},{1,2,3,4}

אבל כל איבר של A שייך ל-4קבוצות כאן, אם אני לא טועה.

בסעיף ב' שואלים:

האם יתכן שבכל קבוצה ב-S יש 3 איברים וכל איבר של A שייך ל-5 קבוצות ב-S.

אשמח לעזרה בשניי הסעיפים, ואם אפשר להכליל את הרעיון בהן לקבוצה A כלשהי...אשמח לדעת מה הרעיון בדיוק.

תודה מראש!

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
אם במקום למצוא דוגמא בסעיף א תניח שזה אפשרי (מה שנכון) ותבדוק לפי הנתונים מה סך האיברים בתוך הקבוצות השונות של S ואז
תחלק במספר האיברים בכל קבוצה ב S תגיע לתשובה..
אח"כ סעיף ב כבר פשוט.

:*הרעיון כאן הוא אכן ספירת איברים. בשני הסעיפים עליך להשוות את המספר האיברים בקבוצה A הנתונה למספר האיברים בתוך הקבוצות בS, כאשר
:הוא מחולק במספר המופעים של כל איבר.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== קומבינטוריקה ==

בחפיסת קלפים יש 52 קלפים (13 מכל סוג-עלה,תלתן,לב,יהלום).
26 מכל צבע-שחור ואדום). בכמה דרכים שונות אפשר לבחור:
א'. מלך ומלכה (שניי קלפים):
פתרון: zz 4^2 zz 4 אפשרויות למלך ו-4 אפשרויות למלכה.

ב'. מלך או מלכה (קלף אחד):

פתרון: 4 אפשרויות למלך ועוד 4 אפשרויות למלכה (סה"כ 8 אפשרויות)

ג'. מלך וקלף אדום (שניי קלפים):

כאן אני לא ממש יודע..מלך הרי יכול להיות או אדום או שחור. אם בחרתי מלך אדום, יש לכך 2 אפשרויות (יהלום או לב). כעת נותרו עוד 25 קלפים אדומים. לכן סה"כ 25*2.
מאידך, אם בחרתי מלך שחור, יש לכך 2 אפשרויות (תלתן או עלה). כעת יש 26 קלפים אדומים שמתוכם בוחרים קלף אדום. לכן סה"כ: 26*2.

אם כך, מה התשובה לסעיף ג'?

ד'.מלך או קלף אדום (קלף אחד)

גם כאן אני לא בטוח...
פתרון:4 אפשרויות למלך. אבל אם המלך אדום, אז נשארו פחות אדומים שמתוכם עליי לבחור קלף אדום. אם המלך שחור, מספר האדומים עבור הקלף האדום הוא 26.

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
סעיפים א וב נראים סבבה
בסעיף ד אתה סתם מסתבך פשוט תחשוב כמה קלפים הם או אדומים או מלכים אם אתה כבר זוכר לא לספור מלכים אדומים פעמיים,זה כבר ממש פשוט..
ובסעיף ג הכיוון נכון תחלק למכים אדומים ושחורים.
בשביל המלכים השחורים החישוב ממש פשוט
בשביל המלכים האדומים בהתחלה תניח שאתה רוצה עוד קלף אדום שהוא לא מלך ואז זה אמור להיות קל ובסוף תזכו להוסיף את האפשרות של שתי המלכים האדומים..בהצלחה!

אשמח לדעת אם צדקתי ב-א' ו-ב', ואשמח להסבר עבור סעיפים ג',ד'.

תודה מראש!

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-11-27T12:20:07Z

לידור.א.: /* שאלה בקומבינטוריקה */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== מה זה סדרת קבוצות? ==

ב"ה

בשאלה 6 מדובר על "סדרת קבוצות",

מה הכוונה "סדרת קבוצות"?

יש אפשרות לקבל הגדרה?

האם זו סדרת קבוצות:

A:={{1},{2},{3}...{n}}

?

תודה רבה!!

:*סדרת קבוצות מוגדרת באופן דומה לסדרות של מספרים ממשיים באינפי. כלומר, לכל מספר טבעי מתאימים קבוצה.
:לדוגמה, נוכל להגדיר סדרת קבוצות <math>({A_n})</math> באופן הבא: <math>{A_n}: = \{ n\} </math>. אז נקבל את סדרת הקבוצות <math>\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\{ 4\} ,\{ 5\} ,...</math>.
:דוגמה נוספת היא אם נגדיר סדרה <math>({B_n})</math> על ידי ההגדרה באינדוקציה הבאה:
: <math>{B_0}: = \emptyset </math>
: <math>{B_{n + 1}}: = \{ {B_n}\} </math>
: במקרה הזה נקבל את סדרת הקבוצות <math>\emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} \} ,\{ \{ \{ \emptyset \} \} \} ,...</math>.
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== שאלה בקומבינטוריקה ==

בספינה תועה נמצאו 20 ילדים.
הילדים לא זוכרים את יום הולדתם.
מה מספר האפשרויות לחלק להם ימי הולדת, כך שבדיוק שניי ילדים יקבלו יום זהה, ושאר הילדים יקבלו, כל אחד , יום הולדת שונה משלו.

בשנה יש 365 ימים.

נניח שבחרתי לשניי הילדים עם היום הולדת הזה, יום כלשהו מתוך ה-365 ימים. יש 365 אפשרויות לבחירה הזו.

כעת, שאר הילדים (18) צריכים לקבל כל אחד, יום הולדת שונה.

כלומר הם יכולים לקבל את מספר הצירופים של 18 מספרים שונים מתוך 364, שזה אם אני מבין נכון: <math>\binom{364}{18}</math>.

לכן בסך הכל התשובה היא <math>365 * \binom{364}{18}</math> ???

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
החישוב שלך נותן את מספר האפשרויות לבחור את התאריכים השונים (התאריך של היום הולדת הכפול ועוד 18 תאריכים לשאר ימי ההולדת)
אבל מתעלם מכך שבכל סידור כזה לכל ילד יש מספר תאריכים שונים בהם יכול להיות לו יום הולדת..(יכול להיות שילד א הוא הראשון שיש לו יומהולדת בשנה ויכול להיות שהוא השני גם אם התאריכים נשארים זהים זו כבר לא אותה חלוקה)
ככה שאם נותנים שמות לילדים התשובה כבר לא מדויקת.

:*כמו שנכתב לעיל, עליך לקחת בחשבון גם שהילדים שונים. דרך אחת לפתור את השאלה היא לבחור 2 ילדים מתוך ה20, <math>\binom{20}{2}</math>,
:ולבחור תאריך עבורם, 365 אופציות. לאחר מכן לבחור 18 תאריכים שונים מהתאריכים הנותרים, עם חשיבות לסדר כדי לקחת בחשבון את השוני בין
:הילדים: <math>\frac{364!}{346!}</math>. בסה"כ יוצא שמספר האופציות הוא <math>\binom{20}{2}*\frac{364!}{346!}*365</math>
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] ([[שיחת משתמש:לידור.א.|שיחה]])

== שאלה בקומבינטוריקה ==

תהי {A={1,2,3,4,5,6,7,8 , ותהי S תת קבוצה של (P(A, משפחה של תת-קבוצות של A.

א'. נתון שבכל קבוצה ב-S יש 4 איברים וכל איבר של A שייך ל-3 קבוצות ב-S.
כמה קבוצות יש ב-S?

ניסיתי לקחת כל פעם 4 איברים מ-A כשבהתחלה אני לוקח את ה-4 הראשונים, אחר כך את ה-4 השניים, אחר כך את ה-4 השלישיים וכו'.
קבלתי את הקבוצות הבאות: (זה נראה לי קרוב לפתרון, אבל זה לא הפתרון, כי אצלי יוצא שכל איבר מופיע ב-4 קבוצות ב-S ולא ב3).
אלה הקבוצות שקבלתי:

{8,1,2,3},{7,8,1,2},{6,7,8,1},{5,6,7,8},{4,5,6,7},{3,4,5,6},{2,3,4,5},{1,2,3,4}

אבל כל איבר של A שייך ל-4קבוצות כאן, אם אני לא טועה.

בסעיף ב' שואלים:

האם יתכן שבכל קבוצה ב-S יש 3 איברים וכל איבר של A שייך ל-5 קבוצות ב-S.

אשמח לעזרה בשניי הסעיפים, ואם אפשר להכליל את הרעיון בהן לקבוצה A כלשהי...אשמח לדעת מה הרעיון בדיוק.

תודה מראש!

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
אם במקום למצוא דוגמא בסעיף א תניח שזה אפשרי (מה שנכון) ותבדוק לפי הנתונים מה סך האיברים בתוך הקבוצות השונות של S ואז
תחלק במספר האיברים בכל קבוצה ב S תגיע לתשובה..
אח"כ סעיף ב כבר פשוט.

== קומבינטוריקה ==

בחפיסת קלפים יש 52 קלפים (13 מכל סוג-עלה,תלתן,לב,יהלום).
26 מכל צבע-שחור ואדום). בכמה דרכים שונות אפשר לבחור:
א'. מלך ומלכה (שניי קלפים):
פתרון: zz 4^2 zz 4 אפשרויות למלך ו-4 אפשרויות למלכה.

ב'. מלך או מלכה (קלף אחד):

פתרון: 4 אפשרויות למלך ועוד 4 אפשרויות למלכה (סה"כ 8 אפשרויות)

ג'. מלך וקלף אדום (שניי קלפים):

כאן אני לא ממש יודע..מלך הרי יכול להיות או אדום או שחור. אם בחרתי מלך אדום, יש לכך 2 אפשרויות (יהלום או לב). כעת נותרו עוד 25 קלפים אדומים. לכן סה"כ 25*2.
מאידך, אם בחרתי מלך שחור, יש לכך 2 אפשרויות (תלתן או עלה). כעת יש 26 קלפים אדומים שמתוכם בוחרים קלף אדום. לכן סה"כ: 26*2.

אם כך, מה התשובה לסעיף ג'?

ד'.מלך או קלף אדום (קלף אחד)

גם כאן אני לא בטוח...
פתרון:4 אפשרויות למלך. אבל אם המלך אדום, אז נשארו פחות אדומים שמתוכם עליי לבחור קלף אדום. אם המלך שחור, מספר האדומים עבור הקלף האדום הוא 26.

תשובה:(אני לא מתרגל,סתם מישהוא..)
סעיפים א וב נראים סבבה
בסעיף ד אתה סתם מסתבך פשוט תחשוב כמה קלפים הם או אדומים או מלכים אם אתה כבר זוכר לא לספור מלכים אדומים פעמיים,זה כבר ממש פשוט..
ובסעיף ג הכיוון נכון תחלק למכים אדומים ושחורים.
בשביל המלכים השחורים החישוב ממש פשוט
בשביל המלכים האדומים בהתחלה תניח שאתה רוצה עוד קלף אדום שהוא לא מלך ואז זה אמור להיות קל ובסוף תזכו להוסיף את האפשרות של שתי המלכים האדומים..בהצלחה!

אשמח לדעת אם צדקתי ב-א' ו-ב', ואשמח להסבר עבור סעיפים ג',ד'.

תודה מראש!

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2013-11-17T23:11:31Z

לידור.א.:

קובץ:Discrete 2014 HW03S.pdf

2013-11-17T23:10:31Z

לידור.א.: פתרון שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד.

פתרון שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד.

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-11-11T21:04:45Z

לידור.א.:

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-11-11T21:03:37Z

לידור.א.:

שיחה:88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף

2013-11-11T21:03:22Z

לידור.א.:

קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf

2013-11-06T15:37:34Z

לידור.א.: לידור.א. העלה גרסה חדשה של הקובץ קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf: תיקון סימונים

שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf

2013-11-06T15:32:35Z

לידור.א.: לידור.א. העלה גרסה חדשה של הקובץ קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf: תיקון תרגיל הבונוס

שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf

2013-11-06T15:30:50Z

לידור.א.: לידור.א. העלה גרסה חדשה של הקובץ קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf: שיעורי בית 3 בדידה חורף תשע"ד

שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

88-195 בדידה תשעד סמסטר חורף/תרגילים

2013-11-01T17:38:10Z

לידור.א.:

דף זה כולל קישורים והנחיות לגבי תרגילי הבית.

==תרגיל 1==
יש להגיש עד ה-3 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW01.pdf| תרגיל בית 1]]

==תרגיל 2==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-5 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW02.pdf| תרגיל בית 2]]

==תרגיל 3==
יש להגיש עד התרגול האחרון עד ה-12 בנובמבר.

[[מדיה: Discrete_2014_HW03.pdf| תרגיל בית 3]]

קובץ:Discrete 2014 HW03.pdf

2013-11-01T17:36:21Z

לידור.א.: שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

שיעורי בית 3 מתמטיקה בדידה חורף תשע"ד

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2011-02-09T12:31:24Z

לידור.א.: /* למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? */

'''חשוב!!!
''' 3.2.2011
'''שלום לכולם,
'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים [[בשני הקרוב,7.2]] בשעה 16:00.
'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
'''עדי'''

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]

=שאלות=

== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==

אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)

== חובת הגשה ==

כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.
:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?

'''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו

== תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==

מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?
:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?
:נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

== שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==

1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.

2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.
:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::תודה!

== חיוביות בשדה המרוכבים ==

איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?
:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)
::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?
:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)

== גרעין של מטריצה ==

שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!

'''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av=0\}</math>

== שאלה 3.30א ==

לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.

עדי

:את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda \le 1</math>? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)
:גם ב-ב' זה ככה או לא?
::כן, לשנות גם את סעיף ב'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 10 - שאלה 3.23א' ==

בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח
ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?
:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)
:: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)

== תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==

מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?
:זו המ"פ הסטנדרטית, ו-<math>V=\mathbb{C}^{n}</math>. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)

== משפט או לא? ==

שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)
(צל"ע=צמוד לעצמו)
:מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>[T]_{B}</math> אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)

::התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי), ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!

== 3.27 ==

אפשר רמז?

'''עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e

== ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי ==

מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?

ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?

'''עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.

'''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)

'''ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי

'''אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים

:תודה!

== בילבול קטן ==

צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*</math>?
:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!

== בקשר לסקר ההוראה ==

כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).
:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== תרגיל 11 ==

אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??
:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 11 שאלה 7 ==

אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, 5 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 11 שאלה 1 ==

כמה שאלות:
האם A נילפוטנטית?
אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A?
ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי?
תודה רבה מראש
:א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).

:ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.

:ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.
:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?
::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!
:::קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11 - שאלה 5 ==

אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.
:נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
::הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 11 - שאלה 2 ==
מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?
:(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים!

(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.
:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

::וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר).

== תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) ==

האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!
:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

== תרגול 11 ==

שלום רב,

בתרגול 11 '''שאלה 4''' נכתב ש-<math>J=J_{14}(x)</math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''. אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על <math>J-xI</math>?

תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)
::כן, זו הכוונה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11 ==

דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית.
דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן?
ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס?
תודה!
:דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
::ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?
::ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?
::ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...
::תודה רבה!
:::(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.
::::1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי <math>ImT \subset KerT</math> . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את <math>ImT^{n}</math> ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר <math>A^2=0</math> אז אין שלבים באמצע.
::::2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.
::::3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.
::::4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:32, 9 בינואר 2011 (IST)

== שאלה 6 ==

לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא?
תודה מראש
:תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה
::לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?
:אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי <math>(x-9)^5</math> ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
::תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?
:::כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)

== שאלה על הוכחה מההרצאה ==

למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה
:מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)
::תודה רבה!

== תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון ==

לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר [[מדיה:Linear2-Hashlama-Targil.pdf|כאן]]. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:19, 9 בינואר 2011 (IST)
:תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...
:שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?
::לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות ==

איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P?

:לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור <math>P^{-1}</math>.

::אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...

:::הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת <math>ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT</math> משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)

== שאלה על ג'רדון ==
למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?
:גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)

== בקשה - שיעור שלא העתקתי ==

שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!

אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי.

מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.

(את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com)

:אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.
::תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?

== המבחן ==

האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה
:לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: [http://math-wiki.com/images/7/7a/LA.pdf דף ראשון מועד א]). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== משפט פיתגורס ==

בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב:
" ממשפט פיתגורס: <math>||v||^2=|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2</math> " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!

'''אם u/||u||,v א"נ אז <math><v,u/||u||>=0</math>
:אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם.

''' אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש <math>v=v'+u/||u||</math>
תרשום את כל המשפט.
:אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה <math>{u/||u||}</math> שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v}, <math>B={u/||u||,v'}</math>. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.

== משפטים/טענות למבחן ==

האם צריך לדעת את '''כל''' המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?

:'''זו שאלה למרצים
:{{הערה|(סטודנט אחר):}} אתה מתכוון כמו במיקוד?
::אכן

== {{הערה|(מתוך [[88-113 סמסטר א' תשעא|דף הקורס]]):}} התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה. ==

כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.

'''בימים הקרובים

== מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) ==

שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה

'''אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן

== לכסון אורתוגונלי ==

שלום,
אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי]

[http://www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי]

== שאלה מתרגול ==

אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!

'''צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את <math><Tv,v> >=0</math> עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.
'''ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T

== מט' נילפוטנטית ==

למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?
תודה!

'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה
:תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)

== מה זה "דרגה דטרמיננטית"? ==

יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).
:לא משנה, הבנתי.

== שאלה למתרגלים ==

האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?
בתודה רבה!

== דימיון בין מטריצות מייצגות ==

למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?

== למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה? ==

לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.
:{{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).

::הוכחה מאוד יפה! תודה.
::רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?
:::{{לא מתרגל}} לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-<math>\mathbb F</math>. למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו (<math>\mathbb C</math>) הע"ע הם <math>\pm i</math>, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.

== למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? ==

ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה:
"נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.

את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.

בבקשה עזרה!!

:יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית. נסמן
{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:
<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0&0\\
0& \ddots &0\\
0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>
(אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)

== פתרונות של התרגילים ==

אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?
זה ממש יעזור...

== פתרונות 11 ו 12 !!! ==

מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות
אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2011-01-07T18:15:37Z

לידור.א.: /* תרגול 11 */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]

=שאלות=

== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==

אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)

== חובת הגשה ==

כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.
:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?

'''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו

== תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==

מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?
:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?
:נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

== שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==

1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.

2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.
:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::תודה!

== חיוביות בשדה המרוכבים ==

איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?
:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)
::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?
:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)

== גרעין של מטריצה ==

שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!

'''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av=0\}</math>

== שאלה 3.30א ==

לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.

עדי

:את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda \le 1</math>? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)
:גם ב-ב' זה ככה או לא?
::כן, לשנות גם את סעיף ב'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 10 - שאלה 3.23א' ==

בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח
ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?
:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)
:: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)

== תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==

מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?
:זו המ"פ הסטנדרטית, ו-<math>V=\mathbb{C}^{n}</math>. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)

== משפט או לא? ==

שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)
(צל"ע=צמוד לעצמו)
:מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>[T]_{B}</math> אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)

::התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי), ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!

== 3.27 ==

אפשר רמז?

'''עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e

== ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי ==

מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?

ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?

'''עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.

'''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)

'''ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי

'''אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים

:תודה!

== בילבול קטן ==

צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*</math>?
:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!

== בקשר לסקר ההוראה ==

כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).
:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== תרגיל 11 ==

אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??
:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 11 שאלה 7 ==

אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, 5 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 11 שאלה 1 ==

כמה שאלות:
האם A נילפוטנטית?
אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A?
ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי?
תודה רבה מראש
:א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).

:ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.

:ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.
:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?
::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!
:::קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11 - שאלה 5 ==

אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.
:נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
::הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 בינואר 2011 (IST)

== תרגיל 11 - שאלה 2 ==
מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?
:(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים!

(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.
:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) ==

האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!
:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

== תרגול 11 ==

שלום רב,

בתרגול 11 '''שאלה 4''' נכתב ש-<math>J=J_{14}(x)</math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''. אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על <math>J-xI</math>?

תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-12-31T20:30:22Z

לידור.א.: /* רציפות פונקציה */

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-27T11:07:44Z

לידור.א.: /* שאלה 3.30א */

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-27T11:07:23Z

לידור.א.: /* שאלה 3.30א */

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-12-25T17:52:34Z

לידור.א.: /* האם זה מותר? */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]

=שאלות=

== תרגיל 10 שאלה 5 ==
אני לא בטוח בשאלה הזאת כי אני לא מבין בדיוק מה הכוונה בכל שהפונקציה רציפה במידה שווה כי כשאומרים שהיא רציפה במ"ש גם "הקצוות" שלה כוללים את כל הסביבה או לא? כלומר האם היא תופסת את הסביב מימין ומשמאל??

רועי

:יש הגדרה ברורה לרציפות במ"ש. לפי התרגיל, הפונקציה מקיימת את התנאים של רציפות במ"ש בקטע. יש להוכיח שהיא רציפה בקטע (בקצוות מספיק להראות שהיא רציפה מצד אחד, כלומר הגבול החד צדדי שלה שווה לערך שלה בקצה הקטע) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:46, 25 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 1 ==

אני חושב שיש טעות בתרגיל שכן,

בתרגיל מבקשים להוכיח או להפריך שהפונקציה קבועה.

אבל ברור שאפשר להגדיר פונקציה שנותנת כפלט ערך רציונלי כש x ב (a,b) ושנותנת כפלט ערך לא רציונלי

בכל שאר הישר.(וכך בעצם מתקבלת פונקציה לא קבועה שכן היא משתנה בשלושה מקומות בין הערך הרציונלי לערך האי רציונלי).

יכול להיות שהשאלה היא האם הפונקציה קבועה בתחום (a,b)?

:הכוונה היא ב(a,b), הרי אנחנו לא יודעים כלום על הפונקציה מעבר לתחום הזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:33, 24 בדצמבר 2010 (IST)

== משפט ==

האם מותר להשתמש במשפט- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}= 1</math>?
:כן, כמו שרשום לעיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:34, 24 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 9 שאלה 6 ==

נקודות אי הרציפות הן רק בתחום ההגדרה נכון? למשל בסעיף a, הנקודה x=0 יכולה להיות נקודת אי רציפות?
גם אשמח לרמז לגבי איך אמורים למצוא נקודות אי רציפות, כי רוב הפונקציות שמה לא הצלחתי למצוא להן נקודות אי רציפות.
ושאלה אחרונה- לא צריך להוכיח שלפונקציה אין עוד נקודות רציפות חוץ מאלה שמצאתי, נכון?
תודה

===תשובה===
נקודת אי הגדרה, היא בפרט נקודת אי רציפות. יש למצוא את '''כל''' נקודות אי הרציפות, לכן יש להוכיח שהשאר רציפות.

בגדול משתמשים בעובדה שהרכבה וחלוקה של רציפות בנקודה היא רציפה בנקודה, אלא אם המכנה הוא אפס או הפונקציה אינה מוגדרת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:35, 24 בדצמבר 2010 (IST)
:אז לכל אחת מהפונקציות בשאלה אני צריך גם להוכיח שלא קיימות עוד נקודות רציפות? זה לא קצת יותר מדי? בנוסף, אני לא חושב שאני יודע איך מוכיחים רציפות עבור אינסוף נקודות! ולגבי נקודות אי ההגדרה, אז אם פונקציה לא מוגדרת למשל כאשר x<0, אז כל נקודה x<0 היא גם נקודת אי רציפות?
::הסברתי איך מוכיחים. חלוקה או הרכבה של רציפות. זה בדיוק משפט אחד (והרי ידוע על רוב הפונקציות הנתונות מתי הן רציפות ומתי הן מוגדרות). לרוב אנחנו לא נותנים שאלות עם אינסוף נקודות רציפות אבל '''ברור''' שפונקציה אינה רציפה בנקודות בהן אינה מוגדרת... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:23, 24 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 9- שאלה 2 ==

הפתרונות אמורים להיות שורה אחת, או שלא הבנתי משהו?

:תלוי מה השורה הזו. אפשר להשתמש בגבולות ידועים, במשפטי אריתמטיקה והרכבה וכדומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:38, 24 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 9 שאלה 3 ==

מהי ה'''הגדרה''' של הגבול של <math>f(2x)-f(x)</math> כש-x שואף לאינסוף לפי קושי? ולפי היינה? והאם מותר להשתמש באריתמטיקה של גבולות?

:מה זאת אומרת? זו בדיוק אותה הגדרה עבור פונקציה כללית <math>g(x)</math> כאשר מגדירים <math>g(x)=f(2x)-f(x)</math>. מותר להשתמש באריתמטיקה אם אתה יודע את הגבולות של <math>f(x),f(2x)</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:05, 24 בדצמבר 2010 (IST)

::תודה!

== כולל אינסוף? ==

בכל הגבולות שמדובר עליהם בתרגילים האלו, האם זה כולל גבול של אינסוף ומינוס אינסוף?

הן בגבולות שאנחנו צריכים למצוא, והן בגבולות שנתון למשל שהגבול שווה ל-a.

:כשצריך למצוא יוצא מה שיוצא. אם זה מתכנס במובן הרחב לאינסוף יש להראות את זה. גבול בנקודה a הוא גבול בנקודה ממשית ולא באינסוף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:47, 24 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 9 שאלה 4 ==

מה זה אומר: "פונקציה ממשית"? היא יכולה לשאןף לאינסוף כש-x שואף לאינסוף?

:פונקציה ממשית היא למעשה הפונקציה העיקרית שאנו מדברים עליה. פונקציה <math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>. בוודאי שהיא יכולה לשאוף לאינסוף, את כל הגבולות של פונקציות הגדרה בכלל על פונקציות ממשיות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:21, 25 בדצמבר 2010 (IST)

== תרגיל 9 שאלה 5 ==

הגעתי לזה שלכל <math>\mu>0</math> קיים <math>\epsilon>0</math> כך ש-<math>0<|f(x)-a|<\epsilon</math> גורר <math>|g(f(x))-g(a)|<\mu</math>,

וגם לזה שלכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך ש-<math>0<|x-x_0|<\delta</math> גורר <math>|f(x)-a|<\epsilon</math>.

אז בעצם לכל <math>\mu>0</math> קיימים <math>\delta,\epsilon>0</math> כך ש-<math>0<|x-x_0|<\delta</math> גורר <math>|f(x)-a|<\epsilon</math> וכל מה שאני צריכה זה להשתמש בזה ש-<math>0<|f(x)-a|<\epsilon</math> גורר <math>|g(f(x))-g(a)|<\mu</math>, ומ.ש.ל,

אבל <math>|f(x)-a|<\epsilon</math> ולא בהכרח <math>0<|f(x)-a|<\epsilon</math>. אז מה עושים??

עזרה? תודה מראש!

:עלה לי רעיון להפריד למקרים, ונראה לי שזה עובד. אז לא משנה.

== האם זה מותר? ==

אני לא מצליחה לנסח מתמטית את החוק, אז אתן דוגמה: האם <math>limxsin(1/x)=lim(siny/y)</math>, כש- <math>y=1/x</math>, בגבול הראשון x שואף לאינסוף, ובגבול השני y שואף ל-0?

כלומר האם מותר להציב y שיהיה תלוי ב-x ולראות לאן הוא שואף...

ואם כן, אז מהו החוק בניסוח מתמטי?
: מה הבעיה לכתוב ככה? xsin1/x = (sin1/x)/(1/x)h כאן זה ש-x שואף לאינסוף.. אבל הגבול של זה.. שווה לגבול של sinx/x כאשר x שואף ל-0, כי הרי אחד חלקי איקס שואף ל-0... אני לא חושבת שזה ממש חוק.... זה פשוט לשנות את הביטוי למשהו שאת יודעת לעבוד איתו..

::כן, תודה, זה מה שגם אני חושבת, אבל לא הוכחנו שזה מותר, והרי צריך להוכיח כל דבר (אם הוכחנו אפילו ש-<math>0*a=0</math>, אז..). אשמח לתשובת מתרגל/ת.

:(לא מתרגל)מותר לבצע הצבות בחישוב הגבול באופן הנ"ל על פי משפט שהוכחנו: גבול של פונקציה מורכבת. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 19:52, 25 בדצמבר 2010 (IST)

== צמצום פונקציה ==

האם צריך לנמק שהגבול של <math>(x^2-4)/(x-2)</math> שווה לזה של <math>x+2</math>? (זו סתם דוגמה במקום שאלה כללית) ואיך מנמקים?
:בדיוק איך שהגעת לזה שזה שווה לגבול של x+2... הרי x^2-4 = (x-2)(x+2( j ואז אתה פשוט מצמצם...... ובעצם יוצא שזה שווה ל- x+2
לא הבנתי מה השאלה..

::התכוונתי, האם צריך לנמק שהגבול של הפונקציה אחרי צמצום שווה לגבול המקורי. הרי עבור <math>f(x)=(x^2-4)/(x-2)</math>, <math>g(x)=x+2</math>, טעות להגיד ש-<math>f(x)=g(x)</math>.

== נקודות אי רציפות==

נאבד לי הדף עם המיון, האם זה:

1. סוג ראשון: קיים גבול מימין ומשמאל אבל הם שונים

2. סוג שני: לפחות גבול חד צדדי אחד - לא קיים

3. נקודת סליקה: הפונקציה לא מוגדרת בנקודה זו

אם כך, נקודה אחת יכולה להיות מכמה סוגים?

: סליקה: הגבולות החד צדדים שווים אבל הנקודה לא מוגדרת או פשוט הערך של הפונקציה בנקודה שונה מהגבול בנקודה, זה שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה לא הופך אותה לסליקה... יכול להיות נקודה ממין ראשון או שני שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה..... ולא, לא יכול להיות שהגבולות החד צדדים בנקודה מסויימת גם שווים גם שונים וגם שאחד מהם או שניהם לא קיימים.... (אני לא בטוחה ב-100% במה שאני אומרת, אבל ככה ניראה לי בכל אופן)

::תודה!!

== תרגיל 9- שאלה 3 ==

L ממשי?

:ראה קישור: [[http://math-wiki.com/index.php/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.9B.D7.95.D7.9C.D7.9C_.D7.90.D7.99.D7.A0.D7.A1.D7.95.D7.A3.3F]]

לא ענית לי על השאלה. שם ענו על:גבולות שצריך למצוא, גבול בנק' ממשית. אבל לא על גבול כמו ב3.

::ציטוט משם: "גבול בנקודה a הוא גבול בנקודה ממשית ולא באינסוף." (תחליף את a ב-L)

בתרגיל 3, L הגבול, לא הנק'.

:אוקיי אז מסתבר שארז לא ענה לי על השאלה ששאלתי שם, טוב שהפנת את תשומת ליבי. אז אני מצטרפת לשאלה שלך!

== תרגיל 9 שאלה 2 סעיף ג ==

אני לא מצליחה אותו, אפשר אולי רמז, כיוון, משהו?

== שאלה בקשר לנקודות אי רציפות וגבולות חד צדדיים ==

אם אחד מהגבולות החד צדדיים הוא אינסוף, זה נחשב שהוא קיים או לא? לדוגמה אם יש פונקציה עם נקודה שבה אחד מהגבולות החד צדדים ממשי והשני אינסוף (אסימפטוטה), אז זה נחשב נקודת אי רציפות מהסוג הראשון (הגבול קיים) או מהשני (לא קיים)? ואם יש פונקציה שבה משני הצדדים הגבולות החד צדדיים שואפים לאינסוף (החיובי), זה נחשב סליקה כי הגבולות החד צדדיים קיימים או סוג שני? תודה!!

:לדעתי, ויכול להיות שאני טועה, הדבר הראשון שאמרת הוא סוג ראשון (אינסוף=קיים), והדבר השני שאמרת הוא סליקה (שוב, אינסוף=קיים).

:: אהמ.. ניראה לי דוקא שאם גבול חד צצדי הוא אינסוף זה נחשב שהוא לא קיים.... כי הוא לא ממשי. ואם יש גבול חד צצדי1 ממשי והשני אינסוף זה נקודת אי רציפות מהמין השני... וגם אם 2 הגבולות החד צדדים הם אינסוף זה נקודות אי רציפות מהמין השני... אני לא בטוחה במליון אחוז אבל ב-99 אני כן :)

== שאלה כללית ==

אם פונקציה קבועה באינסוף נקודות וגם לא מוגדרת באינסוף נקודות. הגבול שלה הוא הקבוע?

:תלוי הגבול איפה.

באינסוף.

:(לא מתרגלת) מה הפונקציה? תלוי בפונקציה, אם <math>f(x)=a</math> לכל <math>x>0</math> ולא מוגדר אחרת, אז באינסוף הגבול הוא a. ואם זה לכל <math>x<0</math>, אז באינסוף הגבול לא מוגדר.

נניח שעבור x זוגי ֿ מוגדר ועבור אי זוגי לא.

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-25T16:33:09Z

לידור.א.: /* שאלה 3.30א */

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-12-18T14:34:43Z

לידור.א.: /* תרגיל 8 שאלה 5 */

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-12-18T13:27:41Z

לידור.א.: /* תרגיל 9 - שאלה 4א' */

שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

2010-12-10T10:20:54Z

לידור.א.: /* לא הבנתי את שאלה 7 (תרגיל 7).. */

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-08T22:24:20Z

לידור.א.: /* לכסינות העתקה */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
=שאלות=

== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==

שלום,
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?
תודה!

'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''
===עוד שאלה===
תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!

== תרגיל האתגר ==

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)
:אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)

== האם צריך להוכיח ==

לגבי שתי הטענות הבאות:
-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;
-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-
האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!

'''איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.
:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..

'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?
:בשאלה 4.16

'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה

אבל השאלה אם צריך להוכיח את תהליך גראם שמידט מחדש בשביל 4.16, אי אפשר להגיד ש"נפעיל את התהיך על הבסיס"?

== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==

האם אני תמיד יכול להגיד ש <math><v,v>=||v||^2</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...

:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)

== עוד שאלה קטנה, על מ"פ ==

אם ידוע ש <math><v,u>=0</math>, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!

:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.
::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה

== עבודת ההגשה ==

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

:קרא כאן:
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA| כפולה משותפת מינימלית]

:(אופיר ר.)
הלינק מפנה לדף ריק

אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשה??

:(לא מתרגל) הכפולה המשותפת המינימלית של פולינומים הוא הפולינום מהמעלה הנמוכה ביותר אשר כולם מחלקים אותו. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:29, 7 בדצמבר 2010 (IST)
:lcm זה קיצור של "least common multiple" או בעברית "כפולה משותפת מינימאלית". הכפולה המשותפת המינימאלית של קבוצת מספרים הוא מספר שהוא 1) כפולה של כל המספרים 2) הוא המינימאלי (כלומר כל כפולה אחרת של כל המספרים היא כפולה שלו). באופן דומה מגדירים כפולה משותפת מינימאלית עבור פולינומים: זה פולינום שהוא כפולה של כל הפולינומים והוא מינימאלי, או אפשר להשתמש באפיון שלידור רשם למעלה (שהוא בהכרח מהמעלה הנמוכה ביותר). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:03, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== מימד של חיתוך/איחוד ==

האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!

===תשובה===
לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.
לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.

מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== שאלה על האתגר ==

מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!

:מדובר בגרעין של ההעתקה <math>(T - \lambda I)^n</math>, כלומר מרחב הפתרונות של <math>{(T - \lambda I)^n}v = 0</math> [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)

== העתקה צמודה ==

האם ההעתקה הצמודה היא בחומר, ואם כן אז מהי? תודה!
'''לא. זה הנושא הבא

== מכפלה פנימית ==

האם אפשר להגדיר על כל מרחב וקטורי ממימד סופי מכפלה פנימית? ואם כן צריך להוכיח את זה?
:כל מרחב וקטורי ממימד סופי איזומורפי ל-<math>\mathbb{R}^n</math>, ושם יש לנו למשל את המכפלה הפנימית הסטנדרטית. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:58, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== שאלה ממבחן (דחוף לבוחן) ==

שלום,
במבחן 2003 מועד א' (http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a63.pdf), חלק אמריקאי שאלה 4, על מכפלות פנימיות- בתשובות כתבו שהתשובה הנכונה היא 1, שתי ה'מ"פ' הנתונות הן לא מ"פ. אבל לדעתי התשובה הנכונה היא 4, שA היא מ"פ וB לא- כי שתי הפונקציות מקיימות לינארית ברכיב הראשון, הפונקציה B לא מקיימת סימטריה (מעל R ולא C) ולא אי שליליות, אבל A כן מקיימת את הכל, כי היא גם סימטרית, בקלות לפי חילופיות הכפל, והיא אי שלילית, מכיוון ש
<math><x,x>=<(x1,x2),(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2>=0</math> (ו0 כשx=0 כמובן). איפה אני טועה? תודה!
:: (לא מתרגל) - אל תשכח שמכפלה פנימית צריכה לקיים גם כי <v,v> הינו אפס אם"ם v = 0. האם מכפלה זו מקיימת זאת?
:::התכונה שהמ"פ <v,v> צריכה להיות 0 אם"ם V=0 נובעת מהתכונות האחרות, הרמיטיות ואי שליליות נדמה לי, כך שאם הוכחתי את האחרות לא חובה להוכיח את התכונה הזאת. אז הייתי צריך לטעות בהוכחת תכונה אחרת אם זה לא נכון.
::::דווקא לא. אי שליליות אומר במפוש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס. אמנם זה שמתקבל שוויון עבור וקטור האפס נובע מלינאריות ברכיב ראשון, אבל הטענה באי שליליות היא חמורה יותר - שהרי נאמר בה ששוויון יתקיים אך ורק עבור וקטור האפס. זה כמובן לא קורה במקרה הזה. חוץ מזה, שאם תסתכל על הטענה שבתרגיל 1.7 (זה שנעזרנו בו לצורך פתרון שאלה 1.6 בתרגול 7) תוכל להראות גם בעזרתה שזו לא מ"פ. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
:::::תודה (אבל הטענה שאמרת לא קשורה (כי בה יש 3x1y2 ולא x1y2))
:::::: (הלא מתרגל מקודם) - גל, אני חושב שקצת סיבכת. הדוגמא הכי פשוטה שאני יכול להביא היא הוקטור (5, 5-). הוקטור הזה שונה מאפס, זה ברור, אך לפי ההגדרת המכפלה הפנימית, המכפלה תצא אפס. כמו שציינתי קודם, האם"ם
:::::: באי-השליליות הוא דבר חשוב. צריך גם שוקטור האפס מאפס את המכפלה, וגם שרק וקטור האפס מאפס את המכפלה. עפ"י הדוגמא שהראתי לעיל, ברור שזה לא קורה, מה שדוחה את היותה מכפלה פנימית.
:::::::זה בדיוק מה שאמרתי, איפה הסיבוך שבפה. אני מצטט את מה שכתבתי "אי שליליות אומר במפורש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> \ >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס", זה לא אותו הדבר כמו שאתה כתבת? ולגבי שילוב המטריצה (מי שאמר שזה לא קשור) - אז במקום 3 מציבים 1, המטריצה משתנה בהתאם ודווקא זו הנקודה בעזרתה אתה יכול להוכיח שזו לא מ"פ.
:::::::אגב, דוגמה פשוטה עוד יותר היא <math>(-1,1)</math> ודוגמה חמורה יותר היא <math>(-x,x)</math>. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== שאלה 4.9 ==

האם הכוונה בשאלה זו היא שאני צריך למצוא ממש דוגמא למ"פ? לדוגמא: כמו מכפלה סטנדרטית וכו'...
מה הכוונה ב- <math>V=Rn[x]</math> ?? האם ה - X-ים הם סקלרים או וקטורים? הרי הגדרנו ממ"פ ואורתונורמליות על וקטורים

== החומר לבוחן ==

מה הוא החומר לבוחן של קבוצת התיכוניסטים? האם הוא כולל וקטורים אורתוגונליים והיטלים?
:החומר הוא עד ההתחלה של מכפלה פנימית. לא כולל וקטורים אורתוגונלים, לא כולל נורמות, לא כולל היטלים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:51, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== שאלה בקשר לבוחן ==

האם צריך לדעת משהו בקשר לנוסחת קראמר?

== שילוש מטריצה ==

יש דבר שאני לא בטוח לגביו בשילוש מטריצה, שלא הצלחתי למצוא אף מקום שבו הוא נמצא בצורה מסודרת. שאני לא הבנתי, הוא מה צריך לעשות אחרי השילוש הראשון. כלומר, ניסינו לשלש, קיבלנו וקטור, השלמנו אותו לבסיס, הכפלנו B=p-1AP ועכשיו צריך לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, נכון? אבל אחרי שניסינו לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, ויצא לנו משולשית, איפה שמים אותו עכשיו ואיפה שמים את המשלשות, כלומר איך נראית המכפלה
<math>D=??A??</math> כאשר D משולשית? מהן הסימני שאלה? ומהי המטריצה המשולשית?
תודה!

:(לא מתרגל) לאחר השלב הראשון בשילוש נקבל (אותיות קטנות יהיו סקלרים ואותיות גדולות מטריצות) <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&*\\
0&B
\end{array}} \right) = {P^{ - 1}}AP</math>, עכשיו נבצע את אותו תהליך על B ונקבל Q כך ש <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
b&*\\
0&C
\end{array}} \right) = {Q^{ - 1}}BQ</math>, נסמן <math>Q' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&Q
\end{array}} \right)</math>, אזי מתקיים <math>{(Q')^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{Q^{ - 1}}}
\end{array}} \right)</math>, וכן מתקיים: <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&*&*\\
0&b&*\\
0&0&C
\end{array}} \right) = {(Q')^{ - 1}}{P^{ - 1}}APQ'</math>. זהו השלב השני בשילוש. את השלבים הבאים נבצע באופן דומה ונרכיב את המטריצה המשלשת באופן דומה גם כן, עד שנגיע למטריצה משולשית הדומה למטריצה המקורית. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:12, 9 בדצמבר 2010 (IST)

== בקשה ==

יש סיכוי להעלות את הפתרון של תרגיל 7 לפני הבוחן?
תודה רבה מראש!

== לכסינות העתקה ==

למדנו על מתי מטריצה היא לכסינה, למשל כאשר יש לה "מספיק" ו"ע בת"ל. אך האם יש גם משפט על לכסינות של העתקה? תנאי מספיק בשביל שהעתקה תהיה לכסינה? (אם זה חשוב, אני צריך את זה בשביל שאלה ממבחן שמבקשת להוכיח שהעתקה כלשהי ניתנת ללכסון; אני יכול אולי להצליח להראות שיש בסיס שבשבילו [T]B אלכסונית, אבל אולי יש דרך יותר קלה?)

:הקריטריון המפורט לליכסון מטריצה תקף גם לגבי העתקות (באנלוגיה), וניתן להוכיח את הקריטריון להעתקות על פי הקריטריון למטריצות, ע"י כך שתיקח עבור העתקה T מטריצת ייצוג כלשהי שלה <math>{\left[ T \right]_B}</math>, ותפעיל עליה את הקריטריון עבור מטריצות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:24, 9 בדצמבר 2010 (IST)

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-08T22:12:04Z

לידור.א.: /* שילוש מטריצה */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
=שאלות=

== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==

שלום,
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?
תודה!

'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''
===עוד שאלה===
תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!

== תרגיל האתגר ==

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)
:אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)

== האם צריך להוכיח ==

לגבי שתי הטענות הבאות:
-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;
-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-
האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!

'''איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.
:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..

'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?
:בשאלה 4.16

'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה

אבל השאלה אם צריך להוכיח את תהליך גראם שמידט מחדש בשביל 4.16, אי אפשר להגיד ש"נפעיל את התהיך על הבסיס"?

== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==

האם אני תמיד יכול להגיד ש <math><v,v>=||v||^2</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...

:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)

== עוד שאלה קטנה, על מ"פ ==

אם ידוע ש <math><v,u>=0</math>, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!

:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.
::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה

== עבודת ההגשה ==

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

:קרא כאן:
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA| כפולה משותפת מינימלית]

:(אופיר ר.)
הלינק מפנה לדף ריק

אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשה??

:(לא מתרגל) הכפולה המשותפת המינימלית של פולינומים הוא הפולינום מהמעלה הנמוכה ביותר אשר כולם מחלקים אותו. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:29, 7 בדצמבר 2010 (IST)
:lcm זה קיצור של "least common multiple" או בעברית "כפולה משותפת מינימאלית". הכפולה המשותפת המינימאלית של קבוצת מספרים הוא מספר שהוא 1) כפולה של כל המספרים 2) הוא המינימאלי (כלומר כל כפולה אחרת של כל המספרים היא כפולה שלו). באופן דומה מגדירים כפולה משותפת מינימאלית עבור פולינומים: זה פולינום שהוא כפולה של כל הפולינומים והוא מינימאלי, או אפשר להשתמש באפיון שלידור רשם למעלה (שהוא בהכרח מהמעלה הנמוכה ביותר). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:03, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== מימד של חיתוך/איחוד ==

האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!

===תשובה===
לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.
לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.

מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== שאלה על האתגר ==

מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!

:מדובר בגרעין של ההעתקה <math>(T - \lambda I)^n</math>, כלומר מרחב הפתרונות של <math>{(T - \lambda I)^n}v = 0</math> [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)

== העתקה צמודה ==

האם ההעתקה הצמודה היא בחומר, ואם כן אז מהי? תודה!
'''לא. זה הנושא הבא

== מכפלה פנימית ==

האם אפשר להגדיר על כל מרחב וקטורי ממימד סופי מכפלה פנימית? ואם כן צריך להוכיח את זה?
:כל מרחב וקטורי ממימד סופי איזומורפי ל-<math>\mathbb{R}^n</math>, ושם יש לנו למשל את המכפלה הפנימית הסטנדרטית. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:58, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== שאלה ממבחן (דחוף לבוחן) ==

שלום,
במבחן 2003 מועד א' (http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a63.pdf), חלק אמריקאי שאלה 4, על מכפלות פנימיות- בתשובות כתבו שהתשובה הנכונה היא 1, שתי ה'מ"פ' הנתונות הן לא מ"פ. אבל לדעתי התשובה הנכונה היא 4, שA היא מ"פ וB לא- כי שתי הפונקציות מקיימות לינארית ברכיב הראשון, הפונקציה B לא מקיימת סימטריה (מעל R ולא C) ולא אי שליליות, אבל A כן מקיימת את הכל, כי היא גם סימטרית, בקלות לפי חילופיות הכפל, והיא אי שלילית, מכיוון ש
<math><x,x>=<(x1,x2),(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2>=0</math> (ו0 כשx=0 כמובן). איפה אני טועה? תודה!
:: (לא מתרגל) - אל תשכח שמכפלה פנימית צריכה לקיים גם כי <v,v> הינו אפס אם"ם v = 0. האם מכפלה זו מקיימת זאת?
:::התכונה שהמ"פ <v,v> צריכה להיות 0 אם"ם V=0 נובעת מהתכונות האחרות, הרמיטיות ואי שליליות נדמה לי, כך שאם הוכחתי את האחרות לא חובה להוכיח את התכונה הזאת. אז הייתי צריך לטעות בהוכחת תכונה אחרת אם זה לא נכון.
::::דווקא לא. אי שליליות אומר במפוש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס. אמנם זה שמתקבל שוויון עבור וקטור האפס נובע מלינאריות ברכיב ראשון, אבל הטענה באי שליליות היא חמורה יותר - שהרי נאמר בה ששוויון יתקיים אך ורק עבור וקטור האפס. זה כמובן לא קורה במקרה הזה. חוץ מזה, שאם תסתכל על הטענה שבתרגיל 1.7 (זה שנעזרנו בו לצורך פתרון שאלה 1.6 בתרגול 7) תוכל להראות גם בעזרתה שזו לא מ"פ. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
:::::תודה (אבל הטענה שאמרת לא קשורה (כי בה יש 3x1y2 ולא x1y2))
:::::: (הלא מתרגל מקודם) - גל, אני חושב שקצת סיבכת. הדוגמא הכי פשוטה שאני יכול להביא היא הוקטור (5, 5-). הוקטור הזה שונה מאפס, זה ברור, אך לפי ההגדרת המכפלה הפנימית, המכפלה תצא אפס. כמו שציינתי קודם, האם"ם
:::::: באי-השליליות הוא דבר חשוב. צריך גם שוקטור האפס מאפס את המכפלה, וגם שרק וקטור האפס מאפס את המכפלה. עפ"י הדוגמא שהראתי לעיל, ברור שזה לא קורה, מה שדוחה את היותה מכפלה פנימית.
:::::::זה בדיוק מה שאמרתי, איפה הסיבוך שבפה. אני מצטט את מה שכתבתי "אי שליליות אומר במפורש שלכל <math>v</math> צריך שיתקיים <math><v,v> \ >= 0</math>, ושוויון יתקבל רק עבור וקטור האפס", זה לא אותו הדבר כמו שאתה כתבת? ולגבי שילוב המטריצה (מי שאמר שזה לא קשור) - אז במקום 3 מציבים 1, המטריצה משתנה בהתאם ודווקא זו הנקודה בעזרתה אתה יכול להוכיח שזו לא מ"פ.
:::::::אגב, דוגמה פשוטה עוד יותר היא <math>(-1,1)</math> ודוגמה חמורה יותר היא <math>(-x,x)</math>. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== שאלה 4.9 ==

האם הכוונה בשאלה זו היא שאני צריך למצוא ממש דוגמא למ"פ? לדוגמא: כמו מכפלה סטנדרטית וכו'...
מה הכוונה ב- <math>V=Rn[x]</math> ?? האם ה - X-ים הם סקלרים או וקטורים? הרי הגדרנו ממ"פ ואורתונורמליות על וקטורים

== החומר לבוחן ==

מה הוא החומר לבוחן של קבוצת התיכוניסטים? האם הוא כולל וקטורים אורתוגונליים והיטלים?
:החומר הוא עד ההתחלה של מכפלה פנימית. לא כולל וקטורים אורתוגונלים, לא כולל נורמות, לא כולל היטלים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:51, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== שאלה בקשר לבוחן ==

האם צריך לדעת משהו בקשר לנוסחת קראמר?

== שילוש מטריצה ==

יש דבר שאני לא בטוח לגביו בשילוש מטריצה, שלא הצלחתי למצוא אף מקום שבו הוא נמצא בצורה מסודרת. שאני לא הבנתי, הוא מה צריך לעשות אחרי השילוש הראשון. כלומר, ניסינו לשלש, קיבלנו וקטור, השלמנו אותו לבסיס, הכפלנו B=p-1AP ועכשיו צריך לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, נכון? אבל אחרי שניסינו לשלש את הבלוק הימני תחתון של B, ויצא לנו משולשית, איפה שמים אותו עכשיו ואיפה שמים את המשלשות, כלומר איך נראית המכפלה
<math>D=??A??</math> כאשר D משולשית? מהן הסימני שאלה? ומהי המטריצה המשולשית?
תודה!

:(לא מתרגל) לאחר השלב הראשון בשילוש נקבל (אותיות קטנות יהיו סקלרים ואותיות גדולות מטריצות) <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&*\\
0&B
\end{array}} \right) = {P^{ - 1}}AP</math>, עכשיו נבצע את אותו תהליך על B ונקבל Q כך ש <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
b&*\\
0&C
\end{array}} \right) = {Q^{ - 1}}BQ</math>, נסמן <math>Q' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&Q
\end{array}} \right)</math>, אזי מתקיים <math>{(Q')^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{Q^{ - 1}}}
\end{array}} \right)</math>, וכן מתקיים: <math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&*&*\\
0&b&*\\
0&0&C
\end{array}} \right) = {(Q')^{ - 1}}{P^{ - 1}}APQ'</math>. זהו השלב השני בשילוש. את השלבים הבאים נבצע באופן דומה ונרכיב את המטריצה המשלשת באופן דומה גם כן, עד שנגיע למטריצה משולשית הדומה למטריצה המקורית. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 00:12, 9 בדצמבר 2010 (IST)

== בקשה ==

יש סיכוי להעלות את הפתרון של תרגיל 7 לפני הבוחן?
תודה רבה מראש!

== לכסינות העתקה ==

למדנו על מתי מטריצה היא לכסינה, למשל כאשר יש לה "מספיק" ו"ע בת"ל. אך האם יש גם משפט על לכסינות של העתקה? תנאי מספיק בשביל שהעתקה תהיה לכסינה? (אם זה חשוב, אני צריך את זה בשביל שאלה ממבחן שמבקשת להוכיח שהעתקה כלשהי ניתנת ללכסון; אני יכול אולי להצליח להראות שיש בסיס שבשבילו [T]B אלכסונית, אבל אולי יש דרך יותר קלה?)

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-07T18:29:26Z

לידור.א.: /* עבודת ההגשה */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
=שאלות=

== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==

שלום,
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?
תודה!

'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''
===עוד שאלה===
תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!

== תרגיל האתגר ==

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)
:אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)

== האם צריך להוכיח ==

לגבי שתי הטענות הבאות:
-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;
-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-
האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!

'''איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.
:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..

'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?
:בשאלה 4.16

'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה

אבל השאלה אם צריך להוכיח את תהליך גראם שמידט מחדש בשביל 4.16, אי אפשר להגיד ש"נפעיל את התהיך על הבסיס"?

== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==

האם אני תמיד יכול להגיד ש <math><v,v>=||v||^2</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...

:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)

== עוד שאלה קטנה, על מ"פ ==

אם ידוע ש <math><v,u>=0</math>, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!

:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.
::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה

== עבודת ההגשה ==

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

:קרא כאן:
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA| כפולה משותפת מינימלית]

:(אופיר ר.)
הלינק מפנה לדף ריק

אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשה??

:(לא מתרגל) הכפולה המשותפת המינימלית של פולינומים הוא הפולינום מהמעלה הנמוכה ביותר אשר כולם מחלקים אותו. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:29, 7 בדצמבר 2010 (IST)

== מימד של חיתוך/איחוד ==

האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!

===תשובה===
לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.
לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.

מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== שאלה על האתגר ==

מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!

:מדובר בגרעין של ההעתקה <math>(T - \lambda I)^n</math>, כלומר מרחב הפתרונות של <math>{(T - \lambda I)^n}v = 0</math> [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)

== העתקה צמודה ==

האם ההעתקה הצמודה היא בחומר, ואם כן אז מהי? תודה!
'''לא. זה הנושא הבא

== מכפלה פנימית ==

האם אפשר להגדיר על כל מרחב וקטורי ממימד סופי מכפלה פנימית? ואם כן צריך להוכיח את זה?

== שאלה ממבחן (דחוף לבוחן) ==

שלום,
במבחן 2003 מועד א' (http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a63.pdf), חלק אמריקאי שאלה 4, על מכפלות פנימיות- בתשובות כתבו שהתשובה הנכונה היא 1, שתי ה'מ"פ' הנתונות הן לא מ"פ. אבל לדעתי התשובה הנכונה היא 4, שA היא מ"פ וB לא- כי שתי הפונקציות מקיימות לינארית ברכיב הראשון, הפונקציה B לא מקיימת סימטריה (מעל R ולא C) ולא אי שליליות, אבל A כן מקיימת את הכל, כי היא גם סימטרית, בקלות לפי חילופיות הכפל, והיא אי שלילית, מכיוון ש
<math><x,x>=<(x1,x2),(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2>=0</math> (ו0 כשx=0 כמובן). איפה אני טועה? תודה!

== עבודת הגשה לחנוכה ==

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

קרא כאן:
כפולה משותפת מינימלית

(אופיר ר.)
הלינק מפנה לדף ריק

אפשר התייחסות לשאלה שלי מהמתרגלים בבקשה??

== שאלה 4.9 ==

האם הכוונה בשאלה זו היא שאני צריך למצוא ממש דוגמא למ"פ? לדוגמא: כמו מכפלה סטנדרטית וכו'...
מה הכוונה ב- <math>V=Rn[x]</math> ?? האם ה - X-ים הם סקלרים או וקטורים? הרי הגדרנו ממ"פ ואורתונורמליות על וקטורים

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-06T14:22:58Z

לידור.א.: /* שאלה על האתגר */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
=שאלות=

== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==

שלום,
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?
תודה!

'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''
===עוד שאלה===
תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!

== תרגיל האתגר ==

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)
:אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)

== האם צריך להוכיח ==

לגבי שתי הטענות הבאות:
-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;
-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-
האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!

'''איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.
:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..

'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?
:בשאלה 4.16

'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה

== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==

האם אני תמיד יכול להגיד ש <math><v,v>=||v||^2</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...

:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)

== עוד שאלה קטנה, על מ"פ ==

אם ידוע ש <math><v,u>=0</math>, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!

:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.
::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה

== עבודת ההגשה ==

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

:קרא כאן:
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA| כפולה משותפת מינימלית]

:(אופיר ר.)

== מימד של חיתוך/איחוד ==

האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!

===תשובה===
לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.
לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.

מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

== שאלה על האתגר ==

מה אומר ה-ker של T-kI בחזקת n? זה העתקה בחזקת n (אם כן, הכוונה היא להעתקה T-ki אן פעמים?) או ker בחזקת n (ואז הכוונה היא n-יה סדורה של איברים מהker?) תודה!

:מדובר בגרעין של ההעתקה <math>(T - \lambda I)^n</math>, כלומר מרחב הפתרונות של <math>{(T - \lambda I)^n}v = 0</math> [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:22, 6 בדצמבר 2010 (IST)

== העתקה צמודה ==

האם ההעתקה הצמודה היא בחומר, ואם כן אז מהי? תודה!

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-05T21:25:25Z

לידור.א.: /* שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
=שאלות=

== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==

שלום,
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?
תודה!

'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''
===עוד שאלה===
תודה רבה, אבל לא הבנתי את התשובה לחלק השני, אשמח להסבר. וגם יש לי עוד שאלה: במרחב (R^3), ישר ומישור הם תתי מרחבים? אם כן, איך מציגים אותם בצורת תת מרחב? (כלומר למישור בצורה <math>U={u\in U| u...}</math>? אפשר ככה <math>U={(x,y,z)|x+y+z=2}</math> לדוגמה? ואיך לישר?) אם כן, אז המרחב הניצב לישר/מישור הוא ישר, מישור, או משהו אחר? תודה!!

== תרגיל האתגר ==

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)
:אתה יכול לשלוח אימייל לד"ר צבאן, הכתובת רשומה באתר שלו http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/ . [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:20, 4 בדצמבר 2010 (IST)

== האם צריך להוכיח ==

לגבי שתי הטענות הבאות:
-לכל מרחב ממימד סופי יש בסיס;
-כל בסיס אפשר להפוך לבסיס א"נ ע"י תהליך גראם שמידט-
האם ניתן להגיד "כפי שעשינו בהרצאה" או "על פי משפט" וכו', או שצריך להוכיח אותן (מחדש)? תודה!

'''איפה? אם זה חלק מהוכחה כללית יותר ניתן להשתמש,אם זה מהות כל השאלה (כמו בדף 8, 4.16א) אז צריך להוכיח.
:גם את העובדה שלכל מרחב סופי יש בסיס?? זה ממש מסובך, כשחיפשתי את זה מצאתי שכדי להוכיח את זה צריך להסתמך על הלמה של צורן..

'''אני חוזרת לאותה תשובה: איפה?
:בשאלה 4.16

'''אתה יכול להשתמש בקיום בסיס ללא הוכחה

== שאלה קטנה (שנתקלתי בה בזמן הוכחה תהליך ג"ש) ==

האם אני תמיד יכול להגיד ש <math><v,v>=||v||^2</math>? זה נכון ממהגדרה כשהנורמה היא נורמה שמושרית מהמ"פ, אבל יכול להיות שכשהנורמה לא מושרית אז זה לא נכון? (אני חייב שזה יהיה נכון כדי להוכיח את נכונות תהליך ג"ש)...

:לעניות דעתי בתהליך גראם-שמידט מדובר בנורמה המושרית [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 23:25, 5 בדצמבר 2010 (IST)

== עוד שאלה קטנה, על מ"פ ==

אם ידוע ש <math><v,u>=0</math>, ו-u שונה מוקטור האפס, אזי בטוח v שווה לוקטור האפס או לא בהכרח? תודה!

:בטח שלא, המכפלה הפנימית של כל שני וקטורים מאונכים היא אפס.
::אה נכון התבלבלתי לגמרי. תודה

== עבודת ההגשה ==

בעבודת ההגשה תרגיל 1 סעיף ב' מה זה lcm ?

:קרא כאן:
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%AA%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%AA| כפולה משותפת מינימלית]

:(אופיר ר.)

== מימד של חיתוך/איחוד ==

האם ידועים המימדים של חיתוך ו/או איחוד של תתי מרחבים (כלומר האם המימד של חיתוך של 2 תתי מרחבים שווה למינימלי מבין המימדים של 2 המרחבים, או פונקציה כלשהי אחרת של 2 המימדים של 2 תתי המרחבים וכנ"ל באיחוד)? תודה!

===תשובה===
לגבי איחוד - לא כל איחוד של שני תתי מרחבים ייתן תת מרחב, לגבי מה יהיה המימד במידה ונקבל תת מרחב - אינני יודע.
לגבי חיתוך - בוודאי שזה לא המינימלי - דוגמה נגדית: <math>V=Sp(1,0)\ \ \ U=Sp(0,1)</math>. המימד של כל אחד מהם הוא אחד, אבל החיתוך ביניהם הוא מרחב האפס ומימדו הוא אפס.

מקווה שהצלחתי לעזור, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-12-04T19:43:13Z

לידור.א.: /* תרגיל האתגר */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
=שאלות=

== כמה שאלות עם החומר שנלמד לאחרונה ==

שלום,
החומר שנלמד לאחרונה, על מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים וכדומה לא יושב אצלי טוב. גיליתי שמאוד עוזר אם מבינים מה המקבילים של המושגים שלמדנו במרחב (כמו ניצבות, מכפלה פנימית=מכפלה סקלרית וכו'). אך לכמה לא מצאתי מקבילים ולכן קשה לי להבין בדיוק מה הם אומרים או למה הם משמשים. דבר ראשון, האם יש מקביל לבסיס אורתוגונלי או אורתונורמלי במרחב, ואם כן למה צריך אותו? ודבר שני, למה, או האם יש מקביל במרחב, לכך שההיטל של וקטור (על תת מרחב, ביחס לבסיס אורתונורמלי B={w1,..,wk} ) הוא <math>\Pi _B(v):=<v,w1>w1+..+<v,wk>wk</math>?
תודה!

'''אני לא בטוחה למה אתה מתכוון מקביל במרחב אבל בסיס אורתוגונלי במרחב יושב על הצירים או על כל הזזה שלהם בו ללא הזזה שלהם אחד ביחס לשני.'''
'''"צריך" אורתוג' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של זוית ואורתונ' כי יותר נוח לעבוד איתו מבחינה של אורך (בשניהם "יותר נוח" הכוונה במכפלה הפנימית).'''
'''לגבי החלק השני : כי אתה יוצר צרוף לנארי שלו מההטלה שלו לכל תת מרחב שכל וקטור בסיס יוצר. ראה אילוסטרציה מאת דר' צבאן בעמוד הראשי.'''

== תרגיל האתגר ==

במידה ונצליח לפתור את תרגיל האתגר, מה בדיוק צריך לעשות עם הפתרון? האם לשלוח אותו למרצה? ואם כן אז איך בדיוק? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 21:43, 4 בדצמבר 2010 (IST)

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-29T20:28:18Z

לידור.א.: /* שאלה 1.4 */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
=שאלות=

== למה? ==

הדט' של פ"מ שווה לפ"מ בחזקת n??

'''מה?
:ד"ר צבאן כתב שהדט' של פולינום מינימלי שווה לפולינום המימינלי (כפול I) בחזקתn (http://math-wiki.com/images/9/9b/Charpolydivminpoly%5En.pdf, סוף המסמך), ואני שאלתי- למה זה? תודה!
::{{לא מתרגל}} כי <math>|m_A(x)I|=\begin{vmatrix}m_A(x)&0&\cdots&0\\0&m_A(x)&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&m_A(x)\end{vmatrix}</math> וזו מטריצה אלכסונית, לכן = למכפלת אברי האלכסון הראשי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 23:28, 22 בנובמבר 2010 (IST)
:::תודה!!

== נכונות טענה ==

שלום רב,

האם הטענה הבאה נכונה: "אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכן, כדי שמטריצה תהיה לכסינה, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי זהים לאלו של מטריצה אלכסונית". במילים אחרות, הטענה אומרת שמטריצה <math>A</math> (מגודל <math>nXn</math>) לכסינה אם:

1. <math>P_A(x)=(x-a_1)^{k_1}...(x-a_i)^{k_i}</math> כאשר <math>k_1+...+k_i = n</math>

2. <math>m_A(x)=(x-a_1)...(x-a_i)</math>.

תודה! [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:[[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:02, 22 בנובמבר 2010 (IST)
::אפשר להשתמש במשפט הזה (מבלי להוכיח אותו שוב)? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 22:12, 22 בנובמבר 2010 (IST)
:::אני רק אדגיש שאני הפנתי לדף באתר משנה שעברה, אני לא יודע אם מותר לכם להשתמש בזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:19, 22 בנובמבר 2010 (IST)

'''עדי: תסתכל בארכיון2, עניתי על זה, ריבויי שורשי הפ"א הם 1 בפ"מ. שזה גם מה שאומר המשפט של ארז ושלך. כן, אפשר להשתמש בזה, למדנו את זה גם בתירגול.

==5.22 לגבי ה-trace==
שלום רב,
אני חושב שאני יודע איך ה-trace של המט', אך רק מתוך אינטואיציה, מישהו יכול להיות אולי רמז לדרך הפתרון?
תודה [[משתמש:Sretter|שקד רטר]]

'''עדי: חשוב על משהו אחר שמשותף למט' דומות והסק מסקנה על העיקבה שלהן
תודה!!! [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 09:54, 23 בנובמבר 2010 (IST)

== תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן ==

בעמ' 95 תרגיל 1.1, אמור להיות כתוב u,v "עם או בלי אינדקסים" במקום "עם או בלי סקלרים", נכון?
והחלק שיותר חשוב לשיעורי הבית, ב1.4 ב' ו-ג', המ"פ הן מתרגיל 1.3, לא 1.1, נכון? תודה

'''עדי:
'''1.1:כן.

'''1.4:גם כן.

== שאלה 1.9 ==

מה הם הוקטורים הסטנדרטיים ב <math>C^n</math>? (כלומר e_1 לדוגמה, שווה ל <math>(1,0,..,0)</math> או למשהו אחר?)
עריכה-עוד שאלה בנושא: האם ניתן להתייחס לוקטורים הסט' ei כוקטורי שורות? כי אם לא, אז יהיה חלק בתרגיל שיהיה קשה לביצוע, מכיוון שv הוא סכום של וקטורי עמודות, וכדי לכפול אותו במטריצה מימין יש להתייחס לשורותיו ולא לעמודותיו... תודה!

:אני לא מתרגל, אבל לדעתי הרעיון בוקטרים מעל שדה הוא שיש לך, כמו שאמרת, את הוקטורים e1, e2, ... en מעל כל שדה, וזה שיש לך i לא אמור לשנות לך.
::לא הבנתי...

'''עדי:נכון מאוד. הכוונה שאתה יכול ליצור כל וקטור מרוכב מצרוף לינארי של e1,...,en כאשר i הוא אחר הסקלרים האפשריים.

'''לגבי החלק השני, למה החלטת שאלו וקטורי עמודות? כמובן שאם דורשים <math>vAu^*</math> אז הוקטורים מוגדרים כך שהמכפלה ביניהם מוגדרת.
:פעלתי לפי הרמז, וכדי לחשב את האגף עם המטריצות, צריך לעשות את כפל A עם v משמאל- ולפי הרמז, צריך לכתוב את v כסכום של הוקטורים הסטנדרטיים, שבדרך כלל אנחנו '''מתייחסים אליהם כוקטורי עמודה''' ולא שורה, ולכן שאלתי אם אפשר הפעם להתחייס אליהם כוקטורי שורה. אם כן אפשר להתחייס אליהם כוקטורי שורה, אז נראה לי שצריך להשתמש בכפל שורה שורה כדי לבדוק את הכפל... לא?(ראי שאלה למטה).

'''למה וקטור שורה כפול מטריצה הוא שורה שורה? עושים כרגיל שורה כפול עמודה ומקבלים שוב וקטור.

*[[מדיה:דוגמא.pdf|דוגמא]]
:תודה!

== כפל שורה שורה ==

מישהו יכול בבקשה לרשום את החוק "כפל שורה-שורה"? (אם אני זוכר נכון יש לו 2 סעיפים). אני לא מצליח למצוא אותו בשום מקום. תודה!

'''בקשר למה זה?
:חשבתי לנסות להשתמש בזה בתרגיל 1.9, בכפל v עם A.

'''אז למה שורה-שורה? תפעל לפי הרמז, לפני שאתה ניגש לפיתרון היזכר מה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור שורה <math>e_i</math> משמאל ומה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור עמודה <math>e_j</math> מימין.

== שאלה 1.13 ==

השאלה אומרת שיש שלושה וקטורים שבמכפלה פנימית עם עצמם שווים ל- 1- ועם אחד מהאחרים שווים ל- 3. צ"ל שסכומם הוא אפס.
הכוונה בתרגיל היא שיש מרחב מכפלה פנימית שפועל כך או שאלו ארבע וקטורים מיוחדים במכפלה הסטנדרטית שמקיימים את התנאים? או אלי בכלל אנחנו לא יודעים על איזו מכפלה סקלרית מדובר וצריך להוכיח רק לפי ההגדרות?

תודה מראש!

'''עדי: לא עבור מכפלה ספציפית. עבור מ"פ כלשהי על 4 וקטורים ספציפיים. כן,לפי הגדרות.

== 1.13 ==

אפשר רמז לתרגיל 1.13? אין לי מושג מאיפה להתחיל בכלל...
: תנסה לחשב את המכפלה הפנימית של סכום ארבעת הוקטורים ;)
::ווואי פתאום זה כל כך קל! תודה רבה!!!
::: בכיף ;)

== הרצאה ותרגול בחנוכה ==

האם יתקיימו הרצאה ושיעור תרגול בחנוכה?
:לקבוצה של ד"ר צבאן לא יתקיימו שיעורים בלינארית בכלל, רק התרגול באינפי שנקבע מולנו. [[משתמש:Gordo6|גל]]

'''עדי: בעיקרון זה תלוי בהספק שלנו בתירגול הקרוב אבל כפי שנראה כרגע לא, רק בוחן ב9/12.

== עבודת ההגשה לחנוכה ==

איפה היא? לא מצאתי אותה בעמוד הראשי, למרות שכתוב שהיא נמצאת שם. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:56, 25 בנובמבר 2010 (IST)

'''בתרגילים

== 1.9- הבהרה ==

האם הכוונה ב- <math>e_{1},...,e_{n}</math> היא לווקטורי הבסיס הסטנדרטי?

'''כן

== שאלה חשובה לגבי 1.9 ==

אפשר בבקשה מהם הוקטורים הסטנדרטיים בC^n במפורש? זה חשוב, כדי צריך לדעת מהם הצמודים להם. לדוגמה, אם הוקטורים הסט' בC הם כמו בR, כלומר <math>e1=(1,0,..)</math> וכו', אז הצמוד של זה הוא הוקטור עצמו, אבל הוקטור הסט' בC הוא <math>e1=(1+i,0,..)</math> אז כבר הצמוד של זה הוא משהו אחר. תודה מראש

'''עדי:
''' <math>(1+i,0,..)=(1+i)e_1</math>
'''כלומר הם הוקטורים הסט' הרגילים עם מקדמים מעל שדה המרוכבים
:ז"א שהצמוד של e1 שווה לe1, נכון?

'''כן, באופן כללי הצמוד של <math>ke_i</math> הוא הצמוד של k כפול <math>e_i</math>.

'''למה זה רלוונטי לשאלה זו?
:כי בחישוב של u כוכבית הייתי צריך לחשב את הצמודים של הוקטורים הסט'- לא משנה- הסתדרתי- תודה רבה

== שאלה 1.6 ==

האם בשאלה 1.6 אפשר למצוא את ערכי אלפא בתלות ב-<math>x_1, x_2</math> מהם בנויים הוקטורים (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=(x_1+x_2)/(x_1*x_2)</math>, או שחייבים למצוא ערך מספרי (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=3</math>)? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

==רמז ל 1.6==

'''אתם יכולים להשתמש בטענה המוצגת ב 1.7:

'''<math><v,u>:=vAu^t</math> היא מ"פ

'''אמ"מ

'''<math>A=A^t</math> , <math>a_{11},a_{22}>0</math> , <math>|A|>0</math>.

===שאלה לגבי הרמז===
יכולים זה "יכולים בלי בוכחה" או "יכולים אבל דרוש הוכחה"?

==שאלה 1.4==
סעיף ב': לא הבנתי איך מחשבים מכפלה פנימית של מטריצות ומה הקשר לתרגיל 1.1(ג)?
סעיף ג': לא הבנתי איזה מ"ו זה ומעל איזה שדה? מה הקשר ל1.1(ד) ומה הם a,b?

:יועיל לך לעיין [[#תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן|כאן]]. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:28, 29 בנובמבר 2010 (IST)

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-20T13:25:39Z

לידור.א.: /* שאלה קצרה ביותר */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
=שאלות=

== פעולות שורה ועמודהֿ ==

רק כדי להיות בטוח-
דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?
:{{לא מתרגל}} לא: <math>-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8</math> למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-<math>A^T</math> מכפילה את הדט' ב-<math>(-1)^{2k}=1</math>). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)

::גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!
:::כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)
:::{{לא מתרגל}} תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה '''ו'''שחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)

== מרחב וקטורי נוצר סופית ==

מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 20:05, 8 בנובמבר 2010

'''עדי: בגדול כן, תהיה ממוקד על שאלה ליתר בטחון.

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

בתרגיל כתוב למצוא את <math>A^{-1}</math> על ידי שימוש בפרוק <math>A=PDP^{-1}</math>. לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- <math>A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}</math> אבל אם כבר מחשבים את <math>D^{-1}</math> אז פשוט יותר לחשב את <math>A^{-1}</math> בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?

בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את <math>A^{-1}</math>?
:עבור <math>A\in\mathbb{F}^{2\times2}</math> הדרך הפשוטה ביותר היא <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}</math>
:ועבור <math>A\in\mathbb{F}^{3\times3}</math>: <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\
\end{bmatrix}</math>
:כאשר <math>\begin{matrix}
A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\
B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\
C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\
\end{matrix}</math>
:(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו '''דווקא''' לפי PDP-1.

::תודה על התשובה. זה בעצם <math>adj(A)/det(A)</math> ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את <math>D^{-1}</math> באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את <math>P^{-1}</math>, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של <math>A^{-1}</math> בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב <math>adj(A)/det(A)</math>?

:::::מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)

:::::: אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...
:::::::כי עם P-1 אפשר לחשב גם את A3. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A20? או על A10000? אפילו [http://www.wolframalpha.com/input/?i={{3%2C2}%2C{4%2C10}}^10000 wolframalpha ויתר]. ובלי שום קשר - [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|תשובה?]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)
::::::::אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <''צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף''> אבל ב-100000000 הוא נכנע.

:::::::::חח טוב השתכנעתי, תודה.

== שאלה 1 ==
איך מגיעים מכך ש <math>(A-xI)v=0</math> לזה ש A לא הפיכה? תודה!
:{{לא מתרגל}} אתה מתכוון <math>A-xI</math> לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math> (ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|פה]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)
::כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של <math>|A|</math> המטריצה לא תהיה הפיכה?
::כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, [[משתמש:Gordo6|גל]].
:כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!
::{{לא מתרגל}} לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-<math>A-xI</math> לא הפיכה? כאמור: <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math>, לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST)
:::למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI לא הפיכה?
::::כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-<math>A-xI</math> הפיכה, כלומר קיימת <math>(A-xI)^{-1}</math> כך ש-<math>(A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I</math>. נכפיל (מימין, כמובן) ב-<math>v\ne\vec0</math> ונקבל
<div style="text-align:left;"><math>\begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align}</math></div>
::::בסתירה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)

== שאלה 3.18 ==

בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?

===תשובה===
הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_0</math> ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math>. קל לראות ש <math>f(A)</math> מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה <math>f(A)</math> הינה מטריצת האפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)
:אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור
:עדיין לא הבנתי: מה צריך להראות? כי את העובדה ש <math>f_A(A)=0</math> לא צריך להראות בכלל, זה תמיד מתקיים על פי קיילי המילטון. אז מה כן צריך לעשות? תודה
::רשום בשאלה פולינום אופייני? רשומה מטריצה ופולינום, לכן נשאר מה להוכיח, ויש אפילו רמז. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:06, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::ברמז מפנים אותך לשאלה שקשורה לפולינום אופייני, אבל הרגע אמרת שאין שום קשר לפולינום אופייני!
::::אתה חייב לנסות להבין יותר מאשר להסביר לי... יש קשר לפולינום אופייני, אבל לא '''נתון''' שזה פולינום אופייני. לכן אם רוצים לומר את זה צריך להסביר את זה ואז יש תרגיל + פתרון שלו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:37, 13 בנובמבר 2010 (IST)

== עזרה במושגים ==

מהו הפולינום הזה שאפשר להציב בו מטריצות במקום סקלר (איך הוא נקרא\מסומן, התכונות שלו), יש לו קשר לפולינום האופייני? יש לו קשר לפולינום רגיל? ועוד 2 שאלות חשובות:
:איך אפשר למצוא מטריצה שמאפסת פולינום? (האם יש אלגוריתם או דרך לפתרון)?
:מה זה פולינום ש"מאפס את A"?
תודה

::יעזור לקרוא את השאלה שבדיוק נמצאת מעליך.
:::אשמח לתשובות לכל השאלות שלא ניענות בשאלה שמעליי (וגם תשובה למה זה"מאפס את A", שאני לא בטוח עדיין מהי התשובה הנכונה). תודה
::::רשמתי שם באופן מדוייק כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כל פולינום) ומתי אומרים שמטריצה מאפסת פולינום, תקרא היטב. לגבי איך מוצאים מטריצה מאפסת פולינום, זה בדיוק הסעיף הראשון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::::לא, אני יודע מה זה למצוא מטריצה שמאפסת פולינום על פי ההגדרה, אבל איך אפשר למצוא את המטריצה בצורה יותר קלה מההגדרה? (אתה לא מצפה ממני לפתור 5 A '''בחמישית''' ועוד 3 A בשלישית וכו', נכון? או לעשות חזקות של מטריצה מסובכת עם מימדים nxn?)
::::::לא מההגדרה, מהסעיף הראשון שם יש נוסחא מפורשת למטריצה שמאפסת '''פולינום כלשהו''' ... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)

== תרגיל 5? תרגיל 3? ==

למה בכותרת של תרגיל 5 כתוב תרגיל 3? שלא יצא ששמו בטעות משהו אחר...

== תרגיל 5 שאלה 3.3 ==

החלק הראשון של סעיף ב' נכון רק עד כדי <math> \pm </math>, בתלות בזוגיות n. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:23, 13 בנובמבר 2010 (IST)
'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

== שאלה 3.18 א' ==

עשיתי חישוב ישיר של A בריבוע, A בשלישית,..., A בחזקת n, ובסכום a0I+a1A+...+an-1A^n יוצא לי במקום מטריצת האפס, יוצא שהסכום הוא בדיוק 2A^n! זה נכון, או שהיית לי טעות? או שבכלל לא הבנתי את השאלה? קראתי בשאלות מעליי שיש קשר לפולינום האופייני אבל לא הבנתי מהו. פשוט חישבתי ישירות. גם לא הבנתי מה הקשר לתרגיל שברמז. אשמח להסבר מפורט ומובן ככל האפשר. תודה רבה מראש!

===תשובה===
(לא מתרגל/ת) כנראה הייתה טעות כי הצלחתי להוכיח את המבוקש, דבר שני איך בדיוק אפשר לחשב דבר כזה כאשר n הוא מספר כלשהו?
הכיוון הוא יותר פשוט, כמו שנכתב קודם יש קשר לפולינום האופייני, מצא את הפולינום האופייני ולפי קיילי- המילטון A מאפסת אותו, אחרי שלבים אלה ההמשך פשוט.
:חישבתי את זה ע"י חישוב A בריבוע (בעזרת שלוש נקודות כי יש המטריצה היא מגודל n על n), ואז A בשלישית, הבנת העקרון, שלוש נקודות, ואת A בחזקת n. אז הצבת המטריצות בפולינום וזה מה שיצא לי. אם זה לא נכון והפתרון הנכון היחיד הוא עם הפולינום האופייני, אשמח לעזרה בנושא, מכיוון שלא הבנתי את הקשר לפולינום האופייני, ואשמח לתשובה קצת יותר עמוקה מאשר הרמזים הקלושים והעפלוליים שכתובים בשפה מצרית עתיקה ושאותם צריכים מומחים לפענך כדי להבין מה הם אומר- כמו שארז בדרך כלל עונה. תודה
::התבוננו בדף שהעלה לכאן ד"ר צבאן בנושא המטריצה הנלווית. אפשר לומר שדף זה ממש נותן את התשובה לסעיף א... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
'''עדי: thumbs up'''

:::עדיין לא הבנתי מה צריך לעשות ב-א'.

==3.18 ד'==
האם מותר להשתמש בטענה שמטריצות עם ערכים עצמיים שווים דומות?
אשמח לקבל תשובה בהקדם, תודה לעוזרים

'''עדי: זה בדיוק מה שאומר הרמז בסוגריים

תודה, הבנתי את הרמז אבל לא ידעתי אם מותר להשתמש בו בלי הוכחה

== תרגיל 5 שאלה 3.3 ב ==

אני חושבת שזה לא נכון שבהכרח <math>f_A(0)=|A|</math> כי הרי <math>f_A(0)=|0*I-A|=|-A|=(-1)^n|A|</math>. אז אם n אי זוגי, <math>f_A(0)=-|A|</math> וזה לא בהכרח שווה ל-<math>|A|</math>. אז.. איפה טעיתי?

'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

:מה ז"א? ההגדרה של פולינום אופייני היא לא <math>f_A(x)=|xI-A|</math> אלא <math>f_A(x)=\pm|xI-A|</math>??

::יש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|xI-A|</math> (כמו שמגדירים בהרצאה) ויש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (כמו שמגדירים בחוברת של צבאן). לכן גם "הטעות" כביכול בתרגיל, היא פשות נוסעת מהגדרות שונות. ניתן לשים לב שההבדל בין ההגדרות הוא עד כדי פלוס מינוס, שהרי: <math>|A-xI|=(-1)^n|xI-A|</math>. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:::העניין הוא שגם בועז צבאן מגדיר את זה <math>|xI-A|</math>. אבל בקיצור זה לא משנה ואפשר להשתמש באיזו הגדרה מתי שרוצים. תודה על ההסבר.

'''עדי: לא נכון.הגדרת הפולינום האופייני היא <math>|xI-A|</math> או <math>(-1)^n|A-xI|</math> אבל לא <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (אלא אם המימד זוגי מין הסתם). כאשר משווים לאפס ע"מ לחפש שורשים סדר החיסור איננו משנה. בכל מקרה מה שאמרה השואלת זה לא שההגדרה של פ"א היא עד כדי +- אלא שהפתרון לסעיף זה הוא נכון עד כדי +-.'''

== שאלה לעדי ==

אני (ועוד כמה) לא נגיע מחר בגלל טיול שנתי בביה"ס, ולכן אנחנו רוצים להגיש את שיעורי הבית היום. זה בסדר אם נשים אותם באחד מהתאים בבניין המתמטיקה? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:47, 15 בנובמבר 2010 (IST)

:'''עדי: אני מקווה שלא פיספסתי אתכם. שימו בתא להגשות באיחור בתאים בקומת הכניסה (רשום על זה. אני חושבת שזה 103 אבל לא בטוחה אז תסתכלו על איזה תא רשום). תשלימו את השיעור ועדכנו אם תצטרכו עזרה בהבנתו.'''
::לא פספסת, חיכיתי לך (ד"א, עד מתי האוניברסיטה פתוחה?). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:50, 15 בנובמבר 2010 (IST)
'''לאוניברסיטה לפי דעתי אפשר להכנס 24/7.מתי המחלקה ננעלת לעומת זאת אין לי מושג...'''

'''לא שמתם בסוף?'''
:אני לא הספקתי, אז הזמנתי שליח (לגבי השאר אני לא יודע). למה את שואלת? זה לא היה בתא? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 15:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 3.18 סעיף ג ==

מהי האות שהיא המקדם של x^9? היא די דומה לכ' סופית אך זו לא בקבוצת האותיות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:06, 15 בנובמבר 2010 (IST)
:זו האות ב. אם תתבונן בחוברת של צבאן, שם התרגילים כתובים באותו פונט אבל שלא עבר תאות שונות כגון סריקה והעתקה ולכן רואים יותר טוב, תראה בוודאות שזו ב. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

::זה לא ך' באמת? הרי כתוב שם "תרגיל ארוך". פשוט ערכה שווה לערך של כ'. לא?
:::זה בטוח כ' כי כתוב תרגיל ארוך

== שאלה על 3.18 ד' ==

איך פותרים את זה? יש דרך למצוא מטריצה אך ורק על פי הערכים העצמיים שלה?

'''עדי:לא תמיד, אבל חשוב מה אנחנו יודעים עליה היות וכל ערכיה העצמיים שונים וכתוצאה מכך מה אנחנו יודעים על כל מט'שדומה לה
:עכשיו התקדמתי והגעתי למשוואה שהפולינום האופייני של המט' החדשה צריכה להיות. הפוילנום האופייני צריך לצאת (x-1)(x^2-2x+2)=0. הבעיה היא עכשיו שלא נראה לי שיכול להיות מטריצה ממשית עם הפולינום האופייני הזה, נראה לי שחלק מאיברי האלכסון חייבים להיות מרוכבים כדי שזה יצא, ואני לא יודע איך פותרים עכשיו..

== שאלה 3.18, סעיפים ה' + ו' ==

בסעיף ה' בשאלה נדרש לחשב את הוקטורים העצמיים של A = companion. אם כל הע"ע העצמיים של A שונים אז היא לכסינה ולכן יש מטריצה מלכסנת שהיא בנויה מן הוקטורים העצמיים שלה בעמודות.
לעומת זאת, בסעיף ו', מגדירים את ונדרמונדה להיות כך שהיא transpose של הוקטורים העצמיים שיצאו לי בה', ולכן יוצא כי מה שצריך להוכיח לא נכון. האם יש טעות בתרגיל?
:{{לא מתרגל}} לא. ביקשו להראות שהמטריצה המתקבלת אלכסונית, לא אלכסונית ''המתקבלת מליכסון A עם המלכסנת vandermonde''. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]
:: הפרכתי את זה עכשיו. לקחתי מטריצה מסדר 2, עם ערכים עצמיים 2 ו-3 ופולינום x^2 -5x + 6. התוצאה של החישוב של מה שהיה צריך להוכיח שיוצא אלכסונית, לא יצא אלכסונית.

'''עדי:לפי דעתי אתה צודק והוונדרמונד צריך להיות משוחלף. אבדוק בהמשך כשאכתוב פתרונות
: תודה על התשובה. אגב, זה צודק <:

: בפתרונות כתבתם עבור השחלוף של ונדרמונדה. שם זה מתקיים. אני מניח שלא תרדנה לי נקודות אם הפרכתי את הטענה עבור ונדרמונדה הנתונה, נכון?'''

'''עדי: לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור שיחלוף. כנ"ל בשאלה עם הפ"א שמציבים בו 0:לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור <math> \pm </math>.'''

== 2 דברים לגבי תרגיל 6 ==

דבר ראשון- הסבר למושגים- מה זה אומר מטריצה אידמפוטנטית? זה כל מטריצה המקיימית A בריבוע שווה A? אם כן, אפשר דוגמה קצרה לאיך A יכולה להיות לא-I? וגם מה זה מטריצה "רגולרית"? (זה לא בסדר שזה לא מוסבר!)
ודבר שני, אפשר בבקשה, אלגוריתם מסודר, של איך מוצאים פולינום מינימלי? אני חושב שאמרת (עדי) שתעלי לאתר.
תודה רבה!

:(לא מתרגלת) בקשר למט' אידמפוטנטית אני חושבת שכן-כתוב בתרגיל 5.22
:ואם אני לא טועה מטריצה רגולרית זו מטריצה הפיכה

::דוגמאות לאיד': מטריצת האפס, כל מטריצה אלכסונית שעל האלכסון יש בלבד אחדות ואפסים, המטריצה <math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)
::אשמח גם את האלגוריתם למציאת פולינום מינימלי, אם אפשר. תודה!

==שאלה 1 בתרגיל 6==
יצא לי שהפ"א מל"ל ולכן היא ניתנת לשילוש.
חישבתי לפי אלגוריתם שהוצג בתרגול (של אוהד, אבל הפורום הזה פעיל) את המט' המשולשית והיא פשוט לא יצאה משולשית. אני בטוחה שעשיתי נכון, בדקתי כמה פעמים.
לכן השאלה שלי היא, האם אפשר לכתוב כאן אלגוריתם למציאת מטריצה משולשית דומה?
הסתדרתי ><"

== התלבטויות לגבי שילוש ==

יש כמה קטעים לא מובנים לגבי שילוש מטריצה.
נגיד התחלנו במט' שלוש על שלוש וניסינו לשלש אותה. הגענו למט' שקרובה יותר למשולשית, כך שהבלוק 2 על 2 התחתון ימני הוא המט' החדשה שצריך לשלש (1. נכון?), כעת ניסיתי לשלש את המט' 2 על 2 החדשה. הגעתי למט' המשלשת וההופכית שלה, עכשיו מה צריכה להיות המט' ש"אמורה" להיות, אם הצלחנו, משולשית? כלומר (זה די מסובך לכתוב את זה בפורום) אם המט' המקורית היא A, הנסיון לשילוש הראשון שלנו הוביל אותנו ל <math>D_1=P^{-1}AP</math>, והנסיון לשילוש השני הוביל אותנו למט' השילוש Q ו Q^-1, האם המט' שאמורה להיות משולשת D2 צריכה להיות P-1 כפול Q-1 (בתור בלוק עטוף במט' הזהות) כפול X כפול Q (בלוק בתוך הזהות) כפול P-- אם המבנה הזה נכון (2.), אז מה צריכה להיות (3.) המט' X? המט' A? המט' A' שהיא הבלוק הימני תחתון של המט' D1? תודה

:(לא מתרגל) הכפל ממנו תקבל את המשולשית הדומה במקרה זה הוא:
<div style="text-align:left;"><math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{Q^{ - 1}}}
\end{array}} \right){P^{ - 1}}AP\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&Q
\end{array}} \right)</math></div>
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:07, 20 בנובמבר 2010 (IST)
::2 דברים- אתה בטוח שה-Q "יותר קרובה" במכפלה למט' המרכזית? כי לפי מה שהעתקתי מהתרגול, עשינו בתרגול ש המט' שדומה למשולשית שווה למכפלה של 5 מט' שהמט' הקרובה יותר לאמצעית היא Q והיותר רחוקה היא P.
::בנוסף, אתה בטוח שהמט' המרכזית היא A? בדקתי עכשיו טוב, ולפי מה שהבנתי המט' המרכזית היא המט' שבשורה ובעמודה הראשונות יש את השורה והעמודה הראשונות של המט' אחרי שניסינו לשלש אותה פעם אחת, ובלוק הימני תחתון יש את המט' המשולשת מסדר 2 על 2 שהגענו אליה אחרי שילוש פעם שניה. בכל מקרה, עשיתי לפי 2 הדברים שאני כתבתי (המט' המרכזית המסובכת ואז Q קרובה יותר וP רחוקה יותר) ויצא לי לא נכון, אחרי שבדקתי את מכפלת 5 המטריצות המכפלה יצאה שונה מA המקורית. אז איפשהו כנראה שטעיתי.

:::[[מדיה:09Linear2Triangulation.pdf|דוגמא לשילוש אורתוגונאלי]]. אמנם לא שילוש רגיל, אבל אם נתעלם מפעולת הנרמול זה שילוש רגיל. אולי זה יעזור לכם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:43, 20 בנובמבר 2010 (IST)
::::אנחנו עדיין לא יודעים מה זה אורתוגונאלי, מה זה נרמול, מה הקשר לריבוי גיאומטרי ומה זה קיצורים כמו א"נ, לכן זה לא כל כך מדבר אלינו. אשמח לתשובה פשוטה יותר לגבי המשוואה הסופית שצריכה להיות. בסוף השילוש הרגיל (הראשון שלומדים) יוצא בסוף משוואה A= מכפלה של 5 מטריצות, אשמח לקבל אימות של אילו מטריצות צריכות להיות במכפלה, ואז לראות אולי איפה טעיתי כי המכפלה של המט' כפי שהעתקתי מהתרגול האחרון יצאה לי לא נכונה.
:::::פשוט תתעלם מהמושגים שאתה לא מכיר, ותחשוב שבחרנו בסיסים רנדומליים כלשהם (במקום בסיס א"נ), האלגוריתם הוא אותו אלגוריתם, ורשום שם אילו מטריצות יש לכפול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:15, 20 בנובמבר 2010 (IST)

== שאלה קצרה ביותר ==

האם A*X=A גורר ש X=I? תודה

:(לא מתרגל) רק במידה וA הפיכה, אז אתה יכול לכפול בהופכית לה ולקבל I. במקרה אחר זה לא נכון, לדוגמה קח את A להיות מטריצת האפס.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 13:48, 20 בנובמבר 2010 (IST)
::אוף, זה לא טוב לי- אני צריך להוכיח שמטריצה A היא הפיכה ולכן אני לא יכול להשתמש בזה שהיא הפיכה. אולי אפשר עזרה לגבי איך להוכיח שמט' איד' היא הפיכה? (וגם שהמט' שווה למט' ההפוכה לה)?
:::הטענה שמטריצה אידמפוטנטית היא הפיכה אינה נכונה. קח לדוגמה את מטריצת האפס, אידמפוטנטית אבל אינה הפיכה. יותר מזה, יש רק מקרה אחד בו מטריצה אידמפוטנטית היא הפיכה, מטריצת היחידה.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 15:25, 20 בנובמבר 2010 (IST)

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-20T12:07:37Z

לידור.א.: /* התלבטויות לגבי שילוש */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
=שאלות=

== פעולות שורה ועמודהֿ ==

רק כדי להיות בטוח-
דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?
:{{לא מתרגל}} לא: <math>-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8</math> למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-<math>A^T</math> מכפילה את הדט' ב-<math>(-1)^{2k}=1</math>). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)

::גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!
:::כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)
:::{{לא מתרגל}} תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה '''ו'''שחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)

== מרחב וקטורי נוצר סופית ==

מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 20:05, 8 בנובמבר 2010

'''עדי: בגדול כן, תהיה ממוקד על שאלה ליתר בטחון.

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

בתרגיל כתוב למצוא את <math>A^{-1}</math> על ידי שימוש בפרוק <math>A=PDP^{-1}</math>. לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- <math>A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}</math> אבל אם כבר מחשבים את <math>D^{-1}</math> אז פשוט יותר לחשב את <math>A^{-1}</math> בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?

בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את <math>A^{-1}</math>?
:עבור <math>A\in\mathbb{F}^{2\times2}</math> הדרך הפשוטה ביותר היא <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}</math>
:ועבור <math>A\in\mathbb{F}^{3\times3}</math>: <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\
\end{bmatrix}</math>
:כאשר <math>\begin{matrix}
A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\
B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\
C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\
\end{matrix}</math>
:(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו '''דווקא''' לפי PDP-1.

::תודה על התשובה. זה בעצם <math>adj(A)/det(A)</math> ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את <math>D^{-1}</math> באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את <math>P^{-1}</math>, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של <math>A^{-1}</math> בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב <math>adj(A)/det(A)</math>?

:::::מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)

:::::: אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...
:::::::כי עם P-1 אפשר לחשב גם את A3. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A20? או על A10000? אפילו [http://www.wolframalpha.com/input/?i={{3%2C2}%2C{4%2C10}}^10000 wolframalpha ויתר]. ובלי שום קשר - [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|תשובה?]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)
::::::::אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <''צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף''> אבל ב-100000000 הוא נכנע.

:::::::::חח טוב השתכנעתי, תודה.

== שאלה 1 ==
איך מגיעים מכך ש <math>(A-xI)v=0</math> לזה ש A לא הפיכה? תודה!
:{{לא מתרגל}} אתה מתכוון <math>A-xI</math> לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math> (ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|פה]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)
::כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של <math>|A|</math> המטריצה לא תהיה הפיכה?
::כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, [[משתמש:Gordo6|גל]].
:כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!
::{{לא מתרגל}} לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-<math>A-xI</math> לא הפיכה? כאמור: <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math>, לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST)
:::למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI לא הפיכה?
::::כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-<math>A-xI</math> הפיכה, כלומר קיימת <math>(A-xI)^{-1}</math> כך ש-<math>(A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I</math>. נכפיל (מימין, כמובן) ב-<math>v\ne\vec0</math> ונקבל
<div style="text-align:left;"><math>\begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align}</math></div>
::::בסתירה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)

== שאלה 3.18 ==

בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?

===תשובה===
הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_0</math> ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math>. קל לראות ש <math>f(A)</math> מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה <math>f(A)</math> הינה מטריצת האפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)
:אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור
:עדיין לא הבנתי: מה צריך להראות? כי את העובדה ש <math>f_A(A)=0</math> לא צריך להראות בכלל, זה תמיד מתקיים על פי קיילי המילטון. אז מה כן צריך לעשות? תודה
::רשום בשאלה פולינום אופייני? רשומה מטריצה ופולינום, לכן נשאר מה להוכיח, ויש אפילו רמז. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:06, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::ברמז מפנים אותך לשאלה שקשורה לפולינום אופייני, אבל הרגע אמרת שאין שום קשר לפולינום אופייני!
::::אתה חייב לנסות להבין יותר מאשר להסביר לי... יש קשר לפולינום אופייני, אבל לא '''נתון''' שזה פולינום אופייני. לכן אם רוצים לומר את זה צריך להסביר את זה ואז יש תרגיל + פתרון שלו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:37, 13 בנובמבר 2010 (IST)

== עזרה במושגים ==

מהו הפולינום הזה שאפשר להציב בו מטריצות במקום סקלר (איך הוא נקרא\מסומן, התכונות שלו), יש לו קשר לפולינום האופייני? יש לו קשר לפולינום רגיל? ועוד 2 שאלות חשובות:
:איך אפשר למצוא מטריצה שמאפסת פולינום? (האם יש אלגוריתם או דרך לפתרון)?
:מה זה פולינום ש"מאפס את A"?
תודה

::יעזור לקרוא את השאלה שבדיוק נמצאת מעליך.
:::אשמח לתשובות לכל השאלות שלא ניענות בשאלה שמעליי (וגם תשובה למה זה"מאפס את A", שאני לא בטוח עדיין מהי התשובה הנכונה). תודה
::::רשמתי שם באופן מדוייק כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כל פולינום) ומתי אומרים שמטריצה מאפסת פולינום, תקרא היטב. לגבי איך מוצאים מטריצה מאפסת פולינום, זה בדיוק הסעיף הראשון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::::לא, אני יודע מה זה למצוא מטריצה שמאפסת פולינום על פי ההגדרה, אבל איך אפשר למצוא את המטריצה בצורה יותר קלה מההגדרה? (אתה לא מצפה ממני לפתור 5 A '''בחמישית''' ועוד 3 A בשלישית וכו', נכון? או לעשות חזקות של מטריצה מסובכת עם מימדים nxn?)
::::::לא מההגדרה, מהסעיף הראשון שם יש נוסחא מפורשת למטריצה שמאפסת '''פולינום כלשהו''' ... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)

== תרגיל 5? תרגיל 3? ==

למה בכותרת של תרגיל 5 כתוב תרגיל 3? שלא יצא ששמו בטעות משהו אחר...

== תרגיל 5 שאלה 3.3 ==

החלק הראשון של סעיף ב' נכון רק עד כדי <math> \pm </math>, בתלות בזוגיות n. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:23, 13 בנובמבר 2010 (IST)
'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

== שאלה 3.18 א' ==

עשיתי חישוב ישיר של A בריבוע, A בשלישית,..., A בחזקת n, ובסכום a0I+a1A+...+an-1A^n יוצא לי במקום מטריצת האפס, יוצא שהסכום הוא בדיוק 2A^n! זה נכון, או שהיית לי טעות? או שבכלל לא הבנתי את השאלה? קראתי בשאלות מעליי שיש קשר לפולינום האופייני אבל לא הבנתי מהו. פשוט חישבתי ישירות. גם לא הבנתי מה הקשר לתרגיל שברמז. אשמח להסבר מפורט ומובן ככל האפשר. תודה רבה מראש!

===תשובה===
(לא מתרגל/ת) כנראה הייתה טעות כי הצלחתי להוכיח את המבוקש, דבר שני איך בדיוק אפשר לחשב דבר כזה כאשר n הוא מספר כלשהו?
הכיוון הוא יותר פשוט, כמו שנכתב קודם יש קשר לפולינום האופייני, מצא את הפולינום האופייני ולפי קיילי- המילטון A מאפסת אותו, אחרי שלבים אלה ההמשך פשוט.
:חישבתי את זה ע"י חישוב A בריבוע (בעזרת שלוש נקודות כי יש המטריצה היא מגודל n על n), ואז A בשלישית, הבנת העקרון, שלוש נקודות, ואת A בחזקת n. אז הצבת המטריצות בפולינום וזה מה שיצא לי. אם זה לא נכון והפתרון הנכון היחיד הוא עם הפולינום האופייני, אשמח לעזרה בנושא, מכיוון שלא הבנתי את הקשר לפולינום האופייני, ואשמח לתשובה קצת יותר עמוקה מאשר הרמזים הקלושים והעפלוליים שכתובים בשפה מצרית עתיקה ושאותם צריכים מומחים לפענך כדי להבין מה הם אומר- כמו שארז בדרך כלל עונה. תודה
::התבוננו בדף שהעלה לכאן ד"ר צבאן בנושא המטריצה הנלווית. אפשר לומר שדף זה ממש נותן את התשובה לסעיף א... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
'''עדי: thumbs up'''

:::עדיין לא הבנתי מה צריך לעשות ב-א'.

==3.18 ד'==
האם מותר להשתמש בטענה שמטריצות עם ערכים עצמיים שווים דומות?
אשמח לקבל תשובה בהקדם, תודה לעוזרים

'''עדי: זה בדיוק מה שאומר הרמז בסוגריים

תודה, הבנתי את הרמז אבל לא ידעתי אם מותר להשתמש בו בלי הוכחה

== תרגיל 5 שאלה 3.3 ב ==

אני חושבת שזה לא נכון שבהכרח <math>f_A(0)=|A|</math> כי הרי <math>f_A(0)=|0*I-A|=|-A|=(-1)^n|A|</math>. אז אם n אי זוגי, <math>f_A(0)=-|A|</math> וזה לא בהכרח שווה ל-<math>|A|</math>. אז.. איפה טעיתי?

'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

:מה ז"א? ההגדרה של פולינום אופייני היא לא <math>f_A(x)=|xI-A|</math> אלא <math>f_A(x)=\pm|xI-A|</math>??

::יש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|xI-A|</math> (כמו שמגדירים בהרצאה) ויש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (כמו שמגדירים בחוברת של צבאן). לכן גם "הטעות" כביכול בתרגיל, היא פשות נוסעת מהגדרות שונות. ניתן לשים לב שההבדל בין ההגדרות הוא עד כדי פלוס מינוס, שהרי: <math>|A-xI|=(-1)^n|xI-A|</math>. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:::העניין הוא שגם בועז צבאן מגדיר את זה <math>|xI-A|</math>. אבל בקיצור זה לא משנה ואפשר להשתמש באיזו הגדרה מתי שרוצים. תודה על ההסבר.

'''עדי: לא נכון.הגדרת הפולינום האופייני היא <math>|xI-A|</math> או <math>(-1)^n|A-xI|</math> אבל לא <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (אלא אם המימד זוגי מין הסתם). כאשר משווים לאפס ע"מ לחפש שורשים סדר החיסור איננו משנה. בכל מקרה מה שאמרה השואלת זה לא שההגדרה של פ"א היא עד כדי +- אלא שהפתרון לסעיף זה הוא נכון עד כדי +-.'''

== שאלה לעדי ==

אני (ועוד כמה) לא נגיע מחר בגלל טיול שנתי בביה"ס, ולכן אנחנו רוצים להגיש את שיעורי הבית היום. זה בסדר אם נשים אותם באחד מהתאים בבניין המתמטיקה? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:47, 15 בנובמבר 2010 (IST)

:'''עדי: אני מקווה שלא פיספסתי אתכם. שימו בתא להגשות באיחור בתאים בקומת הכניסה (רשום על זה. אני חושבת שזה 103 אבל לא בטוחה אז תסתכלו על איזה תא רשום). תשלימו את השיעור ועדכנו אם תצטרכו עזרה בהבנתו.'''
::לא פספסת, חיכיתי לך (ד"א, עד מתי האוניברסיטה פתוחה?). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:50, 15 בנובמבר 2010 (IST)
'''לאוניברסיטה לפי דעתי אפשר להכנס 24/7.מתי המחלקה ננעלת לעומת זאת אין לי מושג...'''

'''לא שמתם בסוף?'''
:אני לא הספקתי, אז הזמנתי שליח (לגבי השאר אני לא יודע). למה את שואלת? זה לא היה בתא? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 15:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 3.18 סעיף ג ==

מהי האות שהיא המקדם של x^9? היא די דומה לכ' סופית אך זו לא בקבוצת האותיות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:06, 15 בנובמבר 2010 (IST)
:זו האות ב. אם תתבונן בחוברת של צבאן, שם התרגילים כתובים באותו פונט אבל שלא עבר תאות שונות כגון סריקה והעתקה ולכן רואים יותר טוב, תראה בוודאות שזו ב. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

::זה לא ך' באמת? הרי כתוב שם "תרגיל ארוך". פשוט ערכה שווה לערך של כ'. לא?
:::זה בטוח כ' כי כתוב תרגיל ארוך

== שאלה על 3.18 ד' ==

איך פותרים את זה? יש דרך למצוא מטריצה אך ורק על פי הערכים העצמיים שלה?

'''עדי:לא תמיד, אבל חשוב מה אנחנו יודעים עליה היות וכל ערכיה העצמיים שונים וכתוצאה מכך מה אנחנו יודעים על כל מט'שדומה לה
:עכשיו התקדמתי והגעתי למשוואה שהפולינום האופייני של המט' החדשה צריכה להיות. הפוילנום האופייני צריך לצאת (x-1)(x^2-2x+2)=0. הבעיה היא עכשיו שלא נראה לי שיכול להיות מטריצה ממשית עם הפולינום האופייני הזה, נראה לי שחלק מאיברי האלכסון חייבים להיות מרוכבים כדי שזה יצא, ואני לא יודע איך פותרים עכשיו..

== שאלה 3.18, סעיפים ה' + ו' ==

בסעיף ה' בשאלה נדרש לחשב את הוקטורים העצמיים של A = companion. אם כל הע"ע העצמיים של A שונים אז היא לכסינה ולכן יש מטריצה מלכסנת שהיא בנויה מן הוקטורים העצמיים שלה בעמודות.
לעומת זאת, בסעיף ו', מגדירים את ונדרמונדה להיות כך שהיא transpose של הוקטורים העצמיים שיצאו לי בה', ולכן יוצא כי מה שצריך להוכיח לא נכון. האם יש טעות בתרגיל?
:{{לא מתרגל}} לא. ביקשו להראות שהמטריצה המתקבלת אלכסונית, לא אלכסונית ''המתקבלת מליכסון A עם המלכסנת vandermonde''. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]
:: הפרכתי את זה עכשיו. לקחתי מטריצה מסדר 2, עם ערכים עצמיים 2 ו-3 ופולינום x^2 -5x + 6. התוצאה של החישוב של מה שהיה צריך להוכיח שיוצא אלכסונית, לא יצא אלכסונית.

'''עדי:לפי דעתי אתה צודק והוונדרמונד צריך להיות משוחלף. אבדוק בהמשך כשאכתוב פתרונות
: תודה על התשובה. אגב, זה צודק <:

: בפתרונות כתבתם עבור השחלוף של ונדרמונדה. שם זה מתקיים. אני מניח שלא תרדנה לי נקודות אם הפרכתי את הטענה עבור ונדרמונדה הנתונה, נכון?'''

'''עדי: לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור שיחלוף. כנ"ל בשאלה עם הפ"א שמציבים בו 0:לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור <math> \pm </math>.'''

== 2 דברים לגבי תרגיל 6 ==

דבר ראשון- הסבר למושגים- מה זה אומר מטריצה אידמפוטנטית? זה כל מטריצה המקיימית A בריבוע שווה A? אם כן, אפשר דוגמה קצרה לאיך A יכולה להיות לא-I? וגם מה זה מטריצה "רגולרית"? (זה לא בסדר שזה לא מוסבר!)
ודבר שני, אפשר בבקשה, אלגוריתם מסודר, של איך מוצאים פולינום מינימלי? אני חושב שאמרת (עדי) שתעלי לאתר.
תודה רבה!

:(לא מתרגלת) בקשר למט' אידמפוטנטית אני חושבת שכן-כתוב בתרגיל 5.22
:ואם אני לא טועה מטריצה רגולרית זו מטריצה הפיכה

::דוגמאות לאיד': מטריצת האפס, כל מטריצה אלכסונית שעל האלכסון יש בלבד אחדות ואפסים, המטריצה <math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)

==שאלה 1 בתרגיל 6==
יצא לי שהפ"א מל"ל ולכן היא ניתנת לשילוש.
חישבתי לפי אלגוריתם שהוצג בתרגול (של אוהד, אבל הפורום הזה פעיל) את המט' המשולשית והיא פשוט לא יצאה משולשית. אני בטוחה שעשיתי נכון, בדקתי כמה פעמים.
לכן השאלה שלי היא, האם אפשר לכתוב כאן אלגוריתם למציאת מטריצה משולשית דומה?
הסתדרתי ><"

== התלבטויות לגבי שילוש ==

יש כמה קטעים לא מובנים לגבי שילוש מטריצה.
נגיד התחלנו במט' שלוש על שלוש וניסינו לשלש אותה. הגענו למט' שקרובה יותר למשולשית, כך שהבלוק 2 על 2 התחתון ימני הוא המט' החדשה שצריך לשלש (1. נכון?), כעת ניסיתי לשלש את המט' 2 על 2 החדשה. הגעתי למט' המשלשת וההופכית שלה, עכשיו מה צריכה להיות המט' ש"אמורה" להיות, אם הצלחנו, משולשית? כלומר (זה די מסובך לכתוב את זה בפורום) אם המט' המקורית היא A, הנסיון לשילוש הראשון שלנו הוביל אותנו ל <math>D_1=P^{-1}AP</math>, והנסיון לשילוש השני הוביל אותנו למט' השילוש Q ו Q^-1, האם המט' שאמורה להיות משולשת D2 צריכה להיות P-1 כפול Q-1 (בתור בלוק עטוף במט' הזהות) כפול X כפול Q (בלוק בתוך הזהות) כפול P-- אם המבנה הזה נכון (2.), אז מה צריכה להיות (3.) המט' X? המט' A? המט' A' שהיא הבלוק הימני תחתון של המט' D1? תודה

:(לא מתרגל) הכפל ממנו תקבל את המשולשית הדומה במקרה זה הוא:
<div style="text-align:left;"><math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{Q^{ - 1}}}
\end{array}} \right){P^{ - 1}}AP\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&Q
\end{array}} \right)</math></div>
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:07, 20 בנובמבר 2010 (IST)

== שאלה קצרה ביותר ==

האם A*X=A גורר ש X=I? תודה

:(לא מתרגל) רק במידה וA הפיכה, אז אתה יכול לכפול בהופכית לה ולקבל I. במקרה אחר זה לא נכון, לדוגמה קח את A להיות מטריצת האפס.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 13:48, 20 בנובמבר 2010 (IST)

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-20T11:48:05Z

לידור.א.: /* שאלה קצרה ביותר */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
=שאלות=

== פעולות שורה ועמודהֿ ==

רק כדי להיות בטוח-
דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?
:{{לא מתרגל}} לא: <math>-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8</math> למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-<math>A^T</math> מכפילה את הדט' ב-<math>(-1)^{2k}=1</math>). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)

::גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!
:::כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)
:::{{לא מתרגל}} תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה '''ו'''שחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)

== מרחב וקטורי נוצר סופית ==

מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 20:05, 8 בנובמבר 2010

'''עדי: בגדול כן, תהיה ממוקד על שאלה ליתר בטחון.

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

בתרגיל כתוב למצוא את <math>A^{-1}</math> על ידי שימוש בפרוק <math>A=PDP^{-1}</math>. לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- <math>A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}</math> אבל אם כבר מחשבים את <math>D^{-1}</math> אז פשוט יותר לחשב את <math>A^{-1}</math> בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?

בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את <math>A^{-1}</math>?
:עבור <math>A\in\mathbb{F}^{2\times2}</math> הדרך הפשוטה ביותר היא <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}</math>
:ועבור <math>A\in\mathbb{F}^{3\times3}</math>: <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\
\end{bmatrix}</math>
:כאשר <math>\begin{matrix}
A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\
B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\
C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\
\end{matrix}</math>
:(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו '''דווקא''' לפי PDP-1.

::תודה על התשובה. זה בעצם <math>adj(A)/det(A)</math> ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את <math>D^{-1}</math> באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את <math>P^{-1}</math>, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של <math>A^{-1}</math> בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב <math>adj(A)/det(A)</math>?

:::::מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)

:::::: אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...
:::::::כי עם P-1 אפשר לחשב גם את A3. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A20? או על A10000? אפילו [http://www.wolframalpha.com/input/?i={{3%2C2}%2C{4%2C10}}^10000 wolframalpha ויתר]. ובלי שום קשר - [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|תשובה?]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)
::::::::אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <''צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף''> אבל ב-100000000 הוא נכנע.

:::::::::חח טוב השתכנעתי, תודה.

== שאלה 1 ==
איך מגיעים מכך ש <math>(A-xI)v=0</math> לזה ש A לא הפיכה? תודה!
:{{לא מתרגל}} אתה מתכוון <math>A-xI</math> לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math> (ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|פה]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)
::כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של <math>|A|</math> המטריצה לא תהיה הפיכה?
::כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, [[משתמש:Gordo6|גל]].
:כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!
::{{לא מתרגל}} לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-<math>A-xI</math> לא הפיכה? כאמור: <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math>, לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST)
:::למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI לא הפיכה?
::::כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-<math>A-xI</math> הפיכה, כלומר קיימת <math>(A-xI)^{-1}</math> כך ש-<math>(A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I</math>. נכפיל (מימין, כמובן) ב-<math>v\ne\vec0</math> ונקבל
<div style="text-align:left;"><math>\begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align}</math></div>
::::בסתירה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)

== שאלה 3.18 ==

בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?

===תשובה===
הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_0</math> ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math>. קל לראות ש <math>f(A)</math> מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה <math>f(A)</math> הינה מטריצת האפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)
:אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור
:עדיין לא הבנתי: מה צריך להראות? כי את העובדה ש <math>f_A(A)=0</math> לא צריך להראות בכלל, זה תמיד מתקיים על פי קיילי המילטון. אז מה כן צריך לעשות? תודה
::רשום בשאלה פולינום אופייני? רשומה מטריצה ופולינום, לכן נשאר מה להוכיח, ויש אפילו רמז. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:06, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::ברמז מפנים אותך לשאלה שקשורה לפולינום אופייני, אבל הרגע אמרת שאין שום קשר לפולינום אופייני!
::::אתה חייב לנסות להבין יותר מאשר להסביר לי... יש קשר לפולינום אופייני, אבל לא '''נתון''' שזה פולינום אופייני. לכן אם רוצים לומר את זה צריך להסביר את זה ואז יש תרגיל + פתרון שלו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:37, 13 בנובמבר 2010 (IST)

== עזרה במושגים ==

מהו הפולינום הזה שאפשר להציב בו מטריצות במקום סקלר (איך הוא נקרא\מסומן, התכונות שלו), יש לו קשר לפולינום האופייני? יש לו קשר לפולינום רגיל? ועוד 2 שאלות חשובות:
:איך אפשר למצוא מטריצה שמאפסת פולינום? (האם יש אלגוריתם או דרך לפתרון)?
:מה זה פולינום ש"מאפס את A"?
תודה

::יעזור לקרוא את השאלה שבדיוק נמצאת מעליך.
:::אשמח לתשובות לכל השאלות שלא ניענות בשאלה שמעליי (וגם תשובה למה זה"מאפס את A", שאני לא בטוח עדיין מהי התשובה הנכונה). תודה
::::רשמתי שם באופן מדוייק כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כל פולינום) ומתי אומרים שמטריצה מאפסת פולינום, תקרא היטב. לגבי איך מוצאים מטריצה מאפסת פולינום, זה בדיוק הסעיף הראשון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::::לא, אני יודע מה זה למצוא מטריצה שמאפסת פולינום על פי ההגדרה, אבל איך אפשר למצוא את המטריצה בצורה יותר קלה מההגדרה? (אתה לא מצפה ממני לפתור 5 A '''בחמישית''' ועוד 3 A בשלישית וכו', נכון? או לעשות חזקות של מטריצה מסובכת עם מימדים nxn?)
::::::לא מההגדרה, מהסעיף הראשון שם יש נוסחא מפורשת למטריצה שמאפסת '''פולינום כלשהו''' ... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)

== תרגיל 5? תרגיל 3? ==

למה בכותרת של תרגיל 5 כתוב תרגיל 3? שלא יצא ששמו בטעות משהו אחר...

== תרגיל 5 שאלה 3.3 ==

החלק הראשון של סעיף ב' נכון רק עד כדי <math> \pm </math>, בתלות בזוגיות n. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:23, 13 בנובמבר 2010 (IST)
'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

== שאלה 3.18 א' ==

עשיתי חישוב ישיר של A בריבוע, A בשלישית,..., A בחזקת n, ובסכום a0I+a1A+...+an-1A^n יוצא לי במקום מטריצת האפס, יוצא שהסכום הוא בדיוק 2A^n! זה נכון, או שהיית לי טעות? או שבכלל לא הבנתי את השאלה? קראתי בשאלות מעליי שיש קשר לפולינום האופייני אבל לא הבנתי מהו. פשוט חישבתי ישירות. גם לא הבנתי מה הקשר לתרגיל שברמז. אשמח להסבר מפורט ומובן ככל האפשר. תודה רבה מראש!

===תשובה===
(לא מתרגל/ת) כנראה הייתה טעות כי הצלחתי להוכיח את המבוקש, דבר שני איך בדיוק אפשר לחשב דבר כזה כאשר n הוא מספר כלשהו?
הכיוון הוא יותר פשוט, כמו שנכתב קודם יש קשר לפולינום האופייני, מצא את הפולינום האופייני ולפי קיילי- המילטון A מאפסת אותו, אחרי שלבים אלה ההמשך פשוט.
:חישבתי את זה ע"י חישוב A בריבוע (בעזרת שלוש נקודות כי יש המטריצה היא מגודל n על n), ואז A בשלישית, הבנת העקרון, שלוש נקודות, ואת A בחזקת n. אז הצבת המטריצות בפולינום וזה מה שיצא לי. אם זה לא נכון והפתרון הנכון היחיד הוא עם הפולינום האופייני, אשמח לעזרה בנושא, מכיוון שלא הבנתי את הקשר לפולינום האופייני, ואשמח לתשובה קצת יותר עמוקה מאשר הרמזים הקלושים והעפלוליים שכתובים בשפה מצרית עתיקה ושאותם צריכים מומחים לפענך כדי להבין מה הם אומר- כמו שארז בדרך כלל עונה. תודה
::התבוננו בדף שהעלה לכאן ד"ר צבאן בנושא המטריצה הנלווית. אפשר לומר שדף זה ממש נותן את התשובה לסעיף א... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
'''עדי: thumbs up'''

:::עדיין לא הבנתי מה צריך לעשות ב-א'.

==3.18 ד'==
האם מותר להשתמש בטענה שמטריצות עם ערכים עצמיים שווים דומות?
אשמח לקבל תשובה בהקדם, תודה לעוזרים

'''עדי: זה בדיוק מה שאומר הרמז בסוגריים

תודה, הבנתי את הרמז אבל לא ידעתי אם מותר להשתמש בו בלי הוכחה

== תרגיל 5 שאלה 3.3 ב ==

אני חושבת שזה לא נכון שבהכרח <math>f_A(0)=|A|</math> כי הרי <math>f_A(0)=|0*I-A|=|-A|=(-1)^n|A|</math>. אז אם n אי זוגי, <math>f_A(0)=-|A|</math> וזה לא בהכרח שווה ל-<math>|A|</math>. אז.. איפה טעיתי?

'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

:מה ז"א? ההגדרה של פולינום אופייני היא לא <math>f_A(x)=|xI-A|</math> אלא <math>f_A(x)=\pm|xI-A|</math>??

::יש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|xI-A|</math> (כמו שמגדירים בהרצאה) ויש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (כמו שמגדירים בחוברת של צבאן). לכן גם "הטעות" כביכול בתרגיל, היא פשות נוסעת מהגדרות שונות. ניתן לשים לב שההבדל בין ההגדרות הוא עד כדי פלוס מינוס, שהרי: <math>|A-xI|=(-1)^n|xI-A|</math>. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

:::העניין הוא שגם בועז צבאן מגדיר את זה <math>|xI-A|</math>. אבל בקיצור זה לא משנה ואפשר להשתמש באיזו הגדרה מתי שרוצים. תודה על ההסבר.

'''עדי: לא נכון.הגדרת הפולינום האופייני היא <math>|xI-A|</math> או <math>(-1)^n|A-xI|</math> אבל לא <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (אלא אם המימד זוגי מין הסתם). כאשר משווים לאפס ע"מ לחפש שורשים סדר החיסור איננו משנה. בכל מקרה מה שאמרה השואלת זה לא שההגדרה של פ"א היא עד כדי +- אלא שהפתרון לסעיף זה הוא נכון עד כדי +-.'''

== שאלה לעדי ==

אני (ועוד כמה) לא נגיע מחר בגלל טיול שנתי בביה"ס, ולכן אנחנו רוצים להגיש את שיעורי הבית היום. זה בסדר אם נשים אותם באחד מהתאים בבניין המתמטיקה? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 18:47, 15 בנובמבר 2010 (IST)

:'''עדי: אני מקווה שלא פיספסתי אתכם. שימו בתא להגשות באיחור בתאים בקומת הכניסה (רשום על זה. אני חושבת שזה 103 אבל לא בטוחה אז תסתכלו על איזה תא רשום). תשלימו את השיעור ועדכנו אם תצטרכו עזרה בהבנתו.'''
::לא פספסת, חיכיתי לך (ד"א, עד מתי האוניברסיטה פתוחה?). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 19:50, 15 בנובמבר 2010 (IST)
'''לאוניברסיטה לפי דעתי אפשר להכנס 24/7.מתי המחלקה ננעלת לעומת זאת אין לי מושג...'''

'''לא שמתם בסוף?'''
:אני לא הספקתי, אז הזמנתי שליח (לגבי השאר אני לא יודע). למה את שואלת? זה לא היה בתא? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]] 15:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 3.18 סעיף ג ==

מהי האות שהיא המקדם של x^9? היא די דומה לכ' סופית אך זו לא בקבוצת האותיות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:06, 15 בנובמבר 2010 (IST)
:זו האות ב. אם תתבונן בחוברת של צבאן, שם התרגילים כתובים באותו פונט אבל שלא עבר תאות שונות כגון סריקה והעתקה ולכן רואים יותר טוב, תראה בוודאות שזו ב. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]

::זה לא ך' באמת? הרי כתוב שם "תרגיל ארוך". פשוט ערכה שווה לערך של כ'. לא?
:::זה בטוח כ' כי כתוב תרגיל ארוך

== שאלה על 3.18 ד' ==

איך פותרים את זה? יש דרך למצוא מטריצה אך ורק על פי הערכים העצמיים שלה?

'''עדי:לא תמיד, אבל חשוב מה אנחנו יודעים עליה היות וכל ערכיה העצמיים שונים וכתוצאה מכך מה אנחנו יודעים על כל מט'שדומה לה
:עכשיו התקדמתי והגעתי למשוואה שהפולינום האופייני של המט' החדשה צריכה להיות. הפוילנום האופייני צריך לצאת (x-1)(x^2-2x+2)=0. הבעיה היא עכשיו שלא נראה לי שיכול להיות מטריצה ממשית עם הפולינום האופייני הזה, נראה לי שחלק מאיברי האלכסון חייבים להיות מרוכבים כדי שזה יצא, ואני לא יודע איך פותרים עכשיו..

== שאלה 3.18, סעיפים ה' + ו' ==

בסעיף ה' בשאלה נדרש לחשב את הוקטורים העצמיים של A = companion. אם כל הע"ע העצמיים של A שונים אז היא לכסינה ולכן יש מטריצה מלכסנת שהיא בנויה מן הוקטורים העצמיים שלה בעמודות.
לעומת זאת, בסעיף ו', מגדירים את ונדרמונדה להיות כך שהיא transpose של הוקטורים העצמיים שיצאו לי בה', ולכן יוצא כי מה שצריך להוכיח לא נכון. האם יש טעות בתרגיל?
:{{לא מתרגל}} לא. ביקשו להראות שהמטריצה המתקבלת אלכסונית, לא אלכסונית ''המתקבלת מליכסון A עם המלכסנת vandermonde''. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]
:: הפרכתי את זה עכשיו. לקחתי מטריצה מסדר 2, עם ערכים עצמיים 2 ו-3 ופולינום x^2 -5x + 6. התוצאה של החישוב של מה שהיה צריך להוכיח שיוצא אלכסונית, לא יצא אלכסונית.

'''עדי:לפי דעתי אתה צודק והוונדרמונד צריך להיות משוחלף. אבדוק בהמשך כשאכתוב פתרונות
: תודה על התשובה. אגב, זה צודק <:

: בפתרונות כתבתם עבור השחלוף של ונדרמונדה. שם זה מתקיים. אני מניח שלא תרדנה לי נקודות אם הפרכתי את הטענה עבור ונדרמונדה הנתונה, נכון?'''

'''עדי: לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור שיחלוף. כנ"ל בשאלה עם הפ"א שמציבים בו 0:לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור <math> \pm </math>.'''

== 2 דברים לגבי תרגיל 6 ==

דבר ראשון- הסבר למושגים- מה זה אומר מטריצה אידמפוטנטית? זה כל מטריצה המקיימית A בריבוע שווה A? אם כן, אפשר דוגמה קצרה לאיך A יכולה להיות לא-I? וגם מה זה מטריצה "רגולרית"? (זה לא בסדר שזה לא מוסבר!)
ודבר שני, אפשר בבקשה, אלגוריתם מסודר, של איך מוצאים פולינום מינימלי? אני חושב שאמרת (עדי) שתעלי לאתר.
תודה רבה!

:(לא מתרגלת) בקשר למט' אידמפוטנטית אני חושבת שכן-כתוב בתרגיל 5.22
:ואם אני לא טועה מטריצה רגולרית זו מטריצה הפיכה

::דוגמאות לאיד': מטריצת האפס, כל מטריצה אלכסונית שעל האלכסון יש בלבד אחדות ואפסים, המטריצה <math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)

==שאלה 1 בתרגיל 6==
יצא לי שהפ"א מל"ל ולכן היא ניתנת לשילוש.
חישבתי לפי אלגוריתם שהוצג בתרגול (של אוהד, אבל הפורום הזה פעיל) את המט' המשולשית והיא פשוט לא יצאה משולשית. אני בטוחה שעשיתי נכון, בדקתי כמה פעמים.
לכן השאלה שלי היא, האם אפשר לכתוב כאן אלגוריתם למציאת מטריצה משולשית דומה?
הסתדרתי ><"

== התלבטויות לגבי שילוש ==

יש כמה קטעים לא מובנים לגבי שילוש מטריצה.
נגיד התחלנו במט' שלוש על שלוש וניסינו לשלש אותה. הגענו למט' שקרובה יותר למשולשית, כך שהבלוק 2 על 2 התחתון ימני הוא המט' החדשה שצריך לשלש (1. נכון?), כעת ניסיתי לשלש את המט' 2 על 2 החדשה. הגעתי למט' המשלשת וההופכית שלה, עכשיו מה צריכה להיות המט' ש"אמורה" להיות, אם הצלחנו, משולשית? כלומר (זה די מסובך לכתוב את זה בפורום) אם המט' המקורית היא A, הנסיון לשילוש הראשון שלנו הוביל אותנו ל <math>D_1=P^{-1}AP</math>, והנסיון לשילוש השני הוביל אותנו למט' השילוש Q ו Q^-1, האם המט' שאמורה להיות משולשת D2 צריכה להיות P-1 כפול Q-1 (בתור בלוק עטוף במט' הזהות) כפול X כפול Q (בלוק בתוך הזהות) כפול P-- אם המבנה הזה נכון (2.), אז מה צריכה להיות (3.) המט' X? המט' A? המט' A' שהיא הבלוק הימני תחתון של המט' D1? תודה

== שאלה קצרה ביותר ==

האם A*X=A גורר ש X=I? תודה

:(לא מתרגל) רק במידה וA הפיכה, אז אתה יכול לכפול בהופכית לה ולקבל I. במקרה אחר זה לא נכון, לדוגמה קח את A להיות מטריצת האפס.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 13:48, 20 בנובמבר 2010 (IST)

משתמש:לידור.א.

2010-11-18T14:48:05Z

לידור.א.:

סטודנט שנה א' לתואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת בר אילן (ותלמיד תיכון).
=קורסים=
==סמסטר קיץ תש"ע==
{| style="border:solid 3px #CCC; border-collapse:collapse; text-align:right; margin:auto;" border="1" cellpadding="3"
|- style="background-color:#CCC;"
! שם קורס
! מרצה
! מתרגל/ת
|-
! מתמטיקה בדידה
| ד"ר שי סרוסי
| מר אדם צ'פמן
|-
! אלגברה לינארית 1
| ד"ר אלי בגנו
| מר גארי וינוקור
|}
==סמסטר א תשע"א==
{| style="border:solid 3px #CCC; border-collapse:collapse; text-align:right; margin:auto;" border="1" cellpadding="3"
|- style="background-color:#CCC;"
! שם קורס
! מרצה
! מתרגל/ת
|-
! אלגברה לינארית 2
| ד"ר בועז צבאן
| מר אוהד נבון
|-
! חשבון אינפיניטסימלי 1
| ד"ר שמחה הורוביץ'
| ד"ר אפי כהן
|}

שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

2010-11-15T20:06:56Z

לידור.א.: /* תרגיל 5 שאלה 3.18 סעיף ג */ פסקה חדשה