משפט לייבניץ

2022-07-09T17:51:55Z

Avraham816: /* משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים */

==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס
*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math>

===הוכחה===
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .

*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|</math>

נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
לכן
:<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>
כלומר
:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
וכן הלאה עד שנקבל
:<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math>

וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).

לפי טיעון דומה, <math>\left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן

:<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}</math>

כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:אינפי]]

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משפט לייבניץ