Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)

2012-03-18T20:39:10Z

נמרוד: /* הרצאה 1 (4/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 1 (4/3/12) ==

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-18T20:38:47Z

נמרוד: /* הרצאה 2 (6/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>
::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות 3+4 (11+13/3/12)

2012-03-18T20:38:29Z

נמרוד: /* הרצאות 3+4 (11+13/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאות 3+4 (11+13/3/12) ==

<big><big>נוסחה שהופיעה בשיעור:</big></big>

את האינטגרל מהסוג <math>I_n=\int \frac {dx}{(x^2+a^2)^n}</math> עבור <math>a>0,n \in \mathbb{N}</math> מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:

<math>I_{n+1}=\frac 1 {2na^2} \cdot \frac x {(x^2+a^2)^2}+\frac {2n-1}{2na^2}I_n</math> כך ש-<math>I_1=\frac 1 a \arctan(\frac x a )+C</math>

<big><big>אינטגרציה של פונקציה רציונלית:</big></big>

<math>\int \frac{p(x)}{q(x)}dx</math>, <math>q,p</math> פולינומים.

יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:

(א) <math>\frac {A}{(x-x_0)^n}</math> עבור <math>A,x_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math>

(ב) <math>\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n}</math> עבור <math>A,B,a,b,c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math> ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים: <math>b^2-4ac<0</math>

השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.

משפט 1: יהי <math>p(x)</math> פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את <math>p</math> לקבוע כפול מספר איברים לינאריים <math>x-x_0</math>, ומספר איברים ריבועיים מהסוג <math>x^2+bx+c</math> כך ש-<math>b^2-4c<0</math> וזהו הפירוק המושלם של <math>p(x)</math>.

משפט 2: תהי <math> \frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית כך ש-<math>\deg p<\deg q</math>. אז אפשר לפרק את <math>\frac p q</math> לסכום של שברים חלקיים.

בפועל:

כדי לפרק את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את <math>q(x)</math> בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה <math>q(x)</math> (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם=<math>q(x)</math>).

רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים <math>\int \frac{p(x)}{q(x)}dx</math> ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.

למידע נוסף ניתן לקבל [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|בקישור הבא]].

<big><big>אינטגרציה של פונקציות רציונליות של <math>\sin x,\cos x</math>:</big></big>

קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציולנית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.

ההצבה היא: <math>t=\tan \frac x 2</math>

לכן <math>x=2\arctan(t)</math>, לכן יוצא לפי גזירה ש- <math>dx=\frac 2 {1+t^2}dt</math>. נשתמש בזהות חשובה: <math>1+t^2=1+\tan ^2 \frac x 2=\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}</math> לכן: <math>\frac 1 {1+t^2}=\cos ^2 \frac x 2=\frac {1+\cos x} 2</math> (לפי זהות לזוית כפולה)

לאחר העברת אגפים יוצא ש- <math>cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}</math>.

<math>\sin \frac x 2 = \cos \frac x 2 \cdot \tan \frac x 2=\sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t</math>

נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של <math>\sin</math> ונציב את הערכים שמצאנו כבר- <math>\sin x = 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = 2\cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t \cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2}</math>

לכן יוצא ש- <math>\sin x = \frac {2t} {1+t^2}</math>

לבסוף נמצא את <math>\tan x</math>: <math>\tan x = \frac {\sin x} {\cos x} = \frac {2t}{1-t^2}</math>

<big><big>כללים נוספים:</big></big>

אם נתון: <math>\int R(\cos x, \sin x)dx</math> (במילים אחרות-פו' רציונלית <math>R</math> המורכבת מ<math>\sin x, \cos x</math> בלבד):

(א) אם <math>R(-\cos x, \sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\sin x</math>.

(ב) אם <math>R(\cos x, -\sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\cos x</math>.

(ג) אם <math>R(-\cos x, -\sin x)=R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\tan x</math>.

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

2012-03-18T20:38:09Z

נמרוד: /* הרצאה 5 (18/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 5 (18/3/12) ==

<big><big>הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאה כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:</big></big> (כדי להזכיר שהתמקדנו השיעור באינטגרל לפי דרבו, אך לא סיימנו את החומר אך כאן יש את הכל)

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11 |חלק 1]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11 |חלק 2]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11 |חלק 3]]

'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)

2012-03-18T20:31:06Z

נמרוד: /* הרצאה 1 (4/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 1 (4/3/12) ==

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

'''למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

2012-03-18T20:30:45Z

נמרוד: /* הרצאה 5 (18/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 5 (18/3/12) ==

<big><big>הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאה כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:</big></big> (כדי להזכיר שהתמקדנו השיעור באינטגרל לפי דרבו, אך לא סיימנו את החומר אך כאן יש את הכל)

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11 |חלק 1]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11 |חלק 2]]

[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11 |חלק 3]]

'''למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות 3+4 (11+13/3/12)

2012-03-18T20:28:44Z

נמרוד: /* הרצאות 3+4 (11+13/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאות 3+4 (11+13/3/12) ==

<big><big>נוסחה שהופיעה בשיעור:</big></big>

את האינטגרל מהסוג <math>I_n=\int \frac {dx}{(x^2+a^2)^n}</math> עבור <math>a>0,n \in \mathbb{N}</math> מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:

<math>I_{n+1}=\frac 1 {2na^2} \cdot \frac x {(x^2+a^2)^2}+\frac {2n-1}{2na^2}I_n</math> כך ש-<math>I_1=\frac 1 a \arctan(\frac x a )+C</math>

<big><big>אינטגרציה של פונקציה רציונלית:</big></big>

<math>\int \frac{p(x)}{q(x)}dx</math>, <math>q,p</math> פולינומים.

יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:

(א) <math>\frac {A}{(x-x_0)^n}</math> עבור <math>A,x_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math>

(ב) <math>\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n}</math> עבור <math>A,B,a,b,c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math> ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים: <math>b^2-4ac<0</math>

השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.

משפט 1: יהי <math>p(x)</math> פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את <math>p</math> לקבוע כפול מספר איברים לינאריים <math>x-x_0</math>, ומספר איברים ריבועיים מהסוג <math>x^2+bx+c</math> כך ש-<math>b^2-4c<0</math> וזהו הפירוק המושלם של <math>p(x)</math>.

משפט 2: תהי <math> \frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית כך ש-<math>\deg p<\deg q</math>. אז אפשר לפרק את <math>\frac p q</math> לסכום של שברים חלקיים.

בפועל:

כדי לפרק את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את <math>q(x)</math> בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה <math>q(x)</math> (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם=<math>q(x)</math>).

רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים <math>\int \frac{p(x)}{q(x)}dx</math> ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.

למידע נוסף ניתן לקבל [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|בקישור הבא]].

<big><big>אינטגרציה של פונקציות רציונליות של <math>\sin x,\cos x</math>:</big></big>

קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציולנית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.

ההצבה היא: <math>t=\tan \frac x 2</math>

לכן <math>x=2\arctan(t)</math>, לכן יוצא לפי גזירה ש- <math>dx=\frac 2 {1+t^2}dt</math>. נשתמש בזהות חשובה: <math>1+t^2=1+\tan ^2 \frac x 2=\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}</math> לכן: <math>\frac 1 {1+t^2}=\cos ^2 \frac x 2=\frac {1+\cos x} 2</math> (לפי זהות לזוית כפולה)

לאחר העברת אגפים יוצא ש- <math>cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}</math>.

<math>\sin \frac x 2 = \cos \frac x 2 \cdot \tan \frac x 2=\sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t</math>

נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של <math>\sin</math> ונציב את הערכים שמצאנו כבר- <math>\sin x = 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = 2\cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t \cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2}</math>

לכן יוצא ש- <math>\sin x = \frac {2t} {1+t^2}</math>

לבסוף נמצא את <math>\tan x</math>: <math>\tan x = \frac {\sin x} {\cos x} = \frac {2t}{1-t^2}</math>

<big><big>כללים נוספים:</big></big>

אם נתון: <math>\int R(\cos x, \sin x)dx</math> (במילים אחרות-פו' רציונלית <math>R</math> המורכבת מ<math>\sin x, \cos x</math> בלבד):

(א) אם <math>R(-\cos x, \sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\sin x</math>.

(ב) אם <math>R(\cos x, -\sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\cos x</math>.

(ג) אם <math>R(-\cos x, -\sin x)=R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\tan x</math>.

'''למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-18T20:28:20Z

נמרוד: /* הרצאה 2 (6/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>
::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

'''למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.
'''

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-18T20:27:55Z

נמרוד: /* הרצאה 2 (6/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>
::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-18T20:27:28Z

נמרוד: /* הרצאה 2 (6/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>
::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות 3+4 (11+13/3/12)

2012-03-18T20:26:14Z

נמרוד: /* הרצאות 3+4 (11+13/3/12) */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאות 3+4 (11+13/3/12) ==

<big><big>נוסחה שהופיעה בשיעור:</big></big>

את האינטגרל מהסוג <math>I_n=\int \frac {dx}{(x^2+a^2)^n}</math> עבור <math>a>0,n \in \mathbb{N}</math> מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:

<math>I_{n+1}=\frac 1 {2na^2} \cdot \frac x {(x^2+a^2)^2}+\frac {2n-1}{2na^2}I_n</math> כך ש-<math>I_1=\frac 1 a \arctan(\frac x a )+C</math>

<big><big>אינטגרציה של פונקציה רציונלית:</big></big>

<math>\int \frac{p(x)}{q(x)}dx</math>, <math>q,p</math> פולינומים.

יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:

(א) <math>\frac {A}{(x-x_0)^n}</math> עבור <math>A,x_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math>

(ב) <math>\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n}</math> עבור <math>A,B,a,b,c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math> ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים: <math>b^2-4ac<0</math>

השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.

משפט 1: יהי <math>p(x)</math> פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את <math>p</math> לקבוע כפול מספר איברים לינאריים <math>x-x_0</math>, ומספר איברים ריבועיים מהסוג <math>x^2+bx+c</math> כך ש-<math>b^2-4c<0</math> וזהו הפירוק המושלם של <math>p(x)</math>.

משפט 2: תהי <math> \frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית כך ש-<math>\deg p<\deg q</math>. אז אפשר לפרק את <math>\frac p q</math> לסכום של שברים חלקיים.

בפועל:

כדי לפרק את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את <math>q(x)</math> בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את <math>\frac {p(x)}{q(x)}</math> לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה <math>q(x)</math> (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם=<math>q(x)</math>).

רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים <math>\int \frac{p(x)}{q(x)}dx</math> ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.

למידע נוסף ניתן לקבל [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|בקישור הבא]].

<big><big>אינטגרציה של פונקציות רציונליות של <math>\sin x,\cos x</math>:</big></big>

קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציולנית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.

ההצבה היא: <math>t=\tan \frac x 2</math>

לכן <math>x=2\arctan(t)</math>, לכן יוצא לפי גזירה ש- <math>dx=\frac 2 {1+t^2}dt</math>. נשתמש בזהות חשובה: <math>1+t^2=1+\tan ^2 \frac x 2=\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}</math> לכן: <math>\frac 1 {1+t^2}=\cos ^2 \frac x 2=\frac {1+\cos x} 2</math> (לפי זהות לזוית כפולה)

לאחר העברת אגפים יוצא ש- <math>cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}</math>.

<math>\sin \frac x 2 = \cos \frac x 2 \cdot \tan \frac x 2=\sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t</math>

נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של <math>\sin</math> ונציב את הערכים שמצאנו כבר- <math>\sin x = 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = 2\cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t \cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2}</math>

לכן יוצא ש- <math>\sin x = \frac {2t} {1+t^2}</math>

לבסוף נמצא את <math>\tan x</math>: <math>\tan x = \frac {\sin x} {\cos x} = \frac {2t}{1-t^2}</math>

<big><big>כללים נוספים:</big></big>

אם נתון: <math>\int R(\cos x, \sin x)dx</math> (במילים אחרות-פו' רציונלית <math>R</math> המורכבת מ<math>\sin x, \cos x</math> בלבד):

(א) אם <math>R(-\cos x, \sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\sin x</math>.

(ב) אם <math>R(\cos x, -\sin x)=-R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\cos x</math>.

(ג) אם <math>R(-\cos x, -\sin x)=R(\cos x, \sin x)</math> , תועיל ההצבה <math>y=\tan x</math>.

למקרה שיש טעות או שאתם לא מסכימים עם משהו, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)