המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

2015-06-28T00:48:14Z

Arie: /* סעיף ב' */

[[קטגוריה:אינפי]]
== המשפט ==
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

א) <math>A(x)</math> רציפה.

ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>f(x) \leq M </math>.

לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>

'''טענה''' נוכיח כי
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.

כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.

מכאן ש-
<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt| \leq \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| < \frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

<math>\blacksquare</math>

===סעיף ג' ===

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>

<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

<math>\blacksquare</math>

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי