Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד

2014-01-22T10:07:45Z

ענב: /* באיזה תאריך המבחן?? */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שאלה על תרגיל 1 מהמערכת של moodle ==

אני נכנסתי אל תוך המערכת ורציתי לראות אילו תרגילים קיבלנו בתור ש"ב
כאשר שנכנסתי בפעם השנייה לתרגיל1 המערכת אומרת ומציעה אופצייה "המשך את הניסיון האחרון "
השאלה שלי היא אם אני אלחץ על הכפתור-אני לא יוכל יותר להיכנס כמה פעמיים שאני ארצה עד לפני סוף הגשה?
אשמח לתשובה

* אתה יכול להיכנס כמה פעמים שאתה רוצה עד שאתה מגיש.

כשאתה מגיש את התרגיל המערכת מודיעה לך בצורה ברורה שזו הגשה סופית ולא תוכל לשנות יותר ושואלת אותך האם אתה בטוח שאתה רוצה להגיש.

חוץ מזה, את תרגיל 1 ספציפית המערכת נותנת לכם להגיש כמה פעמים שאתם רוצים - בדיוק בשביל זה. אל תפחדו לעשות טעויות השבוע, תשחקו עם המערכת כדי להכיר אותה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:10, 15 באוקטובר 2013 (IDT)

== הארכת מועד ההגשה באינפי ==

שלום,

אני תלמיד של ד"ר הורוביץ שלא הספיק להשלים את שיעורי הבית במועד שצוין (29/10 18:00).
במהלך סוף השבוע , אתר ה"מודל" היה מושבת וכתוצאה מכך רבים נאלצו להמתין, דבר שגזל את זמן הכנת השיעורים.
בנוסף, תרגילי הבית של המרצים האחרים (ביתן ואגרונובסקי) הוארכו לעוד מספר ימים.

לאחראים על האתר , אנא מכם האריכו את מועד ההגשה לעוד מספר ימים.

תודה

== שתיי שאלות ==

1. למה בין כל שניי מספרים, קיים מספר רציונלי?
2. איך מוכיחים שלכל מספר ממשי x, קיימת סדרת רציונליים שמתכנסת אליו? ולמה ניתן לבחור את הסדרה עולה או יורדת?

תודה מראש!!!!

*תשובה:
1. זה לא משפט טריוויאלי. מוכיחים אותו עם עקרון ארכימדס.

בסיכומי הרצאות שנמצאות [[סיכומי הרצאות - אינפי 1|כאן]] עקרון ארכימדס מופיע בסוף ההרצאה הראשונה וההוכחה לטענה מופיעה בתחילת ההרצאה השניה.

אם יש דברים לא ברורים בהוכחה שם תשאל שוב ואני אענה.

2. אחרי שאתה כבר יודע שבין כל שני מספרים קיים מספר רציונאלי אתה עושה ככה:
נניח ש <math>x</math> זה המספר הממשי שלנו. אז קיים מספר רציונאלי <math>x\leq q_1 \leq x+1</math>
זה האיבר הראשון של הסדרה.

עכשיו נבחר מספר רציונאלי <math>q_2</math> כך ש <math>x \leq q_2 \leq x+ \frac{1}{2}</math> זה האיבר השני.

וכך הלאה נבחר את <math>q_n</math> כך ש <math>x \leq q_n \leq x+ \frac{1}{n}</math>.

אז נקבל שהסדרה <math>q_n</math> היא סדרה של רציונאלים שמתכנסת ל <math>x</math>.

אפשר להכריח את הסדרה להיות יורדת, אם למשל בוחרים

<math>x+\frac{1}{2} \leq q_1 \leq x+1</math>

<math>x+\frac{1}{3} \leq q_2 \leq x+\frac{1}{2}</math>

וכן הלאה

<math>x+\frac{1}{n+1} \leq q_n \leq x+\frac{1}{n}</math>.

ובדומה אפשר להכריח אותה להיות עולה אם בוחרים

<math>x-\frac{1}{n} \leq q_n \leq x-\frac{1}{n+1}</math>.

מקווה שזה ברור
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 06:32, 7 בנובמבר 2013 (EST)

'''תודה רבה על התשובה...בכל אופן יש לי שאלה לגבי ההוכחה שהצעת כאן. בהחלט נראה שהסדרות שנתת כאן מתכנסות ל-x. אבל לא אמורים להוכיח את זה איכשהו? מה שכתבת מהווה הוכחה? כי זה נראה לי כמו לטעון שהסדרה 1 חלקי n מתכנסת ל-0, מבלי להוכיח זאת. אפשר להוכיח את מה שכתבת איכשהו? זו צריכה להיות הוכחה בכתיב אפסילון, לא?'''

* תשובה: נכון. זה לא מהווה הוכחה שזה מתכנס. כדי להוכיח צריך באמת להשתמש בכתיב <math>\epsilon</math> וכו'. אבל את זה קל לעשות במקרה הזה.
בשלב מסוים נתחיל להשמיט טיעונים כאלה שקל להשלים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:33, 11 בנובמבר 2013 (EST)

== ש"ב ==

אני תלמיד של ד"ר ביתן ובתשובות בשיעורי הבית מספר 3 רשמתי בתשובה 1- והוא רשם לי טעות ושהתשובה הנכונה היא -1 האם אפשר בבקשה לתקן לי את הציון?

* כן, תשלח לי מייל (Steinita@walla.com) עם השם שלך וכתובת המייל שאיתה נרשמת ל moodle.

בפעם הבאה תלחץ LeftCntrl+Shift לפני הזנת תשובה מספרית כדי שזה יהיה משמאל לימין.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:05, 8 בנובמבר 2013 (EST)

== שאלה לגבי הוכחת המשפט : מתכנסת ==>חסומה ==

הוכחתי את המשפט כך:
נניח an מתכנסת לגבול L

לכן לכל e>o קיים n0 טבעי כך שלכל n>n0 :

zz |an-L|<e zz לכן zz L-e<an<L+e zz.

ניקח את zz M = max{a1,a2,...,an0,L+e} zz ו- zz m = min{a1,a2,...,L-e} zz

לכן לכל n טבעי מתקיים: zz m<an<M zz.

ראיתי פתרון לשאלה הזו שבה בחרו את אפסילון להיות 1.

( זה הפתרון: http://math-wiki.com/images/2/21/Sol3Infi12011.pdf#page=1&zoom=auto,0,810 )

בהוכחה שלי, כפי שניתן לראות, לא בחרתי אפסילון ספציפי.

הבדל נוסף בין הפתרון שלי לפתרון המצורף, הוא שכתוב שם, "קיים n0 כך ש...", ואז כתוב: "ניקח n1>n0...".

גם את זה לא עשיתי...עבדתי רק עם n0.

האם ההבדלים שניי ההבדלים הללו בין הפתרון שלי לפתרון המצורף הם הבדלים מהותיים? או שגם הפתרון שלי קביל?

אם יש משמעות להבדלים הללו, אשמח להסבר.
:: לגבי n1 שהופיע שם נראה לי שהוא פשוט נובע מכך שהגדרת הגבול שהתייחסו אליה שם היא .... לכל <math>n>n_0</math> ולא גדול או שווה. בהנחה שעובדים עם ההגדרה השקולה להתכנסות שבה יש גדול או שווה אפשר לעבוד רק עם n0.
לגבי השאלה השניה קבוצה היא חסומה אם קיים.... לאור העובדה שבהגדרת הגבול יש את העניין של לכל אפסילון צריך לבחור אפסילון מסויים זה יכול להיות אחד וזה יכול להיות אפסילון שרירותי אבל מה שבטוח משתמשים כאן בכך שאם טענה מסוימת מתקיימת לכל איבר בקבוצה לא ריקה אז קיים איבר בקבוצה שהטענה מתקיימת לגביו. לצורך הענין אם בהגדרת הגבול היה רשום לכל אפסילון ששייך לקבוצה מסוימת ולא היה ברור אם הקבוצה ריקה או לא אי אפשר היה לעבור מטענת לכל לטענת קיים. בקיצור 1 לא חשוב אבל צריך להגיד משהו על המעבר בין לכל לקיים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 11:57, 10 בנובמבר 2013 (EST)

== תרגיל-רוני ביתן:ההוכחה בין שאלה 8 לשאלה 9 ==

האם זה לא נובע ישירות ממשפט בולצאנו ווירשטראס?

*לא שאני רואה. אני אסביר שוב מה הטענה אומרת: ברור שקבוצת הגבולות החלקיים חסומה. ולכן ברור שיש לה חסם עליון ותחתון
אבל זה בכלל לא ברור למה החסמים העליון והתחתון עצמם הם גבולות חלקיים (למה שתהיה סדרה שמתכנסת אליהם?)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:41, 11 בנובמבר 2013 (EST)

== תרגיל 4 של רוני ביתן שאלה 10 ==

ניסיתי לשלול אפשרויות בעזרת מקרה פרטי של סדרה מתכנסת,האם קיימת דרך של הוכחה המסתמכת על המשפטים שלמדנו?

*לשלול אפשרויות בעזרת מקרים פרטיים זה רעיון טוב. אבל כל טענה נכונה שיש בתרגילי הבית - אפשר להוכיח אותה ישירות בעזרת הכלים שיש לכם (בלי להסתמך על זה ששוללים את כל האחרים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:36, 11 בנובמבר 2013 (EST)

-אני אנסח מחדש,מהי דרך ההוכחה לתרגיל הזה,מה הפתרון כביכול

* תשובה: נראה לי שהכי נוח לחשוב על זה בצורה טופולגית.

אתה יודע שגבולות חלקיים של <math>a_n</math> זה נקודות הצטברות של הקבוצה. הגבול החלקי העליון זאת נקודת ההצטברות הכי גדולה.

לקחת את <math>-a_n</math> זה פשוט לעשות שיקוף סביב <math>0</math>. ואז קל להבין מה יוצא הגבול העליון של <math>a_n</math>.

מה שכתבתי כאן זה לא הוכחה כמובן, רק האינטואיציה - הוכחה מלאה תופיע בתשובות על התרגיל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 03:33, 15 בנובמבר 2013 (EST)

== דיוק אחרי הנקודה העשרונית בכתיבת תשובות ==

בתרגיל החמישי של ד"ר ביתן יש מספר גבולות שהם חזקות של e, שאחד מהם יוצא מספר הקטן מ-0.01 וכתוב דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה, אז פשוט לכתוב 0?
--[[משתמש:Omer rosler|Omer rosler]] ([[שיחת משתמש:Omer rosler|שיחה]]) 15:19, 17 בנובמבר 2013 (EST)

*תשובה: אם יוצאת לך תשובה קטנה מ <math>0.01</math> אז גם <math>0</math> וגם <math>0.01</math> יתקבלו ע"י המערכת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:01, 18 בנובמבר 2013 (EST)

== האם מבחני ההתכנסות דו כיווניים? ==

למשל,אם ידוע שטור An מתכנס אז האם אני יכול לאמר שהגבול של |An+1\An| קטן מ1?(לפי מבחן דלמבר)

* לא, למשל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אבל הגבול של <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> הוא 1.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:02, 18 בנובמבר 2013 (EST)

== קריטריון קושי להתכנסות סדרה ==

האם אני יכול לעשות בקריטריון קושי על נוסחת נסיגה רדוקציה של |Am-An| ל|An+1-An|? מכיוון שm תמיד גדול או שווה לn+1 (עבור m גדול מn(

* אם הבנתי אותך נכון - אז כן.

במילים אחרות: אם אתה יודע שקריטריון קושי מתקיים. אתה יודע גם שלכל <math>\epsilon>0</math> , החל משלב מסוים בסדרה מתקיים
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>.

'''אבל''': ההפך לא נכון. אם אתה יודע שלכל <math>\epsilon>0</math> , החל משלב מסוים בסדרה מתקיים
<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math> - זה לא אומר שקריטריון קושי מתקיים וזה לא אומר שהסדרה מתכנסת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:06, 18 בנובמבר 2013 (EST)

== תרגיל 6 של רוני ביתן שאלה 1 ==

השאלה הזו הופיעה בתרגיל הקודם עבור טור חיובי,אפשרי להשתמש במה שידוע לנו על הטור החיובי לגבי הטור הכללי?(האם קיימת דרך הוכחה כזו)

* אתה יכול להניח שאתה יודע שזה נכון עבור טורים חיוביים. אבל שים לב שזה נכון עבור טורים חיוביים לפי מבחן ההשוואה.

ומבחן ההשוואה לא עובד בשביל טורים כללים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 03:57, 19 בנובמבר 2013 (EST)

== שאלה ==

נתון:
<math>\lim_{n->\infty}a_n{}=a</math>
הוכח:
<math>\lim_{n->\infty}\sqrt{a_n{}}=\sqrt{a}</math>.

ארשום את ההוכחה. יש לי שאלה לגבי מעבר מסוים בהוכחה:
<math>\left | \sqrt{a_n{}} \right -\sqrt{a}|=\left | (\sqrt{a_n{}}-\sqrt{a})(\sqrt{a_n{}}</math>
משום מה זה לא ממיר לי את מה שכתבתי לשפה מתמטית..

* כי יש לך טעות. נראה לי שזה מה שרצית.
<math>\left | \sqrt{a_n{}} -\sqrt{a}|=\right | (\sqrt{a_n{}}-\sqrt{a})(\sqrt{a_n{}}</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 02:06, 24 בנובמבר 2013 (EST)

== תרגיל 6 של רוני ביתן שאלה 13 ==

האם הכוונה בתרגיל ל !(2n) כלומר ...(2n)*(2n-1)*(2n-2) או לפעמיים !n ?

* הכוונה <math>(2n)!</math> - תיקנתי גם בתרגיל. תודה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 02:03, 24 בנובמבר 2013 (EST)

== איך אני עושה קו שבר ב-latex הזה? ==

איך אני עושה קו שבר ב-latex הזה?

* {מכנה}{מונה}frac\

למשל <math>\frac{1}{n}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 14:22, 25 בנובמבר 2013 (EST)

== שאלה ==

איפה אפשר למצוא תרגילים כהכנה לבוחן?

*תשובה: קיבצתי כאן קישורים לבחנים משנים קודמות שנמצאים ב math-wiki (חלק מהם זה פתרונות).

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92/%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7%97/%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_%D7%9C%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92/%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%9F/%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_%D7%9C%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90

http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_1_-_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_-_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%98%D7%99%D7%9D_-_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92

http://www.math-wiki.com/images/7/70/11Infi1CSBohan1.pdf

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7%97/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_1

http://www.math-wiki.com/images/f/fc/11Infi1CSBohan2.pdf

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7%97/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%91%D7%95%D7%97%D7%9F_2

http://www.math-wiki.com/images/2/23/10Infi1Bohan.pdf

http://www.math-wiki.com/images/6/6b/10Infi1BohanSol.pdf

בנוסף יש את ספר אינפי של בועז צבאן שמכיל הרבה תרגילים לא טריוויאלים

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/infi.pdf

== המייל של איתמר לגבי הבוחן ==

לא קיבלתי את המייל של איתמר על הבוחן,תוכל לשלוח לי אותו שוב?
kod404@walla.com

*תשובה: אני מניח שאתה מקבוצת התיכוניסטים? כל מה שכתבתי במייל כתוב [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד|כאן]] בהודעות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 03:12, 3 בדצמבר 2013 (EST)

== שאלה ==

1. כיצד אני מחשב את סכום הטור הבא:

<math>\sum_{i=0}^{\infty }0.18^i</math>??

2. מה בדיוק הנוסחה לסכום סדרה הנדסית?

3. כיצד הנוסחה משתנה כאשר הסכימה מתחילה החל מ-<math>i</math> שגדול מ-0?

* הנוסחא לסכום סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא <math>a_1</math> מנתה <math>q</math> ויש בה <math>n</math> איברים היא:

<math>a_1\frac{1-q^n}{1-q}</math>. ולכן הנוסחא לסכום טור הנדסי מתכנס (כלומר כאשר <math>|q|<1</math>) היא <math>a_1\frac{1}{1-q}</math>.

במקרה שאתה הצגת <math>q=0.18</math> ו <math>a_1=1</math>. אם מתחילים לסכום ממספר אחר זה משנה את <math>a_1</math>.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 02:57, 9 בדצמבר 2013 (EST)

== תרגיל 7 שאלה 6 דר' הורוביץ ==

בפתרון במודל כתוב שהטור
<math>\sum (-1)^{n+1}\cdot \frac{1}{n+(-1)^{n}}</math>
מתכנס בהחלט אבל ממבחן ההשוואה יצא לי ש-
<math>\sum \frac{1}{n+(-1)^{n}}</math>
גדול\שווה <math>\frac{1}{n+1}</math>
שמתבדר ולכן הטור המקורי לא מתכנס בהחלט.
האם ייתכן שיש טעות בתשובות?
תודה
::נכון מאוד. אכן יש טעות וטוב שאתם עוקבים. הטור כמובן מתכנס בתנאי אבל לא בהחלט. --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 14:28, 14 בדצמבר 2013 (EST)

== גבול בנקודה ==

אם מימין להפוגציה יש גבול שהוא אינסוף
ומשמול יש מינוס אנסוף
זה נחשב שאין גבול או שיש גבול?

* אין גבול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 08:54, 29 בדצמבר 2013 (EST)

== שאלה ==

שלום, קוראים לי דניאל טל ואני תלמיד של ד"ר הורוביץ ושכחתי את המחברת שלי בכיתת התרגול של לואי,
יכול להיות שלואי ראתה את המחברת ולקחה אותה?

== תרגיל 10 (ד"ר ביתן), שאלה 2 ==

שלום,
כשכותבים בשאלה "קטע I", האם מתכוונים בהכרח לקטע סופי או שיכול להיות שהכוונה גם לקטע אינסופי?
תודה ושבת שלום.

* יכול להיות גם קטע אינסופי--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 12:43, 11 בינואר 2014 (EST)

== הפתרון של שאלה 2 בתרגיל 9 של ד"ר ביתן ==

כתוב בפתרון שהגבול של <math>\frac{ln(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}</math> כאשר x שואף לאינסוף הוא 1, וזה לא נכון הגבול הוא 0 והפתרון של התרגיל הוא e^0=1 במקום e^0.5 כפי שכתבתם (ניתן גם לבדוק את זה בקלות)
--[[משתמש:Omer rosler|Omer rosler]] ([[שיחת משתמש:Omer rosler|שיחה]]) 16:22, 10 בינואר 2014 (EST)

* צודק. טעות טפשית שלי. אני אתקן את זה ואשנה את הציונים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 12:51, 11 בינואר 2014 (EST)

תוקן--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 04:19, 12 בינואר 2014 (EST)

== באיזה תאריך המבחן?? ==

תודה...

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-06-24T16:29:37Z

ענב: /* הוכחות למבחן */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגילים ==

תרגילים למתמטיקאים זה גם התרגילים לתיכוניסטים?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 4 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה ב ==

לגבי תרגיל 1. האם השאלה השניה (מציאת משוואת ישר) קשורה לחומר שנלמד, או שמדובר בטעות? (מאחר והנושא כלל לא נלמד בשיעור)

:משוואת ישר זה לא החלק הקשה, אתם אמורים לצלוח אותו באמצעות ידע מהתיכון. הקשר לנושא הוא המשפט "בעל שטח מינמלי", כאשר את זה מחשבים באמצעות חקירת פונקציות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה ב ==

המשולש המינימלי - הכוונה למשולש שנוצר על ידי הישר , ציר הX , ואנך לציר הX , או הישר , ציר הY ואנך לציר הY?
:אמנם זה לא התרגיל של הקבוצה שלי, אבל דווקא אני הייתי מנחש שזה משולש שהצלעות שלו הן שני הצירים והישר הנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

מצטער על התגובה המאוחרת. ארז צודק. הכוונה למשולש שנוצר עם הצירים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:23, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגילים לקבוצת הבוגרים ==

צריך להגיש אחרי שבוע או שבועיים?

== תרגיל 1 מתמטיקאים שאלה ב ==

יכול להיות שנפלה טעות והמשולש יוצר שטח מקסימלי ברביע הראשון?
:לא פתרתי את התרגיל, אבל על פניו זה לא נשמע סביר. אם ניקח את הקו הישר להיות כמעט מקביל לציר y או כמעט מקביל לציר x נקבל משולשים עם שטחים ששואפים לאינסוף. יותר סביר שיש לך טעות חישוב. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

ושוב ארז צודק. אין טעות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:25, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 2 מתמטיקאים ==

האם לא אמור להיות <math>\alpha\neq -1</math>? אם <math>\alpha=1</math> או <math>\alpha\neq -1</math> ניתן לפתור באמצעות אינטגרציה בחלקים, אבל עם <math>\alpha=-1</math> זה לא עובד, וצריך הצבה... --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:38, 14 במרץ 2013 (IST)

תשובה: אתה צודק. הטעות תוקנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:38, 15 במרץ 2013 (IST)

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

תשובה: לא. חוזרים ללימודים ביום רביעי 3.3.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:54, 29 במרץ 2013 (IDT)

ממתי אנחנו לומדים ביום רביעי?

???????????????????????????

(לא מתרגל / מרצה) ביום רביעי ממשיכים הלימודים לפי המערכת הרגילה. אם אינך לומד ביום רביעי, אתה חוזר ביום ראשון שאחריו --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:41, 30 במרץ 2013 (IDT)

אז רק מי שעושה פיזיקה לומד ביום רביעי?

== תרגיל -3 אינפי2 מדעי המחשב...שאלה 1 סעיף 3...חקירת הפונקציה (y=x+sin(2x ==

כמה שאלות:

1 . לגבי מציאת אסימפטוטות אופקיות...

אם אני מבין נכון, אסימפטוטה אופקית זה מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת.

נניח אני רוצה לבדוק האם קיימת אסימפטוטה אופקית, מה שעליי לעשות, זה לבדוק מה קורה בגבול

lim((sin(2x)+x-(ax+b)) הזה? כאשר x שואף פעם אחת לאינסוף ופעם שנייה למינוס אינסוף?

2. בהמשך לשאלה 1. אם אני מקבל ש- a=0, אז y=b תיהיה אסימפטוטה אופקית?

3. באופן כללי, אפשר לומר שכדי למצוא אסימפטוטות משופעות/אופקיות, אני צריך לבצע את החישוב

lim(f(x)-(ax+b) כאשר x שואף פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף, וכל תוצאה עבור a ו b תהווה אסימפטוטה משופעת כאשר

במקרה ספציפי שבו a=0, אקבל אסימפטוטה אופקית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) השיטה שאתה מציג נכונה אבל לפעמים לא יעילה, מפני שאתה צריך לנחש מראש את האסימפטוטה. אבל, לפי הפיתוח שהראת, הרי שיש אסימפטוטה אופקית אם ורק אם <math>lim f(x)-ax-b=0</math> (ב+ או - אינסוף) וזה אם ורק אם <math>lim f(x)-ax= lim(b)</math>, אבל לפי אריתמטיקה של גבולות אפשר לרשום <math>lim (f(x)-ax)/x=lim b/x=0</math>, כלומר <math>lim f(x)/x-a=0</math> או <math>a=lim f(x)/x</math>.

מכל זה אפשר להסיק - יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a. אם כן, אז מוצאים את b על ידי הגבול b=lim f(x)-ax (שוב, הגבולות הם באינסוף או ב(-) אינסוף).

2. כן.

3.אין דבר כזה כל תוצאה, לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף. לפי האמור לעיל, אפשר להסיק שאם יש אסימפטוטה משופעת, היא אחת.
:3. מה פתאום, יכולה להיות אסימ' אופקית שונה בשני הקצוות.

*כמובן, אמרתי והתכוונתי בקצה אחד (הרי רשום - 'לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף').

הערה:

ציטוט: יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a

זה לא נכון.

התרגיל הזה זאת דוגמא.

אם <math>f(x)=\sin(x)</math> אז

<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0</math>

אבל <math>\lim _{x\rightarrow \infty}\sin(x)</math> לא קיים ולכן אין אסימפטוטה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:14, 3 באפריל 2013 (IDT)

== 2 שאלות נוספות בהמשך להודעה האחרונה ==

1. אם אני בודק האם קיום אסימפטוטה משופעת לפונקציה בדרך שציינתי מקודם,ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה יתקבל בחישוב הזה?..הרי אני לא יודע מראש אם יש או אין אסימפטוטה משופעת. נניח אני עושה את החישוב
lim(f(x)-(ax+b) ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה אני אקבל בחישוב הזה, וכיצד זה יתבטא בערכים של a ו b?

2. מה הסיבה שעל מנת למצוא אסימפטוטה משופעת של פונקציה, אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול של הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף?

שוב, תודה מראש.

*(לא מתרגל) אני חושב שהתשובה נמצאת בתגובה לשאלתך הראשונה (אגב מומלץ לערוך את השאלה הקודמת ולרכז הכל שם, יותר נוח ופחות מעמיס לכלל הקוראים).

2. אם יש אסימפטוטה משופעת ax+b שבה a אינו 0, אז ((lim(f(x הוא אינסוף אם a>0 ומינוס אינסוף אם a<0, זה תנאי הכרחי (שוב, בהתאמה באינסוף או מינוס אינסוף). אם a=0 אז הגבול הוא b.

אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול באינסוף או מינוס אינסוף, כי אם הוא יוצא אינסוף אי אפשר לדעת אם יש אסימפטוטה משופעת או לא. שתי דוגמאות פשוטות לכך הן e^x ו-x, לשתיהן גבול אינסוף באינסוף, אך לראשונה אין אס' משופעת ולשנייה יש, שהיא בעצם היא עצמה.

== למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף? ==

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?
: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin2x%2Fx
: סינוס חסומה.

הערה: אני רק רוצה להעיר למען הסר ספק.

השאלה מה האסימפטוטות המשופעות של <math>x+\sin(2x)</math> היא שאלה לגיטימית
(והתשובה היא שאין לה) אבל היא לא נדרשת בשיעורי בית.

בשיעורי בית אתם מתבקשים לחקור את <math>x+\sin(2x)</math> בתוך תחום מסוים <math>[-2\pi,2\pi]</math> אז ממילא אין מה לומר לגבי אסימפטוטות שלה באינסוף או מינוס אינסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 3 באפריל 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

אפשר רמז ל6 [http://www.math.technion.ac.il/courses/104195/test/2005/spr_final2.pdf פה]?

זה אינפי 1, אבל מעניין.

* (לא מתרגל) אממ, זה לא הכי קשור לאינפי 2 של בר אילן, אבל בכל מקרה אפשר לפתור. רצית רמז אז אנסה להביא משהו מועיל, נסה/נסי להשתמש בהגדרה של רציפות במ"ש לפי היינה. אוכל גם להביא פתרון שלי, כי רמז אחר הוא למעשה הפתרון.

:תודה. נראה לי שפתרתי: מה שרוצים קורה אםם על כל סדרה עולה נקבל את הגבול הזה כגבול סדרות. לכן תהי <math>x_n</math> סדרה עולה, ונגדיר <math>y_n=\sqrt{x_n^2+5}</math>, אז נוכיח שהמרחק ביניהן שואף לאפס ואז נקבל לפי תנאי היינה לבמ"ש שמתקיים <math>|f(x_n)-f(y_n)|\rightarrow 0</math> ולכן <math>f(\sqrt{x_n^2+5})-f(x_n)\rightarrow 0</math> ומש"ל.

*(לא מתרגל) כן, זה נראה בסדר, רק הייתי אומר שהגבול של xn כשn שואף לאינסוף הוא אינסוף.
:כן, לזה התכוונתי. (עולה זה לא נכון, למשל הסדרה ל-e)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

אפשר רמז לסעיף 1 בשאלה 2?

== תרגיל 4 שאלה 5 סעיף ב' ==

אני חושב שצריך גם לדרוש m שונה מn-, או לחילופין |m| שונה מ|n|.

תשובה: נכון. רציתי לכתוב טבעיים וכתבתי בטעות שלמים. אני אתקן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 (תיכוניסטים) ==

בשאלה 6ב - איך עושים חישוב של הנפח סביב ציר Y (זה טעות? התכוונו לציר X?)תודה.

*(לא מתרגל) האמת שמבט נוסף יביא למסקנה שזה אותו נפח ביחס לכל אחד מהצירים.

* תשובה: זאת לא טעות. גם אם זה לא אותו נפח כמו סיבוב סביב ציר <math>x</math> (מה שבמקרה באמת קורה כאן)

אפשר לחשב נפח סיבוב סביב ציר <math>y</math> ע"י כך שמתייחסים כאילו הפונקציות הן פונקציות של <math>x</math> לפי <math>y</math>

(הפוך מההסתכלות הרגילה) ואז עושים אינטגרציה (לפי הנוסחא) לפי <math>y</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:01, 19 באפריל 2013 (IDT)

== תרגול - תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערך תרגול 4+5 לאתר ?
תודה רבה!

== איך מגדירים נפח גוף סיבוב סביב ציר Y? ==

יש שתי דרכים טריוויאליות:

1. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר X, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

2. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר Y, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

לי לפחות נראה ש 2. היא ההגדרה הנכונה, אך מהי ההגדרה המדויקת של נפח גוף הסיבוב?

*(לא מתרגל) אני מאמין שהגדרה 2 היא נכונה. פשוט אפשר להסתכל על ההגדרה המקורית עם ציר X, ולהחליף כל פעם Y בX.

* תשובה: אין כזה דבר נפח סיבוב של פונקציה סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

יש כזה דבר נפח גוף סיבוב סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

במילים אחרות, קודם צריך להגיד לך מה השטח שאתה צריך לסובב, ואח"כ אפשר לחשב מה הנפח של הסיבוב שלו סביב משהו.

לכן שתי האפשרויות שכתבת הן לגיטימיות, תלוי מה מבקשים לחשב.

בשיעורי הבית התחום שצריך לסובב הוגדר בצורה מדויקת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:58, 19 באפריל 2013 (IDT)

* במחשבה שניה, הבנתי שמה שאתה שואל זה מה המשמעות של

<math>\pi\displaystyle{\int_a^b }f^2(y)\mathrm{d}y</math>

והתשובה היא אופציה 2 שכתבת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:31, 19 באפריל 2013 (IDT)

== כמה שאלות ==

נתונה לי הפונקציה f(x)=x-2arctanx

1.
מדוע f גזירה בכל הממשיים?

2.
על מנת להראות שפונקציה גזירה בנקודה ספציפית, יש להראות שמתקיימת הגדרת הנגזרת?
3.
אם רוצים להראות שפונקציה גזירה על תחום/קטע מסוים, אני מניח שאי אפשר להשתמש בהגדרת הנגזרת, כי כעת מדובר על תחום, ולא על נקודה ספציפית. איך בכל זאת אפשר לדעת?

4.
למה tanx אי זוגית?
5.
למה מכך ש-tanx אי זוגית, ניתן להסיק ש-arctanx אי זוגית גם כן?

תודה מראש!

(סטודנט)
1. x גזירה וגם arctanx ידוע שמכפלה של קבועה בגזירה גם גזיר ושהפרש של גזירות גזיר ולכן הפ' גזירה

2.כן(שים לב שהגבול הימני צריך להיות שווה לגבול השמאלי)

3. ע"פ הגדרת הגבול במקום שx ישאף לx0 מסוים(לדוגמא 2) הוא ישאף לכל x0 ששייך לקטע

4. כי מתקיים f(-x)=-f(x) a שtanx=sinx/cox tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx

5. arctan(tanx)=x
arctan(-tanx)=arctan(tan-x)=-x
לכן אי זוגית

== אסימפטוטה אנכית ==

1.באיזה מצבים לפונקציה f תיהיה אסימפטוטה אנכית?

2. בעצם אני יכול לומר שאם אני רוצה למצוא אסימפטוטות אנכיות של פונקציה מסויימת, אני צריך לבדוק האם לפונקציה יש נקודות אי רציפות ממין שני, ואם כן, אז בנקודות הללו ל-f יש אסימפטוטה אנכית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) אסימפטוטה אנכית מוגדרת כאשר יש נק' אי רציפות ממין שני, אז כן, הדברים שקולים. מספיק שגבול מימין/משמאל בנק' מסוימת הוא אינסוף או מינוס אינסוף, זוהי אסימפטוטה אנכית ונק' אי רציפות ממין שני.

== העלאת התרגילים ==

אפשר להעלות את התרגילים השבועיים מוקדם יותר ?
הם תמיד עולים יומיים שלושה אחרי התירגול...

* אתה יכול לציין על איזה קבוצה מדובר? החלק הזה של שאלות ותשובות משרת מדמ"ח, מתמטיקאים ותיכוניסטים (מ2 קבוצות הרצאה).

למיטב ידיעתי, בקורסים שאני מתרגל אנחנו מקפידים להעלות תרגילים לפחות שבוע לפני מועד ההגשה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:09, 23 באפריל 2013 (IDT)

*(לא שואל השאלה)(תיכוניסטים) לדוגמא השבוע, התרגיל עדיין לא עלה ולפי מה שאני מבין הוא להגשה בראשון הקרוב.
*(שואל השאלה) אני מקבוצת התיכוניסטים ועל הקבוצה הזו דיברתי וכמו שנאמר למעלה התרגיל שלנו עדיין לא עלה

*השבוע לא הייתי כל כך בעניינים... אני אבדוק.
אבל בשבועות הקודמים התרגיל של התיכוניסטים עלה תמיד בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 24 באפריל 2013 (IDT)

* כן, השבוע הייתה בעיה. העלנו תרגיל רק עכשיו. היות ואין תרגול בל"ג בעומר זה עדיין משאיר לכם יותר משבוע לפתור את התרגיל.

כמו שכתבתי, אני אקפיד שבעתיד זה יעלה בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:43, 25 באפריל 2013 (IDT)

== נקודות קיצון/פיתול ==

אם קבלתי שהנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסויימת ואני רואה שהנגזרת הראשונה, משניי צידי הנקודה, אינה משנה סימן. האם ניתן
להסיק מכך שהנק' היא נקודת פיתול, מבלי בכלל להתעסק עם נגזרת שנייה?

כן, ניתן להסיק זאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:37, 24 באפריל 2013 (IDT)

== הרצאה בלוג בעומר ==

יש הרצאה לתלמידי שמחה?

== הרצאה ביום ראשון ==

שמעתי שביום ראשון התבטלה ההרצאה של מיכאל שיין. גם ההרצאה של שמחה הורוביץ התבטלה ?

אנא תשובה בהקדם ! תודה.

*(לא מתרגל) בוטלו ההרצאה והתרגול, מלי שלחה על כך מייל:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 2

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

ביום ראשון הקרוב ל"ג בעומר 28/4/13 לא יתקיימו לימודים באינפ' 2 הרצאה ותרגיל

ביום שני הבוחן בשימושי מחשב מתוכנן כרגיל

== תאריכי הגשה ==

אם אפשר בבקשה להוסיף תאריכי הגשה לקבוצות התרגול השונות (מרוב ביטולי תרגילים לא ברור למתי צריך להגיש)

== תרגיל 5 ==

המתמטיקאים אמורים לדעת לענות על השאלות האלו?
(להזכירכם, לא למדנו בהרצאה (של ד"ר עמיר) את הנושא של נפח ושטח, וכל הידע שלנו מתבסס על התרגול.)

== שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל 5 ==

כשמבצעים אינטגרציה חובה שהאינטגרל יכיל <math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}ds</math>? או שיתקבל גם שימוש ב<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}ds</math>?

*תשובה:

הכוונה היא פשוט לחשב את האורך המדובר באמצעות אינטגרל ולא באמצעות נוסחאות אחרות שאתם מכירים.

כלומר אפשר לחשב את האורך בכל שיטה עם אינטגרל שתתן לכם תשובה נכונה.

דרך אגב, הנוסחאות הן עם <math>\mathrm{d}x</math>

<math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math>

<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}dx</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:44, 2 במאי 2013 (IDT)
== שאלה לגבי ציוני תרגיל לתיכוניסטים ==
פעם שעברה לא עניתם לי.. חיכיתי שבוע ועוד לא ענו לי.. אני מקווה שזה ימשוך את צומת ליבכם ולא 'תפספסו' את השאלה שלי שוב ! ;)

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!שאלה חשובה מאוד!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

>>>>>>>>>>> בקובץ ציונים שהעלו חסר לי את הציון על התרגיל השני. חסרים ציונים שם? יעלו אותם בקרוב? <<<<<<<<<<<<<

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~אודה להתייחסות!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

כל החצים וסימני הקריאה מפריעים לי להתעלם מהשאלה שלך.

* העלתי קובץ יותר מעודכן. אם תרגיל 2 שלך לא נמצא שם. תפנה למתרגל שלך.

בדומה אני לא אתפלא אם חלק מתרגילי 3 עדיין לא מעודכנים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:03, 6 במאי 2013 (IDT)

* * * * * * * * * * * כן יש ציון תודה !

== מערכי תרגול- תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערכי התרגול העדכניים?

אמרתם שכל פעם אחרי התרגול אתם תעלו את מערך התרגול לאתר..

יש אנשים שלא מעתיקים (ומעדיפים להתרכז בהקשבה ובהאזנה) ובונים על מערך התרגול.

תודה רבה!

== תרגיל 6 ==

בשאלה 5 הכוונה לעיגול כלפי מטה או עיגול כלפי מעלה?

* תשובה: כלפי מטה.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:53, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 סעיף א ==

אפשר רמז בבקשה

* אני פתרתי אותו עם מבחן ההשוואה (הרגיל). מקווה שזה עוזר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:56, 9 במאי 2013 (IDT)

תודה :]

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

"חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס" - צריך רק לקבוע האם מתכנס (ע"י מבחן השוואה) או גם לחשב את ערך הגבול?

תשובה: רק להחליט אם הם מתכנסים. לא צריך לחשב את הגבול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:52, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 5 מתמטיקאים ==

מה הכוונה "אינטגרבילית מקומית"?

*(לא מתרגל) לדוגמא בקטע a עד אינסוף, הפונקציה תקרא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [a,b] עבור b>a.

* כן. קיבלתי את הרושם שככה הגדירו לכם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:06, 11 במאי 2013 (IDT)

== בוחן - תיכוניסטים ==

השאלות יהיו בסגנון של השאלות שהיו בשיעורי בית? חישוב אינטרגלים וכדומה?

מאיפה מומלץ לעשות חזרה לבוחן? יהיה אפשר לעלות שאלות ותשובות לשאלות בסגנון משנים קומות?

*כן. זה יהיה בסגנון השיעורי בית.

חוץ מאשר לעבור על ההרצאות + תרגולים+ שיעורי בית. אני חושב שבספר אינפי של צבאן (יש באתר שלו) יש שאלות טובות מכל מיני סוגים (כמובן שחלקן כבר הופיעו בתרגולים ובש"ב) אתם יכולים גם כמובן לעשות תרגילים ממבחנים שיש ב math-wiki. חוץ מזה באינפי יש מליון תרגילים באינטרנט... לי אין איזשהיא המלצה ספציפית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:57, 13 במאי 2013 (IDT)

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיו גם שאלות שיהיה צריך להוכיח בהו טענות או רק תרגילים חישוביים ?

* תשובה: יכול להיות שתדרשו להוכיח משהו "תיאורטי". אבל אין צורך לזכור בעל פה הוכחות שראיתם בכיתה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:58, 13 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 ==

בשאלה 2 2 הפונקציה לא מוגדרת בכל התחום של האינטגרל זה בכלל אפשרי?

* טעות שלנו. אני אתקן את זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן לתיכוניסטים ==

למה אין שאלת בונוס/שאלת בחירה/אפשרות לצבור מעל 100 בבוחן? אולי תלכו קצת לקראתנו ותתנו עזרה כזאת או אחרת בבוחן?

אולי כדאי שיקחו זאת צעד אחד קדימה - שיעלו לנו קובץ עם התשובות לשאלות שיהיו בבוחן.

* שימו לב גם שהבוחן הוא מגן. הוא לא יכול להוריד ציון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:01, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן למתמטיקאים ==

אפשר לציין אילו תרגילי בית נכללים בחומר הלימוד לבוחן, ולהעלות פתרונות לתרגילים האלו?

תודה

*תרגילים 1-7 (נדמה לי שבשביל הקבוצה הרגילה חלק מתרגיל 5 לא בחומר... אני לא בטוח, כדאי שרוני/שי יענו לכם על זה... אני מתרגל רק תיכוניסטים).

לתרגילים 1-3 כבר העלתי פתרונות. לתרגיל 7 לא נעלה פתרון עדיין (מן הסתם). לשאר נעלה בעזרת ה'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:07, 13 במאי 2013 (IDT)

אם תוכלו לעשות את זה בהקדם (אתם והקב"ה), נודה לכם מאד (:

תודה!

== בוחן לדוגמא ==

תוכלו להעלות בוחן דמה לקראת הבוחן?

== פתרונות ==

שלום! תוכלו בבקשה להעלות את הפתרונות לתרגילים 5 ו6?? תודה רבהה וחג שמח!

== שאלות בקשר לבוחן ==

האם אפשר בבקשה לעשות קצת סדר בעניינים ולתת פרטים מדוייקים בקשר לחומר הנכלל בבוחן לקבוצה של הבוגרים.
לפי מה שרשום באתר אנחנו מבינים שתרגיל חמש לא נכלל בבוחן, מעולה!
לגבי תרגיל שבע- האם הוא נכלל בבוחן?אם כן, אנחנו צריכים פתרונות! אנחנו לא רוצים להסתמך רק על פתרונות שלנו ואח"כ לגלות בבוחן שהם לא היו מדוייקים וכו'..(שזה כבר קרה לנו בעבר)
איתמר, זה נראה שאתה היחיד שפעיל כאן אז נשמח שאם יש שאלות שצריך לברר עם שי תשאל אותו ותעדכן כאן או שתגיד לו לענות בבקשה.

תודה רבה!!:)

החומר של תרגיל 7 נכלל בבוחן.

אני מצטער אבל עדיין לא הגיע תאריך ההגשה שלו - אנחנו לא נעלה לו פתרונות.

פירוט החומר לבוחן: (תיכוניסטים+קבוצה רגילה)

חקירת פונקציות. (תרגיל 1)

שיטות אינטגרציה. (תרגילים 2-3)

אינטגרל מסוים. (תרגיל 4)

אינטגרלים לא אמיתיים משני הסוגים (תרגילים 6-7)

מה אין בבוחן:

שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים.

יישומים גאומטריים (חישוב שטח פנים, נפח , שטח, אורך עקום)

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:02, 18 במאי 2013 (IDT)

== נושאים לבוחן ==

אמרתם שכל הנושאים לבוחן הם כל החומר עד אינטגרלים לא אמיתיים אבל אמרו לנו שגם אינטגרציה נומרית לא תיכלל.

תוכלו להוסיף רשימה יותר מפורטת של הנושאים ?

עניתי למעלה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 18 במאי 2013 (IDT)

== החלפת משתנים באינטגרלים ==

מה התנאים שצריכים להתקיים על מנת שיהיה אפשר לבצע חילף משתנים באינטגרל?

* תשובה: אם יש לך אינטגרל

<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>

ואתה מבצע הצבה <math>t=g(x)</math>

אז התנאים עבור <math>g</math> הם

1) <math>g</math> מוגדרת על הקטע <math>[a,b]</math>

2) <math>g</math> חח"ע בקטע <math>[a,b]</math>

3) <math>g</math> גזירה ברציפות בקטע <math>[a,b]</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:22, 18 במאי 2013 (IDT)

== מערכי תרגול ==

אפשר בבקשה שתעלו את מערכך תרגול מס' 7 לפני הבוחן תודה מראש

* העלתי--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:27, 18 במאי 2013 (IDT)

== מועד הגשה תרגיל 7 ==

האם תרגיל 7 להגשה ביום ראשון הקרוב כרגיל או שיש דחייה בגלל הבוחן ביום שני?

*אפשר להגיש בשבוע הבא (26.5) אבל יעלה עוד תרגיל ביום ראשון גם כן לאותו תאריך--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 18 במאי 2013 (IDT)

== מיקום הבוחן ==

באיזה כיתה/ות יהיה מחר הבוחן?

* תיכוניסטים: 604 כיתה 62.

* קבוצה רגילה: 101 כיתה 2.

שעה 18:00

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 20 במאי 2013 (IDT)

== הבוחן ==

1)יהיה חקירת פונקציות? חלק אומרים שכן וחלק לא...

2)צריך לזכור הוכחות מהרצאות?

* 1) חקירת פונקציות בחומר לבוחן.

2)לא צריך לדעת הוכחות מההרצאות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:16, 20 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 I ב ==

מדוע הפונק' מוגדרת דווקא בקטע זה? יש לכך איזשהי משמעות?

* זאת טעות. התחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> הוא בשביל סעיף א.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:26, 21 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 ==

מה הכוונה בסוג תחום ההתכנסות ?

כתוב:" מצא תחום התכנסות, סוגה ואת הפונקציה הגבולית"

התכוונו לכך שתמצא את סוג ההתכנסות (במ"ש/נקודתית)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

הכוונה ש fn שואפת ל f לא במידה שווה היא שהיא שואפת ל-f נקודתית בהכרח או שיכול להיות ש מf כלל לא שואפת לשום פונקציה?

'''נתון''': fn שואפת ל f לא במ"ש.

'''צ"ל''': האם ההתכנסות היא במ"ש/נקודתית, או שבכלל אין התכנסות.

'''פתרון''': על פי הנתון: "fn שואפת ל f", ולכן fn שואפת לפונקציה f. למדנו על שני סוגים של התכנסות - נקודתית ובמ"ש. על פי הנתון ההתכנסות היא לא במ"ש, ולכן השאיפה היא בהכרח נקודתית.

מש"ל.

== תרגול 8 ==

אתם יכולים להעלות את תרגול 8 לאתר ? יש אנשים שלא כותבים כדי להקשיב.

== תרגול 8 ==

יש הרבה שלא מעתיקים אלא מקשיבים בתרגול וסומכים עליכם שתעלו את זה לאתר, אני לא מבין מה הבעיה שלכם להעלות את זה לאתר מיד אחרי התרגול, זה לוקח 10 שניות וחיוני להרבה אנשים.

''אני מניחה שאם נבקש יפה זה יהיה יותר אפקטיבי. אף אחד פה לא מנסה לעשות לנו דווקא...''

* לקחתי לתשומת ליבי. בלי נדר, בשבועות שנותרו, אני אעלה את התרגול ביום ראשון בערב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 25 במאי 2013 (IDT)

== לימודים כרגיל ==

יש היום לימודים כרגיל ? כי לא קיבלנו הודעה במייל...

בדיוק באתי לשאול את זה. יש הרצאה באינפי או בשימושי מחשב היום???

== תרגיל 9 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 9?

* לפעם הבאה שיש תרגול. מתי שזה לא יהיה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:17, 29 במאי 2013 (IDT)

ביום ראשון יש תרגול? כי לפי מה שהבנתי אין הרצאה בגלל הבגרות בתנ"ך.

* למיטב ידעתי ביום ראשון 2.6 אין תרגול לתיכוניסטים בגלל הבגרות בתנ"ך. כנראה שנצטרך תרגול השלמה אחד בגלל זה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:59, 1 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל 9 שאלה 1 ==

מותר להניח בסעיף הראשון ש <math>a \leq 1</math>?

* תשובה: לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:22, 4 ביוני 2013 (IDT)

אז <math>a\in\mathbb R</math>?

== למתי צריך להגיש את תרגילים 9 ו 10? ==

??

לתיכוניסטים: צריך להגיש את תרגיל 9 ליום ראשון הקרוב.

את תרגיל 10 לשבוע שאח"כ.

לשאר המתמטיקאים: אין לי מושג.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:10, 7 ביוני 2013 (IDT)

== מתי מגישים את התרגילים ?? ==

גם תרגיל 9 וגם תרגיל 10 זה ליום ראשון הקרוב ??

שאלה בסיסית:

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס.

תודה!

== שאלה בסיסית ==

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס בקטע 1 עד אינסוף?

תודה מראש.

גוזר :|

*1) גוזר ומראה שהנגזרת שלילית.

2) מראה בקלות שאם <math>x<y</math> אז <math>\frac{1}{2y}<\frac{1}{2x}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:13, 7 ביוני 2013 (IDT)

== רדיוס התכנסות. ==

לטור חזקות תמיד קיים רדיוס התכנסות?

* תשובה: כן. אם לוקחים בחשבון שיש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>\infty</math> ואז יש התכנסות (נקודתית) בכל <math>\mathbb{R}</math>.

ויש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>0</math> ואז יש התכנסות רק בנקודה אחת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:36, 10 ביוני 2013 (IDT)

== תרגילים 4 ו5 ==

לא מופיעים לי ציונים על תרגילים 4 ו5 על אף שהגשתי אותם
ת.ז. שלי 208544635 המתרגל שלי זה שי גול
תודה

== תרגיל 10 ==

בשאלה 2 ה' כשרשום log האם הכוונה בבסיס e או בבסיס 10?

אתה תלמיד חדש פה במקרה?

אלא אם מצוין אחרת, לפי מה שהבנתי, תמיד זה בסיס e

== שאלה לגבי התכנסות במש ==

הוכחנו שטור החזקות <math>\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k</math> בעל רדיוס R מתכנס בהחלט בקטע <math>(-R,R)</math> ובמש לכל קטע <math>[a,b]\subset(-R,R)</math>. אם <math>R=\infty</math> (רדיוס ההתכנסות) אז ההתכנסות של הטור על כל <math>\mathbb R</math> היא במ"ש?

תשובה: לא. רק על כל תת קטע סגור מהצורה <math>[-R,R]</math> יש התכנסות במ"ש אבל לא על כל <math>\mathbb{R}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה ==

האם
lim(A(n)^p) = (lim A(n))^p
כאשר n שואף לאינסוף ,p קבוע?

*תשובה: כן, זה נובע מכך ש <math>x^p</math> היא פונקציה רציפה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:34, 16 ביוני 2013 (IDT)

== פתרונות ==

שלום!! אפשר בבקשה להעלות את הפתרונות לשאר התרגילים?? די דחוף.. רוצים להתחיל ללמוד למבחן..!

== הגשת תרגיל 10 ==

האם תרגיל 10 להגשה?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 10 שאלה 4 ==

סביב איזו נקודה יש לפתח את טור החזקות? סביב 0?

*תשובה: כן. סביב <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:30, 16 ביוני 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

האם יש טורים שמתכנסים במ"ש על כל הישר (חוץ מטור שהוא זהותית 0 כמובן)? ואם כן איך אפשר להוכיח שהם כאלה ?, כי התכנסות על כל הישר לא גוררת התכנסות במ"ש על כל הישר...

* תשובה: כן. למשל הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}</math> לפי מבחן ה <math>M</math> של ווירשטראס מתכנס במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>.

אבל אין טור חזקות שמתכנס במ"ש על כל <math>\mathbb{R}</math>.

^למעט טור חזקות שהוא פולינום.

*(לא מתרגל) זה לא מדויק כל כך. מה שכן אפשר להוכיח - כל טור חזקות שיש בו אינסוף איברים לא אפס (או לחילופין שהאיבר הכללי לא מתאפס אחרי מקום מסוים) לא מתכנס במ"ש ב-R.זה תנאי מספיק והכרחי, כי אם החל ממקום מסוים הוא מתאפס, אז ברור כי הוא יתכנס במ"ש ב-R, ואם לא אז הוא לא יתכנס במ"ש ב-R.

* תשובה: נכון. לא דייקתי במה שאמרתי. מה שהלא מתרגל כתב כאן נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:30, 17 ביוני 2013 (IDT)

== סכום טורי חזקות ==

היום שאלו אותי בכיתה אם את השאלה הבאה:

אם יש 2 טורי חזקות <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math> ו <math>\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n</math> שלשניהם רדיוס התכנסות <math>R</math>.

האם ייתכן שלסכומם יהיה רדיוס התכנסות גדול יותר?

התשובה (הלא כל כך אינטיליגנטית) שעניתי הייתה שאם לוקחים <math>b_n=-a_n</math> אז הסכום שלהם הוא <math>0</math> ולזה יש רדיוס התכנסות <math>\mathbb{R}</math>.

אני יכול לתת תשובה (קצת) יותר אינטיליגנטית. נניח שנסתכל על

<math>\sum_{n=0}^{\infty}(n^n+\frac{1}{n})x^n</math> זה טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

וגם <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-n^n)x^n</math> הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

סכומם הוא הטור <math>\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n})x^n</math> שיש לו רדיוס התכנסות <math>1</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:47, 16 ביוני 2013 (IDT)

== אפשר לעלות מבחן לדוגמא ? ==

והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?

* יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

: (לא מתרגל / מרצה) תשובות:

: 1. הגבול הנ"ל שקול לגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x^n</math> עבור <math>x\in\left [ -1,1 \right ]</math>, זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).

: 2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה <math>g(x)</math> ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.

: 3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה. 
: 2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה. 
: 3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, אך במ"ש אומר שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> ולכל x בקטע מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, זה ההבדל. 
: 4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.

: מקווה שמובן, --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)

* התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

== שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב ==

הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?

נתנו רמז : טור הנדסי.

למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?

: (לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)

* שוב גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:45, 18 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות מההרצאות במבחן ==

אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?

== שתי שאלות לגבי המבחן ==

א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב<math>\Leftarrow [a,b]</math> f אינטגברלית <math>\Leftrightarrow</math> לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש<math>S\bar(f,p)-S\underline(f,p)<\epsilon</math>". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?

ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?

* (לא מתרגל) א. כן

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== הוכחות למבחן ==

אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-02-19T19:39:04Z

ענב: /* אפשר בבקשה לפרסם פתרון למבחן של המתמטיקאים מועד א'? */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 2|ארכיון שאלות ותשובות 2]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== (מתמטיקאים) תרגיל 7 שאלה 5 ==

כדי להפריך התכנסות של טור מראים שהאיבר הכללי לא שואף לאפס.
השאלה שלי האם אפשר להפריד באיבר הכללי ולהראות פעם אחת על האיבר הכללי הזוגי (כאשר n זוגי) שהוא לא מתכנס לאפס ופעם שניה על האיבר הכללי האי זוגי שהוא לא מתכנס לאפס. האם די בכך כדי לטעון שהאיבר הכללי לא מתכנס לאפס?

היי,
'''מקווה שאני לא טועה ומטעה''', אבל לדעתי מספיק להוכיח על אחת מתתי הסדרות (זוגיים או אי זוגיים) שאינה שואפת לאפס, בכדי להוכיח שכל הסדרה שאינה שואפת לאפס.
הרי מתקיים: אם סדרה an שואפת ל-l אזי כל תת-סדרה ank שואפת ל-l. וזה בדיוק כמו: אם יש תת-סדרה ank שלא שואפת ל-l, אזי הסדרה an אינה שואפת ל-l.

אגב, יש עוד דרכים להפריך התכנסות של טור (להוכיח שסדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת לגבול סופי או להשתמש באחד מהמבחנים לטורים חיוביים- של קושי וחבריו). בהצלחה.

== אפשר בבקשה לפרסם את תרגיל 8 למתמטיקאים? ==

תודה!

== תרגיל מס' 8 שאלה 1 ==

לפי לייבניץ, אם an היא סדרה מונוטונית יורדת של מס' חיובים השואפת ל-0, אזי הטור מתכנס, האם נכון גם לגבי תתי-סדרות, זוגיים ואי-זוגיים? האם ניתן להראות מונוטיות יורדת עבור שני איברים זוגיים ולאחר מכן, עבור שני איברים א"ז?
תודה.

(לא מתרגל / מרצה) זה אכן אפשרי, אך זה לא אומר כלום על מונוטוניות הסדרה כולה, שכן יכול להיות שגם הזוגיים וגם האי זוגיים מונוטוניים עולים, אבל לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>a_{2n}>a_{2n+1}</math>, ואז אין מונוטוניות של הסדרה כולה --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:40, 23 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 שאלה 5 ==

חסר במקרה נתון של מונוטוניות??.. כי לא ברור איך לפתור.. או שצריך לחלק למיקרים אם Bn מונוטונית ואם לא..

(לא מתרגל / מרצה) לא חסר שום נתון. באיזה כיוון את/ה מתקשה להוכיח? --[[משתמש:גיא|גיא]] 06:47, 26 בדצמבר 2012 (IST)

בשני הכיוונים למען האמת, נניח בכיוון הישר הטור An מתכנס בהחלט אז מה זה נותן לי??.. שהסידרה שואפת לאפס אבל לא נתון מונוטונית אז אי אפשר לפי דריכלה כי גם לא נתור '''שהטור''' Bn חסום, אבל גם אי אפשר abel כי מי אמר שBn מונוטונית יכולה להיות חסומה ולא מונוטונית... וגם לפי לייבניץ אני לא רואה כיוון כי לא נתון ש An מונוטונית בכלל.. בקיצור איך מתקדמים??..
::בכיוון שציינת שווה לנסות להוכיח יותר, עד כמה שזה נשמע מוזר, שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס אפילו בהחלט לכל סדרה חסומה. אפשר בהקשר זה לחשוב על מבחני התכנסות נוספים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 ==

אם נתונה סדרה חסומה אזי בהכרח הטור של הסדרה חסום???.. ולהיפך?.. אם טור חסום אזי הסדרה חסומה??..

(לא מתרגל / מרצה) בוודאי שלא. לדוגמה ניקח את הטור ההרמוני <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> - הסדרה <math>\frac{1}{n}</math> חסומה ע"י 1, אבל טורה מתבדר ולכן אינו חסום. לגבי הכיוון השני, אני חושב שגם לו ניתן למצוא הפרכה אבל אני לא בטוח סופית --[[משתמש:גיא|גיא]] 06:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)
::הכיוון השני כן נכון. כי אם קיים <math>M>0</math> כך ש<math> \forall n \in \mathbb{N} \ M\geq |S_n|</math>
אז<math> \forall n \in \mathbb{N} \ |a_{n+1}|=|S_{n+1}-S_n|\leq |S_{n+1}|+|S_n|\leq 2M</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:56, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== זהויות טריגונומטריות ==

תוכלו בבקשה להעלות קובץ עם הזהויות הטריגונומטריות החיוניות עבורנו?
יש בעמוד הראשי קישור לויקיפדיה, אבל יש שם המון זהויות...

תודה
::אני לא יודע בשלב זה לספק רשימת זהויות חיוניות. אני מניח שכל הזהויות שניתקלים בהן בהרצאה, תרגול/ש"ב הן הזהויות ההכרחיות. דברים שכן חשובים ואני יכול להצביע עליהם אלו הזהויות של קוסינוס וסינוס זווית כפולה וגם מעבר ממכפלה לסכום (יש טבלה כזו בקישור שציינת). --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:51, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== שלילת התכנסות טור ==

האם על סמך התנאי an+1/an>1 ניתן להסיק ש lim an שונה מ-0 ? ובכך לקבוע ישירות התבדרות הטור.

*(לא מתרגל) כן, כי אם כך (החל ממקום מסוים) איברי הסדרה עולים ממש, וכן חיוביים ולכן לא שואפים ל-0 בטוח. לכן לפי הטענה:

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס.

אפשר להסיק שהטור מתבדר.
::נכון. תובנה יפה. בהמשך לכך שימו לב שאם התנאי <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> מתקיים נניח החל מ<math>n_0</math> אז אם
<math>a_{n_0}</math> שלילי אז התנאי דווקא יגרום לכך שהסדרה מונוטונית יורדת מאותו מקום,וגם אז הגבול לא יכול להיות אפס. כי אם תהיה התכנסות הגבול יהיה קטן או שווה ל<math>a_{n_0}</math> שהוא שלילי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:02, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלת בונוס (מתמטיקאים) ==

נתון בשאלה שמתקיים: <math>\lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_{n})=0</math>
כלומר, לכל <math>\varepsilon> 0 </math> קיים <math>n_{0}</math> שהחל ממנו <math>\left |a_{n+1}-a_{n} \right |< \varepsilon</math>

ניסיתי להשתמש בקושי ולטעון:
<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |=\left | a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p-2}+...+a_{n+1}-a_{n} \right |\leq \left | a_{n+p}-a_{n+p-1} \right |+\left | {n+p-1}-a_{n+p-2} \right |+...+\left | a_{n+1}-a_{n} \right |
</math>

ולכל <math>n\geq n_{0}</math> מתקיים:

<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |< \varepsilon +\varepsilon +...+\varepsilon =p\cdot \varepsilon </math>

נבחר <math>\varepsilon=\frac{\varepsilon _{0}}{p} \Rightarrow \varepsilon \cdot p=\varepsilon _{0}
</math>

ונקבל : לכל <math>\varepsilon _{0}</math> (בהתאם לבחירת <math>\varepsilon</math> כרצוננו):

<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>

ולכן, לפי קושי, הסדרה מתכנסת לגבול סופי.

האם זה נכון?
::לא. יש בעיה עם הכמתים (קיים,לכל). בהגדרה לפי קושי, אם אשתמש בסימונים שלך צריך להוכיח שלכל <math>\epsilon_0</math> קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n\geq n_0</math> '''ולכל''' <math>p</math> טבעי<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>.

אני אציג מה שלא עובד בהוכחה שציינת. בגדול אי אפשר יהיה לקבוע מהו <math>n_0</math>. למה?

נציב לפי ההצעה שלך <math>p</math> טבעי מסוים ועבור <math>\varepsilon _0</math> מסוים,
<math>\epsilon=\frac{\varepsilon_0}{p}</math> ונשתמש בגבול הנתון ונסיק שקיים <math>n_0</math> שתלוי ב <math>\varepsilon</math> ולכן '''תלוי ב<math>p</math> ''' כך שלכל <math>n\geq n_{0}</math> ועבור אותו <math>p</math> ספציפי <math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>. אבל
כדי להוכיח קריטריון קושי צריך שהנ"ל יתקיים '''לכל <math>p</math>''' ולא ל <math>p</math> מסויים.
אם היינו משנים את <math>p</math> גם <math>n_0</math> היה יכול להשתנות (כי הוא תלוי ב<math>\varepsilon</math> '''שתלוי ב<math>p</math>''').

אגב, אי אפשר להוכיח שקריטריון קושי מתקיים ושהסדרה מתכנסת שכן קיימות דוגמאות נגדיות לסדרות שלא יתכנסו אך עדיין יקימו את התנאי בשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:50, 28 בדצמבר 2012 (IST)

נכון. תודה (:

== מועד הבוחן ==

מתי יתקיים הבוחן השני לתיכוניסטים?

(לא מתרגל / מרצה) התאריך אמור להתפרסם בקרוב :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 21:58, 1 בינואר 2013 (IST)

== תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 3 ==

האם L ממשי או שייך לקו הממשי המורחב(כלומר כולל פלוס ומינוס אינסוף)?
:ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 9 שאלה 1 ==

כאשר רוצים לדרוש ערך מוחלט גדול מחיובי כלשהו (חסם לפי קושי)..אפשר לבחור את דלתא עצמה??.. כי ידוע שהיא חיובית, תודה!
::אם הבנתי נכון את השאלה אז התשובה היא לא. אנחנו לא יודעים שדלתא חיובית. אנחנו רוצים להוכיח שקיימת דלתא חיובית כך ש...

חוץ מזה אנחנו לוקחים איקס לפי דלתא למשל <math>\delta>|x-1|>0</math> כשבודקים גבול פונקציה בנקודה 1.
בעצם כתוב כאן קיימת דלתא כך שלכל איקס המקיים <math>\delta>|x-1|>0</math>. לכן האיקסים אמורים להיות תלויים בדלתא ולא ההיפך... אי אפשר להגיד פתאום ש <math>|x+5|>\delta</math>. הרעיון הוא להוסיף אילוץ על דלתא שלא תלוי באיקס למשל שדלתא קטנה משליש ואז דווקא לקבל מידע על הטווח של האיקסים לפי <math>\delta>|x-1|>0</math> בדוגמא שלי --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:28, 2 בינואר 2013 (IST)

== תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 2b ==

ניתן להניח שאם
<math> \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)=- \infty</math> וגם <math> \lim_{x \rightarrow - \infty }g(x)=- \infty </math>
אז <math> \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)g(x)= \infty </math> ?

(לא מתרגל / מרצה) כן, לפי אריתמטיקה של גבולות --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:07, 4 בינואר 2013 (IST)

== שאלה כללית ==

איך אני מחשב גבולות חד צדדיים של פונקציות?

*(לא מתרגל) באופן כללי יש הרבה דרכים, ומשפטי עזר לנושא. לדוגמא, אפשר לחשב על ידי אריתמטיקה, או על ידי משפט הסנדוויץ'. בנוסף אפשר לדעת על קיומו של גבול חד צדדי לפי המשפטון הבא:

אם f פונקציה חסומה ומונוטונית בקטע סגור [a,b] אזי קיימים הגבול מימין של a והגבול משמאל של b. דבר נחמד נוסף הוא שבמקרה בו הפונקציה עולה לדוגמא, הגבול השמאלי של b הוא הsup של כל ה(f(x בקטע, ובנוגע לגבול הימני בa הוא הinf בהתאמה. ביורדת בדומה. כלומר, אפשר לפתור את הבעיה עם חסמים במידה ומתרחש מקרה כמו המתואר לעיל.

דרך נוספת היא ממש לפי ההגדרה - לפי קושי/היינה, אבל לרוב זה לא נחמד ולא שימושי כל כך.

== רציפות במידה שווה ==

אפשר הסבר להבדל בין רציפות לבין רציפות במידה שווה מבחינת הגדרה? כי אמרו שהדלתא יכול להיות תלוי ב x, בעוד שבמידה שווה זה לא כך.

לא הבנתי כל-כך למה זה נכון..

(לא מתרגל / מרצה) הנה ההסבר שלי:

ההגדרה לרציפות היא נקודתית. כלומר <math>f</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם <math>lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x,0<|x-x_0|<\delta: |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כלומר בבחירת <math>\delta</math> יש גם תלות ב-<math>x_0</math>.

לעומת זאת, ההגדרה לרציפות במידה שווה היא כוללת. פונקציה <math>f</math> היא רציפה שווה בקטע <math>A</math> אם <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x_1,x_2\in A, |x_1-x_2|<\delta:|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>. כלומר פה אין קודם בחירה של הנקודה, אלא ה-<math>\delta</math> מתאים לכל שתי נקודות.

זו הכוונה בכך ש-<math>\delta</math> אינו תלוי ב-<math>x_0</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:21, 6 בינואר 2013 (IST)

תודה רבה הבנתי :) כשאמרו שבחירת הדלתא תלוי ב x, לא הבנתי שהם מתכוונים ל xo.

== שאלה טכנית ==

אם יש לי, נניח, דבר כזה:

<math>lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)</math>

ואני רוצה לחשב גבולות חד-צדדיים. האם מותר לי, לפני חישוב הגבולות, לומר:

<math>lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}</math>

כאילו לעשות מעבר גבול על "חלק" מהארגומנט, אותו החלק שאינו תלוי בצד הגבול (מימין או משמאל)?
::יש קצת בעיה לכתוב את זה כך כי גבול שווה לסכום הגבולות בהנחה שהגבולות בכלל קיימים בדוגמא שציינת הגבול <math>lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}</math> כלל לא קיים ומן הסתם גם הגבול שהתחלת איתו לא קיים. מצד שני לכתוב
<math>lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x}</math> נראה יותר מדוייק וכנ"ל בגבול החד צדדי השמאלי שכן הגבולות החד צדדיים האלו כן קיימים--[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:04, 8 בינואר 2013 (IST)

== בתרגיל 10 שאלה 1ב (מתמטיקאים) ==

צריך להוכיח רציפות של הפונקציות sin ו-cos?
::לא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:19, 9 בינואר 2013 (IST)

== חומר לבוחן (תיכוניסטים) ==

מה החומר לבוחן (הקבוצה של פרופ' אגרונובסקי)?

== העלאת תרגיל 10 לתיכוניסיטים ==

ניתן בבקשה להעלאות את התרגיל של השבוע?

== הבחנים ==

מה התאריכים של הבחנים, ומה החומר שהם יכסו? תודה

== שאלה כללית ==

מה ההבדל בין סופרמום של פונקציה למקסימום שלה??..ואם אפשר לרשום את ההגדרה הפורמלית של כל אחד מהמושגים, תודה!

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%97%D7%A1%D7%9E%D7%99%D7%9D

== הגדרת גבול של פונקציה ==

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??

== הגדרת גבול של פונקציה ==

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??
כלומר אם איקס שואף לאינסוף, והגבול הוא L, מה זה אומר??

(לא מתרגל / מרצה) <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x, x>\frac{1}{\delta}:|f(x)-L|<\varepsilon</math>, כי כזכור <math>U_\delta (+\infty)=(\frac{1}{\delta},+\infty)</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:24, 12 בינואר 2013 (IST)

קצת מבלבל אותי הסביבות הללו XD

(לא מתרגל / מרצה) אם <math>x\rightarrow\infty</math> והגבול הוא <math>L</math>, אז לכל <math> \varepsilon>0 </math> שנבחר (מרחק על ציר <math>y</math>), קיים מרחק על ציר <math>x</math>, שבשפה מתמטית קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x>\frac{1}{\delta}</math>, ערכי הפונקציה יהיו באזור של <math>L</math>, כלומר יתקיים <math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>. מקווה שיותר מובן :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:24, 16 בינואר 2013 (IST)

יש הבדל בין <math>x>\frac{1}{\delta}</math> לבין <math>x>\delta</math>?

(לא מתרגל / מרצה) באופן עקרוני אם מדובר בכל <math>\delta</math>, אז אין הבדל גדול, אך בגלל הגדרת הסביבה אנו כותבים <math>x>\frac{1}{\delta}</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:13, 16 בינואר 2013 (IST)

למה בהגדרת הסביבה צריך לרשום <math>x>\frac{1}{\delta}</math> ולא <math>x>\delta</math>?

== האם יש מחר לימודים ??? (תיכוניסטים) דחוף ! ==

מתקיימים מחר הרצאות ותירגולים ??? כי יש בגרות באנגלית מחר והיא חופפת לשעות הלמידה. בבקשה תשובה בהקדם !

(לא מתרגל) כן. כרגיל

== מבחנים לדוגמא (תיכוניסטים) ==

מישהו יכול להוסיף לכאן קישור למבחנים לדוגמא באינפי 1 ובלינארית 2? תודה!

== רציפות במ"ש ==

יש לי שאלה כללית: יש משפט שאומר שאם פונקציה רציפה בקטע והגבולות בקצות הקטע קיימים וסופיים אז הפונקציה רציפה במ"ש עכשיו אם הפונקציה מוגדרת רק בסביבה ימנית של קצה הקטע האם המשפט יהיה נכון ע"י בדיקת הגבול הימני בקצות הקטע לדוגמא האם אפשר להוכיח ששורש x רציפה במ"ש ב(0,1) בעזרת זה שהיא רציפה בקטע הגבול ב-1 הוא 1 והגבול הימני באפס הוא אפס ? ואם לא איך אפשר להוכיח ששורש x רציפה במ"ש?
::הכוונה בגבולות בקצות הקטע הם לגבולות מתוך הקטע כלומר החד צדדיים כמו שרצית. אני לא בטוח אם למדתם השנה את המשפט הזה בהרצאה. בכל מקרה בקטע סופי ההוכחה די ברורה מרחיבים את הגדרת הפונקציה בקצוות לפי עררכי הגבול בקצוות ואז קל לראות שהפונקציה המורחבת גם כן רציפה. מכאן היא רציפה במ"ש בקטע הסגור לפי קנטור ולכן רבמ"ש גם בתת הקטע שממנו התחלנו אבל בתת הקטע היא מתלכדת עם הפונקציה המקורית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:47, 23 בינואר 2013 (IST)

== רשימת משפטים ==

האם רשימת המשפטים שהועלתה לאתר היא מהסיבה שתהיה הוכחת משפט/ים מתוכם? או כי פשוט החלטתם להעלות ללא קשר למבחן?

*יש שאלת משפט במבחן, כך לפחות אצל ד"ר הורוביץ. אני מאמין שגם בקבוצה של פרופ' אגרונובסקי, לא מחלקים רשימת משפטים ספציפית סתם כך. חשוב לזכור שהרשימה בין שתי הקבוצות שונה.

(לא מתרגל / מרצה) רשימת המשפטים והוכחתם שעלו לאתר מיועדים לקבוצת התיכוניסטים (אני לא יודע מה עם הבוגרים) של פרופ' אגרנובסקי. במבחן אחד המשפטים מהרשימה או יותר עשויים להופיע כשאלה --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:52, 25 בינואר 2013 (IST)

הבוגרים קיבלו את אותה רשימת משפטים.

== שיעור חזרה לקבוצה של שמחה ==

באיזה תאריך ושעה השיעור חזרה יתקיים?

(לא מתרגל / מרצה) של איזה מרצה ואיזו קבוצה? --[[משתמש:גיא|גיא]] 13:28, 26 בינואר 2013 (IST)

לקבוצה של שמחה הורוביץ.

== מספר שאלות לגבי רשימת המשפטים של פרופ' אגרונובסקי (תיכוניסטים) ==

1) במבחן השורש של קושי להתכנסות טור, המבחן הוא על פי הגבול העליון, אך ההוכחה שפרופ' אגרונובסקי הראה לנו היא בהנחה שקיים גבול, האם ניתן להסתפק בהוכחה זו?

2) אם בחלק מההוכחות שפרופ' אגרונובסקי הראה לנו יש התעלמות ממקרי קצה, האם ניתן להתעלם מהם במבחן?

בתודה מראש, [[משתמש:Avichai|Avichai]] 20:21, 26 בינואר 2013 (IST)

(לא מרצה / מתרגל) שאלתי אותו במייל והעלתי עדכון להוכחות. הוא ביקש שנדע גם את ההוכחה להכללה של משפט קושי. --[[משתמש:Dvir1352|דביר חדד ]] 15:06, 29 בינואר 2013 (IST)

דביר- פרופ' אגרונובסקי עבר על ההוכחות שלך? - זה ההוכחות שהוא רוצה שנכתוב? (צריך גם את של רול ואת שתי הפשרויות למבחן קושי של טורים??)

אני אשלח לו מייל עם ההוכחות בדיוק, ומחר גם אפגוש אותו. ככה שרק אז אוכל לענות ב100%. כרגע מדובר בדיוק בהוכחות שהוא נתן בכיתה, פלוס ההערות שהוא הוסיף בעקבות שאלות שנשלחו אליו במייל. --[[משתמש:Dvir1352|דביר חדד ]] 23:56, 30 בינואר 2013 (IST)

'''הועלה עדכון לעמוד של הקורס'''
--[[משתמש:Dvir1352|דביר חדד ]] 21:30, 31 בינואר 2013 (IST)

== היינה-בורל ==

[[מדיה:Example.ogg]]

למדנו את משפט היינה בורל ?

== מערכי תירגול במשפט ערך הביניים (תיכוניסטים) ==

במערך התרגול של משפט ערך הביניים יש ארבעה תרגילים. אפשר לצרף אליהם פתרונות לבדיקה עצמית ?

== שאלה על הקשר בין פונקציה לנגזרתה ==

אם פונקציה רציפה אז האם בהכרח גם נגזרתה רציפה ?
אם כן אשמח להוכחה ואם לא אשמח להפרכה.

פונקציה רציפה לא גוררת גזירות.. למשל פונקציית הערך המוחלט

תן לי לנסח את עצמי מחדש . אני שואל אם פונקציה רציפה וגזירה אז גם הנגזרת שלה רציפה.

:גם לא, למשל הפונקציה הבאה: אם <math>x<1</math> אז <math>f(x)=1</math>, אחרת <math>f(x)=x</math>. הפונק' גזירה בכל הנקודות למעט 1, ושם גם הנגזרת לא רציפה.

כנראה לא הייתי ברור מספיק. נניח שיש פונקציה f גזירה בכל הממשיים ! (ולכן גם רציפה). האם גם נגזרתה רציפה ? בדוגמא שלך הפונקציה לא גזירה ב-1.

* טוב, הדיון הזה נהיה קצת הזוי... :) בואו נראה האם הבנתי את השאלה. יש פונקציות רציפות וגזירות כך שנגזרתן אינן רציפה. הדוגמה הסטנדרטית היא: <math>f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}}</math> עבור <math>x\neq 0</math>, ו- <math>f(0)=0</math>. למרות שהנגזרת באפס קיימת, פונקציית הנגזרת אינה רציפה שם. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:03, 2 בפברואר 2013 (IST)

== שיעור חזרה לקבוצה של שמחה ==

מתי מתקיים שיעור החזרה לקבוצה של שמחה הורוביץ'?

*ההודעה נשלחה במייל ממלי:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 1

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

שעור חזרה עם ד"ר הורוביץ יתקיים ב תאריך 5/2/13 בשעה 16-18 בכיתה 202/103

== הבוחן השני (תיכוניסטים) ==

אפשר הסבר לשאלה 3 סעיף ג', למה x = 0 היא נקודת אי רציפות ממין שני?

== צריך ללמוד הוכחות של משפטים שאינם ברשימה? ==

בפרט, צריך לדעת הוכחות של משפטים שההוכחות מהרשימה מסתמכות עליהם?
למשל, ההוכחה של משפט לגרנז' מסתמכת על הלמה של רול, שבעצמה נשענת על משפט פרמה- האם כל ההוכחות הפנימיות דרושות?

::זאת שאלה מעולה. למרצים. :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:56, 3 בפברואר 2013 (IST)

'''תשובתו של פרופ' אגרנובסקי הייתה כדלקמן:
יש להציג את ההוכחות למשפטים כפי שנלמד בכתה. במשפט לגראנז' על ערך ממוצע יש לציין, במקום המתאים, שנעשה שימוש בלמה של רול, ולצטט אותה. אין חובה להוכיח אותה, אם כי זה בהחלט אפשרי.'''

== רציפות במידה שווה של אקספוננט ולאן ==

האם האקספוננט רציף במ"ש על כל הישר הממשי ואותה שאלה לגבי ln x בין 0 לאינסוף
אם אפשר לצרף הוכחה
תודה

::נמצא במערכי תרגול ובשיעורי הבית. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:57, 3 בפברואר 2013 (IST)

*(לא מתרגל) בנוגע לlnx אפשר לראות כי היא לא חסומה על (0,1),והוא תת קטע של הקטע המדובר, לכן היא לא רציפה שם במ"ש ולכן לא רציפה במ"ש גם בקטע המקורי.

בנוגע לe^x אפשר לקחת שתי סדרות ולהפריך זאת, לדוגמא על ידי Xn=n+1/n וכן Yn=n. זה יוצא קצת ארוך ועם הרבה לופיטל, אבל בסוף מתקבל שהגבול הוא מינוס אינסוף. אפשר גם לקחת Xn=lnn+1/n וכן Yn=lnn ולקבל כי ההפרש של הפונ' שואף ל-1, זה מעט קצת יותר.

== איפה אפשר למצוא מבחנים של פרופסור אגרנובסקי? ==

או בכלל?...

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/

ודביר חדד העלה מבחנים ממקומות אחרים:
http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_-_%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%A1%D7%99%D7%98%D7%90%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%AA

בהצלחה לנו (:

== האם אפשר להסתמך על ההגדרה של ==

0^0=1?

כי נוסחת טיילור, אם הבנתי נכון, מתבססת על ההגדרה הזאת. (וזה לא מובן מאליו)

*(לא מתרגל) נוסחאת טיילור מתבססת על 3 דברים במקרה שבו k=0 מתקבל בסכום : 1=0^(x-x0), הנגזרת האפס של פו' בנקודה שווה לערך הפו' בנקודה, ו1=!0.

== איך מראים שלמשוואה tanx=x יש אינסוף פתרונות? ==

תודה..

tg(pi/4+pi*k)=1
tg(-pi/4+pi*k)=-1
הפונקציה רציפה בקטע הנ"ל ולכן לפי ערך הביניים קיימות אינסוף נקודות שבהן f(x)=0

== בפתרון תרגיל 12 שאלה 9 סעיף ב ==

למה:

<math>lim_{x\rightarrow \infty } \frac{3e^{3x}-5}{e^{3x}-5x}= lim_{x\rightarrow \infty } \frac{9e^{3x}}{3e^{3x}-5}</math> ?

לופיטל

נכון! מהמם, תודה (:

עוד שאלה: בסעיף ד הבנתי שהשתמשנו בלופיטל:

<math>e^{lim_{x\rightarrow \infty}\frac{lnx}{x}}=e^{lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}}</math>

אבל למה בלי נוסחת הגזירה של מנה?

::בלהופיטל גוזרים את המונה והמכנה בנפרד...

אוף, נכון...

== כמה שאלות לגבי המבחן (תיכוניסטים) ==

מישהו יודע מתי המבחן יגמר ? (עם תוספת זמן ובלי תוספת זמן)

מה יהיה מבנה המבחן והאם תהיה בחירה ?

== אפשר בבקשה לפרסם פתרון למבחן של המתמטיקאים מועד א'? ==

רוב תודות!

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-02-12T08:16:09Z

ענב: /* פתרונות למבחנים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

מפה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/]

תודה!

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

(לא מתרגלת) תסמן dim(nullA<math>\cap</math>CspanB)=p
תקח בסיס לחיתוך, תשלים אותו לבסיס למרחב העמודות של B ואז תנסה לראות מה קורה כשמכפילים AB.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

'''>> ראשית, הוא לא הגדיר את התמונות מוכלות אלא שוות. שנית, זה שיש איזושהי זהות בין קבוצות התמונות לא אומר שמקור-מקור התמונות זהות.

הפיתרון הנכון צריך להיות:

<math>C(A)=sp\{v_1,...,v_k\}, C(B)=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l\}, F^n=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l,...,v_n\}</math>.

אזי, קיימים בסיסים <math>\{x_1,...,x_m\},\{y_1,...,y_m\}</math> כך ש-

<math>Ax_i=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>

<math>By_i=v_i,\ \forall i=1,...,l\ and\ 0\ otherwise</math>

ונגדיר C ע"י

<math>Cx_i=y_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>.

לכן:

<math>\forall i=1,...,m\ \ BCx_i=B(y_i,\ i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise)=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise=Ax_i</math>.

עדי

תודה רבה (:

== פונקציונאלים ==

איך מחשבים בסיס דואלי?
ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?
תודה.

'''>> ראה ע"מ 109 למטה בחוברת של ד"ר צבאן.

'''>> לגבי השאלה, אני לא יודעת מה סוכם מול המרצה. הוא אמר שתישלחו לו או משהו, לא? תמורת ציון?

עדי

לא זכור לי שנאמר משהו בנוגע לציון.

'''>> עקרונית, התשובה לסעיף א' היא כן, אם מימד התמונה קטן ממימד הטווח. וזה מוביל לסעיף ב'- שיעיד כי מימד התמונה הוא לכל היותר k.

עדי

== פתרונות למבחנים ==

אפשר בבקשה לפרסם פתרונות למועדים 2006, 2010, 2012 ב'?
תודה רבה ובהצלחה לכווווולם! :)

שיחה:88-195 תשעג סמסטר א

2013-01-29T17:56:54Z

ענב: /* מבנה המבחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

1. במצב הנ"ל:

'''(א' וגם ב') וגם "נוט" א'''' או ג'
האם אני יכול פשוט "לצמצם" את הקטע המודגש כולו?

2. במצב הנ"ל:
'''(א' וגם "נוט" א')''' או ב'
האם אני יכול "לצמצם" כך שנשאר לי מהפסוק רק ב'??
:למה הכוונה בלצמצם? בעצם הקטעים המודגשים הם קטעים שלעולם לא יתקיימו. לכן, הפסוקים יתקיימו אם החלק השני של ה-או מתקיים.

הכוונה היא, כשיש לי שאלה שמבקשת ממני לפשט ביטויים, האם אני יכול ל"מחוק" במקרים הללו את מה שלא מתקיים ובכך לפשט את הביטוי ולהגיע למצב בו יש לי איבר אחד?

>>'''אל "תצמצם" באופן אוטומטי. א' וגם לא א' זה אכן פסוק שיקרי, אך חיבורו לב' ב-"וגם" וב-"או" יתן שתי תוצאות שונות. כנ"ל לפסוק אמיתי. עדי

אם כך, מה הכוונה בלפשט? עד לאן אמורים להגיע? המצבים שתיארתי הם הפישוט הסופי??

>>''' הכוונה היא בדיוק למה שאתה רוצה לעשות. לא אמרתי "אל תצמצם", אמרתי "אל תצמצם אוטומטית". הכוונה, צמצם, אך שים לב למקרה המדובר כדי שתצמצם לביטוי הנכון. עדי'''

==לקבוצה של עדי==

שימו לב, לא סיימנו בתירגול את כל החומר הנידרש, נכסה אותו בתחילת התירגול הקרוב. התרגיל להגשה בשבוע שאחרי כך שזה לא ימנע ממכם הגשה.
בכל מקרה, המערך המלא מופיע באתר כך שאתם יכולים כבר לעיין בו.

==הערה לתרגיל 1==
<math>(A\or B)\and C <=> (A\and C)\or (B\and C)</math> וכנל כש-C משמאל

<math>(A\and B)\or C <=> (A\or C)\and(B\or C)</math> וכנל כש-C משמאל

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

שלום!
האם (א גורר ב) נחשב חוסר שקילות ל(א חיתוך ב)?
ובאופן כללי, איך אני אמורה להחליט שהגעתי למצב של חוסר שקילות?
תודה מראש!
שחר

'''>>ראשית, בשלב זה אני מאמינה שהתכוונת ל"וגם" לא "חיתוך". שנית, וודאי ש"גורר" ו"וגם" אינם שקולים אחרת לא היה צורך בשני קשרים שונים. '''

'''שקילות מתרחשת כאשר העמודות בטבלת האמת זהות. היות וביקשו ללא בטבלת אמת, סימן שהפסוקים הופכים לזהים תחת ערכי האמת עבור אחד האטומים.'''

'''כתוצאה מכך, חוסר שקילות ניתן כאשר העמודות בטבלת האמת שונות. אין צורך בטבלה ע"מ למצוא מיקרה בו האחד נכון והשני לא. למשל, בשאלה 4, במידה'''
'''והחלטת שאין שקילות, מצא ערך אמת עבור r,p ו-q כך שפסוק אחד אמת והשני שקר. עדי'''

== שאלה 3 ==

האם צריך לנמק בצורה כלשהי את התשובה ?
או לתת פירוט ?
או שפשוט לרשום את הפסוק השקול וזהו ?
והאם זה בסדר שאין לי שמץ של מושג איך לבנות את הפסוק השקול מלבד בניסוי ותהייה ?
תודה.

:רצוי לתת נימוק, או להראות בשלבים את המעבר מהפסוק שרשום שם לפסוק פשוט יותר כשבכל שלב הנימוק טריוויאלי. אני חושב שניסוי ותהייה זה רעיון טוב בכל דבר;) [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:43, 6 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 3ג ==

האם אנחנו גם צריכים לפשט את הפסוק או מספיק לרשום משהו מסובך העונה לדרישה של הקשרים?
:מספיק לרשום משהו מסובך ככל שיהיה (רצוי כמובן שלא יהיה מאוד מסובך) שמשתמש בקשרים המוזכרים בלבד.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:44, 6 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

כנראה שהלינק לסילבוס של "לינארית" ו"בדידה" הוא זהה.
כעת הסילבוס של לינארית מופיע ב"בדידה".
לטיפולכם. תודה.
(שימו לב שאתם מתקנים, שהסילבוס ב"לינארית" לא השתנה ל"בדידה".)

:נראה לי שפתרתי את הבעיה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:41, 6 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 6 ==

שלום! מה פירוש המילה חוג? והאם R הכוונה ליחס בין a לb? תודה מראש!

'''>> "חוג" הכוונה לקבוצה המקיימת את תנאים א' עד ג' (איבר בקב' החזקה של X, ז"א תת קב' של X, קב' ריקה איבר בה, וכו')'''

'''R איננו יחס במקרה זה היות והוא איננו תת קבוצה של מכפלה קרטזית.'''

'''באופן כללי R איננו מושג שנלמד, אלא הוגדר במיוחד עבור שאלה זו. קיבלת עבורו מס' נתונים ועלייך להוכיח קיומה של תכונה ע"ס נתונים אלו.
עדי'''

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה פשר המשולש בשאלה 4? (A-משולש-B)
תודה :)

'''>>הפרש סימטרי. עדי'''

== תרגיל 2 שאלה 5 : ==

שאלה: לא כל כך ברור מה צריך להוכיח בשאלה... הסימונים של חיתוך והאיחוד הגדולים, יש לה משמעות שונה?

'''>> חיתוך ואיחוד כלליים. ראה הגדרה פורמלית בסוף מערך תירגול 2. באופן פחות פורמלי: נירצה לחתוך/לאחד מס' "כלשהו" של קב' (למשל <math>F_1,F_2,...,F_n</math>, או איזשהם <math>F_i</math> כאשר i מגיע מאיזושהי קב' אינקסים <math>I</math>). יש להוכיח שהחיתוך הכללי מוכל בכל אחד מהנחתכים וכמו כן שהאיחוד הכללי מכיל כל אחד מהמאוחדים. עדי'''

== שאלה 5 תרגיל 2 ==

כדי להוכחי שהחיתוך הכללי מוכל בכל אחד מהנחתכים, עליי להראות שכל איבור של החיתוך הכללי שייך לקבוצה i ששיכת לאינדקסים (ע"פ הגדרת ההכלה..)מה שמוביל אותי לשאול את השאלה האם יש טעות בשאלה? והכוונה היא להכלה ממש? כי להוכחה זו יש הפרכה...

לדוגמא: נגיד שהחיתוך הכללי הוא {1,2,3,4,5} וקבוצה Fi שווה {1,2,3,4,5,6} - נוצר לי מצב שהחתיוך הכללי מוכל ממש בקבוצה Fi ...אשמח ממש ממש אם תעזרו לי !!!!!!

'''>> כדי להוכחי שהחיתוך הכללי מוכל בכל אחד מהנחתכים, עלייך להראות ''שכל איבר של החיתוך הכללי שייך לקבוצה ה-i לכל i בקבוצת האינדקסים''.

'''לא, אין טעות.

'''הכלה ממש איננה סתירה להכלה, היא כלולה בה.

'''הדוגמא רק מדגימה את המבוקש, לא סותרת אותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

שלום:) לא הבנתי את ההגדרה של An. האם זו צורה של זוג סדור? ואם כן, יש בחלק השמאלי יותר משני איברים? תודה רבה!:)

'''>> זו מכפלה קרטזית בין שתי קבוצות (התלויות באינדקס n של הקבוצה)- קבוצה עם n איברים:1 עד n וקבוצה עם שני אייברים: 1 ו-<math>1+(-1)^n</math>. שים לב להבדל בין סוגריים מסולסלים המעידים על קב', במקרה זה עם זוג אייברים, אך הסדר ביניהם איננו חשוב, לבין סוגריים עגולים המעידים על זוג סדור. עדי

:בהצתה קצת מאוחרת, אני מחליף את שאלה 2 בשאלה אחרת, קצרה יותר, שמתאימה יותר לשאר השאלות בתרגיל מבחינת החומר. מתנצל על זה שזה מגיע מאוחר יחסית, אבל השאלה קצרה מאוד [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:10, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה משמעות הפסיק בנתונים שמביאים לנו בשאלה. מה הכוונה לערך מוחלט, סקלר?

'''>> ערך מוחלט מתאר את הגודל של קבוצה סופית (חשוב לציין "סופית", כי באופן כללי זה מציין עוצמה שטרם למדנו), כלומר מס' האייברים בה. הפסיק שם בשימושו העיברי הרגיל ברשימה של פריטים, מבחינה מתמטית אפשר לראותו כ"וגם". עדי'''

== תרגיל 3 שאלה מס' 2 ==

כאשר יש מכפלה קרטזית בין קבוצות, האם ניתן להמיר זאת לביטוי שקול המכיל "או" ו"וגם"?

>> תמקד את השאלה. בכל מקרה זוג סדור שייך למכפלה הקרטזית אם האיבר הראשון שייך לקבוצה הראשונה '''וגם''' האיבר השני לשניה, אם זה עוזר. עדי

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אני יודע ש (P(aUb)=P(a)U P(b
השאלה שלי איך מוכיחים את זה? או שמא אין לי צורך להוכיח כדי להשתמש בזה בגלל שזה משפט ידוע.?

'''>><math>\{2,3,4\}\subseteq\{1,2,3\}\bigcup\{3,4,5\}</math> אבל לא באף אחת מהן, כך שהמשוואה איננה נכונה.

'''יתכן שהכוונה לחיתוך.

'''במקרה זה, להוכיח או להשתמש זה תלוי אם הוכחתם זאת בכיתה/תירגול/ש.ב ובמהות השאלה (אם מהות כל השאלה היא להוכיח את המשוואה או שהשתמשנו במה שצריך להוכיח כדי להראות משוואה זו, אז לא ניתן להשתמש).

'''בכל מקרה,מוכיחים לפי הגדרה:

'''<math>x\in P(A\bigcap B)=>x\subseteq A\bigcap B=>...</math>

'''<math>x\in P(A)\bigcap P(B)=>x\in P(A)\and x\in P(B)...</math>

'''עדי

== תרגיל 5 ==

בשאלה 2 לא ממש הבנתי- יחסי הסדר המלאים על הקבוצה חייבים להיות יחסי סדר מלאים גם אם לא הייתה נתונה לי קבוצה מסויימת?? למשל היחס A^2<=B^2 הוא בכלליות לאיחס סדר מלא אם A,B שייכים לממשיים אבל בקבוצה הנתונה זה כן יהיה יחס סדר מלא כי יש רק את 4,5,6 לבחור, זה אומר שהיחס הזה למשל הוא יחס סדר מלא על הקבוצה הנתונה??..

'''>> מדובר על יחסים על הקבוצה הנתונה בלבד. שני יחסי סדר מלאים יחשבו זהים אם הם מסדרים את הקבוצה באותו סדר, למשל: ל-{2,4,8} אותו יחס סדר מלא ביחס ל <math>\leq</math> וגם ביחס לחלוקה ללא שארית כי: <math>2\leq 4\leq 8</math> וגם <math>2|4|8</math>. שימו לב, יחס מתואר ע"י אוסף הזוגות הסדורים שלו. בדוגמא שני היחסים זהים כי שניהם מתוארים ע"י: <math>\{(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),(4,8),(8,8)\}</math>. עדי

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

למיטב הבנתי ישנן שתי הגדרות נוספות:
'''יחס סדר חזק'''- יחס סדר ללא רפלקסיביות (והגדרת אנטי-סימטריות ש"משתנה" בהתאם).
'''יחס קדם-סדר'''- יחס סדר ללא אנטי-סימטריות.

האם יש צורך להתייחס לכך בשאלה? או שיש לציין לגבי כל אחד מהיחסים רק אם הוא יחס סדר ממש (מלא או חלקי), דהיינו: גם רפלקסיבי, גם אנטי-סימטרי וגם טרנזיטיבי?

תודה מראש (:

'''>> רק סדר וסדר מלא. כלומר רפלקסיבי, אנטי-סימטרי, טרנזיטיבי ולכל שני איברים בהכרח האחד מתייחס לשני או השני לראשון.
עדי

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

לא מצויין כי f הפיכה.
האם אני יכול להניח שהיא הפיכה כי קיימת f מינוס אחד?

'''>> לא. f במינוס אחד מופיעה במובן של קבוצת מקורות. גם אין צורך בהפיכה כדי לפתור את השאלה. עדי

== תרגיל 6 שאלה 2 סעיף א ==

האם אני מחשיב את 0 כשייך לקבוצה N?

'''>> לא

== הכנה לבוחן ==

תוכלו בבקשה להעלות את הפתרון של 6 כדי שנתכונן בעזרתו לבוחן?:) תודה מראש!

== יחסי סדר ==

רציתי לדעת מה ההגדרה ליחס סדר, יחס סדר מלא ויחס סדר חזק.. פשוט בכל מקום רשום דברים אחרים וזה נורא מבלבל.. בספר של ברגר רשום שיחס סדר מלא הוא:טרנזיטיבי,אי רפלקסיבי ומשווה- ולא אומרים כלום לגבי סימטריות, לפי מה שהבנתי מהשיעורים שלנו יחס סדר מלא הוא קודם כל יחס סדר משמע שהוא רפלקסיבי אנטיסימטרי וטרנזיטיבי.. אבל זה ככה בהגדרה בספר, בנוסף שדיברנו על יחסי סדר אמרנו שהם רפלקסיביים אז מזה היחס קטן ממש??... הוא לא יחס סדר??.. ממש הסתבכתי עם זה.. אשמח אם תעזורי לי להבין איך אתם רוצים שנפתור במבחן..!

'''>>יחס סדר=יחס סדר חלקי-יחס סדר חלש=רפלקסיבי, אנטי סימטרי וטרנזיטיבי

'''הוא נקרא חלקי בניגוד למלא שהוא רפלקסיבי, אנטי סימטרי וטרנזיטיבי וגם כל זוג אייברים ניתן ל"השוואה" ביחס (כלומר:לכל a,b בהכרח מתקיים aRb or bRa)

'''הוא נקרא חלש בניגוד לחזק שהוא אי רפלקסיבי, אנטי סימטרי וטרנזיטיבי .

'''אם היחס מקיים אי רפלקסיביות, אנטי סימטריות , טרנזיטיביות והשוואה נאמר שהוא יחס סדר מלא חזק, למשל היחס > ממש.

'''עדי

== מיקום הבוחן מחר ==

שלום,
היכן מתקיים הבוחן מחר?

== בוחן ==

מחר, ה-17 לדצמבר, 18:00-19:30 יתקיים בקורס בוחן (היחיד הסמסטר) על לוגיקה, קבוצות, יחסים ופונקציות. שאלות ילקחו מש.ב בשינויים קלים. בניין 604, כיתה 62.
אדם ועדי

== תרגיל 7 שאלה 1 סעיף ד ==

לפי מה למדנו בכיתה כאשר יש שוויון בין עוצמות של קבוצות אז קיימת פונ' חח"ע ועל בין שתי הקבוצות.
מצאתי פונ' מ-N לQ המוגדרת ע"י: f(x)=x היא חח"ע אבל לא על (אלא אם כן מתפספס לי פה משהו..). לעומת זאת, חברה שלי הצליחה להוכיח. אשמח להבהרה וכיוון למה נכון..

תודה!:)

>> '''קיימת''' פונקציה, איזושהי פונקציה. זה לא אומר שכל פונקציה ביניהם היא חח"ע ועל. עדי

== ש.ב. ==

כמה סה"כ תרגילים צריך להגיש?
תודה.

'''>>בודקת

'''>> שמונה

== תרגיל 7 שאלה 4 ==

הפונציה f:A-->B שומרת סדר אם לכל aRb '''מתקיים''' f(a)Sf(b)?

'''>>כן

== קנטור ברנשטיין ==

האם אפשר להשתמש במשפט קנטור ברנשטיין גם בכיוון ההפוך?
ז"א שאם העוצמה של שתי קבוצות שווה אז העוצמה של כל אחת מהן קטנה שווה מהשניה?

תודה

'''>>כן

== תרגיל 7 שאלה 4 ==

בסעיף ב' מזה אומר איחוד עם קבוצת אינסוף??.. זה הטיבעיים עד אינסוף??.. אבל הטבעיים לבד זה כבר עד אינסוף אז מזה משנה??.. או שזה כל המספרים בעולם, כלומר הממשיים?.. לא ממש הבנתי את השאלה!! תודה

'''>> זה אומר שהוסיפו באופן פורמלי את האיבר אינסוף. בעיקרון כשלוקחים איברים ב-N (או Z או Q וכו...) הכוונה שניתן לקחת n גדול ככל שנרצה אך המספר עדיין סופי. אם רוצים את האפשרות גם לקחת את אינסוף עצמו, יש להוסיפו באופן פורמלי.
עדי

== תרגיל 8 שאלה 2 סעיף 1 ==

היי
בסעיף 1 בשאלה 2 רשום רמז על כך שפונקציה היא יחס,האם חייב להשתמש ברמז לפתירת השאלה ?( כי יש לי תשובה בלי...)

תודה :)

== מבחנים ופתרונות ==

שלום, נשמח אם תעלו מבחנים+ פתרונות משנים קודמות!
המרצה שלח 2 מבחנים במייל, אך בלי הפתרונות...
תודה רבה!

'''>> תישלחו לי אותם, נעלה. בלי קשר אדם יפתור מבחנים בשיעור חזרה.

עדי

== שיעור חזרה ==

היי, מישהו יכול לרשום מתי ואיפה יתקיים שיעור החזרה למבחן?

:מצטער שלא עניתי על זה קודם. היה היום שיעור חזרה, אבל גם מי שפספס מוזמן לשאול אותי (או את עדי או אחד המרצים) שאלות במהלך הימים הקרובים. אני אהיה בקומת המרתף בחדר דוקטורנטים כמעט כל הזמן. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:11, 27 בינואר 2013 (IST)

== שאלה.. דחוף ==

http://www.math-wiki.com/images/4/4b/88195_test_72s_120206.pdf
איך פותרים את סעיף 3ב במבחן לדוגמה הזה?
המון תודה לעוזרים(:

:השאלה די דומה למשהו שעשינו היום בשיעור החזרה. אפשר להביט בפונקציה <math>f : [A] \rightarrow F \times F</math> שלוקחת כל <math>B \in [A]</math> ל<math>f(B)=(A \setminus B,B \setminus A)</math> כאשר <math>F</math> זו קבוצת הקבוצות הסופיות של מספרים טבעיים. זוהי פונקציה חח"ע, ולכן עוצמת מחלקת השקילות של <math>A</math> לא עולה על עוצמת <math>F \times F</math>. זה תרגיל לא מאוד קשה להראות שהעוצמה הזאת היא <math>\aleph_0</math>. מצד שני, זה תרגיל לא מסובך להראות שכל מחלקת שקילות היא מעוצמה אינסופית, ולכן היא מעוצמה <math>\aleph_0</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:25, 27 בינואר 2013 (IST)

==שאלה שהועלתה בשיעור חזרה היום==
נשאלה היום השאלה הבאה: נתונה קבוצה <math>S \subseteq P(\{1,2,\dots,8\})</math> שכל איבר בה הוא קבוצה בת ארבעה איברים, כך שכל מספר בין 1 ל8 מופיע בדיוק בשלוש קבוצות שונות ב<math>S</math>. השאלה היא כמה קבוצות יש ב<math>S</math>. התשובה היא 6. הסיבה היא שאם כל מספר בין 1 ל8 מופיע בשלוש קבוצות שונות אז מספר המספרים שמופיעים עם כפילויות בכל הקבוצות ב<math>S</math> מסתכם ב<math>8 \cdot 3=24</math>. מצד שני, כל קבוצה מכילה ארבעה איברים, ולכן סך האיברים שישנם עם כפילויות הוא מספר הקבוצות כפול 4, ולכן מספר הקבוצות הוא 6. אני מצטער שלא נתתי את הפיתרון מיד כשהציגו לי היום. היא משמעותית פשוטה יותר מהרושם שנתתי בזה שלא ניגשתי ישר לפתור אותה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:28, 27 בינואר 2013 (IST)

== מבנה המבחן ==

איך יראה המבחן? כאילו כמה שאלות ואם יש בחירה?.....

>>זו שאלה למרצים
לפי פרופ' מרגוליס- יהיו 5 שאלות, בחירה של 4 מתוך 5

שיחה:88-195 תשעג סמסטר א

2013-01-24T11:49:59Z

ענב: /* מבחנים ופתרונות */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-12-20T16:55:11Z

ענב: /* אפשר בבקשה לפרסם את תרגיל 8 למתמטיקאים? */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 תשעג סמסטר א

2012-11-19T18:00:28Z

ענב: /* תרגיל 3 שאלה מס' 2 */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-11T19:57:55Z

ענב: /* תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-11T18:49:53Z

ענב: /* תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-11T18:49:51Z

ענב: /* תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-11T18:49:51Z

ענב: /* תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-11T18:49:48Z

ענב: /* תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 תשעג סמסטר א

2012-11-07T17:43:09Z

ענב: /* תרגיל 2 שאלה 4 */ פסקה חדשה

שיחה:מכינה למתמטיקה קיץ תשעב

2012-09-04T15:30:16Z

ענב: /* תשובות למבחן דוגמא */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}
=שאלות=

== תשובות לתרגילים - אי שוויונים ==

תוכל לרשום את התשובות הסופיות לתרגילים?

תודה.

:אני אבדוק בדיוק באיזה פורמט אוכל להוסיף פתרונות לתרגילים, אטפל בזה במהלך השבוע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הגשת התרגיל ==

איך צריך להגיש את התרגיל בית?
:לא חייבים להגיש, יהיה בוחן המכיל שאלות בסגנון תרגילי הבית, כל יום חמישי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל הדוגמא ==

לא הבנתי למה בתרגיל הדוגמא בחלק השלישי X >= לשורש, הוא צריך לקיים אי-שוויון בלי שווה (איפוס)?
:אתה צודק, זו טעות שלי. אני אתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== נושא 2 ==

ארז הייתי שמחה שתיתן דוגמא ופתרון לתרגילים מהנושא ה2 בשיעורי הבית וכן את התוצאות הסופיות של יתר התרגילים

== תרגיל לדוגמא בשיעור ==

השאלה אולי מוזרה אבל באמת שלא הבנתי איך ידעת ש arctan של שורש שלוש זה פאי חלקי שלוש??
:אנחנו הגדרנו ש <math>arctan(x)=y</math> אם"ם <math>x=tan(y)</math>. בנוסף '''הנחנו שאנחנו יודעים''' כי <math>tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}</math>. אין לנו כרגע כלים לחשב את הפונקציות ההופכיות מבלי לדעת את הפונקציות הרגילות... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שורש חיובי ==

אם נתון לי בתרגיל שורש ריבועי של משהו, אני יכול להניח שמדובר בשורש חיובי (נגיד כדי להעלות אי-שוויון בריבוע)?
ואם הוא לא נתון לי אלא אני הוצאתי אותו מהלך התרגיל?
:כאשר נתון שורש (כלומר מצויירת פונקצית השורש) הכוונה היא לשורש חיובי. אם לך יש משוואה ואתה מוציא שורש, ייתכן שגם השורש השלילי וגם החיובי מקיימים את המשוואה המקורית --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== קומבינטוריקה ==

אפשר בבקשה להסביר את התשובה לתרגיל האחרון שעשינו עם הפול האוס?
לא הבנתי את הדרך שעשינו בשיעור.

== קורס חשיבה מתמטית ==

(ציטוט מהקורס:) הפסוק "אם יש עננים אז יורד גשם" אינו אמיתי, משום שיתכן שיהיו עננים בלי שירד גשם. לעומת זאת הפסוק "אם יורד גשם אז יש עננים" הוא אמיתי.

מה ההבדל ביניהם? ואיך מבינים מהפסוק השני שמדובר באם"ם?

:לא מדובר באם"ם אלא קשר גרירה. ההבדל הוא מה גורר את מה. כמו הביטוי אין עשן בלי אש, הוא בעצם שקול לפסוק "אם יש עשן אז יש אש". בדוגמא הספציפית, ייתכן שיש עננים שאינם מורידים גשם (כלומר המצאות ענן אינה גוררת בהכרח גשם), אבל לא ייתכן שיורד גשם ובשמים אין עננים (כלומר ירידת גשם גוררת בהכרח המצאות עננים בשמים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

=== תשובה לקורס חשיבה מתמטית ===

ההבדל הוא שאם יש עננים אז לא בהכרח שיהיה גשם, אך אם יש גשם זה אומר שבהכרח הוא הגיע מהעננים ולא מדבר אחר.
ולכן יש גשם אם ורק אם יש עננים. (רק אם יש עננים יכול להיות גשם).
מקוה שעזרתי.

::"יש גשם אם ורק אם יש עננים" לא נכון, כי עננים לא גוררים גשם. הפסוק הנכון הוא "יש גשם רק אם יש עננים"

== תשובות למבחן דוגמא ==

יש מצב שיפורסמו?? לפחות סופיות... תודה!