Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11

2015-07-02T14:35:46Z

352531452: /* דוגמה 3 */

=אינטגרל לפי רימן=
'''הגדרה:''' יהי <math>[a,b]</math> קטע סגור. נסמן את <math>T_{[a,b]}</math> כחלוקה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונקרא ל-T חלוקה. נסמן <math>\Delta x_i=x_i-x_{i-1}</math> כאשר <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math>.

'''הגדרה:''' תהי f פונקציה המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> נבחר נקודה <math>\alpha_i\in[x_{i-1},x_i]</math> ונבנה סכום מהצורה <math>\sigma=\sum_{i=1}^n f(\alpha_i)\Delta x_i</math>. סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב-<math>\Delta x_i</math> וב-<math>\alpha_i</math>.

'''הגדרה:''' פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-<math>\lambda(T)=\max_{i=1}^n\Delta x_i</math>.

'''הגדרה:''' תהי <math>\{T_n\}</math> סדרת חלוקות של הקטע <math>[a,b]</math>. נאמר כי <math>T_n</math> נורמלית אם <math>\lim_{n\to\infty}\lambda(T_n)=0</math>.

'''הגדרה:''' נאמר כי סכומי רימן שואפים לגבול I כאשר <math>\lambda(T)\to0</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-I|<\varepsilon</math>.

==דוגמה 1==
נמצא פונקציה לא אינטגרבילית. דוגמה קלאסית לכך היא פונקצית דיריכלה - לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> של <math>[a,b]</math> ולכן סכום רימן יכול להיות כל ערך בין 0 ל-<math>1(b-a)</math> (כולל).

==דוגמה 2==
קבע אינטגרביליות של f בקטע <math>[0,1]</math> כאשר <math>f(x)=\begin{cases}2&0\le x<\tfrac13\\0&\tfrac13\le x<\tfrac23\\1&\tfrac23\le x\le1\end{cases}</math>.

===פתרון===
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי <math>\varepsilon>0</math> נתונה. צריך להוכיח כי קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T, עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-I|<\varepsilon</math>. נצייר את הפונקציה:

גרף (1)

אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא <math>2\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=1</math>, כלומר אנו ננסה להוכיח ש-<math>I=1</math>:

נסמן ב-T את החלוקה <math>\left\{0,\tfrac13,\tfrac23,1\right\}</math> של <math>[0,1]</math>. נבחר <math>T_\delta=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta</math> ונבנה את סכום רימן באופן הבא:
תהי <math>x_i:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac13\right\}</math> ותהי <math>x_j:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac23\right\}</math>. עבור <math>x_0\le c_1\le x_1\le\dots\le c_n\le x_n</math>, סכומי רימן הם
{{left|<math>\begin{array}{l l l}\sigma&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k
\\&=&\ 2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1})
\\&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1})
\\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}</math>}}

נשים לב כי <math>x_{i+1}-x_i,x_{j+1}-x_j<\delta</math> ולכן <math>2x_i>\frac23-2\delta</math> ו-<math>1-x_j<\delta+\frac13</math>. כמו כן, לפי הגדרת <math>x_i,x_j</math>, מתקיים <math>2x_i<\frac23</math> ו-<math>1-x_j>\frac13</math>. מכאן ש-<math>\frac23-2\delta+\frac13<\sigma<\frac23+\delta+\frac13</math>. נזכיר כי חשדנו ש-<math>I=1</math> ולכן נבדוק מהו <math>\sigma-1</math>:
<math>-2\delta+1<\sigma<1+\delta</math> ולכן <math>|\sigma-1|<2\delta</math>. נבחר <math>\delta=\frac\varepsilon2</math> ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית. {{משל}}

==דוגמה 3==
חשב את הגבול <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\dots\left(1+\frac nn\right)}</math>.
===פתרון===
נתבונן בסדרה <math>\left\{1+\frac in\right\}_{i=0}^n</math>. כאשר <math>n\to\infty</math>, קל לראות שמדובר בקטע <math>[1,2]</math>. לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום: <math>\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)</math>. ברור כי ln אינטגרבילית ב-<math>(1,2]</math> ולכן נבחר חלוקה שעבורה <math>\Delta x=\frac1n</math>, ואז <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=0}^n \ln\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n \ln\left(1+\frac in\right)=\int\limits_1^2\ln(x)\mathrm dx</math>.

'''הערה:''' את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.

----

משפט: אם <math>f(x)\ge g(x)</math> ו-f ו-g אינטגרביליות אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.

==דוגמה 4==
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: <math>\int\limits_{-3}^{-1}\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}</math> קל לראות ש-f חיובית בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_{-3}^{-1}f\ge\int\limits_{-3}^{-1} 0\mathrm dx=0(-1-(-3))=0</math>, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-<math>x=0</math> (שהיא הנקודה המאפסת היחידה של f ב-<math>\mathbb R</math>) אינה בקטע ולכן התוצאה '''חיובית'''. {{משל}}

==דוגמה 5==
נוכיח כי <math>\int\limits_1^4\sqrt{1+x^2}\mathrm dx\ge7.5</math>.
===פתרון===
נתון כי <math>1\le x\le4</math> ולכן <math>1\le x^2\le16</math>. מכאן ש-<math>\sqrt2\le\sqrt{1+x^2}\le\sqrt{17}</math> חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל <math>\int\limits_1^4 f\ge\int\limits_1^4\sqrt2\mathrm dx=\left[\sqrt2x\right]_{x=1}^4=\sqrt2\cdot4-\sqrt2=3\sqrt2</math>. התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר: <math>1+x^2>x^2\implies\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=|x|</math>, לכן <math>\int\limits_1^4 f>\int\limits_1^4|x|\mathrm dx=\int\limits_1^4 x\mathrm dx=\left[\frac{x^2}2\right]_{x=1}^4=7.5</math>. {{משל}}

==דוגמה 6==
הוכח כי <math>\frac2{\sqrt[4]e}\le\int\limits_0^2 e^{x^2-x}\mathrm dx\le2e^2</math>
===פתרון===
ננסה למצוא קבועים המקיימים <math>m\le e^{x^2-x}\le M</math> (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור).
נמצא מינימום ומקסימום. נסמן <math>f(x)=e^{x^2-x}</math> ואז <math>f'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}</math> ולכן נקודה החשודה כקיצון היא <math>x=\frac12</math>: <math>f''(x)>0</math> ולפיכך היא מינימום. לפי וירשטרס נחפש גם בקצוות: <math>f(2)=e^{4-2}=e^2</math> (מקסימום) וכן <math>f(0)=e^0=1</math>. לכן <math>e^{-\frac14}\le f(x)\le e^2</math>. לפיכך <math>e^{-\frac14}\int\limits_0^2\mathrm dx\le \int\limits_0^2 f(x)\mathrm dx\le e^2\int\limits_0^2\mathrm dx</math> ונקבל בדיוק את מה שרשום. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11

2015-07-02T14:35:27Z

352531452: /* דוגמה 3 */

=אינטגרל לפי רימן=
'''הגדרה:''' יהי <math>[a,b]</math> קטע סגור. נסמן את <math>T_{[a,b]}</math> כחלוקה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונקרא ל-T חלוקה. נסמן <math>\Delta x_i=x_i-x_{i-1}</math> כאשר <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math>.

'''הגדרה:''' תהי f פונקציה המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> נבחר נקודה <math>\alpha_i\in[x_{i-1},x_i]</math> ונבנה סכום מהצורה <math>\sigma=\sum_{i=1}^n f(\alpha_i)\Delta x_i</math>. סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב-<math>\Delta x_i</math> וב-<math>\alpha_i</math>.

'''הגדרה:''' פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-<math>\lambda(T)=\max_{i=1}^n\Delta x_i</math>.

'''הגדרה:''' תהי <math>\{T_n\}</math> סדרת חלוקות של הקטע <math>[a,b]</math>. נאמר כי <math>T_n</math> נורמלית אם <math>\lim_{n\to\infty}\lambda(T_n)=0</math>.

'''הגדרה:''' נאמר כי סכומי רימן שואפים לגבול I כאשר <math>\lambda(T)\to0</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-I|<\varepsilon</math>.

==דוגמה 1==
נמצא פונקציה לא אינטגרבילית. דוגמה קלאסית לכך היא פונקצית דיריכלה - לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> של <math>[a,b]</math> ולכן סכום רימן יכול להיות כל ערך בין 0 ל-<math>1(b-a)</math> (כולל).

==דוגמה 2==
קבע אינטגרביליות של f בקטע <math>[0,1]</math> כאשר <math>f(x)=\begin{cases}2&0\le x<\tfrac13\\0&\tfrac13\le x<\tfrac23\\1&\tfrac23\le x\le1\end{cases}</math>.

===פתרון===
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי <math>\varepsilon>0</math> נתונה. צריך להוכיח כי קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T, עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-I|<\varepsilon</math>. נצייר את הפונקציה:

גרף (1)

אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא <math>2\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=1</math>, כלומר אנו ננסה להוכיח ש-<math>I=1</math>:

נסמן ב-T את החלוקה <math>\left\{0,\tfrac13,\tfrac23,1\right\}</math> של <math>[0,1]</math>. נבחר <math>T_\delta=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta</math> ונבנה את סכום רימן באופן הבא:
תהי <math>x_i:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac13\right\}</math> ותהי <math>x_j:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac23\right\}</math>. עבור <math>x_0\le c_1\le x_1\le\dots\le c_n\le x_n</math>, סכומי רימן הם
{{left|<math>\begin{array}{l l l}\sigma&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k
\\&=&\ 2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1})
\\&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1})
\\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}</math>}}

נשים לב כי <math>x_{i+1}-x_i,x_{j+1}-x_j<\delta</math> ולכן <math>2x_i>\frac23-2\delta</math> ו-<math>1-x_j<\delta+\frac13</math>. כמו כן, לפי הגדרת <math>x_i,x_j</math>, מתקיים <math>2x_i<\frac23</math> ו-<math>1-x_j>\frac13</math>. מכאן ש-<math>\frac23-2\delta+\frac13<\sigma<\frac23+\delta+\frac13</math>. נזכיר כי חשדנו ש-<math>I=1</math> ולכן נבדוק מהו <math>\sigma-1</math>:
<math>-2\delta+1<\sigma<1+\delta</math> ולכן <math>|\sigma-1|<2\delta</math>. נבחר <math>\delta=\frac\varepsilon2</math> ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית. {{משל}}

==דוגמה 3==
חשב את הגבול <math>\lim{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\dots\left(1+\frac nn\right)}</math>.
===פתרון===
נתבונן בסדרה <math>\left\{1+\frac in\right\}_{i=0}^n</math>. כאשר <math>n\to\infty</math>, קל לראות שמדובר בקטע <math>[1,2]</math>. לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום: <math>\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)</math>. ברור כי ln אינטגרבילית ב-<math>(1,2]</math> ולכן נבחר חלוקה שעבורה <math>\Delta x=\frac1n</math>, ואז <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=0}^n \ln\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n \ln\left(1+\frac in\right)=\int\limits_1^2\ln(x)\mathrm dx</math>.

'''הערה:''' את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.

----

משפט: אם <math>f(x)\ge g(x)</math> ו-f ו-g אינטגרביליות אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.

==דוגמה 4==
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: <math>\int\limits_{-3}^{-1}\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}</math> קל לראות ש-f חיובית בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_{-3}^{-1}f\ge\int\limits_{-3}^{-1} 0\mathrm dx=0(-1-(-3))=0</math>, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-<math>x=0</math> (שהיא הנקודה המאפסת היחידה של f ב-<math>\mathbb R</math>) אינה בקטע ולכן התוצאה '''חיובית'''. {{משל}}

==דוגמה 5==
נוכיח כי <math>\int\limits_1^4\sqrt{1+x^2}\mathrm dx\ge7.5</math>.
===פתרון===
נתון כי <math>1\le x\le4</math> ולכן <math>1\le x^2\le16</math>. מכאן ש-<math>\sqrt2\le\sqrt{1+x^2}\le\sqrt{17}</math> חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל <math>\int\limits_1^4 f\ge\int\limits_1^4\sqrt2\mathrm dx=\left[\sqrt2x\right]_{x=1}^4=\sqrt2\cdot4-\sqrt2=3\sqrt2</math>. התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר: <math>1+x^2>x^2\implies\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=|x|</math>, לכן <math>\int\limits_1^4 f>\int\limits_1^4|x|\mathrm dx=\int\limits_1^4 x\mathrm dx=\left[\frac{x^2}2\right]_{x=1}^4=7.5</math>. {{משל}}

==דוגמה 6==
הוכח כי <math>\frac2{\sqrt[4]e}\le\int\limits_0^2 e^{x^2-x}\mathrm dx\le2e^2</math>
===פתרון===
ננסה למצוא קבועים המקיימים <math>m\le e^{x^2-x}\le M</math> (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור).
נמצא מינימום ומקסימום. נסמן <math>f(x)=e^{x^2-x}</math> ואז <math>f'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}</math> ולכן נקודה החשודה כקיצון היא <math>x=\frac12</math>: <math>f''(x)>0</math> ולפיכך היא מינימום. לפי וירשטרס נחפש גם בקצוות: <math>f(2)=e^{4-2}=e^2</math> (מקסימום) וכן <math>f(0)=e^0=1</math>. לכן <math>e^{-\frac14}\le f(x)\le e^2</math>. לפיכך <math>e^{-\frac14}\int\limits_0^2\mathrm dx\le \int\limits_0^2 f(x)\mathrm dx\le e^2\int\limits_0^2\mathrm dx</math> ונקבל בדיוק את מה שרשום. {{משל}}