Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-07-14T14:07:42Z

ABAB: /* פתרון למבחן */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== בנוגע לתרגיל מס' 1 ==

ראיתי שכבר העלו את התרגיל לאתר, אבל לא כתבו למתי צריך להגיש אותו.

אשמח לדעת מתי צריך להגיש. --[[משתמש:Noim1234|Noy]] 20:21, 28 בפברואר 2013 (IST)

: הוספתי תאריך הגשה לקבוצה שלי --[[משתמש:Michael|Michael]] 00:46, 1 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 - שאלה 2 ==

אפשר עזרה בסע' 2 בשאלה 2- ניסיתי לעבור לצורה קוטבית אבל אני לא רואה איך זה עוזר לי
: בעקרון לא הספקתי ללמד איך פותרים את המשוואה <math>z^n=w</math> (המרצה ילמד בהרצאה הקרובה). הצבה פשוטה מביאה אותך למשוואה מהצורה הזו. --[[משתמש:Michael|Michael]] 11:40, 1 במרץ 2013 (IST)

: : אם אתה יכול למצוא למה שווה המנה(בדרך שמיכאל כתב-ההפוך לDe-Moivere), אז אתה יכול להגיע לביטוי של z=משהו ולהמיר את הcis ל-a+bi, כך שיהיה לך יותר קל.

== תרגיל 1 שאלה 2 סעיף ב ==

יצאו לי פתרונות שתלויים בגודל של z. האם זה הגיוני?

:לא, אתה צריך למצוא חמישה מספרים מרוכבים ספציפיים <math>z_1,z_2,z_3,z_4,z_5</math> שפותרים משוואה זו. --[[משתמש:Michael|Michael]] 17:06, 1 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

האם צריך גם להיפטר מה "i" או שאפשר להשאיר אותו בתשובה הסופית?
: <math>i</math> הוא מספר קבוע (כמו <math>2,\pi,e</math>) ומותר לו להופיע בתשובה בדיוק כמו שלהם מותר. --[[משתמש:Michael|Michael]] 01:26, 8 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

האם יש צורך בזה שu פונקציה גזירה ברציפות או שזה מיותר?
:אני מאמין שניתן להוכיח בתנאים יותר מקלים (למשל אם היא פשוט גזירה). אבל כדי להשתמש במשפט שנתתי בתרגול יש להניח שהיא גזירה ברציפות. --[[משתמש:Michael|Michael]] 22:32, 13 במרץ 2013 (IST)

== פתרונות ==

אפשר לצרף פתרונות של התרגילים (אלה שתאריך ההגשה שלהם חלף)?
: לפעמים יש איחורים, אבל אשתדל למלא את בקשתך. --[[משתמש:Michael|Michael]] 15:51, 18 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

לא קיימת סתירה בין מה שהגדרת בתרגול ש (e^((logz)*w
שווה ל
e^(logz))^w) לבין מה שביקשת שאלה 3?

: אתה צודק, והניסוח בעייתי. יש לקחת את הענף הראשי של החזקה, כלומר לבחור את הארגונמט כך שיהיה בקטע <math>(-\pi,\pi]</math>. אתקן. --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:23, 26 במרץ 2013 (IST)

== העלת התרגולים ==

למה ניתן לקרוא רק את תירגול 4? מה עם שאר התרגולים שהיו??
: את התרגולים הקודמים ניתן למצוא [https://skydrive.live.com/?cid=2292523b310c67ad&id=2292523B310C67AD%219161&Bsrc=Share&Bpub=SDX.SkyDrive&authkey=!AsG_z5lP_KtjPYA כאן] --[[משתמש:Michael|Michael]] 11:57, 9 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 2 ==

זו לא השאלה שפתרת בכיתה במשך שעה? או שאני לא יודע לקרוא...
תודה

: נכון, אבל אני רוצה שתפתרו אותה בדרך אחרת (לפי הרמז). הפתרון שנעשה בתרגול לא יתקבל. --[[משתמש:Michael|Michael]] 00:22, 25 באפריל 2013 (IDT)

:: את הרמז צריך להוכיח? ואם כן, אפשר להתעלל אריתמטית באובייקטים כמו dz?
::: הנוסחה <math>z \bar{z}=|z|^2</math> לא דורשת הוכחה. הנוסחה השנייה ברמז כן. מבחינתי הביטויים <math>dz,|dz|</math> מקבלים משמעות רק בהנתן פרמטריזציה <math>z(t)</math> ואז, <math>dz=z'(t)dt,|dz|=|z'(t)|dt</math>. --[[משתמש:Michael|Michael]] 16:44, 26 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 2 ==

היי

מהרמז הגעתי לשלב ביניים לדרך שעשינו בכיתה- אבל הדרך משם עוד ארוכה...
האם לכך התכוון המשורר? או שזה אמרו להיות מיידי מהרמז?

: אם הולכים לפי הרמז, החישוב פשוט בהרבה. אין צורך בטורים הנדסיים ובבינום של ניוטון וכו'. לאחר השימוש ברמז ניתן להפעיל את נוסחת אינטגרל קושי. --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:35, 28 באפריל 2013 (IDT)

== בחירת ענף של <math>Log</math> כשעושים אינטגרציה ==

שלום

איך אני בוחר ענף של <math>Log</math> כדי לבצע אינטגרציה לביטוי <math>\int \frac{dz}{z-1}</math>
על המסילה הישרה מ <math>-i</math> ל <math>i</math>?

: שלום, אני רואה שבחרת לפרק לשברים חלקיים. לדעתי דרך יותר פשוטה היא חישוב ישיר (ע"י פרמטריזציה). ובכל זאת, <math>\text{Log}(z-1)=|z-1|+i \text{Arg}(z-1)</math>. כאשר עליך להגביל את <math>\text{Arg}</math> להיות בקטע חצי פתוח באורך <math>2 \pi</math> כך שלא תהיינה בעיות על המסילה. --[[משתמש:Michael|Michael]] 23:26, 29 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 7 שאלה 1ה ==

שלום!

האם התשובה הסופית אמורה להיות ביטוי בN או מספר קבוע כלשהו?

:שלום! מותר לתשובה להיות תלויה ב-n. --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 4 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 שאלה 2 ==

נראה לי שהשאלה קצת מיותרת. הכוונה בשאלה זו שהמסילה היא נגד כיוון השעון?
: המסילה אכן מכוונת נגד כיוון השעון. --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 4 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 שאלה 3 סעיף ב ==

יכול להיות שהכוונה לכל 1 <math>\mid\alpha\mid\neq</math> ?

:לא נראה לי, יש דברים מעניינים להגיד גם על <math>\mid\alpha\mid = 1</math>.

:: אין טעות. ''אפשר'' לחקור לעומק את כל המקרים של <math>\alpha</math> - אבל אני מבקש רק דוגמא ספציפית. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:59, 6 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 סעיף ג' ==

האיבר הראשון בטור טיילור הוא <math>f(0)</math>. הכוונה בשאלה להגדיר את <math>f(0)</math> כגבול של f ב - 0, ולחשב גבול זה בעזרת כלל לופיטל?
: כן, זוהי נקודת סינגולריות סליקה. --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:41, 12 במאי 2013 (IDT)

== תאריך הגשת תרגיל 8 עבור הקבוצה של מיכאל ==

האם יש החלטה סופית באיזה תאריך צריך להגיש את התרגיל?
: יש הארכה. בהצלחה! --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:42, 12 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 סעיף ג' ==

האם יש צורך לעשות לופיטל בכל שלב טריליון פעמים או שפשוט אפשר לרשום למה שווה הגבול ע"י בדיקה בוולפראם/מיופד ודומיהם?
:אין צורך לרשום את כל החישובים. קח בחשבון שלא יהיו לך כלים כאלו במבחן. --[[משתמש:Michael|Michael]] 00:31, 20 במאי 2013 (IDT)

== חומר לבוחן ==

עד איזה נושא החומר לבוחן?
: מצטער שפיסספסתי. אם זה עוזר, הבוחן היה עד נוסחת קושי לנגזרות. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:48, 30 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 9 שאלה 1 ==

יכול להיות שהטבעות אמורות להיות סביב 0 ולא סביב 2? (הפיתוח המתבקש הוא סביב 0 ולא סביב 2)
: אין טעות בשאלה, כלומר יש לפתח סביב 2. --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:33, 31 במאי 2013 (IDT)

== מבחנים משנים קודמות ==

שלום מיכאל, תוכל בבקשה להעלות מבחנים משנים קודמות, רצוי עם פתרונות? תודה
 
בנוסף, את שמונת המשפטים הראשונים ברשימת המשפטים לא צריך לדעת להוכיח (רק לנסח)? נשמע כמו שאלת קיטבג, אבל רק כדי להיות בטוח.
: שלום. יש לי את המבחנים של ד"ר הורוביץ פתורים בכתב יד (לא פתרונות שלי). אם תרצה אתן לך לצלם אותם (רק תשמור עליהם).

: למיטב ידיעתי אתה צודק לגבי עניין הניסוח, אבל תשאל את ד"ר נבו ליתר בטחון. --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:44, 8 ביולי 2013 (IDT)

תודה מיכאל, אשמח אם תביא אותם מחר לשיעור החזרה

== תשובות לתרגילים ==

אפשר להעלות בבקשה את הפתרונות של שאר התרגילים??
תודה רבה :)
: בוצע. --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:31, 10 ביולי 2013 (IDT)
:: מיכאל, אתה פאקינג מלך!!! באמת שאף מתרגל לא לקח אותנו איי פעם כ"כ ברצינות, ובדק בכזאת תדירות שאלות, באמת שאין עליך.--[[משתמש:Liron|Liron]] 22:06, 10 ביולי 2013 (IDT)
::: תודה :) --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:55, 12 ביולי 2013 (IDT)

== פתרון למבחן ==

שלום מיכאל, תוכל להעלות פתרון למועד א' ובפרט לשאלה 5? (האינטגרל) תודה

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-07-09T19:02:52Z

ABAB: /* מבחנים משנים קודמות */

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-07-08T08:41:24Z

ABAB: /* פתרון לשאלה 4 ממועד א' */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגילים ==

תרגילים למתמטיקאים זה גם התרגילים לתיכוניסטים?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 4 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה ב ==

לגבי תרגיל 1. האם השאלה השניה (מציאת משוואת ישר) קשורה לחומר שנלמד, או שמדובר בטעות? (מאחר והנושא כלל לא נלמד בשיעור)

:משוואת ישר זה לא החלק הקשה, אתם אמורים לצלוח אותו באמצעות ידע מהתיכון. הקשר לנושא הוא המשפט "בעל שטח מינמלי", כאשר את זה מחשבים באמצעות חקירת פונקציות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה ב ==

המשולש המינימלי - הכוונה למשולש שנוצר על ידי הישר , ציר הX , ואנך לציר הX , או הישר , ציר הY ואנך לציר הY?
:אמנם זה לא התרגיל של הקבוצה שלי, אבל דווקא אני הייתי מנחש שזה משולש שהצלעות שלו הן שני הצירים והישר הנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

מצטער על התגובה המאוחרת. ארז צודק. הכוונה למשולש שנוצר עם הצירים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:23, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגילים לקבוצת הבוגרים ==

צריך להגיש אחרי שבוע או שבועיים?

== תרגיל 1 מתמטיקאים שאלה ב ==

יכול להיות שנפלה טעות והמשולש יוצר שטח מקסימלי ברביע הראשון?
:לא פתרתי את התרגיל, אבל על פניו זה לא נשמע סביר. אם ניקח את הקו הישר להיות כמעט מקביל לציר y או כמעט מקביל לציר x נקבל משולשים עם שטחים ששואפים לאינסוף. יותר סביר שיש לך טעות חישוב. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

ושוב ארז צודק. אין טעות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:25, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 2 מתמטיקאים ==

האם לא אמור להיות <math>\alpha\neq -1</math>? אם <math>\alpha=1</math> או <math>\alpha\neq -1</math> ניתן לפתור באמצעות אינטגרציה בחלקים, אבל עם <math>\alpha=-1</math> זה לא עובד, וצריך הצבה... --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:38, 14 במרץ 2013 (IST)

תשובה: אתה צודק. הטעות תוקנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:38, 15 במרץ 2013 (IST)

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

תשובה: לא. חוזרים ללימודים ביום רביעי 3.3.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:54, 29 במרץ 2013 (IDT)

ממתי אנחנו לומדים ביום רביעי?

???????????????????????????

(לא מתרגל / מרצה) ביום רביעי ממשיכים הלימודים לפי המערכת הרגילה. אם אינך לומד ביום רביעי, אתה חוזר ביום ראשון שאחריו --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:41, 30 במרץ 2013 (IDT)

אז רק מי שעושה פיזיקה לומד ביום רביעי?

== תרגיל -3 אינפי2 מדעי המחשב...שאלה 1 סעיף 3...חקירת הפונקציה (y=x+sin(2x ==

כמה שאלות:

1 . לגבי מציאת אסימפטוטות אופקיות...

אם אני מבין נכון, אסימפטוטה אופקית זה מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת.

נניח אני רוצה לבדוק האם קיימת אסימפטוטה אופקית, מה שעליי לעשות, זה לבדוק מה קורה בגבול

lim((sin(2x)+x-(ax+b)) הזה? כאשר x שואף פעם אחת לאינסוף ופעם שנייה למינוס אינסוף?

2. בהמשך לשאלה 1. אם אני מקבל ש- a=0, אז y=b תיהיה אסימפטוטה אופקית?

3. באופן כללי, אפשר לומר שכדי למצוא אסימפטוטות משופעות/אופקיות, אני צריך לבצע את החישוב

lim(f(x)-(ax+b) כאשר x שואף פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף, וכל תוצאה עבור a ו b תהווה אסימפטוטה משופעת כאשר

במקרה ספציפי שבו a=0, אקבל אסימפטוטה אופקית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) השיטה שאתה מציג נכונה אבל לפעמים לא יעילה, מפני שאתה צריך לנחש מראש את האסימפטוטה. אבל, לפי הפיתוח שהראת, הרי שיש אסימפטוטה אופקית אם ורק אם <math>lim f(x)-ax-b=0</math> (ב+ או - אינסוף) וזה אם ורק אם <math>lim f(x)-ax= lim(b)</math>, אבל לפי אריתמטיקה של גבולות אפשר לרשום <math>lim (f(x)-ax)/x=lim b/x=0</math>, כלומר <math>lim f(x)/x-a=0</math> או <math>a=lim f(x)/x</math>.

מכל זה אפשר להסיק - יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a. אם כן, אז מוצאים את b על ידי הגבול b=lim f(x)-ax (שוב, הגבולות הם באינסוף או ב(-) אינסוף).

2. כן.

3.אין דבר כזה כל תוצאה, לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף. לפי האמור לעיל, אפשר להסיק שאם יש אסימפטוטה משופעת, היא אחת.
:3. מה פתאום, יכולה להיות אסימ' אופקית שונה בשני הקצוות.

*כמובן, אמרתי והתכוונתי בקצה אחד (הרי רשום - 'לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף').

הערה:

ציטוט: יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a

זה לא נכון.

התרגיל הזה זאת דוגמא.

אם <math>f(x)=\sin(x)</math> אז

<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0</math>

אבל <math>\lim _{x\rightarrow \infty}\sin(x)</math> לא קיים ולכן אין אסימפטוטה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:14, 3 באפריל 2013 (IDT)

== 2 שאלות נוספות בהמשך להודעה האחרונה ==

1. אם אני בודק האם קיום אסימפטוטה משופעת לפונקציה בדרך שציינתי מקודם,ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה יתקבל בחישוב הזה?..הרי אני לא יודע מראש אם יש או אין אסימפטוטה משופעת. נניח אני עושה את החישוב
lim(f(x)-(ax+b) ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה אני אקבל בחישוב הזה, וכיצד זה יתבטא בערכים של a ו b?

2. מה הסיבה שעל מנת למצוא אסימפטוטה משופעת של פונקציה, אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול של הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף?

שוב, תודה מראש.

*(לא מתרגל) אני חושב שהתשובה נמצאת בתגובה לשאלתך הראשונה (אגב מומלץ לערוך את השאלה הקודמת ולרכז הכל שם, יותר נוח ופחות מעמיס לכלל הקוראים).

2. אם יש אסימפטוטה משופעת ax+b שבה a אינו 0, אז ((lim(f(x הוא אינסוף אם a>0 ומינוס אינסוף אם a<0, זה תנאי הכרחי (שוב, בהתאמה באינסוף או מינוס אינסוף). אם a=0 אז הגבול הוא b.

אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול באינסוף או מינוס אינסוף, כי אם הוא יוצא אינסוף אי אפשר לדעת אם יש אסימפטוטה משופעת או לא. שתי דוגמאות פשוטות לכך הן e^x ו-x, לשתיהן גבול אינסוף באינסוף, אך לראשונה אין אס' משופעת ולשנייה יש, שהיא בעצם היא עצמה.

== למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף? ==

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?
: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin2x%2Fx
: סינוס חסומה.

הערה: אני רק רוצה להעיר למען הסר ספק.

השאלה מה האסימפטוטות המשופעות של <math>x+\sin(2x)</math> היא שאלה לגיטימית
(והתשובה היא שאין לה) אבל היא לא נדרשת בשיעורי בית.

בשיעורי בית אתם מתבקשים לחקור את <math>x+\sin(2x)</math> בתוך תחום מסוים <math>[-2\pi,2\pi]</math> אז ממילא אין מה לומר לגבי אסימפטוטות שלה באינסוף או מינוס אינסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 3 באפריל 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

אפשר רמז ל6 [http://www.math.technion.ac.il/courses/104195/test/2005/spr_final2.pdf פה]?

זה אינפי 1, אבל מעניין.

* (לא מתרגל) אממ, זה לא הכי קשור לאינפי 2 של בר אילן, אבל בכל מקרה אפשר לפתור. רצית רמז אז אנסה להביא משהו מועיל, נסה/נסי להשתמש בהגדרה של רציפות במ"ש לפי היינה. אוכל גם להביא פתרון שלי, כי רמז אחר הוא למעשה הפתרון.

:תודה. נראה לי שפתרתי: מה שרוצים קורה אםם על כל סדרה עולה נקבל את הגבול הזה כגבול סדרות. לכן תהי <math>x_n</math> סדרה עולה, ונגדיר <math>y_n=\sqrt{x_n^2+5}</math>, אז נוכיח שהמרחק ביניהן שואף לאפס ואז נקבל לפי תנאי היינה לבמ"ש שמתקיים <math>|f(x_n)-f(y_n)|\rightarrow 0</math> ולכן <math>f(\sqrt{x_n^2+5})-f(x_n)\rightarrow 0</math> ומש"ל.

*(לא מתרגל) כן, זה נראה בסדר, רק הייתי אומר שהגבול של xn כשn שואף לאינסוף הוא אינסוף.
:כן, לזה התכוונתי. (עולה זה לא נכון, למשל הסדרה ל-e)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

אפשר רמז לסעיף 1 בשאלה 2?

== תרגיל 4 שאלה 5 סעיף ב' ==

אני חושב שצריך גם לדרוש m שונה מn-, או לחילופין |m| שונה מ|n|.

תשובה: נכון. רציתי לכתוב טבעיים וכתבתי בטעות שלמים. אני אתקן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 (תיכוניסטים) ==

בשאלה 6ב - איך עושים חישוב של הנפח סביב ציר Y (זה טעות? התכוונו לציר X?)תודה.

*(לא מתרגל) האמת שמבט נוסף יביא למסקנה שזה אותו נפח ביחס לכל אחד מהצירים.

* תשובה: זאת לא טעות. גם אם זה לא אותו נפח כמו סיבוב סביב ציר <math>x</math> (מה שבמקרה באמת קורה כאן)

אפשר לחשב נפח סיבוב סביב ציר <math>y</math> ע"י כך שמתייחסים כאילו הפונקציות הן פונקציות של <math>x</math> לפי <math>y</math>

(הפוך מההסתכלות הרגילה) ואז עושים אינטגרציה (לפי הנוסחא) לפי <math>y</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:01, 19 באפריל 2013 (IDT)

== תרגול - תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערך תרגול 4+5 לאתר ?
תודה רבה!

== איך מגדירים נפח גוף סיבוב סביב ציר Y? ==

יש שתי דרכים טריוויאליות:

1. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר X, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

2. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר Y, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

לי לפחות נראה ש 2. היא ההגדרה הנכונה, אך מהי ההגדרה המדויקת של נפח גוף הסיבוב?

*(לא מתרגל) אני מאמין שהגדרה 2 היא נכונה. פשוט אפשר להסתכל על ההגדרה המקורית עם ציר X, ולהחליף כל פעם Y בX.

* תשובה: אין כזה דבר נפח סיבוב של פונקציה סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

יש כזה דבר נפח גוף סיבוב סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

במילים אחרות, קודם צריך להגיד לך מה השטח שאתה צריך לסובב, ואח"כ אפשר לחשב מה הנפח של הסיבוב שלו סביב משהו.

לכן שתי האפשרויות שכתבת הן לגיטימיות, תלוי מה מבקשים לחשב.

בשיעורי הבית התחום שצריך לסובב הוגדר בצורה מדויקת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:58, 19 באפריל 2013 (IDT)

* במחשבה שניה, הבנתי שמה שאתה שואל זה מה המשמעות של

<math>\pi\displaystyle{\int_a^b }f^2(y)\mathrm{d}y</math>

והתשובה היא אופציה 2 שכתבת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:31, 19 באפריל 2013 (IDT)

== כמה שאלות ==

נתונה לי הפונקציה f(x)=x-2arctanx

1.
מדוע f גזירה בכל הממשיים?

2.
על מנת להראות שפונקציה גזירה בנקודה ספציפית, יש להראות שמתקיימת הגדרת הנגזרת?
3.
אם רוצים להראות שפונקציה גזירה על תחום/קטע מסוים, אני מניח שאי אפשר להשתמש בהגדרת הנגזרת, כי כעת מדובר על תחום, ולא על נקודה ספציפית. איך בכל זאת אפשר לדעת?

4.
למה tanx אי זוגית?
5.
למה מכך ש-tanx אי זוגית, ניתן להסיק ש-arctanx אי זוגית גם כן?

תודה מראש!

(סטודנט)
1. x גזירה וגם arctanx ידוע שמכפלה של קבועה בגזירה גם גזיר ושהפרש של גזירות גזיר ולכן הפ' גזירה

2.כן(שים לב שהגבול הימני צריך להיות שווה לגבול השמאלי)

3. ע"פ הגדרת הגבול במקום שx ישאף לx0 מסוים(לדוגמא 2) הוא ישאף לכל x0 ששייך לקטע

4. כי מתקיים f(-x)=-f(x) a שtanx=sinx/cox tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx

5. arctan(tanx)=x
arctan(-tanx)=arctan(tan-x)=-x
לכן אי זוגית

== אסימפטוטה אנכית ==

1.באיזה מצבים לפונקציה f תיהיה אסימפטוטה אנכית?

2. בעצם אני יכול לומר שאם אני רוצה למצוא אסימפטוטות אנכיות של פונקציה מסויימת, אני צריך לבדוק האם לפונקציה יש נקודות אי רציפות ממין שני, ואם כן, אז בנקודות הללו ל-f יש אסימפטוטה אנכית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) אסימפטוטה אנכית מוגדרת כאשר יש נק' אי רציפות ממין שני, אז כן, הדברים שקולים. מספיק שגבול מימין/משמאל בנק' מסוימת הוא אינסוף או מינוס אינסוף, זוהי אסימפטוטה אנכית ונק' אי רציפות ממין שני.

== העלאת התרגילים ==

אפשר להעלות את התרגילים השבועיים מוקדם יותר ?
הם תמיד עולים יומיים שלושה אחרי התירגול...

* אתה יכול לציין על איזה קבוצה מדובר? החלק הזה של שאלות ותשובות משרת מדמ"ח, מתמטיקאים ותיכוניסטים (מ2 קבוצות הרצאה).

למיטב ידיעתי, בקורסים שאני מתרגל אנחנו מקפידים להעלות תרגילים לפחות שבוע לפני מועד ההגשה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:09, 23 באפריל 2013 (IDT)

*(לא שואל השאלה)(תיכוניסטים) לדוגמא השבוע, התרגיל עדיין לא עלה ולפי מה שאני מבין הוא להגשה בראשון הקרוב.
*(שואל השאלה) אני מקבוצת התיכוניסטים ועל הקבוצה הזו דיברתי וכמו שנאמר למעלה התרגיל שלנו עדיין לא עלה

*השבוע לא הייתי כל כך בעניינים... אני אבדוק.
אבל בשבועות הקודמים התרגיל של התיכוניסטים עלה תמיד בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 24 באפריל 2013 (IDT)

* כן, השבוע הייתה בעיה. העלנו תרגיל רק עכשיו. היות ואין תרגול בל"ג בעומר זה עדיין משאיר לכם יותר משבוע לפתור את התרגיל.

כמו שכתבתי, אני אקפיד שבעתיד זה יעלה בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:43, 25 באפריל 2013 (IDT)

== נקודות קיצון/פיתול ==

אם קבלתי שהנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסויימת ואני רואה שהנגזרת הראשונה, משניי צידי הנקודה, אינה משנה סימן. האם ניתן
להסיק מכך שהנק' היא נקודת פיתול, מבלי בכלל להתעסק עם נגזרת שנייה?

כן, ניתן להסיק זאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:37, 24 באפריל 2013 (IDT)

== הרצאה בלוג בעומר ==

יש הרצאה לתלמידי שמחה?

== הרצאה ביום ראשון ==

שמעתי שביום ראשון התבטלה ההרצאה של מיכאל שיין. גם ההרצאה של שמחה הורוביץ התבטלה ?

אנא תשובה בהקדם ! תודה.

*(לא מתרגל) בוטלו ההרצאה והתרגול, מלי שלחה על כך מייל:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 2

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

ביום ראשון הקרוב ל"ג בעומר 28/4/13 לא יתקיימו לימודים באינפ' 2 הרצאה ותרגיל

ביום שני הבוחן בשימושי מחשב מתוכנן כרגיל

== תאריכי הגשה ==

אם אפשר בבקשה להוסיף תאריכי הגשה לקבוצות התרגול השונות (מרוב ביטולי תרגילים לא ברור למתי צריך להגיש)

== תרגיל 5 ==

המתמטיקאים אמורים לדעת לענות על השאלות האלו?
(להזכירכם, לא למדנו בהרצאה (של ד"ר עמיר) את הנושא של נפח ושטח, וכל הידע שלנו מתבסס על התרגול.)

== שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל 5 ==

כשמבצעים אינטגרציה חובה שהאינטגרל יכיל <math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}ds</math>? או שיתקבל גם שימוש ב<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}ds</math>?

*תשובה:

הכוונה היא פשוט לחשב את האורך המדובר באמצעות אינטגרל ולא באמצעות נוסחאות אחרות שאתם מכירים.

כלומר אפשר לחשב את האורך בכל שיטה עם אינטגרל שתתן לכם תשובה נכונה.

דרך אגב, הנוסחאות הן עם <math>\mathrm{d}x</math>

<math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math>

<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}dx</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:44, 2 במאי 2013 (IDT)
== שאלה לגבי ציוני תרגיל לתיכוניסטים ==
פעם שעברה לא עניתם לי.. חיכיתי שבוע ועוד לא ענו לי.. אני מקווה שזה ימשוך את צומת ליבכם ולא 'תפספסו' את השאלה שלי שוב ! ;)

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!שאלה חשובה מאוד!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

>>>>>>>>>>> בקובץ ציונים שהעלו חסר לי את הציון על התרגיל השני. חסרים ציונים שם? יעלו אותם בקרוב? <<<<<<<<<<<<<

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~אודה להתייחסות!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

כל החצים וסימני הקריאה מפריעים לי להתעלם מהשאלה שלך.

* העלתי קובץ יותר מעודכן. אם תרגיל 2 שלך לא נמצא שם. תפנה למתרגל שלך.

בדומה אני לא אתפלא אם חלק מתרגילי 3 עדיין לא מעודכנים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:03, 6 במאי 2013 (IDT)

* * * * * * * * * * * כן יש ציון תודה !

== מערכי תרגול- תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערכי התרגול העדכניים?

אמרתם שכל פעם אחרי התרגול אתם תעלו את מערך התרגול לאתר..

יש אנשים שלא מעתיקים (ומעדיפים להתרכז בהקשבה ובהאזנה) ובונים על מערך התרגול.

תודה רבה!

== תרגיל 6 ==

בשאלה 5 הכוונה לעיגול כלפי מטה או עיגול כלפי מעלה?

* תשובה: כלפי מטה.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:53, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 סעיף א ==

אפשר רמז בבקשה

* אני פתרתי אותו עם מבחן ההשוואה (הרגיל). מקווה שזה עוזר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:56, 9 במאי 2013 (IDT)

תודה :]

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

"חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס" - צריך רק לקבוע האם מתכנס (ע"י מבחן השוואה) או גם לחשב את ערך הגבול?

תשובה: רק להחליט אם הם מתכנסים. לא צריך לחשב את הגבול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:52, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 5 מתמטיקאים ==

מה הכוונה "אינטגרבילית מקומית"?

*(לא מתרגל) לדוגמא בקטע a עד אינסוף, הפונקציה תקרא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [a,b] עבור b>a.

* כן. קיבלתי את הרושם שככה הגדירו לכם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:06, 11 במאי 2013 (IDT)

== בוחן - תיכוניסטים ==

השאלות יהיו בסגנון של השאלות שהיו בשיעורי בית? חישוב אינטרגלים וכדומה?

מאיפה מומלץ לעשות חזרה לבוחן? יהיה אפשר לעלות שאלות ותשובות לשאלות בסגנון משנים קומות?

*כן. זה יהיה בסגנון השיעורי בית.

חוץ מאשר לעבור על ההרצאות + תרגולים+ שיעורי בית. אני חושב שבספר אינפי של צבאן (יש באתר שלו) יש שאלות טובות מכל מיני סוגים (כמובן שחלקן כבר הופיעו בתרגולים ובש"ב) אתם יכולים גם כמובן לעשות תרגילים ממבחנים שיש ב math-wiki. חוץ מזה באינפי יש מליון תרגילים באינטרנט... לי אין איזשהיא המלצה ספציפית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:57, 13 במאי 2013 (IDT)

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיו גם שאלות שיהיה צריך להוכיח בהו טענות או רק תרגילים חישוביים ?

* תשובה: יכול להיות שתדרשו להוכיח משהו "תיאורטי". אבל אין צורך לזכור בעל פה הוכחות שראיתם בכיתה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:58, 13 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 ==

בשאלה 2 2 הפונקציה לא מוגדרת בכל התחום של האינטגרל זה בכלל אפשרי?

* טעות שלנו. אני אתקן את זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן לתיכוניסטים ==

למה אין שאלת בונוס/שאלת בחירה/אפשרות לצבור מעל 100 בבוחן? אולי תלכו קצת לקראתנו ותתנו עזרה כזאת או אחרת בבוחן?

אולי כדאי שיקחו זאת צעד אחד קדימה - שיעלו לנו קובץ עם התשובות לשאלות שיהיו בבוחן.

* שימו לב גם שהבוחן הוא מגן. הוא לא יכול להוריד ציון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:01, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן למתמטיקאים ==

אפשר לציין אילו תרגילי בית נכללים בחומר הלימוד לבוחן, ולהעלות פתרונות לתרגילים האלו?

תודה

*תרגילים 1-7 (נדמה לי שבשביל הקבוצה הרגילה חלק מתרגיל 5 לא בחומר... אני לא בטוח, כדאי שרוני/שי יענו לכם על זה... אני מתרגל רק תיכוניסטים).

לתרגילים 1-3 כבר העלתי פתרונות. לתרגיל 7 לא נעלה פתרון עדיין (מן הסתם). לשאר נעלה בעזרת ה'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:07, 13 במאי 2013 (IDT)

אם תוכלו לעשות את זה בהקדם (אתם והקב"ה), נודה לכם מאד (:

תודה!

== בוחן לדוגמא ==

תוכלו להעלות בוחן דמה לקראת הבוחן?

== פתרונות ==

שלום! תוכלו בבקשה להעלות את הפתרונות לתרגילים 5 ו6?? תודה רבהה וחג שמח!

== שאלות בקשר לבוחן ==

האם אפשר בבקשה לעשות קצת סדר בעניינים ולתת פרטים מדוייקים בקשר לחומר הנכלל בבוחן לקבוצה של הבוגרים.
לפי מה שרשום באתר אנחנו מבינים שתרגיל חמש לא נכלל בבוחן, מעולה!
לגבי תרגיל שבע- האם הוא נכלל בבוחן?אם כן, אנחנו צריכים פתרונות! אנחנו לא רוצים להסתמך רק על פתרונות שלנו ואח"כ לגלות בבוחן שהם לא היו מדוייקים וכו'..(שזה כבר קרה לנו בעבר)
איתמר, זה נראה שאתה היחיד שפעיל כאן אז נשמח שאם יש שאלות שצריך לברר עם שי תשאל אותו ותעדכן כאן או שתגיד לו לענות בבקשה.

תודה רבה!!:)

החומר של תרגיל 7 נכלל בבוחן.

אני מצטער אבל עדיין לא הגיע תאריך ההגשה שלו - אנחנו לא נעלה לו פתרונות.

פירוט החומר לבוחן: (תיכוניסטים+קבוצה רגילה)

חקירת פונקציות. (תרגיל 1)

שיטות אינטגרציה. (תרגילים 2-3)

אינטגרל מסוים. (תרגיל 4)

אינטגרלים לא אמיתיים משני הסוגים (תרגילים 6-7)

מה אין בבוחן:

שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים.

יישומים גאומטריים (חישוב שטח פנים, נפח , שטח, אורך עקום)

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:02, 18 במאי 2013 (IDT)

== נושאים לבוחן ==

אמרתם שכל הנושאים לבוחן הם כל החומר עד אינטגרלים לא אמיתיים אבל אמרו לנו שגם אינטגרציה נומרית לא תיכלל.

תוכלו להוסיף רשימה יותר מפורטת של הנושאים ?

עניתי למעלה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 18 במאי 2013 (IDT)

== החלפת משתנים באינטגרלים ==

מה התנאים שצריכים להתקיים על מנת שיהיה אפשר לבצע חילף משתנים באינטגרל?

* תשובה: אם יש לך אינטגרל

<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>

ואתה מבצע הצבה <math>t=g(x)</math>

אז התנאים עבור <math>g</math> הם

1) <math>g</math> מוגדרת על הקטע <math>[a,b]</math>

2) <math>g</math> חח"ע בקטע <math>[a,b]</math>

3) <math>g</math> גזירה ברציפות בקטע <math>[a,b]</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:22, 18 במאי 2013 (IDT)

== מערכי תרגול ==

אפשר בבקשה שתעלו את מערכך תרגול מס' 7 לפני הבוחן תודה מראש

* העלתי--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:27, 18 במאי 2013 (IDT)

== מועד הגשה תרגיל 7 ==

האם תרגיל 7 להגשה ביום ראשון הקרוב כרגיל או שיש דחייה בגלל הבוחן ביום שני?

*אפשר להגיש בשבוע הבא (26.5) אבל יעלה עוד תרגיל ביום ראשון גם כן לאותו תאריך--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 18 במאי 2013 (IDT)

== מיקום הבוחן ==

באיזה כיתה/ות יהיה מחר הבוחן?

* תיכוניסטים: 604 כיתה 62.

* קבוצה רגילה: 101 כיתה 2.

שעה 18:00

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 20 במאי 2013 (IDT)

== הבוחן ==

1)יהיה חקירת פונקציות? חלק אומרים שכן וחלק לא...

2)צריך לזכור הוכחות מהרצאות?

* 1) חקירת פונקציות בחומר לבוחן.

2)לא צריך לדעת הוכחות מההרצאות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:16, 20 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 I ב ==

מדוע הפונק' מוגדרת דווקא בקטע זה? יש לכך איזשהי משמעות?

* זאת טעות. התחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> הוא בשביל סעיף א.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:26, 21 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 ==

מה הכוונה בסוג תחום ההתכנסות ?

כתוב:" מצא תחום התכנסות, סוגה ואת הפונקציה הגבולית"

התכוונו לכך שתמצא את סוג ההתכנסות (במ"ש/נקודתית)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

הכוונה ש fn שואפת ל f לא במידה שווה היא שהיא שואפת ל-f נקודתית בהכרח או שיכול להיות ש מf כלל לא שואפת לשום פונקציה?

'''נתון''': fn שואפת ל f לא במ"ש.

'''צ"ל''': האם ההתכנסות היא במ"ש/נקודתית, או שבכלל אין התכנסות.

'''פתרון''': על פי הנתון: "fn שואפת ל f", ולכן fn שואפת לפונקציה f. למדנו על שני סוגים של התכנסות - נקודתית ובמ"ש. על פי הנתון ההתכנסות היא לא במ"ש, ולכן השאיפה היא בהכרח נקודתית.

מש"ל.

== תרגול 8 ==

אתם יכולים להעלות את תרגול 8 לאתר ? יש אנשים שלא כותבים כדי להקשיב.

== תרגול 8 ==

יש הרבה שלא מעתיקים אלא מקשיבים בתרגול וסומכים עליכם שתעלו את זה לאתר, אני לא מבין מה הבעיה שלכם להעלות את זה לאתר מיד אחרי התרגול, זה לוקח 10 שניות וחיוני להרבה אנשים.

''אני מניחה שאם נבקש יפה זה יהיה יותר אפקטיבי. אף אחד פה לא מנסה לעשות לנו דווקא...''

* לקחתי לתשומת ליבי. בלי נדר, בשבועות שנותרו, אני אעלה את התרגול ביום ראשון בערב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 25 במאי 2013 (IDT)

== לימודים כרגיל ==

יש היום לימודים כרגיל ? כי לא קיבלנו הודעה במייל...

בדיוק באתי לשאול את זה. יש הרצאה באינפי או בשימושי מחשב היום???

== תרגיל 9 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 9?

* לפעם הבאה שיש תרגול. מתי שזה לא יהיה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:17, 29 במאי 2013 (IDT)

ביום ראשון יש תרגול? כי לפי מה שהבנתי אין הרצאה בגלל הבגרות בתנ"ך.

* למיטב ידעתי ביום ראשון 2.6 אין תרגול לתיכוניסטים בגלל הבגרות בתנ"ך. כנראה שנצטרך תרגול השלמה אחד בגלל זה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:59, 1 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל 9 שאלה 1 ==

מותר להניח בסעיף הראשון ש <math>a \leq 1</math>?

* תשובה: לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:22, 4 ביוני 2013 (IDT)

אז <math>a\in\mathbb R</math>?

== למתי צריך להגיש את תרגילים 9 ו 10? ==

??

לתיכוניסטים: צריך להגיש את תרגיל 9 ליום ראשון הקרוב.

את תרגיל 10 לשבוע שאח"כ.

לשאר המתמטיקאים: אין לי מושג.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:10, 7 ביוני 2013 (IDT)

== מתי מגישים את התרגילים ?? ==

גם תרגיל 9 וגם תרגיל 10 זה ליום ראשון הקרוב ??

שאלה בסיסית:

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס.

תודה!

== שאלה בסיסית ==

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס בקטע 1 עד אינסוף?

תודה מראש.

גוזר :|

*1) גוזר ומראה שהנגזרת שלילית.

2) מראה בקלות שאם <math>x<y</math> אז <math>\frac{1}{2y}<\frac{1}{2x}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:13, 7 ביוני 2013 (IDT)

== רדיוס התכנסות. ==

לטור חזקות תמיד קיים רדיוס התכנסות?

* תשובה: כן. אם לוקחים בחשבון שיש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>\infty</math> ואז יש התכנסות (נקודתית) בכל <math>\mathbb{R}</math>.

ויש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>0</math> ואז יש התכנסות רק בנקודה אחת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:36, 10 ביוני 2013 (IDT)

== תרגילים 4 ו5 ==

לא מופיעים לי ציונים על תרגילים 4 ו5 על אף שהגשתי אותם
ת.ז. שלי 208544635 המתרגל שלי זה שי גול
תודה

== תרגיל 10 ==

בשאלה 2 ה' כשרשום log האם הכוונה בבסיס e או בבסיס 10?

אתה תלמיד חדש פה במקרה?

אלא אם מצוין אחרת, לפי מה שהבנתי, תמיד זה בסיס e

== שאלה לגבי התכנסות במש ==

הוכחנו שטור החזקות <math>\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k</math> בעל רדיוס R מתכנס בהחלט בקטע <math>(-R,R)</math> ובמש לכל קטע <math>[a,b]\subset(-R,R)</math>. אם <math>R=\infty</math> (רדיוס ההתכנסות) אז ההתכנסות של הטור על כל <math>\mathbb R</math> היא במ"ש?

תשובה: לא. רק על כל תת קטע סגור מהצורה <math>[-R,R]</math> יש התכנסות במ"ש אבל לא על כל <math>\mathbb{R}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה ==

האם
lim(A(n)^p) = (lim A(n))^p
כאשר n שואף לאינסוף ,p קבוע?

*תשובה: כן, זה נובע מכך ש <math>x^p</math> היא פונקציה רציפה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:34, 16 ביוני 2013 (IDT)

== פתרונות ==

שלום!! אפשר בבקשה להעלות את הפתרונות לשאר התרגילים?? די דחוף.. רוצים להתחיל ללמוד למבחן..!

== הגשת תרגיל 10 ==

האם תרגיל 10 להגשה?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 10 שאלה 4 ==

סביב איזו נקודה יש לפתח את טור החזקות? סביב 0?

*תשובה: כן. סביב <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:30, 16 ביוני 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

האם יש טורים שמתכנסים במ"ש על כל הישר (חוץ מטור שהוא זהותית 0 כמובן)? ואם כן איך אפשר להוכיח שהם כאלה ?, כי התכנסות על כל הישר לא גוררת התכנסות במ"ש על כל הישר...

* תשובה: כן. למשל הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}</math> לפי מבחן ה <math>M</math> של ווירשטראס מתכנס במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>.

אבל אין טור חזקות שמתכנס במ"ש על כל <math>\mathbb{R}</math>.

^למעט טור חזקות שהוא פולינום.

*(לא מתרגל) זה לא מדויק כל כך. מה שכן אפשר להוכיח - כל טור חזקות שיש בו אינסוף איברים לא אפס (או לחילופין שהאיבר הכללי לא מתאפס אחרי מקום מסוים) לא מתכנס במ"ש ב-R.זה תנאי מספיק והכרחי, כי אם החל ממקום מסוים הוא מתאפס, אז ברור כי הוא יתכנס במ"ש ב-R, ואם לא אז הוא לא יתכנס במ"ש ב-R.

* תשובה: נכון. לא דייקתי במה שאמרתי. מה שהלא מתרגל כתב כאן נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:30, 17 ביוני 2013 (IDT)

== סכום טורי חזקות ==

היום שאלו אותי בכיתה אם את השאלה הבאה:

אם יש 2 טורי חזקות <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math> ו <math>\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n</math> שלשניהם רדיוס התכנסות <math>R</math>.

האם ייתכן שלסכומם יהיה רדיוס התכנסות גדול יותר?

התשובה (הלא כל כך אינטיליגנטית) שעניתי הייתה שאם לוקחים <math>b_n=-a_n</math> אז הסכום שלהם הוא <math>0</math> ולזה יש רדיוס התכנסות <math>\mathbb{R}</math>.

אני יכול לתת תשובה (קצת) יותר אינטיליגנטית. נניח שנסתכל על

<math>\sum_{n=0}^{\infty}(n^n+\frac{1}{n})x^n</math> זה טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

וגם <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-n^n)x^n</math> הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

סכומם הוא הטור <math>\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n})x^n</math> שיש לו רדיוס התכנסות <math>1</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:47, 16 ביוני 2013 (IDT)

== אפשר לעלות מבחן לדוגמא ? ==

והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?

* יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

: (לא מתרגל / מרצה) תשובות:

: 1. הגבול הנ"ל שקול לגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x^n</math> עבור <math>x\in\left [ -1,1 \right ]</math>, זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).

: 2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה <math>g(x)</math> ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.

: 3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה. 
: 2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה. 
: 3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, אך במ"ש אומר שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> ולכל x בקטע מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, זה ההבדל. 
: 4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.

: מקווה שמובן, --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)

* התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

== שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב ==

הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?

נתנו רמז : טור הנדסי.

למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?

: (לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)

* שוב גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:45, 18 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות מההרצאות במבחן ==

אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?

* אני אברר ואפרסם--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:56, 26 ביוני 2013 (IDT)

*
1. פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית שם.

2. פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית שם

3. פונקציה אינט'. אמ"ם לכל אפסילון יש חלוקה כך שהפרש הסכום העליון והסכום התחתון קטן מאפסילון.

4. ע"י עידון הסכום העליון יורד

5. המבחן האינטגרלי להתכנסות טורי מספרים.

6. מבחן דיריכלה להתכנסות אינטגרלים לא אמיתים מסוג ראשון

7. מבחן ה"אם" של וירשטרס.

8. אם סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש בקטע סגור אז האינטגרלים שואפים לאינטגרל של הפונקציה הגבולית.

9 גבול במ"ש של רציפות רציפה.

10. המשפט היסודי על קיום וחישוב רדיוס ההתכנסות.

11. אם רדיוס ההתכנסות גדול מאפס אז הטור טור טיילור של הפונקציה הגבולית. -----

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:43, 27 ביוני 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי המבחן ==

א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב<math>\Leftarrow [a,b]</math> f אינטגברלית <math>\Leftrightarrow</math> לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש<math>S\bar(f,p)-S\underline(f,p)<\epsilon</math>". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?

ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?

* (לא מתרגל) א. כן

* ב. רוני ביתן עושה תרגול חזרה ב 3.7 - אני מניח שהוא לא יתנגד שיגיעו אליו גם מקבוצות אחרות.

בנוסף אפשר כמובן להעלות הנה כל שאלה שיש לכם - אני אדגום את הmath-wiki בתדירות גבוהה בשבוע הבא.

אפשר גם לבוא אלי באוניברסיטה כדי לשאול שאלות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:46, 27 ביוני 2013 (IDT)

באיזה שעה תרגול החזרה יתקיים?

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

* אני אשתדל לגרד כמה שאלות מאיפשהוא - אני לא מבטיח שאני אספיק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות למבחן ==

אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...

* יש לי שתי הצעות בשבילך.

1) יש בדף הראשי קישור לסיכומי הרצאות משנה שעברה - אני בטוח שיש שם הוכחות לכל המשפטים שצריך.

2) אתם יכולים להעלות בעצמכם הוכחות למשפטים (ש11 סטודנטים ייקחו כל אחד משפט, יכתבו את ההוכחה שלו ויעלו הנה).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 26 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן ==

משפט 3 שאנו צריכים לדעת להוכחה למבחן הוא: 
f חסומה ב-[a,b] אינטגרבילית ב-[a,b] אמ"מ לכל ε>0:
 
 
<math>
\overline{S}(f,T) - \underline{S}(f,T) \le \varepsilon
</math>
 
האם הכוונה היא לתנאי רימן לאינטגרביליות (תנאי הכרחי ומספיק) או למשפט אחר? תודה

* נראה לי שהכוונה היא להוכיח שתנאי דרבו לאינטגרביליות שקול למה שכתבת אבל אני אברר כדי להיות בטוח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:49, 26 ביוני 2013 (IDT)
 
* האם מדובר במשפט מספר 5 כאן: [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94/22.2.11] ואם כן, האם מותר להתבסס על משפט מספר 4 על מנת להוכיח את הכיוון הראשון?

* כן זה משפט 5. לא נראה לי שאפשר להסתמך על משפט 4 שם. זה חלק ממה שצריך להראות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:48, 27 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 5 ==

להרבה חסר הציון בתרגיל 5.

טוב לדעת.

העלתי את קובץ הציונים הסופי - אני חושב שעכשיו זה בסדר. תגידו אם לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:29, 1 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה לגבי המבחן ==

האם המבחן של ד"ר גדעון עמיר הוא אותו המבחן של דר הורוביץ ?
צריך ללמוד את אותן ההוכחות?

זאת התשובה של ד"ר עמיר

I gave the list of 11 propositions in class. Basically its the same list, but I may have explained it differently.
Of course they should know things according to what I said in class.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:29, 30 ביוני 2013 (IDT)

== משפט 10 ברשימת משפטים להוכחה ==

"קיום וחישוב של רדיוס ההתכנסות של טור חזקות" - אני מניח ש"קיום" הכוונה שקיים R כך שלכל zzz |x|<R zzz הטור מתכנס ולכל zzz |x|>R zzz הטור מתבדר, אבל למה הכוונה "חישוב"?
:קושי-הדמר

* וגם צריך להציג את הטענה: לכל r>0 וr<R מתקיים כי הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[x0-r,x0+r]</math>

== איך מחשבים את האינטגרל הזה? ==

אינטגרל של (5x+3)/(2x-1)

מה הרעיון פה? איך עושים את זה?

תודה מראש.

: (לא מרצה/מתרגל) לאחר חילוק פולינומים נקבל: zzz 2.5+5.5/(2x-1) zzz, והאינטגרל: zzz 2.5x+2.75*ln(2x-1) zzz

== חומר למבחן ==

צריך לדעת אינטגרציה נומרית למבחן?

* זה בחומר. אני הייתי מנחש שזה לא יהיה (אבל לא ראיתי את המבחן, אל תבנו על זה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:32, 1 ביולי 2013 (IDT)

* (לא מתרגל) אם הכוונה לד"ר הורוביץ, הוא אמר בהרצאה האחרונה שזה לא יהיה.

המבחן לא זהה לשתי הקבוצות?

* יכולה להיות שאלה שונה עבור מרצים שונים (ואולי אפילו יותר מאחת).

== איך מחשבים את האינטגרל הזה הבא: ==

1 חלקי
x^2+4x+13

?

תודה על העזרה

*[[http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%20x%20%7D%5E%7B%202%20%7D+4x+13%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%20x%20%7D%5E%7B%202%20%7D+4x+4+9%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%28x+2%29%5E%7B%202%20%7D+9%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%209%20%7D%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%28%5Cfrac%20%7B%20x+2%20%7D%7B%203%20%7D%20%29%5E%7B%202%20%7D+1%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5C%5C%20%3D%5C%7B%20%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20x+2%20%7D%7B%203%20%7D%20%3Dt%5Cquad%20%3B%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%203%20%7D%20dx%3Ddt%3B%5Cquad%20dx%3D3dt%5Cquad%20%5C%7D%20%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%209%20%7D%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%20t%20%7D%5E%7B%202%20%7D+1%20%7D%20%7D%203dt%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%209%20%7D%20%5Ccdot%203arctan%28t%29%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%203%20%7D%20arctan%28%5Cfrac%20%7B%20x+2%20%7D%7B%203%20%7D%20%29]]

== שאלה בקשר לחישוב אינטגרל ==

איך מחשבים אינטגרל של

zz 1/(4x^2+4x+1) zz

ובאופן כללי, לאו דווקא בשאלה הספציפית הזאת, מה השיטה לחשב אינטגרלים מהסוג הזה?

* [[http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%7B%204x%20%7D%5E%7B%202%20%7D+4x+1%20%7D%20dx%20%7D%20%3D%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%282x+1%29%5E%7B%202%20%7D%20%7D%20dx%20%7D%20%3D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%282x+1%29%20%7D%20+C]]

במקרה הכללי, זה תלוי - אם אפשר לעשות דו איבר זה הכי נוח. אבל לפעמים אי אפשר, ואז צריך להשלים לריבוע (ראה/י תרגיל אחד מעל), או להשתמש בפירוק לשברים חלקיים. על כל אלו אפשר לקרוא במערכי תרגול.

== איך מחשבים את האינטגרל הבא: ==

zz 1/sqrt(x^2+x+1) zz

מעדיף לראות את כל המעברים עם הסבר, ולא רק תשובה סופית...בשביל זה יש וולפראם אלפא..

תודה מראש למי שעוזר..

* משתמשים בהצבת אוילר (זה מוסבר בתרגול 3).

מציבים <math>\sqrt{x^2+x+1}=x+t</math>

מכאן מתקבל <math>x^2+x+1=x^2+2xt+t^2</math>

כלומר <math>x=\frac{t^2-1}{1-2t}</math>

ולכן <math>\mathrm{d}x=\frac{2t(1-2t)+2(t^2-1)}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t</math>

מציבים את כל זה באינטגרל

<math>
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\mathrm{d}x=
\int \frac{1}{\frac{t^2-1}{1-2t}+t}\cdot\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=
</math>
<math>
\int \frac{1}{\frac{-t^2+t-1}{1-2t}}\cdot\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=
\int \frac{2}{1-2t}\mathrm{d}t=
-\ln(1-2t)+C=
-\ln(1-2(\sqrt{x^2+x+1}-x))+C
</math>

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:53, 1 ביולי 2013 (IDT)

== אתם לוקחים את 8 התרגילים הטובים? ==

אפשר היה להגיש רק 8?

* כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:44, 2 ביולי 2013 (IDT)

== שעורי חזרה ==

מתי יתקיימו שעורי החזרה?

* עם ד"ר הורוביץ יש שיעור חזרה ביום שישי בשעה 9 וחצי.

והתרגול עם רוני ביתן?

* לא חושב שיש כזה.

== המבחן ==

כמה זמן יערך המבחן (בלי הארכת זמן)?

נראה לי ששלוש שעות 6 שאלות

== מבחנים משנים קודמות ==

אפשר בבקשה לעלות קישור למבחנים משנים קודמות (אני לא מוצא למשל את המבחן של תשע"ב סמסטר ב' מועד ב')

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/

== שיעור חזרה ==

מתי (באיזה שעה) ואיפה שיעור החזרה עם ד״ר הורוביץ ?

== משפט 11 ==

האם כחלק מהוכחת המשפט צריך לדעת להוכיח שמותר לגזור טור חזקות איבר איבר ושרדיוס ההתכנסות נשמר?

* נראה לי שכן. כלומר צריך לדעת להוכיח את סעיף 2 ממשפט 3 [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11|כאן]] ואת משפט 4 [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11|כאן]]--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:21, 5 ביולי 2013 (IDT)

* היום בשיעור החזרה עם ד"ר הורוביץ' הוא אמר שההוכחות צריכות להיות בדיוק כמו שהראנו אותן. במשפט 11 מספיק לאמר את זה ואפשר לא להוכיח (אפילו שאלו אותו מפורשות והוא אמר).

* טוב, כמובן שד"ר הורוביץ הוא זה שקובע.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 6 ביולי 2013 (IDT)

== מבחן 2009 מועד ב' ==

בשאלה 1 בפתרון http://www.math-wiki.com/images/e/ea/09Infi2ExTest2Sol.pdf לא הבנתי איך הם יודעים שבכל תת קטע הפונקציה המורכבת מקבלת מינימום ומקסימום

(לא מרצה/מתרגל)היא גזירה ולכן רציפה לפי ווירשטראוס מקבלת מינימום ומקסימום.

היא לא בטוח גזירה כי f רק אינטגרבילית ולא בטוח שהיא גזירה או אפילו רציפה ולכן גם לא בטוח שההרכבה רציפה

* אם תשים לב תראה שמה שטוענים זה של <math>g'</math> יש מקסימום וזה ידוע כי לפי הנתון היא רציפה. לא נטען שם שלהרכבה יש מקסימום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:46, 7 ביולי 2013 (IDT)

כשהם בנו את הסכום העליון והסכום התחתון של הפונקציה המורכבת הם הסתמכו על כך שבכל תת קטע יש מקסימום ומינימום(ולא sup ו inf ) שמתקבלים בנקודות xiM ו xim לא ?

== פתרון לשאלה 4 ממועד א' ==

אפשר לפרסם פתרון לשאלה 4 מהמועד א' (הוכח/הפרך)?

הפרכה:

בקטע [0,1],נגדיר לכל n טבעי <math> f_n(x) =\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}</math>. הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=0</math> שרציפה.

כמו כן, ההתכנסות היא במידה שווה (לפי מבחן ה lim sup, <math>\sup |f_n(x)-f(x)|=\sup |\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}-0| = \sup|\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}|=\frac{1}{n}</math> ששואף לאפס)

אך לא קיים מספר טבעי n שעבורו <math>f_n(x)</math> תהיה רציפה (כי לכל n, <math>f_n(x)</math>לא רציפה ב 0).

 
 
--תודה זה בדיוק מה שעשיתי.

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-07-08T07:34:36Z

ABAB: /* פתרון לשאלה 4 ממועד א' */ פסקה חדשה

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-07-07T17:52:29Z

ABAB: /* מבחנים משנים קודמות */

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-07-07T17:47:01Z

ABAB: /* מבחנים משנים קודמות */ פסקה חדשה

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-07-01T06:58:50Z

ABAB: /* משפט 10 ברשימת משפטים להוכחה */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגילים ==

תרגילים למתמטיקאים זה גם התרגילים לתיכוניסטים?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 4 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה ב ==

לגבי תרגיל 1. האם השאלה השניה (מציאת משוואת ישר) קשורה לחומר שנלמד, או שמדובר בטעות? (מאחר והנושא כלל לא נלמד בשיעור)

:משוואת ישר זה לא החלק הקשה, אתם אמורים לצלוח אותו באמצעות ידע מהתיכון. הקשר לנושא הוא המשפט "בעל שטח מינמלי", כאשר את זה מחשבים באמצעות חקירת פונקציות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה ב ==

המשולש המינימלי - הכוונה למשולש שנוצר על ידי הישר , ציר הX , ואנך לציר הX , או הישר , ציר הY ואנך לציר הY?
:אמנם זה לא התרגיל של הקבוצה שלי, אבל דווקא אני הייתי מנחש שזה משולש שהצלעות שלו הן שני הצירים והישר הנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

מצטער על התגובה המאוחרת. ארז צודק. הכוונה למשולש שנוצר עם הצירים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:23, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגילים לקבוצת הבוגרים ==

צריך להגיש אחרי שבוע או שבועיים?

== תרגיל 1 מתמטיקאים שאלה ב ==

יכול להיות שנפלה טעות והמשולש יוצר שטח מקסימלי ברביע הראשון?
:לא פתרתי את התרגיל, אבל על פניו זה לא נשמע סביר. אם ניקח את הקו הישר להיות כמעט מקביל לציר y או כמעט מקביל לציר x נקבל משולשים עם שטחים ששואפים לאינסוף. יותר סביר שיש לך טעות חישוב. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

ושוב ארז צודק. אין טעות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:25, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 2 מתמטיקאים ==

האם לא אמור להיות <math>\alpha\neq -1</math>? אם <math>\alpha=1</math> או <math>\alpha\neq -1</math> ניתן לפתור באמצעות אינטגרציה בחלקים, אבל עם <math>\alpha=-1</math> זה לא עובד, וצריך הצבה... --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:38, 14 במרץ 2013 (IST)

תשובה: אתה צודק. הטעות תוקנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:38, 15 במרץ 2013 (IST)

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

תשובה: לא. חוזרים ללימודים ביום רביעי 3.3.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:54, 29 במרץ 2013 (IDT)

ממתי אנחנו לומדים ביום רביעי?

???????????????????????????

(לא מתרגל / מרצה) ביום רביעי ממשיכים הלימודים לפי המערכת הרגילה. אם אינך לומד ביום רביעי, אתה חוזר ביום ראשון שאחריו --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:41, 30 במרץ 2013 (IDT)

אז רק מי שעושה פיזיקה לומד ביום רביעי?

== תרגיל -3 אינפי2 מדעי המחשב...שאלה 1 סעיף 3...חקירת הפונקציה (y=x+sin(2x ==

כמה שאלות:

1 . לגבי מציאת אסימפטוטות אופקיות...

אם אני מבין נכון, אסימפטוטה אופקית זה מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת.

נניח אני רוצה לבדוק האם קיימת אסימפטוטה אופקית, מה שעליי לעשות, זה לבדוק מה קורה בגבול

lim((sin(2x)+x-(ax+b)) הזה? כאשר x שואף פעם אחת לאינסוף ופעם שנייה למינוס אינסוף?

2. בהמשך לשאלה 1. אם אני מקבל ש- a=0, אז y=b תיהיה אסימפטוטה אופקית?

3. באופן כללי, אפשר לומר שכדי למצוא אסימפטוטות משופעות/אופקיות, אני צריך לבצע את החישוב

lim(f(x)-(ax+b) כאשר x שואף פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף, וכל תוצאה עבור a ו b תהווה אסימפטוטה משופעת כאשר

במקרה ספציפי שבו a=0, אקבל אסימפטוטה אופקית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) השיטה שאתה מציג נכונה אבל לפעמים לא יעילה, מפני שאתה צריך לנחש מראש את האסימפטוטה. אבל, לפי הפיתוח שהראת, הרי שיש אסימפטוטה אופקית אם ורק אם <math>lim f(x)-ax-b=0</math> (ב+ או - אינסוף) וזה אם ורק אם <math>lim f(x)-ax= lim(b)</math>, אבל לפי אריתמטיקה של גבולות אפשר לרשום <math>lim (f(x)-ax)/x=lim b/x=0</math>, כלומר <math>lim f(x)/x-a=0</math> או <math>a=lim f(x)/x</math>.

מכל זה אפשר להסיק - יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a. אם כן, אז מוצאים את b על ידי הגבול b=lim f(x)-ax (שוב, הגבולות הם באינסוף או ב(-) אינסוף).

2. כן.

3.אין דבר כזה כל תוצאה, לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף. לפי האמור לעיל, אפשר להסיק שאם יש אסימפטוטה משופעת, היא אחת.
:3. מה פתאום, יכולה להיות אסימ' אופקית שונה בשני הקצוות.

*כמובן, אמרתי והתכוונתי בקצה אחד (הרי רשום - 'לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף').

הערה:

ציטוט: יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a

זה לא נכון.

התרגיל הזה זאת דוגמא.

אם <math>f(x)=\sin(x)</math> אז

<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0</math>

אבל <math>\lim _{x\rightarrow \infty}\sin(x)</math> לא קיים ולכן אין אסימפטוטה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:14, 3 באפריל 2013 (IDT)

== 2 שאלות נוספות בהמשך להודעה האחרונה ==

1. אם אני בודק האם קיום אסימפטוטה משופעת לפונקציה בדרך שציינתי מקודם,ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה יתקבל בחישוב הזה?..הרי אני לא יודע מראש אם יש או אין אסימפטוטה משופעת. נניח אני עושה את החישוב
lim(f(x)-(ax+b) ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה אני אקבל בחישוב הזה, וכיצד זה יתבטא בערכים של a ו b?

2. מה הסיבה שעל מנת למצוא אסימפטוטה משופעת של פונקציה, אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול של הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף?

שוב, תודה מראש.

*(לא מתרגל) אני חושב שהתשובה נמצאת בתגובה לשאלתך הראשונה (אגב מומלץ לערוך את השאלה הקודמת ולרכז הכל שם, יותר נוח ופחות מעמיס לכלל הקוראים).

2. אם יש אסימפטוטה משופעת ax+b שבה a אינו 0, אז ((lim(f(x הוא אינסוף אם a>0 ומינוס אינסוף אם a<0, זה תנאי הכרחי (שוב, בהתאמה באינסוף או מינוס אינסוף). אם a=0 אז הגבול הוא b.

אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול באינסוף או מינוס אינסוף, כי אם הוא יוצא אינסוף אי אפשר לדעת אם יש אסימפטוטה משופעת או לא. שתי דוגמאות פשוטות לכך הן e^x ו-x, לשתיהן גבול אינסוף באינסוף, אך לראשונה אין אס' משופעת ולשנייה יש, שהיא בעצם היא עצמה.

== למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף? ==

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?
: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin2x%2Fx
: סינוס חסומה.

הערה: אני רק רוצה להעיר למען הסר ספק.

השאלה מה האסימפטוטות המשופעות של <math>x+\sin(2x)</math> היא שאלה לגיטימית
(והתשובה היא שאין לה) אבל היא לא נדרשת בשיעורי בית.

בשיעורי בית אתם מתבקשים לחקור את <math>x+\sin(2x)</math> בתוך תחום מסוים <math>[-2\pi,2\pi]</math> אז ממילא אין מה לומר לגבי אסימפטוטות שלה באינסוף או מינוס אינסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 3 באפריל 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

אפשר רמז ל6 [http://www.math.technion.ac.il/courses/104195/test/2005/spr_final2.pdf פה]?

זה אינפי 1, אבל מעניין.

* (לא מתרגל) אממ, זה לא הכי קשור לאינפי 2 של בר אילן, אבל בכל מקרה אפשר לפתור. רצית רמז אז אנסה להביא משהו מועיל, נסה/נסי להשתמש בהגדרה של רציפות במ"ש לפי היינה. אוכל גם להביא פתרון שלי, כי רמז אחר הוא למעשה הפתרון.

:תודה. נראה לי שפתרתי: מה שרוצים קורה אםם על כל סדרה עולה נקבל את הגבול הזה כגבול סדרות. לכן תהי <math>x_n</math> סדרה עולה, ונגדיר <math>y_n=\sqrt{x_n^2+5}</math>, אז נוכיח שהמרחק ביניהן שואף לאפס ואז נקבל לפי תנאי היינה לבמ"ש שמתקיים <math>|f(x_n)-f(y_n)|\rightarrow 0</math> ולכן <math>f(\sqrt{x_n^2+5})-f(x_n)\rightarrow 0</math> ומש"ל.

*(לא מתרגל) כן, זה נראה בסדר, רק הייתי אומר שהגבול של xn כשn שואף לאינסוף הוא אינסוף.
:כן, לזה התכוונתי. (עולה זה לא נכון, למשל הסדרה ל-e)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

אפשר רמז לסעיף 1 בשאלה 2?

== תרגיל 4 שאלה 5 סעיף ב' ==

אני חושב שצריך גם לדרוש m שונה מn-, או לחילופין |m| שונה מ|n|.

תשובה: נכון. רציתי לכתוב טבעיים וכתבתי בטעות שלמים. אני אתקן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 (תיכוניסטים) ==

בשאלה 6ב - איך עושים חישוב של הנפח סביב ציר Y (זה טעות? התכוונו לציר X?)תודה.

*(לא מתרגל) האמת שמבט נוסף יביא למסקנה שזה אותו נפח ביחס לכל אחד מהצירים.

* תשובה: זאת לא טעות. גם אם זה לא אותו נפח כמו סיבוב סביב ציר <math>x</math> (מה שבמקרה באמת קורה כאן)

אפשר לחשב נפח סיבוב סביב ציר <math>y</math> ע"י כך שמתייחסים כאילו הפונקציות הן פונקציות של <math>x</math> לפי <math>y</math>

(הפוך מההסתכלות הרגילה) ואז עושים אינטגרציה (לפי הנוסחא) לפי <math>y</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:01, 19 באפריל 2013 (IDT)

== תרגול - תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערך תרגול 4+5 לאתר ?
תודה רבה!

== איך מגדירים נפח גוף סיבוב סביב ציר Y? ==

יש שתי דרכים טריוויאליות:

1. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר X, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

2. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר Y, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

לי לפחות נראה ש 2. היא ההגדרה הנכונה, אך מהי ההגדרה המדויקת של נפח גוף הסיבוב?

*(לא מתרגל) אני מאמין שהגדרה 2 היא נכונה. פשוט אפשר להסתכל על ההגדרה המקורית עם ציר X, ולהחליף כל פעם Y בX.

* תשובה: אין כזה דבר נפח סיבוב של פונקציה סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

יש כזה דבר נפח גוף סיבוב סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

במילים אחרות, קודם צריך להגיד לך מה השטח שאתה צריך לסובב, ואח"כ אפשר לחשב מה הנפח של הסיבוב שלו סביב משהו.

לכן שתי האפשרויות שכתבת הן לגיטימיות, תלוי מה מבקשים לחשב.

בשיעורי הבית התחום שצריך לסובב הוגדר בצורה מדויקת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:58, 19 באפריל 2013 (IDT)

* במחשבה שניה, הבנתי שמה שאתה שואל זה מה המשמעות של

<math>\pi\displaystyle{\int_a^b }f^2(y)\mathrm{d}y</math>

והתשובה היא אופציה 2 שכתבת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:31, 19 באפריל 2013 (IDT)

== כמה שאלות ==

נתונה לי הפונקציה f(x)=x-2arctanx

1.
מדוע f גזירה בכל הממשיים?

2.
על מנת להראות שפונקציה גזירה בנקודה ספציפית, יש להראות שמתקיימת הגדרת הנגזרת?
3.
אם רוצים להראות שפונקציה גזירה על תחום/קטע מסוים, אני מניח שאי אפשר להשתמש בהגדרת הנגזרת, כי כעת מדובר על תחום, ולא על נקודה ספציפית. איך בכל זאת אפשר לדעת?

4.
למה tanx אי זוגית?
5.
למה מכך ש-tanx אי זוגית, ניתן להסיק ש-arctanx אי זוגית גם כן?

תודה מראש!

(סטודנט)
1. x גזירה וגם arctanx ידוע שמכפלה של קבועה בגזירה גם גזיר ושהפרש של גזירות גזיר ולכן הפ' גזירה

2.כן(שים לב שהגבול הימני צריך להיות שווה לגבול השמאלי)

3. ע"פ הגדרת הגבול במקום שx ישאף לx0 מסוים(לדוגמא 2) הוא ישאף לכל x0 ששייך לקטע

4. כי מתקיים f(-x)=-f(x) a שtanx=sinx/cox tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx

5. arctan(tanx)=x
arctan(-tanx)=arctan(tan-x)=-x
לכן אי זוגית

== אסימפטוטה אנכית ==

1.באיזה מצבים לפונקציה f תיהיה אסימפטוטה אנכית?

2. בעצם אני יכול לומר שאם אני רוצה למצוא אסימפטוטות אנכיות של פונקציה מסויימת, אני צריך לבדוק האם לפונקציה יש נקודות אי רציפות ממין שני, ואם כן, אז בנקודות הללו ל-f יש אסימפטוטה אנכית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) אסימפטוטה אנכית מוגדרת כאשר יש נק' אי רציפות ממין שני, אז כן, הדברים שקולים. מספיק שגבול מימין/משמאל בנק' מסוימת הוא אינסוף או מינוס אינסוף, זוהי אסימפטוטה אנכית ונק' אי רציפות ממין שני.

== העלאת התרגילים ==

אפשר להעלות את התרגילים השבועיים מוקדם יותר ?
הם תמיד עולים יומיים שלושה אחרי התירגול...

* אתה יכול לציין על איזה קבוצה מדובר? החלק הזה של שאלות ותשובות משרת מדמ"ח, מתמטיקאים ותיכוניסטים (מ2 קבוצות הרצאה).

למיטב ידיעתי, בקורסים שאני מתרגל אנחנו מקפידים להעלות תרגילים לפחות שבוע לפני מועד ההגשה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:09, 23 באפריל 2013 (IDT)

*(לא שואל השאלה)(תיכוניסטים) לדוגמא השבוע, התרגיל עדיין לא עלה ולפי מה שאני מבין הוא להגשה בראשון הקרוב.
*(שואל השאלה) אני מקבוצת התיכוניסטים ועל הקבוצה הזו דיברתי וכמו שנאמר למעלה התרגיל שלנו עדיין לא עלה

*השבוע לא הייתי כל כך בעניינים... אני אבדוק.
אבל בשבועות הקודמים התרגיל של התיכוניסטים עלה תמיד בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 24 באפריל 2013 (IDT)

* כן, השבוע הייתה בעיה. העלנו תרגיל רק עכשיו. היות ואין תרגול בל"ג בעומר זה עדיין משאיר לכם יותר משבוע לפתור את התרגיל.

כמו שכתבתי, אני אקפיד שבעתיד זה יעלה בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:43, 25 באפריל 2013 (IDT)

== נקודות קיצון/פיתול ==

אם קבלתי שהנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסויימת ואני רואה שהנגזרת הראשונה, משניי צידי הנקודה, אינה משנה סימן. האם ניתן
להסיק מכך שהנק' היא נקודת פיתול, מבלי בכלל להתעסק עם נגזרת שנייה?

כן, ניתן להסיק זאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:37, 24 באפריל 2013 (IDT)

== הרצאה בלוג בעומר ==

יש הרצאה לתלמידי שמחה?

== הרצאה ביום ראשון ==

שמעתי שביום ראשון התבטלה ההרצאה של מיכאל שיין. גם ההרצאה של שמחה הורוביץ התבטלה ?

אנא תשובה בהקדם ! תודה.

*(לא מתרגל) בוטלו ההרצאה והתרגול, מלי שלחה על כך מייל:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 2

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

ביום ראשון הקרוב ל"ג בעומר 28/4/13 לא יתקיימו לימודים באינפ' 2 הרצאה ותרגיל

ביום שני הבוחן בשימושי מחשב מתוכנן כרגיל

== תאריכי הגשה ==

אם אפשר בבקשה להוסיף תאריכי הגשה לקבוצות התרגול השונות (מרוב ביטולי תרגילים לא ברור למתי צריך להגיש)

== תרגיל 5 ==

המתמטיקאים אמורים לדעת לענות על השאלות האלו?
(להזכירכם, לא למדנו בהרצאה (של ד"ר עמיר) את הנושא של נפח ושטח, וכל הידע שלנו מתבסס על התרגול.)

== שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל 5 ==

כשמבצעים אינטגרציה חובה שהאינטגרל יכיל <math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}ds</math>? או שיתקבל גם שימוש ב<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}ds</math>?

*תשובה:

הכוונה היא פשוט לחשב את האורך המדובר באמצעות אינטגרל ולא באמצעות נוסחאות אחרות שאתם מכירים.

כלומר אפשר לחשב את האורך בכל שיטה עם אינטגרל שתתן לכם תשובה נכונה.

דרך אגב, הנוסחאות הן עם <math>\mathrm{d}x</math>

<math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math>

<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}dx</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:44, 2 במאי 2013 (IDT)
== שאלה לגבי ציוני תרגיל לתיכוניסטים ==
פעם שעברה לא עניתם לי.. חיכיתי שבוע ועוד לא ענו לי.. אני מקווה שזה ימשוך את צומת ליבכם ולא 'תפספסו' את השאלה שלי שוב ! ;)

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!שאלה חשובה מאוד!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

>>>>>>>>>>> בקובץ ציונים שהעלו חסר לי את הציון על התרגיל השני. חסרים ציונים שם? יעלו אותם בקרוב? <<<<<<<<<<<<<

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~אודה להתייחסות!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

כל החצים וסימני הקריאה מפריעים לי להתעלם מהשאלה שלך.

* העלתי קובץ יותר מעודכן. אם תרגיל 2 שלך לא נמצא שם. תפנה למתרגל שלך.

בדומה אני לא אתפלא אם חלק מתרגילי 3 עדיין לא מעודכנים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:03, 6 במאי 2013 (IDT)

* * * * * * * * * * * כן יש ציון תודה !

== מערכי תרגול- תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערכי התרגול העדכניים?

אמרתם שכל פעם אחרי התרגול אתם תעלו את מערך התרגול לאתר..

יש אנשים שלא מעתיקים (ומעדיפים להתרכז בהקשבה ובהאזנה) ובונים על מערך התרגול.

תודה רבה!

== תרגיל 6 ==

בשאלה 5 הכוונה לעיגול כלפי מטה או עיגול כלפי מעלה?

* תשובה: כלפי מטה.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:53, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 סעיף א ==

אפשר רמז בבקשה

* אני פתרתי אותו עם מבחן ההשוואה (הרגיל). מקווה שזה עוזר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:56, 9 במאי 2013 (IDT)

תודה :]

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

"חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס" - צריך רק לקבוע האם מתכנס (ע"י מבחן השוואה) או גם לחשב את ערך הגבול?

תשובה: רק להחליט אם הם מתכנסים. לא צריך לחשב את הגבול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:52, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 5 מתמטיקאים ==

מה הכוונה "אינטגרבילית מקומית"?

*(לא מתרגל) לדוגמא בקטע a עד אינסוף, הפונקציה תקרא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [a,b] עבור b>a.

* כן. קיבלתי את הרושם שככה הגדירו לכם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:06, 11 במאי 2013 (IDT)

== בוחן - תיכוניסטים ==

השאלות יהיו בסגנון של השאלות שהיו בשיעורי בית? חישוב אינטרגלים וכדומה?

מאיפה מומלץ לעשות חזרה לבוחן? יהיה אפשר לעלות שאלות ותשובות לשאלות בסגנון משנים קומות?

*כן. זה יהיה בסגנון השיעורי בית.

חוץ מאשר לעבור על ההרצאות + תרגולים+ שיעורי בית. אני חושב שבספר אינפי של צבאן (יש באתר שלו) יש שאלות טובות מכל מיני סוגים (כמובן שחלקן כבר הופיעו בתרגולים ובש"ב) אתם יכולים גם כמובן לעשות תרגילים ממבחנים שיש ב math-wiki. חוץ מזה באינפי יש מליון תרגילים באינטרנט... לי אין איזשהיא המלצה ספציפית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:57, 13 במאי 2013 (IDT)

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיו גם שאלות שיהיה צריך להוכיח בהו טענות או רק תרגילים חישוביים ?

* תשובה: יכול להיות שתדרשו להוכיח משהו "תיאורטי". אבל אין צורך לזכור בעל פה הוכחות שראיתם בכיתה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:58, 13 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 ==

בשאלה 2 2 הפונקציה לא מוגדרת בכל התחום של האינטגרל זה בכלל אפשרי?

* טעות שלנו. אני אתקן את זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן לתיכוניסטים ==

למה אין שאלת בונוס/שאלת בחירה/אפשרות לצבור מעל 100 בבוחן? אולי תלכו קצת לקראתנו ותתנו עזרה כזאת או אחרת בבוחן?

אולי כדאי שיקחו זאת צעד אחד קדימה - שיעלו לנו קובץ עם התשובות לשאלות שיהיו בבוחן.

* שימו לב גם שהבוחן הוא מגן. הוא לא יכול להוריד ציון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:01, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן למתמטיקאים ==

אפשר לציין אילו תרגילי בית נכללים בחומר הלימוד לבוחן, ולהעלות פתרונות לתרגילים האלו?

תודה

*תרגילים 1-7 (נדמה לי שבשביל הקבוצה הרגילה חלק מתרגיל 5 לא בחומר... אני לא בטוח, כדאי שרוני/שי יענו לכם על זה... אני מתרגל רק תיכוניסטים).

לתרגילים 1-3 כבר העלתי פתרונות. לתרגיל 7 לא נעלה פתרון עדיין (מן הסתם). לשאר נעלה בעזרת ה'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:07, 13 במאי 2013 (IDT)

אם תוכלו לעשות את זה בהקדם (אתם והקב"ה), נודה לכם מאד (:

תודה!

== בוחן לדוגמא ==

תוכלו להעלות בוחן דמה לקראת הבוחן?

== פתרונות ==

שלום! תוכלו בבקשה להעלות את הפתרונות לתרגילים 5 ו6?? תודה רבהה וחג שמח!

== שאלות בקשר לבוחן ==

האם אפשר בבקשה לעשות קצת סדר בעניינים ולתת פרטים מדוייקים בקשר לחומר הנכלל בבוחן לקבוצה של הבוגרים.
לפי מה שרשום באתר אנחנו מבינים שתרגיל חמש לא נכלל בבוחן, מעולה!
לגבי תרגיל שבע- האם הוא נכלל בבוחן?אם כן, אנחנו צריכים פתרונות! אנחנו לא רוצים להסתמך רק על פתרונות שלנו ואח"כ לגלות בבוחן שהם לא היו מדוייקים וכו'..(שזה כבר קרה לנו בעבר)
איתמר, זה נראה שאתה היחיד שפעיל כאן אז נשמח שאם יש שאלות שצריך לברר עם שי תשאל אותו ותעדכן כאן או שתגיד לו לענות בבקשה.

תודה רבה!!:)

החומר של תרגיל 7 נכלל בבוחן.

אני מצטער אבל עדיין לא הגיע תאריך ההגשה שלו - אנחנו לא נעלה לו פתרונות.

פירוט החומר לבוחן: (תיכוניסטים+קבוצה רגילה)

חקירת פונקציות. (תרגיל 1)

שיטות אינטגרציה. (תרגילים 2-3)

אינטגרל מסוים. (תרגיל 4)

אינטגרלים לא אמיתיים משני הסוגים (תרגילים 6-7)

מה אין בבוחן:

שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים.

יישומים גאומטריים (חישוב שטח פנים, נפח , שטח, אורך עקום)

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:02, 18 במאי 2013 (IDT)

== נושאים לבוחן ==

אמרתם שכל הנושאים לבוחן הם כל החומר עד אינטגרלים לא אמיתיים אבל אמרו לנו שגם אינטגרציה נומרית לא תיכלל.

תוכלו להוסיף רשימה יותר מפורטת של הנושאים ?

עניתי למעלה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 18 במאי 2013 (IDT)

== החלפת משתנים באינטגרלים ==

מה התנאים שצריכים להתקיים על מנת שיהיה אפשר לבצע חילף משתנים באינטגרל?

* תשובה: אם יש לך אינטגרל

<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>

ואתה מבצע הצבה <math>t=g(x)</math>

אז התנאים עבור <math>g</math> הם

1) <math>g</math> מוגדרת על הקטע <math>[a,b]</math>

2) <math>g</math> חח"ע בקטע <math>[a,b]</math>

3) <math>g</math> גזירה ברציפות בקטע <math>[a,b]</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:22, 18 במאי 2013 (IDT)

== מערכי תרגול ==

אפשר בבקשה שתעלו את מערכך תרגול מס' 7 לפני הבוחן תודה מראש

* העלתי--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:27, 18 במאי 2013 (IDT)

== מועד הגשה תרגיל 7 ==

האם תרגיל 7 להגשה ביום ראשון הקרוב כרגיל או שיש דחייה בגלל הבוחן ביום שני?

*אפשר להגיש בשבוע הבא (26.5) אבל יעלה עוד תרגיל ביום ראשון גם כן לאותו תאריך--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 18 במאי 2013 (IDT)

== מיקום הבוחן ==

באיזה כיתה/ות יהיה מחר הבוחן?

* תיכוניסטים: 604 כיתה 62.

* קבוצה רגילה: 101 כיתה 2.

שעה 18:00

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 20 במאי 2013 (IDT)

== הבוחן ==

1)יהיה חקירת פונקציות? חלק אומרים שכן וחלק לא...

2)צריך לזכור הוכחות מהרצאות?

* 1) חקירת פונקציות בחומר לבוחן.

2)לא צריך לדעת הוכחות מההרצאות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:16, 20 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 I ב ==

מדוע הפונק' מוגדרת דווקא בקטע זה? יש לכך איזשהי משמעות?

* זאת טעות. התחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> הוא בשביל סעיף א.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:26, 21 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 ==

מה הכוונה בסוג תחום ההתכנסות ?

כתוב:" מצא תחום התכנסות, סוגה ואת הפונקציה הגבולית"

התכוונו לכך שתמצא את סוג ההתכנסות (במ"ש/נקודתית)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

הכוונה ש fn שואפת ל f לא במידה שווה היא שהיא שואפת ל-f נקודתית בהכרח או שיכול להיות ש מf כלל לא שואפת לשום פונקציה?

'''נתון''': fn שואפת ל f לא במ"ש.

'''צ"ל''': האם ההתכנסות היא במ"ש/נקודתית, או שבכלל אין התכנסות.

'''פתרון''': על פי הנתון: "fn שואפת ל f", ולכן fn שואפת לפונקציה f. למדנו על שני סוגים של התכנסות - נקודתית ובמ"ש. על פי הנתון ההתכנסות היא לא במ"ש, ולכן השאיפה היא בהכרח נקודתית.

מש"ל.

== תרגול 8 ==

אתם יכולים להעלות את תרגול 8 לאתר ? יש אנשים שלא כותבים כדי להקשיב.

== תרגול 8 ==

יש הרבה שלא מעתיקים אלא מקשיבים בתרגול וסומכים עליכם שתעלו את זה לאתר, אני לא מבין מה הבעיה שלכם להעלות את זה לאתר מיד אחרי התרגול, זה לוקח 10 שניות וחיוני להרבה אנשים.

''אני מניחה שאם נבקש יפה זה יהיה יותר אפקטיבי. אף אחד פה לא מנסה לעשות לנו דווקא...''

* לקחתי לתשומת ליבי. בלי נדר, בשבועות שנותרו, אני אעלה את התרגול ביום ראשון בערב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 25 במאי 2013 (IDT)

== לימודים כרגיל ==

יש היום לימודים כרגיל ? כי לא קיבלנו הודעה במייל...

בדיוק באתי לשאול את זה. יש הרצאה באינפי או בשימושי מחשב היום???

== תרגיל 9 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 9?

* לפעם הבאה שיש תרגול. מתי שזה לא יהיה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:17, 29 במאי 2013 (IDT)

ביום ראשון יש תרגול? כי לפי מה שהבנתי אין הרצאה בגלל הבגרות בתנ"ך.

* למיטב ידעתי ביום ראשון 2.6 אין תרגול לתיכוניסטים בגלל הבגרות בתנ"ך. כנראה שנצטרך תרגול השלמה אחד בגלל זה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:59, 1 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל 9 שאלה 1 ==

מותר להניח בסעיף הראשון ש <math>a \leq 1</math>?

* תשובה: לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:22, 4 ביוני 2013 (IDT)

אז <math>a\in\mathbb R</math>?

== למתי צריך להגיש את תרגילים 9 ו 10? ==

??

לתיכוניסטים: צריך להגיש את תרגיל 9 ליום ראשון הקרוב.

את תרגיל 10 לשבוע שאח"כ.

לשאר המתמטיקאים: אין לי מושג.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:10, 7 ביוני 2013 (IDT)

== מתי מגישים את התרגילים ?? ==

גם תרגיל 9 וגם תרגיל 10 זה ליום ראשון הקרוב ??

שאלה בסיסית:

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס.

תודה!

== שאלה בסיסית ==

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס בקטע 1 עד אינסוף?

תודה מראש.

גוזר :|

*1) גוזר ומראה שהנגזרת שלילית.

2) מראה בקלות שאם <math>x<y</math> אז <math>\frac{1}{2y}<\frac{1}{2x}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:13, 7 ביוני 2013 (IDT)

== רדיוס התכנסות. ==

לטור חזקות תמיד קיים רדיוס התכנסות?

* תשובה: כן. אם לוקחים בחשבון שיש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>\infty</math> ואז יש התכנסות (נקודתית) בכל <math>\mathbb{R}</math>.

ויש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>0</math> ואז יש התכנסות רק בנקודה אחת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:36, 10 ביוני 2013 (IDT)

== תרגילים 4 ו5 ==

לא מופיעים לי ציונים על תרגילים 4 ו5 על אף שהגשתי אותם
ת.ז. שלי 208544635 המתרגל שלי זה שי גול
תודה

== תרגיל 10 ==

בשאלה 2 ה' כשרשום log האם הכוונה בבסיס e או בבסיס 10?

אתה תלמיד חדש פה במקרה?

אלא אם מצוין אחרת, לפי מה שהבנתי, תמיד זה בסיס e

== שאלה לגבי התכנסות במש ==

הוכחנו שטור החזקות <math>\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k</math> בעל רדיוס R מתכנס בהחלט בקטע <math>(-R,R)</math> ובמש לכל קטע <math>[a,b]\subset(-R,R)</math>. אם <math>R=\infty</math> (רדיוס ההתכנסות) אז ההתכנסות של הטור על כל <math>\mathbb R</math> היא במ"ש?

תשובה: לא. רק על כל תת קטע סגור מהצורה <math>[-R,R]</math> יש התכנסות במ"ש אבל לא על כל <math>\mathbb{R}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה ==

האם
lim(A(n)^p) = (lim A(n))^p
כאשר n שואף לאינסוף ,p קבוע?

*תשובה: כן, זה נובע מכך ש <math>x^p</math> היא פונקציה רציפה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:34, 16 ביוני 2013 (IDT)

== פתרונות ==

שלום!! אפשר בבקשה להעלות את הפתרונות לשאר התרגילים?? די דחוף.. רוצים להתחיל ללמוד למבחן..!

== הגשת תרגיל 10 ==

האם תרגיל 10 להגשה?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 10 שאלה 4 ==

סביב איזו נקודה יש לפתח את טור החזקות? סביב 0?

*תשובה: כן. סביב <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:30, 16 ביוני 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

האם יש טורים שמתכנסים במ"ש על כל הישר (חוץ מטור שהוא זהותית 0 כמובן)? ואם כן איך אפשר להוכיח שהם כאלה ?, כי התכנסות על כל הישר לא גוררת התכנסות במ"ש על כל הישר...

* תשובה: כן. למשל הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}</math> לפי מבחן ה <math>M</math> של ווירשטראס מתכנס במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>.

אבל אין טור חזקות שמתכנס במ"ש על כל <math>\mathbb{R}</math>.

^למעט טור חזקות שהוא פולינום.

*(לא מתרגל) זה לא מדויק כל כך. מה שכן אפשר להוכיח - כל טור חזקות שיש בו אינסוף איברים לא אפס (או לחילופין שהאיבר הכללי לא מתאפס אחרי מקום מסוים) לא מתכנס במ"ש ב-R.זה תנאי מספיק והכרחי, כי אם החל ממקום מסוים הוא מתאפס, אז ברור כי הוא יתכנס במ"ש ב-R, ואם לא אז הוא לא יתכנס במ"ש ב-R.

* תשובה: נכון. לא דייקתי במה שאמרתי. מה שהלא מתרגל כתב כאן נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:30, 17 ביוני 2013 (IDT)

== סכום טורי חזקות ==

היום שאלו אותי בכיתה אם את השאלה הבאה:

אם יש 2 טורי חזקות <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math> ו <math>\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n</math> שלשניהם רדיוס התכנסות <math>R</math>.

האם ייתכן שלסכומם יהיה רדיוס התכנסות גדול יותר?

התשובה (הלא כל כך אינטיליגנטית) שעניתי הייתה שאם לוקחים <math>b_n=-a_n</math> אז הסכום שלהם הוא <math>0</math> ולזה יש רדיוס התכנסות <math>\mathbb{R}</math>.

אני יכול לתת תשובה (קצת) יותר אינטיליגנטית. נניח שנסתכל על

<math>\sum_{n=0}^{\infty}(n^n+\frac{1}{n})x^n</math> זה טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

וגם <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-n^n)x^n</math> הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

סכומם הוא הטור <math>\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n})x^n</math> שיש לו רדיוס התכנסות <math>1</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:47, 16 ביוני 2013 (IDT)

== אפשר לעלות מבחן לדוגמא ? ==

והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?

* יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

: (לא מתרגל / מרצה) תשובות:

: 1. הגבול הנ"ל שקול לגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x^n</math> עבור <math>x\in\left [ -1,1 \right ]</math>, זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).

: 2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה <math>g(x)</math> ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.

: 3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה. 
: 2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה. 
: 3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, אך במ"ש אומר שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> ולכל x בקטע מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, זה ההבדל. 
: 4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.

: מקווה שמובן, --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)

* התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

== שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב ==

הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?

נתנו רמז : טור הנדסי.

למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?

: (לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)

* שוב גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:45, 18 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות מההרצאות במבחן ==

אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?

* אני אברר ואפרסם--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:56, 26 ביוני 2013 (IDT)

*
1. פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית שם.

2. פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית שם

3. פונקציה אינט'. אמ"ם לכל אפסילון יש חלוקה כך שהפרש הסכום העליון והסכום התחתון קטן מאפסילון.

4. ע"י עידון הסכום העליון יורד

5. המבחן האינטגרלי להתכנסות טורי מספרים.

6. מבחן דיריכלה להתכנסות אינטגרלים לא אמיתים מסוג ראשון

7. מבחן ה"אם" של וירשטרס.

8. אם סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש בקטע סגור אז האינטגרלים שואפים לאינטגרל של הפונקציה הגבולית.

9 גבול במ"ש של רציפות רציפה.

10. המשפט היסודי על קיום וחישוב רדיוס ההתכנסות.

11. אם רדיוס ההתכנסות גדול מאפס אז הטור טור טיילור של הפונקציה הגבולית. -----

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:43, 27 ביוני 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי המבחן ==

א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב<math>\Leftarrow [a,b]</math> f אינטגברלית <math>\Leftrightarrow</math> לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש<math>S\bar(f,p)-S\underline(f,p)<\epsilon</math>". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?

ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?

* (לא מתרגל) א. כן

* ב. רוני ביתן עושה תרגול חזרה ב 3.7 - אני מניח שהוא לא יתנגד שיגיעו אליו גם מקבוצות אחרות.

בנוסף אפשר כמובן להעלות הנה כל שאלה שיש לכם - אני אדגום את הmath-wiki בתדירות גבוהה בשבוע הבא.

אפשר גם לבוא אלי באוניברסיטה כדי לשאול שאלות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:46, 27 ביוני 2013 (IDT)

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

* אני אשתדל לגרד כמה שאלות מאיפשהוא - אני לא מבטיח שאני אספיק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות למבחן ==

אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...

* יש לי שתי הצעות בשבילך.

1) יש בדף הראשי קישור לסיכומי הרצאות משנה שעברה - אני בטוח שיש שם הוכחות לכל המשפטים שצריך.

2) אתם יכולים להעלות בעצמכם הוכחות למשפטים (ש11 סטודנטים ייקחו כל אחד משפט, יכתבו את ההוכחה שלו ויעלו הנה).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 26 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן ==

משפט 3 שאנו צריכים לדעת להוכחה למבחן הוא: 
f חסומה ב-[a,b] אינטגרבילית ב-[a,b] אמ"מ לכל ε>0:
 
 
<math>
\overline{S}(f,T) - \underline{S}(f,T) \le \varepsilon
</math>
 
האם הכוונה היא לתנאי רימן לאינטגרביליות (תנאי הכרחי ומספיק) או למשפט אחר? תודה

* נראה לי שהכוונה היא להוכיח שתנאי דרבו לאינטגרביליות שקול למה שכתבת אבל אני אברר כדי להיות בטוח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:49, 26 ביוני 2013 (IDT)
 
* האם מדובר במשפט מספר 5 כאן: [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94/22.2.11] ואם כן, האם מותר להתבסס על משפט מספר 4 על מנת להוכיח את הכיוון הראשון?

* כן זה משפט 5. לא נראה לי שאפשר להסתמך על משפט 4 שם. זה חלק ממה שצריך להראות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:48, 27 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 5 ==

להרבה חסר הציון בתרגיל 5.

טוב לדעת.

== שאלה לגבי המבחן ==

האם המבחן של ד"ר גדעון עמיר הוא אותו המבחן של דר הורוביץ ?
צריך ללמוד את אותן ההוכחות?

זאת התשובה של ד"ר עמיר

I gave the list of 11 propositions in class. Basically its the same list, but I may have explained it differently.
Of course they should know things according to what I said in class.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:29, 30 ביוני 2013 (IDT)

== משפט 10 ברשימת משפטים להוכחה ==

"קיום וחישוב של רדיוס ההתכנסות של טור חזקות" - אני מניח ש"קיום" הכוונה שקיים R כך שלכל zzz |x|<R zzz הטור מתכנס ולכל zzz |x|>R zzz הטור מתבדר, אבל למה הכוונה "חישוב"?
:קושי-הדמר

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-06-26T17:18:12Z

ABAB: /* שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגילים ==

תרגילים למתמטיקאים זה גם התרגילים לתיכוניסטים?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 4 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה ב ==

לגבי תרגיל 1. האם השאלה השניה (מציאת משוואת ישר) קשורה לחומר שנלמד, או שמדובר בטעות? (מאחר והנושא כלל לא נלמד בשיעור)

:משוואת ישר זה לא החלק הקשה, אתם אמורים לצלוח אותו באמצעות ידע מהתיכון. הקשר לנושא הוא המשפט "בעל שטח מינמלי", כאשר את זה מחשבים באמצעות חקירת פונקציות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה ב ==

המשולש המינימלי - הכוונה למשולש שנוצר על ידי הישר , ציר הX , ואנך לציר הX , או הישר , ציר הY ואנך לציר הY?
:אמנם זה לא התרגיל של הקבוצה שלי, אבל דווקא אני הייתי מנחש שזה משולש שהצלעות שלו הן שני הצירים והישר הנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

מצטער על התגובה המאוחרת. ארז צודק. הכוונה למשולש שנוצר עם הצירים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:23, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגילים לקבוצת הבוגרים ==

צריך להגיש אחרי שבוע או שבועיים?

== תרגיל 1 מתמטיקאים שאלה ב ==

יכול להיות שנפלה טעות והמשולש יוצר שטח מקסימלי ברביע הראשון?
:לא פתרתי את התרגיל, אבל על פניו זה לא נשמע סביר. אם ניקח את הקו הישר להיות כמעט מקביל לציר y או כמעט מקביל לציר x נקבל משולשים עם שטחים ששואפים לאינסוף. יותר סביר שיש לך טעות חישוב. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

ושוב ארז צודק. אין טעות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:25, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 2 מתמטיקאים ==

האם לא אמור להיות <math>\alpha\neq -1</math>? אם <math>\alpha=1</math> או <math>\alpha\neq -1</math> ניתן לפתור באמצעות אינטגרציה בחלקים, אבל עם <math>\alpha=-1</math> זה לא עובד, וצריך הצבה... --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:38, 14 במרץ 2013 (IST)

תשובה: אתה צודק. הטעות תוקנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:38, 15 במרץ 2013 (IST)

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

תשובה: לא. חוזרים ללימודים ביום רביעי 3.3.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:54, 29 במרץ 2013 (IDT)

ממתי אנחנו לומדים ביום רביעי?

???????????????????????????

(לא מתרגל / מרצה) ביום רביעי ממשיכים הלימודים לפי המערכת הרגילה. אם אינך לומד ביום רביעי, אתה חוזר ביום ראשון שאחריו --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:41, 30 במרץ 2013 (IDT)

אז רק מי שעושה פיזיקה לומד ביום רביעי?

== תרגיל -3 אינפי2 מדעי המחשב...שאלה 1 סעיף 3...חקירת הפונקציה (y=x+sin(2x ==

כמה שאלות:

1 . לגבי מציאת אסימפטוטות אופקיות...

אם אני מבין נכון, אסימפטוטה אופקית זה מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת.

נניח אני רוצה לבדוק האם קיימת אסימפטוטה אופקית, מה שעליי לעשות, זה לבדוק מה קורה בגבול

lim((sin(2x)+x-(ax+b)) הזה? כאשר x שואף פעם אחת לאינסוף ופעם שנייה למינוס אינסוף?

2. בהמשך לשאלה 1. אם אני מקבל ש- a=0, אז y=b תיהיה אסימפטוטה אופקית?

3. באופן כללי, אפשר לומר שכדי למצוא אסימפטוטות משופעות/אופקיות, אני צריך לבצע את החישוב

lim(f(x)-(ax+b) כאשר x שואף פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף, וכל תוצאה עבור a ו b תהווה אסימפטוטה משופעת כאשר

במקרה ספציפי שבו a=0, אקבל אסימפטוטה אופקית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) השיטה שאתה מציג נכונה אבל לפעמים לא יעילה, מפני שאתה צריך לנחש מראש את האסימפטוטה. אבל, לפי הפיתוח שהראת, הרי שיש אסימפטוטה אופקית אם ורק אם <math>lim f(x)-ax-b=0</math> (ב+ או - אינסוף) וזה אם ורק אם <math>lim f(x)-ax= lim(b)</math>, אבל לפי אריתמטיקה של גבולות אפשר לרשום <math>lim (f(x)-ax)/x=lim b/x=0</math>, כלומר <math>lim f(x)/x-a=0</math> או <math>a=lim f(x)/x</math>.

מכל זה אפשר להסיק - יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a. אם כן, אז מוצאים את b על ידי הגבול b=lim f(x)-ax (שוב, הגבולות הם באינסוף או ב(-) אינסוף).

2. כן.

3.אין דבר כזה כל תוצאה, לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף. לפי האמור לעיל, אפשר להסיק שאם יש אסימפטוטה משופעת, היא אחת.
:3. מה פתאום, יכולה להיות אסימ' אופקית שונה בשני הקצוות.

*כמובן, אמרתי והתכוונתי בקצה אחד (הרי רשום - 'לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף').

הערה:

ציטוט: יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a

זה לא נכון.

התרגיל הזה זאת דוגמא.

אם <math>f(x)=\sin(x)</math> אז

<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0</math>

אבל <math>\lim _{x\rightarrow \infty}\sin(x)</math> לא קיים ולכן אין אסימפטוטה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:14, 3 באפריל 2013 (IDT)

== 2 שאלות נוספות בהמשך להודעה האחרונה ==

1. אם אני בודק האם קיום אסימפטוטה משופעת לפונקציה בדרך שציינתי מקודם,ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה יתקבל בחישוב הזה?..הרי אני לא יודע מראש אם יש או אין אסימפטוטה משופעת. נניח אני עושה את החישוב
lim(f(x)-(ax+b) ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה אני אקבל בחישוב הזה, וכיצד זה יתבטא בערכים של a ו b?

2. מה הסיבה שעל מנת למצוא אסימפטוטה משופעת של פונקציה, אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול של הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף?

שוב, תודה מראש.

*(לא מתרגל) אני חושב שהתשובה נמצאת בתגובה לשאלתך הראשונה (אגב מומלץ לערוך את השאלה הקודמת ולרכז הכל שם, יותר נוח ופחות מעמיס לכלל הקוראים).

2. אם יש אסימפטוטה משופעת ax+b שבה a אינו 0, אז ((lim(f(x הוא אינסוף אם a>0 ומינוס אינסוף אם a<0, זה תנאי הכרחי (שוב, בהתאמה באינסוף או מינוס אינסוף). אם a=0 אז הגבול הוא b.

אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול באינסוף או מינוס אינסוף, כי אם הוא יוצא אינסוף אי אפשר לדעת אם יש אסימפטוטה משופעת או לא. שתי דוגמאות פשוטות לכך הן e^x ו-x, לשתיהן גבול אינסוף באינסוף, אך לראשונה אין אס' משופעת ולשנייה יש, שהיא בעצם היא עצמה.

== למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף? ==

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?
: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin2x%2Fx
: סינוס חסומה.

הערה: אני רק רוצה להעיר למען הסר ספק.

השאלה מה האסימפטוטות המשופעות של <math>x+\sin(2x)</math> היא שאלה לגיטימית
(והתשובה היא שאין לה) אבל היא לא נדרשת בשיעורי בית.

בשיעורי בית אתם מתבקשים לחקור את <math>x+\sin(2x)</math> בתוך תחום מסוים <math>[-2\pi,2\pi]</math> אז ממילא אין מה לומר לגבי אסימפטוטות שלה באינסוף או מינוס אינסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 3 באפריל 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

אפשר רמז ל6 [http://www.math.technion.ac.il/courses/104195/test/2005/spr_final2.pdf פה]?

זה אינפי 1, אבל מעניין.

* (לא מתרגל) אממ, זה לא הכי קשור לאינפי 2 של בר אילן, אבל בכל מקרה אפשר לפתור. רצית רמז אז אנסה להביא משהו מועיל, נסה/נסי להשתמש בהגדרה של רציפות במ"ש לפי היינה. אוכל גם להביא פתרון שלי, כי רמז אחר הוא למעשה הפתרון.

:תודה. נראה לי שפתרתי: מה שרוצים קורה אםם על כל סדרה עולה נקבל את הגבול הזה כגבול סדרות. לכן תהי <math>x_n</math> סדרה עולה, ונגדיר <math>y_n=\sqrt{x_n^2+5}</math>, אז נוכיח שהמרחק ביניהן שואף לאפס ואז נקבל לפי תנאי היינה לבמ"ש שמתקיים <math>|f(x_n)-f(y_n)|\rightarrow 0</math> ולכן <math>f(\sqrt{x_n^2+5})-f(x_n)\rightarrow 0</math> ומש"ל.

*(לא מתרגל) כן, זה נראה בסדר, רק הייתי אומר שהגבול של xn כשn שואף לאינסוף הוא אינסוף.
:כן, לזה התכוונתי. (עולה זה לא נכון, למשל הסדרה ל-e)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

אפשר רמז לסעיף 1 בשאלה 2?

== תרגיל 4 שאלה 5 סעיף ב' ==

אני חושב שצריך גם לדרוש m שונה מn-, או לחילופין |m| שונה מ|n|.

תשובה: נכון. רציתי לכתוב טבעיים וכתבתי בטעות שלמים. אני אתקן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 (תיכוניסטים) ==

בשאלה 6ב - איך עושים חישוב של הנפח סביב ציר Y (זה טעות? התכוונו לציר X?)תודה.

*(לא מתרגל) האמת שמבט נוסף יביא למסקנה שזה אותו נפח ביחס לכל אחד מהצירים.

* תשובה: זאת לא טעות. גם אם זה לא אותו נפח כמו סיבוב סביב ציר <math>x</math> (מה שבמקרה באמת קורה כאן)

אפשר לחשב נפח סיבוב סביב ציר <math>y</math> ע"י כך שמתייחסים כאילו הפונקציות הן פונקציות של <math>x</math> לפי <math>y</math>

(הפוך מההסתכלות הרגילה) ואז עושים אינטגרציה (לפי הנוסחא) לפי <math>y</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:01, 19 באפריל 2013 (IDT)

== תרגול - תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערך תרגול 4+5 לאתר ?
תודה רבה!

== איך מגדירים נפח גוף סיבוב סביב ציר Y? ==

יש שתי דרכים טריוויאליות:

1. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר X, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

2. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר Y, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

לי לפחות נראה ש 2. היא ההגדרה הנכונה, אך מהי ההגדרה המדויקת של נפח גוף הסיבוב?

*(לא מתרגל) אני מאמין שהגדרה 2 היא נכונה. פשוט אפשר להסתכל על ההגדרה המקורית עם ציר X, ולהחליף כל פעם Y בX.

* תשובה: אין כזה דבר נפח סיבוב של פונקציה סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

יש כזה דבר נפח גוף סיבוב סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

במילים אחרות, קודם צריך להגיד לך מה השטח שאתה צריך לסובב, ואח"כ אפשר לחשב מה הנפח של הסיבוב שלו סביב משהו.

לכן שתי האפשרויות שכתבת הן לגיטימיות, תלוי מה מבקשים לחשב.

בשיעורי הבית התחום שצריך לסובב הוגדר בצורה מדויקת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:58, 19 באפריל 2013 (IDT)

* במחשבה שניה, הבנתי שמה שאתה שואל זה מה המשמעות של

<math>\pi\displaystyle{\int_a^b }f^2(y)\mathrm{d}y</math>

והתשובה היא אופציה 2 שכתבת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:31, 19 באפריל 2013 (IDT)

== כמה שאלות ==

נתונה לי הפונקציה f(x)=x-2arctanx

1.
מדוע f גזירה בכל הממשיים?

2.
על מנת להראות שפונקציה גזירה בנקודה ספציפית, יש להראות שמתקיימת הגדרת הנגזרת?
3.
אם רוצים להראות שפונקציה גזירה על תחום/קטע מסוים, אני מניח שאי אפשר להשתמש בהגדרת הנגזרת, כי כעת מדובר על תחום, ולא על נקודה ספציפית. איך בכל זאת אפשר לדעת?

4.
למה tanx אי זוגית?
5.
למה מכך ש-tanx אי זוגית, ניתן להסיק ש-arctanx אי זוגית גם כן?

תודה מראש!

(סטודנט)
1. x גזירה וגם arctanx ידוע שמכפלה של קבועה בגזירה גם גזיר ושהפרש של גזירות גזיר ולכן הפ' גזירה

2.כן(שים לב שהגבול הימני צריך להיות שווה לגבול השמאלי)

3. ע"פ הגדרת הגבול במקום שx ישאף לx0 מסוים(לדוגמא 2) הוא ישאף לכל x0 ששייך לקטע

4. כי מתקיים f(-x)=-f(x) a שtanx=sinx/cox tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx

5. arctan(tanx)=x
arctan(-tanx)=arctan(tan-x)=-x
לכן אי זוגית

== אסימפטוטה אנכית ==

1.באיזה מצבים לפונקציה f תיהיה אסימפטוטה אנכית?

2. בעצם אני יכול לומר שאם אני רוצה למצוא אסימפטוטות אנכיות של פונקציה מסויימת, אני צריך לבדוק האם לפונקציה יש נקודות אי רציפות ממין שני, ואם כן, אז בנקודות הללו ל-f יש אסימפטוטה אנכית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) אסימפטוטה אנכית מוגדרת כאשר יש נק' אי רציפות ממין שני, אז כן, הדברים שקולים. מספיק שגבול מימין/משמאל בנק' מסוימת הוא אינסוף או מינוס אינסוף, זוהי אסימפטוטה אנכית ונק' אי רציפות ממין שני.

== העלאת התרגילים ==

אפשר להעלות את התרגילים השבועיים מוקדם יותר ?
הם תמיד עולים יומיים שלושה אחרי התירגול...

* אתה יכול לציין על איזה קבוצה מדובר? החלק הזה של שאלות ותשובות משרת מדמ"ח, מתמטיקאים ותיכוניסטים (מ2 קבוצות הרצאה).

למיטב ידיעתי, בקורסים שאני מתרגל אנחנו מקפידים להעלות תרגילים לפחות שבוע לפני מועד ההגשה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:09, 23 באפריל 2013 (IDT)

*(לא שואל השאלה)(תיכוניסטים) לדוגמא השבוע, התרגיל עדיין לא עלה ולפי מה שאני מבין הוא להגשה בראשון הקרוב.
*(שואל השאלה) אני מקבוצת התיכוניסטים ועל הקבוצה הזו דיברתי וכמו שנאמר למעלה התרגיל שלנו עדיין לא עלה

*השבוע לא הייתי כל כך בעניינים... אני אבדוק.
אבל בשבועות הקודמים התרגיל של התיכוניסטים עלה תמיד בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 24 באפריל 2013 (IDT)

* כן, השבוע הייתה בעיה. העלנו תרגיל רק עכשיו. היות ואין תרגול בל"ג בעומר זה עדיין משאיר לכם יותר משבוע לפתור את התרגיל.

כמו שכתבתי, אני אקפיד שבעתיד זה יעלה בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:43, 25 באפריל 2013 (IDT)

== נקודות קיצון/פיתול ==

אם קבלתי שהנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסויימת ואני רואה שהנגזרת הראשונה, משניי צידי הנקודה, אינה משנה סימן. האם ניתן
להסיק מכך שהנק' היא נקודת פיתול, מבלי בכלל להתעסק עם נגזרת שנייה?

כן, ניתן להסיק זאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:37, 24 באפריל 2013 (IDT)

== הרצאה בלוג בעומר ==

יש הרצאה לתלמידי שמחה?

== הרצאה ביום ראשון ==

שמעתי שביום ראשון התבטלה ההרצאה של מיכאל שיין. גם ההרצאה של שמחה הורוביץ התבטלה ?

אנא תשובה בהקדם ! תודה.

*(לא מתרגל) בוטלו ההרצאה והתרגול, מלי שלחה על כך מייל:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 2

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

ביום ראשון הקרוב ל"ג בעומר 28/4/13 לא יתקיימו לימודים באינפ' 2 הרצאה ותרגיל

ביום שני הבוחן בשימושי מחשב מתוכנן כרגיל

== תאריכי הגשה ==

אם אפשר בבקשה להוסיף תאריכי הגשה לקבוצות התרגול השונות (מרוב ביטולי תרגילים לא ברור למתי צריך להגיש)

== תרגיל 5 ==

המתמטיקאים אמורים לדעת לענות על השאלות האלו?
(להזכירכם, לא למדנו בהרצאה (של ד"ר עמיר) את הנושא של נפח ושטח, וכל הידע שלנו מתבסס על התרגול.)

== שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל 5 ==

כשמבצעים אינטגרציה חובה שהאינטגרל יכיל <math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}ds</math>? או שיתקבל גם שימוש ב<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}ds</math>?

*תשובה:

הכוונה היא פשוט לחשב את האורך המדובר באמצעות אינטגרל ולא באמצעות נוסחאות אחרות שאתם מכירים.

כלומר אפשר לחשב את האורך בכל שיטה עם אינטגרל שתתן לכם תשובה נכונה.

דרך אגב, הנוסחאות הן עם <math>\mathrm{d}x</math>

<math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math>

<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}dx</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:44, 2 במאי 2013 (IDT)
== שאלה לגבי ציוני תרגיל לתיכוניסטים ==
פעם שעברה לא עניתם לי.. חיכיתי שבוע ועוד לא ענו לי.. אני מקווה שזה ימשוך את צומת ליבכם ולא 'תפספסו' את השאלה שלי שוב ! ;)

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!שאלה חשובה מאוד!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

>>>>>>>>>>> בקובץ ציונים שהעלו חסר לי את הציון על התרגיל השני. חסרים ציונים שם? יעלו אותם בקרוב? <<<<<<<<<<<<<

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~אודה להתייחסות!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

כל החצים וסימני הקריאה מפריעים לי להתעלם מהשאלה שלך.

* העלתי קובץ יותר מעודכן. אם תרגיל 2 שלך לא נמצא שם. תפנה למתרגל שלך.

בדומה אני לא אתפלא אם חלק מתרגילי 3 עדיין לא מעודכנים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:03, 6 במאי 2013 (IDT)

* * * * * * * * * * * כן יש ציון תודה !

== מערכי תרגול- תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערכי התרגול העדכניים?

אמרתם שכל פעם אחרי התרגול אתם תעלו את מערך התרגול לאתר..

יש אנשים שלא מעתיקים (ומעדיפים להתרכז בהקשבה ובהאזנה) ובונים על מערך התרגול.

תודה רבה!

== תרגיל 6 ==

בשאלה 5 הכוונה לעיגול כלפי מטה או עיגול כלפי מעלה?

* תשובה: כלפי מטה.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:53, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 סעיף א ==

אפשר רמז בבקשה

* אני פתרתי אותו עם מבחן ההשוואה (הרגיל). מקווה שזה עוזר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:56, 9 במאי 2013 (IDT)

תודה :]

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

"חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס" - צריך רק לקבוע האם מתכנס (ע"י מבחן השוואה) או גם לחשב את ערך הגבול?

תשובה: רק להחליט אם הם מתכנסים. לא צריך לחשב את הגבול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:52, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 5 מתמטיקאים ==

מה הכוונה "אינטגרבילית מקומית"?

*(לא מתרגל) לדוגמא בקטע a עד אינסוף, הפונקציה תקרא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [a,b] עבור b>a.

* כן. קיבלתי את הרושם שככה הגדירו לכם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:06, 11 במאי 2013 (IDT)

== בוחן - תיכוניסטים ==

השאלות יהיו בסגנון של השאלות שהיו בשיעורי בית? חישוב אינטרגלים וכדומה?

מאיפה מומלץ לעשות חזרה לבוחן? יהיה אפשר לעלות שאלות ותשובות לשאלות בסגנון משנים קומות?

*כן. זה יהיה בסגנון השיעורי בית.

חוץ מאשר לעבור על ההרצאות + תרגולים+ שיעורי בית. אני חושב שבספר אינפי של צבאן (יש באתר שלו) יש שאלות טובות מכל מיני סוגים (כמובן שחלקן כבר הופיעו בתרגולים ובש"ב) אתם יכולים גם כמובן לעשות תרגילים ממבחנים שיש ב math-wiki. חוץ מזה באינפי יש מליון תרגילים באינטרנט... לי אין איזשהיא המלצה ספציפית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:57, 13 במאי 2013 (IDT)

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיו גם שאלות שיהיה צריך להוכיח בהו טענות או רק תרגילים חישוביים ?

* תשובה: יכול להיות שתדרשו להוכיח משהו "תיאורטי". אבל אין צורך לזכור בעל פה הוכחות שראיתם בכיתה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:58, 13 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 ==

בשאלה 2 2 הפונקציה לא מוגדרת בכל התחום של האינטגרל זה בכלל אפשרי?

* טעות שלנו. אני אתקן את זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן לתיכוניסטים ==

למה אין שאלת בונוס/שאלת בחירה/אפשרות לצבור מעל 100 בבוחן? אולי תלכו קצת לקראתנו ותתנו עזרה כזאת או אחרת בבוחן?

אולי כדאי שיקחו זאת צעד אחד קדימה - שיעלו לנו קובץ עם התשובות לשאלות שיהיו בבוחן.

* שימו לב גם שהבוחן הוא מגן. הוא לא יכול להוריד ציון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:01, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן למתמטיקאים ==

אפשר לציין אילו תרגילי בית נכללים בחומר הלימוד לבוחן, ולהעלות פתרונות לתרגילים האלו?

תודה

*תרגילים 1-7 (נדמה לי שבשביל הקבוצה הרגילה חלק מתרגיל 5 לא בחומר... אני לא בטוח, כדאי שרוני/שי יענו לכם על זה... אני מתרגל רק תיכוניסטים).

לתרגילים 1-3 כבר העלתי פתרונות. לתרגיל 7 לא נעלה פתרון עדיין (מן הסתם). לשאר נעלה בעזרת ה'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:07, 13 במאי 2013 (IDT)

אם תוכלו לעשות את זה בהקדם (אתם והקב"ה), נודה לכם מאד (:

תודה!

== בוחן לדוגמא ==

תוכלו להעלות בוחן דמה לקראת הבוחן?

== פתרונות ==

שלום! תוכלו בבקשה להעלות את הפתרונות לתרגילים 5 ו6?? תודה רבהה וחג שמח!

== שאלות בקשר לבוחן ==

האם אפשר בבקשה לעשות קצת סדר בעניינים ולתת פרטים מדוייקים בקשר לחומר הנכלל בבוחן לקבוצה של הבוגרים.
לפי מה שרשום באתר אנחנו מבינים שתרגיל חמש לא נכלל בבוחן, מעולה!
לגבי תרגיל שבע- האם הוא נכלל בבוחן?אם כן, אנחנו צריכים פתרונות! אנחנו לא רוצים להסתמך רק על פתרונות שלנו ואח"כ לגלות בבוחן שהם לא היו מדוייקים וכו'..(שזה כבר קרה לנו בעבר)
איתמר, זה נראה שאתה היחיד שפעיל כאן אז נשמח שאם יש שאלות שצריך לברר עם שי תשאל אותו ותעדכן כאן או שתגיד לו לענות בבקשה.

תודה רבה!!:)

החומר של תרגיל 7 נכלל בבוחן.

אני מצטער אבל עדיין לא הגיע תאריך ההגשה שלו - אנחנו לא נעלה לו פתרונות.

פירוט החומר לבוחן: (תיכוניסטים+קבוצה רגילה)

חקירת פונקציות. (תרגיל 1)

שיטות אינטגרציה. (תרגילים 2-3)

אינטגרל מסוים. (תרגיל 4)

אינטגרלים לא אמיתיים משני הסוגים (תרגילים 6-7)

מה אין בבוחן:

שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים.

יישומים גאומטריים (חישוב שטח פנים, נפח , שטח, אורך עקום)

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:02, 18 במאי 2013 (IDT)

== נושאים לבוחן ==

אמרתם שכל הנושאים לבוחן הם כל החומר עד אינטגרלים לא אמיתיים אבל אמרו לנו שגם אינטגרציה נומרית לא תיכלל.

תוכלו להוסיף רשימה יותר מפורטת של הנושאים ?

עניתי למעלה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 18 במאי 2013 (IDT)

== החלפת משתנים באינטגרלים ==

מה התנאים שצריכים להתקיים על מנת שיהיה אפשר לבצע חילף משתנים באינטגרל?

* תשובה: אם יש לך אינטגרל

<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>

ואתה מבצע הצבה <math>t=g(x)</math>

אז התנאים עבור <math>g</math> הם

1) <math>g</math> מוגדרת על הקטע <math>[a,b]</math>

2) <math>g</math> חח"ע בקטע <math>[a,b]</math>

3) <math>g</math> גזירה ברציפות בקטע <math>[a,b]</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:22, 18 במאי 2013 (IDT)

== מערכי תרגול ==

אפשר בבקשה שתעלו את מערכך תרגול מס' 7 לפני הבוחן תודה מראש

* העלתי--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:27, 18 במאי 2013 (IDT)

== מועד הגשה תרגיל 7 ==

האם תרגיל 7 להגשה ביום ראשון הקרוב כרגיל או שיש דחייה בגלל הבוחן ביום שני?

*אפשר להגיש בשבוע הבא (26.5) אבל יעלה עוד תרגיל ביום ראשון גם כן לאותו תאריך--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 18 במאי 2013 (IDT)

== מיקום הבוחן ==

באיזה כיתה/ות יהיה מחר הבוחן?

* תיכוניסטים: 604 כיתה 62.

* קבוצה רגילה: 101 כיתה 2.

שעה 18:00

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 20 במאי 2013 (IDT)

== הבוחן ==

1)יהיה חקירת פונקציות? חלק אומרים שכן וחלק לא...

2)צריך לזכור הוכחות מהרצאות?

* 1) חקירת פונקציות בחומר לבוחן.

2)לא צריך לדעת הוכחות מההרצאות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:16, 20 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 I ב ==

מדוע הפונק' מוגדרת דווקא בקטע זה? יש לכך איזשהי משמעות?

* זאת טעות. התחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> הוא בשביל סעיף א.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:26, 21 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 ==

מה הכוונה בסוג תחום ההתכנסות ?

כתוב:" מצא תחום התכנסות, סוגה ואת הפונקציה הגבולית"

התכוונו לכך שתמצא את סוג ההתכנסות (במ"ש/נקודתית)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

הכוונה ש fn שואפת ל f לא במידה שווה היא שהיא שואפת ל-f נקודתית בהכרח או שיכול להיות ש מf כלל לא שואפת לשום פונקציה?

'''נתון''': fn שואפת ל f לא במ"ש.

'''צ"ל''': האם ההתכנסות היא במ"ש/נקודתית, או שבכלל אין התכנסות.

'''פתרון''': על פי הנתון: "fn שואפת ל f", ולכן fn שואפת לפונקציה f. למדנו על שני סוגים של התכנסות - נקודתית ובמ"ש. על פי הנתון ההתכנסות היא לא במ"ש, ולכן השאיפה היא בהכרח נקודתית.

מש"ל.

== תרגול 8 ==

אתם יכולים להעלות את תרגול 8 לאתר ? יש אנשים שלא כותבים כדי להקשיב.

== תרגול 8 ==

יש הרבה שלא מעתיקים אלא מקשיבים בתרגול וסומכים עליכם שתעלו את זה לאתר, אני לא מבין מה הבעיה שלכם להעלות את זה לאתר מיד אחרי התרגול, זה לוקח 10 שניות וחיוני להרבה אנשים.

''אני מניחה שאם נבקש יפה זה יהיה יותר אפקטיבי. אף אחד פה לא מנסה לעשות לנו דווקא...''

* לקחתי לתשומת ליבי. בלי נדר, בשבועות שנותרו, אני אעלה את התרגול ביום ראשון בערב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 25 במאי 2013 (IDT)

== לימודים כרגיל ==

יש היום לימודים כרגיל ? כי לא קיבלנו הודעה במייל...

בדיוק באתי לשאול את זה. יש הרצאה באינפי או בשימושי מחשב היום???

== תרגיל 9 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 9?

* לפעם הבאה שיש תרגול. מתי שזה לא יהיה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:17, 29 במאי 2013 (IDT)

ביום ראשון יש תרגול? כי לפי מה שהבנתי אין הרצאה בגלל הבגרות בתנ"ך.

* למיטב ידעתי ביום ראשון 2.6 אין תרגול לתיכוניסטים בגלל הבגרות בתנ"ך. כנראה שנצטרך תרגול השלמה אחד בגלל זה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:59, 1 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל 9 שאלה 1 ==

מותר להניח בסעיף הראשון ש <math>a \leq 1</math>?

* תשובה: לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:22, 4 ביוני 2013 (IDT)

אז <math>a\in\mathbb R</math>?

== למתי צריך להגיש את תרגילים 9 ו 10? ==

??

לתיכוניסטים: צריך להגיש את תרגיל 9 ליום ראשון הקרוב.

את תרגיל 10 לשבוע שאח"כ.

לשאר המתמטיקאים: אין לי מושג.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:10, 7 ביוני 2013 (IDT)

== מתי מגישים את התרגילים ?? ==

גם תרגיל 9 וגם תרגיל 10 זה ליום ראשון הקרוב ??

שאלה בסיסית:

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס.

תודה!

== שאלה בסיסית ==

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס בקטע 1 עד אינסוף?

תודה מראש.

גוזר :|

*1) גוזר ומראה שהנגזרת שלילית.

2) מראה בקלות שאם <math>x<y</math> אז <math>\frac{1}{2y}<\frac{1}{2x}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:13, 7 ביוני 2013 (IDT)

== רדיוס התכנסות. ==

לטור חזקות תמיד קיים רדיוס התכנסות?

* תשובה: כן. אם לוקחים בחשבון שיש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>\infty</math> ואז יש התכנסות (נקודתית) בכל <math>\mathbb{R}</math>.

ויש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>0</math> ואז יש התכנסות רק בנקודה אחת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:36, 10 ביוני 2013 (IDT)

== תרגילים 4 ו5 ==

לא מופיעים לי ציונים על תרגילים 4 ו5 על אף שהגשתי אותם
ת.ז. שלי 208544635 המתרגל שלי זה שי גול
תודה

== תרגיל 10 ==

בשאלה 2 ה' כשרשום log האם הכוונה בבסיס e או בבסיס 10?

אתה תלמיד חדש פה במקרה?

אלא אם מצוין אחרת, לפי מה שהבנתי, תמיד זה בסיס e

== שאלה לגבי התכנסות במש ==

הוכחנו שטור החזקות <math>\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k</math> בעל רדיוס R מתכנס בהחלט בקטע <math>(-R,R)</math> ובמש לכל קטע <math>[a,b]\subset(-R,R)</math>. אם <math>R=\infty</math> (רדיוס ההתכנסות) אז ההתכנסות של הטור על כל <math>\mathbb R</math> היא במ"ש?

תשובה: לא. רק על כל תת קטע סגור מהצורה <math>[-R,R]</math> יש התכנסות במ"ש אבל לא על כל <math>\mathbb{R}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה ==

האם
lim(A(n)^p) = (lim A(n))^p
כאשר n שואף לאינסוף ,p קבוע?

*תשובה: כן, זה נובע מכך ש <math>x^p</math> היא פונקציה רציפה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:34, 16 ביוני 2013 (IDT)

== פתרונות ==

שלום!! אפשר בבקשה להעלות את הפתרונות לשאר התרגילים?? די דחוף.. רוצים להתחיל ללמוד למבחן..!

== הגשת תרגיל 10 ==

האם תרגיל 10 להגשה?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 10 שאלה 4 ==

סביב איזו נקודה יש לפתח את טור החזקות? סביב 0?

*תשובה: כן. סביב <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:30, 16 ביוני 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

האם יש טורים שמתכנסים במ"ש על כל הישר (חוץ מטור שהוא זהותית 0 כמובן)? ואם כן איך אפשר להוכיח שהם כאלה ?, כי התכנסות על כל הישר לא גוררת התכנסות במ"ש על כל הישר...

* תשובה: כן. למשל הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}</math> לפי מבחן ה <math>M</math> של ווירשטראס מתכנס במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>.

אבל אין טור חזקות שמתכנס במ"ש על כל <math>\mathbb{R}</math>.

^למעט טור חזקות שהוא פולינום.

*(לא מתרגל) זה לא מדויק כל כך. מה שכן אפשר להוכיח - כל טור חזקות שיש בו אינסוף איברים לא אפס (או לחילופין שהאיבר הכללי לא מתאפס אחרי מקום מסוים) לא מתכנס במ"ש ב-R.זה תנאי מספיק והכרחי, כי אם החל ממקום מסוים הוא מתאפס, אז ברור כי הוא יתכנס במ"ש ב-R, ואם לא אז הוא לא יתכנס במ"ש ב-R.

* תשובה: נכון. לא דייקתי במה שאמרתי. מה שהלא מתרגל כתב כאן נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:30, 17 ביוני 2013 (IDT)

== סכום טורי חזקות ==

היום שאלו אותי בכיתה אם את השאלה הבאה:

אם יש 2 טורי חזקות <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math> ו <math>\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n</math> שלשניהם רדיוס התכנסות <math>R</math>.

האם ייתכן שלסכומם יהיה רדיוס התכנסות גדול יותר?

התשובה (הלא כל כך אינטיליגנטית) שעניתי הייתה שאם לוקחים <math>b_n=-a_n</math> אז הסכום שלהם הוא <math>0</math> ולזה יש רדיוס התכנסות <math>\mathbb{R}</math>.

אני יכול לתת תשובה (קצת) יותר אינטיליגנטית. נניח שנסתכל על

<math>\sum_{n=0}^{\infty}(n^n+\frac{1}{n})x^n</math> זה טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

וגם <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-n^n)x^n</math> הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

סכומם הוא הטור <math>\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n})x^n</math> שיש לו רדיוס התכנסות <math>1</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:47, 16 ביוני 2013 (IDT)

== אפשר לעלות מבחן לדוגמא ? ==

והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?

* יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

: (לא מתרגל / מרצה) תשובות:

: 1. הגבול הנ"ל שקול לגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x^n</math> עבור <math>x\in\left [ -1,1 \right ]</math>, זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).

: 2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה <math>g(x)</math> ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.

: 3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה. 
: 2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה. 
: 3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, אך במ"ש אומר שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> ולכל x בקטע מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, זה ההבדל. 
: 4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.

: מקווה שמובן, --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)

* התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

== שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב ==

הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?

נתנו רמז : טור הנדסי.

למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?

: (לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)

* שוב גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:45, 18 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות מההרצאות במבחן ==

אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?

* אני אברר ואפרסם--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:56, 26 ביוני 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי המבחן ==

א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב<math>\Leftarrow [a,b]</math> f אינטגברלית <math>\Leftrightarrow</math> לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש<math>S\bar(f,p)-S\underline(f,p)<\epsilon</math>". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?

ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?

* (לא מתרגל) א. כן

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== הוכחות למבחן ==

אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...

* יש לי שתי הצעות בשבילך.

1) יש בדף הראשי קישור לסיכומי הרצאות משנה שעברה - אני בטוח שיש שם הוכחות לכל המשפטים שצריך.

2) אתם יכולים להעלות בעצמכם הוכחות למשפטים (ש11 סטודנטים ייקחו כל אחד משפט, יכתבו את ההוכחה שלו ויעלו הנה).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 26 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן ==

משפט 3 שאנו צריכים לדעת להוכחה למבחן הוא: 
f חסומה ב-[a,b] אינטגרבילית ב-[a,b] אמ"מ לכל ε>0:
 
 
<math>
\overline{S}(f,T) - \underline{S}(f,T) \le \varepsilon
</math>
 
האם הכוונה היא לתנאי רימן לאינטגרביליות (תנאי הכרחי ומספיק) או למשפט אחר? תודה

* נראה לי שהכוונה היא להוכיח שתנאי דרבו לאינטגרביליות שקול למה שכתבת אבל אני אברר כדי להיות בטוח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:49, 26 ביוני 2013 (IDT)
 
* האם מדובר במשפט מספר 5 כאן: [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94/22.2.11] ואם כן, האם מותר להתבסס על משפט מספר 4 על מנת להוכיח את הכיוון הראשון?

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-06-25T14:50:45Z

ABAB: /* שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגילים ==

תרגילים למתמטיקאים זה גם התרגילים לתיכוניסטים?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:46, 4 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה ב ==

לגבי תרגיל 1. האם השאלה השניה (מציאת משוואת ישר) קשורה לחומר שנלמד, או שמדובר בטעות? (מאחר והנושא כלל לא נלמד בשיעור)

:משוואת ישר זה לא החלק הקשה, אתם אמורים לצלוח אותו באמצעות ידע מהתיכון. הקשר לנושא הוא המשפט "בעל שטח מינמלי", כאשר את זה מחשבים באמצעות חקירת פונקציות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה ב ==

המשולש המינימלי - הכוונה למשולש שנוצר על ידי הישר , ציר הX , ואנך לציר הX , או הישר , ציר הY ואנך לציר הY?
:אמנם זה לא התרגיל של הקבוצה שלי, אבל דווקא אני הייתי מנחש שזה משולש שהצלעות שלו הן שני הצירים והישר הנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

מצטער על התגובה המאוחרת. ארז צודק. הכוונה למשולש שנוצר עם הצירים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:23, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגילים לקבוצת הבוגרים ==

צריך להגיש אחרי שבוע או שבועיים?

== תרגיל 1 מתמטיקאים שאלה ב ==

יכול להיות שנפלה טעות והמשולש יוצר שטח מקסימלי ברביע הראשון?
:לא פתרתי את התרגיל, אבל על פניו זה לא נשמע סביר. אם ניקח את הקו הישר להיות כמעט מקביל לציר y או כמעט מקביל לציר x נקבל משולשים עם שטחים ששואפים לאינסוף. יותר סביר שיש לך טעות חישוב. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

ושוב ארז צודק. אין טעות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:25, 9 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 2 מתמטיקאים ==

האם לא אמור להיות <math>\alpha\neq -1</math>? אם <math>\alpha=1</math> או <math>\alpha\neq -1</math> ניתן לפתור באמצעות אינטגרציה בחלקים, אבל עם <math>\alpha=-1</math> זה לא עובד, וצריך הצבה... --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:38, 14 במרץ 2013 (IST)

תשובה: אתה צודק. הטעות תוקנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:38, 15 במרץ 2013 (IST)

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

תשובה: לא. חוזרים ללימודים ביום רביעי 3.3.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:54, 29 במרץ 2013 (IDT)

ממתי אנחנו לומדים ביום רביעי?

???????????????????????????

(לא מתרגל / מרצה) ביום רביעי ממשיכים הלימודים לפי המערכת הרגילה. אם אינך לומד ביום רביעי, אתה חוזר ביום ראשון שאחריו --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:41, 30 במרץ 2013 (IDT)

אז רק מי שעושה פיזיקה לומד ביום רביעי?

== תרגיל -3 אינפי2 מדעי המחשב...שאלה 1 סעיף 3...חקירת הפונקציה (y=x+sin(2x ==

כמה שאלות:

1 . לגבי מציאת אסימפטוטות אופקיות...

אם אני מבין נכון, אסימפטוטה אופקית זה מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת.

נניח אני רוצה לבדוק האם קיימת אסימפטוטה אופקית, מה שעליי לעשות, זה לבדוק מה קורה בגבול

lim((sin(2x)+x-(ax+b)) הזה? כאשר x שואף פעם אחת לאינסוף ופעם שנייה למינוס אינסוף?

2. בהמשך לשאלה 1. אם אני מקבל ש- a=0, אז y=b תיהיה אסימפטוטה אופקית?

3. באופן כללי, אפשר לומר שכדי למצוא אסימפטוטות משופעות/אופקיות, אני צריך לבצע את החישוב

lim(f(x)-(ax+b) כאשר x שואף פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף, וכל תוצאה עבור a ו b תהווה אסימפטוטה משופעת כאשר

במקרה ספציפי שבו a=0, אקבל אסימפטוטה אופקית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) השיטה שאתה מציג נכונה אבל לפעמים לא יעילה, מפני שאתה צריך לנחש מראש את האסימפטוטה. אבל, לפי הפיתוח שהראת, הרי שיש אסימפטוטה אופקית אם ורק אם <math>lim f(x)-ax-b=0</math> (ב+ או - אינסוף) וזה אם ורק אם <math>lim f(x)-ax= lim(b)</math>, אבל לפי אריתמטיקה של גבולות אפשר לרשום <math>lim (f(x)-ax)/x=lim b/x=0</math>, כלומר <math>lim f(x)/x-a=0</math> או <math>a=lim f(x)/x</math>.

מכל זה אפשר להסיק - יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a. אם כן, אז מוצאים את b על ידי הגבול b=lim f(x)-ax (שוב, הגבולות הם באינסוף או ב(-) אינסוף).

2. כן.

3.אין דבר כזה כל תוצאה, לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף. לפי האמור לעיל, אפשר להסיק שאם יש אסימפטוטה משופעת, היא אחת.
:3. מה פתאום, יכולה להיות אסימ' אופקית שונה בשני הקצוות.

*כמובן, אמרתי והתכוונתי בקצה אחד (הרי רשום - 'לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף').

הערה:

ציטוט: יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a

זה לא נכון.

התרגיל הזה זאת דוגמא.

אם <math>f(x)=\sin(x)</math> אז

<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0</math>

אבל <math>\lim _{x\rightarrow \infty}\sin(x)</math> לא קיים ולכן אין אסימפטוטה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:14, 3 באפריל 2013 (IDT)

== 2 שאלות נוספות בהמשך להודעה האחרונה ==

1. אם אני בודק האם קיום אסימפטוטה משופעת לפונקציה בדרך שציינתי מקודם,ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה יתקבל בחישוב הזה?..הרי אני לא יודע מראש אם יש או אין אסימפטוטה משופעת. נניח אני עושה את החישוב
lim(f(x)-(ax+b) ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה אני אקבל בחישוב הזה, וכיצד זה יתבטא בערכים של a ו b?

2. מה הסיבה שעל מנת למצוא אסימפטוטה משופעת של פונקציה, אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול של הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף?

שוב, תודה מראש.

*(לא מתרגל) אני חושב שהתשובה נמצאת בתגובה לשאלתך הראשונה (אגב מומלץ לערוך את השאלה הקודמת ולרכז הכל שם, יותר נוח ופחות מעמיס לכלל הקוראים).

2. אם יש אסימפטוטה משופעת ax+b שבה a אינו 0, אז ((lim(f(x הוא אינסוף אם a>0 ומינוס אינסוף אם a<0, זה תנאי הכרחי (שוב, בהתאמה באינסוף או מינוס אינסוף). אם a=0 אז הגבול הוא b.

אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול באינסוף או מינוס אינסוף, כי אם הוא יוצא אינסוף אי אפשר לדעת אם יש אסימפטוטה משופעת או לא. שתי דוגמאות פשוטות לכך הן e^x ו-x, לשתיהן גבול אינסוף באינסוף, אך לראשונה אין אס' משופעת ולשנייה יש, שהיא בעצם היא עצמה.

== למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף? ==

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?
: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin2x%2Fx
: סינוס חסומה.

הערה: אני רק רוצה להעיר למען הסר ספק.

השאלה מה האסימפטוטות המשופעות של <math>x+\sin(2x)</math> היא שאלה לגיטימית
(והתשובה היא שאין לה) אבל היא לא נדרשת בשיעורי בית.

בשיעורי בית אתם מתבקשים לחקור את <math>x+\sin(2x)</math> בתוך תחום מסוים <math>[-2\pi,2\pi]</math> אז ממילא אין מה לומר לגבי אסימפטוטות שלה באינסוף או מינוס אינסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 3 באפריל 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

אפשר רמז ל6 [http://www.math.technion.ac.il/courses/104195/test/2005/spr_final2.pdf פה]?

זה אינפי 1, אבל מעניין.

* (לא מתרגל) אממ, זה לא הכי קשור לאינפי 2 של בר אילן, אבל בכל מקרה אפשר לפתור. רצית רמז אז אנסה להביא משהו מועיל, נסה/נסי להשתמש בהגדרה של רציפות במ"ש לפי היינה. אוכל גם להביא פתרון שלי, כי רמז אחר הוא למעשה הפתרון.

:תודה. נראה לי שפתרתי: מה שרוצים קורה אםם על כל סדרה עולה נקבל את הגבול הזה כגבול סדרות. לכן תהי <math>x_n</math> סדרה עולה, ונגדיר <math>y_n=\sqrt{x_n^2+5}</math>, אז נוכיח שהמרחק ביניהן שואף לאפס ואז נקבל לפי תנאי היינה לבמ"ש שמתקיים <math>|f(x_n)-f(y_n)|\rightarrow 0</math> ולכן <math>f(\sqrt{x_n^2+5})-f(x_n)\rightarrow 0</math> ומש"ל.

*(לא מתרגל) כן, זה נראה בסדר, רק הייתי אומר שהגבול של xn כשn שואף לאינסוף הוא אינסוף.
:כן, לזה התכוונתי. (עולה זה לא נכון, למשל הסדרה ל-e)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

אפשר רמז לסעיף 1 בשאלה 2?

== תרגיל 4 שאלה 5 סעיף ב' ==

אני חושב שצריך גם לדרוש m שונה מn-, או לחילופין |m| שונה מ|n|.

תשובה: נכון. רציתי לכתוב טבעיים וכתבתי בטעות שלמים. אני אתקן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 (תיכוניסטים) ==

בשאלה 6ב - איך עושים חישוב של הנפח סביב ציר Y (זה טעות? התכוונו לציר X?)תודה.

*(לא מתרגל) האמת שמבט נוסף יביא למסקנה שזה אותו נפח ביחס לכל אחד מהצירים.

* תשובה: זאת לא טעות. גם אם זה לא אותו נפח כמו סיבוב סביב ציר <math>x</math> (מה שבמקרה באמת קורה כאן)

אפשר לחשב נפח סיבוב סביב ציר <math>y</math> ע"י כך שמתייחסים כאילו הפונקציות הן פונקציות של <math>x</math> לפי <math>y</math>

(הפוך מההסתכלות הרגילה) ואז עושים אינטגרציה (לפי הנוסחא) לפי <math>y</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:01, 19 באפריל 2013 (IDT)

== תרגול - תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערך תרגול 4+5 לאתר ?
תודה רבה!

== איך מגדירים נפח גוף סיבוב סביב ציר Y? ==

יש שתי דרכים טריוויאליות:

1. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר X, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

2. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר Y, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

לי לפחות נראה ש 2. היא ההגדרה הנכונה, אך מהי ההגדרה המדויקת של נפח גוף הסיבוב?

*(לא מתרגל) אני מאמין שהגדרה 2 היא נכונה. פשוט אפשר להסתכל על ההגדרה המקורית עם ציר X, ולהחליף כל פעם Y בX.

* תשובה: אין כזה דבר נפח סיבוב של פונקציה סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

יש כזה דבר נפח גוף סיבוב סביב ציר <math>y</math> (או <math>x</math>).

במילים אחרות, קודם צריך להגיד לך מה השטח שאתה צריך לסובב, ואח"כ אפשר לחשב מה הנפח של הסיבוב שלו סביב משהו.

לכן שתי האפשרויות שכתבת הן לגיטימיות, תלוי מה מבקשים לחשב.

בשיעורי הבית התחום שצריך לסובב הוגדר בצורה מדויקת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:58, 19 באפריל 2013 (IDT)

* במחשבה שניה, הבנתי שמה שאתה שואל זה מה המשמעות של

<math>\pi\displaystyle{\int_a^b }f^2(y)\mathrm{d}y</math>

והתשובה היא אופציה 2 שכתבת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:31, 19 באפריל 2013 (IDT)

== כמה שאלות ==

נתונה לי הפונקציה f(x)=x-2arctanx

1.
מדוע f גזירה בכל הממשיים?

2.
על מנת להראות שפונקציה גזירה בנקודה ספציפית, יש להראות שמתקיימת הגדרת הנגזרת?
3.
אם רוצים להראות שפונקציה גזירה על תחום/קטע מסוים, אני מניח שאי אפשר להשתמש בהגדרת הנגזרת, כי כעת מדובר על תחום, ולא על נקודה ספציפית. איך בכל זאת אפשר לדעת?

4.
למה tanx אי זוגית?
5.
למה מכך ש-tanx אי זוגית, ניתן להסיק ש-arctanx אי זוגית גם כן?

תודה מראש!

(סטודנט)
1. x גזירה וגם arctanx ידוע שמכפלה של קבועה בגזירה גם גזיר ושהפרש של גזירות גזיר ולכן הפ' גזירה

2.כן(שים לב שהגבול הימני צריך להיות שווה לגבול השמאלי)

3. ע"פ הגדרת הגבול במקום שx ישאף לx0 מסוים(לדוגמא 2) הוא ישאף לכל x0 ששייך לקטע

4. כי מתקיים f(-x)=-f(x) a שtanx=sinx/cox tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx

5. arctan(tanx)=x
arctan(-tanx)=arctan(tan-x)=-x
לכן אי זוגית

== אסימפטוטה אנכית ==

1.באיזה מצבים לפונקציה f תיהיה אסימפטוטה אנכית?

2. בעצם אני יכול לומר שאם אני רוצה למצוא אסימפטוטות אנכיות של פונקציה מסויימת, אני צריך לבדוק האם לפונקציה יש נקודות אי רציפות ממין שני, ואם כן, אז בנקודות הללו ל-f יש אסימפטוטה אנכית?

תודה מראש.

*(לא מתרגל) אסימפטוטה אנכית מוגדרת כאשר יש נק' אי רציפות ממין שני, אז כן, הדברים שקולים. מספיק שגבול מימין/משמאל בנק' מסוימת הוא אינסוף או מינוס אינסוף, זוהי אסימפטוטה אנכית ונק' אי רציפות ממין שני.

== העלאת התרגילים ==

אפשר להעלות את התרגילים השבועיים מוקדם יותר ?
הם תמיד עולים יומיים שלושה אחרי התירגול...

* אתה יכול לציין על איזה קבוצה מדובר? החלק הזה של שאלות ותשובות משרת מדמ"ח, מתמטיקאים ותיכוניסטים (מ2 קבוצות הרצאה).

למיטב ידיעתי, בקורסים שאני מתרגל אנחנו מקפידים להעלות תרגילים לפחות שבוע לפני מועד ההגשה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:09, 23 באפריל 2013 (IDT)

*(לא שואל השאלה)(תיכוניסטים) לדוגמא השבוע, התרגיל עדיין לא עלה ולפי מה שאני מבין הוא להגשה בראשון הקרוב.
*(שואל השאלה) אני מקבוצת התיכוניסטים ועל הקבוצה הזו דיברתי וכמו שנאמר למעלה התרגיל שלנו עדיין לא עלה

*השבוע לא הייתי כל כך בעניינים... אני אבדוק.
אבל בשבועות הקודמים התרגיל של התיכוניסטים עלה תמיד בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 24 באפריל 2013 (IDT)

* כן, השבוע הייתה בעיה. העלנו תרגיל רק עכשיו. היות ואין תרגול בל"ג בעומר זה עדיין משאיר לכם יותר משבוע לפתור את התרגיל.

כמו שכתבתי, אני אקפיד שבעתיד זה יעלה בזמן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:43, 25 באפריל 2013 (IDT)

== נקודות קיצון/פיתול ==

אם קבלתי שהנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסויימת ואני רואה שהנגזרת הראשונה, משניי צידי הנקודה, אינה משנה סימן. האם ניתן
להסיק מכך שהנק' היא נקודת פיתול, מבלי בכלל להתעסק עם נגזרת שנייה?

כן, ניתן להסיק זאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:37, 24 באפריל 2013 (IDT)

== הרצאה בלוג בעומר ==

יש הרצאה לתלמידי שמחה?

== הרצאה ביום ראשון ==

שמעתי שביום ראשון התבטלה ההרצאה של מיכאל שיין. גם ההרצאה של שמחה הורוביץ התבטלה ?

אנא תשובה בהקדם ! תודה.

*(לא מתרגל) בוטלו ההרצאה והתרגול, מלי שלחה על כך מייל:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 2

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

ביום ראשון הקרוב ל"ג בעומר 28/4/13 לא יתקיימו לימודים באינפ' 2 הרצאה ותרגיל

ביום שני הבוחן בשימושי מחשב מתוכנן כרגיל

== תאריכי הגשה ==

אם אפשר בבקשה להוסיף תאריכי הגשה לקבוצות התרגול השונות (מרוב ביטולי תרגילים לא ברור למתי צריך להגיש)

== תרגיל 5 ==

המתמטיקאים אמורים לדעת לענות על השאלות האלו?
(להזכירכם, לא למדנו בהרצאה (של ד"ר עמיר) את הנושא של נפח ושטח, וכל הידע שלנו מתבסס על התרגול.)

== שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל 5 ==

כשמבצעים אינטגרציה חובה שהאינטגרל יכיל <math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}ds</math>? או שיתקבל גם שימוש ב<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}ds</math>?

*תשובה:

הכוונה היא פשוט לחשב את האורך המדובר באמצעות אינטגרל ולא באמצעות נוסחאות אחרות שאתם מכירים.

כלומר אפשר לחשב את האורך בכל שיטה עם אינטגרל שתתן לכם תשובה נכונה.

דרך אגב, הנוסחאות הן עם <math>\mathrm{d}x</math>

<math>\int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math>

<math>\int{\sqrt{1+f'(x)^2}}dx</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:44, 2 במאי 2013 (IDT)
== שאלה לגבי ציוני תרגיל לתיכוניסטים ==
פעם שעברה לא עניתם לי.. חיכיתי שבוע ועוד לא ענו לי.. אני מקווה שזה ימשוך את צומת ליבכם ולא 'תפספסו' את השאלה שלי שוב ! ;)

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!שאלה חשובה מאוד!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

>>>>>>>>>>> בקובץ ציונים שהעלו חסר לי את הציון על התרגיל השני. חסרים ציונים שם? יעלו אותם בקרוב? <<<<<<<<<<<<<

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~אודה להתייחסות!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

כל החצים וסימני הקריאה מפריעים לי להתעלם מהשאלה שלך.

* העלתי קובץ יותר מעודכן. אם תרגיל 2 שלך לא נמצא שם. תפנה למתרגל שלך.

בדומה אני לא אתפלא אם חלק מתרגילי 3 עדיין לא מעודכנים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:03, 6 במאי 2013 (IDT)

* * * * * * * * * * * כן יש ציון תודה !

== מערכי תרגול- תיכוניסטים ==

אפשר להעלות את מערכי התרגול העדכניים?

אמרתם שכל פעם אחרי התרגול אתם תעלו את מערך התרגול לאתר..

יש אנשים שלא מעתיקים (ומעדיפים להתרכז בהקשבה ובהאזנה) ובונים על מערך התרגול.

תודה רבה!

== תרגיל 6 ==

בשאלה 5 הכוונה לעיגול כלפי מטה או עיגול כלפי מעלה?

* תשובה: כלפי מטה.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:53, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 סעיף א ==

אפשר רמז בבקשה

* אני פתרתי אותו עם מבחן ההשוואה (הרגיל). מקווה שזה עוזר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:56, 9 במאי 2013 (IDT)

תודה :]

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

"חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס" - צריך רק לקבוע האם מתכנס (ע"י מבחן השוואה) או גם לחשב את ערך הגבול?

תשובה: רק להחליט אם הם מתכנסים. לא צריך לחשב את הגבול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:52, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 5 מתמטיקאים ==

מה הכוונה "אינטגרבילית מקומית"?

*(לא מתרגל) לדוגמא בקטע a עד אינסוף, הפונקציה תקרא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [a,b] עבור b>a.

* כן. קיבלתי את הרושם שככה הגדירו לכם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:06, 11 במאי 2013 (IDT)

== בוחן - תיכוניסטים ==

השאלות יהיו בסגנון של השאלות שהיו בשיעורי בית? חישוב אינטרגלים וכדומה?

מאיפה מומלץ לעשות חזרה לבוחן? יהיה אפשר לעלות שאלות ותשובות לשאלות בסגנון משנים קומות?

*כן. זה יהיה בסגנון השיעורי בית.

חוץ מאשר לעבור על ההרצאות + תרגולים+ שיעורי בית. אני חושב שבספר אינפי של צבאן (יש באתר שלו) יש שאלות טובות מכל מיני סוגים (כמובן שחלקן כבר הופיעו בתרגולים ובש"ב) אתם יכולים גם כמובן לעשות תרגילים ממבחנים שיש ב math-wiki. חוץ מזה באינפי יש מליון תרגילים באינטרנט... לי אין איזשהיא המלצה ספציפית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:57, 13 במאי 2013 (IDT)

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיו גם שאלות שיהיה צריך להוכיח בהו טענות או רק תרגילים חישוביים ?

* תשובה: יכול להיות שתדרשו להוכיח משהו "תיאורטי". אבל אין צורך לזכור בעל פה הוכחות שראיתם בכיתה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:58, 13 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 7 ==

בשאלה 2 2 הפונקציה לא מוגדרת בכל התחום של האינטגרל זה בכלל אפשרי?

* טעות שלנו. אני אתקן את זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן לתיכוניסטים ==

למה אין שאלת בונוס/שאלת בחירה/אפשרות לצבור מעל 100 בבוחן? אולי תלכו קצת לקראתנו ותתנו עזרה כזאת או אחרת בבוחן?

אולי כדאי שיקחו זאת צעד אחד קדימה - שיעלו לנו קובץ עם התשובות לשאלות שיהיו בבוחן.

* שימו לב גם שהבוחן הוא מגן. הוא לא יכול להוריד ציון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:01, 13 במאי 2013 (IDT)

== בוחן למתמטיקאים ==

אפשר לציין אילו תרגילי בית נכללים בחומר הלימוד לבוחן, ולהעלות פתרונות לתרגילים האלו?

תודה

*תרגילים 1-7 (נדמה לי שבשביל הקבוצה הרגילה חלק מתרגיל 5 לא בחומר... אני לא בטוח, כדאי שרוני/שי יענו לכם על זה... אני מתרגל רק תיכוניסטים).

לתרגילים 1-3 כבר העלתי פתרונות. לתרגיל 7 לא נעלה פתרון עדיין (מן הסתם). לשאר נעלה בעזרת ה'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:07, 13 במאי 2013 (IDT)

אם תוכלו לעשות את זה בהקדם (אתם והקב"ה), נודה לכם מאד (:

תודה!

== בוחן לדוגמא ==

תוכלו להעלות בוחן דמה לקראת הבוחן?

== פתרונות ==

שלום! תוכלו בבקשה להעלות את הפתרונות לתרגילים 5 ו6?? תודה רבהה וחג שמח!

== שאלות בקשר לבוחן ==

האם אפשר בבקשה לעשות קצת סדר בעניינים ולתת פרטים מדוייקים בקשר לחומר הנכלל בבוחן לקבוצה של הבוגרים.
לפי מה שרשום באתר אנחנו מבינים שתרגיל חמש לא נכלל בבוחן, מעולה!
לגבי תרגיל שבע- האם הוא נכלל בבוחן?אם כן, אנחנו צריכים פתרונות! אנחנו לא רוצים להסתמך רק על פתרונות שלנו ואח"כ לגלות בבוחן שהם לא היו מדוייקים וכו'..(שזה כבר קרה לנו בעבר)
איתמר, זה נראה שאתה היחיד שפעיל כאן אז נשמח שאם יש שאלות שצריך לברר עם שי תשאל אותו ותעדכן כאן או שתגיד לו לענות בבקשה.

תודה רבה!!:)

החומר של תרגיל 7 נכלל בבוחן.

אני מצטער אבל עדיין לא הגיע תאריך ההגשה שלו - אנחנו לא נעלה לו פתרונות.

פירוט החומר לבוחן: (תיכוניסטים+קבוצה רגילה)

חקירת פונקציות. (תרגיל 1)

שיטות אינטגרציה. (תרגילים 2-3)

אינטגרל מסוים. (תרגיל 4)

אינטגרלים לא אמיתיים משני הסוגים (תרגילים 6-7)

מה אין בבוחן:

שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים.

יישומים גאומטריים (חישוב שטח פנים, נפח , שטח, אורך עקום)

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:02, 18 במאי 2013 (IDT)

== נושאים לבוחן ==

אמרתם שכל הנושאים לבוחן הם כל החומר עד אינטגרלים לא אמיתיים אבל אמרו לנו שגם אינטגרציה נומרית לא תיכלל.

תוכלו להוסיף רשימה יותר מפורטת של הנושאים ?

עניתי למעלה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 18 במאי 2013 (IDT)

== החלפת משתנים באינטגרלים ==

מה התנאים שצריכים להתקיים על מנת שיהיה אפשר לבצע חילף משתנים באינטגרל?

* תשובה: אם יש לך אינטגרל

<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>

ואתה מבצע הצבה <math>t=g(x)</math>

אז התנאים עבור <math>g</math> הם

1) <math>g</math> מוגדרת על הקטע <math>[a,b]</math>

2) <math>g</math> חח"ע בקטע <math>[a,b]</math>

3) <math>g</math> גזירה ברציפות בקטע <math>[a,b]</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:22, 18 במאי 2013 (IDT)

== מערכי תרגול ==

אפשר בבקשה שתעלו את מערכך תרגול מס' 7 לפני הבוחן תודה מראש

* העלתי--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:27, 18 במאי 2013 (IDT)

== מועד הגשה תרגיל 7 ==

האם תרגיל 7 להגשה ביום ראשון הקרוב כרגיל או שיש דחייה בגלל הבוחן ביום שני?

*אפשר להגיש בשבוע הבא (26.5) אבל יעלה עוד תרגיל ביום ראשון גם כן לאותו תאריך--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 18 במאי 2013 (IDT)

== מיקום הבוחן ==

באיזה כיתה/ות יהיה מחר הבוחן?

* תיכוניסטים: 604 כיתה 62.

* קבוצה רגילה: 101 כיתה 2.

שעה 18:00

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 20 במאי 2013 (IDT)

== הבוחן ==

1)יהיה חקירת פונקציות? חלק אומרים שכן וחלק לא...

2)צריך לזכור הוכחות מהרצאות?

* 1) חקירת פונקציות בחומר לבוחן.

2)לא צריך לדעת הוכחות מההרצאות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:16, 20 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 I ב ==

מדוע הפונק' מוגדרת דווקא בקטע זה? יש לכך איזשהי משמעות?

* זאת טעות. התחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> הוא בשביל סעיף א.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:26, 21 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 1 ==

מה הכוונה בסוג תחום ההתכנסות ?

כתוב:" מצא תחום התכנסות, סוגה ואת הפונקציה הגבולית"

התכוונו לכך שתמצא את סוג ההתכנסות (במ"ש/נקודתית)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

הכוונה ש fn שואפת ל f לא במידה שווה היא שהיא שואפת ל-f נקודתית בהכרח או שיכול להיות ש מf כלל לא שואפת לשום פונקציה?

'''נתון''': fn שואפת ל f לא במ"ש.

'''צ"ל''': האם ההתכנסות היא במ"ש/נקודתית, או שבכלל אין התכנסות.

'''פתרון''': על פי הנתון: "fn שואפת ל f", ולכן fn שואפת לפונקציה f. למדנו על שני סוגים של התכנסות - נקודתית ובמ"ש. על פי הנתון ההתכנסות היא לא במ"ש, ולכן השאיפה היא בהכרח נקודתית.

מש"ל.

== תרגול 8 ==

אתם יכולים להעלות את תרגול 8 לאתר ? יש אנשים שלא כותבים כדי להקשיב.

== תרגול 8 ==

יש הרבה שלא מעתיקים אלא מקשיבים בתרגול וסומכים עליכם שתעלו את זה לאתר, אני לא מבין מה הבעיה שלכם להעלות את זה לאתר מיד אחרי התרגול, זה לוקח 10 שניות וחיוני להרבה אנשים.

''אני מניחה שאם נבקש יפה זה יהיה יותר אפקטיבי. אף אחד פה לא מנסה לעשות לנו דווקא...''

* לקחתי לתשומת ליבי. בלי נדר, בשבועות שנותרו, אני אעלה את התרגול ביום ראשון בערב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 25 במאי 2013 (IDT)

== לימודים כרגיל ==

יש היום לימודים כרגיל ? כי לא קיבלנו הודעה במייל...

בדיוק באתי לשאול את זה. יש הרצאה באינפי או בשימושי מחשב היום???

== תרגיל 9 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 9?

* לפעם הבאה שיש תרגול. מתי שזה לא יהיה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:17, 29 במאי 2013 (IDT)

ביום ראשון יש תרגול? כי לפי מה שהבנתי אין הרצאה בגלל הבגרות בתנ"ך.

* למיטב ידעתי ביום ראשון 2.6 אין תרגול לתיכוניסטים בגלל הבגרות בתנ"ך. כנראה שנצטרך תרגול השלמה אחד בגלל זה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:59, 1 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל 9 שאלה 1 ==

מותר להניח בסעיף הראשון ש <math>a \leq 1</math>?

* תשובה: לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:22, 4 ביוני 2013 (IDT)

אז <math>a\in\mathbb R</math>?

== למתי צריך להגיש את תרגילים 9 ו 10? ==

??

לתיכוניסטים: צריך להגיש את תרגיל 9 ליום ראשון הקרוב.

את תרגיל 10 לשבוע שאח"כ.

לשאר המתמטיקאים: אין לי מושג.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:10, 7 ביוני 2013 (IDT)

== מתי מגישים את התרגילים ?? ==

גם תרגיל 9 וגם תרגיל 10 זה ליום ראשון הקרוב ??

שאלה בסיסית:

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס.

תודה!

== שאלה בסיסית ==

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס בקטע 1 עד אינסוף?

תודה מראש.

גוזר :|

*1) גוזר ומראה שהנגזרת שלילית.

2) מראה בקלות שאם <math>x<y</math> אז <math>\frac{1}{2y}<\frac{1}{2x}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:13, 7 ביוני 2013 (IDT)

== רדיוס התכנסות. ==

לטור חזקות תמיד קיים רדיוס התכנסות?

* תשובה: כן. אם לוקחים בחשבון שיש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>\infty</math> ואז יש התכנסות (נקודתית) בכל <math>\mathbb{R}</math>.

ויש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה <math>0</math> ואז יש התכנסות רק בנקודה אחת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:36, 10 ביוני 2013 (IDT)

== תרגילים 4 ו5 ==

לא מופיעים לי ציונים על תרגילים 4 ו5 על אף שהגשתי אותם
ת.ז. שלי 208544635 המתרגל שלי זה שי גול
תודה

== תרגיל 10 ==

בשאלה 2 ה' כשרשום log האם הכוונה בבסיס e או בבסיס 10?

אתה תלמיד חדש פה במקרה?

אלא אם מצוין אחרת, לפי מה שהבנתי, תמיד זה בסיס e

== שאלה לגבי התכנסות במש ==

הוכחנו שטור החזקות <math>\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k</math> בעל רדיוס R מתכנס בהחלט בקטע <math>(-R,R)</math> ובמש לכל קטע <math>[a,b]\subset(-R,R)</math>. אם <math>R=\infty</math> (רדיוס ההתכנסות) אז ההתכנסות של הטור על כל <math>\mathbb R</math> היא במ"ש?

תשובה: לא. רק על כל תת קטע סגור מהצורה <math>[-R,R]</math> יש התכנסות במ"ש אבל לא על כל <math>\mathbb{R}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== שאלה ==

האם
lim(A(n)^p) = (lim A(n))^p
כאשר n שואף לאינסוף ,p קבוע?

*תשובה: כן, זה נובע מכך ש <math>x^p</math> היא פונקציה רציפה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:34, 16 ביוני 2013 (IDT)

== פתרונות ==

שלום!! אפשר בבקשה להעלות את הפתרונות לשאר התרגילים?? די דחוף.. רוצים להתחיל ללמוד למבחן..!

== הגשת תרגיל 10 ==

האם תרגיל 10 להגשה?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

== תרגיל 10 שאלה 4 ==

סביב איזו נקודה יש לפתח את טור החזקות? סביב 0?

*תשובה: כן. סביב <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:30, 16 ביוני 2013 (IDT)

== התכנסות במ"ש ==

האם יש טורים שמתכנסים במ"ש על כל הישר (חוץ מטור שהוא זהותית 0 כמובן)? ואם כן איך אפשר להוכיח שהם כאלה ?, כי התכנסות על כל הישר לא גוררת התכנסות במ"ש על כל הישר...

* תשובה: כן. למשל הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}</math> לפי מבחן ה <math>M</math> של ווירשטראס מתכנס במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>.

אבל אין טור חזקות שמתכנס במ"ש על כל <math>\mathbb{R}</math>.

^למעט טור חזקות שהוא פולינום.

*(לא מתרגל) זה לא מדויק כל כך. מה שכן אפשר להוכיח - כל טור חזקות שיש בו אינסוף איברים לא אפס (או לחילופין שהאיבר הכללי לא מתאפס אחרי מקום מסוים) לא מתכנס במ"ש ב-R.זה תנאי מספיק והכרחי, כי אם החל ממקום מסוים הוא מתאפס, אז ברור כי הוא יתכנס במ"ש ב-R, ואם לא אז הוא לא יתכנס במ"ש ב-R.

* תשובה: נכון. לא דייקתי במה שאמרתי. מה שהלא מתרגל כתב כאן נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:30, 17 ביוני 2013 (IDT)

== סכום טורי חזקות ==

היום שאלו אותי בכיתה אם את השאלה הבאה:

אם יש 2 טורי חזקות <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math> ו <math>\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n</math> שלשניהם רדיוס התכנסות <math>R</math>.

האם ייתכן שלסכומם יהיה רדיוס התכנסות גדול יותר?

התשובה (הלא כל כך אינטיליגנטית) שעניתי הייתה שאם לוקחים <math>b_n=-a_n</math> אז הסכום שלהם הוא <math>0</math> ולזה יש רדיוס התכנסות <math>\mathbb{R}</math>.

אני יכול לתת תשובה (קצת) יותר אינטיליגנטית. נניח שנסתכל על

<math>\sum_{n=0}^{\infty}(n^n+\frac{1}{n})x^n</math> זה טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

וגם <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-n^n)x^n</math> הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>0</math>.

סכומם הוא הטור <math>\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n})x^n</math> שיש לו רדיוס התכנסות <math>1</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:47, 16 ביוני 2013 (IDT)

== אפשר לעלות מבחן לדוגמא ? ==

והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?

* יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

: (לא מתרגל / מרצה) תשובות:

: 1. הגבול הנ"ל שקול לגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty} x^n</math> עבור <math>x\in\left [ -1,1 \right ]</math>, זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).

: 2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה <math>g(x)</math> ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.

: 3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה. 
: 2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה. 
: 3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, אך במ"ש אומר שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n\ge N_\varepsilon</math> ולכל x בקטע מתקיים <math>\left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |<\varepsilon</math>, זה ההבדל. 
: 4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.

: מקווה שמובן, --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)

* התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)

== 3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב ==

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף.
במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x).
יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא?
2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x).
3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור?
4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

== שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב ==

הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?

נתנו רמז : טור הנדסי.

למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?

: (לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)

* שוב גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:45, 18 ביוני 2013 (IDT)

== הוכחות מההרצאות במבחן ==

אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?

== שתי שאלות לגבי המבחן ==

א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב<math>\Leftarrow [a,b]</math> f אינטגברלית <math>\Leftrightarrow</math> לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש<math>S\bar(f,p)-S\underline(f,p)<\epsilon</math>". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?

ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?

* (לא מתרגל) א. כן

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== השתנות חסומה ==

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

== הוכחות למבחן ==

אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...

== שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן ==

משפט 3 שאנו צריכים לדעת להוכחה למבחן הוא: 
f חסומה ב-[a,b] אינטגרבילית ב-[a,b] אמ"מ לכל ε>0:
 
 
<math>
\overline{S}(f,T) - \underline{S}(f,T) \le \varepsilon
</math>
 
האם הכוונה היא לתנאי רימן לאינטגרביליות (תנאי הכרחי ומספיק) או למשפט אחר? תודה

שיחה:88-222 תשעג סמסטר ב נוביק

2013-06-16T17:04:38Z

ABAB: /* ציוני תרגיל */

=שאלות=
שאלה בקשר לסעיף א' בשאלה 1

צ"ל שלכל A מוכל ב-Y מתקיים ([f(f^-1[A מוכל ב-A

איך מתחילים את ההוכחה?

מניחים שלכל A שמוכל ב-Y מתקיים:

y שייך ל- ([f(f^-1[A ומראים ש y שייך לA?

ההכלה נובעת מהגדרות אבל לא הבנתי איך מתייחסים לנתון שלכל A מוכל ב-Y.

תודה רבה!
::הטענה היא שההכלה מתקיימת לכל קבוצה A. לביטוי <math>f^{-1}[A]</math> יש משמעות רק כש A תת קבוצה של Y. אכן, צריך לקחת תת קבוצה שרירותית A של Y ובאמת להראות את ההכלה כפי שציינת ברמה של איברים. ההכלה נובעת מההגדרות אבל צריך להראות איך בדיוק. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 01:04, 28 בפברואר 2013 (IST)

===שאלה 5===
שאני מנסה להוכיח סימטריות אני תמיד מגיע למצב שבו אני מניח אי שליליות.
אני אמור להניח זאת? אם לא אני לא מבין איך להוכיח את זה?

:(לא מתרגל) ניתן להוכיח חיובית, פשוט תצא מהעובדה שהמרחק בין איבר לעצמו הוא אפס.

::תודה

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

האם הפונקציה כפי שהוגדרה בתרגיל:
<math> d(x,y)= \begin{cases} 0 & x=y \\ \frac {1} {min \{j \in \mathbb {N}:x_j\ne y_j\}} & \ x \ne y \end{cases}
</math>

שקולה לפונקציה:
<math> d(i,j)= \begin{cases} 0 & i=j \\ \frac {1} {min \{i,j\}} & \ i \ne j \end{cases}
</math>?
האינדקסים ב-x וב-y קצת מבלבלים אותי.

:(לא מתרגל) לפי מה שאני מבין, לא. האינדקסים יכולים להיות שווים והפונקציה עדיין לא תתאפס-'''האיברים''' צריכים להיות שונים

::הבנתי את הטעות שלי (לא שמתי לב, שבשאלה הגדירו שכל איבר הוא בעצם סדרה). תודה.

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

בסעיף א', האם
<math>
\sigma_Y(y_1,y_2) = \sigma(y_1,y_2)
</math>
כאשר
<math>
y_1,y_2 \in Y
</math>
??
 
או שהמטריקות יכולות להיות שונות לחלוטין?
::ההגדרה של תת מרחב מטרי ניתנה בהרצאה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:24, 12 במרץ 2013 (IST)
== תרגיל 3 ==
כשמדברים על קבוצות פתוחות וסגורות בR^n מהי המטריקה??,האוקילדית??,ועוד שאלה,האם מותר להשתמש בתכונות של פונקציות רציפות בR^n (שגם סכום,הרכבה,כפל וכו' רציף)?
::כן וכן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:06, 15 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 3 שאלה אחרונה ==

האם מדובר בפונקציה (f(x,y ?
והאם הכוונה ש – f=1 כאשר x*y=0?

כן, זה היה אמור להיות <math>f(x,y)</math>. וכן גם לשאלה השניה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:12, 20 במרץ 2013 (IST)
האם צריך להוכיח שדטרמיננטה היא פונקציה רציפה?
::צריך להסביר למה היא רציפה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:24, 25 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 6 ==

האם בשאלה 6 מדובר על המטריקות האוקלידיות הסטנדרטיות על <math>\mathbb {R}</math> ועל <math>\mathbb {R}^2</math> או על מטריקות כלשהן שמוגדרות על מרחבים אלו?
::מדובר באוקלידיות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:00, 28 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

למה התכוונתם ב
(a)n לא הבנתי..כאילו סדרה של סדרות או סדרה?

::סדרה רגילה של איברים ממשיים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:00, 28 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 4 ==

יש לי תחושה שחסר הנתון <math>x\notin A</math>.

- נכון, רשמנו הערה מעל לתרגיל. תודה :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:59, 6 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 5- שאלות 2, 3 ==

כשמוכיחים את התכונות הדרושות לטופולוגיה צריך להוכיח גם את הטענות מתורת הקבוצות שמשתמשים בהן בדרך?

תודה

::השאלה איזו טענות מוכיחים בדרך. זה קצת כללי מדי. אם זה דה מורגן, חשבון עוצמות סטנדרטי או דברים ברמה הזו שראיתם נניח כבר בבדידה/תורת הקבוצות אפשר בלי הוכחה. אם יש טענה ספציפית שיש לגביה ספק אשמח לדעת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 12 באפריל 2013 (IDT)

יכול להיות שיש טעות ב2 ב' 1?
חסר Z ב-t
::היתה טעות. שימו לב להערה מחוץ לקובץ. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:27, 12 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 סעיף א ==

הייתי מעוניין לדעת האם יש סיבה שבגללה הקבוצה <math>S</math> הוגדרה כפי שהיא הוגדרה בתרגיל?

בפתרון יצא לי שלא התייחסתי בכלל לאופן שבו הוגדרה <math>S</math>.

כלומר, אם בתרגיל היה נתון ש <math>S</math> היא ת"ק כלשהי של <math>\mathbb R</math> הפתרון שלי היה נשאר אותו דבר.

::אתה צודק. יכול להיות שבעתיד נרצה להראות תכונה מסוימת (שלא הוזכרה עדיין בקורס) לגבי המרחב הזה (עם הסדרה) כפי שהוצג כאן ואז יהיה ברור למה המרחב הוגדר דווקא בצורה זו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 00:02, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 סעיף ב ==

האם הכוונה ש <math>O_n \notin \tau</math> לכל <math> 1>n \in \mathbb{Z}</math>?
::כתבנו כנראה לא מדוייק. הכוונה דווקא <math>O_n \in \tau</math> לכל <math> n \in \mathbb{Z}</math>. כלומר <math>\tau=\{\mathbb{Z},\emptyset\}\cup \{O_n: n\in \mathbb{Z}\} </math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:11, 15 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 6 סעיף 4 ==

''הסיקו כי כל כדור פתוח <math>B(a,\epsilon)</math> הומיאומורפי ל- <math>B(0,1)</math>.''

האם הכדור השני, <math>B(0,1)</math> , נמצא ב- <math>X</math> או ב- <math>\mathbb {R}</math>?
::ב <math>X</math>. המרכז של <math>B(0,1)</math> הוא וקטור האפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:27, 20 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 4 סעיף ב ==
האם אפשר להשתמש באותה דוגמה על מנת להפריך את שני המקרים?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:28, 20 באפריל 2013 (IDT)

== הומאומורפיזם ==

הוכחנו בכיתה שכל הקטעים הפתוחים ב <math>{R}</math> הומאומורפים זה לזה. האם זה נכון גם לR^n? ז"א האם כל הקבוצות הפתוחות בR^n הומאומורפיות אחת לשניה?

תודה!

היי
:: הקטעים הפתוחים הם לא כל הקבוצות הפתוחות אלא רק הכדורים הפתוחים. ב <math>\mathbb R</math> למשל הקבוצה הפתוחה <math>(1,2)</math> לא הומיאמורפית לקבוצה הפתוחה <math>(1,2)\cup (3,4)</math>. אם מדברים רק על '''כדורים פתוחים''' אז הטענה אכן נכונה ב<math>\mathbb R</math> וב
<math>\mathbb R^{n}</math>. למעשה אתם מוכיחים בש"ב שבכל מרחב נורמי כל שני כדורים פתוחים הומיאומורפיים ואז מקבלים את התוצאה ב<math>\mathbb R^n</math> כמקרה פרטי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:43, 20 באפריל 2013 (IDT)

==בקשר לשאלה 2 ==

בהרצאה המרצה נתן את הטענה הבאה :

u מוכלת ב-X אז

(u משלים ב-X ) חיתוך A שווה ל- (u חיתוך A) משלים ב-A

מהי ההגדרה למשלים ב- A (ידוע ש A תת מרחב של X)?

אני מנסה להראות הכלה דו כיוונית אבל אני לא יודע מה זה אומר (u חיתוך A) משלים ב-A?

תודה רבה!
::אין צורך בהגדרה מיוחדת למשלים ב-A. ההגדרה למשלים היא תמיד אותה הגדרה, איברים שנמצאים בקבוצה (שלמעלה) ולא בתת קבוצה. במקרה זה נמצאים ב<math>A</math> ולא ב<math>U\cap A</math>. אם תצייר לעצמך דיאגרמת ון למשל אני בטוח שתוכל לראות את הטענה של המרצה (מתורת הקבוצות) ואח"כ להוכיח אותה פורמלית. למרות שלצורך התרגיל אפשר להשתמש בטענה הזו ללא הוכחה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:52, 20 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 6 סעיף 4 ==

נניח <math> f:X \to Y </math> הומיאומורפיזם.

האם מותר לי להשתמש בעובדה שאם <math> f(A)=B </math> עבור: <math> A \subset X , B \subset Y </math>
אז <math>A \cong B</math>

או שיש צורך בלהוכיח טענה זו?
::מותר להשתמש ואין צורך להוכיח. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:50, 21 באפריל 2013 (IDT)

== סורגנפריי==
היי

1) האם הנקודון הוא קבוצה סגורה בישר של סורגנפריי?

2) כיצד ניתן להציג את הקטע הפתוח (inf,a-} כאיחוד של קטעים מהצורה {a,b] לפי טופולוגיה של סורגנפריי?

תודה רבה!
::1) יודעים שהוא סגור לפי הטופולוגיה האוקלידית ומצד שני הוכחתם שהטופולוגיה האוקלידית מוכלת בסורגנפריי. מכאן נובע (נדמה לי שאתם אפילו מוכיחים את זה בש"ב) שכל סגורה לפי האוקלידית סגורה לפי סורגנפריי ובפרט כל נקודון סגור בישר של סורגנפריי.

2) <math>(-\infty,a)=\cup _{b<a} [b,a)</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:01, 9 במאי 2013 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 6 ==
{0,1} זה מרחב טופולוגי? מה הטופולוגיה? לא צריך לדעת את זה כדי לפתור את השאלה?
תודה
::הטופולוגיה הדיסקרטית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:48, 18 במאי 2013 (IDT)

== לינארית ->ליפשיץ ==

למה כל <math>f: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m</math> לינארית היא ליפשיץ עם מקדם ששווה לנורמה של המטריצה המייצגת שלה?
:: זה נובע מאי שוויון קושי-שוורץ. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:14, 4 ביוני 2013 (IDT)

== ציוני תרגיל ==

תעלו בבקשה ציוני תרגיל על מנת שנוכל לבדוק האם חישוב ציון התרגיל החדש פוגע בנו, לפני יום רביעי.
תודה
 
על פי החישוב הישן (10% בוחן ו-5% תרגילים), כמה תרגילים יש להגיש סה"כ?

שיחה:88-222 תשעג סמסטר ב נוביק

2013-06-14T11:19:56Z

ABAB: /* ציוני תרגיל */ פסקה חדשה

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-05-31T07:39:18Z

ABAB: /* תרגיל 9 שאלה 1 */ פסקה חדשה

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-05-27T15:02:38Z

ABAB: /* חומר לבוחן */ פסקה חדשה

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-05-09T12:03:16Z

ABAB: /* תרגיל 6 שאלה 1 */

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-05-09T12:01:09Z

ABAB: /* תרגיל 6 שאלה 1 */ פסקה חדשה

שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב

2013-04-26T17:20:33Z

ABAB: /* תאריכי הגשה */ פסקה חדשה

שיחה:88-222 תשעג סמסטר ב נוביק

2013-04-20T07:58:59Z

ABAB:

שיחה:88-231 תשעג סמסטר ב

2013-03-17T20:20:03Z

ABAB: /* פתרונות */ פסקה חדשה

שיחה:88-222 תשעג סמסטר ב נוביק

2013-03-12T09:26:51Z

ABAB: /* תרגיל 2 שאלה 5 */ פסקה חדשה

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-27T12:02:17Z

ABAB: /* ציוני תרגילים */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

*'''[[:שיחה:88-280_תשעג_סמסטר_א/ארכיון|ארכיון]]'''

== שאלה למבחן בנושא עצי 2-3 ==

האם בעצי 2-3 הערכים בהכרח בעלים או שהם מאוכסנים בקודקודים הפנימיים? 
מצאתי מספר מקומות באינטרנט ([http://www.cs.ucr.edu/cs14/cs14_06win/slides/2-3_trees_covered.pdf] [http://cs51.seas.harvard.edu/hw/2-3-trees.pdf]) שלפיהם המידע מאוכסן גם בקודקודים הפנימיים.

'''הערכים נמצאים רק בעלים. בקודקודים הפנימיים יש אינדקסים. העלתי מצגת ב"חומר עזר"'''

== שאלה למבחן בנושא מיונים ==

לQuick Sort ו-MSD Radix יש גירסאות in-place ויש גרסאות יציבות. באחת השאלות ממבחנים קודמים נשאל "תן שלוש דוגמאות למיונים יציבים ושלוש דוגמאות למיונים לא יציבים". האם אפשר להכניס את שניהם לשתי הקטגוריות או שאנחנו מדברים רק על גירסאת in-place שאינה יציבה?

'''אפשר להכניס ל-2 הקטגוריות '''

== שאלה מבחינה - גיבוב קוקייה ==

נתונות פונקציות עירבול לעירבול קוקו – הפונקציה הראשונה היא גימטריה, הפונקציה השניה גימטריה ועוד עשר. הכנס לפי הסדר את המילים הבאות: דוד,משה, דודי, שמה, יד, כד,דל

למעשה כאן, אין בעיה, עד שאני מגיע להכנסת המילה כד. כשאני מכניס אותה אני נכנס למצב של לולאת "קוקו" אינסופית, שכן יש לי 4 מילים שמתחרות על שלושה מקומות:
* דוד - 14/24
* דודי - 24/34
* יד - 14/24
* כד - 24/34

יש לי שלושה מקומות לשים ארבע מילים, ולכן הקוקייה כל הזמן תזיז מילים כדי לפנות מקום למילים אחרות, ולמעשה נתקע.

כמו כן, בקלט עצמו יש הפרה של כללי גיבוב קוקיה, שכן בכיתה אמרנו שצריך להתקיים הכלל הבא:
אם x שונה מ-y אז אחת מפונק' הגיבוב תחזיר עבורם ערכים שונים.

כלל זה לא מתקיים עבור הזוגות:
* דוד + יד
* דודי + כד
* משה + שמה

בכל אופן, מה עושים בשאלה כזו? איך עונים עליה? תודה מראש.

'''זה היה בדיוק הרעיון בשאלה - שגיבוב קוקיה לא עובד עם הפונקציות האלה'''

== עצי סיפא + suffix link ==

הי ג'ניפר, תוכלי להעלות את האלגוריתם לבניית עצי סיפא תוך שימוש בספיקס לינק כפי שאמרת שתעשי? תודה.
'''נמצא ב"חומר עזר"'''

== ציוני תרגילים ==

איך נקבע ציון התרגיל הסופי? 
אפשר לא להגיש אחד תכנות וגם לא להגיש אחד תאורטי? 
מעל ממוצע מסויים בציון תרגיל הוא הופך להיות 100?

'''כבר כתבתי את זה בהודעות. מתוך סה"כ 9 תרגילים, לא יילקחו בחשבון תרגיל אחד תכנות ואחד תאורטי'''

האם מעל ציון ממוצע תרגיל מסויים הוא הופך להיות 100? (לדוגמא, מעל ממוצע 96, ציון התרגיל יהיה 100)

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-24T10:51:41Z

ABAB: /* ציוני תרגילים */

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-24T10:48:02Z

ABAB: /* ציוני תרגילים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

*'''[[:שיחה:88-280_תשעג_סמסטר_א/ארכיון|ארכיון]]'''

== שאלה למבחן בנושא עצי 2-3 ==

האם בעצי 2-3 הערכים בהכרח בעלים או שהם מאוכסנים בקודקודים הפנימיים? 
מצאתי מספר מקומות באינטרנט ([http://www.cs.ucr.edu/cs14/cs14_06win/slides/2-3_trees_covered.pdf] [http://cs51.seas.harvard.edu/hw/2-3-trees.pdf]) שלפיהם המידע מאוכסן גם בקודקודים הפנימיים.

'''הערכים נמצאים רק בעלים. בקודקודים הפנימיים יש אינדקסים. העלתי מצגת ב"חומר עזר"'''

== שאלה למבחן בנושא מיונים ==

לQuick Sort ו-MSD Radix יש גירסאות in-place ויש גרסאות יציבות. באחת השאלות ממבחנים קודמים נשאל "תן שלוש דוגמאות למיונים יציבים ושלוש דוגמאות למיונים לא יציבים". האם אפשר להכניס את שניהם לשתי הקטגוריות או שאנחנו מדברים רק על גירסאת in-place שאינה יציבה?

'''אפשר להכניס ל-2 הקטגוריות '''

== שאלה מבחינה - גיבוב קוקייה ==

נתונות פונקציות עירבול לעירבול קוקו – הפונקציה הראשונה היא גימטריה, הפונקציה השניה גימטריה ועוד עשר. הכנס לפי הסדר את המילים הבאות: דוד,משה, דודי, שמה, יד, כד,דל

למעשה כאן, אין בעיה, עד שאני מגיע להכנסת המילה כד. כשאני מכניס אותה אני נכנס למצב של לולאת "קוקו" אינסופית, שכן יש לי 4 מילים שמתחרות על שלושה מקומות:
* דוד - 14/24
* דודי - 24/34
* יד - 14/24
* כד - 24/34

יש לי שלושה מקומות לשים ארבע מילים, ולכן הקוקייה כל הזמן תזיז מילים כדי לפנות מקום למילים אחרות, ולמעשה נתקע.

כמו כן, בקלט עצמו יש הפרה של כללי גיבוב קוקיה, שכן בכיתה אמרנו שצריך להתקיים הכלל הבא:
אם x שונה מ-y אז אחת מפונק' הגיבוב תחזיר עבורם ערכים שונים.

כלל זה לא מתקיים עבור הזוגות:
* דוד + יד
* דודי + כד
* משה + שמה

בכל אופן, מה עושים בשאלה כזו? איך עונים עליה? תודה מראש.

'''זה היה בדיוק הרעיון בשאלה - שגיבוב קוקיה לא עובד עם הפונקציות האלה'''

== עצי סיפא + suffix link ==

הי ג'ניפר, תוכלי להעלות את האלגוריתם לבניית עצי סיפא תוך שימוש בספיקס לינק כפי שאמרת שתעשי? תודה.
'''נמצא ב"חומר עזר"'''

== ציוני תרגילים ==

איך נקבע ציון התרגיל הסופי? 
אפשר לא להגיש אחד תכנות וגם לא להגיש אחד תאורטי? 
מעל ממוצע מסיום בציון תרגיל הוא הופך להיות 100?

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-16T08:02:02Z

ABAB: /* שאלה למבחן בנושא מיונים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

'''[[:שיחה:88-280_תשעג_סמסטר_א/ארכיון]]'''

== שאלה למבחן בנושא עצי 2-3 ==

האם בעצי 2-3 הערכים בהכרח בעלים או שהם מאוכסנים בקודקודים הפנימיים? 
מצאתי מספר מקומות באינטרנט ([http://www.cs.ucr.edu/cs14/cs14_06win/slides/2-3_trees_covered.pdf] [http://cs51.seas.harvard.edu/hw/2-3-trees.pdf]) שלפיהם המידע מאוכסן גם בקודקודים הפנימיים.

'''הערכים נמצאים רק בעלים. בקודקודים הפנימיים יש אינדקסים. העלתי מצגת ב"חומר עזר"'''

== שאלה למבחן בנושא מיונים ==

לQuick Sort ו-MSD Radix יש גירסאות in-place ויש גרסאות יציבות. באחת השאלות ממבחנים קודמים נשאל "תן שלוש דוגמאות למיונים יציבים ושלוש דוגמאות למיונים לא יציבים". האם אפשר להכניס את שניהם לשתי הקטגוריות או שאנחנו מדברים רק על גירסאת in-place שאינה יציבה?

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-16T08:00:26Z

ABAB:

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א/ארכיון

2013-01-16T08:00:10Z

ABAB: יצירת דף עם התוכן "== תרגיל 1 == עד כמה צריך לפרט בהוכחת קצבי הגידול (האם ניתן להשתמש בגבולות שהוכחנו באינפי לפנ..."

== תרגיל 1 ==

עד כמה צריך לפרט בהוכחת קצבי הגידול (האם ניתן להשתמש בגבולות שהוכחנו באינפי לפני שנתיים?)

'''תשובה:'''

אפשר פשוט להשתמש בהגדרה:
<math>f(n)=o(g(n))</math> (סימון אחר <math>f(n)\ll g(n)</math>) אם <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f(n)}{g(n)}\right|=0</math>.

(כלומר g גדלה מהר יותר מ-f)

וככה לדרג את כל הפונקציות

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

נראה לי שיש טעות באלגוריתם.
בשורה: return j, זה צריך להיות לדעתי return i.
כמו שזה עכשיו הוא תמיד יחזיר את אותו הערך, את n.
 
אגב, קצת פחות חשוב, אבל צריך להיות רשום A[j]==i במקום a[j]==i

'''תשובה:'''
נכון, זה צריך להיות return i.
אני מעלה מחדש את קובץ התרגיל עם התיקון.
תודה

== שאלה 1 פונקציה 1 ==

<math>
e^{\log_d n^3} = e^{3\log_d n} = e^{3\frac{\log_e n}{\log_e d}} = n^{\frac{3}{\log_e d}}
</math>
מדוע במקרה זה לא חשוב לדעת את הבסיס של הלוגריתם? 
לדוגמא, במידה ו
<math>
d=\sqrt[100]{e}
</math>
אז הפונקציה שייכת ל:
<math>
O(n^{300})
</math>
ואילו אם
<math>
d=e^3
</math>
אז הפונקציה שייכת ל:
<math>
O(n)
</math>
 
וזה משפיע כמובן על היחס של קצב הגידול שלה לעומת פונקציה 2 לדוגמא.

'''תשובה:'''
נכון

בסיס הלוגריתם אינו משנה רק כאשר מדובר בלוגריתם רגיל או לוגריתם בחזקה כלשהי.

אך כאשר מדובר בלוגריתם באקספוננט זה זה כן משנה.
 
'''המשך שאלה:''' 
אז איך אני אמור לדרג את הפונקציה הזאת לעומת פונקציות 2,6 או 8 כשהבסיס אינו ידוע?

'''תשובה:'''
אתם יכולים להניח שהבסיס הוא e, כלומר זה ln.
--[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:59, 4 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלות (טכניות) לגבי תרגיל 2 ==

# לכותבים ב-c++, מהם שמות ההגשה? בקובץ עצמו רשומים אותם שמות הגשה לשני החלקים. '''שמות הגשה צוינו בתרגיל'''
# בקבצים עצמם, הפונקצייה שאני צריך להגיש היא פונקציית main? '''פונקציית ה-main צריכה להיות הראשית בקובץ'''
# האם צריך להגיש גם מייקפייל? '''לא, כל התוכנית צריכה להיות בקובץ אחד (אתם מגישים קובץ יחיד)'''
# בעבור חלק 1 כתוב שאם יש מסלול הוא יחיד, מצד שני בדוגמה השנייה שנתת יש שתי אפשרויות למסלולים (פעם אחת המסלול שנפל, ופעם השנייה המסלול שנפלט בתוספת ה-W האחרונה). האם להניח שאכן יש מסלול אחד? אם אי אפשר להניח זאת, איזה מסלול לפלוט? '''אפשר להניח שקיים מסלול יחיד. אני אתקן את הדוגמא'''
# בחלק 1, האם המחסנית חייבת להיות מחסנית של האותיות במבוך, או לחילופין אפשר שהמחסנית תכלול בתוכה מבני נתונים אחרים (למשל, structים בסיסיים או מחרוזות).'''המחסנית צריכה להכיל את הנקודות של המסלול בלבד'''
# בחלק 2, בדוגמות - עבור הדוגמה הראשונה, האם הפלט לא אמור להיות 6 (עבור המסלול A -> B -> b -> p -> t -> g), ובדוגמה השנייה, האם הפלט לא אמור להיות 5? '''כתוב ששתי אותיות זהות לא יכולות להיות צמודות במסלול'''

תודה מראש.

== שאלה על תרגיל 2 ==

בחלק הראשון, מטריצת העזר יכולה להיות של סטראקטים (המכילים כמה נתונים עוזרים?) תודה! '''לא - מטריצת העזר צריכה להיות מטריצה בינארית (רמז)'''

== דוגמה בחלק 1 של תרגיל 2 ==

הי, האם המטריצה המתקבלת בחלק 1 אמורה להיות ריבועית? אם כן, נראה לי שיש טעות בדוגמה הראשונה... תודה מראש. '''נכון- הוספתי שורת "#", גם בדוגמא של החלק השני'''

== סוג המחסנית ==

האם המחסנית חייבת להכיל נתונים מטיפוס char או שניתן להשתמש ב-int יחיד כדי לסמל מיקום? '''היא אמורה להכיל את המסלול, אז לא צריך char'''
:אז היא יכולה להכיל סטראקטים (המכילים את מיקומי הנקודות במסלול?)
::לא צריך סטראקט בשביל מיקום, Int יחיד יכול לתת לך מיקום בצורה חח"ע.
:::אוקי, תודה

== בדיקה אוטומטית במערכת ==

הי ג'ניפר,

האם תוכלי להעלות את הקבצים שבהם את משתמשת לבדיקה האוטומטית הראשונית? אני שואל זאת כי כרגע אני לא מקבל את הציון המקסימלי, ואם היית מפרסמת (כפי שעושים בקורסים אחרים) אז זה יוכל לכוון אותי (שאדע במה אני טועה). מה גם שכרגע הציון המקסימלי שהגיעו אליו הוא 40 (מבדיקה עם רבים מהסטודנטים בקורס) ולכן זו בעיה שכנראה חוזרת אצל הרבה מאיתנו ואנחנו לא מוצאים פתרון לה. תודה רבה מראש, ושבת שלום :)

'''אני צריכה לדבר עם יורם על זה. בכל מקרה אחד מכם קיבל 50 בחלק הזה, כך שזה אפשרי''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 19:01, 10 בנובמבר 2012 (IST)

'''החלטנו לא תת את הקלטים של הבדיקה. אתם אמורים לתכנת לפי כל מקרי הקצה, ולא לפי קלטים מסוימים כדי שיעובד לכם בבדיקה'''

'''אני מעלה לדף התרגילים דוגמא נוספת שאמורה לכוון אתכם. בהצלחה ''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 12:27, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תקלה בהגשת תרגיל 2, חלק 2==
כשאני מנסה להגיש את תרגיל 2, חלק 2 (ב-c++) אני מקבל חזרה למייל את הודעת השגיאה הבאה

There is a problem with the configuration files:
Could not find "targil2_2_cpp" in "auto.cfg".

תוכלי לתקן את זה, כדי שנוכל להגיש ולקבל ציון? תודה מראש.
'''תוקן''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 18:59, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3, שאלה 3 ==

אם חלק מהפעולות שלנו הן כמעט זהות לפעולות שכבר מימשנו בהרצאה או בתרגול (הוספה או הוצאה מעץ וכו'), האם יש צורך לממשן מחדש, או שאפשר לכתוב משהו בסגנון "כמו פעולת הכנסה לעץ, רק עם השינוי הקטן הזה (..)"?
תודה!

'''כן, אבל תשתדלו לרשום בכל זאת בצורה של פסאודו קוד כמה שאפשר''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 16:40, 12 בנובמבר 2012 (IST)

מה זה אומר? צריך להתחיל לממש בפסאודו קוד סיבובי עץ, הכנסת והוצאת איברים? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 18:55, 20 בנובמבר 2012 (IST)

:לדעתי לא זו הייתה הכוונה של ג'ניפר. אם אתה משתמש בפעולות המוכרות אז אין בעיה להשתמש בהן כמו "קופסה שחורה" אבל אם אתה למשל משתמש בפעולה שהיא "כמו פעולת החיפוש אבל מחפשת 5 איברים בו זמנית במקום 1 בכל פעם" אז תממש. אשמח אם ג'ניפר תתקן במידה ואני טועה.

'''נכון - אם יש שינויים אתה חייב לפרט. פשוט תפרט בקצרה את השינוי בפונקציה הקיימת. לא ירדו נקודות על צורת הפסאודו-קוד. פשוט שיהיה ברור מה הפונקציה עושה''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 12:49, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 4 ==

איך יכול להיות שהפלט הראשון הוא Already inside, כשבהתחלה העץ שלי ריק?
'''לא לכל שורה בקלט צריך להדפיס פלט. למשל כשמכניסים ספר, אז אין צורך בפלט. יהיה פלט אם מנסים להכניס ספר שכבר קיים! אז השורה "already inside" מתייחסת לשורה ה-4 בקלט...'''
:תודה רבה, לא שמתי לב לזה...

== שאלה לגבי תרגיל 4 ==

1) האם מותר להשתמש בספריות STL לדברים שהם לא יישום של העץ? מחסנית, תור וכאלה... '''כן, אפשר, אבל שוב רק בשביל זה. אל תשכחו שיש בדיקה ידנית...''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:58, 23 בנובמבר 2012 (IST)

2) מה התנאי עצירה של התכנית? '''התוכנית וצרת כאשר נגמרו הפקודות''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:58, 23 בנובמבר 2012 (IST)

== הוצאת איבר מעץ (תרגיל 4) ==

כשאני מוציא איבר מעץ avl שאינו עלה, אמרנו בהרצאה שעושים את אחד מהדברים הבאים:
# מחליפים אותו באיבר הכי ימני בתת העץ השמאלי שלו.
# מחליפים אותו באיבר הכי שמאלי בתת העץ הימני שלו.
התוצאה, בשני המקרים, היא שהאיבר שלנו הופך להיות עלה ואז אין לי בעיה למחוק אותו (וכמובן שאחרי זה אני גם צריך לאזן את העץ).

עם זאת, בכל מקרה הנתונים יהיו שמורים בעץ בצורה שונה, ולכן כשאני ארצה להדפיס מהעץ (ע"י Inorder או אחת מהסריקות האחרות) אני אקבל שהנתונים יודפסו בסדר שונה. מכיוון שבבדיקה האוטומטית מתקבל רק סדר מסוים, לפי איזו משתי האופציות מעלה עליי לפעול? תודה.

'''תחליפו אותו באיבר הכי ימני בתת העץ השמאלי שלו. ב-Inorder זה לא משנה כי זה מדפיס את הערכים בסדר הטבעי שלהם מהקטן לגדול. זה משנה ב-Postorder ו-Preorder. '''

--[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 09:52, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== עוד בדיקות לתרגיל 4 ==

אפשר להוסיף בבקשה עוד דוגמאות לבדיקות והפלט שלהם עבור תרגיל 4? ספציפית בדיקות עם שימוש ב-Remove.

== שאלה בתרגיל4 ==

האם יכול להיות ספר שאין לו משאיל? אם כן, מה יהיה במידע על המשאיל, אם לא זה הכי טוב! ''' לא, לא יכול להיות כזה מצב'''

== תרגיל 5 - זמן ריצה ==

לא נרשמה הגבלה לזמן הריצה של תרגיל 1 ו-3. מה היא? '''תציע אלגוריתמים יעילים ככל שאפשר'''

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

האם אפשר להשתמש במבנה הנתונים vector (כלומר, זה שממומש ב-stl של c++, כמעין מערך שגדל באופן דינמי ועם גישה של o(1))? תודה. '''כן, רק תסביר בקצרה על מבנה הנתונים''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:56, 9 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלות 1-2 ==

כתוב למצוא את המסלול "הקצר ביותר". הכוונה מבחינת משקל או מבחינת כמות קודקודים בדרך? '''המסלול הקצר ביותר זה המסלול בעל המשקל הנמוך ביותר'''

== תרגיל 6 שאלה 3 א' b ==

מהו גודל הצעד? '''ב- linear probing, אם המקום אליו הגענו תפוס, הולכים למקום הבא במערך, כלומר הצעד הוא 1. אם גם זה תפוס, הולכים למקום הבא וכו' עד שנמצא מקום ריק. '''

== ציונים בתרגיל 2 ==

את יכולה בבקשה להעלות את הציונים בתרגיל 2? '''יש עדיין עיכוב עם הציונים (הבודק חולה). עד סוף השבוע נפרסם את הציונים של תרגיל 2 ו-3. מצטערים...'''

== שאלה 3 סעיף א' c ==

האם בסעיף c בשאלה 3 א', גודל הטבלה הוא m*2 או שאחרי שמבצעים h1+h2 עושים שוב mod11? '''עושים שוב מודולו'''

== שאלה לגבי שיעורים בשבוע הבא ==

ביום א: יש שש שעות הרצאה לבסוף?

ביום ג: יש הרצאה או תרגול?

תודה מראש.

'''בקשר ליום ראשון פרסמתי הודעה לפני מה ימים - יש לכם 6 שעות (זה יהיה קשה אבל לפחות תסיימו את החומר מספיק זמן לפני המבחן). יום שלישי יש תרגול'''

== שאלה לגבי תרגיל 7, חלק 1 ==

באשר לפונק' גיבוב שהמלצת - בסופו של דבר, יש לי טבלה קטנה, אבל פונק' הגיבוב מחזירה לי תוצאה שהיא מודולו מספר ראשוני גדול, כלומר התוצאה הזו יכולה לחרוג בהרבה מגבולות הטבלה. האם לעשות על התוצאה שיצאה לי מודולו גודל הטבלה?

תודה.

'''תמיד צריך לעשות מודולו גודל הטבלה כדי לקבל אינדקס מתאים לטבלה שלנו'''

== שימוש ברשימה מקושרת ==

האם אפשר להשתמש ברשימה מקושרת של STL בתרגיל 7 חלק 1 על מנת לממש טבלת גיבוב פתוחה?
האם מותר להשתמש ב <stdlib> כדי להשתמש בatoi בשביל להפוך את n בארגומנט לתכנית למספר?
והאם אפשר להשתמש בsort של STL? תודה!

'''כן. ציינתי בתרגיל שניתן להשתמש ב-Vector של STL. וכן מותר להשתמש ב-stdlib וגם ב-sort של STL.'''

== דוגמאות נוספות עבור תרגיל 7 ==

ג'ניפר שלום, תוכלי להוסיף דוגמאות נוספות לקלט ופלט עבור תרגיל 7? תודה

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-14T16:53:15Z

ABAB: /* שאלה למבחן בנושא עצי 2-3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

עד כמה צריך לפרט בהוכחת קצבי הגידול (האם ניתן להשתמש בגבולות שהוכחנו באינפי לפני שנתיים?)

'''תשובה:'''

אפשר פשוט להשתמש בהגדרה:
<math>f(n)=o(g(n))</math> (סימון אחר <math>f(n)\ll g(n)</math>) אם <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f(n)}{g(n)}\right|=0</math>.

(כלומר g גדלה מהר יותר מ-f)

וככה לדרג את כל הפונקציות

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

נראה לי שיש טעות באלגוריתם.
בשורה: return j, זה צריך להיות לדעתי return i.
כמו שזה עכשיו הוא תמיד יחזיר את אותו הערך, את n.
 
אגב, קצת פחות חשוב, אבל צריך להיות רשום A[j]==i במקום a[j]==i

'''תשובה:'''
נכון, זה צריך להיות return i.
אני מעלה מחדש את קובץ התרגיל עם התיקון.
תודה

== שאלה 1 פונקציה 1 ==

<math>
e^{\log_d n^3} = e^{3\log_d n} = e^{3\frac{\log_e n}{\log_e d}} = n^{\frac{3}{\log_e d}}
</math>
מדוע במקרה זה לא חשוב לדעת את הבסיס של הלוגריתם? 
לדוגמא, במידה ו
<math>
d=\sqrt[100]{e}
</math>
אז הפונקציה שייכת ל:
<math>
O(n^{300})
</math>
ואילו אם
<math>
d=e^3
</math>
אז הפונקציה שייכת ל:
<math>
O(n)
</math>
 
וזה משפיע כמובן על היחס של קצב הגידול שלה לעומת פונקציה 2 לדוגמא.

'''תשובה:'''
נכון

בסיס הלוגריתם אינו משנה רק כאשר מדובר בלוגריתם רגיל או לוגריתם בחזקה כלשהי.

אך כאשר מדובר בלוגריתם באקספוננט זה זה כן משנה.
 
'''המשך שאלה:''' 
אז איך אני אמור לדרג את הפונקציה הזאת לעומת פונקציות 2,6 או 8 כשהבסיס אינו ידוע?

'''תשובה:'''
אתם יכולים להניח שהבסיס הוא e, כלומר זה ln.
--[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:59, 4 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלות (טכניות) לגבי תרגיל 2 ==

# לכותבים ב-c++, מהם שמות ההגשה? בקובץ עצמו רשומים אותם שמות הגשה לשני החלקים. '''שמות הגשה צוינו בתרגיל'''
# בקבצים עצמם, הפונקצייה שאני צריך להגיש היא פונקציית main? '''פונקציית ה-main צריכה להיות הראשית בקובץ'''
# האם צריך להגיש גם מייקפייל? '''לא, כל התוכנית צריכה להיות בקובץ אחד (אתם מגישים קובץ יחיד)'''
# בעבור חלק 1 כתוב שאם יש מסלול הוא יחיד, מצד שני בדוגמה השנייה שנתת יש שתי אפשרויות למסלולים (פעם אחת המסלול שנפל, ופעם השנייה המסלול שנפלט בתוספת ה-W האחרונה). האם להניח שאכן יש מסלול אחד? אם אי אפשר להניח זאת, איזה מסלול לפלוט? '''אפשר להניח שקיים מסלול יחיד. אני אתקן את הדוגמא'''
# בחלק 1, האם המחסנית חייבת להיות מחסנית של האותיות במבוך, או לחילופין אפשר שהמחסנית תכלול בתוכה מבני נתונים אחרים (למשל, structים בסיסיים או מחרוזות).'''המחסנית צריכה להכיל את הנקודות של המסלול בלבד'''
# בחלק 2, בדוגמות - עבור הדוגמה הראשונה, האם הפלט לא אמור להיות 6 (עבור המסלול A -> B -> b -> p -> t -> g), ובדוגמה השנייה, האם הפלט לא אמור להיות 5? '''כתוב ששתי אותיות זהות לא יכולות להיות צמודות במסלול'''

תודה מראש.

== שאלה על תרגיל 2 ==

בחלק הראשון, מטריצת העזר יכולה להיות של סטראקטים (המכילים כמה נתונים עוזרים?) תודה! '''לא - מטריצת העזר צריכה להיות מטריצה בינארית (רמז)'''

== דוגמה בחלק 1 של תרגיל 2 ==

הי, האם המטריצה המתקבלת בחלק 1 אמורה להיות ריבועית? אם כן, נראה לי שיש טעות בדוגמה הראשונה... תודה מראש. '''נכון- הוספתי שורת "#", גם בדוגמא של החלק השני'''

== סוג המחסנית ==

האם המחסנית חייבת להכיל נתונים מטיפוס char או שניתן להשתמש ב-int יחיד כדי לסמל מיקום? '''היא אמורה להכיל את המסלול, אז לא צריך char'''
:אז היא יכולה להכיל סטראקטים (המכילים את מיקומי הנקודות במסלול?)
::לא צריך סטראקט בשביל מיקום, Int יחיד יכול לתת לך מיקום בצורה חח"ע.
:::אוקי, תודה

== בדיקה אוטומטית במערכת ==

הי ג'ניפר,

האם תוכלי להעלות את הקבצים שבהם את משתמשת לבדיקה האוטומטית הראשונית? אני שואל זאת כי כרגע אני לא מקבל את הציון המקסימלי, ואם היית מפרסמת (כפי שעושים בקורסים אחרים) אז זה יוכל לכוון אותי (שאדע במה אני טועה). מה גם שכרגע הציון המקסימלי שהגיעו אליו הוא 40 (מבדיקה עם רבים מהסטודנטים בקורס) ולכן זו בעיה שכנראה חוזרת אצל הרבה מאיתנו ואנחנו לא מוצאים פתרון לה. תודה רבה מראש, ושבת שלום :)

'''אני צריכה לדבר עם יורם על זה. בכל מקרה אחד מכם קיבל 50 בחלק הזה, כך שזה אפשרי''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 19:01, 10 בנובמבר 2012 (IST)

'''החלטנו לא תת את הקלטים של הבדיקה. אתם אמורים לתכנת לפי כל מקרי הקצה, ולא לפי קלטים מסוימים כדי שיעובד לכם בבדיקה'''

'''אני מעלה לדף התרגילים דוגמא נוספת שאמורה לכוון אתכם. בהצלחה ''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 12:27, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תקלה בהגשת תרגיל 2, חלק 2==
כשאני מנסה להגיש את תרגיל 2, חלק 2 (ב-c++) אני מקבל חזרה למייל את הודעת השגיאה הבאה

There is a problem with the configuration files:
Could not find "targil2_2_cpp" in "auto.cfg".

תוכלי לתקן את זה, כדי שנוכל להגיש ולקבל ציון? תודה מראש.
'''תוקן''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 18:59, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3, שאלה 3 ==

אם חלק מהפעולות שלנו הן כמעט זהות לפעולות שכבר מימשנו בהרצאה או בתרגול (הוספה או הוצאה מעץ וכו'), האם יש צורך לממשן מחדש, או שאפשר לכתוב משהו בסגנון "כמו פעולת הכנסה לעץ, רק עם השינוי הקטן הזה (..)"?
תודה!

'''כן, אבל תשתדלו לרשום בכל זאת בצורה של פסאודו קוד כמה שאפשר''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 16:40, 12 בנובמבר 2012 (IST)

מה זה אומר? צריך להתחיל לממש בפסאודו קוד סיבובי עץ, הכנסת והוצאת איברים? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 18:55, 20 בנובמבר 2012 (IST)

:לדעתי לא זו הייתה הכוונה של ג'ניפר. אם אתה משתמש בפעולות המוכרות אז אין בעיה להשתמש בהן כמו "קופסה שחורה" אבל אם אתה למשל משתמש בפעולה שהיא "כמו פעולת החיפוש אבל מחפשת 5 איברים בו זמנית במקום 1 בכל פעם" אז תממש. אשמח אם ג'ניפר תתקן במידה ואני טועה.

'''נכון - אם יש שינויים אתה חייב לפרט. פשוט תפרט בקצרה את השינוי בפונקציה הקיימת. לא ירדו נקודות על צורת הפסאודו-קוד. פשוט שיהיה ברור מה הפונקציה עושה''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 12:49, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 4 ==

איך יכול להיות שהפלט הראשון הוא Already inside, כשבהתחלה העץ שלי ריק?
'''לא לכל שורה בקלט צריך להדפיס פלט. למשל כשמכניסים ספר, אז אין צורך בפלט. יהיה פלט אם מנסים להכניס ספר שכבר קיים! אז השורה "already inside" מתייחסת לשורה ה-4 בקלט...'''
:תודה רבה, לא שמתי לב לזה...

== שאלה לגבי תרגיל 4 ==

1) האם מותר להשתמש בספריות STL לדברים שהם לא יישום של העץ? מחסנית, תור וכאלה... '''כן, אפשר, אבל שוב רק בשביל זה. אל תשכחו שיש בדיקה ידנית...''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:58, 23 בנובמבר 2012 (IST)

2) מה התנאי עצירה של התכנית? '''התוכנית וצרת כאשר נגמרו הפקודות''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:58, 23 בנובמבר 2012 (IST)

== הוצאת איבר מעץ (תרגיל 4) ==

כשאני מוציא איבר מעץ avl שאינו עלה, אמרנו בהרצאה שעושים את אחד מהדברים הבאים:
# מחליפים אותו באיבר הכי ימני בתת העץ השמאלי שלו.
# מחליפים אותו באיבר הכי שמאלי בתת העץ הימני שלו.
התוצאה, בשני המקרים, היא שהאיבר שלנו הופך להיות עלה ואז אין לי בעיה למחוק אותו (וכמובן שאחרי זה אני גם צריך לאזן את העץ).

עם זאת, בכל מקרה הנתונים יהיו שמורים בעץ בצורה שונה, ולכן כשאני ארצה להדפיס מהעץ (ע"י Inorder או אחת מהסריקות האחרות) אני אקבל שהנתונים יודפסו בסדר שונה. מכיוון שבבדיקה האוטומטית מתקבל רק סדר מסוים, לפי איזו משתי האופציות מעלה עליי לפעול? תודה.

'''תחליפו אותו באיבר הכי ימני בתת העץ השמאלי שלו. ב-Inorder זה לא משנה כי זה מדפיס את הערכים בסדר הטבעי שלהם מהקטן לגדול. זה משנה ב-Postorder ו-Preorder. '''

--[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 09:52, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== עוד בדיקות לתרגיל 4 ==

אפשר להוסיף בבקשה עוד דוגמאות לבדיקות והפלט שלהם עבור תרגיל 4? ספציפית בדיקות עם שימוש ב-Remove.

== שאלה בתרגיל4 ==

האם יכול להיות ספר שאין לו משאיל? אם כן, מה יהיה במידע על המשאיל, אם לא זה הכי טוב! ''' לא, לא יכול להיות כזה מצב'''

== תרגיל 5 - זמן ריצה ==

לא נרשמה הגבלה לזמן הריצה של תרגיל 1 ו-3. מה היא? '''תציע אלגוריתמים יעילים ככל שאפשר'''

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

האם אפשר להשתמש במבנה הנתונים vector (כלומר, זה שממומש ב-stl של c++, כמעין מערך שגדל באופן דינמי ועם גישה של o(1))? תודה. '''כן, רק תסביר בקצרה על מבנה הנתונים''' --[[משתמש:Jeniiiiibee|Jeniiiiibee]] 11:56, 9 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלות 1-2 ==

כתוב למצוא את המסלול "הקצר ביותר". הכוונה מבחינת משקל או מבחינת כמות קודקודים בדרך? '''המסלול הקצר ביותר זה המסלול בעל המשקל הנמוך ביותר'''

== תרגיל 6 שאלה 3 א' b ==

מהו גודל הצעד? '''ב- linear probing, אם המקום אליו הגענו תפוס, הולכים למקום הבא במערך, כלומר הצעד הוא 1. אם גם זה תפוס, הולכים למקום הבא וכו' עד שנמצא מקום ריק. '''

== ציונים בתרגיל 2 ==

את יכולה בבקשה להעלות את הציונים בתרגיל 2? '''יש עדיין עיכוב עם הציונים (הבודק חולה). עד סוף השבוע נפרסם את הציונים של תרגיל 2 ו-3. מצטערים...'''

== שאלה 3 סעיף א' c ==

האם בסעיף c בשאלה 3 א', גודל הטבלה הוא m*2 או שאחרי שמבצעים h1+h2 עושים שוב mod11? '''עושים שוב מודולו'''

== שאלה לגבי שיעורים בשבוע הבא ==

ביום א: יש שש שעות הרצאה לבסוף?

ביום ג: יש הרצאה או תרגול?

תודה מראש.

'''בקשר ליום ראשון פרסמתי הודעה לפני מה ימים - יש לכם 6 שעות (זה יהיה קשה אבל לפחות תסיימו את החומר מספיק זמן לפני המבחן). יום שלישי יש תרגול'''

== שאלה לגבי תרגיל 7, חלק 1 ==

באשר לפונק' גיבוב שהמלצת - בסופו של דבר, יש לי טבלה קטנה, אבל פונק' הגיבוב מחזירה לי תוצאה שהיא מודולו מספר ראשוני גדול, כלומר התוצאה הזו יכולה לחרוג בהרבה מגבולות הטבלה. האם לעשות על התוצאה שיצאה לי מודולו גודל הטבלה?

תודה.

'''תמיד צריך לעשות מודולו גודל הטבלה כדי לקבל אינדקס מתאים לטבלה שלנו'''

== שימוש ברשימה מקושרת ==

האם אפשר להשתמש ברשימה מקושרת של STL בתרגיל 7 חלק 1 על מנת לממש טבלת גיבוב פתוחה?
האם מותר להשתמש ב <stdlib> כדי להשתמש בatoi בשביל להפוך את n בארגומנט לתכנית למספר?
והאם אפשר להשתמש בsort של STL? תודה!

'''כן. ציינתי בתרגיל שניתן להשתמש ב-Vector של STL. וכן מותר להשתמש ב-stdlib וגם ב-sort של STL.'''

== דוגמאות נוספות עבור תרגיל 7 ==

ג'ניפר שלום, תוכלי להוסיף דוגמאות נוספות לקלט ופלט עבור תרגיל 7? תודה

== שאלה למבחן בנושא עצי 2-3 ==

האם בעצי 2-3 הערכים בהכרח בעלים או שהם מאוכסנים בקודקודים הפנימיים? 
מצאתי מספר מקומות באינטרנט ([http://www.cs.ucr.edu/cs14/cs14_06win/slides/2-3_trees_covered.pdf] [http://cs51.seas.harvard.edu/hw/2-3-trees.pdf]) שלפיהם המידע מאוכסן גם בקודקודים הפנימיים.

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2013-01-09T17:37:33Z

ABAB: /* דוגמאות נוספות עבור תרגיל 7 */ פסקה חדשה

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-12-26T11:43:53Z

ABAB: /* שאלה 3 סעיף א' c */ פסקה חדשה

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-11-26T19:01:44Z

ABAB: /* עוד בדיקות לתרגיל 4 */ פסקה חדשה

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-11-20T16:55:41Z

ABAB: /* תרגיל 3, שאלה 3 */

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-11-01T15:02:34Z

ABAB: /* שאלה 1 פונקציה 1 */

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-11-01T15:02:08Z

ABAB: /* שאלה 1 פונקציה 1 */

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-11-01T15:01:05Z

ABAB: /* שאלה 1 פונקציה 1 */

שיחה:88-280 תשעג סמסטר א

2012-10-31T17:05:54Z

ABAB: /* שאלה 1 פונקציה 1 */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-09-11T08:23:48Z

ABAB: /* מועד ב' */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תשובה במשוואה מרוכבת ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
האם פתרון של משוואה מרוכבת יכול לצאת עם שורש i ?

תשובה: הפתרון (או פתרונות) למשוואה מרוכבת צריך להיות מוצג בצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.

בלי שורש <math>i</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:02, 16 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 בתרגיל 1, טקסט לא מובן ==

האם הנקודה האחרונה היא (t,4)?
אם כן, האם צריך לבטא בעזרת הפרמטר t ?

תשובה: אכן, הנקודה האחרונה היא <math>(t,4)</math>.
יש לבטא את התשובה באמצעות <math>t</math> ולשים לב לאפשרויות השונות שיכולות להיות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 16 ביולי 2012 (IDT)

== מערכת משוואות ==

האם אני חייב לפתור את המערכת משוואות בעזרת מטריצה או שאני יכול לפתור אותן בדרך הישנה כמו שמלמדים בתיכון (בדרך של הצבה). (שאלות 7-9)

תשובה: המטרה היא לתרגל דירוג מטריצות, אז כן, צריך להשתמש במטריצות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:33, 17 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 1 שאלה 9 ==

אין שום הבדל בין שאלה 8 ל9 מבחינת דרך הפיתרון (רק השדה שונה) . צריך לפתור את שאלה 9 בדרך שונה משאלה 8? או לפתור אותה בדיוק כמו שאלה 8?

תשובה:
אני לא יכול להגיד באיזה דרך צריך לפתור.

צריך לפתור את שאלה 9 ולהגיע לתשובה נכונה.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 עובדת בשאלה 9, אז תשתמש באותה דרך.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 לא עובדת, אז תשתמש בדרך אחרת.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:31, 19 ביולי 2012 (IDT)

== כמה שאלות לגבי התרגילים ==

1. האם אני צריך להראות את צורת הפתרון הסופי כאשר יש אינסוף פתרונות?
2. האם אני יכול להניח ב8 ש <math>b</math> שונה מאפס?
3. איך אני אמור לפתור את 9 אם אני לא יודע אם a גדול או קטן מ7 (מבחינת מודול)

כמה תשובות:

1) כן.

2) לא. אבל אתה יכול להפריד למקרים.

3) זה לא ממש אמור לשנות לך. <math>a</math> הוא איבר של <math>\mathbb{Z}_7</math>. בכל מקרה במודולו <math>7</math> הוא שווה לאחד מ
<math>\{0,1,\ldots,6\}</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:25, 19 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל בית 1 - שאלה 9 ==

האם אפשר להבין מכך שהמשתנים נמצאים במשוואות הנתונות שהם בין 0 ל-6 (כלומר a, a+3, a^2, b נמצאים בתחום הזה)?

תשובה: כל מספר שלם (כולל <math>a^2,a+3 </math> וכו') שווה במודולו 7 למספר בין 0 ל 6.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:27, 19 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

רק לוודאות: כשכתוב לפתור את מערכת המשוואות עם הפרמטר הכוונה למצוא פיתרון יחיד? או שהכוונה מתי אינסוף פתרונות וכו'...

תשובה: לפתור את המערכת אומר:

1) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש פתרון יחיד - ולמצוא את הפתרון.

2) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים אין פתרון.

3) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש אינסוף פתרונות - ולמצוא את הפתרון הכללי.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:27, 20 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

איך אמורים לפתור את התרגיל הזה? צריך גם לחשוב על מספרים שיהיו בשדה וגם על החיבור והכפל שלהם..

:תשובה: כן. צריך לקחת ארבעה מספרים או סימנים כלשהם (<math>\{0,1,2,3\}</math> או <math>\{a,b,c,d\}</math> - זה לא באמת משנה) ולהגדיר על ארבעת האיברים האלה כפל וחיבור כך שכל האקסיומות של שדה מתקיימות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:29, 20 ביולי 2012 (IDT)

אבל לא משנה איך מסדרים את האיברים, יצא לנו או שדה על mod 4 - סתירה (4 לא ראשוני), או (שני איברים ניטרלים לכפל או לחיבור).

:שדה עם 4 איברים לא אומר שכל האיברים שונים. שני איברים נייטרלים לחיבור אומר שהקבוצה היא לא שדה רק אם שניהם שונים, אותו דבר לגבי כפל. [[משתמש:אלמוג אלפסה|אלמוג אלפסה]] 09:53, 21 ביולי 2012 (IDT)

::לא ייתכנו שני איברים נייטרלים לפעולה אחת. קל להוכיח שאיבר נייטרלי לפעולה הוא יחיד (מה יהיה סכום איברים נייטרלים שונים לחיבור?). אבל הפעולות לא חייבות להיות כמו Z ארבע, יש הרבה מאד דרכים להגדיר את הפעולות בין האיברים. אחת הדרכים תתן שדה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל לא יכולים להיות איברים כפולים בשדה, כי שדה זה קבוצה, ובקבוצה מורידים איברים כפולים

== רק להיות בטוח ==

כשאומרים פתירת מערכת מעל שדה כלשהו(נגיד Z 7), מתכוונים שרק הנעלמים שייכים לאותו השדה או שגם הפרמטרים?
:הכל שייך לשדה. כלומר, אם מבקשים ממך לפתור את 31x=3 מעל Z7, קודם הייתי מוצא מה הערך של 31 ב-z7 ואז ממשיך...
::אבל אם נגיד אתה מחלק 3 ב 37, אז יוצא לך מספר לא שלם, אז איך אתה יכול לפתור אותו מעל Z7?
:::אתה יכול לפרק 37=a*7+b כאשר a מקסימלי. במקרה כזה, ב-z7, שלושים ושבע יהיה שקול ל-b.
::::לא ממש הבנתי.. נגיד 4X = 25 מעל Z11, למה יהיה שווה X?
:::::לכל מספר בשדה יש הופכי, אתה כופל בהופכי בשני הצדדים. בדוגמא שהבאת, ההופכי של 4 הוא 3 (שכן 12=1 מודולו 11). לכן איקס שווה ל75=9 מודולו 11. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה לגבי דירוג משוואות ב12 ==

חובה לדרג את המשוואות או שאפשר פשוט להביא את המקרים של a בשדה?
:לדרג, זה מה שלומדים בתרגיל הזה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' ==

ב':אני חושב שאמור להיות שהעמודה ה-J שווה לעמודה ה-I של A כי ה-1 הוא האיבר ה-I בעמודה J
ואותו הדבר לגבי סעיף ג':שורה i שווה לשורהJ של A

תשובה: אתה צודק, יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:09, 22 ביולי 2012 (IDT)

עלתה גרסא מתוקנת. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

מה הכוונה במטריצות סגורות לכפל? לא זכור לי שעברנו על זה בתרגיל/הרצאה.

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

כלומר השאלה היא בעצם אם אכפול שתי מטריצות סקלריות, האם אקבל מטריצה סקלרית?
האם צריך להוכיח/להפריך את התשובה, כי השאלה שואלת רק אילו סגורות ואילו לא.
:כמובן שיש להוכיח/להפריך --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]]

== שאלה 2 חלק שני ==

בשאלה 2 אני צריך להניח שמיספר השורות ב A שווה למיספר העמודות ב E? או שזה ברור?

תשובה: כן. <math>A,E_{i,j}\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בשעורי בית 2 ==

בשאלה 3 סעיף ג', שואלים עברו אילו ערכי a , b המטריצה הפיכה, ומה ההפיכה עבור ערכים אלו.

עכשיו אני הצחלתי להגיע לאילו ערכי a ,b '''אין''' הפיכה.. אז מה להגיד שעבור כל ערך שהוא לא מה שמצאתי יש הפיכה??

כי ביקשו עבור ערכי a,b ספציפיים..

תשובה: אין בעיה להגיד שעבור כל <math>a,b</math> פרט למקרים מסוימים המטריצה הפיכה.

אבל בשביל המקרים שהיא הפיכה צריך למצוא את ההופכית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:43, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ש"ב 2 ==

בסעיפים א' ו ב' של התרגיל היה צריך להוכיח האם משהו עם הקבוצה שווה להופכי שלה.
עכשיו בסעיף האחרון שאלו האם A בהכרח הופכית, וגיליתי שלא בהכרח...

אז זה אומר שסעיפים א' ו ב' לא נכונים?

תשובה: אם ל<math>A</math> אין בהכרח הופכי אז באמת א' וב' הם מיידית לא נכונים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:46, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 4 סעיף ג ==

האים מטריצה ריבועית עם 4 איברים שכולם 1 נחשבת למטריצת האפס?

תשובה: מטריצת האפס היא המטריצה שכל הערכים בה הם <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 24 ביולי 2012 (IDT)

== הגדרות לשאלה 7 ==

היות וכמה אנשים שאלו אותי היום. אני כותב כאן את ההגדרות הרלוונטיות לשאלה 7.

מטריצה <math>A</math> נקראת

1)משולשית עליונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>j<i</math>.

2)משולשית תחתונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i<j</math>.

3) משולשית אם היא משולשית עליונה או תחתונה.

4) אלכסונית אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i\neq j</math>.

5) סקלרית אם <math>A=c\cdot I</math> כאשר <math>c\in \mathbb{F}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:55, 24 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

מה זה אומר אחד חלקי טראס איי?
1/tr(A)?

תשובה: אם <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> אז <math>tr(A)\in \mathbb{F}</math>.

לכן, אם <math>tr(A)\neq 0</math> קיים לו הופכי. ההופכי הוא <math>\frac{1}{tr(A)}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ==

האם העובדה שנתון A^2=-I פירוש הדבר שקיימת אחת כזאת (מגודל nXn)?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

מה בדיוק הכוונה בסעיף ג'? איך אני יכול להוכיח שA כזאת היא בהכרח הפיכה?

תשובה: אם תצליח למצוא הופכי זה אומר שהיא בהכרח הפיכה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בתרגיל 2 ==

בסעיף ג', אני יודע שהמטריצה לא הפיכה ל a=0 וגם b=0 , אבל אני לא יודע אם זה המקרה היחיד.
אפשר כיוון ?

רמז: במקום לנסות לחפש מתי המטריצה לא הפיכה, תנסה למצוא את ההופכית שלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:33, 25 ביולי 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 4 תרגיל 2 ==

בסעיף א' האם הככונה למצוא 3 מטריצות ספיציפיות המקיימות את הדרישות או למצוא מטריצה A המקיימת את הדרישות לכל B ו C

תשובה: למצוא שלוש מטריצות ספציפיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:26, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 מטריצות הפיכות ==

מותר בכפל מטריצות להפוך AxB)x(BxA) ל Ax(BxB)xA?

תשובה: כן.

<math>(A\cdot(B\cdot B))\cdot A = A\cdot((B\cdot B)\cdot A) = (A\cdot B)\cdot(B \cdot A)</math>.

זה נובע מחוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) של כפל מטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:30, 25 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 2 סעיף ד׳ ==

באגף ימין, איך אפשר לכפול איבר במטריצה?

תשובה: <math>a_{j,k}\in \mathbb{F}</math>. זה כפל של סקלר במטריצה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

עפ"י חוק בפילוג בשדה F , אז (סיגמה של אברי מטריצה משדה F כפול סקלר s מ F) שווה (לסיגמה של s כפול אותם אברים ) ?

תשובה: כן. אם <math>s,a_0,\ldots,a_n\in \mathbb{F}</math> אז

<math>s \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n a_i = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n (sa_i)</math>

אפשר להוכיח את זה באמצעות פילוג ואינדוקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 26 ביולי 2012 (IDT)

אבל אני לא צריך להוכיח נכון ?

תשובה: לא צריך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 27 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 א ==

לא הבנתי איך להוכיח את זה כי זה ברור

== תרגיל 2 - חיבור מטריצות -מופיע במספר שאלות ==

איך אני מחבר מטריצות?
נגיד נתון לי A ו B מעל שדה F 3*3
אז החיבור שלהם A+B - למה הוא שווה?
ואיך מבצעים את זה?

לדוגמא זה מופיע בשאלה 5 ב' ושאלה 4 סעף ג'

תשובה: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 28 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

כשאני מוכיח שיש סגירות במטריצות סקלריות אני יכול להשתמש בלי להוכיח את חוק החילוף לכפל של סקלרים(aA=Aa כאשר a סקלר בשדה F וA מטריצה במרחב <math>F^{n*n}</math>?
--[[משתמש:Avital|Avital]] 22:58, 27 ביולי 2012 (IDT)

תשובה: אפשר להסתמך על החוק הזה בלי להוכיח אותו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:00, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 4 סעיף ג' ==

כתוב שצריך לתת דוגמא למטריצות A ו- B הפיכות כך ש- A+B!=0 (לא שווה )

מה הכוונה בהפיכות ?- שהן אחת הופכית של השנייה ? או שני מטריצות הופכיות שלא קשורות אחת לשנייה ?

ומה הכוונה ב- A+B ? איך מחברים מטריצות ?

תשובה: כל אחת מהן הפיכה ואין להן בהכרח קשר אחת עם השניה.

לגבי חיבור מטריצות: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:07, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 7 ==

מה הכוונה -אילו מקבוצות המטריצות הריבועיות סגורות לכפל?

מה הכוונה '''סגורות לכפל''' ?

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 1 תרגיל 3 ==

האם אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר שראינו בהרצאה? (כלומר עם שלושת התנאים: W ת"מ אם"ם W לא ריקה וגם W סגורה לכפל בסקלר וחיבור).

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:03, 29 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 א' בתרגיל 2 ==

בשאלה זו ניתן להגיד כי A כפול A במינוס 1 =I, כלומר A הפיכה, מכיוון שמזכירים את A במינוס אחד ?
אם לא מה אומר A במינוס אחד ?

תשובה: אתה לא יכול להניח ש <math>A</math> הפיכה רק בגלל שכתוב בסעיף א' (וב') <math>A^{-1}</math>.

אתה כן יכול לומר שאם <math>A</math> לא בהכרח הפיכה אז ברור ש א' וב' לא נכונים כי עבור <math>A</math> לא הפיכה, <math>A^{-1}</math> לא קיים בכלל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 30 ביולי 2012 (IDT)

== דחוףף ==

יש לי הארכת זמן ולא קיבלתי מייל לאן אני צריך ללכת כדי להראות שיש לי הארכת זמן ,מישהו יכול להגיד לי לאן ללכת ועם מה? למי להתקשר?

== שדה אינסופי ==

האם אפשר להניח בלי הוכחה שchar(F)=0 => השדה F אינסופי?

תשובה: כן. (למרות שאני מקווה שאתם יודעים איך להוכיח את זה). --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:09, 30 ביולי 2012 (IDT)

נתבונן בקבוצה 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1....

(1 הוא 1 של השדה)

בגלל סגירות לחיבור, כל האיברים נמצאים בשדה. המאפיין הוא אפס, לכן לא משנה כמה פעמים נחבר נקבל איברים שונים. מכאן כבר שיש אינסוף איברים בשדה F, והוא אינסופי.

== תרגיל 3 -טעות בשאלה 4 ג' ==

בשאלה 4 ג'.
צריך להניח בנוסף ש <math>A \neq \emptyset</math>.

גרסא מתוקנת תעלה בהמשך היום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:07, 31 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

שלום,
בתרגיל 3 שאלה 2 מה סדר הפעולות באגפים הימניים? משמאל לימין או שהחיבור בסוף?
תודה מראש :)

תשובה: החיבור בסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:42, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== בוחן 7.8 ==

מה מבנה הבוחן בשלישי? כמה שאלות וכמה נקודות לשאלה???

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

כל הסעיפים מכילים את אותם ביטוים משני הצדדים. צריך להוכיח עבור שני סעיפים ולהפריך עבור השנים האחרים ?

תשובה: אני לא רוצה להגיד כמה סעיפים נכונים וכמה לא.

זה נכון שבגלל שכל הסעיפים קשורים, זה יכול להקל עליכם קצת.

למשל, אם הצלחת להוכיח את א' זה מייד אומר שב' לא נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== כיתות לימוד מחר ==

שלום, באילו כיתות אנו לומדים מחר?

תשובה:
שימו לב לשינוי הכתות באופן חד פעמי ליום חמישי 2/8/12

ההרצאות במקום הרגיל ב 604 61/62

התרגיל של אפי יתקיים בכיתה 403/2 בשעה 13

שירה 404/102

ארז 404/114

איתמר 404/115
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:24, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 3 ==

עוד לא הבנתי מה ההבדל בין (sp(A+B לבין (B או sp(A ובין spA + spB לבין spA איחוד spB
מישהו יכול להסביר לי עם דוגמה??

תשובה:

<math>A \cup B</math> זאת קבוצה שמכילה את כל איברי <math>A</math> ו <math>B</math> (האיחוד שלהם).
<math>A+B</math> זאת קבוצה של כל האיברים שהם חיבור של משהו מ <math>A</math> ומשהו מ <math>B</math>.

דוגמא:

אם <math>A = \{(1,2), (3,4)\}</math> ו <math>B= \{(5,6)\}</math>

אז

<math>A \cup B = \{(1,2) , (3,4) , (5,6)\}</math>

אבל

<math>A+B = \{(6,8), (8,10)\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:35, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

רגע ומה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB??

לא הגדרנו את החיבור רק עבור מרחבים ווקטוריים? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 17:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להכליל את זה, כך ש-A+B היא קבוצה של איברים ששווים לסכום של איבר כלשהו מ-A עם איבר כלשהו מ-B. הגדרה זו תופסת גם עבור קבוצות כלשהן שאינן מרחבים וקטוריים, כל עוד מוגדרת פעולת חיבור מתאימה.

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף ב ==

האם SPAN של (1,0)איחוד (0,1) יוצר את המישור (Rבריבוע) או שווה לצירים בילבד

תשובה: <math> span(\{(1,0),(0,1)\})</math> יוצר את המישור.

כל וקטור במישור <math>(a,b)</math> הוא צירוף לינארי <math>(a,b) = a(1,0) + b(0,1)</math> ולכן

<math>(a,b) \in span(\{(1,0),(0,1)\})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתי לך!!!! אייי ! חח אל תשכח את הדוריטוס ;)

== שאלה ==

אם למטריצה יש שורת אפסים זה אומר שאין לה בסיס??

תשובה: אתה צריך להסביר את השאלה יותר טוב.

בסיס יש למרחב וקטורי (לכל מרחב וקטורי).

מטריצה (אחת) היא לא מרחב וקטורי (אלא אם כן היא מטריצת האפס).

מה המרחב הוקטורי שאתה מדבר עליו?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 7 ב למע' המשוואות מתקבלת שורת אפסים (אחרי שהפכתי אותה למטריצה) אז השאלה היא האם יש לה בסיס

תשובה: למרחב הפתרונות של כל מערכת משוואות הומוגנית יש בסיס. (כמו לכל מרחב וקטורי).

לכן, גם לפתרונות של המערכת בשאלה יש בסיס. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

האם בשביל להוכיח ששני תתי מרחבים הם שונים מספיק לתת דוגמה שהם שונים או שצריך להוכיח שלא משנה מה תציב הם יהיו שונים

תשובה:
הטיעון
<math>U \cap (V+W) = U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> יהיה שוויון.

הטיעון <math>U \cap (V+W) \neq U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> לא יהיה שוויון.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:43, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

זה עונה על השאלה תודה

== שאלה כללית ==

האם הספאן של (1,0) פלוס (של מ"ו) הספאן של (0,1) שווה לספאן של (1,0) (0,1)? האם זה אומר שחיבור הספאנים הנ"ל פורש את R^2?

הוא כבר ענה על זה, תראה 3 שאלות למעלה

== שאלה 1 ==

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:12, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אז מה הקטע של התרגיל? פשוט אומרים לפי הקריטריון המקוצר...?

תשובה: אולי אנחנו מדברים על דברים שונים.

כשאני אומר שאפשר להשתמש בקריטריון המקוצר אני מתכוון שאפשר להשתשמש במשפט שראיתם בהרצאה שאומר:

<math>W</math> תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים.

1) <math>W \neq \emptyset</math>.

2) <math>u,v \in W \Rightarrow u+v \in W</math>.

3)<math>u \in W, \quad \alpha \in \mathbb{F} \Rightarrow \alpha u \in W</math>.

בהינתן המשפט הזה, צריך לעשות עוד קצת עבודה כדי להוכיח את מה שכתוב בתרגיל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:36, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:בכיתה לימדת אותנו שבמקום 2 ו 3 צריך שיתקיים <math>u,v \in W \Rightarrow u+ \alpha v \in W</math>.

::זה שקול, פשוט בתנאי הנ"ל תקח פעם אחת alpha=0 ופעם אחרת u=0 ותקבל את הנדרש.

אז זה כל מה שצריך לרשום?

בגדול, כן. רק שימו לב שבפתרון שלכם (במיוחד בהוכחה שהנתונים בשאלה 1 <math>\Leftarrow</math> מרחב וקטורי) אתם משתמשים רק בנתונים שיש לכם. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:15, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 6 ==

אם אני רוצה להפריך טענות, אני צריך להביא בתור דוגמא U ו V מסויימים ו B1 ו B2 מסויימים ולהראות שזה לא מתקיים?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:13, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== חומר לבוחן ==

עד איפה החומר לבוחן ביום שלישי? עד איזה חומר ללמוד? ועד איזה שיעור זה ? תודה!

תשובה: עד החומר שלמדתם ביום חמישי 26/7 (כולל) שזה אומר:

שדות, מערכות משוואות לינאריות, מטריצות, כפל מטריצות והפיכות מטריצות.

מרחבים וקטוריים, כולל בסיס ומימד כולל משפט השלישי חינם (נדמה לי שלא כולל משפט המימדים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:40, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

אם לדוגמא אני במ"ו מעל שדה Z5 לדוגמא, אז האם גם המספרים בוקטורים הם מתוך השדה?
לדוגמא בשדה הנ״ל יכול להיות לי הוקטור (7,3,9)?

תשובה: אם אתה מסתכל על המרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> אז כן, המספרים בוקטורים הם מתוך השדה.

למשל: במרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^3</math>

מתקיים ש <math>(7,3,9) = (2,3,4)</math> כי הכל במודולו <math>5</math>.

אבל <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> הוא לא המרחב היחיד מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>, יש עוד ( נגיד מטריצות עם ערכים מ <math>\mathbb{Z}_5</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אני מתכוון לכך שיהיה V מ"ו מעל שדה Z5. אז זה אומר שגם המספרים בוקטורים חייבים להיות מעל Z5?
:ודאי. למשל אם (7,3,9) וקטור כנ"ל, אתה מתייחס ל-7,3,9 כאיברים של Z5.

מה זאת אומרת להתייחס לוקטור 7,3,9 כאיברים של Z5? ב Z5 אין 7 ו 9.

ב <math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים <math>7=2</math> ו <math>9=4</math> (כי את כל המספרים מחשבים במודולו <math>5</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

'''מה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB???'''
:בחיבור אתה מקבל קבוצה בה כל האיברים הם תוצאה של חיבור של איבר מהקבוצה הראשונה עם איבר מהקבוצה השנייה, בעוד שבאיחוד אתה תקבל קבוצה של איברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. זה לא אותו דבר, ולמעשה במקרה שלנו האיחוד שכתבת מוכל בתוך החיבור (וזאת משום שכל אחד מהנפרשים מכיל את ווקטור האפס, ובפרט וקטור האפס עם כל וקטור אחר יהיה שווה לאותו וקטור אחר). אם אתה רוצה לראות שלעתים הם גם שונים, תקח <math>A=(1,0); B=(0,1)</math> מעל הממשיים ותפתח

== תרגיל 3 ==

לאיתמר,
עכשיו גיליתי שהיום שכחתי להגיש את תרגיל 3. יש משהו שאפשר לעשות? יעזור אם אסרוק את כל הדפים ואשלח לך במייל?

בתודה מראש, אביחי מרמור: avichai@elmar.co.il. [[משתמש:Avichai|Avichai]] 23:16, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== בבוחן יהיו שאלות כמו שאלות 1,2 בתרגיל 4 ==

???

תשובה: הנושאים שמכוסים על ידי תרגילים 1,2 נמצאים בחומר לבוחן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 6 באוגוסט 2012 (IDT)

1. אבל למדנו את זה אחרי היום שבו אמרו שעד אז זה החומר למבחן..

2. יש עוד שאלות בתרגילים שזה לבוחן?

תשובה:

1) דברים יסודיים לגבי מרחבים וקטוריים (כולל בסיס ומימד) נמצאים בחומר לבוחן.

תרגילים 1-2 עוסקים בטכניקות עבודה עם מ"ו, בלי משפט המימדים, בלי מטריצות מעבר בין בסיסים,בלי דרגה של מטריצה, לכן זה בחומר.

2) לא (אני מצטער שהתשובה הזאת מגיעה אחרי שכבר עשיתם את הבוחן).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:38, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתירת מערכת משוואות מעל Zp ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
אם אני פותר מערכת מעל Zp.
האם אני יכול להמיר למטריצה ולדרג כאילו אני בR ורק בסוף לעשות modp על התוצאה?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:29, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 ==

אין שאלה 4 בתרגיל 4 - שכחתם להוסיף או שיש רק 8 תרגילים?

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

צריך להוכיח שקיים וקטור. האם אפשר להניח בשלילה שלכל וקטור הטענה לא נכונה, ואז לתת דוגמה נגדית ספציפית כדי לקבל סתירה או שצריך בכלליות? תודה מראש

תשובה: אפשר להניח בשלילה שהטענה לא נכונה, ואז לכל וקטור <math>v \in \mathbb{R}^n</math> מתקיים <math>A^{k-1}v = 0</math>.

אם כשאתה כותב "דוגמא נגדית ספציפית" אתה מתכוון, לבחור <math>A</math> ו <math>v</math> מסוימים, אז לא ייתן סתירה.

כי בשאלה ישנו כבר <math>A</math> נתון בשאלה (שאנחנו אמנם לא יודעים מהו) ודווקא בשבילו צריך להראות שלא ייתכן

<math>A^{k-1}v=0 \quad \forall v \in \mathbb{R}^n</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:15, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 - שאלה 6 לא מובנת ==

לא הבנתי בשאלה 6 למה הכוונה "קטן גדול או קטן מ...", תוכלו להסביר מה צריך למצוא?

תשובה: אתה צודק, צריך להיות כתוב: קטן, גדול, או שווה ל...

כלומר צריך למצוא איזה מהבאים מתקיים

* <math>dim(U_1 \cap U_2) = dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) < dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) > dim(U_1 \cap U_3)</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:18, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

האם בשאלה5 U וW תתי מרחב או שהם רק קבוצות המוכלות בV?

(תלמיד) - לדעתי ניתן להסיק שהם ת"מ כי בנתון יש dim U וגם dim W, לכן הם מ"ו ובפרט ת"מ של V --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:12, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: נכון. הם תתי מרחבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 1 סעיף ב' בלינארית ==

אני עשיתי מערכת עם שתי משוואות, ע"י הצבה של איקסים לפי הנתונים, והגעתי למשוואות של המקדמים לפי הבסיס.
דירגתי מצאתי פתרון כללי והוצאתי את הפרמטרים וקיבלתי בסיס למשהו, אין לי מושג למה ואיך אני מגיע ממנו לבסיס של W ?

למה דילגתם עליי? מה זה כי אני שחור?
סתם הצלחתי תודה בכל מקרה

תשובה: דילגתי כי לשאלה שלך היה קצת יותר קשה לכתוב תשובה.

בדיוק עמדתי להעלות את התשובה הזאת (בכל מקרה אני שמח שהצלחת):

* הגעת למערכת משוואות על מקדמי הפולינומים - כל פולינום שמקדמיו פותרים את המשוואה נמצא ב <math>W</math>.

* דירגת ומצאת פתרון כללי - כל פולינום שמקדמיו הם מהפתרון הכללי נמצא ב <math>W</math>.

* הוצאת את הפרמטרים וקיבלת בסיס - קיבלת בסיס עבור וקטור המקדמים של פולינומים שנמצאים ב <math>W</math>.

מכאן אני מקווה שברור מה הבסיס של <math>W</math> צריך להיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:41, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה :)

== שאלה 2 ==

מערכת משוואות ליניאריות זה שיש מיקדמי אלפה אחד אלפה שתיים אלפה שלוש או שצריך לצמצם אותם ולהגיע למשוואה שיש בה רק X,Y,Z,W?

תשובה: צריך להגיע לתשובה שיש בה רק <math>x,y,z,w</math>.

כלומר התשובה לסעיפים א' ו ג' צריכה להיות מערכת משוואות ב <math>x,y,z,w</math> בלבד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:25, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

האם ה dim של 0 (שהוא תת מרחב) שווה ל 1 או 0?

תשובה: <math>dim\{0\}=0</math> כי הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> ויש בו 0 איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:27, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

למה ה dim של 0 זה אפס? הרי בבסיס של 0 יש איבר, והוא אפס (הוא פורש אותו)?

תשובה: <math> \{0\}</math> הוא לא בסיס כי הוא תלוי לינארית.

הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> (קבוצה ריקה) ובה יש <math>0</math> איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:16, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 7 תרגיל 4 ==

נתון ש A^k-1 שונה מאפס.. נכפיל ב A משני הצדדים נקבל A^k שונה מאפס.. בסתירה לנתון שהוא שווה לאפס.

אם A שווה לאפס, אז זה סתירה לנתון ש A^k-1 שונה מאפס (כי 0 בחזקת הכל זה אפס)

???

תשובה: <math>A^{k-1}\neq 0</math> לא גורר ש <math>A^k \neq 0</math>.

באופן כללי <math>B \neq C</math> לא גורר ש <math>AB \neq AC</math>.

וזה מפני ש <math>AB = AC</math> לא גורר ש <math>B=C</math>. (הייתה כזאת שאלה בתרגיל 2)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 ==

בשאלה זו, מספיק לתת דוגמה של תתי מרחבים שעונים על כל הדרישות בשאלה ואז ע"פ הנתונים שנתתי, אפשר למצוא האם (dim(u1 ^ u2 גדול, קטן או שווה ל - (dim(u1^u3 ? כי הרי התשובה הנכונה נכונה לכל דוגמה שאתן אז אפשר לתת דוגמה אחת כדי לראות מה נכון? זה פתרון אפשרי לשאלה?

תשובה: צריך להוכיח שאחד המקרים מתקיים ואי אפשר להסתפק בדוגמא.

זה נכון שהתשובה הנכונה נכונה לכל דוגמא, אבל אתה לא יכול להניח את זה כשאתה פותר (זה כמו להתבסס בדרך על מה שרוצים להוכיח).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 4 ;) ==

לא הצלחתי את תרגיל 4 שאלה 4.. אפשר רמז לפיתרון?! ;)
S.D

תשובה: נניח ש <math>V</math> ממימד גדול מ <math>5</math> אז ברור ש <math>[I]_C^B \in \mathbb{F}^{k\times k}</math> כש <math>k \geq5</math>.

עכשיו תנסה להציב <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_7</math> ו <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_5</math> ותראה מה קורה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 00:21, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל רגע אין שאלה 4 בתרגיל 4.

זה שאין שאלה לא אומר שאין רמזים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== חיתוך מרחבים ==

על מנת למצוא בסיס של חיתוך מרחבים אני שם את הבסיסים של שניהם במטריצה אחת ומדרג עד לקבלת בתל ?
כי כשאני עושה ככה אני מקבל מימד יותר גדול מהמרחבים המקורים והחיץתוך אמור להיות מוכל בהם..

תשובה: זאת לא השיטה. ככה מוצאים בסיס של סכום.

כדי למצוא בסיס של חיתוך שני מרחבים, אם המרחבים נתונים ע"י וקטורים פורשים אתה צריך להשוות את ה span שלהם ולפתור את המשוואה שנוצרת.

עשו כזאת דוגמא בתרגול.

כלומר, כותבים צירוף לינארי כללי של מרחב אחד, משווים אותו לצירוף לינארי כללי של מרחב שני ופותרים את מקדמי הצירוף.

אני מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:32, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ז"א שאם הבסיס שלי הוא x,y ו הבסיס השני הוא w,t
אז אני צריך לעשות ax+by=dw+et
אבל את מי אני צריך לבודד ואת מי למצוא בעזרת מי?

תשובה: לפי הסימונים שלך אתה מקבל מערכת משוואות (הומוגנית) עם נעלמים a,b,d,e.
אתה צריך לפתור את המערכת הזאת (למעשה מספיק למצוא רק למה שווים a,b או d,e).

ואז להציב את התשובה (הפתרון הכללי) בתוך הצירוף הלינארי - ואז תקבל את האיבר הכללי של החיתוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 2 סעיף ב ==

אני מקבל רק משוואה 1 שהיא רק עם X,Y,Z,W אז אני צריך בסעיף ב לישתמש רק בה? או שבסעיף ב להישתמש גם במשוואות שיש בהם את הסקלרים?

תשובה: המרחב הוא בדיוק אותם <math>(x,y,z,w)</math> שפותרים את המשוואה שמצאת בסיף א'. אז אתה משתמש בתוצאה של סעיף א'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:41, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

נניח u,w מוכלים ב v אז סכום ישר שלהם הוא בהכרח תת מרחב ?

*(לא מתרגל/מרצה) הוכחנו בהרצאה כי סכום של תתי מרחבים (באופן כללי) הוא ת"מ. אם הסכום הישר מוגדר (כלומר החיתוך הוא וקטור האפס) אז הוא גם כן תת מרחב (מדובר במקרה פרטי).

תשובה: נכון, סכום ישר הוא תמיד תת מרחב והוא שווה לסכום הרגיל. (רק שלא כל סכום רגיל הוא גם סכום ישר).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:43, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית לגבי שוויון תתי מרחבים ==

אם שני תתי מרחבים שווים, מה זה אומר על המימדים שלהם ועל הבסיסים שלהם?
ז״א אם U=W (תתי מרחבים) האם זה גורר בהכרח dimU=dimW ושהבסיסים שווים?

תשובה: שוויון של תתי מרחבים הוא שוויון קבוצות.

זאת אותה קבוצה אז בוודאי שיש להם אותו מימד. וכל בסיס של <math>U</math> הוא גם בסיס של <math>W</math> ולהפך.

(שים לב שיש יותר מבסיס אחד לכל מרחב,לכן אם <math>B</math> בסיס של <math>U</math> ו <math>C</math> בסיס של <math>W</math>, אז
<math>U=W</math> לא אומר ש <math>B=C</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף ב' ==

האם אני יכול להכפיל צירוף לינארי בסעיף ב' בA בחזקת K-1 (שהרי לא שווה ל0) ואז בצורה כזאת להראות שזה לא יכול להתקיים שהאיברים תלויים
לינארית (הנחתי בשלילה שהם ת"ל ובצורה כזאת אני רוצה להגיע לסתירה) אני יכול לעשות פעולה כזאת?

תשובה: האיברים <math>\{v,Av,\ldots,A^{k-1}v\}</math> הם וקטורים בגודל <math>n \times 1</math>.

צירוף לינארי שלהם הוא וקטור בגודל <math>n \times 1</math>.

לכן מותר להכפיל אותו משמאל במטריצה שיש לה <math>n</math> עמודות

או מימין במטריצה שיש לה שורה אחת.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:35, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== ליניארית, תרגיל 4 שאלה מס' 2 ==

לא ממש הבנתי איזה צורת תשובה אני אמור לכתוב בסעיפים א'-ג'..
איזו מערכת משוואת אני אמור למצוא? מהצורה: X שווה לביטוי עם אלפא 1 וכו', או אלפא 1 שווה לביטוי עם X, Y...?
ובסעיף ב', איזה מערכת משוואת לפתור אם התנאי שיצא לי בא' הוא משוואה אחת?

תשובה: בסעיפים א' ,ג' אתה אמור לקבל כתשובה מערכת משוואות עם נעלמים <math>x,y,z,w</math>

נגיד משהו מהצורה

<math>x+y+z+w=0</math>

<math>x+2y+3z+4w=0</math>.

לגבי סעיף ב', מערכת משוואות עם משוואה אחת אי אפשר לפתור?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:52, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתיי לך !

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

בשאלה 7 k חייב להיות קטן או שווה ל-n?

תשובה: אם השאלה היא האם אפשר להניח ש <math>k \leq n</math>, אז התשובה היא לא. זה לא נתון בשאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ==

1. מה הכוונה "מטריצה סטנדרטית של T"? האם הכוונה למטריצה המייצגת של T לפי הבסיס הסטנדרטי?

2. בשאלה 3, A היא מטריצה מייצגת של T?

תשובה: 1) כן.

2) כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:46, 14 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה המטריצה המייצגת של T בבסיס הסטנדרטי??

תשובה: הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math> הוא <math>S=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>.

המטריצה המייצגת של <math>T</math> בבסיס הסטנדרטי היא <math>[T]^S_S</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:55, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 11ג ==

אני חושב שיש טעות בשאלה כי אם V=R^2 ו- (y,x)=T(x,y
אז T^2 עדיין שווה ל-I אבל וקטורים כמו (1,2) לא שייכים ל-U+W
ולכן הטענה לא נכונה
: <math>(1,2)=(3/2,3/2)+(-1/2,1/2)</math> ולכן הוא שייך לסכום תתי המרחבים --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 00:08, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 3 ==

בשאלה 3 בהתחלה הוקטורים ש-T עובדת עליהם הם וקטורי שורה, ובסעיף ב היא עובדת גם על וקטורי עמודה. האם זה משנה? כלומר, העתקה לינארית הפועלת על וקטורי שורה תפעל גם על וקטורי עמודה באותה צורה?

תשובה: בדר"כ לא טורחים להבדיל בין וקטורי שורה לעמודה, מדובר באיברים של <math>\mathbb{F}^n</math>. ואפשר להתייחס אליהם בתור וקטורי שורה או וקטורי עמודה.

גם במקרה שלנו אפשר לחשוב על <math>T</math> כאילו היא עובדת על וקטורי שורה או עמודה, זה לא באמת משנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:21, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 5 ==

האם מה שצריך למצוא בעצם זה את <math>[T]^B_C</math> ?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5- שאלה 6- סעיף א' ==

מה הכוונה ביחס לבסיסים שונים?
האם הכונה היא מכל בסיס של v לכל בסיס של w או מבסיס ספציפי של v לבסיס כלשהו של w ?

תשובה: מכל בסיס של <math>V</math> לכל בסיס של <math>W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ב׳ ==

אם הוכחתי ש T היא חחע, ניתן להשתמש במשפט
Dim(r3)=dim(r3) אז T חחע <=> T על
כדי להוכיח שT היא על?
:כן.--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

צריך להוכיח בעצם שלכל בסיס E ל V ולכל בסיס S ל W מתקיים <math>RANK[T]^E_E = RANK[T]^S_S</math> ?
:לא בדיוק. צריך להוכיח שלכל בסיסים A B של V ו C D של W מתקיים <math>RANK[T]^B_D = RANK[T]^A_C</math> --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

בנתונים נתון ש-S הע"ל, אך בסעיף א' יש להוכיח זאת. האם זה לא אמור להיות בנתונים?

תשובה: נניח שזה לא נתון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

חחחחחחחח

== ציוני בוחן בלינארית ==

הקישור לציונים לא עובד. ניתן לתקן את הבעיה?

תוקן.

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

האם <math>M_2(\mathbb R)</math> הוא מרחב הוקטורים מגודל 2x1 או המטריצות מגודל 2x2? בשאלה 8 אלו מטריצות, ובשאלה 6 <math>M_{2x2}(\mathbb R)</math> הם המטריצות...
:{{לא מתרגל}} מדובר על מטריצות.

תשובה: נכון. שני הסימונים מייצגים מטריצות <math>2\times 2</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:42, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 7 ==

האם צריך להוכיח כי T הע"ל?

תשובה: לא צריך להוכיח. כפל במטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:43, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

כן אבל אם לדוגמא ייתנו שאלה על "אולי הע"ל" במבחן שמכפילה וקטור במטריצה, נצטרך להוכיח שזה אכן הע"ל או פשוט לרשום שכפל מטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית?

תשובה: אפשר פשוט לכתוב שכפל במטריצה הוא תמיד העתקה לינארית.

(למרות שלהוכיח את זה לוקח שתי שורות)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:10, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

לעצלנים שבינינו זה יעזור ;)

== שאלה ==

ממש לא הבנתי מה זה ker ו im של T כמו למשל ששואלים בשאלה 4 ,אני הבנתי את ההגדרות אבל לא הבנתי בתכלס איך פותרים
,אפשר דוגמה טובה שתוכל להסביר לי??

-> תקח העתקה לינארית ותמצא לה גרעין ותמונה. הגרעין זה ker והתמונה זה Im

== שאלה כללית ==

איך מכפילים מטריצה מגודל 2X2 במטריצה מגודל 3X3?? אפשר דוגמא???

לא מכפילים

סבבה תודה

== תרגיל 5 שאלה 8 ==

לאילו בסיסים סטנדרטיים בדיוק הכוונה בשאלה 8?(מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים?)

1,x,x^2

או שאפשר להעביר את הפולינומים למקדמים שלהם (אחרי שמציבים 0 ו 1) ואז אפשר להשתמש בבסיס הסטנדטי הרגיל של R3..

== תרגיל 5 שאלה 6 א' ==

האם ניתן להשתמש במשפט שהוכחנו בהרצאה שדרגת המטריצה המייצגת שווה למימד מרחב התמונות של ההעתקה הלינארית?

תשובה: כן. אפשר להשתמש בכל משפט שראיתם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:59, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

== ציונים בלינארית ==

איפה יש ציונים???

-> היו ציונים... אבל בגלל שהם לא היו שלכם הייתם קטנוניים והתלוננתם עליהם.. אז חסמו אותי.. ועכשיו אין ציונים! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ,11 ==

1.מה זה חזקת העתקות לינאריות?
2.מה מסמן הI בשאלה 11?

1. הרכבה של הע"ל, במקום לרשום ToToToT(הרכבה) רושמים פשוט T^4
2.העתקת היחידה. I(x,y,z) = (x,y,z.

-> מה טוטוטו ?! מה אתה רכבת?! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ==

אפשר כיוון לפתרון של א'?

תשובה: שים לב שאם <math>v \in V</math> אז <math>T(v)=T^4(v)=T(T^3(v))</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:57, 18 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחנים משנים עברו ==

שימו לב ש
[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|כאן]]
יש מבחנים משנים עברו, כמו גם קישורים לאתרים של פרופ' רזניקוב וצבאן ששם יש עוד הרבה מבחנים, לחלקם יש גם פתרונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:11, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

בנוסף,
[http://www.bis.org.il/search_res_bank.asp באתר של אגודת הסטודנטים]
אפשר למצוא עוד כמה מבחנים.

שימו לב שיש מבחנים באלגברה לינארית 1 שמספר הקורס שלהם לא מתחיל ב 88 וזה אומר שהם לא של המחלקה למתמטיקה.

אפשר לעשות אותם בתור תרגול אבל

1) הם ממש קלים.

2) לפעמים יש שם חומר שלא למדנו, אז להתעלם מדברים כמו לכסינות, ערכים עצמיים, פולינום אופייני וכו' (שאלה מושגים שתלמדו עליהם בלינארית 2) .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:17, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

:גם מכפלה פנימית לא למדנו נכון?

תשובה: נכון. לא למדנו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

== רשימת משפטים ==

נשאר שבוע עד למבחן ועדיין לא פורסמה רשימת המשפטים. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 08:39, 22 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלתי את מיטל, רשימה תפורסם לכל המאוחר ביום ראשון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:34, 23 באוגוסט 2012 (IDT)

== קישור ==

תוסיפו את הקישור [הזה][http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html] בדף --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 09:33, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מתי המבחן? ==

?
יום חמישי ב16:00 --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:28, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

אני חושב שכן(ב30/08/2012) --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:58, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מחשבון ועוד משהו ==

1) יהיה אפשר להשתמש במחשבון במבחן בליניארית(בבקשה רק תשובה ממישהו שבטוח 100%)? 
2) רמת הקושי של המבחן קלה/קשה/שווה לרמת הקושי של המבחן הזה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf ? --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:06, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מצטרף לשאלות [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:22, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

יש פתרון למבחן בשאלה 2?

בשאלה 1 סעיף ב במבחן זה מבקשים לחשב מטריצות מייצגות של טי, טי בריבוע, טי בשלישית, טי ברביעית וכולי..
מה הכוונה וכולי ? כמה עוד מטריצות מייצגות של הע"ל צריך לחשב ?

(לא מרצה / מתרגל): בשאלה 1 תחשב את המטריצות המייצגות, תגיע אחרי כמה כאלו למטריצה שממנה כבר לא יהיה מה לחשב.
לגבי שאלה 2, אני אנסה להעלות לפה פתרון בקרוב --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:10, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

פתרון שאלה 2
[[מדיה:001.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:31, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

התשובה לשאלה 1 ב' צריכה להיות מטריצות מהצורה 4X4 (זה כולל שורות אפסים) ? כי כל פעם הראו לנו משהו אחר כך שאני לא בטוח איך התשובה אמורה להראות בסוף

ואם כן האם צריך להשאיר את המטריצה כמו שהיא או להוריד את שורות האפסים? -(אני זוכר שלא משנים/מורידים אותה אבל אני לא בטוח)

(לא מרצה / מתרגל) מה זאת אומרת למחוק שורות? כל שורה במטריצה חשובה! אין למחוק שורה מן המטריצה, אחרת היא משתנה. וכן, זה כולל שורות אפסים --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:51, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובות: מה שגיא אמר נכון. התשובות ל 1ב צריכות להיות מטריצות <math>4\times4</math>. לא מוחקים שורות אפסים.

הפתרון שגיא העלה לשאלה 2 נכון. שימו לב שזה בדיוק המצב שיש סכום ישר <math>V\oplus W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה לגבי שאלה 6 מבחן תשע"ב ד"ר בועז צבאן ==

במבחן של ד"ר בועז צבאן [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf הנ"ל], בשאלה 6, מה הכוונה ב<math>\bar{1}
</math> ? המספר שחיבורו ל1 נותן 0 בשדה ?
:למיטב הבנתי מדובר פשוט על 1. הסימון 1 עם קו מעליו, בא להציג את מחלקת השקילות של 1 באשר לשארית חלוקה בשלוש (כלומר במקום ה-1 הזה יכול לבוא 4, או 7, וכו, ולך זה לא ישנה כי כולם אותו דבר בשדה הנתון).

תשובה: זה פשוט <math>1</math> . יש כאלה שכותבים את האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> עם קו מעליהם כדי להדגיש שזה לא מספר רגיל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשאלה 8 ==

למה צריך להסתבך באינדוקציה? אי אפשר לעשות פשוט n-1 פעולות עמודה (החלפת עמודות) ואז מקבלים את מטריצת היחידה?

תשובה: אתה מדבר על תרגיל 5 שאלה 8? אתה צודק. לא חייבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:46, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== זמני תרגול+הרצאה יום ראשון -26.7 ==

לא הבנתי את הזמנים שמלי שלחה ושינתה

מה שהבנתי זה:

לשתי הקבוצות יש הרצאה- ב- 10:00-12:00 בבוקר

ואז לקבוצה של איתמר יש תרגול ב - 12:00-14:00

האם זה הזמנים הנכונים??

== משפט 17 ו-2 ==

לא הבנתי מה המשפט אומר , מה זה (r(T ?

ובמשפט 2 ככה הגדרנו סכום ישר האם הכוונה פה שההגדרה של סכום ישר הוא שהחיתוך הוא אפס ואז להראות שזה או"א לכל וקטור יש הצגה יחידה

תשובה: לגבי משפט 17: <math>r(T)=rank(T)</math> ו <math>r([T]^E_F)=rank([T]^E_F)</math>.

לגבי משפט 2: כן, אם מגדירים סכום ישר לפי זה שחיתוך המרחבים הוא <math>\{0\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:08, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

למי שביקש ממני היום הוכחה

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.

כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.

יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.

נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.

כלומר

<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>

נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.

כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.

נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>

כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>

כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.

נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.

נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>

כלומר <math>DR=A</math>.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>

כלומר

<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>

לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>

ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>

(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>

בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן

<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:39, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== שלישי חינם ==

אם יבקשו במבחן להוכיח את שלישי חינם אני יצטרך להוכיח שמספר האיברים בקבוצה פורשת >= מספר האיברים בקבוצה בת"ל ?

תשובה: אני מתאר לעצמי שלא. אבל שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:46, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: הוכחנו בכיתה משפטים על פורשת מינימלית ובת"ל מקסימלית, והם בהחלט יכולים להסתמך על כך. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה שלישי חינם? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 19:31, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשביל להוכיח את משפט הדרגה של הע"ל ==

האם אפשר להוכיח את זה כך:

תהיה A מטריצה מעל F mxn.
נבנה הע"ל מ Fn ל F m ע"י:
T(V) = AV.

וברור כי:
rank(A) = C(A) = Im(T).
ker(T) = N(A).

ואז להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות ולקבל את הדרוש?

תשובה: ההוכחה הזאת נכונה מתמטית. אבל מה שאתה עושה פה זה להוכיח את משפט הדרגה של ההעתקות בעזרת משפט ההעתקה של מטריצות (שזה כמעט אותו משפט).

לכן לא נראה לי שזה טוב. אם אתם מתבקשים להוכיח את משפט הדרגה תשתמשו בהוכחה הסטנדרטית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:12, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל אמרתם שמותר להשתמש בכל המשפטים, אלא אם כן דרשו להוכיח אותם. אז למה אי אפשר להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות?

תשובה: כי לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של העתקות זה כמו לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של מטריצות. ע"י ייצוג לפי בסיסים זה הופך לאותו משפט.

דרך אגב, אני מודע לכך ששאלות הוכחה במבחן הן תמיד השאלות שלא ברור לגביהן במה מותר להשתמש ובמה לא. לכן אני מבין את השאלות שאנשים שואלים כאן.
הדרך הכי בטוחה להתרחק מצרות היא לדבוק בהוכחות שראיתם בהרצאות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים ==

במשפט 16, אני דיי בטוח שזה צריך להיות איזומורפי ל F^dimWxdimV ולא ל F^dimVxdimW
 
זה כמובן לא משנה כי
<math>
\mathbb{F}^{dimV \times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW \times dimV}
</math>
ע"י השיחלוף שהוא איזו'. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:03, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל האם אפשר ישירות להוכיח זאת? זאת אומרת בלי לעשות אחר כך עוד הע"ל?

תשובה: אתה צודק שהטענה ה"טבעית" יותר היא <math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>. אבל אם אם יבקשו במבחן להוכיח ש
<math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimV\times dimW}</math> אז תוכיח את הטענה הקודמת ותשתמש ב traspose בשביל להוכיח ש

<math>\mathbb{F}^{dimV\times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>.

אני חושב שזאת הדרך הכי פשוטה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:50, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה של למת ההחלפה של שטייניץ ==

למי ששאל אותי היום על הוכחה של למת ההחלפה

יש כאן קישור [[מדיה:שטייניץ.pdf|הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ]] (זה נמצא גם בעמוד הראשי של אלגברה לינארית 1).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== A הפיכה משמאל => A הפיכה ==

אפשר להוכיח במבחן באמצעות הע"ל? כלומר:
 
<math>
T(X)=A\cdot X
</math> איזו' ולכן קיים <math>B</math> כך ש:
<math>
A\cdot B=I
</math> ??
 תודה [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:27, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני לא רואה סיבה שלא, אבל ליתר בטחון שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:51, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר ורצוי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט מספר 8 ==

כשרשמו לנו אותו לא נמצאת ההוכחה,
וניתן רק להוכיח אותו בעזרת איזומופריזם בהמשך, אני אשמח אם תסביר בקצרה אתה ההוכחה הזאת ( לא משנה לי אם בעזרת מטריצות מעבר או איזומורפיזם)

תשובה: נניח ש <math>A\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> הפיכה משמאל, כלומר קיימת <math>B\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>BA=I</math> (מי שרגיל שזאת ההגדרה של הפיכות מימין אז שיניח ש <math>A</math> הפיכה מימין).

נגדיר העתקה לינארית <math>T:\mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times n}</math> על ידי

<math>T(X)=AX</math>.

נשים לב ש <math>T</math> חח"ע כי אם <math>T(D_1)=T(D_2)</math> אז <math>AD_1=AD_2</math> אם נכפול משמאל ב <math>B</math> נקבל ש <math>D_1=D_2</math>.

היות ו <math>T</math> העתקה לינארית. העובדה ש <math>T</math> חח"ע גוררת שהיא גם על.

בפרט <math>I \in Im(T)</math> כלומר קיימת מטריצה <math>C \in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>T(C)=I</math> כלומר <math>AC=I</math>.

נשאר רק להראות ש <math>B=C</math> וזה קל היות ו <math>B= BI= B(AC)=(BA)C=IC=C</math>. מש"ל--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:59, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:למה העובדה ש T חח"ע גורר שהיא על?

תשובה: טענה: אם <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית כך ש <math>dimV=dimW=n</math> אז <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על.

הוכחה: לפי משפט הדרגה <math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n</math>

עכשיו

<math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>Ker(T)=\{0\}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimKer(T)=0</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimIm(T)=n</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>Im(T)=W</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 16 ==

אני לא מוצאת הוכחה לזה בסיכומי ההרצאות שלי... מישהו יכול להפנות אותי להוכחה או להגיד לי איפה זה בערך נמצא בסיכומים? תודה!--[[משתמש:Inbarsavoray|Inbarsavoray]] 13:52, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: תחפשי הוכחה לזה שבהינתן בסיסים <math>B,C</math>, פונקציית ייצוג לפי בסיסים היא איזומורפיזם

<math>[\quad]^B_C:Hom(V,W)\rightarrow \mathbb{F}^{dimW \times dim V}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:02, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתרון תרגיל 4 ==

אפשר בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? עוד לא העלו פיתרון.. תודה!

== ה"ל מעל Zp ==

מה זה אומרת ה"ל מעל Zp?

העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> הם מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מטריצות בסיסיות ==

אנחנו צריכים לדעת לפתור שאלות כמו שאלה 12 פה:
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:08, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה מטריצה בסיסית?

(לא מרצה/מתרגל) מטריצה Eij היא מטריצה עם 1 במקום הij ו0 בשאר המקומות, נקראת בסיסית.

תשובה: התשובה שמעלי נכונה. <math>E_{i,j}</math> זה סימון סטנדרטי. כדאי לדעת גם ש הקבוצה <math>\{E_{i,j}\}</math> של כל המטריצות האלה מהווה בסיס למרחב המטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:14, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחן 2005 מועד ב' שאלה 5' ==

בשאלה 5 פה:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1b65.pdf
השאלה היא כמה פתרונות שלמים יש למערכת מעל R בין 0ל6
או כמה פתרונות יש למערכת מעל Z7?

(לא מרצה / מתרגל) פתרונות המשוואה מעל <math>\mathbb{Z}_7</math>--[[משתמש:גיא|גיא]] 19:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:15, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הפיכות מטריצה ==

אם אומרים ש A הפיכה משמאל, זה אומר שקיימת B כך ש AB=I או ש BA=I?

(לא מרצה / מתרגל) קיימת B כך ש-BA=I. אם אומרים שהיא הופכית משמאל אז למעשה אומרים שיש לה מטריצה הופכית מצד שמאל --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) בדיוק הפוך..

(לא מרצה / מתרגל) אני די בטוח שמה שאמרתי נכון, נחכה שאחד המתרגלים / מרצים יענה --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: יש כאלה שמגדירים ככה ויש כאלה שמגדירים הפוך. אין בזה מוסכמה גורפת. אני רגיל כמו שגיא הגדיר, אבל הבנתי שלפחות בהרצאה של מיטל הגדירו הפוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה / מתרגל) - אני אצל מיטל וככה היא לימדה אותנו גם --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) אני אצל מיטל והיא למדה אותנו כמו שאני אמרתי...

== משפט 1 ==

מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?

תשובה:

הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>

<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>

<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>

שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.

אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.

שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.

אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.

קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.

<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.

לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.

ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.

ולקבל

<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הע"ל מעל שדה ==

מה זה אומר הע"ל מעל שדה מסויים?

תשובה: אומרים ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> אם היא העתקה לינארית

<math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>.

(שימו לב ש <math>V,W</math> חייבים להיות מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math> אחרת ההגדרה של העתקה לינארית היא חסרת משמעות,
כלומר אין פשר לדרישה <math>T(\alpha v) = \alpha T(v) </math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:19, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מרחב הפולינומים.. ==

יש לי כמה שאלות:

1. מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2?

2. איך לדוגמא מייצגים את 1+X^2 בתור כפל של סקלרים בבסיס הסטנדרטי?

תשובה:
1. <math>\left \{ 1,X,X^2 \right \}</math>

2. (1,0,2)

== שאלה 11 ב2005 מועד א' ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf
איך עושים את 11?

תשובה: תפתור בספר של צבאן את שאלה 4.6 (סעיפים א' ב') בפרק א ואז קל לפתור את שאלה 11.

אם אתה לא מצליח או שזה עדיין לא ברור אני אסביר יותר במפורט.

באמת אולי היינו צריכים להציג במפורש את משפט פרמה הקטן בקורס הזה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:38, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להסביר יותר במפורט?

תשובה: קודם אני אציג את הפתרון של תרגיל 4.6

סעיף א) בשדה ממאפיין <math>p</math> מתקיים <math>(a+b)^p=a^p+b^p</math>.

זה בגלל שלפי הבינום של ניוטון

<math>(a+b)^p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^kb^{p-k}</math> ו <math>p</math> מחלק את <math>\binom {p}{k}</math> כש <math>0<k<p/math>.

לכן כל מה שנשאר מהסכום אלה האיברים הראשון והאחרון <math>a^p+b^p</math>, כל השאר הם <math>0</math>. כי המאפיין הוא <math>p</math>.

סעיף ב) לכל <math>a \in \mathbb{Z}_p</math>, מתקיים ש <math>a^p=a</math>.

הוכחה: באינדוקציה על <math>a</math>. אם <math>a=0</math> הטענה נכונה בבירור.

נניח שהטענה נכונה עבור <math>a</math>, נוכיח אותה עבור <math>a+1</math>.
לפי סעיף א' <math>(a+1)^p=a^p+1^p=a^p+1</math>.

ולפי הנחת האינדוקציה <math>a^p+1=a+1</math>.

לכן בסך הכל <math>(a+1)^p=a+1</math>.

שזה מה שרצינו להוכיח.

עכשיו נעבור לשאלה במבחן.

אם <math>\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p</math>.

אז <math>T(a)=a^p=a</math>. שזו העתקת הזהות ולכן היא באמת העתקה לינארית.

שזה אומר שסעיף 4 נכון. אבל זה עדיין לא מסיים את העבודה כי יכול להיות שגם סעיף 3 נכון, והוא יותר חזק מסעיף 4.

נניח ש <math>char(\mathbb{F}=p</math> ונוכיח ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.

שלב ראשון :<math>T(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=T(a)+T(b)</math>.

שלב שני: <math>T(\alpha a)=(\alpha a)^p=(\alpha)^p a^p = \alpha a^p = \alpha T(a)</math>.
(שים לב ש <math>\alpha\in \mathbb{Z}_p</math>)

לסיכום, התשובה הנכונה היא 3.

ואיך היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה בלי המשפט?

תשובה: אני לא רואה דרך סבירה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

דרך אגב, למיטב ידיעתי (אבל אני לא מבטיח) אין במבחן שלכם תשובות "נכונות" ותשובות "יותר נכונות". כלומר אם שאלה כמו שאלה 11 הייתה מופיעה במבחן שלכם. לסעיף 4 היינו מוסיפים: "אבל יש שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהוא עם מאפיין <math>p</math> כך ש <math>T</math> אינה העתקה לינארית"
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== הבוחן שהיה ==

אתם יכולים להעלות פתרונות לבוחן אמצע..?

אני מקווה שאני אספיק--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

שמתי פתרון בדף הראשי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה!

== איך פותרים את תרגיל 4 ==

פה
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a64.pdf

?

שיטה א': תמצא דוגמאות ששוללות את כל האופציות הלא נכונות.

שיטה ב': היה לכם בשיעורי הבית (בתרגיל 4) שאלה שתעזור להבין מה הפתרון הנכון. (תזכרו שמטריצות והעתקות מתנהגים אותו דבר).

אם זה עדיין לא ברור אני אסביר יותר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:42, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אני לא מצליח..

שיטה א': נגדיר <math>T(x_1,x_2, \ldots ,x_{32})=(0,x_1,x_2, \ldots , x_{31})</math> (העתקת הזזה).

זאת דוגמא נגדית ל 2,3,4 . לכן 1 נכון.

שיטה ב': בתרגיל 4 שאלה 7 הוכחתם שבהכרח מתקיים ש <math>T^{32}=0</math>.

מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

כן ברור אבל איך אפשר להוכיח ש T^32 = 0?

תשובה: באותה טכניקה שהשתמשתם בתרגיל 4 שאלה 7.

הרי קיים <math>k</math> כך ש <math>T^k=0</math> אבל <math>T^{k-1}\neq 0</math>.

תוכיח שקיים <math>v</math> כך ש <math>v,T(v), \ldots ,T^{k-1}(v) </math> היא קבוצה בת"ל בגודל <math>k</math>.

לכן <math>k \leq n</math>. ולכן <math>T^n=T^{32}=0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

מי אמר אבל ש T לא שווה לאפס? ולכן <math>T^{k-1}\neq 0</math> לא נכון

תשובה: אז מה? אם <math>T=0</math> אז <math>k=1</math> ואז <math>T^{k-1}=T^{0}=I \neq 0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== בסיס ומימד של חיתוך ת"מ ==

התבקשתי להעלות דוגמאות:[[מדיה:sub_dimx2.pdf|דוגמאות]]
--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 22:34, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת ==

תהי
<math>
T:V\rightarrow W
</math>
הע"ל. כיצד מוכיחים כי
<math>
rank(T) = rank([T]_{C}^{B})
</math>
 
חיפשתי ולא מצאתי את ההוכחה.

תודה! [[משתמש:ABAB|ABAB]] 12:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני מתאר לעצמי שההוכחה שראיתם בכיתה היא משהו בסגנון הזה:
<math>rank([T]^B_C)= dim C([T]^B_C)= dim \{[T]^B_Cv \mid v \in \mathbb{F}^n\}=dim\{[T]^B_C[u]_B \mid u \in V \} = dim\{[T(u)]_C \mid u \in V\}

</math>

(בגלל ש <math>[\quad]_C</math> היא איזומורפיזם)

<math>=dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T)</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

*ההוכחה שראינו בהרצאה (של מיטל):

הניסוח: יהיו V,W מ"ו מעל שדה F.נגדיר E בסיס לV, וכן F בסיס לW, ותהי T מV לW הע"ל. אז מתקיים:<math>rank(T) = rank([T]_{F}^{E})</math>

הוכחה: נסמן {v1,...vk} בסיס עבור (ker(T, וכן {(T(u1),...T(ul}, בסיס עבור (im(T, ולכן המימד של התמונה הוא l. מתקיים: {,u1,...ul,v1,...,vk} בסיס עבור V, נסמנו B (הוכחנו זאת כאשר הוכחנו את משפט הדרגה).

אזי מתקיים:

<math>\left[ T \right] ^{ B }_{ F }\quad =\quad ([T(v_{ n })]_{ F }...[T(v_{ n })]_{ F }[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })\quad =\quad (0...0[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })</math>

(כאשר מדובר במטריצה שעמודותיה הן הוקטורים האלו, כשרשום אפס הכוונה לעמודת אפסים). אבל אמרנו כי {(T(u1),...T(ul} בסיס, וכן F בסיס ולכן l העמודות האחרונות הן בת"ל, ומתקיים <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=l</math> . נותר להוכיח כי <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=r(\left[ T \right] ^{ E }_{ F })</math>.

מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/e/e2/Gif.gif]
כאשר המעבר האחרון מתבצע בגלל המשפט שאומר: אם A הפיכה מתקיים (r(BA)=r(B, ובמקרה שלנו מטריצת המעבר היא הפיכה, ולכן הדרגות שוות.

ובסה"כ נקבל:[[http://www.math-wiki.com/images/9/9b/Gif_%281%29.gif]]

== משפט ההגדרה ==

מה הניסוח של משפט ההגדרה של ה"ל
ומה הניסוח של משפט הדרגה?

*משפט ההגדרה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, מתקיים dimv=n. אם ניקח {v1,...,vn} בסיס עבור V, וכן{w1,...,wn} '''קבוצה''' מוכלת בW, אזי קיימת T מV לW כך שהיא הע"ל, והיא יחידה, והיא מקיימת T(vi)=wi לכל i בין 1 ל-n.

משפט הדרגה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, ותהי T מV לW הע"ל. אזי מתקיים:
(dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v

ובמילים- מימד התמונה (דרגת ההעתקה) ועוד מימד הגרעין (האפסיות של T) שווה למימד של V.

== שאלה כללית ==

T : Z2[x] → Z2 מה מסמל הסוגרים המרובעים שמסביב לX?
:פולינומים מעל Z2 במשתנה x

== כפילות הדט ==

בשביל להוכיח את כפילות הדט צריך להסתמך על כך שפונקציה שמקבלת A ומחזירה את הדט של AB היא כמו דטרמיננטה וכן את המשפט שאומר שפונקציה כמו דטרמיננטה זה בעצם (f(I כפול הדט של A מה צריך להוכיח ועל מה אפשר להסתמך?

וגם במשפט לאפלס(פיתוח לפי שורה ) אפשר להסתמך על חישוב לפי מטריצת בלוקים?

תשובה: לגבי כפליות הדטרמיננטה.

אני מתאר לעצמי שאפשר להסתמך על כך שפונקציה "כמו דטרמיננטה" היא <math>f(I)|A|</math>.
אבל בטח שצריך להוכיח ש <math>f(B)=|AB|</math> (או להפך, אני לא זוכר כרגע), היא כמו דטרמיננטה. זאת כל ההוכחה.

כדי להיות בטוח אני אשלח למיטל מייל.

לגבי משפט לפלס. אתה יכול לפרט יותר את השאלה? באיזה הוכחה אתה רוצה להשתמש (יש כמה) ועל איזה משפט בדיוק אתה רוצה להסתמך בלי הוכחה?
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:37, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל ממבחן דמה ==

http://www.math-wiki.com/images/d/d5/11Linear1Dumbtest2.pdf

לא הצלחתי לפתור את תרגיל 6 ו-5 סעיף א, אשמח לעזרה!

תשובה:

לגבי 5 סעיף א'. אני חושב שהכוונה היא כזאת:

היות ולמערכת יש <math>2</math> פתרונות, היא חייבת להיות מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. ויש משתנה חופשי אחד, כלומר דרגת המטריצה היא 2.

יש 4 מקומות במטריצה שאנחנו לא יודעים (ובכל אחד מהם יכול להיות 0 או 1).

סה"כ יש 16 אפשרויות לבדוק. שזה מעצבן אבל סביר, צריך לעבור על האפשרויות אחת אחת ולבדוק באיזה מהן אחת השורות תלויה באחרות (ולכן דרגת המטריצה היא 2).

כרגע אני לא רואה דרך יותר טובה לפתור את זה. אם למישהו יש רעיון אחר שיכתוב.

לגבי שאלה 6:
אני מכיר דרך לפתור את זה, אני לא יודע אם זאת הדרך הכי טובה.

אפשר לקחת בסיס כלשהוא <math>B</math> ל <math>V</math> ולקבל ש
<math>[T]_B[S]_B=[S]_B[T]_B</math> כלומר המטריצה המייצגת של <math>T</math> מתחלפת עם כל מטריצה אחרת.

בפרט היא מתחלפת עם מטריצות בסיסיות <math>E_{i,j}</math>. אם עובדים עם זה קצת, אפשר להוכיח ש <math>A=[T]_B</math> אלכסונית.

הוכחה פחות או יותר: כי אם <math>j \neq k</math> אז <math>E_{i,j}AE_{k,l}=A_{j,k}E_{i,j}</math>
אבל בגלל החילוף <math>E_{i,j}AE_{k,l}=AE_{i,j}E_{k,l}=0</math>

(אפשר גם להוכיח ש <math>A</math> סקלרית אבל זה לא נדרש כאן)

ואז הבסיס <math>B</math> הוא קבוצת הוקטורים המבוקשת.

(לידע כללי: התנאי שיש בשאלה הזאת הוא חזק מאוד, וההעתקות היחידות שמקיימות אותו הן כאלה של כפל בקבוע <math>T(v)=\alpha v</math>.)

כמו קודם, אני לא בטוח שזאת הדרך הכי פשוטה, מוזמנים להעלות עוד רעיונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה רבה, עזרת לי מאוד.

== משפט כפליות הדט' ==

*האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'? בהרצאה לא הוכחנו את זה אלא ציינו.

*האם אפשר להוכיח ככה:

נראה כי |f(A)=|AB היא כמו דט' על ידי כך שנראה כי היא (1)מתאפסת כאשר יש שתי שורות זהות, וכן (2) מחליפה סימן עם החלפת שורות.

(1) אם בA יש שתי שורות זהות, נקבל כי A|=0|, ולכן A לא הפיכה, וגם AB לא הפיכה (אם נניח בשלילה כי AB הפיכה בפרט הפיכה משמאל, לכן קיימת C עבורה AB)C=I), ולפי אסוצ' נקבל A(BC)=I כלומר A הפיכה משמאל, לכן הפיכה בסתירה), ואם AB לא הפיכה 0=|AB|, כדרוש.

(2)אם נחליף שתי שורות i,j בA ונסמן את המטריצה החדשה 'A, נקבל כי |A'|= -|A|. אפשר לרשום A'=pA, כאשר p היא מטריצה אלמנטרית של החלפת השורות i,j. .לכן מתקיים:

|(f(A')=|A'B|=|(pA)B|=|p(AB
קיבלנו מטריצה שבה שינו את השורות הi,j ולכן הדט' שלה היא |AB|-, כלומר מתקיים (f(A')= -|AB|= -f(A ,כדרוש.

תזכורת כי צריך גם להראות ליניאריות בכל שורה.

*אמרנו בהרצאה כי מספיק להראות את שתי התכונות הנ"ל כדי להוכיח כי פונ' כלשהי היא כמו דט'.

:זה משפט ש (pA)B=p(AB) ?

*תשובה: מדובר בשלוש מטריצות p,B,A ועבורן מתקיימת אסוצ' הכפל, הוכחנו בהרצאה (אצל מיטל אבל אני גם בטוח שגם אצל אלי הוכיחו, זה בסיסי ממש).

נראה לי שיותר קל להראות את זה עם כפל שורה שורה ואז להשתמש בתכונות של הדטרמיננטה

תשובה: אני חושב שחלק מהדברים שנכתבו כאן למעלה לא נכונים.

יש שלוש תכונות (כמובן חוץ מהדרישה ש <math>f(I)=1</math> שלא דורשים בשביל "כמו דטרמיננטה").

1) מולטי לינאריות.

2) אם יש שתי שורות זהות הדטרמיננטה היא 0.

3) חילוף של שתי שורות משנה את הסימן של הדטרמיננטה.

למיטב ידיעתי.

1+2 גורר את 3.

1+3 גורר את 2 (אולי חוץ מאשר כשעובדים מעל שדות עם מאפיין 2).

2+3 לא גוררים את 1, אין לי דוגמא כרגע בשלוף אבל אני אהיה מאוד מופתע לגלות שזה נכון, אף פעם לא ראיתי כזה טיעון.

באמת, כדי להוכיח ש<math>f(A)=|AB|</math> מקיימת את 2 מוכיחים כמו שהראו פה למעלה.

ובנוסף צריך להוכיח שהיא מולטי לינארית (עושים את זה עם כפל שורה -שורה, זה לא כזה מסובך).

אחרי שמוכיחים את זה, זה נותן ש <math>f</math> היא "כמו דטרמיננטה".--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:23, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

*אתה יכול להראות איך עושים את זה?

ועלתה לי עוד שאלה בנושא הזה - מה בדיוק הרעיון של מולטי לינאריות? אני מוכיח כי מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/9/9e/Daum_equation_1346219922031.png]

אבל בעצם המטריצה השנייה באגף הימני היא מטריצה עם שתי שורות זהות (השורה הj חוזרת על עצמה פעמיים), והדט' שלה היא אפס, אז אי אפשר להשמיט את זה?

תשובה:

אם <math>A = \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i + \alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}
</math>

אז
<math>f(A)=|AB|=

| \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i +\alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}B|</math>

לפי כפל שורה שורה זה

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & (u_i +\alpha v)B & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

וזה כמובן שווה ל

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB +\alpha vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

לפי מולטי-לינאריות של דטרמיננטה

זה שווה ל

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|
+\alpha | \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

שזה שוב לפי כפל שורה שורה

<math>f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})+ \alpha f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})</math>

תשובה לשאלה השניה שלך:
מולטי לינאריות אומרת שאם שורות המטריצה הן <math>u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n</math>

אז <math>f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n)=f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i, u_{i+1} , \ldots , u_n)+\alpha f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, v, u_{i+1} , \ldots , u_n)</math>

איפה באיבר השני יש שורה שחוזרת על עצמה?

<math>v</math> לא חייב להיות קשור ל <math>u_j</math> כלשהוא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

*הבנתי, תודה רבה!

== איך פותרים את שאלה 4? ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a60.pdf
יש שיטה כלשהי חוץ מלהציב כל ערך אפשרי ולבדוק?

אפשר באמצעות חילוק פולינומים (x=-1 הוא פתרון).

כמו שרשמו מעלי זה נכון, אבל בתכלס הדרך הכי פשוטה פה זה פשוט להציב זה ממש פשוט שאלה מתנה, אם זה מZ של 7 נגיד 50 אתה פשוט עושה כמו שרשמו מעלי, מחשב את זה כמו משוואה רגילה ואז עושה את המודולו.

== מתי המבחן? ==

?

*יום חמישי (מחר) בשעה 16:00.

== הוכחה ל16 ==

אתה יכול להוכיח את משפט 16?
תשובה : קח תהנה http://www.siz.co.il/view/joftnmng1ixc.png.htm
אנשים תעזרו אחד לשני

בשביל להוכיח שההעתקה היא חח"ע אפשר לעשות את זה ככה?:
<math>[T1]^B_C = [T2]^B_C</math>

ולכן
<math>[T1-T2]^B_C = 0</math>

אבל רק
<math>[0]^B_C = 0</math>

ולכן
<math>T1-T2 = 0</math>

ואז
<math>T1 = T2</math>

???
לא יודע (אני לא מתרגל או מרצה) אבל ההוכחה היא כל כך פשוטה למה סתם להסתבך?

* הוכחה נוספת היא בעזרת חישוב הגרעין, והיא הכי פשוטה לדעתי. הגרעין יכול להכיל רק את העתקת האפס, אחרת יהיה איבר במטריצה המייצגת שאינו אפס, והיא תהיה שונה ממטריצת האפס בניגוד להגדרת הגרעין. לכן הגרעין הוא רק אפס (והכוונה כאן להעתקת האפס), כלומר ההעתקה היא חח"ע.

לא הבנתי למה צריך להוכיח שזו הע"ל, לא מספיק רק חח"ע ועל???

*לא להוכיח שזו הע"ל זה קצת בעיה, כי כל מה שהגדרנו עובד על הע"ל, ולא סתם על פונקציה. בכל מקרה פה ההוכחה היא שורה-שתיים, ככה שזו לא בעיה.

== כשאומרים יחידות הצגה (משפט 2) ==

זה אומר שאם:

<math>v_1 = u_1 + w_1</math>

וגם
<math>v_1 = u_2 + w_2</math>

אזי
<math>u_1 = u_2</math>
<math>w_1 = w_2</math>
זה לא מדויק זה קצת יותר מסובך, אתה צריך להראות שבגלל שהם זרים ( חיבור ישר) אז הדבר הזה מתקיים ולא לגמרי ככה.
בגלל שהם זרים אז u1 -u2שייך לחיתוך בניהם ובגלל שהחיתוך ריק אז הם שווים לוקטור האפס ולכן הם שווים .

אני לא מדבר על ההוכחה, אני שואל האם זו ההגדרה ליחידות הצגה?

*ההגדרה היא שיש דרך אחת בלבד "להרכיב" אותו בעזרת וקטור מU ווקטור מW. ההגדרה שהבאת נכונה.

== משפט 10 ==

אני לא מבקש את ההוכחה היא די פשוטה העניין הוא כזה, במבחן יכולים לבקש ממני לנסח את כולו או שייתנו לי אותו (כולל כל הסעיפים) ואז יבקשו רק שאני יוכיח מסעיף לסעיף?

תשובה: למרות שלא נראה לי סביר שיבקשו לנסח, יכולים לבקש.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 15 ==

המטריצה לא אמורה להיות ריבועית? (כתוב שהיא m על n)

*לא, היא יכולה להיות מגודל mXn גם אם m שונה מn.

לא בגלל שתחשוב על זה ככה אם דרגת המטריצה שווה לn אז גם דרגת העמודות, כלומר לא קיים אף עמודה שאין לה איבר חופשי, לכן יש N שורות לא ריקות במטריצה המדורגת, אבל אולי יש כמה ריקות, המשפט מנסה להראות שהוא נכון גם בעוד מצבים חוץ מאשר שהמטריצה ריבועית ובגלל זה רשמו n ו m.

צודק, חשבתי שהם רצו שנכפיל בהופכית..

== בשביל להוכיח את כפליות הדטרמיננטה ==

אפשר להסתמך על זה שב "כמו דטרמיננטה" |f(A) = f(I) * |A?

אני מתאר לעצמי שכן. שלחתי על זה מייל למיטל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר להסתמך ואין צורך להוכיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

מזל תודה :)

== שעה ==

באיזה שעה המבחן מחר? מצפה לתשובה עם הוכחה. :) [[משתמש:ABAB|ABAB]] 16:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

קל לראות שזה ב 16:00

תודה זה היה טריוויאלי [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:04, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ממבחן ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf

שאלה 3 סעיף ג', איך לפתור? יצא לי 2 אבל אני לא בטוח.
מה יצא לך בכל הסעיפים לפני זה?

אם אפשר איך הגעת לפתרון הזה?

תשובה: אני לא יודע מה הפתרון הכי פשוט.

אבל אפשר לעשות ככה:

הסבר משופר:

שלב א': אם משתמשים באיזומורפיזם <math>[\quad]_S</math> מקבלים שהמרחב הזה איזומורפי למרחב המטריצות <math>A </math> כך ש <math>AM=0</math> (כאשר <math>M</math> היא מטריצה מייצגת של העתקה <math>R</math>). ולכן יש להם אותו מימד.

שלב ב': <math>\{A \mid AM=0\} = \{A \mid M^tA^t = 0\}\cong \{A \mid M^tA=0\}</math>.

כאשר האיזומורפיזם הוא בעזרת transpose.

שלב ג':

נשים לב ש <math>A \in \{A \mid M^tA=0\}</math> אם ורק אם <math>C_i(A) \in N(A)</math> לכל <math>i</math>.

כלומר <math>A</math> נמצאת בקבוצה הזאת אם ורק אם כל עמודה שלה נמצאת במרחב האפס של <math>M^t</math>.

שלב ד':

את המימד של מרחב האפס של <math>M^t</math> אנחנו יודעים, זה בדיוק המימד של מרחב האפס של <math>M</math>. נסמן אותו ב <math>k</math> (אין לי כח לחשב עכשיו)

אם <math>b_1,\ldots b_k</math> בסיס עבור <math>N(M^t)</math> אז בסיס עבור <math>A \in \{A \mid M^tA=0\}</math>
יהיה מורכב מ 4 קבוצות:

<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה הראשונה וכל השאר אפסים.

<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה השניה וכל השאר אפסים.

<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה השלישית וכל השאר אפסים.

<math>k</math> מטריצות שיש להן <math>b_1,\ldots b_k</math> בעמודה הרביעית וכל השאר אפסים.

סך הכל <math>4k</math> מטריצות וזה המימד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:03, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להסביר עוד פעם?

== הופכיות מצד אחד ==

משפט 8, לא מצאתי את ההוכחה למשפט הזה, יש מצב להוכחה?
עוד שאלה- אם המטריצה לא ריבועית, אז יכול להיות שקיימת לה הופכית משמאל ושהיא לא הפיכה מימין(או להפך)?

תודה רבה!

אם מניחים ש A הפיכה מימין, אזי קיימת B כך ש BA = I.

ואז בונים העתקה T(X) = AX (כאשר X זו מטריצה).

מוכיחים שזאתי הע"ל וגם חח"ע, ולכן היא על.

ולכן בפרט יש מקור ל I, ולכן קיימת M כך ש AM = I.

ואז מה שנשאר להוכיח זה ש M = B וזהו.

:וכנ"ל אם היא הפיכה משמאל זה אותו רעיון רק שעכשיו ההעתקה תהיה XA ולא AX

ולשאלה השנייה שלך, אם <math>A</math> לא ריבועית היא יכולה להיות הפיכה משמאל בלבד (או הפיכה מימין בלבד).
דרך אגב, יש עוד דרך להוכיח את הטענה הזאת, בלי להשתמש בהעתקות לינאריות.

והיא תרגיל 6.11 בספר של צבאן (בפרק 3).

אבל אני מסכים שההוכחה עם העתקות יותר קלה.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה!

== בת"ל מקסימלית היא בסיס ==

האם זו הוכחה טובה למשפט " אם A קבוצה בת"ל מקסימלית אז היא בסיס " ? :

יהי V מ"ו ותהי A בת"ל מקסימלית. צ"ל : V מוכל שווה ב-spanA (ההכלה השנייה טריוואלית).
הוכחה :
נניח בשלילה ש-V לא מוכל שווה בspA, כלומר קיים וקטור b ששייך ל V\spA.
b לא שייך לspA כלומר b אינו צי"ל של איברי A (הגדרת span) גורר ש A איחוד נקודון b בת"ל וזו סתירה לנתון ולכן V=spA ולכן A בסיס ל-V.

בבקשה זה חשוב .

זאת הוכחה טובה, אני רק הייתי מוסיף הסבר יותר מפורש/ברור למה אם <math>b</math> אינו צירוף לינארי של איברי <math>A</math> אז <math>A</math> איחוד <math>b</math> בת"ל. (רק להוסיף עוד שורה או שתיים של הוכחה או משהו מעין זה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:06, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

אוקיי, תודה רבה !

== תרגיל 6 שאלה 4ד ==

לא הבנתי איך עברתם מ-<math>P^{-1} A^{-1} P |P^{-1} | |A||P|</math> ל-<math>P^{-1}A^{-1}|A|P</math>, תוכלו להסביר בבקשה?
:<math>|P^{-1} |=1/|P|</math> וכיוון שהכפל קומוטטיבי <math>|P^{-1} | |A||P|=|A|</math>. בנוסף נזכור שדטרמיננטה היא "מספר" (סקלר מהשדה). ו <math>kA=Ak</math> לכל סקלר k ומטריצה A. --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 20:30, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלות הוכחה ==

בשאלות הוכחה במבחן נצטרך גם לנסח את המשפט?

תשובה: יכול להיות שיבקשו לנסח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:51, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

== איזומורפיזם ==

אני רואה שהרבה פעמים משתמשים באיזו' להוכחות של דברים, ואני מרגיש שאני לא מבין את הנושא עד הסוף. מה התכונות של איזו' חוץ מחח"ע על והע"ל?
אם אני מוכיח שV וW איזומורפים מה זה נותן לי?

תשובה: זאת נקודה חשובה. דבר ראשון, שים לב ש<math>V</math> איזומורפי ל <math>W</math> אם יש העתקה לינארית (לא סתם פונקציה) שהיא חד חד ערכית ועל.

מה איזומורפיזם אומר לנו? ששני המרחבים הוקטוריים האלה מתנהגים אותו דבר. הדבר החשוב ביותר הוא שיש להם את אותו מימד. (שים לב שיש גם משפט שאומר שההפך נכון, שני מרחבים מאותו מימד (סופי) הם איזומורפיים).

בנוסף, אם <math>T</math> הוא האיזומורפיזם הוא מאפשר לנו להעביר "מידע" מ <math>V</math> ל <math>W</math> למשל:

אם <math>A</math> בת"ל ב <math>V</math> אז <math>T(A)</math> בת"ל ב <math>W</math>.

אם <math>A</math> פורשת ב <math>V</math> אז <math>T(A)</math> פורשת ב <math>W</math>.

אם <math>U</math> תת מרחב של <math>V</math> ממימד <math>k</math> אז <math>T(U)</math> תת מרחב של <math>W</math> ממימד <math>k</math>.

אם <math>U_1 \oplus U_2 = V</math> אז <math>T(U_1) \oplus T(U_2) = W</math>.

וכן הלאה וכן הלאה.

כל טענה של מרחבים וקטוריים שמתקיימת ב <math>V</math> אפשר "להעביר" ל <math>W</math>.

(וגם את ההפך אפשר לעשות עם <math>T^{-1}</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:59, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 10 ==

אם יתנו להוכיח את משפט 10 אז כבר ינסחו אותו, נכון?

תשובה: יש לשער שכן. אבל אני לא מבטיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:42, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה בנוגע לדרגה ==

אם יש שתי מטריצות A B ריבועיות, וA הפיכה, האם נכון לאמר ש(r(AB)=r(BA?
והאם זה שווה ל(r(B?

ניסיתי למצוא הפרכה ולא הצלחתי, וכשניסיתי להוכיח לא הוכחתי עד הסוף.

תשובה: אם ב <math>r</math> אתה מתכוון <math>rank</math>. אז כן.

<math>rank(AB)=rank(BA)=rank(B)</math> (אם <math>A</math> הפיכה).

אם אתה מתכוון למרחב השורות אז <math>R(B)=R(AB)</math> (כש <math>A</math> הפיכה).

(כי אפשר לחשוב על <math>A</math> בתור רצף של פעולות שורה אלמנטריות והן לא משנים את מרחב השורה).

אבל הם לא בהכרח שווים ל <math>R(BA)</math>.

למשל אם <math>B=E_{1,1}</math> ו <math>A=E_{2,1}+E_{1,2}</math> אז <math>BA = E_{1,2}</math> ו

<math>R(E_{1,2}) \neq R(E_{1,1})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:48, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

*התכוונתי לדרגה, תודה.

== שאלה לגבי המבחו ==

אם במבחן בחלק הראשון בשאלה 1 אני צריך להוכיח משפט מסויים, ובשאלה 2 עוד משפט..
מותר לי להסתמך על משפט אחד מביניהם כדי לפתור את השני?

מותר--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:32, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 1 במבחן ==

איך הנקודות מתחלקות בין הסעיפים?
ואם הוכחתי משפט אחר בסעיף א' יורידו לי הכל?
תודה

תשובה: בשאלות 1,2 ההוכחה שווה 18 נקודות וסעיף ב' שווה 7 נקודות. (הניסוח גם שווה כמה נקודות מתוך ה18 של ההוכחה).

בשאלה 3 נדמה לי שהחלוקה היא 10,8,12 אבל אני לא משוכנע איזה סעיף מקבל איזה ניקוד.

אם הוכחת משפט אחר, אז כן, לצערי יורידו הכל. לדעת מה המשפט אומר זה בפירוש חלק ממה שנדרש.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:04, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשאלה 1 ==

כשאמרו לנסח את המשפט.. אז מספיק שרשמתי:

יהיה T:V-W הע"ל, אזי

<math>dim Ket(T) + dim Im(T) = dim V</math>

זה מספיק?

*אני אישית רשמתי גם v,w מ"ו מעל שדה F, אני חושב שכן צריך את זה, מציע שתחכה לתשובה של מתרגל.

== פתרון שאלה 3 ==

לכל מי שרוצה, מצורף פתרון שאלה 3
[[מדיה:שאלה 3.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:14, 30 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתרון המבחן ==

מתי תעלו פתרון של המבחן ואת השאלות?

== המבחן ==

מתי תעלו פתרון של המבחן(כולל שאלות אמריקאיות)?
ומתי יעלו את ציוני המבחן?

תשובה: נעלה פתרון של המבחן במהלך שבוע הבא.

אני מעריך שיהיו ציונים תוך שבוע- שבוע וחצי, אבל אני לא מבטיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:17, 31 באוגוסט 2012 (IDT)

מתי יפורסמו ציוני התרגיל הסופיים? (שקלול בוחן+תרגילים שיהיו 10% מהציון) [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:32, 2 בספטמבר 2012 (IDT)

== ציון סופי ==

מתי המתרגלים יעלו את ציוני התרגיל כדי שנוכל לחשב את הציון הסופי ? בתודה מראש.

== חישוב הציון הסופי ==

שלום,

אם קיבלתי בבוחן יותר מ-100 בחישוב הציון הסופי תחשבו לפי הציון שלי או 100?

:כיצד יחושב ציון התרגיל? 50% בוחן ו-50% תרגילי בית? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 20:29, 6 בספטמבר 2012 (IDT)

== יש כבר ציונים? ==

יש כבר ציונים?

== מועד ב' ==

1) המועד ב' יהיה באותו מבנה כמו המועד א'?
2) המועד ב' יהיה באותה רמת קושי כמו המועד א'(כי לדוגמא בבדידה עשו לנו את המועד ב' פי 10 יותר קשה)?
תודה רבה --[[משתמש:Avital|Avital]] 19:45, 10 בספטמבר 2012 (IDT)
 
קיבלת כבר ציון? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 11:23, 11 בספטמבר 2012 (IDT)

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-09-10T10:01:39Z

ABAB: /* יש כבר ציונים? */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-09-06T17:29:41Z

ABAB: /* חישוב הציון הסופי */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-09-02T14:32:46Z

ABAB: /* המבחן */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-31T18:44:38Z

ABAB: /* המבחן */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-29T14:04:19Z

ABAB: /* שעה */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תשובה במשוואה מרוכבת ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
האם פתרון של משוואה מרוכבת יכול לצאת עם שורש i ?

תשובה: הפתרון (או פתרונות) למשוואה מרוכבת צריך להיות מוצג בצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.

בלי שורש <math>i</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:02, 16 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 בתרגיל 1, טקסט לא מובן ==

האם הנקודה האחרונה היא (t,4)?
אם כן, האם צריך לבטא בעזרת הפרמטר t ?

תשובה: אכן, הנקודה האחרונה היא <math>(t,4)</math>.
יש לבטא את התשובה באמצעות <math>t</math> ולשים לב לאפשרויות השונות שיכולות להיות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 16 ביולי 2012 (IDT)

== מערכת משוואות ==

האם אני חייב לפתור את המערכת משוואות בעזרת מטריצה או שאני יכול לפתור אותן בדרך הישנה כמו שמלמדים בתיכון (בדרך של הצבה). (שאלות 7-9)

תשובה: המטרה היא לתרגל דירוג מטריצות, אז כן, צריך להשתמש במטריצות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:33, 17 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 1 שאלה 9 ==

אין שום הבדל בין שאלה 8 ל9 מבחינת דרך הפיתרון (רק השדה שונה) . צריך לפתור את שאלה 9 בדרך שונה משאלה 8? או לפתור אותה בדיוק כמו שאלה 8?

תשובה:
אני לא יכול להגיד באיזה דרך צריך לפתור.

צריך לפתור את שאלה 9 ולהגיע לתשובה נכונה.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 עובדת בשאלה 9, אז תשתמש באותה דרך.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 לא עובדת, אז תשתמש בדרך אחרת.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:31, 19 ביולי 2012 (IDT)

== כמה שאלות לגבי התרגילים ==

1. האם אני צריך להראות את צורת הפתרון הסופי כאשר יש אינסוף פתרונות?
2. האם אני יכול להניח ב8 ש <math>b</math> שונה מאפס?
3. איך אני אמור לפתור את 9 אם אני לא יודע אם a גדול או קטן מ7 (מבחינת מודול)

כמה תשובות:

1) כן.

2) לא. אבל אתה יכול להפריד למקרים.

3) זה לא ממש אמור לשנות לך. <math>a</math> הוא איבר של <math>\mathbb{Z}_7</math>. בכל מקרה במודולו <math>7</math> הוא שווה לאחד מ
<math>\{0,1,\ldots,6\}</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:25, 19 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל בית 1 - שאלה 9 ==

האם אפשר להבין מכך שהמשתנים נמצאים במשוואות הנתונות שהם בין 0 ל-6 (כלומר a, a+3, a^2, b נמצאים בתחום הזה)?

תשובה: כל מספר שלם (כולל <math>a^2,a+3 </math> וכו') שווה במודולו 7 למספר בין 0 ל 6.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:27, 19 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

רק לוודאות: כשכתוב לפתור את מערכת המשוואות עם הפרמטר הכוונה למצוא פיתרון יחיד? או שהכוונה מתי אינסוף פתרונות וכו'...

תשובה: לפתור את המערכת אומר:

1) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש פתרון יחיד - ולמצוא את הפתרון.

2) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים אין פתרון.

3) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש אינסוף פתרונות - ולמצוא את הפתרון הכללי.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:27, 20 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

איך אמורים לפתור את התרגיל הזה? צריך גם לחשוב על מספרים שיהיו בשדה וגם על החיבור והכפל שלהם..

:תשובה: כן. צריך לקחת ארבעה מספרים או סימנים כלשהם (<math>\{0,1,2,3\}</math> או <math>\{a,b,c,d\}</math> - זה לא באמת משנה) ולהגדיר על ארבעת האיברים האלה כפל וחיבור כך שכל האקסיומות של שדה מתקיימות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:29, 20 ביולי 2012 (IDT)

אבל לא משנה איך מסדרים את האיברים, יצא לנו או שדה על mod 4 - סתירה (4 לא ראשוני), או (שני איברים ניטרלים לכפל או לחיבור).

:שדה עם 4 איברים לא אומר שכל האיברים שונים. שני איברים נייטרלים לחיבור אומר שהקבוצה היא לא שדה רק אם שניהם שונים, אותו דבר לגבי כפל. [[משתמש:אלמוג אלפסה|אלמוג אלפסה]] 09:53, 21 ביולי 2012 (IDT)

::לא ייתכנו שני איברים נייטרלים לפעולה אחת. קל להוכיח שאיבר נייטרלי לפעולה הוא יחיד (מה יהיה סכום איברים נייטרלים שונים לחיבור?). אבל הפעולות לא חייבות להיות כמו Z ארבע, יש הרבה מאד דרכים להגדיר את הפעולות בין האיברים. אחת הדרכים תתן שדה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל לא יכולים להיות איברים כפולים בשדה, כי שדה זה קבוצה, ובקבוצה מורידים איברים כפולים

== רק להיות בטוח ==

כשאומרים פתירת מערכת מעל שדה כלשהו(נגיד Z 7), מתכוונים שרק הנעלמים שייכים לאותו השדה או שגם הפרמטרים?
:הכל שייך לשדה. כלומר, אם מבקשים ממך לפתור את 31x=3 מעל Z7, קודם הייתי מוצא מה הערך של 31 ב-z7 ואז ממשיך...
::אבל אם נגיד אתה מחלק 3 ב 37, אז יוצא לך מספר לא שלם, אז איך אתה יכול לפתור אותו מעל Z7?
:::אתה יכול לפרק 37=a*7+b כאשר a מקסימלי. במקרה כזה, ב-z7, שלושים ושבע יהיה שקול ל-b.
::::לא ממש הבנתי.. נגיד 4X = 25 מעל Z11, למה יהיה שווה X?
:::::לכל מספר בשדה יש הופכי, אתה כופל בהופכי בשני הצדדים. בדוגמא שהבאת, ההופכי של 4 הוא 3 (שכן 12=1 מודולו 11). לכן איקס שווה ל75=9 מודולו 11. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה לגבי דירוג משוואות ב12 ==

חובה לדרג את המשוואות או שאפשר פשוט להביא את המקרים של a בשדה?
:לדרג, זה מה שלומדים בתרגיל הזה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' ==

ב':אני חושב שאמור להיות שהעמודה ה-J שווה לעמודה ה-I של A כי ה-1 הוא האיבר ה-I בעמודה J
ואותו הדבר לגבי סעיף ג':שורה i שווה לשורהJ של A

תשובה: אתה צודק, יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:09, 22 ביולי 2012 (IDT)

עלתה גרסא מתוקנת. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

מה הכוונה במטריצות סגורות לכפל? לא זכור לי שעברנו על זה בתרגיל/הרצאה.

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

כלומר השאלה היא בעצם אם אכפול שתי מטריצות סקלריות, האם אקבל מטריצה סקלרית?
האם צריך להוכיח/להפריך את התשובה, כי השאלה שואלת רק אילו סגורות ואילו לא.
:כמובן שיש להוכיח/להפריך --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]]

== שאלה 2 חלק שני ==

בשאלה 2 אני צריך להניח שמיספר השורות ב A שווה למיספר העמודות ב E? או שזה ברור?

תשובה: כן. <math>A,E_{i,j}\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בשעורי בית 2 ==

בשאלה 3 סעיף ג', שואלים עברו אילו ערכי a , b המטריצה הפיכה, ומה ההפיכה עבור ערכים אלו.

עכשיו אני הצחלתי להגיע לאילו ערכי a ,b '''אין''' הפיכה.. אז מה להגיד שעבור כל ערך שהוא לא מה שמצאתי יש הפיכה??

כי ביקשו עבור ערכי a,b ספציפיים..

תשובה: אין בעיה להגיד שעבור כל <math>a,b</math> פרט למקרים מסוימים המטריצה הפיכה.

אבל בשביל המקרים שהיא הפיכה צריך למצוא את ההופכית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:43, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ש"ב 2 ==

בסעיפים א' ו ב' של התרגיל היה צריך להוכיח האם משהו עם הקבוצה שווה להופכי שלה.
עכשיו בסעיף האחרון שאלו האם A בהכרח הופכית, וגיליתי שלא בהכרח...

אז זה אומר שסעיפים א' ו ב' לא נכונים?

תשובה: אם ל<math>A</math> אין בהכרח הופכי אז באמת א' וב' הם מיידית לא נכונים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:46, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 4 סעיף ג ==

האים מטריצה ריבועית עם 4 איברים שכולם 1 נחשבת למטריצת האפס?

תשובה: מטריצת האפס היא המטריצה שכל הערכים בה הם <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 24 ביולי 2012 (IDT)

== הגדרות לשאלה 7 ==

היות וכמה אנשים שאלו אותי היום. אני כותב כאן את ההגדרות הרלוונטיות לשאלה 7.

מטריצה <math>A</math> נקראת

1)משולשית עליונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>j<i</math>.

2)משולשית תחתונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i<j</math>.

3) משולשית אם היא משולשית עליונה או תחתונה.

4) אלכסונית אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i\neq j</math>.

5) סקלרית אם <math>A=c\cdot I</math> כאשר <math>c\in \mathbb{F}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:55, 24 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

מה זה אומר אחד חלקי טראס איי?
1/tr(A)?

תשובה: אם <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> אז <math>tr(A)\in \mathbb{F}</math>.

לכן, אם <math>tr(A)\neq 0</math> קיים לו הופכי. ההופכי הוא <math>\frac{1}{tr(A)}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ==

האם העובדה שנתון A^2=-I פירוש הדבר שקיימת אחת כזאת (מגודל nXn)?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

מה בדיוק הכוונה בסעיף ג'? איך אני יכול להוכיח שA כזאת היא בהכרח הפיכה?

תשובה: אם תצליח למצוא הופכי זה אומר שהיא בהכרח הפיכה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בתרגיל 2 ==

בסעיף ג', אני יודע שהמטריצה לא הפיכה ל a=0 וגם b=0 , אבל אני לא יודע אם זה המקרה היחיד.
אפשר כיוון ?

רמז: במקום לנסות לחפש מתי המטריצה לא הפיכה, תנסה למצוא את ההופכית שלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:33, 25 ביולי 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 4 תרגיל 2 ==

בסעיף א' האם הככונה למצוא 3 מטריצות ספיציפיות המקיימות את הדרישות או למצוא מטריצה A המקיימת את הדרישות לכל B ו C

תשובה: למצוא שלוש מטריצות ספציפיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:26, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 מטריצות הפיכות ==

מותר בכפל מטריצות להפוך AxB)x(BxA) ל Ax(BxB)xA?

תשובה: כן.

<math>(A\cdot(B\cdot B))\cdot A = A\cdot((B\cdot B)\cdot A) = (A\cdot B)\cdot(B \cdot A)</math>.

זה נובע מחוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) של כפל מטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:30, 25 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 2 סעיף ד׳ ==

באגף ימין, איך אפשר לכפול איבר במטריצה?

תשובה: <math>a_{j,k}\in \mathbb{F}</math>. זה כפל של סקלר במטריצה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

עפ"י חוק בפילוג בשדה F , אז (סיגמה של אברי מטריצה משדה F כפול סקלר s מ F) שווה (לסיגמה של s כפול אותם אברים ) ?

תשובה: כן. אם <math>s,a_0,\ldots,a_n\in \mathbb{F}</math> אז

<math>s \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n a_i = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n (sa_i)</math>

אפשר להוכיח את זה באמצעות פילוג ואינדוקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 26 ביולי 2012 (IDT)

אבל אני לא צריך להוכיח נכון ?

תשובה: לא צריך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 27 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 א ==

לא הבנתי איך להוכיח את זה כי זה ברור

== תרגיל 2 - חיבור מטריצות -מופיע במספר שאלות ==

איך אני מחבר מטריצות?
נגיד נתון לי A ו B מעל שדה F 3*3
אז החיבור שלהם A+B - למה הוא שווה?
ואיך מבצעים את זה?

לדוגמא זה מופיע בשאלה 5 ב' ושאלה 4 סעף ג'

תשובה: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 28 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

כשאני מוכיח שיש סגירות במטריצות סקלריות אני יכול להשתמש בלי להוכיח את חוק החילוף לכפל של סקלרים(aA=Aa כאשר a סקלר בשדה F וA מטריצה במרחב <math>F^{n*n}</math>?
--[[משתמש:Avital|Avital]] 22:58, 27 ביולי 2012 (IDT)

תשובה: אפשר להסתמך על החוק הזה בלי להוכיח אותו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:00, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 4 סעיף ג' ==

כתוב שצריך לתת דוגמא למטריצות A ו- B הפיכות כך ש- A+B!=0 (לא שווה )

מה הכוונה בהפיכות ?- שהן אחת הופכית של השנייה ? או שני מטריצות הופכיות שלא קשורות אחת לשנייה ?

ומה הכוונה ב- A+B ? איך מחברים מטריצות ?

תשובה: כל אחת מהן הפיכה ואין להן בהכרח קשר אחת עם השניה.

לגבי חיבור מטריצות: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:07, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 7 ==

מה הכוונה -אילו מקבוצות המטריצות הריבועיות סגורות לכפל?

מה הכוונה '''סגורות לכפל''' ?

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 1 תרגיל 3 ==

האם אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר שראינו בהרצאה? (כלומר עם שלושת התנאים: W ת"מ אם"ם W לא ריקה וגם W סגורה לכפל בסקלר וחיבור).

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:03, 29 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 א' בתרגיל 2 ==

בשאלה זו ניתן להגיד כי A כפול A במינוס 1 =I, כלומר A הפיכה, מכיוון שמזכירים את A במינוס אחד ?
אם לא מה אומר A במינוס אחד ?

תשובה: אתה לא יכול להניח ש <math>A</math> הפיכה רק בגלל שכתוב בסעיף א' (וב') <math>A^{-1}</math>.

אתה כן יכול לומר שאם <math>A</math> לא בהכרח הפיכה אז ברור ש א' וב' לא נכונים כי עבור <math>A</math> לא הפיכה, <math>A^{-1}</math> לא קיים בכלל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 30 ביולי 2012 (IDT)

== דחוףף ==

יש לי הארכת זמן ולא קיבלתי מייל לאן אני צריך ללכת כדי להראות שיש לי הארכת זמן ,מישהו יכול להגיד לי לאן ללכת ועם מה? למי להתקשר?

== שדה אינסופי ==

האם אפשר להניח בלי הוכחה שchar(F)=0 => השדה F אינסופי?

תשובה: כן. (למרות שאני מקווה שאתם יודעים איך להוכיח את זה). --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:09, 30 ביולי 2012 (IDT)

נתבונן בקבוצה 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1....

(1 הוא 1 של השדה)

בגלל סגירות לחיבור, כל האיברים נמצאים בשדה. המאפיין הוא אפס, לכן לא משנה כמה פעמים נחבר נקבל איברים שונים. מכאן כבר שיש אינסוף איברים בשדה F, והוא אינסופי.

== תרגיל 3 -טעות בשאלה 4 ג' ==

בשאלה 4 ג'.
צריך להניח בנוסף ש <math>A \neq \emptyset</math>.

גרסא מתוקנת תעלה בהמשך היום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:07, 31 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

שלום,
בתרגיל 3 שאלה 2 מה סדר הפעולות באגפים הימניים? משמאל לימין או שהחיבור בסוף?
תודה מראש :)

תשובה: החיבור בסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:42, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== בוחן 7.8 ==

מה מבנה הבוחן בשלישי? כמה שאלות וכמה נקודות לשאלה???

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

כל הסעיפים מכילים את אותם ביטוים משני הצדדים. צריך להוכיח עבור שני סעיפים ולהפריך עבור השנים האחרים ?

תשובה: אני לא רוצה להגיד כמה סעיפים נכונים וכמה לא.

זה נכון שבגלל שכל הסעיפים קשורים, זה יכול להקל עליכם קצת.

למשל, אם הצלחת להוכיח את א' זה מייד אומר שב' לא נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== כיתות לימוד מחר ==

שלום, באילו כיתות אנו לומדים מחר?

תשובה:
שימו לב לשינוי הכתות באופן חד פעמי ליום חמישי 2/8/12

ההרצאות במקום הרגיל ב 604 61/62

התרגיל של אפי יתקיים בכיתה 403/2 בשעה 13

שירה 404/102

ארז 404/114

איתמר 404/115
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:24, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 3 ==

עוד לא הבנתי מה ההבדל בין (sp(A+B לבין (B או sp(A ובין spA + spB לבין spA איחוד spB
מישהו יכול להסביר לי עם דוגמה??

תשובה:

<math>A \cup B</math> זאת קבוצה שמכילה את כל איברי <math>A</math> ו <math>B</math> (האיחוד שלהם).
<math>A+B</math> זאת קבוצה של כל האיברים שהם חיבור של משהו מ <math>A</math> ומשהו מ <math>B</math>.

דוגמא:

אם <math>A = \{(1,2), (3,4)\}</math> ו <math>B= \{(5,6)\}</math>

אז

<math>A \cup B = \{(1,2) , (3,4) , (5,6)\}</math>

אבל

<math>A+B = \{(6,8), (8,10)\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:35, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

רגע ומה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB??

לא הגדרנו את החיבור רק עבור מרחבים ווקטוריים? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 17:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להכליל את זה, כך ש-A+B היא קבוצה של איברים ששווים לסכום של איבר כלשהו מ-A עם איבר כלשהו מ-B. הגדרה זו תופסת גם עבור קבוצות כלשהן שאינן מרחבים וקטוריים, כל עוד מוגדרת פעולת חיבור מתאימה.

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף ב ==

האם SPAN של (1,0)איחוד (0,1) יוצר את המישור (Rבריבוע) או שווה לצירים בילבד

תשובה: <math> span(\{(1,0),(0,1)\})</math> יוצר את המישור.

כל וקטור במישור <math>(a,b)</math> הוא צירוף לינארי <math>(a,b) = a(1,0) + b(0,1)</math> ולכן

<math>(a,b) \in span(\{(1,0),(0,1)\})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתי לך!!!! אייי ! חח אל תשכח את הדוריטוס ;)

== שאלה ==

אם למטריצה יש שורת אפסים זה אומר שאין לה בסיס??

תשובה: אתה צריך להסביר את השאלה יותר טוב.

בסיס יש למרחב וקטורי (לכל מרחב וקטורי).

מטריצה (אחת) היא לא מרחב וקטורי (אלא אם כן היא מטריצת האפס).

מה המרחב הוקטורי שאתה מדבר עליו?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 7 ב למע' המשוואות מתקבלת שורת אפסים (אחרי שהפכתי אותה למטריצה) אז השאלה היא האם יש לה בסיס

תשובה: למרחב הפתרונות של כל מערכת משוואות הומוגנית יש בסיס. (כמו לכל מרחב וקטורי).

לכן, גם לפתרונות של המערכת בשאלה יש בסיס. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

האם בשביל להוכיח ששני תתי מרחבים הם שונים מספיק לתת דוגמה שהם שונים או שצריך להוכיח שלא משנה מה תציב הם יהיו שונים

תשובה:
הטיעון
<math>U \cap (V+W) = U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> יהיה שוויון.

הטיעון <math>U \cap (V+W) \neq U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> לא יהיה שוויון.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:43, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

זה עונה על השאלה תודה

== שאלה כללית ==

האם הספאן של (1,0) פלוס (של מ"ו) הספאן של (0,1) שווה לספאן של (1,0) (0,1)? האם זה אומר שחיבור הספאנים הנ"ל פורש את R^2?

הוא כבר ענה על זה, תראה 3 שאלות למעלה

== שאלה 1 ==

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:12, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אז מה הקטע של התרגיל? פשוט אומרים לפי הקריטריון המקוצר...?

תשובה: אולי אנחנו מדברים על דברים שונים.

כשאני אומר שאפשר להשתמש בקריטריון המקוצר אני מתכוון שאפשר להשתשמש במשפט שראיתם בהרצאה שאומר:

<math>W</math> תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים.

1) <math>W \neq \emptyset</math>.

2) <math>u,v \in W \Rightarrow u+v \in W</math>.

3)<math>u \in W, \quad \alpha \in \mathbb{F} \Rightarrow \alpha u \in W</math>.

בהינתן המשפט הזה, צריך לעשות עוד קצת עבודה כדי להוכיח את מה שכתוב בתרגיל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:36, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:בכיתה לימדת אותנו שבמקום 2 ו 3 צריך שיתקיים <math>u,v \in W \Rightarrow u+ \alpha v \in W</math>.

::זה שקול, פשוט בתנאי הנ"ל תקח פעם אחת alpha=0 ופעם אחרת u=0 ותקבל את הנדרש.

אז זה כל מה שצריך לרשום?

בגדול, כן. רק שימו לב שבפתרון שלכם (במיוחד בהוכחה שהנתונים בשאלה 1 <math>\Leftarrow</math> מרחב וקטורי) אתם משתמשים רק בנתונים שיש לכם. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:15, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 6 ==

אם אני רוצה להפריך טענות, אני צריך להביא בתור דוגמא U ו V מסויימים ו B1 ו B2 מסויימים ולהראות שזה לא מתקיים?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:13, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== חומר לבוחן ==

עד איפה החומר לבוחן ביום שלישי? עד איזה חומר ללמוד? ועד איזה שיעור זה ? תודה!

תשובה: עד החומר שלמדתם ביום חמישי 26/7 (כולל) שזה אומר:

שדות, מערכות משוואות לינאריות, מטריצות, כפל מטריצות והפיכות מטריצות.

מרחבים וקטוריים, כולל בסיס ומימד כולל משפט השלישי חינם (נדמה לי שלא כולל משפט המימדים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:40, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

אם לדוגמא אני במ"ו מעל שדה Z5 לדוגמא, אז האם גם המספרים בוקטורים הם מתוך השדה?
לדוגמא בשדה הנ״ל יכול להיות לי הוקטור (7,3,9)?

תשובה: אם אתה מסתכל על המרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> אז כן, המספרים בוקטורים הם מתוך השדה.

למשל: במרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^3</math>

מתקיים ש <math>(7,3,9) = (2,3,4)</math> כי הכל במודולו <math>5</math>.

אבל <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> הוא לא המרחב היחיד מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>, יש עוד ( נגיד מטריצות עם ערכים מ <math>\mathbb{Z}_5</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אני מתכוון לכך שיהיה V מ"ו מעל שדה Z5. אז זה אומר שגם המספרים בוקטורים חייבים להיות מעל Z5?
:ודאי. למשל אם (7,3,9) וקטור כנ"ל, אתה מתייחס ל-7,3,9 כאיברים של Z5.

מה זאת אומרת להתייחס לוקטור 7,3,9 כאיברים של Z5? ב Z5 אין 7 ו 9.

ב <math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים <math>7=2</math> ו <math>9=4</math> (כי את כל המספרים מחשבים במודולו <math>5</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

'''מה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB???'''
:בחיבור אתה מקבל קבוצה בה כל האיברים הם תוצאה של חיבור של איבר מהקבוצה הראשונה עם איבר מהקבוצה השנייה, בעוד שבאיחוד אתה תקבל קבוצה של איברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. זה לא אותו דבר, ולמעשה במקרה שלנו האיחוד שכתבת מוכל בתוך החיבור (וזאת משום שכל אחד מהנפרשים מכיל את ווקטור האפס, ובפרט וקטור האפס עם כל וקטור אחר יהיה שווה לאותו וקטור אחר). אם אתה רוצה לראות שלעתים הם גם שונים, תקח <math>A=(1,0); B=(0,1)</math> מעל הממשיים ותפתח

== תרגיל 3 ==

לאיתמר,
עכשיו גיליתי שהיום שכחתי להגיש את תרגיל 3. יש משהו שאפשר לעשות? יעזור אם אסרוק את כל הדפים ואשלח לך במייל?

בתודה מראש, אביחי מרמור: avichai@elmar.co.il. [[משתמש:Avichai|Avichai]] 23:16, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== בבוחן יהיו שאלות כמו שאלות 1,2 בתרגיל 4 ==

???

תשובה: הנושאים שמכוסים על ידי תרגילים 1,2 נמצאים בחומר לבוחן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 6 באוגוסט 2012 (IDT)

1. אבל למדנו את זה אחרי היום שבו אמרו שעד אז זה החומר למבחן..

2. יש עוד שאלות בתרגילים שזה לבוחן?

תשובה:

1) דברים יסודיים לגבי מרחבים וקטוריים (כולל בסיס ומימד) נמצאים בחומר לבוחן.

תרגילים 1-2 עוסקים בטכניקות עבודה עם מ"ו, בלי משפט המימדים, בלי מטריצות מעבר בין בסיסים,בלי דרגה של מטריצה, לכן זה בחומר.

2) לא (אני מצטער שהתשובה הזאת מגיעה אחרי שכבר עשיתם את הבוחן).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:38, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתירת מערכת משוואות מעל Zp ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
אם אני פותר מערכת מעל Zp.
האם אני יכול להמיר למטריצה ולדרג כאילו אני בR ורק בסוף לעשות modp על התוצאה?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:29, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 ==

אין שאלה 4 בתרגיל 4 - שכחתם להוסיף או שיש רק 8 תרגילים?

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

צריך להוכיח שקיים וקטור. האם אפשר להניח בשלילה שלכל וקטור הטענה לא נכונה, ואז לתת דוגמה נגדית ספציפית כדי לקבל סתירה או שצריך בכלליות? תודה מראש

תשובה: אפשר להניח בשלילה שהטענה לא נכונה, ואז לכל וקטור <math>v \in \mathbb{R}^n</math> מתקיים <math>A^{k-1}v = 0</math>.

אם כשאתה כותב "דוגמא נגדית ספציפית" אתה מתכוון, לבחור <math>A</math> ו <math>v</math> מסוימים, אז לא ייתן סתירה.

כי בשאלה ישנו כבר <math>A</math> נתון בשאלה (שאנחנו אמנם לא יודעים מהו) ודווקא בשבילו צריך להראות שלא ייתכן

<math>A^{k-1}v=0 \quad \forall v \in \mathbb{R}^n</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:15, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 - שאלה 6 לא מובנת ==

לא הבנתי בשאלה 6 למה הכוונה "קטן גדול או קטן מ...", תוכלו להסביר מה צריך למצוא?

תשובה: אתה צודק, צריך להיות כתוב: קטן, גדול, או שווה ל...

כלומר צריך למצוא איזה מהבאים מתקיים

* <math>dim(U_1 \cap U_2) = dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) < dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) > dim(U_1 \cap U_3)</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:18, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

האם בשאלה5 U וW תתי מרחב או שהם רק קבוצות המוכלות בV?

(תלמיד) - לדעתי ניתן להסיק שהם ת"מ כי בנתון יש dim U וגם dim W, לכן הם מ"ו ובפרט ת"מ של V --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:12, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: נכון. הם תתי מרחבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 1 סעיף ב' בלינארית ==

אני עשיתי מערכת עם שתי משוואות, ע"י הצבה של איקסים לפי הנתונים, והגעתי למשוואות של המקדמים לפי הבסיס.
דירגתי מצאתי פתרון כללי והוצאתי את הפרמטרים וקיבלתי בסיס למשהו, אין לי מושג למה ואיך אני מגיע ממנו לבסיס של W ?

למה דילגתם עליי? מה זה כי אני שחור?
סתם הצלחתי תודה בכל מקרה

תשובה: דילגתי כי לשאלה שלך היה קצת יותר קשה לכתוב תשובה.

בדיוק עמדתי להעלות את התשובה הזאת (בכל מקרה אני שמח שהצלחת):

* הגעת למערכת משוואות על מקדמי הפולינומים - כל פולינום שמקדמיו פותרים את המשוואה נמצא ב <math>W</math>.

* דירגת ומצאת פתרון כללי - כל פולינום שמקדמיו הם מהפתרון הכללי נמצא ב <math>W</math>.

* הוצאת את הפרמטרים וקיבלת בסיס - קיבלת בסיס עבור וקטור המקדמים של פולינומים שנמצאים ב <math>W</math>.

מכאן אני מקווה שברור מה הבסיס של <math>W</math> צריך להיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:41, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה :)

== שאלה 2 ==

מערכת משוואות ליניאריות זה שיש מיקדמי אלפה אחד אלפה שתיים אלפה שלוש או שצריך לצמצם אותם ולהגיע למשוואה שיש בה רק X,Y,Z,W?

תשובה: צריך להגיע לתשובה שיש בה רק <math>x,y,z,w</math>.

כלומר התשובה לסעיפים א' ו ג' צריכה להיות מערכת משוואות ב <math>x,y,z,w</math> בלבד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:25, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

האם ה dim של 0 (שהוא תת מרחב) שווה ל 1 או 0?

תשובה: <math>dim\{0\}=0</math> כי הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> ויש בו 0 איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:27, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

למה ה dim של 0 זה אפס? הרי בבסיס של 0 יש איבר, והוא אפס (הוא פורש אותו)?

תשובה: <math> \{0\}</math> הוא לא בסיס כי הוא תלוי לינארית.

הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> (קבוצה ריקה) ובה יש <math>0</math> איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:16, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 7 תרגיל 4 ==

נתון ש A^k-1 שונה מאפס.. נכפיל ב A משני הצדדים נקבל A^k שונה מאפס.. בסתירה לנתון שהוא שווה לאפס.

אם A שווה לאפס, אז זה סתירה לנתון ש A^k-1 שונה מאפס (כי 0 בחזקת הכל זה אפס)

???

תשובה: <math>A^{k-1}\neq 0</math> לא גורר ש <math>A^k \neq 0</math>.

באופן כללי <math>B \neq C</math> לא גורר ש <math>AB \neq AC</math>.

וזה מפני ש <math>AB = AC</math> לא גורר ש <math>B=C</math>. (הייתה כזאת שאלה בתרגיל 2)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 ==

בשאלה זו, מספיק לתת דוגמה של תתי מרחבים שעונים על כל הדרישות בשאלה ואז ע"פ הנתונים שנתתי, אפשר למצוא האם (dim(u1 ^ u2 גדול, קטן או שווה ל - (dim(u1^u3 ? כי הרי התשובה הנכונה נכונה לכל דוגמה שאתן אז אפשר לתת דוגמה אחת כדי לראות מה נכון? זה פתרון אפשרי לשאלה?

תשובה: צריך להוכיח שאחד המקרים מתקיים ואי אפשר להסתפק בדוגמא.

זה נכון שהתשובה הנכונה נכונה לכל דוגמא, אבל אתה לא יכול להניח את זה כשאתה פותר (זה כמו להתבסס בדרך על מה שרוצים להוכיח).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 4 ;) ==

לא הצלחתי את תרגיל 4 שאלה 4.. אפשר רמז לפיתרון?! ;)
S.D

תשובה: נניח ש <math>V</math> ממימד גדול מ <math>5</math> אז ברור ש <math>[I]_C^B \in \mathbb{F}^{k\times k}</math> כש <math>k \geq5</math>.

עכשיו תנסה להציב <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_7</math> ו <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_5</math> ותראה מה קורה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 00:21, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל רגע אין שאלה 4 בתרגיל 4.

זה שאין שאלה לא אומר שאין רמזים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== חיתוך מרחבים ==

על מנת למצוא בסיס של חיתוך מרחבים אני שם את הבסיסים של שניהם במטריצה אחת ומדרג עד לקבלת בתל ?
כי כשאני עושה ככה אני מקבל מימד יותר גדול מהמרחבים המקורים והחיץתוך אמור להיות מוכל בהם..

תשובה: זאת לא השיטה. ככה מוצאים בסיס של סכום.

כדי למצוא בסיס של חיתוך שני מרחבים, אם המרחבים נתונים ע"י וקטורים פורשים אתה צריך להשוות את ה span שלהם ולפתור את המשוואה שנוצרת.

עשו כזאת דוגמא בתרגול.

כלומר, כותבים צירוף לינארי כללי של מרחב אחד, משווים אותו לצירוף לינארי כללי של מרחב שני ופותרים את מקדמי הצירוף.

אני מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:32, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ז"א שאם הבסיס שלי הוא x,y ו הבסיס השני הוא w,t
אז אני צריך לעשות ax+by=dw+et
אבל את מי אני צריך לבודד ואת מי למצוא בעזרת מי?

תשובה: לפי הסימונים שלך אתה מקבל מערכת משוואות (הומוגנית) עם נעלמים a,b,d,e.
אתה צריך לפתור את המערכת הזאת (למעשה מספיק למצוא רק למה שווים a,b או d,e).

ואז להציב את התשובה (הפתרון הכללי) בתוך הצירוף הלינארי - ואז תקבל את האיבר הכללי של החיתוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 2 סעיף ב ==

אני מקבל רק משוואה 1 שהיא רק עם X,Y,Z,W אז אני צריך בסעיף ב לישתמש רק בה? או שבסעיף ב להישתמש גם במשוואות שיש בהם את הסקלרים?

תשובה: המרחב הוא בדיוק אותם <math>(x,y,z,w)</math> שפותרים את המשוואה שמצאת בסיף א'. אז אתה משתמש בתוצאה של סעיף א'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:41, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

נניח u,w מוכלים ב v אז סכום ישר שלהם הוא בהכרח תת מרחב ?

*(לא מתרגל/מרצה) הוכחנו בהרצאה כי סכום של תתי מרחבים (באופן כללי) הוא ת"מ. אם הסכום הישר מוגדר (כלומר החיתוך הוא וקטור האפס) אז הוא גם כן תת מרחב (מדובר במקרה פרטי).

תשובה: נכון, סכום ישר הוא תמיד תת מרחב והוא שווה לסכום הרגיל. (רק שלא כל סכום רגיל הוא גם סכום ישר).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:43, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית לגבי שוויון תתי מרחבים ==

אם שני תתי מרחבים שווים, מה זה אומר על המימדים שלהם ועל הבסיסים שלהם?
ז״א אם U=W (תתי מרחבים) האם זה גורר בהכרח dimU=dimW ושהבסיסים שווים?

תשובה: שוויון של תתי מרחבים הוא שוויון קבוצות.

זאת אותה קבוצה אז בוודאי שיש להם אותו מימד. וכל בסיס של <math>U</math> הוא גם בסיס של <math>W</math> ולהפך.

(שים לב שיש יותר מבסיס אחד לכל מרחב,לכן אם <math>B</math> בסיס של <math>U</math> ו <math>C</math> בסיס של <math>W</math>, אז
<math>U=W</math> לא אומר ש <math>B=C</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף ב' ==

האם אני יכול להכפיל צירוף לינארי בסעיף ב' בA בחזקת K-1 (שהרי לא שווה ל0) ואז בצורה כזאת להראות שזה לא יכול להתקיים שהאיברים תלויים
לינארית (הנחתי בשלילה שהם ת"ל ובצורה כזאת אני רוצה להגיע לסתירה) אני יכול לעשות פעולה כזאת?

תשובה: האיברים <math>\{v,Av,\ldots,A^{k-1}v\}</math> הם וקטורים בגודל <math>n \times 1</math>.

צירוף לינארי שלהם הוא וקטור בגודל <math>n \times 1</math>.

לכן מותר להכפיל אותו משמאל במטריצה שיש לה <math>n</math> עמודות

או מימין במטריצה שיש לה שורה אחת.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:35, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== ליניארית, תרגיל 4 שאלה מס' 2 ==

לא ממש הבנתי איזה צורת תשובה אני אמור לכתוב בסעיפים א'-ג'..
איזו מערכת משוואת אני אמור למצוא? מהצורה: X שווה לביטוי עם אלפא 1 וכו', או אלפא 1 שווה לביטוי עם X, Y...?
ובסעיף ב', איזה מערכת משוואת לפתור אם התנאי שיצא לי בא' הוא משוואה אחת?

תשובה: בסעיפים א' ,ג' אתה אמור לקבל כתשובה מערכת משוואות עם נעלמים <math>x,y,z,w</math>

נגיד משהו מהצורה

<math>x+y+z+w=0</math>

<math>x+2y+3z+4w=0</math>.

לגבי סעיף ב', מערכת משוואות עם משוואה אחת אי אפשר לפתור?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:52, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתיי לך !

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

בשאלה 7 k חייב להיות קטן או שווה ל-n?

תשובה: אם השאלה היא האם אפשר להניח ש <math>k \leq n</math>, אז התשובה היא לא. זה לא נתון בשאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ==

1. מה הכוונה "מטריצה סטנדרטית של T"? האם הכוונה למטריצה המייצגת של T לפי הבסיס הסטנדרטי?

2. בשאלה 3, A היא מטריצה מייצגת של T?

תשובה: 1) כן.

2) כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:46, 14 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה המטריצה המייצגת של T בבסיס הסטנדרטי??

תשובה: הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math> הוא <math>S=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>.

המטריצה המייצגת של <math>T</math> בבסיס הסטנדרטי היא <math>[T]^S_S</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:55, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 11ג ==

אני חושב שיש טעות בשאלה כי אם V=R^2 ו- (y,x)=T(x,y
אז T^2 עדיין שווה ל-I אבל וקטורים כמו (1,2) לא שייכים ל-U+W
ולכן הטענה לא נכונה
: <math>(1,2)=(3/2,3/2)+(-1/2,1/2)</math> ולכן הוא שייך לסכום תתי המרחבים --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 00:08, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 3 ==

בשאלה 3 בהתחלה הוקטורים ש-T עובדת עליהם הם וקטורי שורה, ובסעיף ב היא עובדת גם על וקטורי עמודה. האם זה משנה? כלומר, העתקה לינארית הפועלת על וקטורי שורה תפעל גם על וקטורי עמודה באותה צורה?

תשובה: בדר"כ לא טורחים להבדיל בין וקטורי שורה לעמודה, מדובר באיברים של <math>\mathbb{F}^n</math>. ואפשר להתייחס אליהם בתור וקטורי שורה או וקטורי עמודה.

גם במקרה שלנו אפשר לחשוב על <math>T</math> כאילו היא עובדת על וקטורי שורה או עמודה, זה לא באמת משנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:21, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 5 ==

האם מה שצריך למצוא בעצם זה את <math>[T]^B_C</math> ?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5- שאלה 6- סעיף א' ==

מה הכוונה ביחס לבסיסים שונים?
האם הכונה היא מכל בסיס של v לכל בסיס של w או מבסיס ספציפי של v לבסיס כלשהו של w ?

תשובה: מכל בסיס של <math>V</math> לכל בסיס של <math>W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ב׳ ==

אם הוכחתי ש T היא חחע, ניתן להשתמש במשפט
Dim(r3)=dim(r3) אז T חחע <=> T על
כדי להוכיח שT היא על?
:כן.--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

צריך להוכיח בעצם שלכל בסיס E ל V ולכל בסיס S ל W מתקיים <math>RANK[T]^E_E = RANK[T]^S_S</math> ?
:לא בדיוק. צריך להוכיח שלכל בסיסים A B של V ו C D של W מתקיים <math>RANK[T]^B_D = RANK[T]^A_C</math> --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

בנתונים נתון ש-S הע"ל, אך בסעיף א' יש להוכיח זאת. האם זה לא אמור להיות בנתונים?

תשובה: נניח שזה לא נתון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

חחחחחחחח

== ציוני בוחן בלינארית ==

הקישור לציונים לא עובד. ניתן לתקן את הבעיה?

תוקן.

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

האם <math>M_2(\mathbb R)</math> הוא מרחב הוקטורים מגודל 2x1 או המטריצות מגודל 2x2? בשאלה 8 אלו מטריצות, ובשאלה 6 <math>M_{2x2}(\mathbb R)</math> הם המטריצות...
:{{לא מתרגל}} מדובר על מטריצות.

תשובה: נכון. שני הסימונים מייצגים מטריצות <math>2\times 2</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:42, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 7 ==

האם צריך להוכיח כי T הע"ל?

תשובה: לא צריך להוכיח. כפל במטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:43, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

כן אבל אם לדוגמא ייתנו שאלה על "אולי הע"ל" במבחן שמכפילה וקטור במטריצה, נצטרך להוכיח שזה אכן הע"ל או פשוט לרשום שכפל מטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית?

תשובה: אפשר פשוט לכתוב שכפל במטריצה הוא תמיד העתקה לינארית.

(למרות שלהוכיח את זה לוקח שתי שורות)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:10, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

לעצלנים שבינינו זה יעזור ;)

== שאלה ==

ממש לא הבנתי מה זה ker ו im של T כמו למשל ששואלים בשאלה 4 ,אני הבנתי את ההגדרות אבל לא הבנתי בתכלס איך פותרים
,אפשר דוגמה טובה שתוכל להסביר לי??

-> תקח העתקה לינארית ותמצא לה גרעין ותמונה. הגרעין זה ker והתמונה זה Im

== שאלה כללית ==

איך מכפילים מטריצה מגודל 2X2 במטריצה מגודל 3X3?? אפשר דוגמא???

לא מכפילים

סבבה תודה

== תרגיל 5 שאלה 8 ==

לאילו בסיסים סטנדרטיים בדיוק הכוונה בשאלה 8?(מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים?)

1,x,x^2

או שאפשר להעביר את הפולינומים למקדמים שלהם (אחרי שמציבים 0 ו 1) ואז אפשר להשתמש בבסיס הסטנדטי הרגיל של R3..

== תרגיל 5 שאלה 6 א' ==

האם ניתן להשתמש במשפט שהוכחנו בהרצאה שדרגת המטריצה המייצגת שווה למימד מרחב התמונות של ההעתקה הלינארית?

תשובה: כן. אפשר להשתמש בכל משפט שראיתם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:59, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

== ציונים בלינארית ==

איפה יש ציונים???

-> היו ציונים... אבל בגלל שהם לא היו שלכם הייתם קטנוניים והתלוננתם עליהם.. אז חסמו אותי.. ועכשיו אין ציונים! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ,11 ==

1.מה זה חזקת העתקות לינאריות?
2.מה מסמן הI בשאלה 11?

1. הרכבה של הע"ל, במקום לרשום ToToToT(הרכבה) רושמים פשוט T^4
2.העתקת היחידה. I(x,y,z) = (x,y,z.

-> מה טוטוטו ?! מה אתה רכבת?! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ==

אפשר כיוון לפתרון של א'?

תשובה: שים לב שאם <math>v \in V</math> אז <math>T(v)=T^4(v)=T(T^3(v))</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:57, 18 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחנים משנים עברו ==

שימו לב ש
[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|כאן]]
יש מבחנים משנים עברו, כמו גם קישורים לאתרים של פרופ' רזניקוב וצבאן ששם יש עוד הרבה מבחנים, לחלקם יש גם פתרונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:11, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

בנוסף,
[http://www.bis.org.il/search_res_bank.asp באתר של אגודת הסטודנטים]
אפשר למצוא עוד כמה מבחנים.

שימו לב שיש מבחנים באלגברה לינארית 1 שמספר הקורס שלהם לא מתחיל ב 88 וזה אומר שהם לא של המחלקה למתמטיקה.

אפשר לעשות אותם בתור תרגול אבל

1) הם ממש קלים.

2) לפעמים יש שם חומר שלא למדנו, אז להתעלם מדברים כמו לכסינות, ערכים עצמיים, פולינום אופייני וכו' (שאלה מושגים שתלמדו עליהם בלינארית 2) .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:17, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

:גם מכפלה פנימית לא למדנו נכון?

תשובה: נכון. לא למדנו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

== רשימת משפטים ==

נשאר שבוע עד למבחן ועדיין לא פורסמה רשימת המשפטים. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 08:39, 22 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלתי את מיטל, רשימה תפורסם לכל המאוחר ביום ראשון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:34, 23 באוגוסט 2012 (IDT)

== קישור ==

תוסיפו את הקישור [הזה][http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html] בדף --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 09:33, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מתי המבחן? ==

?
יום חמישי ב16:00 --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:28, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

אני חושב שכן(ב30/08/2012) --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:58, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מחשבון ועוד משהו ==

1) יהיה אפשר להשתמש במחשבון במבחן בליניארית(בבקשה רק תשובה ממישהו שבטוח 100%)? 
2) רמת הקושי של המבחן קלה/קשה/שווה לרמת הקושי של המבחן הזה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf ? --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:06, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מצטרף לשאלות [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:22, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

יש פתרון למבחן בשאלה 2?

בשאלה 1 סעיף ב במבחן זה מבקשים לחשב מטריצות מייצגות של טי, טי בריבוע, טי בשלישית, טי ברביעית וכולי..
מה הכוונה וכולי ? כמה עוד מטריצות מייצגות של הע"ל צריך לחשב ?

(לא מרצה / מתרגל): בשאלה 1 תחשב את המטריצות המייצגות, תגיע אחרי כמה כאלו למטריצה שממנה כבר לא יהיה מה לחשב.
לגבי שאלה 2, אני אנסה להעלות לפה פתרון בקרוב --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:10, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

פתרון שאלה 2
[[מדיה:001.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:31, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

התשובה לשאלה 1 ב' צריכה להיות מטריצות מהצורה 4X4 (זה כולל שורות אפסים) ? כי כל פעם הראו לנו משהו אחר כך שאני לא בטוח איך התשובה אמורה להראות בסוף

ואם כן האם צריך להשאיר את המטריצה כמו שהיא או להוריד את שורות האפסים? -(אני זוכר שלא משנים/מורידים אותה אבל אני לא בטוח)

(לא מרצה / מתרגל) מה זאת אומרת למחוק שורות? כל שורה במטריצה חשובה! אין למחוק שורה מן המטריצה, אחרת היא משתנה. וכן, זה כולל שורות אפסים --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:51, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובות: מה שגיא אמר נכון. התשובות ל 1ב צריכות להיות מטריצות <math>4\times4</math>. לא מוחקים שורות אפסים.

הפתרון שגיא העלה לשאלה 2 נכון. שימו לב שזה בדיוק המצב שיש סכום ישר <math>V\oplus W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה לגבי שאלה 6 מבחן תשע"ב ד"ר בועז צבאן ==

במבחן של ד"ר בועז צבאן [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf הנ"ל], בשאלה 6, מה הכוונה ב<math>\bar{1}
</math> ? המספר שחיבורו ל1 נותן 0 בשדה ?
:למיטב הבנתי מדובר פשוט על 1. הסימון 1 עם קו מעליו, בא להציג את מחלקת השקילות של 1 באשר לשארית חלוקה בשלוש (כלומר במקום ה-1 הזה יכול לבוא 4, או 7, וכו, ולך זה לא ישנה כי כולם אותו דבר בשדה הנתון).

תשובה: זה פשוט <math>1</math> . יש כאלה שכותבים את האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> עם קו מעליהם כדי להדגיש שזה לא מספר רגיל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשאלה 8 ==

למה צריך להסתבך באינדוקציה? אי אפשר לעשות פשוט n-1 פעולות עמודה (החלפת עמודות) ואז מקבלים את מטריצת היחידה?

תשובה: אתה מדבר על תרגיל 5 שאלה 8? אתה צודק. לא חייבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:46, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== זמני תרגול+הרצאה יום ראשון -26.7 ==

לא הבנתי את הזמנים שמלי שלחה ושינתה

מה שהבנתי זה:

לשתי הקבוצות יש הרצאה- ב- 10:00-12:00 בבוקר

ואז לקבוצה של איתמר יש תרגול ב - 12:00-14:00

האם זה הזמנים הנכונים??

== משפט 17 ו-2 ==

לא הבנתי מה המשפט אומר , מה זה (r(T ?

ובמשפט 2 ככה הגדרנו סכום ישר האם הכוונה פה שההגדרה של סכום ישר הוא שהחיתוך הוא אפס ואז להראות שזה או"א לכל וקטור יש הצגה יחידה

תשובה: לגבי משפט 17: <math>r(T)=rank(T)</math> ו <math>r([T]^E_F)=rank([T]^E_F)</math>.

לגבי משפט 2: כן, אם מגדירים סכום ישר לפי זה שחיתוך המרחבים הוא <math>\{0\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:08, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

למי שביקש ממני היום הוכחה

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.

כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.

יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.

נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.

כלומר

<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>

נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.

כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.

נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>

כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>

כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.

נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.

נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>

כלומר <math>DR=A</math>.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>

כלומר

<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>

לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>

ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>

(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>

בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן

<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:39, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== שלישי חינם ==

אם יבקשו במבחן להוכיח את שלישי חינם אני יצטרך להוכיח שמספר האיברים בקבוצה פורשת >= מספר האיברים בקבוצה בת"ל ?

תשובה: אני מתאר לעצמי שלא. אבל שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:46, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: הוכחנו בכיתה משפטים על פורשת מינימלית ובת"ל מקסימלית, והם בהחלט יכולים להסתמך על כך. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה שלישי חינם? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 19:31, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשביל להוכיח את משפט הדרגה של הע"ל ==

האם אפשר להוכיח את זה כך:

תהיה A מטריצה מעל F mxn.
נבנה הע"ל מ Fn ל F m ע"י:
T(V) = AV.

וברור כי:
rank(A) = C(A) = Im(T).
ker(T) = N(A).

ואז להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות ולקבל את הדרוש?

תשובה: ההוכחה הזאת נכונה מתמטית. אבל מה שאתה עושה פה זה להוכיח את משפט הדרגה של ההעתקות בעזרת משפט ההעתקה של מטריצות (שזה כמעט אותו משפט).

לכן לא נראה לי שזה טוב. אם אתם מתבקשים להוכיח את משפט הדרגה תשתמשו בהוכחה הסטנדרטית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:12, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל אמרתם שמותר להשתמש בכל המשפטים, אלא אם כן דרשו להוכיח אותם. אז למה אי אפשר להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות?

תשובה: כי לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של העתקות זה כמו לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של מטריצות. ע"י ייצוג לפי בסיסים זה הופך לאותו משפט.

דרך אגב, אני מודע לכך ששאלות הוכחה במבחן הן תמיד השאלות שלא ברור לגביהן במה מותר להשתמש ובמה לא. לכן אני מבין את השאלות שאנשים שואלים כאן.
הדרך הכי בטוחה להתרחק מצרות היא לדבוק בהוכחות שראיתם בהרצאות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים ==

במשפט 16, אני דיי בטוח שזה צריך להיות איזומורפי ל F^dimWxdimV ולא ל F^dimVxdimW
 
זה כמובן לא משנה כי
<math>
\mathbb{F}^{dimV \times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW \times dimV}
</math>
ע"י השיחלוף שהוא איזו'. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:03, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל האם אפשר ישירות להוכיח זאת? זאת אומרת בלי לעשות אחר כך עוד הע"ל?

תשובה: אתה צודק שהטענה ה"טבעית" יותר היא <math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>. אבל אם אם יבקשו במבחן להוכיח ש
<math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimV\times dimW}</math> אז תוכיח את הטענה הקודמת ותשתמש ב traspose בשביל להוכיח ש

<math>\mathbb{F}^{dimV\times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>.

אני חושב שזאת הדרך הכי פשוטה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:50, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה של למת ההחלפה של שטייניץ ==

למי ששאל אותי היום על הוכחה של למת ההחלפה

יש כאן קישור [[מדיה:שטייניץ.pdf|הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ]] (זה נמצא גם בעמוד הראשי של אלגברה לינארית 1).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== A הפיכה משמאל => A הפיכה ==

אפשר להוכיח במבחן באמצעות הע"ל? כלומר:
 
<math>
T(X)=A\cdot X
</math> איזו' ולכן קיים <math>B</math> כך ש:
<math>
A\cdot B=I
</math> ??
 תודה [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:27, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני לא רואה סיבה שלא, אבל ליתר בטחון שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:51, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר ורצוי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט מספר 8 ==

כשרשמו לנו אותו לא נמצאת ההוכחה,
וניתן רק להוכיח אותו בעזרת איזומופריזם בהמשך, אני אשמח אם תסביר בקצרה אתה ההוכחה הזאת ( לא משנה לי אם בעזרת מטריצות מעבר או איזומורפיזם)

תשובה: נניח ש <math>A\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> הפיכה משמאל, כלומר קיימת <math>B\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>BA=I</math> (מי שרגיל שזאת ההגדרה של הפיכות מימין אז שיניח ש <math>A</math> הפיכה מימין).

נגדיר העתקה לינארית <math>T:\mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times n}</math> על ידי

<math>T(X)=AX</math>.

נשים לב ש <math>T</math> חח"ע כי אם <math>T(D_1)=T(D_2)</math> אז <math>AD_1=AD_2</math> אם נכפול משמאל ב <math>B</math> נקבל ש <math>D_1=D_2</math>.

היות ו <math>T</math> העתקה לינארית. העובדה ש <math>T</math> חח"ע גוררת שהיא גם על.

בפרט <math>I \in Im(T)</math> כלומר קיימת מטריצה <math>C \in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>T(C)=I</math> כלומר <math>AC=I</math>.

נשאר רק להראות ש <math>B=C</math> וזה קל היות ו <math>B= BI= B(AC)=(BA)C=IC=C</math>. מש"ל--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:59, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:למה העובדה ש T חח"ע גורר שהיא על?

תשובה: טענה: אם <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית כך ש <math>dimV=dimW=n</math> אז <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על.

הוכחה: לפי משפט הדרגה <math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n</math>

עכשיו

<math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>Ker(T)=\{0\}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimKer(T)=0</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimIm(T)=n</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>Im(T)=W</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 16 ==

אני לא מוצאת הוכחה לזה בסיכומי ההרצאות שלי... מישהו יכול להפנות אותי להוכחה או להגיד לי איפה זה בערך נמצא בסיכומים? תודה!--[[משתמש:Inbarsavoray|Inbarsavoray]] 13:52, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: תחפשי הוכחה לזה שבהינתן בסיסים <math>B,C</math>, פונקציית ייצוג לפי בסיסים היא איזומורפיזם

<math>[\quad]^B_C:Hom(V,W)\rightarrow \mathbb{F}^{dimW \times dim V}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:02, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתרון תרגיל 4 ==

אפשר בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? עוד לא העלו פיתרון.. תודה!

== ה"ל מעל Zp ==

מה זה אומרת ה"ל מעל Zp?

העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> הם מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מטריצות בסיסיות ==

אנחנו צריכים לדעת לפתור שאלות כמו שאלה 12 פה:
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:08, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה מטריצה בסיסית?

(לא מרצה/מתרגל) מטריצה Eij היא מטריצה עם 1 במקום הij ו0 בשאר המקומות, נקראת בסיסית.

תשובה: התשובה שמעלי נכונה. <math>E_{i,j}</math> זה סימון סטנדרטי. כדאי לדעת גם ש הקבוצה <math>\{E_{i,j}\}</math> של כל המטריצות האלה מהווה בסיס למרחב המטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:14, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחן 2005 מועד ב' שאלה 5' ==

בשאלה 5 פה:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1b65.pdf
השאלה היא כמה פתרונות שלמים יש למערכת מעל R בין 0ל6
או כמה פתרונות יש למערכת מעל Z7?

(לא מרצה / מתרגל) פתרונות המשוואה מעל <math>\mathbb{Z}_7</math>--[[משתמש:גיא|גיא]] 19:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:15, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הפיכות מטריצה ==

אם אומרים ש A הפיכה משמאל, זה אומר שקיימת B כך ש AB=I או ש BA=I?

(לא מרצה / מתרגל) קיימת B כך ש-BA=I. אם אומרים שהיא הופכית משמאל אז למעשה אומרים שיש לה מטריצה הופכית מצד שמאל --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) בדיוק הפוך..

(לא מרצה / מתרגל) אני די בטוח שמה שאמרתי נכון, נחכה שאחד המתרגלים / מרצים יענה --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: יש כאלה שמגדירים ככה ויש כאלה שמגדירים הפוך. אין בזה מוסכמה גורפת. אני רגיל כמו שגיא הגדיר, אבל הבנתי שלפחות בהרצאה של מיטל הגדירו הפוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה / מתרגל) - אני אצל מיטל וככה היא לימדה אותנו גם --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) אני אצל מיטל והיא למדה אותנו כמו שאני אמרתי...

== משפט 1 ==

מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?

תשובה:

הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>

<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>

<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>

שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.

אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.

שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.

אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.

קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.

<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.

לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.

ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.

ולקבל

<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הע"ל מעל שדה ==

מה זה אומר הע"ל מעל שדה מסויים?

תשובה: אומרים ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> אם היא העתקה לינארית

<math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>.

(שימו לב ש <math>V,W</math> חייבים להיות מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math> אחרת ההגדרה של העתקה לינארית היא חסרת משמעות,
כלומר אין פשר לדרישה <math>T(\alpha v) = \alpha T(v) </math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:19, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מרחב הפולינומים.. ==

יש לי כמה שאלות:

1. מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2?

2. איך לדוגמא מייצגים את 1+X^2 בתור כפל של סקלרים בבסיס הסטנדרטי?

תשובה:
1. <math>\left \{ 1,X,X^2 \right \}</math>

2. (1,0,2)

== שאלה 11 ב2005 מועד א' ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf
איך עושים את 11?

תשובה: תפתור בספר של צבאן את שאלה 4.6 (סעיפים א' ב') בפרק א ואז קל לפתור את שאלה 11.

אם אתה לא מצליח או שזה עדיין לא ברור אני אסביר יותר במפורט.

באמת אולי היינו צריכים להציג במפורש את משפט פרמה הקטן בקורס הזה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:38, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להסביר יותר במפורט?

תשובה: קודם אני אציג את הפתרון של תרגיל 4.6

סעיף א) בשדה ממאפיין <math>p</math> מתקיים <math>(a+b)^p=a^p+b^p</math>.

זה בגלל שלפי הבינום של ניוטון

<math>(a+b)^p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^kb^{p-k}</math> ו <math>p</math> מחלק את <math>\binom {p}{k}</math> כש <math>0<k<p/math>.

לכן כל מה שנשאר מהסכום אלה האיברים הראשון והאחרון <math>a^p+b^p</math>, כל השאר הם <math>0</math>. כי המאפיין הוא <math>p</math>.

סעיף ב) לכל <math>a \in \mathbb{Z}_p</math>, מתקיים ש <math>a^p=a</math>.

הוכחה: באינדוקציה על <math>a</math>. אם <math>a=0</math> הטענה נכונה בבירור.

נניח שהטענה נכונה עבור <math>a</math>, נוכיח אותה עבור <math>a+1</math>.
לפי סעיף א' <math>(a+1)^p=a^p+1^p=a^p+1</math>.

ולפי הנחת האינדוקציה <math>a^p+1=a+1</math>.

לכן בסך הכל <math>(a+1)^p=a+1</math>.

שזה מה שרצינו להוכיח.

עכשיו נעבור לשאלה במבחן.

אם <math>\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p</math>.

אז <math>T(a)=a^p=a</math>. שזו העתקת הזהות ולכן היא באמת העתקה לינארית.

שזה אומר שסעיף 4 נכון. אבל זה עדיין לא מסיים את העבודה כי יכול להיות שגם סעיף 3 נכון, והוא יותר חזק מסעיף 4.

נניח ש <math>char(\mathbb{F}=p</math> ונוכיח ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.

שלב ראשון :<math>T(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=T(a)+T(b)</math>.

שלב שני: <math>T(\alpha a)=(\alpha a)^p=(\alpha)^p a^p = \alpha a^p = \alpha T(a)</math>.
(שים לב ש <math>\alpha\in \mathbb{Z}_p</math>)

לסיכום, התשובה הנכונה היא 3.

ואיך היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה בלי המשפט?

תשובה: אני לא רואה דרך סבירה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

דרך אגב, למיטב ידיעתי (אבל אני לא מבטיח) אין במבחן שלכם תשובות "נכונות" ותשובות "יותר נכונות". כלומר אם שאלה כמו שאלה 11 הייתה מופיעה במבחן שלכם. לסעיף 4 היינו מוסיפים: "אבל יש שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהוא עם מאפיין <math>p</math> כך ש <math>T</math> אינה העתקה לינארית"
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== הבוחן שהיה ==

אתם יכולים להעלות פתרונות לבוחן אמצע..?

אני מקווה שאני אספיק--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

שמתי פתרון בדף הראשי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה!

== איך פותרים את תרגיל 4 ==

פה
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a64.pdf

?

שיטה א': תמצא דוגמאות ששוללות את כל האופציות הלא נכונות.

שיטה ב': היה לכם בשיעורי הבית (בתרגיל 4) שאלה שתעזור להבין מה הפתרון הנכון. (תזכרו שמטריצות והעתקות מתנהגים אותו דבר).

אם זה עדיין לא ברור אני אסביר יותר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:42, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אני לא מצליח..

שיטה א': נגדיר <math>T(x_1,x_2, \ldots ,x_{32})=(0,x_1,x_2, \ldots , x_{31})</math> (העתקת הזזה).

זאת דוגמא נגדית ל 2,3,4 . לכן 1 נכון.

שיטה ב': בתרגיל 4 שאלה 7 הוכחתם שבהכרח מתקיים ש <math>T^{32}=0</math>.

מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

כן ברור אבל איך אפשר להוכיח ש T^32 = 0?

תשובה: באותה טכניקה שהשתמשתם בתרגיל 4 שאלה 7.

הרי קיים <math>k</math> כך ש <math>T^k=0</math> אבל <math>T^{k-1}\neq 0</math>.

תוכיח שקיים <math>v</math> כך ש <math>v,T(v), \ldots ,T^{k-1}(v) </math> היא קבוצה בת"ל בגודל <math>k</math>.

לכן <math>k \leq n</math>. ולכן <math>T^n=T^{32}=0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

מי אמר אבל ש T לא שווה לאפס? ולכן <math>T^{k-1}\neq 0</math> לא נכון

תשובה: אז מה? אם <math>T=0</math> אז <math>k=1</math> ואז <math>T^{k-1}=T^{0}=I \neq 0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== בסיס ומימד של חיתוך ת"מ ==

התבקשתי להעלות דוגמאות:[[מדיה:sub_dimx2.pdf|דוגמאות]]
--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 22:34, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת ==

תהי
<math>
T:V\rightarrow W
</math>
הע"ל. כיצד מוכיחים כי
<math>
rank(T) = rank([T]_{C}^{B})
</math>
 
חיפשתי ולא מצאתי את ההוכחה.

תודה! [[משתמש:ABAB|ABAB]] 12:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני מתאר לעצמי שההוכחה שראיתם בכיתה היא משהו בסגנון הזה:
<math>rank([T]^B_C)= dim C([T]^B_C)= dim \{[T]^B_Cv \mid v \in \mathbb{F}^n\}=dim\{[T]^B_C[u]_B \mid u \in V \} = dim\{[T(u)]_C \mid u \in V\}

</math>

(בגלל ש <math>[\quad]_C</math> היא איזומורפיזם)

<math>=dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T)</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

*ההוכחה שראינו בהרצאה (של מיטל):

הניסוח: יהיו V,W מ"ו מעל שדה F.נגדיר E בסיס לV, וכן F בסיס לW, ותהי T מV לW הע"ל. אז מתקיים:<math>rank(T) = rank([T]_{F}^{E})</math>

הוכחה: נסמן {v1,...vk} בסיס עבור (ker(T, וכן {(T(u1),...T(ul}, בסיס עבור (im(T, ולכן המימד של התמונה הוא l. מתקיים: {,u1,...ul,v1,...,vk} בסיס עבור V, נסמנו B (הוכחנו זאת כאשר הוכחנו את משפט הדרגה).

אזי מתקיים:

<math>\left[ T \right] ^{ B }_{ F }\quad =\quad ([T(v_{ n })]_{ F }...[T(v_{ n })]_{ F }[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })\quad =\quad (0...0[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })</math>

(כאשר מדובר במטריצה שעמודותיה הן הוקטורים האלו, כשרשום אפס הכוונה לעמודת אפסים). אבל אמרנו כי {(T(u1),...T(ul} בסיס, וכן F בסיס ולכן l העמודות האחרונות הן בת"ל, ומתקיים <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=l</math> . נותר להוכיח כי <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=r(\left[ T \right] ^{ E }_{ F })</math>.

מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/e/e2/Gif.gif]
כאשר המעבר האחרון מתבצע בגלל המשפט שאומר: אם A הפיכה מתקיים (r(BA)=r(B, ובמקרה שלנו מטריצת המעבר היא הפיכה, ולכן הדרגות שוות.

ובסה"כ נקבל:[[http://www.math-wiki.com/images/9/9b/Gif_%281%29.gif]]

== משפט ההגדרה ==

מה הניסוח של משפט ההגדרה של ה"ל
ומה הניסוח של משפט הדרגה?

*משפט ההגדרה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, מתקיים dimv=n. אם ניקח {v1,...,vn} בסיס עבור V, וכן{w1,...,wn} '''קבוצה''' מוכלת בW, אזי קיימת T מV לW כך שהיא הע"ל, והיא יחידה, והיא מקיימת T(vi)=wi לכל i בין 1 ל-n.

משפט הדרגה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, ותהי T מV לW הע"ל. אזי מתקיים:
(dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v

ובמילים- מימד התמונה (דרגת ההעתקה) ועוד מימד הגרעין (האפסיות של T) שווה למימד של V.

== שאלה כללית ==

T : Z2[x] → Z2 מה מסמל הסוגרים המרובעים שמסביב לX?
:פולינומים מעל Z2 במשתנה x

== כפילות הדט ==

בשביל להוכיח את כפילות הדט צריך להסתמך על כך שפונקציה שמקבלת A ומחזירה את הדט של AB היא כמו דטרמיננטה וכן את המשפט שאומר שפונקציה כמו דטרמיננטה זה בעצם (f(I כפול הדט של A מה צריך להוכיח ועל מה אפשר להסתמך?

וגם במשפט לאפלס(פיתוח לפי שורה ) אפשר להסתמך על חישוב לפי מטריצת בלוקים?

תשובה: לגבי כפליות הדטרמיננטה.

אני מתאר לעצמי שאפשר להסתמך על כך שפונקציה "כמו דטרמיננטה" היא <math>f(I)|A|</math>.
אבל בטח שצריך להוכיח ש <math>f(B)=|AB|</math> (או להפך, אני לא זוכר כרגע), היא כמו דטרמיננטה. זאת כל ההוכחה.

כדי להיות בטוח אני אשלח למיטל מייל.

לגבי משפט לפלס. אתה יכול לפרט יותר את השאלה? באיזה הוכחה אתה רוצה להשתמש (יש כמה) ועל איזה משפט בדיוק אתה רוצה להסתמך בלי הוכחה?
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:37, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל ממבחן דמה ==

http://www.math-wiki.com/images/d/d5/11Linear1Dumbtest2.pdf

לא הצלחתי לפתור את תרגיל 6 ו-5 סעיף א, אשמח לעזרה!

תשובה:

לגבי 5 סעיף א'. אני חושב שהכוונה היא כזאת:

היות ולמערכת יש <math>2</math> פתרונות, היא חייבת להיות מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. ויש משתנה חופשי אחד, כלומר דרגת המטריצה היא 2.

יש 4 מקומות במטריצה שאנחנו לא יודעים (ובכל אחד מהם יכול להיות 0 או 1).

סה"כ יש 16 אפשרויות לבדוק. שזה מעצבן אבל סביר, צריך לעבור על האפשרויות אחת אחת ולבדוק באיזה מהן אחת השורות תלויה באחרות (ולכן דרגת המטריצה היא 2).

כרגע אני לא רואה דרך יותר טובה לפתור את זה. אם למישהו יש רעיון אחר שיכתוב.

לגבי שאלה 6:
אני מכיר דרך לפתור את זה, אני לא יודע אם זאת הדרך הכי טובה.

אפשר לקחת בסיס כלשהוא <math>B</math> ל <math>V</math> ולקבל ש
<math>[T]_B[S]_B=[S]_B[T]_B</math> כלומר המטריצה המייצגת של <math>T</math> מתחלפת עם כל מטריצה אחרת.

בפרט היא מתחלפת עם מטריצות בסיסיות <math>E_{i,j}</math>. אם עובדים עם זה קצת, אפשר להוכיח ש <math>A=[T]_B</math> אלכסונית.

הוכחה פחות או יותר: כי אם <math>j \neq k</math> אז <math>E_{i,j}AE_{k,l}=A_{j,k}E_{i,j}</math>
אבל בגלל החילוף <math>E_{i,j}AE_{k,l}=AE_{i,j}E_{k,l}=0</math>

(אפשר גם להוכיח ש <math>A</math> סקלרית אבל זה לא נדרש כאן)

ואז הבסיס <math>B</math> הוא קבוצת הוקטורים המבוקשת.

(לידע כללי: התנאי שיש בשאלה הזאת הוא חזק מאוד, וההעתקות היחידות שמקיימות אותו הן כאלה של כפל בקבוע <math>T(v)=\alpha v</math>.)

כמו קודם, אני לא בטוח שזאת הדרך הכי פשוטה, מוזמנים להעלות עוד רעיונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה רבה, עזרת לי מאוד.

== משפט כפליות הדט' ==

*האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'? בהרצאה לא הוכחנו את זה אלא ציינו.

*האם אפשר להוכיח ככה:

נראה כי |f(A)=|AB היא כמו דט' על ידי כך שנראה כי היא (1)מתאפסת כאשר יש שתי שורות זהות, וכן (2) מחליפה סימן עם החלפת שורות.

(1) אם בA יש שתי שורות זהות, נקבל כי A|=0|, ולכן A לא הפיכה, וגם AB לא הפיכה (אם נניח בשלילה כי AB הפיכה בפרט הפיכה משמאל, לכן קיימת C עבורה AB)C=I), ולפי אסוצ' נקבל A(BC)=I כלומר A הפיכה משמאל, לכן הפיכה בסתירה), ואם AB לא הפיכה 0=|AB|, כדרוש.

(2)אם נחליף שתי שורות i,j בA ונסמן את המטריצה החדשה 'A, נקבל כי |A'|= -|A|. אפשר לרשום A'=pA, כאשר p היא מטריצה אלמנטרית של החלפת השורות i,j. .לכן מתקיים:

|(f(A')=|A'B|=|(pA)B|=|p(AB
קיבלנו מטריצה שבה שינו את השורות הi,j ולכן הדט' שלה היא |AB|-, כלומר מתקיים (f(A')= -|AB|= -f(A ,כדרוש.

תזכורת כי צריך גם להראות ליניאריות בכל שורה.

*אמרנו בהרצאה כי מספיק להראות את שתי התכונות הנ"ל כדי להוכיח כי פונ' כלשהי היא כמו דט'.

:זה משפט ש (pA)B=p(AB) ?

*תשובה: מדובר בשלוש מטריצות p,B,A ועבורן מתקיימת אסוצ' הכפל, הוכחנו בהרצאה (אצל מיטל אבל אני גם בטוח שגם אצל אלי הוכיחו, זה בסיסי ממש).

נראה לי שיותר קל להראות את זה עם כפל שורה שורה ואז להשתמש בתכונות של הדטרמיננטה

תשובה: אני חושב שחלק מהדברים שנכתבו כאן למעלה לא נכונים.

יש שלוש תכונות (כמובן חוץ מהדרישה ש <math>f(I)=1</math> שלא דורשים בשביל "כמו דטרמיננטה").

1) מולטי לינאריות.

2) אם יש שתי שורות זהות הדטרמיננטה היא 0.

3) חילוף של שתי שורות משנה את הסימן של הדטרמיננטה.

למיטב ידיעתי.

1+2 גורר את 3.

1+3 גורר את 2 (אולי חוץ מאשר כשעובדים מעל שדות עם מאפיין 2).

2+3 לא גוררים את 1, אין לי דוגמא כרגע בשלוף אבל אני אהיה מאוד מופתע לגלות שזה נכון, אף פעם לא ראיתי כזה טיעון.

באמת, כדי להוכיח ש<math>f(A)=|AB|</math> מקיימת את 2 מוכיחים כמו שהראו פה למעלה.

ובנוסף צריך להוכיח שהיא מולטי לינארית (עושים את זה עם כפל שורה -שורה, זה לא כזה מסובך).

אחרי שמוכיחים את זה, זה נותן ש <math>f</math> היא "כמו דטרמיננטה".--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:23, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

*אתה יכול להראות איך עושים את זה?

ועלתה לי עוד שאלה בנושא הזה - מה בדיוק הרעיון של מולטי לינאריות? אני מוכיח כי מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/9/9e/Daum_equation_1346219922031.png]

אבל בעצם המטריצה השנייה באגף הימני היא מטריצה עם שתי שורות זהות (השורה הj חוזרת על עצמה פעמיים), והדט' שלה היא אפס, אז אי אפשר להשמיט את זה?

תשובה:

אם <math>A = \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i + \alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}
</math>

אז
<math>f(A)=|AB|=

| \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i +\alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}B|</math>

לפי כפל שורה שורה זה

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & (u_i +\alpha v)B & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

וזה כמובן שווה ל

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB +\alpha vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

לפי מולטי-לינאריות של דטרמיננטה

זה שווה ל

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|
+\alpha | \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

שזה שוב לפי כפל שורה שורה

<math>f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})+ \alpha f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})</math>

תשובה לשאלה השניה שלך:
מולטי לינאריות אומרת שאם שורות המטריצה הן <math>u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n</math>

אז <math>f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n)=f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i, u_{i+1} , \ldots , u_n)+\alpha f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, v, u_{i+1} , \ldots , u_n)</math>

איפה באיבר השני יש שורה שחוזרת על עצמה?

<math>v</math> לא חייב להיות קשור ל <math>u_j</math> כלשהוא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

*הבנתי, תודה רבה!

== איך פותרים את שאלה 4? ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a60.pdf
יש שיטה כלשהי חוץ מלהציב כל ערך אפשרי ולבדוק?

אפשר באמצעות חילוק פולינומים (x=-1 הוא פתרון).

כמו שרשמו מעלי זה נכון, אבל בתכלס הדרך הכי פשוטה פה זה פשוט להציב זה ממש פשוט שאלה מתנה, אם זה מZ של 7 נגיד 50 אתה פשוט עושה כמו שרשמו מעלי, מחשב את זה כמו משוואה רגילה ואז עושה את המודולו.

== מתי המבחן? ==

?

*יום חמישי (מחר) בשעה 16:00.

== הוכחה ל16 ==

אתה יכול להוכיח את משפט 16?
תשובה : קח תהנה http://www.siz.co.il/view/joftnmng1ixc.png.htm
אנשים תעזרו אחד לשני

בשביל להוכיח שההעתקה היא חח"ע אפשר לעשות את זה ככה?:
<math>[T1]^B_C = [T2]^B_C</math>

ולכן
<math>[T1-T2]^B_C = 0</math>

אבל רק
<math>[0]^B_C = 0</math>

ולכן
<math>T1-T2 = 0</math>

ואז
<math>T1 = T2</math>

???
לא יודע (אני לא מתרגל או מרצה) אבל ההוכחה היא כל כך פשוטה למה סתם להסתבך?

* הוכחה נוספת היא בעזרת חישוב הגרעין, והיא הכי פשוטה לדעתי. הגרעין יכול להכיל רק את העתקת האפס, אחרת יהיה איבר במטריצה המייצגת שאינו אפס, והיא תהיה שונה ממטריצת האפס בניגוד להגדרת הגרעין. לכן הגרעין הוא רק אפס (והכוונה כאן להעתקת האפס), כלומר ההעתקה היא חח"ע.

לא הבנתי למה צריך להוכיח שזו הע"ל, לא מספיק רק חח"ע ועל???

*לא להוכיח שזו הע"ל זה קצת בעיה, כי כל מה שהגדרנו עובד על הע"ל, ולא סתם על פונקציה. בכל מקרה פה ההוכחה היא שורה-שתיים, ככה שזו לא בעיה.

== כשאומרים יחידות הצגה (משפט 2) ==

זה אומר שאם:

<math>v_1 = u_1 + w_1</math>

וגם
<math>v_1 = u_2 + w_2</math>

אזי
<math>u_1 = u_2</math>
<math>w_1 = w_2</math>
זה לא מדויק זה קצת יותר מסובך, אתה צריך להראות שבגלל שהם זרים ( חיבור ישר) אז הדבר הזה מתקיים ולא לגמרי ככה.
בגלל שהם זרים אז u1 -u2שייך לחיתוך בניהם ובגלל שהחיתוך ריק אז הם שווים לוקטור האפס ולכן הם שווים .

אני לא מדבר על ההוכחה, אני שואל האם זו ההגדרה ליחידות הצגה?

*ההגדרה היא שיש דרך אחת בלבד "להרכיב" אותו בעזרת וקטור מU ווקטור מW. ההגדרה שהבאת נכונה.

== משפט 10 ==

אני לא מבקש את ההוכחה היא די פשוטה העניין הוא כזה, במבחן יכולים לבקש ממני לנסח את כולו או שייתנו לי אותו (כולל כל הסעיפים) ואז יבקשו רק שאני יוכיח מסעיף לסעיף?

תשובה: למרות שלא נראה לי סביר שיבקשו לנסח, יכולים לבקש.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 15 ==

המטריצה לא אמורה להיות ריבועית? (כתוב שהיא m על n)

*לא, היא יכולה להיות מגודל mXn גם אם m שונה מn.

לא בגלל שתחשוב על זה ככה אם דרגת המטריצה שווה לn אז גם דרגת העמודות, כלומר לא קיים אף עמודה שאין לה איבר חופשי, לכן יש N שורות לא ריקות במטריצה המדורגת, אבל אולי יש כמה ריקות, המשפט מנסה להראות שהוא נכון גם בעוד מצבים חוץ מאשר שהמטריצה ריבועית ובגלל זה רשמו n ו m.

צודק, חשבתי שהם רצו שנכפיל בהופכית..

== בשביל להוכיח את כפליות הדטרמיננטה ==

אפשר להסתמך על זה שב "כמו דטרמיננטה" |f(A) = f(I) * |A?

אני מתאר לעצמי שכן. שלחתי על זה מייל למיטל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר להסתמך ואין צורך להוכיח.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

מזל תודה :)

== שעה ==

באיזה שעה המבחן מחר? מצפה לתשובה עם הוכחה. :) [[משתמש:ABAB|ABAB]] 16:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

קל לראות שזה ב 16:00

תודה זה היה טריוויאלי [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:04, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ממבחן ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf

שאלה 3 סעיף ג', איך לפתור? יצא לי 2 אבל אני לא בטוח.
מה יצא לך בכל הסעיפים לפני זה?

== הופכיות מצד אחד ==

משפט 8, לא מצאתי את ההוכחה למשפט הזה, יש מצב להוכחה?
עוד שאלה- אם המטריצה לא ריבועית, אז יכול להיות שקיימת לה הופכית משמאל ושהיא לא הפיכה מימין(או להפך)?

תודה רבה!

אם מניחים ש A הפיכה מימין, אזי קיימת B כך ש BA = I.

ואז בונים העתקה T(X) = AX (כאשר X זו מטריצה).

מוכיחים שזאתי הע"ל וגם חח"ע, ולכן היא על.

ולכן בפרט יש מקור ל I, ולכן קיימת M כך ש AM = I.

ואז מה שנשאר להוכיח זה ש M = B וזהו.

:וכנ"ל אם היא הפיכה משמאל זה אותו רעיון רק שעכשיו ההעתקה תהיה XA ולא AX

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-29T13:15:35Z

ABAB: /* שעה */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תשובה במשוואה מרוכבת ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
האם פתרון של משוואה מרוכבת יכול לצאת עם שורש i ?

תשובה: הפתרון (או פתרונות) למשוואה מרוכבת צריך להיות מוצג בצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.

בלי שורש <math>i</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:02, 16 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 בתרגיל 1, טקסט לא מובן ==

האם הנקודה האחרונה היא (t,4)?
אם כן, האם צריך לבטא בעזרת הפרמטר t ?

תשובה: אכן, הנקודה האחרונה היא <math>(t,4)</math>.
יש לבטא את התשובה באמצעות <math>t</math> ולשים לב לאפשרויות השונות שיכולות להיות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 16 ביולי 2012 (IDT)

== מערכת משוואות ==

האם אני חייב לפתור את המערכת משוואות בעזרת מטריצה או שאני יכול לפתור אותן בדרך הישנה כמו שמלמדים בתיכון (בדרך של הצבה). (שאלות 7-9)

תשובה: המטרה היא לתרגל דירוג מטריצות, אז כן, צריך להשתמש במטריצות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:33, 17 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 1 שאלה 9 ==

אין שום הבדל בין שאלה 8 ל9 מבחינת דרך הפיתרון (רק השדה שונה) . צריך לפתור את שאלה 9 בדרך שונה משאלה 8? או לפתור אותה בדיוק כמו שאלה 8?

תשובה:
אני לא יכול להגיד באיזה דרך צריך לפתור.

צריך לפתור את שאלה 9 ולהגיע לתשובה נכונה.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 עובדת בשאלה 9, אז תשתמש באותה דרך.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 לא עובדת, אז תשתמש בדרך אחרת.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:31, 19 ביולי 2012 (IDT)

== כמה שאלות לגבי התרגילים ==

1. האם אני צריך להראות את צורת הפתרון הסופי כאשר יש אינסוף פתרונות?
2. האם אני יכול להניח ב8 ש <math>b</math> שונה מאפס?
3. איך אני אמור לפתור את 9 אם אני לא יודע אם a גדול או קטן מ7 (מבחינת מודול)

כמה תשובות:

1) כן.

2) לא. אבל אתה יכול להפריד למקרים.

3) זה לא ממש אמור לשנות לך. <math>a</math> הוא איבר של <math>\mathbb{Z}_7</math>. בכל מקרה במודולו <math>7</math> הוא שווה לאחד מ
<math>\{0,1,\ldots,6\}</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:25, 19 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל בית 1 - שאלה 9 ==

האם אפשר להבין מכך שהמשתנים נמצאים במשוואות הנתונות שהם בין 0 ל-6 (כלומר a, a+3, a^2, b נמצאים בתחום הזה)?

תשובה: כל מספר שלם (כולל <math>a^2,a+3 </math> וכו') שווה במודולו 7 למספר בין 0 ל 6.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:27, 19 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

רק לוודאות: כשכתוב לפתור את מערכת המשוואות עם הפרמטר הכוונה למצוא פיתרון יחיד? או שהכוונה מתי אינסוף פתרונות וכו'...

תשובה: לפתור את המערכת אומר:

1) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש פתרון יחיד - ולמצוא את הפתרון.

2) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים אין פתרון.

3) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש אינסוף פתרונות - ולמצוא את הפתרון הכללי.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:27, 20 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

איך אמורים לפתור את התרגיל הזה? צריך גם לחשוב על מספרים שיהיו בשדה וגם על החיבור והכפל שלהם..

:תשובה: כן. צריך לקחת ארבעה מספרים או סימנים כלשהם (<math>\{0,1,2,3\}</math> או <math>\{a,b,c,d\}</math> - זה לא באמת משנה) ולהגדיר על ארבעת האיברים האלה כפל וחיבור כך שכל האקסיומות של שדה מתקיימות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:29, 20 ביולי 2012 (IDT)

אבל לא משנה איך מסדרים את האיברים, יצא לנו או שדה על mod 4 - סתירה (4 לא ראשוני), או (שני איברים ניטרלים לכפל או לחיבור).

:שדה עם 4 איברים לא אומר שכל האיברים שונים. שני איברים נייטרלים לחיבור אומר שהקבוצה היא לא שדה רק אם שניהם שונים, אותו דבר לגבי כפל. [[משתמש:אלמוג אלפסה|אלמוג אלפסה]] 09:53, 21 ביולי 2012 (IDT)

::לא ייתכנו שני איברים נייטרלים לפעולה אחת. קל להוכיח שאיבר נייטרלי לפעולה הוא יחיד (מה יהיה סכום איברים נייטרלים שונים לחיבור?). אבל הפעולות לא חייבות להיות כמו Z ארבע, יש הרבה מאד דרכים להגדיר את הפעולות בין האיברים. אחת הדרכים תתן שדה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל לא יכולים להיות איברים כפולים בשדה, כי שדה זה קבוצה, ובקבוצה מורידים איברים כפולים

== רק להיות בטוח ==

כשאומרים פתירת מערכת מעל שדה כלשהו(נגיד Z 7), מתכוונים שרק הנעלמים שייכים לאותו השדה או שגם הפרמטרים?
:הכל שייך לשדה. כלומר, אם מבקשים ממך לפתור את 31x=3 מעל Z7, קודם הייתי מוצא מה הערך של 31 ב-z7 ואז ממשיך...
::אבל אם נגיד אתה מחלק 3 ב 37, אז יוצא לך מספר לא שלם, אז איך אתה יכול לפתור אותו מעל Z7?
:::אתה יכול לפרק 37=a*7+b כאשר a מקסימלי. במקרה כזה, ב-z7, שלושים ושבע יהיה שקול ל-b.
::::לא ממש הבנתי.. נגיד 4X = 25 מעל Z11, למה יהיה שווה X?
:::::לכל מספר בשדה יש הופכי, אתה כופל בהופכי בשני הצדדים. בדוגמא שהבאת, ההופכי של 4 הוא 3 (שכן 12=1 מודולו 11). לכן איקס שווה ל75=9 מודולו 11. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה לגבי דירוג משוואות ב12 ==

חובה לדרג את המשוואות או שאפשר פשוט להביא את המקרים של a בשדה?
:לדרג, זה מה שלומדים בתרגיל הזה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' ==

ב':אני חושב שאמור להיות שהעמודה ה-J שווה לעמודה ה-I של A כי ה-1 הוא האיבר ה-I בעמודה J
ואותו הדבר לגבי סעיף ג':שורה i שווה לשורהJ של A

תשובה: אתה צודק, יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:09, 22 ביולי 2012 (IDT)

עלתה גרסא מתוקנת. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

מה הכוונה במטריצות סגורות לכפל? לא זכור לי שעברנו על זה בתרגיל/הרצאה.

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

כלומר השאלה היא בעצם אם אכפול שתי מטריצות סקלריות, האם אקבל מטריצה סקלרית?
האם צריך להוכיח/להפריך את התשובה, כי השאלה שואלת רק אילו סגורות ואילו לא.
:כמובן שיש להוכיח/להפריך --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]]

== שאלה 2 חלק שני ==

בשאלה 2 אני צריך להניח שמיספר השורות ב A שווה למיספר העמודות ב E? או שזה ברור?

תשובה: כן. <math>A,E_{i,j}\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בשעורי בית 2 ==

בשאלה 3 סעיף ג', שואלים עברו אילו ערכי a , b המטריצה הפיכה, ומה ההפיכה עבור ערכים אלו.

עכשיו אני הצחלתי להגיע לאילו ערכי a ,b '''אין''' הפיכה.. אז מה להגיד שעבור כל ערך שהוא לא מה שמצאתי יש הפיכה??

כי ביקשו עבור ערכי a,b ספציפיים..

תשובה: אין בעיה להגיד שעבור כל <math>a,b</math> פרט למקרים מסוימים המטריצה הפיכה.

אבל בשביל המקרים שהיא הפיכה צריך למצוא את ההופכית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:43, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ש"ב 2 ==

בסעיפים א' ו ב' של התרגיל היה צריך להוכיח האם משהו עם הקבוצה שווה להופכי שלה.
עכשיו בסעיף האחרון שאלו האם A בהכרח הופכית, וגיליתי שלא בהכרח...

אז זה אומר שסעיפים א' ו ב' לא נכונים?

תשובה: אם ל<math>A</math> אין בהכרח הופכי אז באמת א' וב' הם מיידית לא נכונים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:46, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 4 סעיף ג ==

האים מטריצה ריבועית עם 4 איברים שכולם 1 נחשבת למטריצת האפס?

תשובה: מטריצת האפס היא המטריצה שכל הערכים בה הם <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 24 ביולי 2012 (IDT)

== הגדרות לשאלה 7 ==

היות וכמה אנשים שאלו אותי היום. אני כותב כאן את ההגדרות הרלוונטיות לשאלה 7.

מטריצה <math>A</math> נקראת

1)משולשית עליונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>j<i</math>.

2)משולשית תחתונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i<j</math>.

3) משולשית אם היא משולשית עליונה או תחתונה.

4) אלכסונית אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i\neq j</math>.

5) סקלרית אם <math>A=c\cdot I</math> כאשר <math>c\in \mathbb{F}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:55, 24 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

מה זה אומר אחד חלקי טראס איי?
1/tr(A)?

תשובה: אם <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> אז <math>tr(A)\in \mathbb{F}</math>.

לכן, אם <math>tr(A)\neq 0</math> קיים לו הופכי. ההופכי הוא <math>\frac{1}{tr(A)}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ==

האם העובדה שנתון A^2=-I פירוש הדבר שקיימת אחת כזאת (מגודל nXn)?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

מה בדיוק הכוונה בסעיף ג'? איך אני יכול להוכיח שA כזאת היא בהכרח הפיכה?

תשובה: אם תצליח למצוא הופכי זה אומר שהיא בהכרח הפיכה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בתרגיל 2 ==

בסעיף ג', אני יודע שהמטריצה לא הפיכה ל a=0 וגם b=0 , אבל אני לא יודע אם זה המקרה היחיד.
אפשר כיוון ?

רמז: במקום לנסות לחפש מתי המטריצה לא הפיכה, תנסה למצוא את ההופכית שלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:33, 25 ביולי 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 4 תרגיל 2 ==

בסעיף א' האם הככונה למצוא 3 מטריצות ספיציפיות המקיימות את הדרישות או למצוא מטריצה A המקיימת את הדרישות לכל B ו C

תשובה: למצוא שלוש מטריצות ספציפיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:26, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 מטריצות הפיכות ==

מותר בכפל מטריצות להפוך AxB)x(BxA) ל Ax(BxB)xA?

תשובה: כן.

<math>(A\cdot(B\cdot B))\cdot A = A\cdot((B\cdot B)\cdot A) = (A\cdot B)\cdot(B \cdot A)</math>.

זה נובע מחוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) של כפל מטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:30, 25 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 2 סעיף ד׳ ==

באגף ימין, איך אפשר לכפול איבר במטריצה?

תשובה: <math>a_{j,k}\in \mathbb{F}</math>. זה כפל של סקלר במטריצה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

עפ"י חוק בפילוג בשדה F , אז (סיגמה של אברי מטריצה משדה F כפול סקלר s מ F) שווה (לסיגמה של s כפול אותם אברים ) ?

תשובה: כן. אם <math>s,a_0,\ldots,a_n\in \mathbb{F}</math> אז

<math>s \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n a_i = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n (sa_i)</math>

אפשר להוכיח את זה באמצעות פילוג ואינדוקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 26 ביולי 2012 (IDT)

אבל אני לא צריך להוכיח נכון ?

תשובה: לא צריך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 27 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 א ==

לא הבנתי איך להוכיח את זה כי זה ברור

== תרגיל 2 - חיבור מטריצות -מופיע במספר שאלות ==

איך אני מחבר מטריצות?
נגיד נתון לי A ו B מעל שדה F 3*3
אז החיבור שלהם A+B - למה הוא שווה?
ואיך מבצעים את זה?

לדוגמא זה מופיע בשאלה 5 ב' ושאלה 4 סעף ג'

תשובה: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 28 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

כשאני מוכיח שיש סגירות במטריצות סקלריות אני יכול להשתמש בלי להוכיח את חוק החילוף לכפל של סקלרים(aA=Aa כאשר a סקלר בשדה F וA מטריצה במרחב <math>F^{n*n}</math>?
--[[משתמש:Avital|Avital]] 22:58, 27 ביולי 2012 (IDT)

תשובה: אפשר להסתמך על החוק הזה בלי להוכיח אותו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:00, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 4 סעיף ג' ==

כתוב שצריך לתת דוגמא למטריצות A ו- B הפיכות כך ש- A+B!=0 (לא שווה )

מה הכוונה בהפיכות ?- שהן אחת הופכית של השנייה ? או שני מטריצות הופכיות שלא קשורות אחת לשנייה ?

ומה הכוונה ב- A+B ? איך מחברים מטריצות ?

תשובה: כל אחת מהן הפיכה ואין להן בהכרח קשר אחת עם השניה.

לגבי חיבור מטריצות: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:07, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 7 ==

מה הכוונה -אילו מקבוצות המטריצות הריבועיות סגורות לכפל?

מה הכוונה '''סגורות לכפל''' ?

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 1 תרגיל 3 ==

האם אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר שראינו בהרצאה? (כלומר עם שלושת התנאים: W ת"מ אם"ם W לא ריקה וגם W סגורה לכפל בסקלר וחיבור).

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:03, 29 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 א' בתרגיל 2 ==

בשאלה זו ניתן להגיד כי A כפול A במינוס 1 =I, כלומר A הפיכה, מכיוון שמזכירים את A במינוס אחד ?
אם לא מה אומר A במינוס אחד ?

תשובה: אתה לא יכול להניח ש <math>A</math> הפיכה רק בגלל שכתוב בסעיף א' (וב') <math>A^{-1}</math>.

אתה כן יכול לומר שאם <math>A</math> לא בהכרח הפיכה אז ברור ש א' וב' לא נכונים כי עבור <math>A</math> לא הפיכה, <math>A^{-1}</math> לא קיים בכלל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 30 ביולי 2012 (IDT)

== דחוףף ==

יש לי הארכת זמן ולא קיבלתי מייל לאן אני צריך ללכת כדי להראות שיש לי הארכת זמן ,מישהו יכול להגיד לי לאן ללכת ועם מה? למי להתקשר?

== שדה אינסופי ==

האם אפשר להניח בלי הוכחה שchar(F)=0 => השדה F אינסופי?

תשובה: כן. (למרות שאני מקווה שאתם יודעים איך להוכיח את זה). --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:09, 30 ביולי 2012 (IDT)

נתבונן בקבוצה 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1....

(1 הוא 1 של השדה)

בגלל סגירות לחיבור, כל האיברים נמצאים בשדה. המאפיין הוא אפס, לכן לא משנה כמה פעמים נחבר נקבל איברים שונים. מכאן כבר שיש אינסוף איברים בשדה F, והוא אינסופי.

== תרגיל 3 -טעות בשאלה 4 ג' ==

בשאלה 4 ג'.
צריך להניח בנוסף ש <math>A \neq \emptyset</math>.

גרסא מתוקנת תעלה בהמשך היום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:07, 31 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

שלום,
בתרגיל 3 שאלה 2 מה סדר הפעולות באגפים הימניים? משמאל לימין או שהחיבור בסוף?
תודה מראש :)

תשובה: החיבור בסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:42, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== בוחן 7.8 ==

מה מבנה הבוחן בשלישי? כמה שאלות וכמה נקודות לשאלה???

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

כל הסעיפים מכילים את אותם ביטוים משני הצדדים. צריך להוכיח עבור שני סעיפים ולהפריך עבור השנים האחרים ?

תשובה: אני לא רוצה להגיד כמה סעיפים נכונים וכמה לא.

זה נכון שבגלל שכל הסעיפים קשורים, זה יכול להקל עליכם קצת.

למשל, אם הצלחת להוכיח את א' זה מייד אומר שב' לא נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== כיתות לימוד מחר ==

שלום, באילו כיתות אנו לומדים מחר?

תשובה:
שימו לב לשינוי הכתות באופן חד פעמי ליום חמישי 2/8/12

ההרצאות במקום הרגיל ב 604 61/62

התרגיל של אפי יתקיים בכיתה 403/2 בשעה 13

שירה 404/102

ארז 404/114

איתמר 404/115
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:24, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 3 ==

עוד לא הבנתי מה ההבדל בין (sp(A+B לבין (B או sp(A ובין spA + spB לבין spA איחוד spB
מישהו יכול להסביר לי עם דוגמה??

תשובה:

<math>A \cup B</math> זאת קבוצה שמכילה את כל איברי <math>A</math> ו <math>B</math> (האיחוד שלהם).
<math>A+B</math> זאת קבוצה של כל האיברים שהם חיבור של משהו מ <math>A</math> ומשהו מ <math>B</math>.

דוגמא:

אם <math>A = \{(1,2), (3,4)\}</math> ו <math>B= \{(5,6)\}</math>

אז

<math>A \cup B = \{(1,2) , (3,4) , (5,6)\}</math>

אבל

<math>A+B = \{(6,8), (8,10)\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:35, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

רגע ומה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB??

לא הגדרנו את החיבור רק עבור מרחבים ווקטוריים? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 17:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להכליל את זה, כך ש-A+B היא קבוצה של איברים ששווים לסכום של איבר כלשהו מ-A עם איבר כלשהו מ-B. הגדרה זו תופסת גם עבור קבוצות כלשהן שאינן מרחבים וקטוריים, כל עוד מוגדרת פעולת חיבור מתאימה.

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף ב ==

האם SPAN של (1,0)איחוד (0,1) יוצר את המישור (Rבריבוע) או שווה לצירים בילבד

תשובה: <math> span(\{(1,0),(0,1)\})</math> יוצר את המישור.

כל וקטור במישור <math>(a,b)</math> הוא צירוף לינארי <math>(a,b) = a(1,0) + b(0,1)</math> ולכן

<math>(a,b) \in span(\{(1,0),(0,1)\})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתי לך!!!! אייי ! חח אל תשכח את הדוריטוס ;)

== שאלה ==

אם למטריצה יש שורת אפסים זה אומר שאין לה בסיס??

תשובה: אתה צריך להסביר את השאלה יותר טוב.

בסיס יש למרחב וקטורי (לכל מרחב וקטורי).

מטריצה (אחת) היא לא מרחב וקטורי (אלא אם כן היא מטריצת האפס).

מה המרחב הוקטורי שאתה מדבר עליו?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 7 ב למע' המשוואות מתקבלת שורת אפסים (אחרי שהפכתי אותה למטריצה) אז השאלה היא האם יש לה בסיס

תשובה: למרחב הפתרונות של כל מערכת משוואות הומוגנית יש בסיס. (כמו לכל מרחב וקטורי).

לכן, גם לפתרונות של המערכת בשאלה יש בסיס. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

האם בשביל להוכיח ששני תתי מרחבים הם שונים מספיק לתת דוגמה שהם שונים או שצריך להוכיח שלא משנה מה תציב הם יהיו שונים

תשובה:
הטיעון
<math>U \cap (V+W) = U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> יהיה שוויון.

הטיעון <math>U \cap (V+W) \neq U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> לא יהיה שוויון.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:43, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

זה עונה על השאלה תודה

== שאלה כללית ==

האם הספאן של (1,0) פלוס (של מ"ו) הספאן של (0,1) שווה לספאן של (1,0) (0,1)? האם זה אומר שחיבור הספאנים הנ"ל פורש את R^2?

הוא כבר ענה על זה, תראה 3 שאלות למעלה

== שאלה 1 ==

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:12, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אז מה הקטע של התרגיל? פשוט אומרים לפי הקריטריון המקוצר...?

תשובה: אולי אנחנו מדברים על דברים שונים.

כשאני אומר שאפשר להשתמש בקריטריון המקוצר אני מתכוון שאפשר להשתשמש במשפט שראיתם בהרצאה שאומר:

<math>W</math> תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים.

1) <math>W \neq \emptyset</math>.

2) <math>u,v \in W \Rightarrow u+v \in W</math>.

3)<math>u \in W, \quad \alpha \in \mathbb{F} \Rightarrow \alpha u \in W</math>.

בהינתן המשפט הזה, צריך לעשות עוד קצת עבודה כדי להוכיח את מה שכתוב בתרגיל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:36, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:בכיתה לימדת אותנו שבמקום 2 ו 3 צריך שיתקיים <math>u,v \in W \Rightarrow u+ \alpha v \in W</math>.

::זה שקול, פשוט בתנאי הנ"ל תקח פעם אחת alpha=0 ופעם אחרת u=0 ותקבל את הנדרש.

אז זה כל מה שצריך לרשום?

בגדול, כן. רק שימו לב שבפתרון שלכם (במיוחד בהוכחה שהנתונים בשאלה 1 <math>\Leftarrow</math> מרחב וקטורי) אתם משתמשים רק בנתונים שיש לכם. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:15, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 6 ==

אם אני רוצה להפריך טענות, אני צריך להביא בתור דוגמא U ו V מסויימים ו B1 ו B2 מסויימים ולהראות שזה לא מתקיים?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:13, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== חומר לבוחן ==

עד איפה החומר לבוחן ביום שלישי? עד איזה חומר ללמוד? ועד איזה שיעור זה ? תודה!

תשובה: עד החומר שלמדתם ביום חמישי 26/7 (כולל) שזה אומר:

שדות, מערכות משוואות לינאריות, מטריצות, כפל מטריצות והפיכות מטריצות.

מרחבים וקטוריים, כולל בסיס ומימד כולל משפט השלישי חינם (נדמה לי שלא כולל משפט המימדים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:40, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

אם לדוגמא אני במ"ו מעל שדה Z5 לדוגמא, אז האם גם המספרים בוקטורים הם מתוך השדה?
לדוגמא בשדה הנ״ל יכול להיות לי הוקטור (7,3,9)?

תשובה: אם אתה מסתכל על המרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> אז כן, המספרים בוקטורים הם מתוך השדה.

למשל: במרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^3</math>

מתקיים ש <math>(7,3,9) = (2,3,4)</math> כי הכל במודולו <math>5</math>.

אבל <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> הוא לא המרחב היחיד מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>, יש עוד ( נגיד מטריצות עם ערכים מ <math>\mathbb{Z}_5</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אני מתכוון לכך שיהיה V מ"ו מעל שדה Z5. אז זה אומר שגם המספרים בוקטורים חייבים להיות מעל Z5?
:ודאי. למשל אם (7,3,9) וקטור כנ"ל, אתה מתייחס ל-7,3,9 כאיברים של Z5.

מה זאת אומרת להתייחס לוקטור 7,3,9 כאיברים של Z5? ב Z5 אין 7 ו 9.

ב <math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים <math>7=2</math> ו <math>9=4</math> (כי את כל המספרים מחשבים במודולו <math>5</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

'''מה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB???'''
:בחיבור אתה מקבל קבוצה בה כל האיברים הם תוצאה של חיבור של איבר מהקבוצה הראשונה עם איבר מהקבוצה השנייה, בעוד שבאיחוד אתה תקבל קבוצה של איברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. זה לא אותו דבר, ולמעשה במקרה שלנו האיחוד שכתבת מוכל בתוך החיבור (וזאת משום שכל אחד מהנפרשים מכיל את ווקטור האפס, ובפרט וקטור האפס עם כל וקטור אחר יהיה שווה לאותו וקטור אחר). אם אתה רוצה לראות שלעתים הם גם שונים, תקח <math>A=(1,0); B=(0,1)</math> מעל הממשיים ותפתח

== תרגיל 3 ==

לאיתמר,
עכשיו גיליתי שהיום שכחתי להגיש את תרגיל 3. יש משהו שאפשר לעשות? יעזור אם אסרוק את כל הדפים ואשלח לך במייל?

בתודה מראש, אביחי מרמור: avichai@elmar.co.il. [[משתמש:Avichai|Avichai]] 23:16, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== בבוחן יהיו שאלות כמו שאלות 1,2 בתרגיל 4 ==

???

תשובה: הנושאים שמכוסים על ידי תרגילים 1,2 נמצאים בחומר לבוחן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 6 באוגוסט 2012 (IDT)

1. אבל למדנו את זה אחרי היום שבו אמרו שעד אז זה החומר למבחן..

2. יש עוד שאלות בתרגילים שזה לבוחן?

תשובה:

1) דברים יסודיים לגבי מרחבים וקטוריים (כולל בסיס ומימד) נמצאים בחומר לבוחן.

תרגילים 1-2 עוסקים בטכניקות עבודה עם מ"ו, בלי משפט המימדים, בלי מטריצות מעבר בין בסיסים,בלי דרגה של מטריצה, לכן זה בחומר.

2) לא (אני מצטער שהתשובה הזאת מגיעה אחרי שכבר עשיתם את הבוחן).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:38, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתירת מערכת משוואות מעל Zp ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
אם אני פותר מערכת מעל Zp.
האם אני יכול להמיר למטריצה ולדרג כאילו אני בR ורק בסוף לעשות modp על התוצאה?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:29, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 ==

אין שאלה 4 בתרגיל 4 - שכחתם להוסיף או שיש רק 8 תרגילים?

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

צריך להוכיח שקיים וקטור. האם אפשר להניח בשלילה שלכל וקטור הטענה לא נכונה, ואז לתת דוגמה נגדית ספציפית כדי לקבל סתירה או שצריך בכלליות? תודה מראש

תשובה: אפשר להניח בשלילה שהטענה לא נכונה, ואז לכל וקטור <math>v \in \mathbb{R}^n</math> מתקיים <math>A^{k-1}v = 0</math>.

אם כשאתה כותב "דוגמא נגדית ספציפית" אתה מתכוון, לבחור <math>A</math> ו <math>v</math> מסוימים, אז לא ייתן סתירה.

כי בשאלה ישנו כבר <math>A</math> נתון בשאלה (שאנחנו אמנם לא יודעים מהו) ודווקא בשבילו צריך להראות שלא ייתכן

<math>A^{k-1}v=0 \quad \forall v \in \mathbb{R}^n</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:15, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 - שאלה 6 לא מובנת ==

לא הבנתי בשאלה 6 למה הכוונה "קטן גדול או קטן מ...", תוכלו להסביר מה צריך למצוא?

תשובה: אתה צודק, צריך להיות כתוב: קטן, גדול, או שווה ל...

כלומר צריך למצוא איזה מהבאים מתקיים

* <math>dim(U_1 \cap U_2) = dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) < dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) > dim(U_1 \cap U_3)</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:18, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

האם בשאלה5 U וW תתי מרחב או שהם רק קבוצות המוכלות בV?

(תלמיד) - לדעתי ניתן להסיק שהם ת"מ כי בנתון יש dim U וגם dim W, לכן הם מ"ו ובפרט ת"מ של V --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:12, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: נכון. הם תתי מרחבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 1 סעיף ב' בלינארית ==

אני עשיתי מערכת עם שתי משוואות, ע"י הצבה של איקסים לפי הנתונים, והגעתי למשוואות של המקדמים לפי הבסיס.
דירגתי מצאתי פתרון כללי והוצאתי את הפרמטרים וקיבלתי בסיס למשהו, אין לי מושג למה ואיך אני מגיע ממנו לבסיס של W ?

למה דילגתם עליי? מה זה כי אני שחור?
סתם הצלחתי תודה בכל מקרה

תשובה: דילגתי כי לשאלה שלך היה קצת יותר קשה לכתוב תשובה.

בדיוק עמדתי להעלות את התשובה הזאת (בכל מקרה אני שמח שהצלחת):

* הגעת למערכת משוואות על מקדמי הפולינומים - כל פולינום שמקדמיו פותרים את המשוואה נמצא ב <math>W</math>.

* דירגת ומצאת פתרון כללי - כל פולינום שמקדמיו הם מהפתרון הכללי נמצא ב <math>W</math>.

* הוצאת את הפרמטרים וקיבלת בסיס - קיבלת בסיס עבור וקטור המקדמים של פולינומים שנמצאים ב <math>W</math>.

מכאן אני מקווה שברור מה הבסיס של <math>W</math> צריך להיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:41, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה :)

== שאלה 2 ==

מערכת משוואות ליניאריות זה שיש מיקדמי אלפה אחד אלפה שתיים אלפה שלוש או שצריך לצמצם אותם ולהגיע למשוואה שיש בה רק X,Y,Z,W?

תשובה: צריך להגיע לתשובה שיש בה רק <math>x,y,z,w</math>.

כלומר התשובה לסעיפים א' ו ג' צריכה להיות מערכת משוואות ב <math>x,y,z,w</math> בלבד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:25, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

האם ה dim של 0 (שהוא תת מרחב) שווה ל 1 או 0?

תשובה: <math>dim\{0\}=0</math> כי הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> ויש בו 0 איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:27, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

למה ה dim של 0 זה אפס? הרי בבסיס של 0 יש איבר, והוא אפס (הוא פורש אותו)?

תשובה: <math> \{0\}</math> הוא לא בסיס כי הוא תלוי לינארית.

הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> (קבוצה ריקה) ובה יש <math>0</math> איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:16, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 7 תרגיל 4 ==

נתון ש A^k-1 שונה מאפס.. נכפיל ב A משני הצדדים נקבל A^k שונה מאפס.. בסתירה לנתון שהוא שווה לאפס.

אם A שווה לאפס, אז זה סתירה לנתון ש A^k-1 שונה מאפס (כי 0 בחזקת הכל זה אפס)

???

תשובה: <math>A^{k-1}\neq 0</math> לא גורר ש <math>A^k \neq 0</math>.

באופן כללי <math>B \neq C</math> לא גורר ש <math>AB \neq AC</math>.

וזה מפני ש <math>AB = AC</math> לא גורר ש <math>B=C</math>. (הייתה כזאת שאלה בתרגיל 2)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 ==

בשאלה זו, מספיק לתת דוגמה של תתי מרחבים שעונים על כל הדרישות בשאלה ואז ע"פ הנתונים שנתתי, אפשר למצוא האם (dim(u1 ^ u2 גדול, קטן או שווה ל - (dim(u1^u3 ? כי הרי התשובה הנכונה נכונה לכל דוגמה שאתן אז אפשר לתת דוגמה אחת כדי לראות מה נכון? זה פתרון אפשרי לשאלה?

תשובה: צריך להוכיח שאחד המקרים מתקיים ואי אפשר להסתפק בדוגמא.

זה נכון שהתשובה הנכונה נכונה לכל דוגמא, אבל אתה לא יכול להניח את זה כשאתה פותר (זה כמו להתבסס בדרך על מה שרוצים להוכיח).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 4 ;) ==

לא הצלחתי את תרגיל 4 שאלה 4.. אפשר רמז לפיתרון?! ;)
S.D

תשובה: נניח ש <math>V</math> ממימד גדול מ <math>5</math> אז ברור ש <math>[I]_C^B \in \mathbb{F}^{k\times k}</math> כש <math>k \geq5</math>.

עכשיו תנסה להציב <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_7</math> ו <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_5</math> ותראה מה קורה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 00:21, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל רגע אין שאלה 4 בתרגיל 4.

זה שאין שאלה לא אומר שאין רמזים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== חיתוך מרחבים ==

על מנת למצוא בסיס של חיתוך מרחבים אני שם את הבסיסים של שניהם במטריצה אחת ומדרג עד לקבלת בתל ?
כי כשאני עושה ככה אני מקבל מימד יותר גדול מהמרחבים המקורים והחיץתוך אמור להיות מוכל בהם..

תשובה: זאת לא השיטה. ככה מוצאים בסיס של סכום.

כדי למצוא בסיס של חיתוך שני מרחבים, אם המרחבים נתונים ע"י וקטורים פורשים אתה צריך להשוות את ה span שלהם ולפתור את המשוואה שנוצרת.

עשו כזאת דוגמא בתרגול.

כלומר, כותבים צירוף לינארי כללי של מרחב אחד, משווים אותו לצירוף לינארי כללי של מרחב שני ופותרים את מקדמי הצירוף.

אני מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:32, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ז"א שאם הבסיס שלי הוא x,y ו הבסיס השני הוא w,t
אז אני צריך לעשות ax+by=dw+et
אבל את מי אני צריך לבודד ואת מי למצוא בעזרת מי?

תשובה: לפי הסימונים שלך אתה מקבל מערכת משוואות (הומוגנית) עם נעלמים a,b,d,e.
אתה צריך לפתור את המערכת הזאת (למעשה מספיק למצוא רק למה שווים a,b או d,e).

ואז להציב את התשובה (הפתרון הכללי) בתוך הצירוף הלינארי - ואז תקבל את האיבר הכללי של החיתוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 2 סעיף ב ==

אני מקבל רק משוואה 1 שהיא רק עם X,Y,Z,W אז אני צריך בסעיף ב לישתמש רק בה? או שבסעיף ב להישתמש גם במשוואות שיש בהם את הסקלרים?

תשובה: המרחב הוא בדיוק אותם <math>(x,y,z,w)</math> שפותרים את המשוואה שמצאת בסיף א'. אז אתה משתמש בתוצאה של סעיף א'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:41, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

נניח u,w מוכלים ב v אז סכום ישר שלהם הוא בהכרח תת מרחב ?

*(לא מתרגל/מרצה) הוכחנו בהרצאה כי סכום של תתי מרחבים (באופן כללי) הוא ת"מ. אם הסכום הישר מוגדר (כלומר החיתוך הוא וקטור האפס) אז הוא גם כן תת מרחב (מדובר במקרה פרטי).

תשובה: נכון, סכום ישר הוא תמיד תת מרחב והוא שווה לסכום הרגיל. (רק שלא כל סכום רגיל הוא גם סכום ישר).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:43, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית לגבי שוויון תתי מרחבים ==

אם שני תתי מרחבים שווים, מה זה אומר על המימדים שלהם ועל הבסיסים שלהם?
ז״א אם U=W (תתי מרחבים) האם זה גורר בהכרח dimU=dimW ושהבסיסים שווים?

תשובה: שוויון של תתי מרחבים הוא שוויון קבוצות.

זאת אותה קבוצה אז בוודאי שיש להם אותו מימד. וכל בסיס של <math>U</math> הוא גם בסיס של <math>W</math> ולהפך.

(שים לב שיש יותר מבסיס אחד לכל מרחב,לכן אם <math>B</math> בסיס של <math>U</math> ו <math>C</math> בסיס של <math>W</math>, אז
<math>U=W</math> לא אומר ש <math>B=C</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף ב' ==

האם אני יכול להכפיל צירוף לינארי בסעיף ב' בA בחזקת K-1 (שהרי לא שווה ל0) ואז בצורה כזאת להראות שזה לא יכול להתקיים שהאיברים תלויים
לינארית (הנחתי בשלילה שהם ת"ל ובצורה כזאת אני רוצה להגיע לסתירה) אני יכול לעשות פעולה כזאת?

תשובה: האיברים <math>\{v,Av,\ldots,A^{k-1}v\}</math> הם וקטורים בגודל <math>n \times 1</math>.

צירוף לינארי שלהם הוא וקטור בגודל <math>n \times 1</math>.

לכן מותר להכפיל אותו משמאל במטריצה שיש לה <math>n</math> עמודות

או מימין במטריצה שיש לה שורה אחת.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:35, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== ליניארית, תרגיל 4 שאלה מס' 2 ==

לא ממש הבנתי איזה צורת תשובה אני אמור לכתוב בסעיפים א'-ג'..
איזו מערכת משוואת אני אמור למצוא? מהצורה: X שווה לביטוי עם אלפא 1 וכו', או אלפא 1 שווה לביטוי עם X, Y...?
ובסעיף ב', איזה מערכת משוואת לפתור אם התנאי שיצא לי בא' הוא משוואה אחת?

תשובה: בסעיפים א' ,ג' אתה אמור לקבל כתשובה מערכת משוואות עם נעלמים <math>x,y,z,w</math>

נגיד משהו מהצורה

<math>x+y+z+w=0</math>

<math>x+2y+3z+4w=0</math>.

לגבי סעיף ב', מערכת משוואות עם משוואה אחת אי אפשר לפתור?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:52, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתיי לך !

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

בשאלה 7 k חייב להיות קטן או שווה ל-n?

תשובה: אם השאלה היא האם אפשר להניח ש <math>k \leq n</math>, אז התשובה היא לא. זה לא נתון בשאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ==

1. מה הכוונה "מטריצה סטנדרטית של T"? האם הכוונה למטריצה המייצגת של T לפי הבסיס הסטנדרטי?

2. בשאלה 3, A היא מטריצה מייצגת של T?

תשובה: 1) כן.

2) כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:46, 14 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה המטריצה המייצגת של T בבסיס הסטנדרטי??

תשובה: הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math> הוא <math>S=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>.

המטריצה המייצגת של <math>T</math> בבסיס הסטנדרטי היא <math>[T]^S_S</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:55, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 11ג ==

אני חושב שיש טעות בשאלה כי אם V=R^2 ו- (y,x)=T(x,y
אז T^2 עדיין שווה ל-I אבל וקטורים כמו (1,2) לא שייכים ל-U+W
ולכן הטענה לא נכונה
: <math>(1,2)=(3/2,3/2)+(-1/2,1/2)</math> ולכן הוא שייך לסכום תתי המרחבים --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 00:08, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 3 ==

בשאלה 3 בהתחלה הוקטורים ש-T עובדת עליהם הם וקטורי שורה, ובסעיף ב היא עובדת גם על וקטורי עמודה. האם זה משנה? כלומר, העתקה לינארית הפועלת על וקטורי שורה תפעל גם על וקטורי עמודה באותה צורה?

תשובה: בדר"כ לא טורחים להבדיל בין וקטורי שורה לעמודה, מדובר באיברים של <math>\mathbb{F}^n</math>. ואפשר להתייחס אליהם בתור וקטורי שורה או וקטורי עמודה.

גם במקרה שלנו אפשר לחשוב על <math>T</math> כאילו היא עובדת על וקטורי שורה או עמודה, זה לא באמת משנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:21, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 5 ==

האם מה שצריך למצוא בעצם זה את <math>[T]^B_C</math> ?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5- שאלה 6- סעיף א' ==

מה הכוונה ביחס לבסיסים שונים?
האם הכונה היא מכל בסיס של v לכל בסיס של w או מבסיס ספציפי של v לבסיס כלשהו של w ?

תשובה: מכל בסיס של <math>V</math> לכל בסיס של <math>W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ב׳ ==

אם הוכחתי ש T היא חחע, ניתן להשתמש במשפט
Dim(r3)=dim(r3) אז T חחע <=> T על
כדי להוכיח שT היא על?
:כן.--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

צריך להוכיח בעצם שלכל בסיס E ל V ולכל בסיס S ל W מתקיים <math>RANK[T]^E_E = RANK[T]^S_S</math> ?
:לא בדיוק. צריך להוכיח שלכל בסיסים A B של V ו C D של W מתקיים <math>RANK[T]^B_D = RANK[T]^A_C</math> --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

בנתונים נתון ש-S הע"ל, אך בסעיף א' יש להוכיח זאת. האם זה לא אמור להיות בנתונים?

תשובה: נניח שזה לא נתון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

חחחחחחחח

== ציוני בוחן בלינארית ==

הקישור לציונים לא עובד. ניתן לתקן את הבעיה?

תוקן.

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

האם <math>M_2(\mathbb R)</math> הוא מרחב הוקטורים מגודל 2x1 או המטריצות מגודל 2x2? בשאלה 8 אלו מטריצות, ובשאלה 6 <math>M_{2x2}(\mathbb R)</math> הם המטריצות...
:{{לא מתרגל}} מדובר על מטריצות.

תשובה: נכון. שני הסימונים מייצגים מטריצות <math>2\times 2</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:42, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 7 ==

האם צריך להוכיח כי T הע"ל?

תשובה: לא צריך להוכיח. כפל במטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:43, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

כן אבל אם לדוגמא ייתנו שאלה על "אולי הע"ל" במבחן שמכפילה וקטור במטריצה, נצטרך להוכיח שזה אכן הע"ל או פשוט לרשום שכפל מטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית?

תשובה: אפשר פשוט לכתוב שכפל במטריצה הוא תמיד העתקה לינארית.

(למרות שלהוכיח את זה לוקח שתי שורות)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:10, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

לעצלנים שבינינו זה יעזור ;)

== שאלה ==

ממש לא הבנתי מה זה ker ו im של T כמו למשל ששואלים בשאלה 4 ,אני הבנתי את ההגדרות אבל לא הבנתי בתכלס איך פותרים
,אפשר דוגמה טובה שתוכל להסביר לי??

-> תקח העתקה לינארית ותמצא לה גרעין ותמונה. הגרעין זה ker והתמונה זה Im

== שאלה כללית ==

איך מכפילים מטריצה מגודל 2X2 במטריצה מגודל 3X3?? אפשר דוגמא???

לא מכפילים

סבבה תודה

== תרגיל 5 שאלה 8 ==

לאילו בסיסים סטנדרטיים בדיוק הכוונה בשאלה 8?(מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים?)

1,x,x^2

או שאפשר להעביר את הפולינומים למקדמים שלהם (אחרי שמציבים 0 ו 1) ואז אפשר להשתמש בבסיס הסטנדטי הרגיל של R3..

== תרגיל 5 שאלה 6 א' ==

האם ניתן להשתמש במשפט שהוכחנו בהרצאה שדרגת המטריצה המייצגת שווה למימד מרחב התמונות של ההעתקה הלינארית?

תשובה: כן. אפשר להשתמש בכל משפט שראיתם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:59, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

== ציונים בלינארית ==

איפה יש ציונים???

-> היו ציונים... אבל בגלל שהם לא היו שלכם הייתם קטנוניים והתלוננתם עליהם.. אז חסמו אותי.. ועכשיו אין ציונים! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ,11 ==

1.מה זה חזקת העתקות לינאריות?
2.מה מסמן הI בשאלה 11?

1. הרכבה של הע"ל, במקום לרשום ToToToT(הרכבה) רושמים פשוט T^4
2.העתקת היחידה. I(x,y,z) = (x,y,z.

-> מה טוטוטו ?! מה אתה רכבת?! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ==

אפשר כיוון לפתרון של א'?

תשובה: שים לב שאם <math>v \in V</math> אז <math>T(v)=T^4(v)=T(T^3(v))</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:57, 18 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחנים משנים עברו ==

שימו לב ש
[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|כאן]]
יש מבחנים משנים עברו, כמו גם קישורים לאתרים של פרופ' רזניקוב וצבאן ששם יש עוד הרבה מבחנים, לחלקם יש גם פתרונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:11, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

בנוסף,
[http://www.bis.org.il/search_res_bank.asp באתר של אגודת הסטודנטים]
אפשר למצוא עוד כמה מבחנים.

שימו לב שיש מבחנים באלגברה לינארית 1 שמספר הקורס שלהם לא מתחיל ב 88 וזה אומר שהם לא של המחלקה למתמטיקה.

אפשר לעשות אותם בתור תרגול אבל

1) הם ממש קלים.

2) לפעמים יש שם חומר שלא למדנו, אז להתעלם מדברים כמו לכסינות, ערכים עצמיים, פולינום אופייני וכו' (שאלה מושגים שתלמדו עליהם בלינארית 2) .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:17, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

:גם מכפלה פנימית לא למדנו נכון?

תשובה: נכון. לא למדנו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

== רשימת משפטים ==

נשאר שבוע עד למבחן ועדיין לא פורסמה רשימת המשפטים. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 08:39, 22 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלתי את מיטל, רשימה תפורסם לכל המאוחר ביום ראשון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:34, 23 באוגוסט 2012 (IDT)

== קישור ==

תוסיפו את הקישור [הזה][http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html] בדף --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 09:33, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מתי המבחן? ==

?
יום חמישי ב16:00 --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:28, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

אני חושב שכן(ב30/08/2012) --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:58, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מחשבון ועוד משהו ==

1) יהיה אפשר להשתמש במחשבון במבחן בליניארית(בבקשה רק תשובה ממישהו שבטוח 100%)? 
2) רמת הקושי של המבחן קלה/קשה/שווה לרמת הקושי של המבחן הזה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf ? --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:06, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מצטרף לשאלות [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:22, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

יש פתרון למבחן בשאלה 2?

בשאלה 1 סעיף ב במבחן זה מבקשים לחשב מטריצות מייצגות של טי, טי בריבוע, טי בשלישית, טי ברביעית וכולי..
מה הכוונה וכולי ? כמה עוד מטריצות מייצגות של הע"ל צריך לחשב ?

(לא מרצה / מתרגל): בשאלה 1 תחשב את המטריצות המייצגות, תגיע אחרי כמה כאלו למטריצה שממנה כבר לא יהיה מה לחשב.
לגבי שאלה 2, אני אנסה להעלות לפה פתרון בקרוב --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:10, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

פתרון שאלה 2
[[מדיה:001.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:31, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

התשובה לשאלה 1 ב' צריכה להיות מטריצות מהצורה 4X4 (זה כולל שורות אפסים) ? כי כל פעם הראו לנו משהו אחר כך שאני לא בטוח איך התשובה אמורה להראות בסוף

ואם כן האם צריך להשאיר את המטריצה כמו שהיא או להוריד את שורות האפסים? -(אני זוכר שלא משנים/מורידים אותה אבל אני לא בטוח)

(לא מרצה / מתרגל) מה זאת אומרת למחוק שורות? כל שורה במטריצה חשובה! אין למחוק שורה מן המטריצה, אחרת היא משתנה. וכן, זה כולל שורות אפסים --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:51, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובות: מה שגיא אמר נכון. התשובות ל 1ב צריכות להיות מטריצות <math>4\times4</math>. לא מוחקים שורות אפסים.

הפתרון שגיא העלה לשאלה 2 נכון. שימו לב שזה בדיוק המצב שיש סכום ישר <math>V\oplus W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה לגבי שאלה 6 מבחן תשע"ב ד"ר בועז צבאן ==

במבחן של ד"ר בועז צבאן [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf הנ"ל], בשאלה 6, מה הכוונה ב<math>\bar{1}
</math> ? המספר שחיבורו ל1 נותן 0 בשדה ?
:למיטב הבנתי מדובר פשוט על 1. הסימון 1 עם קו מעליו, בא להציג את מחלקת השקילות של 1 באשר לשארית חלוקה בשלוש (כלומר במקום ה-1 הזה יכול לבוא 4, או 7, וכו, ולך זה לא ישנה כי כולם אותו דבר בשדה הנתון).

תשובה: זה פשוט <math>1</math> . יש כאלה שכותבים את האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> עם קו מעליהם כדי להדגיש שזה לא מספר רגיל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשאלה 8 ==

למה צריך להסתבך באינדוקציה? אי אפשר לעשות פשוט n-1 פעולות עמודה (החלפת עמודות) ואז מקבלים את מטריצת היחידה?

תשובה: אתה מדבר על תרגיל 5 שאלה 8? אתה צודק. לא חייבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:46, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== זמני תרגול+הרצאה יום ראשון -26.7 ==

לא הבנתי את הזמנים שמלי שלחה ושינתה

מה שהבנתי זה:

לשתי הקבוצות יש הרצאה- ב- 10:00-12:00 בבוקר

ואז לקבוצה של איתמר יש תרגול ב - 12:00-14:00

האם זה הזמנים הנכונים??

== משפט 17 ו-2 ==

לא הבנתי מה המשפט אומר , מה זה (r(T ?

ובמשפט 2 ככה הגדרנו סכום ישר האם הכוונה פה שההגדרה של סכום ישר הוא שהחיתוך הוא אפס ואז להראות שזה או"א לכל וקטור יש הצגה יחידה

תשובה: לגבי משפט 17: <math>r(T)=rank(T)</math> ו <math>r([T]^E_F)=rank([T]^E_F)</math>.

לגבי משפט 2: כן, אם מגדירים סכום ישר לפי זה שחיתוך המרחבים הוא <math>\{0\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:08, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

למי שביקש ממני היום הוכחה

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.

כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.

יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.

נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.

כלומר

<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>

נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.

כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.

נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>

כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>

כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.

נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.

נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>

כלומר <math>DR=A</math>.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>

כלומר

<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>

לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>

ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>

(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>

בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן

<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:39, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== שלישי חינם ==

אם יבקשו במבחן להוכיח את שלישי חינם אני יצטרך להוכיח שמספר האיברים בקבוצה פורשת >= מספר האיברים בקבוצה בת"ל ?

תשובה: אני מתאר לעצמי שלא. אבל שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:46, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: הוכחנו בכיתה משפטים על פורשת מינימלית ובת"ל מקסימלית, והם בהחלט יכולים להסתמך על כך. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה שלישי חינם? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 19:31, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשביל להוכיח את משפט הדרגה של הע"ל ==

האם אפשר להוכיח את זה כך:

תהיה A מטריצה מעל F mxn.
נבנה הע"ל מ Fn ל F m ע"י:
T(V) = AV.

וברור כי:
rank(A) = C(A) = Im(T).
ker(T) = N(A).

ואז להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות ולקבל את הדרוש?

תשובה: ההוכחה הזאת נכונה מתמטית. אבל מה שאתה עושה פה זה להוכיח את משפט הדרגה של ההעתקות בעזרת משפט ההעתקה של מטריצות (שזה כמעט אותו משפט).

לכן לא נראה לי שזה טוב. אם אתם מתבקשים להוכיח את משפט הדרגה תשתמשו בהוכחה הסטנדרטית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:12, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל אמרתם שמותר להשתמש בכל המשפטים, אלא אם כן דרשו להוכיח אותם. אז למה אי אפשר להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות?

תשובה: כי לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של העתקות זה כמו לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של מטריצות. ע"י ייצוג לפי בסיסים זה הופך לאותו משפט.

דרך אגב, אני מודע לכך ששאלות הוכחה במבחן הן תמיד השאלות שלא ברור לגביהן במה מותר להשתמש ובמה לא. לכן אני מבין את השאלות שאנשים שואלים כאן.
הדרך הכי בטוחה להתרחק מצרות היא לדבוק בהוכחות שראיתם בהרצאות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים ==

במשפט 16, אני דיי בטוח שזה צריך להיות איזומורפי ל F^dimWxdimV ולא ל F^dimVxdimW
 
זה כמובן לא משנה כי
<math>
\mathbb{F}^{dimV \times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW \times dimV}
</math>
ע"י השיחלוף שהוא איזו'. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:03, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל האם אפשר ישירות להוכיח זאת? זאת אומרת בלי לעשות אחר כך עוד הע"ל?

תשובה: אתה צודק שהטענה ה"טבעית" יותר היא <math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>. אבל אם אם יבקשו במבחן להוכיח ש
<math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimV\times dimW}</math> אז תוכיח את הטענה הקודמת ותשתמש ב traspose בשביל להוכיח ש

<math>\mathbb{F}^{dimV\times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>.

אני חושב שזאת הדרך הכי פשוטה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:50, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה של למת ההחלפה של שטייניץ ==

למי ששאל אותי היום על הוכחה של למת ההחלפה

יש כאן קישור [[מדיה:שטייניץ.pdf|הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ]] (זה נמצא גם בעמוד הראשי של אלגברה לינארית 1).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== A הפיכה משמאל => A הפיכה ==

אפשר להוכיח במבחן באמצעות הע"ל? כלומר:
 
<math>
T(X)=A\cdot X
</math> איזו' ולכן קיים <math>B</math> כך ש:
<math>
A\cdot B=I
</math> ??
 תודה [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:27, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני לא רואה סיבה שלא, אבל ליתר בטחון שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:51, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר ורצוי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט מספר 8 ==

כשרשמו לנו אותו לא נמצאת ההוכחה,
וניתן רק להוכיח אותו בעזרת איזומופריזם בהמשך, אני אשמח אם תסביר בקצרה אתה ההוכחה הזאת ( לא משנה לי אם בעזרת מטריצות מעבר או איזומורפיזם)

תשובה: נניח ש <math>A\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> הפיכה משמאל, כלומר קיימת <math>B\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>BA=I</math> (מי שרגיל שזאת ההגדרה של הפיכות מימין אז שיניח ש <math>A</math> הפיכה מימין).

נגדיר העתקה לינארית <math>T:\mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times n}</math> על ידי

<math>T(X)=AX</math>.

נשים לב ש <math>T</math> חח"ע כי אם <math>T(D_1)=T(D_2)</math> אז <math>AD_1=AD_2</math> אם נכפול משמאל ב <math>B</math> נקבל ש <math>D_1=D_2</math>.

היות ו <math>T</math> העתקה לינארית. העובדה ש <math>T</math> חח"ע גוררת שהיא גם על.

בפרט <math>I \in Im(T)</math> כלומר קיימת מטריצה <math>C \in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>T(C)=I</math> כלומר <math>AC=I</math>.

נשאר רק להראות ש <math>B=C</math> וזה קל היות ו <math>B= BI= B(AC)=(BA)C=IC=C</math>. מש"ל--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:59, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:למה העובדה ש T חח"ע גורר שהיא על?

תשובה: טענה: אם <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית כך ש <math>dimV=dimW=n</math> אז <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על.

הוכחה: לפי משפט הדרגה <math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n</math>

עכשיו

<math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>Ker(T)=\{0\}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimKer(T)=0</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimIm(T)=n</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>Im(T)=W</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 16 ==

אני לא מוצאת הוכחה לזה בסיכומי ההרצאות שלי... מישהו יכול להפנות אותי להוכחה או להגיד לי איפה זה בערך נמצא בסיכומים? תודה!--[[משתמש:Inbarsavoray|Inbarsavoray]] 13:52, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: תחפשי הוכחה לזה שבהינתן בסיסים <math>B,C</math>, פונקציית ייצוג לפי בסיסים היא איזומורפיזם

<math>[\quad]^B_C:Hom(V,W)\rightarrow \mathbb{F}^{dimW \times dim V}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:02, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתרון תרגיל 4 ==

אפשר בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? עוד לא העלו פיתרון.. תודה!

== ה"ל מעל Zp ==

מה זה אומרת ה"ל מעל Zp?

העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> הם מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מטריצות בסיסיות ==

אנחנו צריכים לדעת לפתור שאלות כמו שאלה 12 פה:
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:08, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה מטריצה בסיסית?

(לא מרצה/מתרגל) מטריצה Eij היא מטריצה עם 1 במקום הij ו0 בשאר המקומות, נקראת בסיסית.

תשובה: התשובה שמעלי נכונה. <math>E_{i,j}</math> זה סימון סטנדרטי. כדאי לדעת גם ש הקבוצה <math>\{E_{i,j}\}</math> של כל המטריצות האלה מהווה בסיס למרחב המטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:14, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחן 2005 מועד ב' שאלה 5' ==

בשאלה 5 פה:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1b65.pdf
השאלה היא כמה פתרונות שלמים יש למערכת מעל R בין 0ל6
או כמה פתרונות יש למערכת מעל Z7?

(לא מרצה / מתרגל) פתרונות המשוואה מעל <math>\mathbb{Z}_7</math>--[[משתמש:גיא|גיא]] 19:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:15, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הפיכות מטריצה ==

אם אומרים ש A הפיכה משמאל, זה אומר שקיימת B כך ש AB=I או ש BA=I?

(לא מרצה / מתרגל) קיימת B כך ש-BA=I. אם אומרים שהיא הופכית משמאל אז למעשה אומרים שיש לה מטריצה הופכית מצד שמאל --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) בדיוק הפוך..

(לא מרצה / מתרגל) אני די בטוח שמה שאמרתי נכון, נחכה שאחד המתרגלים / מרצים יענה --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: יש כאלה שמגדירים ככה ויש כאלה שמגדירים הפוך. אין בזה מוסכמה גורפת. אני רגיל כמו שגיא הגדיר, אבל הבנתי שלפחות בהרצאה של מיטל הגדירו הפוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה / מתרגל) - אני אצל מיטל וככה היא לימדה אותנו גם --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) אני אצל מיטל והיא למדה אותנו כמו שאני אמרתי...

== משפט 1 ==

מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?

תשובה:

הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>

<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>

<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>

שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.

אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.

שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.

אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.

קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.

<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.

לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.

ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.

ולקבל

<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הע"ל מעל שדה ==

מה זה אומר הע"ל מעל שדה מסויים?

תשובה: אומרים ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> אם היא העתקה לינארית

<math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>.

(שימו לב ש <math>V,W</math> חייבים להיות מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math> אחרת ההגדרה של העתקה לינארית היא חסרת משמעות,
כלומר אין פשר לדרישה <math>T(\alpha v) = \alpha T(v) </math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:19, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מרחב הפולינומים.. ==

יש לי כמה שאלות:

1. מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2?

2. איך לדוגמא מייצגים את 1+X^2 בתור כפל של סקלרים בבסיס הסטנדרטי?

תשובה:
1. <math>\left \{ 1,X,X^2 \right \}</math>

2. (1,0,2)

== שאלה 11 ב2005 מועד א' ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf
איך עושים את 11?

תשובה: תפתור בספר של צבאן את שאלה 4.6 (סעיפים א' ב') בפרק א ואז קל לפתור את שאלה 11.

אם אתה לא מצליח או שזה עדיין לא ברור אני אסביר יותר במפורט.

באמת אולי היינו צריכים להציג במפורש את משפט פרמה הקטן בקורס הזה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:38, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להסביר יותר במפורט?

תשובה: קודם אני אציג את הפתרון של תרגיל 4.6

סעיף א) בשדה ממאפיין <math>p</math> מתקיים <math>(a+b)^p=a^p+b^p</math>.

זה בגלל שלפי הבינום של ניוטון

<math>(a+b)^p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^kb^{p-k}</math> ו <math>p</math> מחלק את <math>\binom {p}{k}</math> כש <math>0<k<p/math>.

לכן כל מה שנשאר מהסכום אלה האיברים הראשון והאחרון <math>a^p+b^p</math>, כל השאר הם <math>0</math>. כי המאפיין הוא <math>p</math>.

סעיף ב) לכל <math>a \in \mathbb{Z}_p</math>, מתקיים ש <math>a^p=a</math>.

הוכחה: באינדוקציה על <math>a</math>. אם <math>a=0</math> הטענה נכונה בבירור.

נניח שהטענה נכונה עבור <math>a</math>, נוכיח אותה עבור <math>a+1</math>.
לפי סעיף א' <math>(a+1)^p=a^p+1^p=a^p+1</math>.

ולפי הנחת האינדוקציה <math>a^p+1=a+1</math>.

לכן בסך הכל <math>(a+1)^p=a+1</math>.

שזה מה שרצינו להוכיח.

עכשיו נעבור לשאלה במבחן.

אם <math>\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p</math>.

אז <math>T(a)=a^p=a</math>. שזו העתקת הזהות ולכן היא באמת העתקה לינארית.

שזה אומר שסעיף 4 נכון. אבל זה עדיין לא מסיים את העבודה כי יכול להיות שגם סעיף 3 נכון, והוא יותר חזק מסעיף 4.

נניח ש <math>char(\mathbb{F}=p</math> ונוכיח ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.

שלב ראשון :<math>T(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=T(a)+T(b)</math>.

שלב שני: <math>T(\alpha a)=(\alpha a)^p=(\alpha)^p a^p = \alpha a^p = \alpha T(a)</math>.
(שים לב ש <math>\alpha\in \mathbb{Z}_p</math>)

לסיכום, התשובה הנכונה היא 3.

ואיך היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה בלי המשפט?

תשובה: אני לא רואה דרך סבירה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

דרך אגב, למיטב ידיעתי (אבל אני לא מבטיח) אין במבחן שלכם תשובות "נכונות" ותשובות "יותר נכונות". כלומר אם שאלה כמו שאלה 11 הייתה מופיעה במבחן שלכם. לסעיף 4 היינו מוסיפים: "אבל יש שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהוא עם מאפיין <math>p</math> כך ש <math>T</math> אינה העתקה לינארית"
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== הבוחן שהיה ==

אתם יכולים להעלות פתרונות לבוחן אמצע..?

אני מקווה שאני אספיק--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

שמתי פתרון בדף הראשי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה!

== איך פותרים את תרגיל 4 ==

פה
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a64.pdf

?

שיטה א': תמצא דוגמאות ששוללות את כל האופציות הלא נכונות.

שיטה ב': היה לכם בשיעורי הבית (בתרגיל 4) שאלה שתעזור להבין מה הפתרון הנכון. (תזכרו שמטריצות והעתקות מתנהגים אותו דבר).

אם זה עדיין לא ברור אני אסביר יותר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:42, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אני לא מצליח..

שיטה א': נגדיר <math>T(x_1,x_2, \ldots ,x_{32})=(0,x_1,x_2, \ldots , x_{31})</math> (העתקת הזזה).

זאת דוגמא נגדית ל 2,3,4 . לכן 1 נכון.

שיטה ב': בתרגיל 4 שאלה 7 הוכחתם שבהכרח מתקיים ש <math>T^{32}=0</math>.

מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

כן ברור אבל איך אפשר להוכיח ש T^32 = 0?

תשובה: באותה טכניקה שהשתמשתם בתרגיל 4 שאלה 7.

הרי קיים <math>k</math> כך ש <math>T^k=0</math> אבל <math>T^{k-1}\neq 0</math>.

תוכיח שקיים <math>v</math> כך ש <math>v,T(v), \ldots ,T^{k-1}(v) </math> היא קבוצה בת"ל בגודל <math>k</math>.

לכן <math>k \leq n</math>. ולכן <math>T^n=T^{32}=0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

מי אמר אבל ש T לא שווה לאפס? ולכן <math>T^{k-1}\neq 0</math> לא נכון

תשובה: אז מה? אם <math>T=0</math> אז <math>k=1</math> ואז <math>T^{k-1}=T^{0}=I \neq 0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== בסיס ומימד של חיתוך ת"מ ==

התבקשתי להעלות דוגמאות:[[מדיה:sub_dimx2.pdf|דוגמאות]]
--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 22:34, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת ==

תהי
<math>
T:V\rightarrow W
</math>
הע"ל. כיצד מוכיחים כי
<math>
rank(T) = rank([T]_{C}^{B})
</math>
 
חיפשתי ולא מצאתי את ההוכחה.

תודה! [[משתמש:ABAB|ABAB]] 12:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני מתאר לעצמי שההוכחה שראיתם בכיתה היא משהו בסגנון הזה:
<math>rank([T]^B_C)= dim C([T]^B_C)= dim \{[T]^B_Cv \mid v \in \mathbb{F}^n\}=dim\{[T]^B_C[u]_B \mid u \in V \} = dim\{[T(u)]_C \mid u \in V\}

</math>

(בגלל ש <math>[\quad]_C</math> היא איזומורפיזם)

<math>=dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T)</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

*ההוכחה שראינו בהרצאה (של מיטל):

הניסוח: יהיו V,W מ"ו מעל שדה F.נגדיר E בסיס לV, וכן F בסיס לW, ותהי T מV לW הע"ל. אז מתקיים:<math>rank(T) = rank([T]_{F}^{E})</math>

הוכחה: נסמן {v1,...vk} בסיס עבור (ker(T, וכן {(T(u1),...T(ul}, בסיס עבור (im(T, ולכן המימד של התמונה הוא l. מתקיים: {,u1,...ul,v1,...,vk} בסיס עבור V, נסמנו B (הוכחנו זאת כאשר הוכחנו את משפט הדרגה).

אזי מתקיים:

<math>\left[ T \right] ^{ B }_{ F }\quad =\quad ([T(v_{ n })]_{ F }...[T(v_{ n })]_{ F }[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })\quad =\quad (0...0[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })</math>

(כאשר מדובר במטריצה שעמודותיה הן הוקטורים האלו, כשרשום אפס הכוונה לעמודת אפסים). אבל אמרנו כי {(T(u1),...T(ul} בסיס, וכן F בסיס ולכן l העמודות האחרונות הן בת"ל, ומתקיים <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=l</math> . נותר להוכיח כי <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=r(\left[ T \right] ^{ E }_{ F })</math>.

מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/e/e2/Gif.gif]
כאשר המעבר האחרון מתבצע בגלל המשפט שאומר: אם A הפיכה מתקיים (r(BA)=r(B, ובמקרה שלנו מטריצת המעבר היא הפיכה, ולכן הדרגות שוות.

ובסה"כ נקבל:[[http://www.math-wiki.com/images/9/9b/Gif_%281%29.gif]]

== משפט ההגדרה ==

מה הניסוח של משפט ההגדרה של ה"ל
ומה הניסוח של משפט הדרגה?

*משפט ההגדרה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, מתקיים dimv=n. אם ניקח {v1,...,vn} בסיס עבור V, וכן{w1,...,wn} '''קבוצה''' מוכלת בW, אזי קיימת T מV לW כך שהיא הע"ל, והיא יחידה, והיא מקיימת T(vi)=wi לכל i בין 1 ל-n.

משפט הדרגה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, ותהי T מV לW הע"ל. אזי מתקיים:
(dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v

ובמילים- מימד התמונה (דרגת ההעתקה) ועוד מימד הגרעין (האפסיות של T) שווה למימד של V.

== שאלה כללית ==

T : Z2[x] → Z2 מה מסמל הסוגרים המרובעים שמסביב לX?
:פולינומים מעל Z2 במשתנה x

== כפילות הדט ==

בשביל להוכיח את כפילות הדט צריך להסתמך על כך שפונקציה שמקבלת A ומחזירה את הדט של AB היא כמו דטרמיננטה וכן את המשפט שאומר שפונקציה כמו דטרמיננטה זה בעצם (f(I כפול הדט של A מה צריך להוכיח ועל מה אפשר להסתמך?

וגם במשפט לאפלס(פיתוח לפי שורה ) אפשר להסתמך על חישוב לפי מטריצת בלוקים?

תשובה: לגבי כפליות הדטרמיננטה.

אני מתאר לעצמי שאפשר להסתמך על כך שפונקציה "כמו דטרמיננטה" היא <math>f(I)|A|</math>.
אבל בטח שצריך להוכיח ש <math>f(B)=|AB|</math> (או להפך, אני לא זוכר כרגע), היא כמו דטרמיננטה. זאת כל ההוכחה.

כדי להיות בטוח אני אשלח למיטל מייל.

לגבי משפט לפלס. אתה יכול לפרט יותר את השאלה? באיזה הוכחה אתה רוצה להשתמש (יש כמה) ועל איזה משפט בדיוק אתה רוצה להסתמך בלי הוכחה?
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:37, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל ממבחן דמה ==

http://www.math-wiki.com/images/d/d5/11Linear1Dumbtest2.pdf

לא הצלחתי לפתור את תרגיל 6 ו-5 סעיף א, אשמח לעזרה!

תשובה:

לגבי 5 סעיף א'. אני חושב שהכוונה היא כזאת:

היות ולמערכת יש <math>2</math> פתרונות, היא חייבת להיות מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. ויש משתנה חופשי אחד, כלומר דרגת המטריצה היא 2.

יש 4 מקומות במטריצה שאנחנו לא יודעים (ובכל אחד מהם יכול להיות 0 או 1).

סה"כ יש 16 אפשרויות לבדוק. שזה מעצבן אבל סביר, צריך לעבור על האפשרויות אחת אחת ולבדוק באיזה מהן אחת השורות תלויה באחרות (ולכן דרגת המטריצה היא 2).

כרגע אני לא רואה דרך יותר טובה לפתור את זה. אם למישהו יש רעיון אחר שיכתוב.

לגבי שאלה 6:
אני מכיר דרך לפתור את זה, אני לא יודע אם זאת הדרך הכי טובה.

אפשר לקחת בסיס כלשהוא <math>B</math> ל <math>V</math> ולקבל ש
<math>[T]_B[S]_B=[S]_B[T]_B</math> כלומר המטריצה המייצגת של <math>T</math> מתחלפת עם כל מטריצה אחרת.

בפרט היא מתחלפת עם מטריצות בסיסיות <math>E_{i,j}</math>. אם עובדים עם זה קצת, אפשר להוכיח ש <math>A=[T]_B</math> אלכסונית.

הוכחה פחות או יותר: כי אם <math>j \neq k</math> אז <math>E_{i,j}AE_{k,l}=A_{j,k}E_{i,j}</math>
אבל בגלל החילוף <math>E_{i,j}AE_{k,l}=AE_{i,j}E_{k,l}=0</math>

(אפשר גם להוכיח ש <math>A</math> סקלרית אבל זה לא נדרש כאן)

ואז הבסיס <math>B</math> הוא קבוצת הוקטורים המבוקשת.

(לידע כללי: התנאי שיש בשאלה הזאת הוא חזק מאוד, וההעתקות היחידות שמקיימות אותו הן כאלה של כפל בקבוע <math>T(v)=\alpha v</math>.)

כמו קודם, אני לא בטוח שזאת הדרך הכי פשוטה, מוזמנים להעלות עוד רעיונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה רבה, עזרת לי מאוד.

== משפט כפליות הדט' ==

*האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'? בהרצאה לא הוכחנו את זה אלא ציינו.

*האם אפשר להוכיח ככה:

נראה כי |f(A)=|AB היא כמו דט' על ידי כך שנראה כי היא (1)מתאפסת כאשר יש שתי שורות זהות, וכן (2) מחליפה סימן עם החלפת שורות.

(1) אם בA יש שתי שורות זהות, נקבל כי A|=0|, ולכן A לא הפיכה, וגם AB לא הפיכה (אם נניח בשלילה כי AB הפיכה בפרט הפיכה משמאל, לכן קיימת C עבורה AB)C=I), ולפי אסוצ' נקבל A(BC)=I כלומר A הפיכה משמאל, לכן הפיכה בסתירה), ואם AB לא הפיכה 0=|AB|, כדרוש.

(2)אם נחליף שתי שורות i,j בA ונסמן את המטריצה החדשה 'A, נקבל כי |A'|= -|A|. אפשר לרשום A'=pA, כאשר p היא מטריצה אלמנטרית של החלפת השורות i,j. .לכן מתקיים:

|(f(A')=|A'B|=|(pA)B|=|p(AB
קיבלנו מטריצה שבה שינו את השורות הi,j ולכן הדט' שלה היא |AB|-, כלומר מתקיים (f(A')= -|AB|= -f(A ,כדרוש.

תזכורת כי צריך גם להראות ליניאריות בכל שורה.

*אמרנו בהרצאה כי מספיק להראות את שתי התכונות הנ"ל כדי להוכיח כי פונ' כלשהי היא כמו דט'.

:זה משפט ש (pA)B=p(AB) ?

*תשובה: מדובר בשלוש מטריצות p,B,A ועבורן מתקיימת אסוצ' הכפל, הוכחנו בהרצאה (אצל מיטל אבל אני גם בטוח שגם אצל אלי הוכיחו, זה בסיסי ממש).

נראה לי שיותר קל להראות את זה עם כפל שורה שורה ואז להשתמש בתכונות של הדטרמיננטה

תשובה: אני חושב שחלק מהדברים שנכתבו כאן למעלה לא נכונים.

יש שלוש תכונות (כמובן חוץ מהדרישה ש <math>f(I)=1</math> שלא דורשים בשביל "כמו דטרמיננטה").

1) מולטי לינאריות.

2) אם יש שתי שורות זהות הדטרמיננטה היא 0.

3) חילוף של שתי שורות משנה את הסימן של הדטרמיננטה.

למיטב ידיעתי.

1+2 גורר את 3.

1+3 גורר את 2 (אולי חוץ מאשר כשעובדים מעל שדות עם מאפיין 2).

2+3 לא גוררים את 1, אין לי דוגמא כרגע בשלוף אבל אני אהיה מאוד מופתע לגלות שזה נכון, אף פעם לא ראיתי כזה טיעון.

באמת, כדי להוכיח ש<math>f(A)=|AB|</math> מקיימת את 2 מוכיחים כמו שהראו פה למעלה.

ובנוסף צריך להוכיח שהיא מולטי לינארית (עושים את זה עם כפל שורה -שורה, זה לא כזה מסובך).

אחרי שמוכיחים את זה, זה נותן ש <math>f</math> היא "כמו דטרמיננטה".--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:23, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

*אתה יכול להראות איך עושים את זה?

ועלתה לי עוד שאלה בנושא הזה - מה בדיוק הרעיון של מולטי לינאריות? אני מוכיח כי מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/9/9e/Daum_equation_1346219922031.png]

אבל בעצם המטריצה השנייה באגף הימני היא מטריצה עם שתי שורות זהות (השורה הj חוזרת על עצמה פעמיים), והדט' שלה היא אפס, אז אי אפשר להשמיט את זה?

תשובה:

אם <math>A = \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i + \alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}
</math>

אז
<math>f(A)=|AB|=

| \begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i +\alpha v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix}B|</math>

לפי כפל שורה שורה זה

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & (u_i +\alpha v)B & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

וזה כמובן שווה ל

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB +\alpha vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

לפי מולטי-לינאריות של דטרמיננטה

זה שווה ל

<math>| \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & u_iB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|
+\alpha | \begin{bmatrix} - & u_1B & - \\ - & u_2B & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1}B & - \\ - & vB & - \\ - & u_{i+1}B & - \\ & \vdots & \\ - & u_nB & - \end{bmatrix}|</math>

שזה שוב לפי כפל שורה שורה

<math>f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & u_i & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})+ \alpha f(\begin{bmatrix} - & u_1 & - \\ - & u_2 & - \\ & \vdots & \\ - & u_{i-1} & - \\ - & v & - \\ - & u_{i+1} & - \\ & \vdots & \\ - & u_n & - \end{bmatrix})</math>

תשובה לשאלה השניה שלך:
מולטי לינאריות אומרת שאם שורות המטריצה הן <math>u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n</math>

אז <math>f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i+\alpha v, u_{i+1} , \ldots , u_n)=f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, u_i, u_{i+1} , \ldots , u_n)+\alpha f(u_1,u_2, \ldots , u_{i-1}, v, u_{i+1} , \ldots , u_n)</math>

איפה באיבר השני יש שורה שחוזרת על עצמה?

<math>v</math> לא חייב להיות קשור ל <math>u_j</math> כלשהוא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:17, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

*הבנתי, תודה רבה!

== איך פותרים את שאלה 4? ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a60.pdf
יש שיטה כלשהי חוץ מלהציב כל ערך אפשרי ולבדוק?

אפשר באמצעות חילוק פולינומים (x=-1 הוא פתרון).

כמו שרשמו מעלי זה נכון, אבל בתכלס הדרך הכי פשוטה פה זה פשוט להציב זה ממש פשוט שאלה מתנה, אם זה מZ של 7 נגיד 50 אתה פשוט עושה כמו שרשמו מעלי, מחשב את זה כמו משוואה רגילה ואז עושה את המודולו.

== מתי המבחן? ==

?

*יום חמישי (מחר) בשעה 16:00.

== הוכחה ל16 ==

אתה יכול להוכיח את משפט 16?
תשובה : קח תהנה http://www.siz.co.il/view/joftnmng1ixc.png.htm
אנשים תעזרו אחד לשני

בשביל להוכיח שההעתקה היא חח"ע אפשר לעשות את זה ככה?:
<math>[T1]^B_C = [T2]^B_C</math>

ולכן
<math>[T1-T2]^B_C = 0</math>

אבל רק
<math>[0]^B_C = 0</math>

ולכן
<math>T1-T2 = 0</math>

ואז
<math>T1 = T2</math>

???
לא יודע (אני לא מתרגל או מרצה) אבל ההוכחה היא כל כך פשוטה למה סתם להסתבך?

* הוכחה נוספת היא בעזרת חישוב הגרעין, והיא הכי פשוטה לדעתי. הגרעין יכול להכיל רק את העתקת האפס, אחרת יהיה איבר במטריצה המייצגת שאינו אפס, והיא תהיה שונה ממטריצת האפס בניגוד להגדרת הגרעין. לכן הגרעין הוא רק אפס (והכוונה כאן להעתקת האפס), כלומר ההעתקה היא חח"ע.

לא הבנתי למה צריך להוכיח שזו הע"ל, לא מספיק רק חח"ע ועל???

*לא להוכיח שזו הע"ל זה קצת בעיה, כי כל מה שהגדרנו עובד על הע"ל, ולא סתם על פונקציה. בכל מקרה פה ההוכחה היא שורה-שתיים, ככה שזו לא בעיה.

== כשאומרים יחידות הצגה (משפט 2) ==

זה אומר שאם:

<math>v_1 = u_1 + w_1</math>

וגם
<math>v_1 = u_2 + w_2</math>

אזי
<math>u_1 = u_2</math>
<math>w_1 = w_2</math>
זה לא מדויק זה קצת יותר מסובך, אתה צריך להראות שבגלל שהם זרים ( חיבור ישר) אז הדבר הזה מתקיים ולא לגמרי ככה.
בגלל שהם זרים אז u1 -u2שייך לחיתוך בניהם ובגלל שהחיתוך ריק אז הם שווים לוקטור האפס ולכן הם שווים .

אני לא מדבר על ההוכחה, אני שואל האם זו ההגדרה ליחידות הצגה?

*ההגדרה היא שיש דרך אחת בלבד "להרכיב" אותו בעזרת וקטור מU ווקטור מW. ההגדרה שהבאת נכונה.

== משפט 10 ==

אני לא מבקש את ההוכחה היא די פשוטה העניין הוא כזה, במבחן יכולים לבקש ממני לנסח את כולו או שייתנו לי אותו (כולל כל הסעיפים) ואז יבקשו רק שאני יוכיח מסעיף לסעיף?

תשובה: למרות שלא נראה לי סביר שיבקשו לנסח, יכולים לבקש.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 15 ==

המטריצה לא אמורה להיות ריבועית? (כתוב שהיא m על n)

*לא, היא יכולה להיות מגודל mXn גם אם m שונה מn.

לא בגלל שתחשוב על זה ככה אם דרגת המטריצה שווה לn אז גם דרגת העמודות, כלומר לא קיים אף עמודה שאין לה איבר חופשי, לכן יש N שורות לא ריקות במטריצה המדורגת, אבל אולי יש כמה ריקות, המשפט מנסה להראות שהוא נכון גם בעוד מצבים חוץ מאשר שהמטריצה ריבועית ובגלל זה רשמו n ו m.

צודק, חשבתי שהם רצו שנכפיל בהופכית..

== בשביל להוכיח את כפליות הדטרמיננטה ==

אפשר להסתמך על זה שב "כמו דטרמיננטה" |f(A) = f(I) * |A?

אני מתאר לעצמי שכן. שלחתי על זה מייל למיטל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:56, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

== שעה ==

באיזה שעה המבחן מחר? מצפה לתשובה עם הוכחה. :) [[משתמש:ABAB|ABAB]] 16:15, 29 באוגוסט 2012 (IDT)

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-28T18:27:39Z

ABAB: /* משפט כפליות הדט' */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תשובה במשוואה מרוכבת ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
האם פתרון של משוואה מרוכבת יכול לצאת עם שורש i ?

תשובה: הפתרון (או פתרונות) למשוואה מרוכבת צריך להיות מוצג בצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.

בלי שורש <math>i</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:02, 16 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 בתרגיל 1, טקסט לא מובן ==

האם הנקודה האחרונה היא (t,4)?
אם כן, האם צריך לבטא בעזרת הפרמטר t ?

תשובה: אכן, הנקודה האחרונה היא <math>(t,4)</math>.
יש לבטא את התשובה באמצעות <math>t</math> ולשים לב לאפשרויות השונות שיכולות להיות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 16 ביולי 2012 (IDT)

== מערכת משוואות ==

האם אני חייב לפתור את המערכת משוואות בעזרת מטריצה או שאני יכול לפתור אותן בדרך הישנה כמו שמלמדים בתיכון (בדרך של הצבה). (שאלות 7-9)

תשובה: המטרה היא לתרגל דירוג מטריצות, אז כן, צריך להשתמש במטריצות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:33, 17 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 1 שאלה 9 ==

אין שום הבדל בין שאלה 8 ל9 מבחינת דרך הפיתרון (רק השדה שונה) . צריך לפתור את שאלה 9 בדרך שונה משאלה 8? או לפתור אותה בדיוק כמו שאלה 8?

תשובה:
אני לא יכול להגיד באיזה דרך צריך לפתור.

צריך לפתור את שאלה 9 ולהגיע לתשובה נכונה.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 עובדת בשאלה 9, אז תשתמש באותה דרך.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 לא עובדת, אז תשתמש בדרך אחרת.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:31, 19 ביולי 2012 (IDT)

== כמה שאלות לגבי התרגילים ==

1. האם אני צריך להראות את צורת הפתרון הסופי כאשר יש אינסוף פתרונות?
2. האם אני יכול להניח ב8 ש <math>b</math> שונה מאפס?
3. איך אני אמור לפתור את 9 אם אני לא יודע אם a גדול או קטן מ7 (מבחינת מודול)

כמה תשובות:

1) כן.

2) לא. אבל אתה יכול להפריד למקרים.

3) זה לא ממש אמור לשנות לך. <math>a</math> הוא איבר של <math>\mathbb{Z}_7</math>. בכל מקרה במודולו <math>7</math> הוא שווה לאחד מ
<math>\{0,1,\ldots,6\}</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:25, 19 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל בית 1 - שאלה 9 ==

האם אפשר להבין מכך שהמשתנים נמצאים במשוואות הנתונות שהם בין 0 ל-6 (כלומר a, a+3, a^2, b נמצאים בתחום הזה)?

תשובה: כל מספר שלם (כולל <math>a^2,a+3 </math> וכו') שווה במודולו 7 למספר בין 0 ל 6.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:27, 19 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

רק לוודאות: כשכתוב לפתור את מערכת המשוואות עם הפרמטר הכוונה למצוא פיתרון יחיד? או שהכוונה מתי אינסוף פתרונות וכו'...

תשובה: לפתור את המערכת אומר:

1) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש פתרון יחיד - ולמצוא את הפתרון.

2) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים אין פתרון.

3) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש אינסוף פתרונות - ולמצוא את הפתרון הכללי.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:27, 20 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

איך אמורים לפתור את התרגיל הזה? צריך גם לחשוב על מספרים שיהיו בשדה וגם על החיבור והכפל שלהם..

:תשובה: כן. צריך לקחת ארבעה מספרים או סימנים כלשהם (<math>\{0,1,2,3\}</math> או <math>\{a,b,c,d\}</math> - זה לא באמת משנה) ולהגדיר על ארבעת האיברים האלה כפל וחיבור כך שכל האקסיומות של שדה מתקיימות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:29, 20 ביולי 2012 (IDT)

אבל לא משנה איך מסדרים את האיברים, יצא לנו או שדה על mod 4 - סתירה (4 לא ראשוני), או (שני איברים ניטרלים לכפל או לחיבור).

:שדה עם 4 איברים לא אומר שכל האיברים שונים. שני איברים נייטרלים לחיבור אומר שהקבוצה היא לא שדה רק אם שניהם שונים, אותו דבר לגבי כפל. [[משתמש:אלמוג אלפסה|אלמוג אלפסה]] 09:53, 21 ביולי 2012 (IDT)

::לא ייתכנו שני איברים נייטרלים לפעולה אחת. קל להוכיח שאיבר נייטרלי לפעולה הוא יחיד (מה יהיה סכום איברים נייטרלים שונים לחיבור?). אבל הפעולות לא חייבות להיות כמו Z ארבע, יש הרבה מאד דרכים להגדיר את הפעולות בין האיברים. אחת הדרכים תתן שדה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל לא יכולים להיות איברים כפולים בשדה, כי שדה זה קבוצה, ובקבוצה מורידים איברים כפולים

== רק להיות בטוח ==

כשאומרים פתירת מערכת מעל שדה כלשהו(נגיד Z 7), מתכוונים שרק הנעלמים שייכים לאותו השדה או שגם הפרמטרים?
:הכל שייך לשדה. כלומר, אם מבקשים ממך לפתור את 31x=3 מעל Z7, קודם הייתי מוצא מה הערך של 31 ב-z7 ואז ממשיך...
::אבל אם נגיד אתה מחלק 3 ב 37, אז יוצא לך מספר לא שלם, אז איך אתה יכול לפתור אותו מעל Z7?
:::אתה יכול לפרק 37=a*7+b כאשר a מקסימלי. במקרה כזה, ב-z7, שלושים ושבע יהיה שקול ל-b.
::::לא ממש הבנתי.. נגיד 4X = 25 מעל Z11, למה יהיה שווה X?
:::::לכל מספר בשדה יש הופכי, אתה כופל בהופכי בשני הצדדים. בדוגמא שהבאת, ההופכי של 4 הוא 3 (שכן 12=1 מודולו 11). לכן איקס שווה ל75=9 מודולו 11. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה לגבי דירוג משוואות ב12 ==

חובה לדרג את המשוואות או שאפשר פשוט להביא את המקרים של a בשדה?
:לדרג, זה מה שלומדים בתרגיל הזה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' ==

ב':אני חושב שאמור להיות שהעמודה ה-J שווה לעמודה ה-I של A כי ה-1 הוא האיבר ה-I בעמודה J
ואותו הדבר לגבי סעיף ג':שורה i שווה לשורהJ של A

תשובה: אתה צודק, יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:09, 22 ביולי 2012 (IDT)

עלתה גרסא מתוקנת. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

מה הכוונה במטריצות סגורות לכפל? לא זכור לי שעברנו על זה בתרגיל/הרצאה.

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

כלומר השאלה היא בעצם אם אכפול שתי מטריצות סקלריות, האם אקבל מטריצה סקלרית?
האם צריך להוכיח/להפריך את התשובה, כי השאלה שואלת רק אילו סגורות ואילו לא.
:כמובן שיש להוכיח/להפריך --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]]

== שאלה 2 חלק שני ==

בשאלה 2 אני צריך להניח שמיספר השורות ב A שווה למיספר העמודות ב E? או שזה ברור?

תשובה: כן. <math>A,E_{i,j}\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בשעורי בית 2 ==

בשאלה 3 סעיף ג', שואלים עברו אילו ערכי a , b המטריצה הפיכה, ומה ההפיכה עבור ערכים אלו.

עכשיו אני הצחלתי להגיע לאילו ערכי a ,b '''אין''' הפיכה.. אז מה להגיד שעבור כל ערך שהוא לא מה שמצאתי יש הפיכה??

כי ביקשו עבור ערכי a,b ספציפיים..

תשובה: אין בעיה להגיד שעבור כל <math>a,b</math> פרט למקרים מסוימים המטריצה הפיכה.

אבל בשביל המקרים שהיא הפיכה צריך למצוא את ההופכית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:43, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ש"ב 2 ==

בסעיפים א' ו ב' של התרגיל היה צריך להוכיח האם משהו עם הקבוצה שווה להופכי שלה.
עכשיו בסעיף האחרון שאלו האם A בהכרח הופכית, וגיליתי שלא בהכרח...

אז זה אומר שסעיפים א' ו ב' לא נכונים?

תשובה: אם ל<math>A</math> אין בהכרח הופכי אז באמת א' וב' הם מיידית לא נכונים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:46, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 4 סעיף ג ==

האים מטריצה ריבועית עם 4 איברים שכולם 1 נחשבת למטריצת האפס?

תשובה: מטריצת האפס היא המטריצה שכל הערכים בה הם <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 24 ביולי 2012 (IDT)

== הגדרות לשאלה 7 ==

היות וכמה אנשים שאלו אותי היום. אני כותב כאן את ההגדרות הרלוונטיות לשאלה 7.

מטריצה <math>A</math> נקראת

1)משולשית עליונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>j<i</math>.

2)משולשית תחתונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i<j</math>.

3) משולשית אם היא משולשית עליונה או תחתונה.

4) אלכסונית אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i\neq j</math>.

5) סקלרית אם <math>A=c\cdot I</math> כאשר <math>c\in \mathbb{F}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:55, 24 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

מה זה אומר אחד חלקי טראס איי?
1/tr(A)?

תשובה: אם <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> אז <math>tr(A)\in \mathbb{F}</math>.

לכן, אם <math>tr(A)\neq 0</math> קיים לו הופכי. ההופכי הוא <math>\frac{1}{tr(A)}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ==

האם העובדה שנתון A^2=-I פירוש הדבר שקיימת אחת כזאת (מגודל nXn)?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

מה בדיוק הכוונה בסעיף ג'? איך אני יכול להוכיח שA כזאת היא בהכרח הפיכה?

תשובה: אם תצליח למצוא הופכי זה אומר שהיא בהכרח הפיכה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בתרגיל 2 ==

בסעיף ג', אני יודע שהמטריצה לא הפיכה ל a=0 וגם b=0 , אבל אני לא יודע אם זה המקרה היחיד.
אפשר כיוון ?

רמז: במקום לנסות לחפש מתי המטריצה לא הפיכה, תנסה למצוא את ההופכית שלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:33, 25 ביולי 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 4 תרגיל 2 ==

בסעיף א' האם הככונה למצוא 3 מטריצות ספיציפיות המקיימות את הדרישות או למצוא מטריצה A המקיימת את הדרישות לכל B ו C

תשובה: למצוא שלוש מטריצות ספציפיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:26, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 מטריצות הפיכות ==

מותר בכפל מטריצות להפוך AxB)x(BxA) ל Ax(BxB)xA?

תשובה: כן.

<math>(A\cdot(B\cdot B))\cdot A = A\cdot((B\cdot B)\cdot A) = (A\cdot B)\cdot(B \cdot A)</math>.

זה נובע מחוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) של כפל מטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:30, 25 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 2 סעיף ד׳ ==

באגף ימין, איך אפשר לכפול איבר במטריצה?

תשובה: <math>a_{j,k}\in \mathbb{F}</math>. זה כפל של סקלר במטריצה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

עפ"י חוק בפילוג בשדה F , אז (סיגמה של אברי מטריצה משדה F כפול סקלר s מ F) שווה (לסיגמה של s כפול אותם אברים ) ?

תשובה: כן. אם <math>s,a_0,\ldots,a_n\in \mathbb{F}</math> אז

<math>s \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n a_i = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n (sa_i)</math>

אפשר להוכיח את זה באמצעות פילוג ואינדוקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 26 ביולי 2012 (IDT)

אבל אני לא צריך להוכיח נכון ?

תשובה: לא צריך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 27 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 א ==

לא הבנתי איך להוכיח את זה כי זה ברור

== תרגיל 2 - חיבור מטריצות -מופיע במספר שאלות ==

איך אני מחבר מטריצות?
נגיד נתון לי A ו B מעל שדה F 3*3
אז החיבור שלהם A+B - למה הוא שווה?
ואיך מבצעים את זה?

לדוגמא זה מופיע בשאלה 5 ב' ושאלה 4 סעף ג'

תשובה: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 28 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

כשאני מוכיח שיש סגירות במטריצות סקלריות אני יכול להשתמש בלי להוכיח את חוק החילוף לכפל של סקלרים(aA=Aa כאשר a סקלר בשדה F וA מטריצה במרחב <math>F^{n*n}</math>?
--[[משתמש:Avital|Avital]] 22:58, 27 ביולי 2012 (IDT)

תשובה: אפשר להסתמך על החוק הזה בלי להוכיח אותו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:00, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 4 סעיף ג' ==

כתוב שצריך לתת דוגמא למטריצות A ו- B הפיכות כך ש- A+B!=0 (לא שווה )

מה הכוונה בהפיכות ?- שהן אחת הופכית של השנייה ? או שני מטריצות הופכיות שלא קשורות אחת לשנייה ?

ומה הכוונה ב- A+B ? איך מחברים מטריצות ?

תשובה: כל אחת מהן הפיכה ואין להן בהכרח קשר אחת עם השניה.

לגבי חיבור מטריצות: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:07, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 7 ==

מה הכוונה -אילו מקבוצות המטריצות הריבועיות סגורות לכפל?

מה הכוונה '''סגורות לכפל''' ?

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 1 תרגיל 3 ==

האם אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר שראינו בהרצאה? (כלומר עם שלושת התנאים: W ת"מ אם"ם W לא ריקה וגם W סגורה לכפל בסקלר וחיבור).

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:03, 29 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 א' בתרגיל 2 ==

בשאלה זו ניתן להגיד כי A כפול A במינוס 1 =I, כלומר A הפיכה, מכיוון שמזכירים את A במינוס אחד ?
אם לא מה אומר A במינוס אחד ?

תשובה: אתה לא יכול להניח ש <math>A</math> הפיכה רק בגלל שכתוב בסעיף א' (וב') <math>A^{-1}</math>.

אתה כן יכול לומר שאם <math>A</math> לא בהכרח הפיכה אז ברור ש א' וב' לא נכונים כי עבור <math>A</math> לא הפיכה, <math>A^{-1}</math> לא קיים בכלל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 30 ביולי 2012 (IDT)

== דחוףף ==

יש לי הארכת זמן ולא קיבלתי מייל לאן אני צריך ללכת כדי להראות שיש לי הארכת זמן ,מישהו יכול להגיד לי לאן ללכת ועם מה? למי להתקשר?

== שדה אינסופי ==

האם אפשר להניח בלי הוכחה שchar(F)=0 => השדה F אינסופי?

תשובה: כן. (למרות שאני מקווה שאתם יודעים איך להוכיח את זה). --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:09, 30 ביולי 2012 (IDT)

נתבונן בקבוצה 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1....

(1 הוא 1 של השדה)

בגלל סגירות לחיבור, כל האיברים נמצאים בשדה. המאפיין הוא אפס, לכן לא משנה כמה פעמים נחבר נקבל איברים שונים. מכאן כבר שיש אינסוף איברים בשדה F, והוא אינסופי.

== תרגיל 3 -טעות בשאלה 4 ג' ==

בשאלה 4 ג'.
צריך להניח בנוסף ש <math>A \neq \emptyset</math>.

גרסא מתוקנת תעלה בהמשך היום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:07, 31 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

שלום,
בתרגיל 3 שאלה 2 מה סדר הפעולות באגפים הימניים? משמאל לימין או שהחיבור בסוף?
תודה מראש :)

תשובה: החיבור בסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:42, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== בוחן 7.8 ==

מה מבנה הבוחן בשלישי? כמה שאלות וכמה נקודות לשאלה???

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

כל הסעיפים מכילים את אותם ביטוים משני הצדדים. צריך להוכיח עבור שני סעיפים ולהפריך עבור השנים האחרים ?

תשובה: אני לא רוצה להגיד כמה סעיפים נכונים וכמה לא.

זה נכון שבגלל שכל הסעיפים קשורים, זה יכול להקל עליכם קצת.

למשל, אם הצלחת להוכיח את א' זה מייד אומר שב' לא נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== כיתות לימוד מחר ==

שלום, באילו כיתות אנו לומדים מחר?

תשובה:
שימו לב לשינוי הכתות באופן חד פעמי ליום חמישי 2/8/12

ההרצאות במקום הרגיל ב 604 61/62

התרגיל של אפי יתקיים בכיתה 403/2 בשעה 13

שירה 404/102

ארז 404/114

איתמר 404/115
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:24, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 3 ==

עוד לא הבנתי מה ההבדל בין (sp(A+B לבין (B או sp(A ובין spA + spB לבין spA איחוד spB
מישהו יכול להסביר לי עם דוגמה??

תשובה:

<math>A \cup B</math> זאת קבוצה שמכילה את כל איברי <math>A</math> ו <math>B</math> (האיחוד שלהם).
<math>A+B</math> זאת קבוצה של כל האיברים שהם חיבור של משהו מ <math>A</math> ומשהו מ <math>B</math>.

דוגמא:

אם <math>A = \{(1,2), (3,4)\}</math> ו <math>B= \{(5,6)\}</math>

אז

<math>A \cup B = \{(1,2) , (3,4) , (5,6)\}</math>

אבל

<math>A+B = \{(6,8), (8,10)\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:35, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

רגע ומה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB??

לא הגדרנו את החיבור רק עבור מרחבים ווקטוריים? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 17:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להכליל את זה, כך ש-A+B היא קבוצה של איברים ששווים לסכום של איבר כלשהו מ-A עם איבר כלשהו מ-B. הגדרה זו תופסת גם עבור קבוצות כלשהן שאינן מרחבים וקטוריים, כל עוד מוגדרת פעולת חיבור מתאימה.

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף ב ==

האם SPAN של (1,0)איחוד (0,1) יוצר את המישור (Rבריבוע) או שווה לצירים בילבד

תשובה: <math> span(\{(1,0),(0,1)\})</math> יוצר את המישור.

כל וקטור במישור <math>(a,b)</math> הוא צירוף לינארי <math>(a,b) = a(1,0) + b(0,1)</math> ולכן

<math>(a,b) \in span(\{(1,0),(0,1)\})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתי לך!!!! אייי ! חח אל תשכח את הדוריטוס ;)

== שאלה ==

אם למטריצה יש שורת אפסים זה אומר שאין לה בסיס??

תשובה: אתה צריך להסביר את השאלה יותר טוב.

בסיס יש למרחב וקטורי (לכל מרחב וקטורי).

מטריצה (אחת) היא לא מרחב וקטורי (אלא אם כן היא מטריצת האפס).

מה המרחב הוקטורי שאתה מדבר עליו?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 7 ב למע' המשוואות מתקבלת שורת אפסים (אחרי שהפכתי אותה למטריצה) אז השאלה היא האם יש לה בסיס

תשובה: למרחב הפתרונות של כל מערכת משוואות הומוגנית יש בסיס. (כמו לכל מרחב וקטורי).

לכן, גם לפתרונות של המערכת בשאלה יש בסיס. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

האם בשביל להוכיח ששני תתי מרחבים הם שונים מספיק לתת דוגמה שהם שונים או שצריך להוכיח שלא משנה מה תציב הם יהיו שונים

תשובה:
הטיעון
<math>U \cap (V+W) = U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> יהיה שוויון.

הטיעון <math>U \cap (V+W) \neq U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> לא יהיה שוויון.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:43, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

זה עונה על השאלה תודה

== שאלה כללית ==

האם הספאן של (1,0) פלוס (של מ"ו) הספאן של (0,1) שווה לספאן של (1,0) (0,1)? האם זה אומר שחיבור הספאנים הנ"ל פורש את R^2?

הוא כבר ענה על זה, תראה 3 שאלות למעלה

== שאלה 1 ==

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:12, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אז מה הקטע של התרגיל? פשוט אומרים לפי הקריטריון המקוצר...?

תשובה: אולי אנחנו מדברים על דברים שונים.

כשאני אומר שאפשר להשתמש בקריטריון המקוצר אני מתכוון שאפשר להשתשמש במשפט שראיתם בהרצאה שאומר:

<math>W</math> תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים.

1) <math>W \neq \emptyset</math>.

2) <math>u,v \in W \Rightarrow u+v \in W</math>.

3)<math>u \in W, \quad \alpha \in \mathbb{F} \Rightarrow \alpha u \in W</math>.

בהינתן המשפט הזה, צריך לעשות עוד קצת עבודה כדי להוכיח את מה שכתוב בתרגיל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:36, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:בכיתה לימדת אותנו שבמקום 2 ו 3 צריך שיתקיים <math>u,v \in W \Rightarrow u+ \alpha v \in W</math>.

::זה שקול, פשוט בתנאי הנ"ל תקח פעם אחת alpha=0 ופעם אחרת u=0 ותקבל את הנדרש.

אז זה כל מה שצריך לרשום?

בגדול, כן. רק שימו לב שבפתרון שלכם (במיוחד בהוכחה שהנתונים בשאלה 1 <math>\Leftarrow</math> מרחב וקטורי) אתם משתמשים רק בנתונים שיש לכם. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:15, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 6 ==

אם אני רוצה להפריך טענות, אני צריך להביא בתור דוגמא U ו V מסויימים ו B1 ו B2 מסויימים ולהראות שזה לא מתקיים?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:13, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== חומר לבוחן ==

עד איפה החומר לבוחן ביום שלישי? עד איזה חומר ללמוד? ועד איזה שיעור זה ? תודה!

תשובה: עד החומר שלמדתם ביום חמישי 26/7 (כולל) שזה אומר:

שדות, מערכות משוואות לינאריות, מטריצות, כפל מטריצות והפיכות מטריצות.

מרחבים וקטוריים, כולל בסיס ומימד כולל משפט השלישי חינם (נדמה לי שלא כולל משפט המימדים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:40, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

אם לדוגמא אני במ"ו מעל שדה Z5 לדוגמא, אז האם גם המספרים בוקטורים הם מתוך השדה?
לדוגמא בשדה הנ״ל יכול להיות לי הוקטור (7,3,9)?

תשובה: אם אתה מסתכל על המרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> אז כן, המספרים בוקטורים הם מתוך השדה.

למשל: במרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^3</math>

מתקיים ש <math>(7,3,9) = (2,3,4)</math> כי הכל במודולו <math>5</math>.

אבל <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> הוא לא המרחב היחיד מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>, יש עוד ( נגיד מטריצות עם ערכים מ <math>\mathbb{Z}_5</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אני מתכוון לכך שיהיה V מ"ו מעל שדה Z5. אז זה אומר שגם המספרים בוקטורים חייבים להיות מעל Z5?
:ודאי. למשל אם (7,3,9) וקטור כנ"ל, אתה מתייחס ל-7,3,9 כאיברים של Z5.

מה זאת אומרת להתייחס לוקטור 7,3,9 כאיברים של Z5? ב Z5 אין 7 ו 9.

ב <math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים <math>7=2</math> ו <math>9=4</math> (כי את כל המספרים מחשבים במודולו <math>5</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

'''מה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB???'''
:בחיבור אתה מקבל קבוצה בה כל האיברים הם תוצאה של חיבור של איבר מהקבוצה הראשונה עם איבר מהקבוצה השנייה, בעוד שבאיחוד אתה תקבל קבוצה של איברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. זה לא אותו דבר, ולמעשה במקרה שלנו האיחוד שכתבת מוכל בתוך החיבור (וזאת משום שכל אחד מהנפרשים מכיל את ווקטור האפס, ובפרט וקטור האפס עם כל וקטור אחר יהיה שווה לאותו וקטור אחר). אם אתה רוצה לראות שלעתים הם גם שונים, תקח <math>A=(1,0); B=(0,1)</math> מעל הממשיים ותפתח

== תרגיל 3 ==

לאיתמר,
עכשיו גיליתי שהיום שכחתי להגיש את תרגיל 3. יש משהו שאפשר לעשות? יעזור אם אסרוק את כל הדפים ואשלח לך במייל?

בתודה מראש, אביחי מרמור: avichai@elmar.co.il. [[משתמש:Avichai|Avichai]] 23:16, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== בבוחן יהיו שאלות כמו שאלות 1,2 בתרגיל 4 ==

???

תשובה: הנושאים שמכוסים על ידי תרגילים 1,2 נמצאים בחומר לבוחן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 6 באוגוסט 2012 (IDT)

1. אבל למדנו את זה אחרי היום שבו אמרו שעד אז זה החומר למבחן..

2. יש עוד שאלות בתרגילים שזה לבוחן?

תשובה:

1) דברים יסודיים לגבי מרחבים וקטוריים (כולל בסיס ומימד) נמצאים בחומר לבוחן.

תרגילים 1-2 עוסקים בטכניקות עבודה עם מ"ו, בלי משפט המימדים, בלי מטריצות מעבר בין בסיסים,בלי דרגה של מטריצה, לכן זה בחומר.

2) לא (אני מצטער שהתשובה הזאת מגיעה אחרי שכבר עשיתם את הבוחן).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:38, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתירת מערכת משוואות מעל Zp ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
אם אני פותר מערכת מעל Zp.
האם אני יכול להמיר למטריצה ולדרג כאילו אני בR ורק בסוף לעשות modp על התוצאה?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:29, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 ==

אין שאלה 4 בתרגיל 4 - שכחתם להוסיף או שיש רק 8 תרגילים?

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

צריך להוכיח שקיים וקטור. האם אפשר להניח בשלילה שלכל וקטור הטענה לא נכונה, ואז לתת דוגמה נגדית ספציפית כדי לקבל סתירה או שצריך בכלליות? תודה מראש

תשובה: אפשר להניח בשלילה שהטענה לא נכונה, ואז לכל וקטור <math>v \in \mathbb{R}^n</math> מתקיים <math>A^{k-1}v = 0</math>.

אם כשאתה כותב "דוגמא נגדית ספציפית" אתה מתכוון, לבחור <math>A</math> ו <math>v</math> מסוימים, אז לא ייתן סתירה.

כי בשאלה ישנו כבר <math>A</math> נתון בשאלה (שאנחנו אמנם לא יודעים מהו) ודווקא בשבילו צריך להראות שלא ייתכן

<math>A^{k-1}v=0 \quad \forall v \in \mathbb{R}^n</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:15, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 - שאלה 6 לא מובנת ==

לא הבנתי בשאלה 6 למה הכוונה "קטן גדול או קטן מ...", תוכלו להסביר מה צריך למצוא?

תשובה: אתה צודק, צריך להיות כתוב: קטן, גדול, או שווה ל...

כלומר צריך למצוא איזה מהבאים מתקיים

* <math>dim(U_1 \cap U_2) = dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) < dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) > dim(U_1 \cap U_3)</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:18, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

האם בשאלה5 U וW תתי מרחב או שהם רק קבוצות המוכלות בV?

(תלמיד) - לדעתי ניתן להסיק שהם ת"מ כי בנתון יש dim U וגם dim W, לכן הם מ"ו ובפרט ת"מ של V --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:12, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: נכון. הם תתי מרחבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 1 סעיף ב' בלינארית ==

אני עשיתי מערכת עם שתי משוואות, ע"י הצבה של איקסים לפי הנתונים, והגעתי למשוואות של המקדמים לפי הבסיס.
דירגתי מצאתי פתרון כללי והוצאתי את הפרמטרים וקיבלתי בסיס למשהו, אין לי מושג למה ואיך אני מגיע ממנו לבסיס של W ?

למה דילגתם עליי? מה זה כי אני שחור?
סתם הצלחתי תודה בכל מקרה

תשובה: דילגתי כי לשאלה שלך היה קצת יותר קשה לכתוב תשובה.

בדיוק עמדתי להעלות את התשובה הזאת (בכל מקרה אני שמח שהצלחת):

* הגעת למערכת משוואות על מקדמי הפולינומים - כל פולינום שמקדמיו פותרים את המשוואה נמצא ב <math>W</math>.

* דירגת ומצאת פתרון כללי - כל פולינום שמקדמיו הם מהפתרון הכללי נמצא ב <math>W</math>.

* הוצאת את הפרמטרים וקיבלת בסיס - קיבלת בסיס עבור וקטור המקדמים של פולינומים שנמצאים ב <math>W</math>.

מכאן אני מקווה שברור מה הבסיס של <math>W</math> צריך להיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:41, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה :)

== שאלה 2 ==

מערכת משוואות ליניאריות זה שיש מיקדמי אלפה אחד אלפה שתיים אלפה שלוש או שצריך לצמצם אותם ולהגיע למשוואה שיש בה רק X,Y,Z,W?

תשובה: צריך להגיע לתשובה שיש בה רק <math>x,y,z,w</math>.

כלומר התשובה לסעיפים א' ו ג' צריכה להיות מערכת משוואות ב <math>x,y,z,w</math> בלבד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:25, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

האם ה dim של 0 (שהוא תת מרחב) שווה ל 1 או 0?

תשובה: <math>dim\{0\}=0</math> כי הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> ויש בו 0 איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:27, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

למה ה dim של 0 זה אפס? הרי בבסיס של 0 יש איבר, והוא אפס (הוא פורש אותו)?

תשובה: <math> \{0\}</math> הוא לא בסיס כי הוא תלוי לינארית.

הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> (קבוצה ריקה) ובה יש <math>0</math> איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:16, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 7 תרגיל 4 ==

נתון ש A^k-1 שונה מאפס.. נכפיל ב A משני הצדדים נקבל A^k שונה מאפס.. בסתירה לנתון שהוא שווה לאפס.

אם A שווה לאפס, אז זה סתירה לנתון ש A^k-1 שונה מאפס (כי 0 בחזקת הכל זה אפס)

???

תשובה: <math>A^{k-1}\neq 0</math> לא גורר ש <math>A^k \neq 0</math>.

באופן כללי <math>B \neq C</math> לא גורר ש <math>AB \neq AC</math>.

וזה מפני ש <math>AB = AC</math> לא גורר ש <math>B=C</math>. (הייתה כזאת שאלה בתרגיל 2)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 ==

בשאלה זו, מספיק לתת דוגמה של תתי מרחבים שעונים על כל הדרישות בשאלה ואז ע"פ הנתונים שנתתי, אפשר למצוא האם (dim(u1 ^ u2 גדול, קטן או שווה ל - (dim(u1^u3 ? כי הרי התשובה הנכונה נכונה לכל דוגמה שאתן אז אפשר לתת דוגמה אחת כדי לראות מה נכון? זה פתרון אפשרי לשאלה?

תשובה: צריך להוכיח שאחד המקרים מתקיים ואי אפשר להסתפק בדוגמא.

זה נכון שהתשובה הנכונה נכונה לכל דוגמא, אבל אתה לא יכול להניח את זה כשאתה פותר (זה כמו להתבסס בדרך על מה שרוצים להוכיח).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 4 ;) ==

לא הצלחתי את תרגיל 4 שאלה 4.. אפשר רמז לפיתרון?! ;)
S.D

תשובה: נניח ש <math>V</math> ממימד גדול מ <math>5</math> אז ברור ש <math>[I]_C^B \in \mathbb{F}^{k\times k}</math> כש <math>k \geq5</math>.

עכשיו תנסה להציב <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_7</math> ו <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_5</math> ותראה מה קורה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 00:21, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל רגע אין שאלה 4 בתרגיל 4.

זה שאין שאלה לא אומר שאין רמזים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== חיתוך מרחבים ==

על מנת למצוא בסיס של חיתוך מרחבים אני שם את הבסיסים של שניהם במטריצה אחת ומדרג עד לקבלת בתל ?
כי כשאני עושה ככה אני מקבל מימד יותר גדול מהמרחבים המקורים והחיץתוך אמור להיות מוכל בהם..

תשובה: זאת לא השיטה. ככה מוצאים בסיס של סכום.

כדי למצוא בסיס של חיתוך שני מרחבים, אם המרחבים נתונים ע"י וקטורים פורשים אתה צריך להשוות את ה span שלהם ולפתור את המשוואה שנוצרת.

עשו כזאת דוגמא בתרגול.

כלומר, כותבים צירוף לינארי כללי של מרחב אחד, משווים אותו לצירוף לינארי כללי של מרחב שני ופותרים את מקדמי הצירוף.

אני מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:32, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ז"א שאם הבסיס שלי הוא x,y ו הבסיס השני הוא w,t
אז אני צריך לעשות ax+by=dw+et
אבל את מי אני צריך לבודד ואת מי למצוא בעזרת מי?

תשובה: לפי הסימונים שלך אתה מקבל מערכת משוואות (הומוגנית) עם נעלמים a,b,d,e.
אתה צריך לפתור את המערכת הזאת (למעשה מספיק למצוא רק למה שווים a,b או d,e).

ואז להציב את התשובה (הפתרון הכללי) בתוך הצירוף הלינארי - ואז תקבל את האיבר הכללי של החיתוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 2 סעיף ב ==

אני מקבל רק משוואה 1 שהיא רק עם X,Y,Z,W אז אני צריך בסעיף ב לישתמש רק בה? או שבסעיף ב להישתמש גם במשוואות שיש בהם את הסקלרים?

תשובה: המרחב הוא בדיוק אותם <math>(x,y,z,w)</math> שפותרים את המשוואה שמצאת בסיף א'. אז אתה משתמש בתוצאה של סעיף א'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:41, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

נניח u,w מוכלים ב v אז סכום ישר שלהם הוא בהכרח תת מרחב ?

*(לא מתרגל/מרצה) הוכחנו בהרצאה כי סכום של תתי מרחבים (באופן כללי) הוא ת"מ. אם הסכום הישר מוגדר (כלומר החיתוך הוא וקטור האפס) אז הוא גם כן תת מרחב (מדובר במקרה פרטי).

תשובה: נכון, סכום ישר הוא תמיד תת מרחב והוא שווה לסכום הרגיל. (רק שלא כל סכום רגיל הוא גם סכום ישר).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:43, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית לגבי שוויון תתי מרחבים ==

אם שני תתי מרחבים שווים, מה זה אומר על המימדים שלהם ועל הבסיסים שלהם?
ז״א אם U=W (תתי מרחבים) האם זה גורר בהכרח dimU=dimW ושהבסיסים שווים?

תשובה: שוויון של תתי מרחבים הוא שוויון קבוצות.

זאת אותה קבוצה אז בוודאי שיש להם אותו מימד. וכל בסיס של <math>U</math> הוא גם בסיס של <math>W</math> ולהפך.

(שים לב שיש יותר מבסיס אחד לכל מרחב,לכן אם <math>B</math> בסיס של <math>U</math> ו <math>C</math> בסיס של <math>W</math>, אז
<math>U=W</math> לא אומר ש <math>B=C</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף ב' ==

האם אני יכול להכפיל צירוף לינארי בסעיף ב' בA בחזקת K-1 (שהרי לא שווה ל0) ואז בצורה כזאת להראות שזה לא יכול להתקיים שהאיברים תלויים
לינארית (הנחתי בשלילה שהם ת"ל ובצורה כזאת אני רוצה להגיע לסתירה) אני יכול לעשות פעולה כזאת?

תשובה: האיברים <math>\{v,Av,\ldots,A^{k-1}v\}</math> הם וקטורים בגודל <math>n \times 1</math>.

צירוף לינארי שלהם הוא וקטור בגודל <math>n \times 1</math>.

לכן מותר להכפיל אותו משמאל במטריצה שיש לה <math>n</math> עמודות

או מימין במטריצה שיש לה שורה אחת.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:35, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== ליניארית, תרגיל 4 שאלה מס' 2 ==

לא ממש הבנתי איזה צורת תשובה אני אמור לכתוב בסעיפים א'-ג'..
איזו מערכת משוואת אני אמור למצוא? מהצורה: X שווה לביטוי עם אלפא 1 וכו', או אלפא 1 שווה לביטוי עם X, Y...?
ובסעיף ב', איזה מערכת משוואת לפתור אם התנאי שיצא לי בא' הוא משוואה אחת?

תשובה: בסעיפים א' ,ג' אתה אמור לקבל כתשובה מערכת משוואות עם נעלמים <math>x,y,z,w</math>

נגיד משהו מהצורה

<math>x+y+z+w=0</math>

<math>x+2y+3z+4w=0</math>.

לגבי סעיף ב', מערכת משוואות עם משוואה אחת אי אפשר לפתור?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:52, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתיי לך !

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

בשאלה 7 k חייב להיות קטן או שווה ל-n?

תשובה: אם השאלה היא האם אפשר להניח ש <math>k \leq n</math>, אז התשובה היא לא. זה לא נתון בשאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ==

1. מה הכוונה "מטריצה סטנדרטית של T"? האם הכוונה למטריצה המייצגת של T לפי הבסיס הסטנדרטי?

2. בשאלה 3, A היא מטריצה מייצגת של T?

תשובה: 1) כן.

2) כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:46, 14 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה המטריצה המייצגת של T בבסיס הסטנדרטי??

תשובה: הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math> הוא <math>S=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>.

המטריצה המייצגת של <math>T</math> בבסיס הסטנדרטי היא <math>[T]^S_S</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:55, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 11ג ==

אני חושב שיש טעות בשאלה כי אם V=R^2 ו- (y,x)=T(x,y
אז T^2 עדיין שווה ל-I אבל וקטורים כמו (1,2) לא שייכים ל-U+W
ולכן הטענה לא נכונה
: <math>(1,2)=(3/2,3/2)+(-1/2,1/2)</math> ולכן הוא שייך לסכום תתי המרחבים --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 00:08, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 3 ==

בשאלה 3 בהתחלה הוקטורים ש-T עובדת עליהם הם וקטורי שורה, ובסעיף ב היא עובדת גם על וקטורי עמודה. האם זה משנה? כלומר, העתקה לינארית הפועלת על וקטורי שורה תפעל גם על וקטורי עמודה באותה צורה?

תשובה: בדר"כ לא טורחים להבדיל בין וקטורי שורה לעמודה, מדובר באיברים של <math>\mathbb{F}^n</math>. ואפשר להתייחס אליהם בתור וקטורי שורה או וקטורי עמודה.

גם במקרה שלנו אפשר לחשוב על <math>T</math> כאילו היא עובדת על וקטורי שורה או עמודה, זה לא באמת משנה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:21, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 5 ==

האם מה שצריך למצוא בעצם זה את <math>[T]^B_C</math> ?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5- שאלה 6- סעיף א' ==

מה הכוונה ביחס לבסיסים שונים?
האם הכונה היא מכל בסיס של v לכל בסיס של w או מבסיס ספציפי של v לבסיס כלשהו של w ?

תשובה: מכל בסיס של <math>V</math> לכל בסיס של <math>W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ב׳ ==

אם הוכחתי ש T היא חחע, ניתן להשתמש במשפט
Dim(r3)=dim(r3) אז T חחע <=> T על
כדי להוכיח שT היא על?
:כן.--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

צריך להוכיח בעצם שלכל בסיס E ל V ולכל בסיס S ל W מתקיים <math>RANK[T]^E_E = RANK[T]^S_S</math> ?
:לא בדיוק. צריך להוכיח שלכל בסיסים A B של V ו C D של W מתקיים <math>RANK[T]^B_D = RANK[T]^A_C</math> --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

בנתונים נתון ש-S הע"ל, אך בסעיף א' יש להוכיח זאת. האם זה לא אמור להיות בנתונים?

תשובה: נניח שזה לא נתון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:15, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

חחחחחחחח

== ציוני בוחן בלינארית ==

הקישור לציונים לא עובד. ניתן לתקן את הבעיה?

תוקן.

== תרגיל 5 שאלה 9 ==

האם <math>M_2(\mathbb R)</math> הוא מרחב הוקטורים מגודל 2x1 או המטריצות מגודל 2x2? בשאלה 8 אלו מטריצות, ובשאלה 6 <math>M_{2x2}(\mathbb R)</math> הם המטריצות...
:{{לא מתרגל}} מדובר על מטריצות.

תשובה: נכון. שני הסימונים מייצגים מטריצות <math>2\times 2</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:42, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 7 ==

האם צריך להוכיח כי T הע"ל?

תשובה: לא צריך להוכיח. כפל במטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:43, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

כן אבל אם לדוגמא ייתנו שאלה על "אולי הע"ל" במבחן שמכפילה וקטור במטריצה, נצטרך להוכיח שזה אכן הע"ל או פשוט לרשום שכפל מטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית?

תשובה: אפשר פשוט לכתוב שכפל במטריצה הוא תמיד העתקה לינארית.

(למרות שלהוכיח את זה לוקח שתי שורות)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:10, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

לעצלנים שבינינו זה יעזור ;)

== שאלה ==

ממש לא הבנתי מה זה ker ו im של T כמו למשל ששואלים בשאלה 4 ,אני הבנתי את ההגדרות אבל לא הבנתי בתכלס איך פותרים
,אפשר דוגמה טובה שתוכל להסביר לי??

-> תקח העתקה לינארית ותמצא לה גרעין ותמונה. הגרעין זה ker והתמונה זה Im

== שאלה כללית ==

איך מכפילים מטריצה מגודל 2X2 במטריצה מגודל 3X3?? אפשר דוגמא???

לא מכפילים

סבבה תודה

== תרגיל 5 שאלה 8 ==

לאילו בסיסים סטנדרטיים בדיוק הכוונה בשאלה 8?(מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים?)

1,x,x^2

או שאפשר להעביר את הפולינומים למקדמים שלהם (אחרי שמציבים 0 ו 1) ואז אפשר להשתמש בבסיס הסטנדטי הרגיל של R3..

== תרגיל 5 שאלה 6 א' ==

האם ניתן להשתמש במשפט שהוכחנו בהרצאה שדרגת המטריצה המייצגת שווה למימד מרחב התמונות של ההעתקה הלינארית?

תשובה: כן. אפשר להשתמש בכל משפט שראיתם בהרצאה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:59, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

== ציונים בלינארית ==

איפה יש ציונים???

-> היו ציונים... אבל בגלל שהם לא היו שלכם הייתם קטנוניים והתלוננתם עליהם.. אז חסמו אותי.. ועכשיו אין ציונים! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ,11 ==

1.מה זה חזקת העתקות לינאריות?
2.מה מסמן הI בשאלה 11?

1. הרכבה של הע"ל, במקום לרשום ToToToT(הרכבה) רושמים פשוט T^4
2.העתקת היחידה. I(x,y,z) = (x,y,z.

-> מה טוטוטו ?! מה אתה רכבת?! [[משתמש:ScoobyDoo|ScoobyDoo]]

== תרגיל 5 שאלה 10 ==

אפשר כיוון לפתרון של א'?

תשובה: שים לב שאם <math>v \in V</math> אז <math>T(v)=T^4(v)=T(T^3(v))</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:57, 18 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחנים משנים עברו ==

שימו לב ש
[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|כאן]]
יש מבחנים משנים עברו, כמו גם קישורים לאתרים של פרופ' רזניקוב וצבאן ששם יש עוד הרבה מבחנים, לחלקם יש גם פתרונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:11, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

בנוסף,
[http://www.bis.org.il/search_res_bank.asp באתר של אגודת הסטודנטים]
אפשר למצוא עוד כמה מבחנים.

שימו לב שיש מבחנים באלגברה לינארית 1 שמספר הקורס שלהם לא מתחיל ב 88 וזה אומר שהם לא של המחלקה למתמטיקה.

אפשר לעשות אותם בתור תרגול אבל

1) הם ממש קלים.

2) לפעמים יש שם חומר שלא למדנו, אז להתעלם מדברים כמו לכסינות, ערכים עצמיים, פולינום אופייני וכו' (שאלה מושגים שתלמדו עליהם בלינארית 2) .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:17, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

:גם מכפלה פנימית לא למדנו נכון?

תשובה: נכון. לא למדנו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

== רשימת משפטים ==

נשאר שבוע עד למבחן ועדיין לא פורסמה רשימת המשפטים. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 08:39, 22 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלתי את מיטל, רשימה תפורסם לכל המאוחר ביום ראשון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:34, 23 באוגוסט 2012 (IDT)

== קישור ==

תוסיפו את הקישור [הזה][http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html] בדף --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 09:33, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מתי המבחן? ==

?
יום חמישי ב16:00 --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:28, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

אני חושב שכן(ב30/08/2012) --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:58, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

== מחשבון ועוד משהו ==

1) יהיה אפשר להשתמש במחשבון במבחן בליניארית(בבקשה רק תשובה ממישהו שבטוח 100%)? 
2) רמת הקושי של המבחן קלה/קשה/שווה לרמת הקושי של המבחן הזה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf ? --[[משתמש:Avital|Avital]] 16:06, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מצטרף לשאלות [[משתמש:ABAB|ABAB]] 17:22, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

יש פתרון למבחן בשאלה 2?

בשאלה 1 סעיף ב במבחן זה מבקשים לחשב מטריצות מייצגות של טי, טי בריבוע, טי בשלישית, טי ברביעית וכולי..
מה הכוונה וכולי ? כמה עוד מטריצות מייצגות של הע"ל צריך לחשב ?

(לא מרצה / מתרגל): בשאלה 1 תחשב את המטריצות המייצגות, תגיע אחרי כמה כאלו למטריצה שממנה כבר לא יהיה מה לחשב.
לגבי שאלה 2, אני אנסה להעלות לפה פתרון בקרוב --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:10, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

פתרון שאלה 2
[[מדיה:001.jpg]] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:31, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

התשובה לשאלה 1 ב' צריכה להיות מטריצות מהצורה 4X4 (זה כולל שורות אפסים) ? כי כל פעם הראו לנו משהו אחר כך שאני לא בטוח איך התשובה אמורה להראות בסוף

ואם כן האם צריך להשאיר את המטריצה כמו שהיא או להוריד את שורות האפסים? -(אני זוכר שלא משנים/מורידים אותה אבל אני לא בטוח)

(לא מרצה / מתרגל) מה זאת אומרת למחוק שורות? כל שורה במטריצה חשובה! אין למחוק שורה מן המטריצה, אחרת היא משתנה. וכן, זה כולל שורות אפסים --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:51, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובות: מה שגיא אמר נכון. התשובות ל 1ב צריכות להיות מטריצות <math>4\times4</math>. לא מוחקים שורות אפסים.

הפתרון שגיא העלה לשאלה 2 נכון. שימו לב שזה בדיוק המצב שיש סכום ישר <math>V\oplus W</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה לגבי שאלה 6 מבחן תשע"ב ד"ר בועז צבאן ==

במבחן של ד"ר בועז צבאן [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf הנ"ל], בשאלה 6, מה הכוונה ב<math>\bar{1}
</math> ? המספר שחיבורו ל1 נותן 0 בשדה ?
:למיטב הבנתי מדובר פשוט על 1. הסימון 1 עם קו מעליו, בא להציג את מחלקת השקילות של 1 באשר לשארית חלוקה בשלוש (כלומר במקום ה-1 הזה יכול לבוא 4, או 7, וכו, ולך זה לא ישנה כי כולם אותו דבר בשדה הנתון).

תשובה: זה פשוט <math>1</math> . יש כאלה שכותבים את האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> עם קו מעליהם כדי להדגיש שזה לא מספר רגיל.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשאלה 8 ==

למה צריך להסתבך באינדוקציה? אי אפשר לעשות פשוט n-1 פעולות עמודה (החלפת עמודות) ואז מקבלים את מטריצת היחידה?

תשובה: אתה מדבר על תרגיל 5 שאלה 8? אתה צודק. לא חייבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:46, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

== זמני תרגול+הרצאה יום ראשון -26.7 ==

לא הבנתי את הזמנים שמלי שלחה ושינתה

מה שהבנתי זה:

לשתי הקבוצות יש הרצאה- ב- 10:00-12:00 בבוקר

ואז לקבוצה של איתמר יש תרגול ב - 12:00-14:00

האם זה הזמנים הנכונים??

== משפט 17 ו-2 ==

לא הבנתי מה המשפט אומר , מה זה (r(T ?

ובמשפט 2 ככה הגדרנו סכום ישר האם הכוונה פה שההגדרה של סכום ישר הוא שהחיתוך הוא אפס ואז להראות שזה או"א לכל וקטור יש הצגה יחידה

תשובה: לגבי משפט 17: <math>r(T)=rank(T)</math> ו <math>r([T]^E_F)=rank([T]^E_F)</math>.

לגבי משפט 2: כן, אם מגדירים סכום ישר לפי זה שחיתוך המרחבים הוא <math>\{0\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:08, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

למי שביקש ממני היום הוכחה

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.

כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.

יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.

נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.

כלומר

<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>

נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.

כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.

נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>

כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>

כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.

נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.

נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>

כלומר <math>DR=A</math>.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>

כלומר

<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>

לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>

ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>

(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>

בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן

<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:39, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== שלישי חינם ==

אם יבקשו במבחן להוכיח את שלישי חינם אני יצטרך להוכיח שמספר האיברים בקבוצה פורשת >= מספר האיברים בקבוצה בת"ל ?

תשובה: אני מתאר לעצמי שלא. אבל שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:46, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: הוכחנו בכיתה משפטים על פורשת מינימלית ובת"ל מקסימלית, והם בהחלט יכולים להסתמך על כך. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:49, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה שלישי חינם? [[משתמש:ABAB|ABAB]] 19:31, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== בשביל להוכיח את משפט הדרגה של הע"ל ==

האם אפשר להוכיח את זה כך:

תהיה A מטריצה מעל F mxn.
נבנה הע"ל מ Fn ל F m ע"י:
T(V) = AV.

וברור כי:
rank(A) = C(A) = Im(T).
ker(T) = N(A).

ואז להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות ולקבל את הדרוש?

תשובה: ההוכחה הזאת נכונה מתמטית. אבל מה שאתה עושה פה זה להוכיח את משפט הדרגה של ההעתקות בעזרת משפט ההעתקה של מטריצות (שזה כמעט אותו משפט).

לכן לא נראה לי שזה טוב. אם אתם מתבקשים להוכיח את משפט הדרגה תשתמשו בהוכחה הסטנדרטית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:12, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל אמרתם שמותר להשתמש בכל המשפטים, אלא אם כן דרשו להוכיח אותם. אז למה אי אפשר להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות?

תשובה: כי לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של העתקות זה כמו לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של מטריצות. ע"י ייצוג לפי בסיסים זה הופך לאותו משפט.

דרך אגב, אני מודע לכך ששאלות הוכחה במבחן הן תמיד השאלות שלא ברור לגביהן במה מותר להשתמש ובמה לא. לכן אני מבין את השאלות שאנשים שואלים כאן.
הדרך הכי בטוחה להתרחק מצרות היא לדבוק בהוכחות שראיתם בהרצאות--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים ==

במשפט 16, אני דיי בטוח שזה צריך להיות איזומורפי ל F^dimWxdimV ולא ל F^dimVxdimW
 
זה כמובן לא משנה כי
<math>
\mathbb{F}^{dimV \times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW \times dimV}
</math>
ע"י השיחלוף שהוא איזו'. [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:03, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל האם אפשר ישירות להוכיח זאת? זאת אומרת בלי לעשות אחר כך עוד הע"ל?

תשובה: אתה צודק שהטענה ה"טבעית" יותר היא <math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>. אבל אם אם יבקשו במבחן להוכיח ש
<math>Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimV\times dimW}</math> אז תוכיח את הטענה הקודמת ותשתמש ב traspose בשביל להוכיח ש

<math>\mathbb{F}^{dimV\times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV}</math>.

אני חושב שזאת הדרך הכי פשוטה--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:50, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הוכחה של למת ההחלפה של שטייניץ ==

למי ששאל אותי היום על הוכחה של למת ההחלפה

יש כאן קישור [[מדיה:שטייניץ.pdf|הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ]] (זה נמצא גם בעמוד הראשי של אלגברה לינארית 1).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

== A הפיכה משמאל => A הפיכה ==

אפשר להוכיח במבחן באמצעות הע"ל? כלומר:
 
<math>
T(X)=A\cdot X
</math> איזו' ולכן קיים <math>B</math> כך ש:
<math>
A\cdot B=I
</math> ??
 תודה [[משתמש:ABAB|ABAB]] 23:27, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני לא רואה סיבה שלא, אבל ליתר בטחון שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:51, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר ורצוי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט מספר 8 ==

כשרשמו לנו אותו לא נמצאת ההוכחה,
וניתן רק להוכיח אותו בעזרת איזומופריזם בהמשך, אני אשמח אם תסביר בקצרה אתה ההוכחה הזאת ( לא משנה לי אם בעזרת מטריצות מעבר או איזומורפיזם)

תשובה: נניח ש <math>A\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> הפיכה משמאל, כלומר קיימת <math>B\in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>BA=I</math> (מי שרגיל שזאת ההגדרה של הפיכות מימין אז שיניח ש <math>A</math> הפיכה מימין).

נגדיר העתקה לינארית <math>T:\mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times n}</math> על ידי

<math>T(X)=AX</math>.

נשים לב ש <math>T</math> חח"ע כי אם <math>T(D_1)=T(D_2)</math> אז <math>AD_1=AD_2</math> אם נכפול משמאל ב <math>B</math> נקבל ש <math>D_1=D_2</math>.

היות ו <math>T</math> העתקה לינארית. העובדה ש <math>T</math> חח"ע גוררת שהיא גם על.

בפרט <math>I \in Im(T)</math> כלומר קיימת מטריצה <math>C \in \mathbb{F}^{n \times n}</math> כך ש <math>T(C)=I</math> כלומר <math>AC=I</math>.

נשאר רק להראות ש <math>B=C</math> וזה קל היות ו <math>B= BI= B(AC)=(BA)C=IC=C</math>. מש"ל--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:59, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:למה העובדה ש T חח"ע גורר שהיא על?

תשובה: טענה: אם <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית כך ש <math>dimV=dimW=n</math> אז <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על.

הוכחה: לפי משפט הדרגה <math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n</math>

עכשיו

<math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math>
<math>Ker(T)=\{0\}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimKer(T)=0</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>dimIm(T)=n</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>Im(T)=W</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>T</math> על
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט 16 ==

אני לא מוצאת הוכחה לזה בסיכומי ההרצאות שלי... מישהו יכול להפנות אותי להוכחה או להגיד לי איפה זה בערך נמצא בסיכומים? תודה!--[[משתמש:Inbarsavoray|Inbarsavoray]] 13:52, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: תחפשי הוכחה לזה שבהינתן בסיסים <math>B,C</math>, פונקציית ייצוג לפי בסיסים היא איזומורפיזם

<math>[\quad]^B_C:Hom(V,W)\rightarrow \mathbb{F}^{dimW \times dim V}</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:02, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתרון תרגיל 4 ==

אפשר בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? עוד לא העלו פיתרון.. תודה!

== ה"ל מעל Zp ==

מה זה אומרת ה"ל מעל Zp?

העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> הם מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מטריצות בסיסיות ==

אנחנו צריכים לדעת לפתור שאלות כמו שאלה 12 פה:
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:08, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה מטריצה בסיסית?

(לא מרצה/מתרגל) מטריצה Eij היא מטריצה עם 1 במקום הij ו0 בשאר המקומות, נקראת בסיסית.

תשובה: התשובה שמעלי נכונה. <math>E_{i,j}</math> זה סימון סטנדרטי. כדאי לדעת גם ש הקבוצה <math>\{E_{i,j}\}</math> של כל המטריצות האלה מהווה בסיס למרחב המטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:14, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מבחן 2005 מועד ב' שאלה 5' ==

בשאלה 5 פה:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1b65.pdf
השאלה היא כמה פתרונות שלמים יש למערכת מעל R בין 0ל6
או כמה פתרונות יש למערכת מעל Z7?

(לא מרצה / מתרגל) פתרונות המשוואה מעל <math>\mathbb{Z}_7</math>--[[משתמש:גיא|גיא]] 19:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

גיא צודק.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:15, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הפיכות מטריצה ==

אם אומרים ש A הפיכה משמאל, זה אומר שקיימת B כך ש AB=I או ש BA=I?

(לא מרצה / מתרגל) קיימת B כך ש-BA=I. אם אומרים שהיא הופכית משמאל אז למעשה אומרים שיש לה מטריצה הופכית מצד שמאל --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:22, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) בדיוק הפוך..

(לא מרצה / מתרגל) אני די בטוח שמה שאמרתי נכון, נחכה שאחד המתרגלים / מרצים יענה --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: יש כאלה שמגדירים ככה ויש כאלה שמגדירים הפוך. אין בזה מוסכמה גורפת. אני רגיל כמו שגיא הגדיר, אבל הבנתי שלפחות בהרצאה של מיטל הגדירו הפוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה / מתרגל) - אני אצל מיטל וככה היא לימדה אותנו גם --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) אני אצל מיטל והיא למדה אותנו כמו שאני אמרתי...

== משפט 1 ==

מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?

תשובה:

הוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

<math>(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math>

<math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math>

<math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>

שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math>.

אם <math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה <math>C</math> בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה <math>B</math> שהיא (נניח ש <math>i</math> היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)</math>.

שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>.

אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>.

קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>.

<math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים.

לכן <math>P=I</math>. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

<math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>.

ב <math>(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} </math>.

ולקבל

<math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math>

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== הע"ל מעל שדה ==

מה זה אומר הע"ל מעל שדה מסויים?

תשובה: אומרים ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> אם היא העתקה לינארית

<math>T:V\rightarrow W</math> כך ש <math>V,W</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>.

(שימו לב ש <math>V,W</math> חייבים להיות מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math> אחרת ההגדרה של העתקה לינארית היא חסרת משמעות,
כלומר אין פשר לדרישה <math>T(\alpha v) = \alpha T(v) </math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:19, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== מרחב הפולינומים.. ==

יש לי כמה שאלות:

1. מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2?

2. איך לדוגמא מייצגים את 1+X^2 בתור כפל של סקלרים בבסיס הסטנדרטי?

תשובה:
1. <math>\left \{ 1,X,X^2 \right \}</math>

2. (1,0,2)

== שאלה 11 ב2005 מועד א' ==

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf
איך עושים את 11?

תשובה: תפתור בספר של צבאן את שאלה 4.6 (סעיפים א' ב') בפרק א ואז קל לפתור את שאלה 11.

אם אתה לא מצליח או שזה עדיין לא ברור אני אסביר יותר במפורט.

באמת אולי היינו צריכים להציג במפורש את משפט פרמה הקטן בקורס הזה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:38, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להסביר יותר במפורט?

תשובה: קודם אני אציג את הפתרון של תרגיל 4.6

סעיף א) בשדה ממאפיין <math>p</math> מתקיים <math>(a+b)^p=a^p+b^p</math>.

זה בגלל שלפי הבינום של ניוטון

<math>(a+b)^p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^kb^{p-k}</math> ו <math>p</math> מחלק את <math>\binom {p}{k}</math> כש <math>0<k<p/math>.

לכן כל מה שנשאר מהסכום אלה האיברים הראשון והאחרון <math>a^p+b^p</math>, כל השאר הם <math>0</math>. כי המאפיין הוא <math>p</math>.

סעיף ב) לכל <math>a \in \mathbb{Z}_p</math>, מתקיים ש <math>a^p=a</math>.

הוכחה: באינדוקציה על <math>a</math>. אם <math>a=0</math> הטענה נכונה בבירור.

נניח שהטענה נכונה עבור <math>a</math>, נוכיח אותה עבור <math>a+1</math>.
לפי סעיף א' <math>(a+1)^p=a^p+1^p=a^p+1</math>.

ולפי הנחת האינדוקציה <math>a^p+1=a+1</math>.

לכן בסך הכל <math>(a+1)^p=a+1</math>.

שזה מה שרצינו להוכיח.

עכשיו נעבור לשאלה במבחן.

אם <math>\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p</math>.

אז <math>T(a)=a^p=a</math>. שזו העתקת הזהות ולכן היא באמת העתקה לינארית.

שזה אומר שסעיף 4 נכון. אבל זה עדיין לא מסיים את העבודה כי יכול להיות שגם סעיף 3 נכון, והוא יותר חזק מסעיף 4.

נניח ש <math>char(\mathbb{F}=p</math> ונוכיח ש <math>T</math> היא העתקה לינארית מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>.

שלב ראשון :<math>T(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=T(a)+T(b)</math>.

שלב שני: <math>T(\alpha a)=(\alpha a)^p=(\alpha)^p a^p = \alpha a^p = \alpha T(a)</math>.
(שים לב ש <math>\alpha\in \mathbb{Z}_p</math>)

לסיכום, התשובה הנכונה היא 3.

ואיך היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה בלי המשפט?

תשובה: אני לא רואה דרך סבירה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

דרך אגב, למיטב ידיעתי (אבל אני לא מבטיח) אין במבחן שלכם תשובות "נכונות" ותשובות "יותר נכונות". כלומר אם שאלה כמו שאלה 11 הייתה מופיעה במבחן שלכם. לסעיף 4 היינו מוסיפים: "אבל יש שדה <math>\mathbb{F}</math> כלשהוא עם מאפיין <math>p</math> כך ש <math>T</math> אינה העתקה לינארית"
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== הבוחן שהיה ==

אתם יכולים להעלות פתרונות לבוחן אמצע..?

אני מקווה שאני אספיק--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

שמתי פתרון בדף הראשי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה!

== איך פותרים את תרגיל 4 ==

פה
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a64.pdf

?

שיטה א': תמצא דוגמאות ששוללות את כל האופציות הלא נכונות.

שיטה ב': היה לכם בשיעורי הבית (בתרגיל 4) שאלה שתעזור להבין מה הפתרון הנכון. (תזכרו שמטריצות והעתקות מתנהגים אותו דבר).

אם זה עדיין לא ברור אני אסביר יותר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:42, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אני לא מצליח..

שיטה א': נגדיר <math>T(x_1,x_2, \ldots ,x_{32})=(0,x_1,x_2, \ldots , x_{31})</math> (העתקת הזזה).

זאת דוגמא נגדית ל 2,3,4 . לכן 1 נכון.

שיטה ב': בתרגיל 4 שאלה 7 הוכחתם שבהכרח מתקיים ש <math>T^{32}=0</math>.

מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:28, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

כן ברור אבל איך אפשר להוכיח ש T^32 = 0?

תשובה: באותה טכניקה שהשתמשתם בתרגיל 4 שאלה 7.

הרי קיים <math>k</math> כך ש <math>T^k=0</math> אבל <math>T^{k-1}\neq 0</math>.

תוכיח שקיים <math>v</math> כך ש <math>v,T(v), \ldots ,T^{k-1}(v) </math> היא קבוצה בת"ל בגודל <math>k</math>.

לכן <math>k \leq n</math>. ולכן <math>T^n=T^{32}=0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

מי אמר אבל ש T לא שווה לאפס? ולכן <math>T^{k-1}\neq 0</math> לא נכון

תשובה: אז מה? אם <math>T=0</math> אז <math>k=1</math> ואז <math>T^{k-1}=T^{0}=I \neq 0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== בסיס ומימד של חיתוך ת"מ ==

התבקשתי להעלות דוגמאות:[[מדיה:sub_dimx2.pdf|דוגמאות]]
--[[משתמש:שירה ג|שירה ג]] 22:34, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

== דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת ==

תהי
<math>
T:V\rightarrow W
</math>
הע"ל. כיצד מוכיחים כי
<math>
rank(T) = rank([T]_{C}^{B})
</math>
 
חיפשתי ולא מצאתי את ההוכחה.

תודה! [[משתמש:ABAB|ABAB]] 12:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני מתאר לעצמי שההוכחה שראיתם בכיתה היא משהו בסגנון הזה:
<math>rank([T]^B_C)= dim C([T]^B_C)= dim \{[T]^B_Cv \mid v \in \mathbb{F}^n\}=dim\{[T]^B_C[u]_B \mid u \in V \} = dim\{[T(u)]_C \mid u \in V\}

</math>

(בגלל ש <math>[\quad]_C</math> היא איזומורפיזם)

<math>=dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T)</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט ההגדרה ==

מה הניסוח של משפט ההגדרה של ה"ל
ומה הניסוח של משפט הדרגה?

*משפט ההגדרה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, מתקיים dimv=n. אם ניקח {v1,...,vn} בסיס עבור V, וכן{w1,...,wn} '''קבוצה''' מוכלת בW, אזי קיימת T מV לW כך שהיא הע"ל, והיא יחידה, והיא מקיימת T(vi)=wi לכל i בין 1 ל-n.

משפט הדרגה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, ותהי T מV לW הע"ל. אזי מתקיים:
(dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v

ובמילים- מימד התמונה (דרגת ההעתקה) ועוד מימד הגרעין (האפסיות של T) שווה למימד של V.

== שאלה כללית ==

T : Z2[x] → Z2 מה מסמל הסוגרים המרובעים שמסביב לX?
:פולינומים מעל Z2 במשתנה x

== כפילות הדט ==

בשביל להוכיח את כפילות הדט צריך להסתמך על כך שפונקציה שמקבלת A ומחזירה את הדט של AB היא כמו דטרמיננטה וכן את המשפט שאומר שפונקציה כמו דטרמיננטה זה בעצם (f(I כפול הדט של A מה צריך להוכיח ועל מה אפשר להסתמך?

וגם במשפט לאפלס(פיתוח לפי שורה ) אפשר להסתמך על חישוב לפי מטריצת בלוקים?

תשובה: לגבי כפליות הדטרמיננטה.

אני מתאר לעצמי שאפשר להסתמך על כך שפונקציה "כמו דטרמיננטה" היא <math>f(I)|A|</math>.
אבל בטח שצריך להוכיח ש <math>f(B)=|AB|</math> (או להפך, אני לא זוכר כרגע), היא כמו דטרמיננטה. זאת כל ההוכחה.

כדי להיות בטוח אני אשלח למיטל מייל.

לגבי משפט לפלס. אתה יכול לפרט יותר את השאלה? באיזה הוכחה אתה רוצה להשתמש (יש כמה) ועל איזה משפט בדיוק אתה רוצה להסתמך בלי הוכחה?
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:37, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל ממבחן דמה ==

http://www.math-wiki.com/images/d/d5/11Linear1Dumbtest2.pdf

לא הצלחתי לפתור את תרגיל 6 ו-5 סעיף א, אשמח לעזרה!

תשובה:

לגבי 5 סעיף א'. אני חושב שהכוונה היא כזאת:

היות ולמערכת יש <math>2</math> פתרונות, היא חייבת להיות מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. ויש משתנה חופשי אחד, כלומר דרגת המטריצה היא 2.

יש 4 מקומות במטריצה שאנחנו לא יודעים (ובכל אחד מהם יכול להיות 0 או 1).

סה"כ יש 16 אפשרויות לבדוק. שזה מעצבן אבל סביר, צריך לעבור על האפשרויות אחת אחת ולבדוק באיזה מהן אחת השורות תלויה באחרות (ולכן דרגת המטריצה היא 2).

כרגע אני לא רואה דרך יותר טובה לפתור את זה. אם למישהו יש רעיון אחר שיכתוב.

לגבי שאלה 6:
אני מכיר דרך לפתור את זה, אני לא יודע אם זאת הדרך הכי טובה.

אפשר לקחת בסיס כלשהוא <math>B</math> ל <math>V</math> ולקבל ש
<math>[T]_B[S]_B=[S]_B[T]_B</math> כלומר המטריצה המייצגת של <math>T</math> מתחלפת עם כל מטריצה אחרת.

בפרט היא מתחלפת עם מטריצות בסיסיות <math>E_{i,j}</math>. אם עובדים עם זה קצת, אפשר להוכיח ש <math>A=[T]_B</math> אלכסונית.

הוכחה פחות או יותר: כי אם <math>j \neq k</math> אז <math>E_{i,j}AE_{k,l}=A_{j,k}E_{i,j}</math>
אבל בגלל החילוף <math>E_{i,j}AE_{k,l}=AE_{i,j}E_{k,l}=0</math>

(אפשר גם להוכיח ש <math>A</math> סקלרית אבל זה לא נדרש כאן)

ואז הבסיס <math>B</math> הוא קבוצת הוקטורים המבוקשת.

(לידע כללי: התנאי שיש בשאלה הזאת הוא חזק מאוד, וההעתקות היחידות שמקיימות אותו הן כאלה של כפל בקבוע <math>T(v)=\alpha v</math>.)

כמו קודם, אני לא בטוח שזאת הדרך הכי פשוטה, מוזמנים להעלות עוד רעיונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:00, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

== משפט כפליות הדט' ==

האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'? בהרצאה לא הוכחנו את זה אלא ציינו.

האם אפשר להוכיח ככה:

נראה כי |f(A)=|AB היא כמו דט' על ידי כך שנראה כי היא (1)מתאפסת כאשר יש שתי שורות זהות, וכן (2) מחליפה סימן עם החלפת שורות.

(1) אם בA יש שתי שורות זהות, נקבל כי A|=0|, ולכן A לא הפיכה, וגם AB לא הפיכה (אם נניח בשלילה כי AB הפיכה בפרט הפיכה משמאל, לכן קיימת C עבורה AB)C=I), ולפי אסוצ' נקבל A(BC)=I כלומר A הפיכה משמאל, לכן הפיכה בסתירה), ואם AB לא הפיכה 0=|AB|, כדרוש.

(2)אם נחליף שתי שורות i,j בA ונסמן את המטריצה החדשה 'A, נקבל כי |A'|= -|A|. אפשר לרשום A'=pA, כאשר p היא מטריצה אלמנטרית של החלפת השורות i,j. .לכן מתקיים:

|(f(A')=|A'B|=|(pA)B|=|p(AB
קיבלנו מטריצה שבה שינו את השורות הi,j ולכן הדט' שלה היא |AB|-, כלומר מתקיים (f(A')= -|AB|= -f(A ,כדרוש.

תזכורת כי צריך גם להראות ליניאריות בכל שורה.

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-28T09:19:27Z

ABAB: /* דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-27T16:31:20Z

ABAB: /* שלישי חינם */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-26T20:27:56Z

ABAB: /* A הפיכה משמאל => A הפיכה */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-26T20:03:01Z

ABAB: /* נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-24T14:22:54Z

ABAB: /* מחשבון ועוד משהו */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-22T05:39:06Z

ABAB: /* רשימת משפטים */ פסקה חדשה