Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-21T18:29:26Z

Birenzy: /* הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שיעורי בית ==

איפה אפשר לראות את שיעורי הבית ?
:בדף התרגילים, כמובן (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה !

== ריבוי של ע"ע ==

איך מוכיחים שריבוי אלגברי של ע"ע גדול מהריבוי הגיאומטרי שלו? (רמז יהיה נחמד)

:אה, נניח שהריבוי הגיאומטרי של ע"ע a הוא r, אזי קיימים r וקטורים בת"ל ששייכים למרחב העצמי של a. נשלים אותם לבסיס B של המרחב שלנו. הפולינום האופייני של מטר' דומות זהה. נסתכל על המטר' (או הע"ל) שלנו לפי בסיס B, יהיה לנו את השורש a לפחות r פעמים, זה נובע מדטרמיננטה של מטריצת בלוקים (ב r עמודות יהיו לנו וקטורים מהצורה a*ei)

== ליכסון מטריצה ==

אמרו לנו בתירגול שניתן ללכסן אופרטור מגודל N על N רק עם יש לנו N איברים עצמיים שונים.

זה נכון גם עבור מטריצה?

זו הייתה ההוכחה הראשונה בהרצאה ביום שלישי O_O

:דבר ראשון, קל לראות באמצעות מטריצות מייצגות שההבדל בין העתקות לינאריות למטריצות הוא זניח. שנית, אין דבר כזה "איבר עצמי" אם הכוונה שלך היא לע"ע אז המשפט שאמרת לא נכון - לדוגמא אופרטור הזהות. אם התכוונת לו"ע המשפט גם לא נכון, הרי קיימים אינסוף ו"ע (על ידי כפל בקבועים). ניתן לדבר על סכום מימדי המרחבים העצמיים שצריך להיות שווה לN ואז יהיה משפט נכון (גם עבור מטריצות). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ליכסון ==

בהרצאה הוכחנו שהמטריצה היחידה שניתנת לליכסון למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה , האם זה אומר שמטריצת היחידה לכסינה או שלא ?

:היא דומה למטריצה אלכסונית ע"י הכפלה ב I מימין ומשמאל... אז מסתמן שכן.

== תרגיל 1 שאלה 1 ==

מה הפירוש של לטרנספורמציה אין ערכים עצמיים שונים - 0 ערכים עצמיים או ערך עצמי אחד?

כן, או שאין ערכים עצמיים או שיש אחד.

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

אפשר רמז או הדרכה לפתרון ?

== מתי מעלים את תרגיל 2 ? ==

?
מצטרף לשאלה

מצטרף לשאלה.

== שאלה ==

ארז שלום,
רציתי לשאול באם תוכל לאפשר לי לשים פה קישור לבלוג שלי שמתעסק בספרות, מידע מדעי וטכנולוגיות. שלחתי לך מיילים אבל כנראה שהמיילים לא הגיעו כי לא ראיתי תגובה. אין בבלוג שלי שום דבר שעובר על זכויות יוצרים. סלבה.

== תרגיל 2 ==

מתי מעלים את תרגיל 2?

== ,תרגילים 2 ו1 ==

מה זה ריבוב? למדנו על ריבוי

זה אותו דבר, ריבוב אלגברי = ריבוי אלגברי, ריבוב גיאומטרי = ריבוי גיאומטרי

== מערכי תרגול ==

האם תוכלו בבקשה להוסיף מערכי תרגול גם ללינארית?

== תשובות לשיעורי הבית ==

למה לא העלו את הפתרון לתרגיל 5 בשיעורי בית 5?
התרגיל היחידי הבעייתי...

== מותר בבוחן להשתמש בהגדרה השנייה של פ"א בלי הסבר? ==

(נוחה יותר כשהכל חיובי)

== אפשר אולגריתם לשילוש מטריצה? ==

תודה

תשובה: נתתי כזה בהוכחה שבהרצאה שלי. אפשר לצלם מאחד התלמידים. בועז

== טעות בפתרון תרגיל 2 שאלה 4 ==

הוציאו קצת לפני סוף הפירוק לגורמים לינארים להוציא (1+ג) {ג=למדה} עשו את הפעולה אך כתבו כאילו הוציאו (1-ג) ואז נוצר ערך עצמי מיותר הפולינום האופייני היה (1+ג)(1-ג)(ג-8) במקום (ג-8)2^(1+ג)

== נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3 ==

הדטרמיננטה של המטריצה <math>\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}</math>

היא: a*e*i+b*f*g+c*d*h-c*e*g-b*d*i-a*f*h

הבודק :)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

בסעיף א', הכוונה לע"ע של A, נכון?
לא למדנו ע"ע של סקלרים ;)

אני חושבת שהכוונה היא ל A^k

== מה זה מרחב -אינווריאנטי ==

והאם הוא יכול להיות שאחד הבסיסים בו ישלח ל0 תודה

== אפשר בבקשה להלעות אלגוריתם לג'רדון מטריצה? ==

תודה

== הודעה חשובה מהבודק ==

נא להגיש תרגילים קריאים!!!
טיוטות לעשות בנפרד ולא בתרגיל המוגש! כמו כן, לא לכתוב את אותה שאלה במקומות שונים - זה מקשה על הבדיקה.

סטודנט שיגיש ש"ב מלאים קשקושים, מחיקות, וטיוטות, עבודתו לא תבדק.

תודה,
הבודק

== צורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית ==

יכול להיות שצורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית לא תהיה בלוק ג'ורדן? שאלה 2 בשאלות האמריקאיות במבחן הזה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2b62ts.pdf

:(לא מתרגל) כל הצורות המוצגות כאופציות הן צורות ג'ורדן.

== טעות נפוצה בשיעורי הבית ==

במהלך תרגיל 4, הופיעה במספר תרגילים הטענה: <math>x</math> ע"ע של <math>A</math> '''אמ"מ''' <math>x^k</math> ע"ע של <math>A^k</math>. מעל שדה <math>F^{n*n}</math>

הראתם בתרגיל 2 את הכיוון שמאל גורר ימין.

הכיוון השני לאו דווקא נכון, ותלוי בשדה!

יתכן כי <math>x^k</math> יהיה בשדה אך <math>x</math> לא יהיה וכתוצאה מזה הוא לא יהיה ע"ע של <math>A</math> בשדה הנ"ל.

לדוגמא,

<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=\pm i</math>

<math>A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=-1</math>

גם <math>A</math> וגם <math>A^2</math> נמצאים ב<math>R^{2*2}</math> וכן <math>x^2</math> נמצא ב<math>R</math>.

אבל, <math>x</math> לא נמצא ב<math>R</math> ולכן הוא אינו ע"ע של <math>A</math> שם.

ולכן, לא ניתן להשתמש בטענה זו בתרגיל 4 שאלה 1 שכן אין אנו יודעים דבר על השדה <math>F</math> הנתון.

הבודק.

:יהי <math>\alpha</math> ע"ע של A אזי <math>\alpha ^{k}</math> ע"ע של <math>A^{k} = 0</math> ולכן <math>\alpha ^ {k} = 0</math> כי 0 הוא הע"ע היחיד של מטריצת האפס... ולכן <math>\alpha = 0</math> וזה הכיוון הראשון.
:[A חייבת להיות לא הפיכה, אחרת <math>A^{k}</math> הפיכה, ובהכרח שונה מ 0, סתירה. לכן קיים צ"ל שמאפס את העמודות של A, ז"א שקיים וקטור v עבורו <math>Av=0</math> וזה אומר ש 0 אכן ע"ע].
:ההוכחה הזו תקפה?

:: ההוכחה הזו אכן תקפה

== הוכחה לאי שוויון המשולש ==

בכיתה משום מה לא הוכחנו את אי שוויון המשולש [המרצה אמר שנחזור לזה] אם מגדירים אורך של וקטור ע"י שורש המכפלה הפנימית.

אז חשבתי על הוכחה אלמנטרית ביותר להוכחת אי-שוויון המשולש: יהיו u,v וקטורים במרחב מכפלה פנימית. נסמן <math>|v|</math> אורך של וקטור v (כדי לקצר את הכתיבה):

<math>0 \leqslant <\frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}, \frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}> = 1+1 - \frac{<u,v>}{|u||v|} - \frac{<v,u>}{|u||v|}</math>

<math>\Rightarrow <u,v> + <v,u> \leqslant 2|u||v| \Rightarrow <u,u>+<u,v> + <v,u> + <v,v> \leqslant <u,u> + 2|u||v| + <v,v> \Rightarrow <u+v,u+v> \leqslant (|u|+|v|)^{2} \Rightarrow |u+v| \leqslant |u| + |v|</math>

קראתי את התרגול ואני לא מבין איך מג'רדנים מטריצה!!
אפשר הסבר טווב ומפורט בבקשה? תודה

מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]

== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==

שאלה 2ג: <math>[T]^K=[T^k]</math>

יהיו S,H הע"ל שהתחום של S הוא הטווח של H אזי <math>[S][H]=[SH]</math> ואינדוקציה

נחמד.

דרך אחרת היא להראות שלכל פול' <math>P</math> מתקיים <math>P[T]_B=[P(T)]_B</math> ובפרט עבור P=t^k. (נכון?)

:איך אתה מוכיח את זה?

::באמצעות מה שניסיתי להוכיח ._.

== הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4 ==

בתרגיל 4, הרבה מכם הניחו שאם <math>A</math> נילפוטנטית אז <math>A</math> היא מטריצה משולשית עם 0 על האלכסון.

הנחה זו '''שגויה'''!.

אמנם, כפי שרבים כתבו, דטרמיננטה של מטריצה נילפוטנטית היא <math>x^n</math> (חלקכם כתב שד"ר קוניאבסקי הוכיח זאת), אז אין זה אומר כלום על טבעה של המטריצה.

לדוגמא, <math>A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}</math> היא נילפוטנטית מסדר 2 (בדקו זאת!) והיא לא בעלת אפסים על האלכסון.

הבודק.

:הם כנראה התכוונו לכך ש-A '''דומה''' למשולשית כזאת, שזה כמובן נכון.

::אם כן, היה צורך לציין זאת או להוכיח את זה. בכל המקרים הנחה זו צוינה כעובדה, ללא נימוק, או הוכחה כלשהי.

== הבוחן ==

על איזה תריגילים הבוחן באינפי וו בלינארית ??

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-21T11:43:14Z

Birenzy: /* הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שיעורי בית ==

איפה אפשר לראות את שיעורי הבית ?
:בדף התרגילים, כמובן (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה !

== ריבוי של ע"ע ==

איך מוכיחים שריבוי אלגברי של ע"ע גדול מהריבוי הגיאומטרי שלו? (רמז יהיה נחמד)

:אה, נניח שהריבוי הגיאומטרי של ע"ע a הוא r, אזי קיימים r וקטורים בת"ל ששייכים למרחב העצמי של a. נשלים אותם לבסיס B של המרחב שלנו. הפולינום האופייני של מטר' דומות זהה. נסתכל על המטר' (או הע"ל) שלנו לפי בסיס B, יהיה לנו את השורש a לפחות r פעמים, זה נובע מדטרמיננטה של מטריצת בלוקים (ב r עמודות יהיו לנו וקטורים מהצורה a*ei)

== ליכסון מטריצה ==

אמרו לנו בתירגול שניתן ללכסן אופרטור מגודל N על N רק עם יש לנו N איברים עצמיים שונים.

זה נכון גם עבור מטריצה?

זו הייתה ההוכחה הראשונה בהרצאה ביום שלישי O_O

:דבר ראשון, קל לראות באמצעות מטריצות מייצגות שההבדל בין העתקות לינאריות למטריצות הוא זניח. שנית, אין דבר כזה "איבר עצמי" אם הכוונה שלך היא לע"ע אז המשפט שאמרת לא נכון - לדוגמא אופרטור הזהות. אם התכוונת לו"ע המשפט גם לא נכון, הרי קיימים אינסוף ו"ע (על ידי כפל בקבועים). ניתן לדבר על סכום מימדי המרחבים העצמיים שצריך להיות שווה לN ואז יהיה משפט נכון (גם עבור מטריצות). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ליכסון ==

בהרצאה הוכחנו שהמטריצה היחידה שניתנת לליכסון למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה , האם זה אומר שמטריצת היחידה לכסינה או שלא ?

:היא דומה למטריצה אלכסונית ע"י הכפלה ב I מימין ומשמאל... אז מסתמן שכן.

== תרגיל 1 שאלה 1 ==

מה הפירוש של לטרנספורמציה אין ערכים עצמיים שונים - 0 ערכים עצמיים או ערך עצמי אחד?

כן, או שאין ערכים עצמיים או שיש אחד.

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

אפשר רמז או הדרכה לפתרון ?

== מתי מעלים את תרגיל 2 ? ==

?
מצטרף לשאלה

מצטרף לשאלה.

== שאלה ==

ארז שלום,
רציתי לשאול באם תוכל לאפשר לי לשים פה קישור לבלוג שלי שמתעסק בספרות, מידע מדעי וטכנולוגיות. שלחתי לך מיילים אבל כנראה שהמיילים לא הגיעו כי לא ראיתי תגובה. אין בבלוג שלי שום דבר שעובר על זכויות יוצרים. סלבה.

== תרגיל 2 ==

מתי מעלים את תרגיל 2?

== ,תרגילים 2 ו1 ==

מה זה ריבוב? למדנו על ריבוי

זה אותו דבר, ריבוב אלגברי = ריבוי אלגברי, ריבוב גיאומטרי = ריבוי גיאומטרי

== מערכי תרגול ==

האם תוכלו בבקשה להוסיף מערכי תרגול גם ללינארית?

== תשובות לשיעורי הבית ==

למה לא העלו את הפתרון לתרגיל 5 בשיעורי בית 5?
התרגיל היחידי הבעייתי...

== מותר בבוחן להשתמש בהגדרה השנייה של פ"א בלי הסבר? ==

(נוחה יותר כשהכל חיובי)

== אפשר אולגריתם לשילוש מטריצה? ==

תודה

תשובה: נתתי כזה בהוכחה שבהרצאה שלי. אפשר לצלם מאחד התלמידים. בועז

== טעות בפתרון תרגיל 2 שאלה 4 ==

הוציאו קצת לפני סוף הפירוק לגורמים לינארים להוציא (1+ג) {ג=למדה} עשו את הפעולה אך כתבו כאילו הוציאו (1-ג) ואז נוצר ערך עצמי מיותר הפולינום האופייני היה (1+ג)(1-ג)(ג-8) במקום (ג-8)2^(1+ג)

== נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3 ==

הדטרמיננטה של המטריצה <math>\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}</math>

היא: a*e*i+b*f*g+c*d*h-c*e*g-b*d*i-a*f*h

הבודק :)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

בסעיף א', הכוונה לע"ע של A, נכון?
לא למדנו ע"ע של סקלרים ;)

אני חושבת שהכוונה היא ל A^k

== מה זה מרחב -אינווריאנטי ==

והאם הוא יכול להיות שאחד הבסיסים בו ישלח ל0 תודה

== אפשר בבקשה להלעות אלגוריתם לג'רדון מטריצה? ==

תודה

== הודעה חשובה מהבודק ==

נא להגיש תרגילים קריאים!!!
טיוטות לעשות בנפרד ולא בתרגיל המוגש! כמו כן, לא לכתוב את אותה שאלה במקומות שונים - זה מקשה על הבדיקה.

סטודנט שיגיש ש"ב מלאים קשקושים, מחיקות, וטיוטות, עבודתו לא תבדק.

תודה,
הבודק

== צורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית ==

יכול להיות שצורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית לא תהיה בלוק ג'ורדן? שאלה 2 בשאלות האמריקאיות במבחן הזה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2b62ts.pdf

:(לא מתרגל) כל הצורות המוצגות כאופציות הן צורות ג'ורדן.

== טעות נפוצה בשיעורי הבית ==

במהלך תרגיל 4, הופיעה במספר תרגילים הטענה: <math>x</math> ע"ע של <math>A</math> '''אמ"מ''' <math>x^k</math> ע"ע של <math>A^k</math>. מעל שדה <math>F^{n*n}</math>

הראתם בתרגיל 2 את הכיוון שמאל גורר ימין.

הכיוון השני לאו דווקא נכון, ותלוי בשדה!

יתכן כי <math>x^k</math> יהיה בשדה אך <math>x</math> לא יהיה וכתוצאה מזה הוא לא יהיה ע"ע של <math>A</math> בשדה הנ"ל.

לדוגמא,

<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=\pm i</math>

<math>A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=-1</math>

גם <math>A</math> וגם <math>A^2</math> נמצאים ב<math>R^{2*2}</math> וכן <math>x^2</math> נמצא ב<math>R</math>.

אבל, <math>x</math> לא נמצא ב<math>R</math> ולכן הוא אינו ע"ע של <math>A</math> שם.

ולכן, לא ניתן להשתמש בטענה זו בתרגיל 4 שאלה 1 שכן אין אנו יודעים דבר על השדה <math>F</math> הנתון.

הבודק.

:יהי <math>\alpha</math> ע"ע של A אזי <math>\alpha ^{k}</math> ע"ע של <math>A^{k} = 0</math> ולכן <math>\alpha ^ {k} = 0</math> כי 0 הוא הע"ע היחיד של מטריצת האפס... ולכן <math>\alpha = 0</math> וזה הכיוון הראשון.
:[A חייבת להיות לא הפיכה, אחרת <math>A^{k}</math> הפיכה, ובהכרח שונה מ 0, סתירה. לכן קיים צ"ל שמאפס את העמודות של A, ז"א שקיים וקטור v עבורו <math>Av=0</math> וזה אומר ש 0 אכן ע"ע].
:ההוכחה הזו תקפה?

:: ההוכחה הזו אכן תקפה

== הוכחה לאי שוויון המשולש ==

בכיתה משום מה לא הוכחנו את אי שוויון המשולש [המרצה אמר שנחזור לזה] אם מגדירים אורך של וקטור ע"י שורש המכפלה הפנימית.

אז חשבתי על הוכחה אלמנטרית ביותר להוכחת אי-שוויון המשולש: יהיו u,v וקטורים במרחב מכפלה פנימית. נסמן <math>|v|</math> אורך של וקטור v (כדי לקצר את הכתיבה):

<math>0 \leqslant <\frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}, \frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}> = 1+1 - \frac{<u,v>}{|u||v|} - \frac{<v,u>}{|u||v|}</math>

<math>\Rightarrow <u,v> + <v,u> \leqslant 2|u||v| \Rightarrow <u,u>+<u,v> + <v,u> + <v,v> \leqslant <u,u> + 2|u||v| + <v,v> \Rightarrow <u+v,u+v> \leqslant (|u|+|v|)^{2} \Rightarrow |u+v| \leqslant |u| + |v|</math>

קראתי את התרגול ואני לא מבין איך מג'רדנים מטריצה!!
אפשר הסבר טווב ומפורט בבקשה? תודה

מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]

== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==

שאלה 2ג: <math>[T]^K=[T^k]</math>

יהיו S,H הע"ל שהתחום של S הוא הטווח של H אזי <math>[S][H]=[SH]</math> ואינדוקציה

נחמד. דרך אחרת היא להראות שלכל פול' <math>P</math> מתקיים <math>P[T]_B=[P(T)]_B</math> ובפרט עבור P=t^k. (נכון?)

== הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4 ==

בתרגיל 4, הרבה מכם הניחה שאם <math>A</math> נילפוטנטית אז <math>A</math> היא מטריצה משולשית עם 0 על האלכסון.

הנחה זו '''שגויה'''!.

אמנם, כפי שרבים כתבו, דטרימיננטה של מטריצה נילפוטנטית היא <math>x^n</math> (חלקכם כתב שד"ר קוניאבסקי הוכיח זאת), אז אין זה אומר כלום על טבעה של המטריצה.

לדוגמא, <math>A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}</math> היא נילפוטנטית מסדר 2 (בדקו זאת!) והיא לא בעלת אפסים על האלכסון.

הבודק.

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-21T11:32:35Z

Birenzy: /* טעות נפוצה בשיעורי הבית */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שיעורי בית ==

איפה אפשר לראות את שיעורי הבית ?
:בדף התרגילים, כמובן (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה !

== ריבוי של ע"ע ==

איך מוכיחים שריבוי אלגברי של ע"ע גדול מהריבוי הגיאומטרי שלו? (רמז יהיה נחמד)

:אה, נניח שהריבוי הגיאומטרי של ע"ע a הוא r, אזי קיימים r וקטורים בת"ל ששייכים למרחב העצמי של a. נשלים אותם לבסיס B של המרחב שלנו. הפולינום האופייני של מטר' דומות זהה. נסתכל על המטר' (או הע"ל) שלנו לפי בסיס B, יהיה לנו את השורש a לפחות r פעמים, זה נובע מדטרמיננטה של מטריצת בלוקים (ב r עמודות יהיו לנו וקטורים מהצורה a*ei)

== ליכסון מטריצה ==

אמרו לנו בתירגול שניתן ללכסן אופרטור מגודל N על N רק עם יש לנו N איברים עצמיים שונים.

זה נכון גם עבור מטריצה?

זו הייתה ההוכחה הראשונה בהרצאה ביום שלישי O_O

:דבר ראשון, קל לראות באמצעות מטריצות מייצגות שההבדל בין העתקות לינאריות למטריצות הוא זניח. שנית, אין דבר כזה "איבר עצמי" אם הכוונה שלך היא לע"ע אז המשפט שאמרת לא נכון - לדוגמא אופרטור הזהות. אם התכוונת לו"ע המשפט גם לא נכון, הרי קיימים אינסוף ו"ע (על ידי כפל בקבועים). ניתן לדבר על סכום מימדי המרחבים העצמיים שצריך להיות שווה לN ואז יהיה משפט נכון (גם עבור מטריצות). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ליכסון ==

בהרצאה הוכחנו שהמטריצה היחידה שניתנת לליכסון למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה , האם זה אומר שמטריצת היחידה לכסינה או שלא ?

:היא דומה למטריצה אלכסונית ע"י הכפלה ב I מימין ומשמאל... אז מסתמן שכן.

== תרגיל 1 שאלה 1 ==

מה הפירוש של לטרנספורמציה אין ערכים עצמיים שונים - 0 ערכים עצמיים או ערך עצמי אחד?

כן, או שאין ערכים עצמיים או שיש אחד.

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

אפשר רמז או הדרכה לפתרון ?

== מתי מעלים את תרגיל 2 ? ==

?
מצטרף לשאלה

מצטרף לשאלה.

== שאלה ==

ארז שלום,
רציתי לשאול באם תוכל לאפשר לי לשים פה קישור לבלוג שלי שמתעסק בספרות, מידע מדעי וטכנולוגיות. שלחתי לך מיילים אבל כנראה שהמיילים לא הגיעו כי לא ראיתי תגובה. אין בבלוג שלי שום דבר שעובר על זכויות יוצרים. סלבה.

== תרגיל 2 ==

מתי מעלים את תרגיל 2?

== ,תרגילים 2 ו1 ==

מה זה ריבוב? למדנו על ריבוי

זה אותו דבר, ריבוב אלגברי = ריבוי אלגברי, ריבוב גיאומטרי = ריבוי גיאומטרי

== מערכי תרגול ==

האם תוכלו בבקשה להוסיף מערכי תרגול גם ללינארית?

== תשובות לשיעורי הבית ==

למה לא העלו את הפתרון לתרגיל 5 בשיעורי בית 5?
התרגיל היחידי הבעייתי...

== מותר בבוחן להשתמש בהגדרה השנייה של פ"א בלי הסבר? ==

(נוחה יותר כשהכל חיובי)

== אפשר אולגריתם לשילוש מטריצה? ==

תודה

תשובה: נתתי כזה בהוכחה שבהרצאה שלי. אפשר לצלם מאחד התלמידים. בועז

== טעות בפתרון תרגיל 2 שאלה 4 ==

הוציאו קצת לפני סוף הפירוק לגורמים לינארים להוציא (1+ג) {ג=למדה} עשו את הפעולה אך כתבו כאילו הוציאו (1-ג) ואז נוצר ערך עצמי מיותר הפולינום האופייני היה (1+ג)(1-ג)(ג-8) במקום (ג-8)2^(1+ג)

== נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3 ==

הדטרמיננטה של המטריצה <math>\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}</math>

היא: a*e*i+b*f*g+c*d*h-c*e*g-b*d*i-a*f*h

הבודק :)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

בסעיף א', הכוונה לע"ע של A, נכון?
לא למדנו ע"ע של סקלרים ;)

אני חושבת שהכוונה היא ל A^k

== מה זה מרחב -אינווריאנטי ==

והאם הוא יכול להיות שאחד הבסיסים בו ישלח ל0 תודה

== אפשר בבקשה להלעות אלגוריתם לג'רדון מטריצה? ==

תודה

== הודעה חשובה מהבודק ==

נא להגיש תרגילים קריאים!!!
טיוטות לעשות בנפרד ולא בתרגיל המוגש! כמו כן, לא לכתוב את אותה שאלה במקומות שונים - זה מקשה על הבדיקה.

סטודנט שיגיש ש"ב מלאים קשקושים, מחיקות, וטיוטות, עבודתו לא תבדק.

תודה,
הבודק

== צורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית ==

יכול להיות שצורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית לא תהיה בלוק ג'ורדן? שאלה 2 בשאלות האמריקאיות במבחן הזה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2b62ts.pdf

:(לא מתרגל) כל הצורות המוצגות כאופציות הן צורות ג'ורדן.

== טעות נפוצה בשיעורי הבית ==

במהלך תרגיל 4, הופיעה במספר תרגילים הטענה: <math>x</math> ע"ע של <math>A</math> '''אמ"מ''' <math>x^k</math> ע"ע של <math>A^k</math>. מעל שדה <math>F^{n*n}</math>

הראתם בתרגיל 2 את הכיוון שמאל גורר ימין.

הכיוון השני לאו דווקא נכון, ותלוי בשדה!

יתכן כי <math>x^k</math> יהיה בשדה אך <math>x</math> לא יהיה וכתוצאה מזה הוא לא יהיה ע"ע של <math>A</math> בשדה הנ"ל.

לדוגמא,

<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=\pm i</math>

<math>A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=-1</math>

גם <math>A</math> וגם <math>A^2</math> נמצאים ב<math>R^{2*2}</math> וכן <math>x^2</math> נמצא ב<math>R</math>.

אבל, <math>x</math> לא נמצא ב<math>R</math> ולכן הוא אינו ע"ע של <math>A</math> שם.

ולכן, לא ניתן להשתמש בטענה זו בתרגיל 4 שאלה 1 שכן אין אנו יודעים דבר על השדה <math>F</math> הנתון.

הבודק.

:יהי <math>\alpha</math> ע"ע של A אזי <math>\alpha ^{k}</math> ע"ע של <math>A^{k} = 0</math> ולכן <math>\alpha ^ {k} = 0</math> כי 0 הוא הע"ע היחיד של מטריצת האפס... ולכן <math>\alpha = 0</math> וזה הכיוון הראשון.
:[A חייבת להיות לא הפיכה, אחרת <math>A^{k}</math> הפיכה, ובהכרח שונה מ 0, סתירה. לכן קיים צ"ל שמאפס את העמודות של A, ז"א שקיים וקטור v עבורו <math>Av=0</math> וזה אומר ש 0 אכן ע"ע].
:ההוכחה הזו תקפה?

:: ההוכחה הזו אכן תקפה

== הוכחה לאי שוויון המשולש ==

בכיתה משום מה לא הוכחנו את אי שוויון המשולש [המרצה אמר שנחזור לזה] אם מגדירים אורך של וקטור ע"י שורש המכפלה הפנימית.

אז חשבתי על הוכחה אלמנטרית ביותר להוכחת אי-שוויון המשולש: יהיו u,v וקטורים במרחב מכפלה פנימית. נסמן <math>|v|</math> אורך של וקטור v (כדי לקצר את הכתיבה):

<math>0 \leqslant <\frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}, \frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}> = 1+1 - \frac{<u,v>}{|u||v|} - \frac{<v,u>}{|u||v|}</math>

<math>\Rightarrow <u,v> + <v,u> \leqslant 2|u||v| \Rightarrow <u,u>+<u,v> + <v,u> + <v,v> \leqslant <u,u> + 2|u||v| + <v,v> \Rightarrow <u+v,u+v> \leqslant (|u|+|v|)^{2} \Rightarrow |u+v| \leqslant |u| + |v|</math>

קראתי את התרגול ואני לא מבין איך מג'רדנים מטריצה!!
אפשר הסבר טווב ומפורט בבקשה? תודה

מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]

== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==

שאלה 2ג: <math>[T]^K=[T^k]</math>

יהיו S,H הע"ל שהתחום של S הוא הטווח של H אזי <math>[S][H]=[SH]</math> ואינדוקציה

נחמד. דרך אחרת היא להראות שלכל פול' <math>P</math> מתקיים <math>P[T]_B=[P(T)]_B</math> ובפרט עבור P=t^k. (נכון?)

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-16T19:13:30Z

Birenzy: /* טעות נפוצה בשיעורי הבית */ פסקה חדשה

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-13T09:41:05Z

Birenzy: /* הודעה חשובה מהבודק */

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-13T09:39:48Z

Birenzy: /* הודעה חשובה מהבודק */ פסקה חדשה

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-12-05T11:48:29Z

Birenzy: /* שאלה כללית לגבי תרגיל 5 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעות בשאלה 2 ==

לגבי שאלה 2, C לא צריך להיות לפחות תחום? לא תמיד אפשר להוכיח את השאלה בחוג קומוטטיבי כללי.
:אין טעות. זה נכון גם אם זה לא תחום. --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 20:29, 6 בנובמבר 2011 (IST)

== ספרות ==

מצאתי מקור טוב להוכחות ולתרגילים כולל דוגמאות בכמה ספרים ככה שמי שמעוניין [http://shareinfoblog.blogspot.com/2011/11/do-learn-abstract-algebra-need-good.html מוזמן].

== בונוס ==

כשכתוב בבונוס להראות שהפתרונות המתקבלים שווים, הכוונה היא לפתרונות של התרגיל הספציפי הזה או להראות שתמיד כשמשתמשים בשתי השיטות מתקבל אותו פיתרון?

:הכוונה רק לפתרונות של המשוואה הספציפית הזו. יש מצב שצריך לבחור את הענף של הלוג בחכמה.--[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 12:35, 13 בנובמבר 2011 (IST)

== שאלה 1 ==

כשכתוב למצוא פתרון הכוונה היא שמספיק אחד, נכון? (כלומר, הפתרון הממשי, מבלי לחלק בו ולמצוא את המרוכבים)

:מספיק למצוא פיתרון אחד. כל פיתרון, ממשי או מרוכב, הוא בסדר.--[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 12:36, 13 בנובמבר 2011 (IST)

== שאלה 3 ==

הפולינום הנתון צריך להיות x^3+a*x^2+b*x+c, במקום x^3+a*x+b*x+c, נכון?

:אכן כן.--[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 12:37, 13 בנובמבר 2011 (IST)

== שאלה 2 תרגיל 2 ==

אפשר לקבל הכוונה? יש לי משוואה ממעלה 4, האם הכוונה להוריד למעלה 3 ולמצוא שורש?

:עליך להעביר את הבעיה לפתרון משוואה ממעלה שלישית, אך אין צורך לפתור את המשוואה מהמעלה השלישית, אלא להביע את השורש של המשוואה מהמעלה הרביעית בעזרת השורש של המשוואה מהמעלה השלישית (סמן את השורש באות לועזית כלשהי). --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 15:39, 15 בנובמבר 2011 (IST)

== אוקלידס ==

אם זה אפשרי, תוכל להעלות דפי הסבר לאלגוריתם אוקלידס המוכלל? תודה!

== שאלה כללית לגבי תרגיל 4 ==

האם לאורך כל התרגיל מותר להניח כי Q[ביטוי מספרי1]*Q[ביטוי מספרי2] = Q[ביטוי מספרי1, ביטוי מספרי2]?

בתרגול לא ראינו איך מוכיחים ששדה כלשהו הוא הקומפוזיטום של שניים אחריים אך ראינו כי הנ"ל מתקיים אם כן.

(התהפכו לי הסוגריים המרובעים, אז בבקשה להתייחס כאילו הם היו מצד ימין של הQ ולא מצד שמאל)

:הטענה שכתבת שגויה. אתם לא צריכים לחשב קומפוזיטום בתרגיל. מספיקה העובדה ש-<math>[K[a]:K]\leq[F[a]:F]</math> עבור <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות ו-<math>a\in L</math>. --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 18:09, 29 בנובמבר 2011 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 4 ==

האם הכוונה כאשר צריך להוכיח את החילוק זה כולל ששני הדברים סופיים?
:ניתן להניח שההרחבות סופיות. אין טעם להתעסק עם הרחבה ממימד אינסופי כי אינסוף מתחלק בכל דבר סופי וגם באינסוף (לצורך הדיון). --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 18:12, 29 בנובמבר 2011 (IST)

== שיעורי בית ==

אין שיעורי בית השבוע למי שלומד אלגברה מופשטת 3, נכון? ;)

== שאלה כללית לגבי תרגיל 5 ==

האם בשאלה 1 סעיף 4, הכוונה היא לביטוי שמכיל רק שורשים ריבועיים ומספרים רציונליים?
לדוגמא, אפילו <math>sqrt(2+sqrt(2))</math> ?

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-25T14:43:07Z

Birenzy:

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-25T14:42:16Z

Birenzy: /* שאלה כללית לגבי תרגיל 4 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעות בשאלה 2 ==

לגבי שאלה 2, C לא צריך להיות לפחות תחום? לא תמיד אפשר להוכיח את השאלה בחוג קומוטטיבי כללי.
:אין טעות. זה נכון גם אם זה לא תחום. --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 20:29, 6 בנובמבר 2011 (IST)

== ספרות ==

מצאתי מקור טוב להוכחות ולתרגילים כולל דוגמאות בכמה ספרים ככה שמי שמעוניין [http://shareinfoblog.blogspot.com/2011/11/do-learn-abstract-algebra-need-good.html מוזמן].

== בונוס ==

כשכתוב בבונוס להראות שהפתרונות המתקבלים שווים, הכוונה היא לפתרונות של התרגיל הספציפי הזה או להראות שתמיד כשמשתמשים בשתי השיטות מתקבל אותו פיתרון?

:הכוונה רק לפתרונות של המשוואה הספציפית הזו. יש מצב שצריך לבחור את הענף של הלוג בחכמה.--[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 12:35, 13 בנובמבר 2011 (IST)

== שאלה 1 ==

כשכתוב למצוא פתרון הכוונה היא שמספיק אחד, נכון? (כלומר, הפתרון הממשי, מבלי לחלק בו ולמצוא את המרוכבים)

:מספיק למצוא פיתרון אחד. כל פיתרון, ממשי או מרוכב, הוא בסדר.--[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 12:36, 13 בנובמבר 2011 (IST)

== שאלה 3 ==

הפולינום הנתון צריך להיות x^3+a*x^2+b*x+c, במקום x^3+a*x+b*x+c, נכון?

:אכן כן.--[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 12:37, 13 בנובמבר 2011 (IST)

== שאלה 2 תרגיל 2 ==

אפשר לקבל הכוונה? יש לי משוואה ממעלה 4, האם הכוונה להוריד למעלה 3 ולמצוא שורש?

:עליך להעביר את הבעיה לפתרון משוואה ממעלה שלישית, אך אין צורך לפתור את המשוואה מהמעלה השלישית, אלא להביע את השורש של המשוואה מהמעלה הרביעית בעזרת השורש של המשוואה מהמעלה השלישית (סמן את השורש באות לועזית כלשהי). --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 15:39, 15 בנובמבר 2011 (IST)

== אוקלידס ==

אם זה אפשרי, תוכל להעלות דפי הסבר לאלגוריתם אוקלידס המוכלל? תודה!

== שאלה כללית לגבי תרגיל 4 ==

האם לאורך כל התרגיל מותר להניח כי Q[ביטוי מספרי1]*Q[ביטוי מספרי2] = Q[ביטוי מספרי1, ביטוי מספרי2]?

בתרגול לא ראינו איך מוכיחים ששדה כלשהו הוא הקומפוזיטום של שניים אחריים אך ראינו כי הנ"ל מתקיים אם כן.

(התהפכו לי הסוגריים המרובעים, אז בבקשה להתייחס כאילו הם היו מצד ימין של הQ ולא מצד שמאל)

== שאלה כללית לגבי תרגיל 4 ==

האם לאורך כל התרגיל מותר להניח כי Q[ביטוי מספרי1]*Q[ביטוי מספרי2] = Q[ביטוי מספרי1, ביטוי מספרי2]?

בתרגול לא ראינו איך מוכיחים ששדה כלשהו הוא הקומפוזיטום של שניים אחריים אך ראינו כי הנ"ל מתקיים אם כן.

(התהפכו לי הסוגריים המרובעים, אז בבקשה להתייחס כאילו הם היו מצד ימין של הQ ולא מצד שמאל)

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-25T14:42:13Z

Birenzy: /* שאלה כללית לגבי תרגיל 4 */ פסקה חדשה

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-11-22T13:02:30Z

Birenzy: /* נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3 */ פסקה חדשה

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-12T09:02:57Z

Birenzy: /* שאלה 3 */

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-12T09:02:17Z

Birenzy: /* שאלה 3 */

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-12T09:01:58Z

Birenzy: /* שאלות */

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-11T18:20:02Z

Birenzy: /* שאלות */

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-04T15:44:31Z

Birenzy: /* טעות בשאלה 2 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעות בשאלה 2 ==

לגבי שאלה 2, C לא צריך להיות לפחות תחום? לא תמיד אפשר להוכיח את השאלה בחוג קומוטטיבי כללי.

שיחה:88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב

2011-11-04T15:27:46Z

Birenzy: /* טעות בשאלה 2 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== טעות בשאלה 2 ==

לגבי שאלה 2, C צריך להיות לפחות תחום - לא תמיד אפשר להוכיח את השאלה בחוג קומוטטיבי כללי.

שיחה:88-236 תשעא סמסטר קיץ

2011-09-03T16:07:46Z

Birenzy: /* בקשה מהמתרגלים */

=שאלות=

== '''[[88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 1|ארכיון תרגיל 1]]''' ==
== '''[[88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 2|ארכיון תרגיל 2]]''' ==
== '''[[88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 3|ארכיון תרגיל 3]]''' ==

== תרגיל 4 ==
מתי יעלו פתרונות של תרגיל 2? ו-3? לפחות של 2.....
: מחר --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:53, 28 באוגוסט 2011 (IDT)

===שאלה===
מה לעזאזל? ברצינות
:מצטרף. מה הקשר לקבוצות קומפקטיות פתאום בקורס הזה?
:: מה מפריע לך בכך שקבוצה היא קומפקטית? האם חסר מידע כלשהו?--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:15, 31 באוגוסט 2011 (IDT)

===שאלה 3===
לא התכוונתם שהדומיין של המשטח יהיה בין 0 ל2pi? אחרת הוא לא מקיף את התחום ויהיה עלינו לחשב כמה אינטגרלים לא סימפטיים (שנראה כי נכתבו בכוונה כדי שייתבטלו בעזרת סטוקס).
או שזה יהיה cos(2*Pi*t) וsin(2*Pi*t)?

אכן צריך להיות שם פאי. א' צריך להיות ((γ(s,t)=(2cos(2π t),3sin(2π t)cos(πs),sin(2π t)sin(πt ו-ב' צריך להיות ((γ(t)=(cos(2πt),sin(2πt),sin(2πt [ברק]

===שאלה 3 סעיף א'===
נתונה פרמטריזציה של פני אליפסואיד, אבל התחום של הפרמטרים הוא בין 0 ל-1, אז מקבלים רק חלק מפני האליפסואיד. האם זאת הייתה הכוונה?

נפלה טעות בניסוח, ראה תשובה לשאלה הבאה. [ברק]

===שאלה 3 סעיף ב'===
מסילה ב-R^3 היא אינה שפה של אף תחום ב-R^3, ואין לה שפה. כיצד אנו אמורים להשתמש במשפט סטוקס?
אודה לכם אם אקבל תשובה מהירה, התרגיל להגשה בעוד כחמישה ימים ויש גם מבחן על הדרך.

מתנצל, צריך להיות בסעיף ב' ((γ(t)=(cos(2πt),sin(2πt),sin(2πt נפלה שגיאה בניסוח השאלה. בסעיף א' אמור להיות:
((γ(s,t)=(2cos(2π t),3sin(2π t)cos(πs),sin(2π t)sin(πs [ברק]

:'''התשובה אינה פותרת את הבעייתיות של סעיף ב'. למסילה ב-R^3 אין שפה והיא גם לא שפה של תחום כלשהו, אפילו אם היא סגורה.
'''
:: אני רק רוצה להוסיף שזה שכתבת "[ברק]" לא מוסיף לך הרבה אמינות. איך אנחנו יודעים שאתה ברק הראל האמיתי או שסתם עובדים עלינו? יש מצב שאתם מתקנים את התרגיל\כותבים מהיוזר המוכר של גרישה כדי למנוע ספק?
::: גם זה שאני כותב [[משתמש:Grisha|Grisha]] לא מוסיף אמינות, המערכת פתוחה לכולם וכל אחד יכול להכניס שינויים. יוצאים מנקודת הנחה שאנחנו לא בגן ילדים.
:::::'''התשובה אינה פותרת את הבעייתיות של סעיף ב'. למסילה ב-R^3 אין שפה והיא גם לא שפה של תחום כלשהו, אפילו אם היא סגורה.
'''
:::::: עיגול מוכל ב-<math>\R^3</math> ומעגל (שהוא למעשה מסילה) הוא שפה שלו.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:42, 31 באוגוסט 2011 (IDT)

:::::::'''לא נכון. השפה של קבוצה A זה (cl(A)\int(A. הסגור של העיגול זה העיגול עצמו, והפנים ריק.
'''
:::::::: לא הבנתי אותך. למה פנים של העיגול ריק? באיזה מטריקה אתה משתמש? תרשה לי להפנות אותך לדוגמאות: [http://www.math24.net/stokes-theorem.html] או [http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/StokesTheorem.aspx]

:::::::::הפנים ריק כי העיגול מוכל בR^3 ולא בR^2
:::::::::: אבל למה אתה מסתכל ב-<math>\R^3</math>? עיגול מוכל ב-<math>\R^2</math>, יש לו פנים, יש לו שפה. אם נמשיך בהגיון שלך אז נקבל כי כל פנים הוא ריק כי תמיד נוכל לעלות עוד כמה מימדים ולהשתמש במטריקות הלא קשורות.
:::::::::::'''לדעתי דווקא הגיוני שאם אנחנו מסתכלים על המרחב R^3, אז נסתכל עליו במונחים של R^3, וגם במטריקה של R^3, ולא נקפוץ למימדים קטנים יותר כי במקרה נתון לנו משטח ממימד קטן יותר.'''
:::::::::::: אם מחפשים שפה של תחום דו-מימדי או חד-מימדי, לא עושים זה <math>\R^3</math>. אפשר למקם תחום דו-מימדי ב-<math>\R^k</math> כאשר <math>k>2</math> אך זה לא אומר שנחפש שפה שלו לפי מטריקה של <math>\R^k</math>. כך, למשל, שפה של עיגול (תחום דו-מימדי) שממוקם ב- <math>\R^3</math> היא עדיין מעגל שהוא בעצמו תחום חד-מימדי.
:::::::::::::'''איזה פרמטריזציה קיימת לעיגול? זהו למעשה חלק ממישור, אבל הצגה פרמטרית רגיל של מישור לא תעבוד, כי הגבלת הפרמטרים לתחום מסוים "תחתוך" לנו מלבן מהמישור ולא עיגול כפי שאנו צריכים.'''

===שאלה 3 סעיף ב'===
יש בעיה בשאלה. האם *מישהו* (כולל המתרגלים) הצליח בכלל לפתור אותה?
: כן, זה אפשרי. איפה נתקלת בבעיה?--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:04, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::ראה הודעה אחרונה בדיון למעלה. לא הצלחתי למצוא פרמטריזציה לעיגול.
::: תסביר למה אתה צריך פרמטריזציה לעיגול? איך אתה פותר את השאלה?--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:08, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::::משפט סטוקס: גוזרים את התבנית ועוברים לאינטגרל על העיגול עצמו (במקום על השפה שלו). בשביל אינטגרל העיגול, אני צריך פרמטריזציה של העיגול.
::::: הבנתי. אני ממליץ שקודם תמצא את <math>rot(\vec F)\cdot \hat n</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:18, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::::::הבנתי. האם הנורמל חייב להיות נורמל יחידה?
::::::: כן, אחרת אין יחידות לאינטגרל.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:17, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

===שאלה 3 סעיף ב'===
אני מניח שבתכנון התרגיל התכוונתם שהמכפלה הסקלרית של rot(F) עם הנורמל n תתאפס. היא לא מתאפסת.
: לא, זאת לא הייתה הכוונה.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:44, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
::אם כך, הרי שוב צריך למצוא פרמטריזציה של המשטח, כדי שנוכל לחשב את המכפלה הוקטורית בין הנגזרות השונות. איך מוצאים פרמטריזציה למשטח?
:::גרישה, בבקשה תן לנו רמז איך פותרים את זה. אנחנו מנסים את זה ימים ארוכים ועוד מעט המבחן.
:::: ככל הנראה טעית בחישוב rot או נורמל. אתה לא צריך פרמטריזציה. אם בכל זאת אתה לא מצליח תכתוב מה קיבלת כתוצאה של חישוב rot ומהו נורמל.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:10, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::הרוטור הוא (-1,1,-1) ונורמל כלשהו הוא למשל (אחד, מינוס אחד, אפס) אותו צריך לנרמל, ואז באינטגרל לכפול באלמנט השטח של המשטח, שאין לנו מושג מה הוא.
:::::: נניח. מה משמעטת של <math>\iint\limits_S {ds}</math>--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:38, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::::זהו שטח האליפסה. אבל כיצד נמצא את אורכי הצירים שלה?
:::::::: תצייר את הגרף.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:47, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::::::את הנורמל יש לקחת עם שיעור z חיובי?
:::::::::: כיוון המסלול הוא בכיוון עליית הפרמטר. קובעים את כיוון הנורמל בעזרת כלל יד ימין.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:23, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::::::::אבל אין פה פרמטר...
:::::::::::: ודאי שיש! הרי מסילה נתונה בצורה פרמטרית, הפרמטר הוא t.

===שאלה===
בשאלה 3ב', יש צורך לדעת לחשב את השטח של התחום החסום על ידי המסילה? אם כן, האם התחום הוא אליפסה?
: אם אתה לא מצליח להבין את זה מהפרמטריזציה, אז תצייר את התחום.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:12, 2 בספטמבר 2011 (IDT)

===שאלה 3 - תרגיל מתוקן הועלה לאתר --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:22, 31 באוגוסט 2011 (IDT)===

===שאלה 4===
האם התחום F חסום? זה לא ברור מהשאלה. כמו כן, מה זה תחום אוריינטבילי? לא הוגדר לא בהרצאה ולא בתרגול.
: כן, הוא תחום חסום (מדברים על הפשה שלו). בקצרה - תחום אוריאנטבילי זהו תחום אשר ניתן בכל נקודה שלו להגדיר את וקטור נורמל. להרחבה אפשר להסתכל כאן: [http://en.wikipedia.org/wiki/Orientability].--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:32, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
::לא רק לתחום חסום יש שפה
::: בקורס זה לא דיברנו על תחומים לא חסומים.
:::: טוב לדעת

===בקשה מהמתרגלים===
1. האם תוכלו לתת רמזים לפתרון סעיפים ב' וג' של שאלה 4 בתרגיל הבית?
2. האם נוכל לקבל מספר ימי דחיה בהגשת תרגיל 4? התרגיל קשה מהרגיל, וברצוננו לנצל את הזמן ללמידה למבחן.
:אני רק רוצה להוסיף שבקבוצת פייסבוק שלנו '''אף אחד''' לא הצליח את הסעיפים האלו, והרבה כבר מוותרים בגלל המבחן. אתם לא יכולים לעשות משהו בקשר לזה?

===אינטגרל===
רועי שלום, להלן [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%201%2F(x^3-1)%20dx&t=crmtb01 פתרון הבעיה שביקשת עם הסברים שלב שלב שתבין את מהלך הפתרון], סלבה.
:מה???

==שאלה שקשורה להרצאה מספר 2==
בהרצאה מספר 2 טענו שהקבוצה M={(x,y) : (x,y) is in [0,1] intersection Q} היא חסרת תכולה. כדי להוכיח זאת, אמרנו שכל קב' מלבנים שאיחודים מכיל את M סכום תכולם הוא לפחות 1. למה זה נכון? (למשל המלבנים המנוונים. הם מכילים את הנק', לא? וסכום תכולתם הוא 0.)
: בסיכום שנמצא באתר יש טעות בהגדרה/משפט (חלק 2) ואי-דיוק קטן.
: קודם כל, מספר תיבות הוא סופי, אנחנו לא מדברים על אוסף אינסופי של תיבות לא חשוב באיזה חלק של משפט.
: ועכשיו תיקון ל-2: אוסף סופי של תיבות שאיחודם מכיל את <math>A</math> (הם בעצמם לא מוכלים ב-<math>A</math>) (השאר נכון)
: בקשר למספרים רציונליים - קבוצה M מכילה אף תיבה (רק מנוונות), לכן ברור כי <math>\sum{V(T_i)}=0</math>. מצד שני, <math>\sum{V(S_i)}\ge 1</math> (אני מזכיר שמדובר במספר סופי [[של]] תיבות ושבין כל שני מספרים רציונאליים שוניים קיים מספר רציונאלי נוסף).--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:42, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

::תודה רבה (:

==שאלה בקשר לפתרון תרגיל 1==
בשאלה 9 בתרגיל 1, נתונים 4 קודקודים של טטראדר וצריך לחשב את נפחו. לא הבנתי את דרך הפתרון - חישבנו את נפח המקבילית המתאימה? למה זה דווקא הדטרמיננטה הזו? (למה הצלעות שפורשות את המקבילית הן דווקא הקודקודים של הטטראדר..) אשמח לתשובה.
: נפח של טטרהדר <math>V = \frac{1}{3} S\,h \,</math> כאשר S הוא שטח הבסיס. כיוון שנקודה <math>p_1</math> מתלכדת עם הראשית, נבחר, בה"כ: <math>a_1=p_2-p_1,\,a_2=p_3-p_1,\,a_3=q-p_1\,</math>. לכן <math>S = \frac{1}{2} |a_1\times a_2| \,</math>. מכאן ברור כי <math>V = \frac{1}{6} |a_3\cdot a_1\times a_2|= \frac{1}{6} |det(a_1,a_2,a_3)|\,</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:18, 31 באוגוסט 2011 (IDT)

==שאלה==
האם מסילות שקולות תמיד קובעות את אותו הקו?

=שאלות לדוגמה=
==שאלה==
מי כתב את השאלות לדוגמה?
: המרצים
::בשאלה הראשונה, כתוב "חשב את העבודה הנעשית ע"י שדה הכח F על חלקיק שנע מהנקודה אל הנקודה לאורך...." - שכחו לתת את הנקודות! יש מצב שאתם מתקנים את זה?
::: תניח שמדובר ב: מנקודה (0,0) לנקודה (2a,0) (או בסדר הפוך, זה בסך הכול ישנה את הסימן).--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:23, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

==שאלה==
בשאלה 3 בשאלות לדוגמה, לא צריך לדרוש מסילות חח"ע? (על מנת לשחק עם הגבולות - מa לb ומ-c ל-d), או שזה לא חובה?
: הן גזירות ברציפות, זה מספיק.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:19, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

==תבנית מדויקת==
בסיכומים וחומרי עזר יש הוכחה שהאינטגרל של תבנית מדויקת שווה לאפס. בטוח שהמשפט נכון? מה עם האינטגרל על ydx+xdy על המסילה g(t)=(t,t) מ0 עד 1? יוצא לי שהאינטגרל 1 למרות שהתבנית היא הנגזרת של f=xy.

שיחה:88-236 תשעא סמסטר קיץ

2011-09-03T13:45:33Z

Birenzy: /* תרגיל 4 */

=שאלות=

== '''[[88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 1|ארכיון תרגיל 1]]''' ==
== '''[[88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 2|ארכיון תרגיל 2]]''' ==
== '''[[88-236 תשעא סמסטר קיץ/שאלות ותשובות - ארכיון 3|ארכיון תרגיל 3]]''' ==

== תרגיל 4 ==
מתי יעלו פתרונות של תרגיל 2? ו-3? לפחות של 2.....
: מחר --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:53, 28 באוגוסט 2011 (IDT)

===שאלה===
מה לעזאזל? ברצינות
:מצטרף. מה הקשר לקבוצות קומפקטיות פתאום בקורס הזה?
:: מה מפריע לך בכך שקבוצה היא קומפקטית? האם חסר מידע כלשהו?--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:15, 31 באוגוסט 2011 (IDT)

===שאלה 3===
לא התכוונתם שהדומיין של המשטח יהיה בין 0 ל2pi? אחרת הוא לא מקיף את התחום ויהיה עלינו לחשב כמה אינטגרלים לא סימפטיים (שנראה כי נכתבו בכוונה כדי שייתבטלו בעזרת סטוקס).
או שזה יהיה cos(2*Pi*t) וsin(2*Pi*t)?

אכן צריך להיות שם פאי. א' צריך להיות ((γ(s,t)=(2cos(2π t),3sin(2π t)cos(πs),sin(2π t)sin(πt ו-ב' צריך להיות ((γ(t)=(cos(2πt),sin(2πt),sin(2πt [ברק]

===שאלה 3 סעיף א'===
נתונה פרמטריזציה של פני אליפסואיד, אבל התחום של הפרמטרים הוא בין 0 ל-1, אז מקבלים רק חלק מפני האליפסואיד. האם זאת הייתה הכוונה?

נפלה טעות בניסוח, ראה תשובה לשאלה הבאה. [ברק]

===שאלה 3 סעיף ב'===
מסילה ב-R^3 היא אינה שפה של אף תחום ב-R^3, ואין לה שפה. כיצד אנו אמורים להשתמש במשפט סטוקס?
אודה לכם אם אקבל תשובה מהירה, התרגיל להגשה בעוד כחמישה ימים ויש גם מבחן על הדרך.

מתנצל, צריך להיות בסעיף ב' ((γ(t)=(cos(2πt),sin(2πt),sin(2πt נפלה שגיאה בניסוח השאלה. בסעיף א' אמור להיות:
((γ(s,t)=(2cos(2π t),3sin(2π t)cos(πs),sin(2π t)sin(πs [ברק]

:'''התשובה אינה פותרת את הבעייתיות של סעיף ב'. למסילה ב-R^3 אין שפה והיא גם לא שפה של תחום כלשהו, אפילו אם היא סגורה.
'''
:: אני רק רוצה להוסיף שזה שכתבת "[ברק]" לא מוסיף לך הרבה אמינות. איך אנחנו יודעים שאתה ברק הראל האמיתי או שסתם עובדים עלינו? יש מצב שאתם מתקנים את התרגיל\כותבים מהיוזר המוכר של גרישה כדי למנוע ספק?
::: גם זה שאני כותב [[משתמש:Grisha|Grisha]] לא מוסיף אמינות, המערכת פתוחה לכולם וכל אחד יכול להכניס שינויים. יוצאים מנקודת הנחה שאנחנו לא בגן ילדים.
:::::'''התשובה אינה פותרת את הבעייתיות של סעיף ב'. למסילה ב-R^3 אין שפה והיא גם לא שפה של תחום כלשהו, אפילו אם היא סגורה.
'''
:::::: עיגול מוכל ב-<math>\R^3</math> ומעגל (שהוא למעשה מסילה) הוא שפה שלו.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:42, 31 באוגוסט 2011 (IDT)

:::::::'''לא נכון. השפה של קבוצה A זה (cl(A)\int(A. הסגור של העיגול זה העיגול עצמו, והפנים ריק.
'''
:::::::: לא הבנתי אותך. למה פנים של העיגול ריק? באיזה מטריקה אתה משתמש? תרשה לי להפנות אותך לדוגמאות: [http://www.math24.net/stokes-theorem.html] או [http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/StokesTheorem.aspx]

:::::::::הפנים ריק כי העיגול מוכל בR^3 ולא בR^2
:::::::::: אבל למה אתה מסתכל ב-<math>\R^3</math>? עיגול מוכל ב-<math>\R^2</math>, יש לו פנים, יש לו שפה. אם נמשיך בהגיון שלך אז נקבל כי כל פנים הוא ריק כי תמיד נוכל לעלות עוד כמה מימדים ולהשתמש במטריקות הלא קשורות.
:::::::::::'''לדעתי דווקא הגיוני שאם אנחנו מסתכלים על המרחב R^3, אז נסתכל עליו במונחים של R^3, וגם במטריקה של R^3, ולא נקפוץ למימדים קטנים יותר כי במקרה נתון לנו משטח ממימד קטן יותר.'''
:::::::::::: אם מחפשים שפה של תחום דו-מימדי או חד-מימדי, לא עושים זה <math>\R^3</math>. אפשר למקם תחום דו-מימדי ב-<math>\R^k</math> כאשר <math>k>2</math> אך זה לא אומר שנחפש שפה שלו לפי מטריקה של <math>\R^k</math>. כך, למשל, שפה של עיגול (תחום דו-מימדי) שממוקם ב- <math>\R^3</math> היא עדיין מעגל שהוא בעצמו תחום חד-מימדי.
:::::::::::::'''איזה פרמטריזציה קיימת לעיגול? זהו למעשה חלק ממישור, אבל הצגה פרמטרית רגיל של מישור לא תעבוד, כי הגבלת הפרמטרים לתחום מסוים "תחתוך" לנו מלבן מהמישור ולא עיגול כפי שאנו צריכים.'''

===שאלה 3 סעיף ב'===
יש בעיה בשאלה. האם *מישהו* (כולל המתרגלים) הצליח בכלל לפתור אותה?
: כן, זה אפשרי. איפה נתקלת בבעיה?--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:04, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::ראה הודעה אחרונה בדיון למעלה. לא הצלחתי למצוא פרמטריזציה לעיגול.
::: תסביר למה אתה צריך פרמטריזציה לעיגול? איך אתה פותר את השאלה?--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:08, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::::משפט סטוקס: גוזרים את התבנית ועוברים לאינטגרל על העיגול עצמו (במקום על השפה שלו). בשביל אינטגרל העיגול, אני צריך פרמטריזציה של העיגול.
::::: הבנתי. אני ממליץ שקודם תמצא את <math>rot(\vec F)\cdot \hat n</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:18, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::::::הבנתי. האם הנורמל חייב להיות נורמל יחידה?
::::::: כן, אחרת אין יחידות לאינטגרל.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:17, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

===שאלה 3 סעיף ב'===
אני מניח שבתכנון התרגיל התכוונתם שהמכפלה הסקלרית של rot(F) עם הנורמל n תתאפס. היא לא מתאפסת.
: לא, זאת לא הייתה הכוונה.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:44, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
::אם כך, הרי שוב צריך למצוא פרמטריזציה של המשטח, כדי שנוכל לחשב את המכפלה הוקטורית בין הנגזרות השונות. איך מוצאים פרמטריזציה למשטח?
:::גרישה, בבקשה תן לנו רמז איך פותרים את זה. אנחנו מנסים את זה ימים ארוכים ועוד מעט המבחן.
:::: ככל הנראה טעית בחישוב rot או נורמל. אתה לא צריך פרמטריזציה. אם בכל זאת אתה לא מצליח תכתוב מה קיבלת כתוצאה של חישוב rot ומהו נורמל.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:10, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::הרוטור הוא (-1,1,-1) ונורמל כלשהו הוא למשל (אחד, מינוס אחד, אפס) אותו צריך לנרמל, ואז באינטגרל לכפול באלמנט השטח של המשטח, שאין לנו מושג מה הוא.
:::::: נניח. מה משמעטת של <math>\iint\limits_S {ds}</math>--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:38, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::::זהו שטח האליפסה. אבל כיצד נמצא את אורכי הצירים שלה?
:::::::: תצייר את הגרף.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:47, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::::::את הנורמל יש לקחת עם שיעור z חיובי?
:::::::::: כיוון המסלול הוא בכיוון עליית הפרמטר. קובעים את כיוון הנורמל בעזרת כלל יד ימין.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:23, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
:::::::::::אבל אין פה פרמטר...
:::::::::::: ודאי שיש! הרי מסילה נתונה בצורה פרמטרית, הפרמטר הוא t.

===שאלה===
בשאלה 3ב', יש צורך לדעת לחשב את השטח של התחום החסום על ידי המסילה? אם כן, האם התחום הוא אליפסה?
: אם אתה לא מצליח להבין את זה מהפרמטריזציה, אז תצייר את התחום.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:12, 2 בספטמבר 2011 (IDT)

===שאלה 3 - תרגיל מתוקן הועלה לאתר --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:22, 31 באוגוסט 2011 (IDT)===

===שאלה 4===
האם התחום F חסום? זה לא ברור מהשאלה. כמו כן, מה זה תחום אוריינטבילי? לא הוגדר לא בהרצאה ולא בתרגול.
: כן, הוא תחום חסום (מדברים על הפשה שלו). בקצרה - תחום אוריאנטבילי זהו תחום אשר ניתן בכל נקודה שלו להגדיר את וקטור נורמל. להרחבה אפשר להסתכל כאן: [http://en.wikipedia.org/wiki/Orientability].--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:32, 2 בספטמבר 2011 (IDT)
::לא רק לתחום חסום יש שפה
::: בקורס זה לא דיברנו על תחומים לא חסומים.
:::: טוב לדעת

===בקשה מהמתרגלים===
1. האם תוכלו לתת רמזים לפתרון סעיפים ב' וג' של שאלה 4 בתרגיל הבית?
2. האם נוכל לקבל מספר ימי דחיה בהגשת תרגיל 4? התרגיל קשה מהרגיל, וברצוננו לנצל את הזמן ללמידה למבחן.
:אני רק רוצה להוסיף שבקבוצת פייסבוק שלנו '''אף אחד''' לא הצליח את הסעיפים האלו, והרבה כבר מוותרים בגלל המבחן. אתם לא יכולים לעשות משהו בקשר לזה?

===אינטגרל===
רועי שלום, להלן [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%201%2F(x^3-1)%20dx&t=crmtb01 פתרון הבעיה שביקשת עם הסברים שלב שלב שתבין את מהלך הפתרון], סלבה.
:מה???

===בקשה מהמתרגלים===
האם יש אפשרות להגיש את התרגיל ביום המבחן? חלקנו לא גרים באיזור האוניברסיטה ולכן נסיעה לבר אילן לשם הגשת התרגיל בלבד הינה טרטור מיותר המבזבז זמן שהיה עשוי לשמש לחזרה אחרונה.

==שאלה שקשורה להרצאה מספר 2==
בהרצאה מספר 2 טענו שהקבוצה M={(x,y) : (x,y) is in [0,1] intersection Q} היא חסרת תכולה. כדי להוכיח זאת, אמרנו שכל קב' מלבנים שאיחודים מכיל את M סכום תכולם הוא לפחות 1. למה זה נכון? (למשל המלבנים המנוונים. הם מכילים את הנק', לא? וסכום תכולתם הוא 0.)
: בסיכום שנמצא באתר יש טעות בהגדרה/משפט (חלק 2) ואי-דיוק קטן.
: קודם כל, מספר תיבות הוא סופי, אנחנו לא מדברים על אוסף אינסופי של תיבות לא חשוב באיזה חלק של משפט.
: ועכשיו תיקון ל-2: אוסף סופי של תיבות שאיחודם מכיל את <math>A</math> (הם בעצמם לא מוכלים ב-<math>A</math>) (השאר נכון)
: בקשר למספרים רציונליים - קבוצה M מכילה אף תיבה (רק מנוונות), לכן ברור כי <math>\sum{V(T_i)}=0</math>. מצד שני, <math>\sum{V(S_i)}\ge 1</math> (אני מזכיר שמדובר במספר סופי [[של]] תיבות ושבין כל שני מספרים רציונאליים שוניים קיים מספר רציונאלי נוסף).--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:42, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

::תודה רבה (:

==שאלה בקשר לפתרון תרגיל 1==
בשאלה 9 בתרגיל 1, נתונים 4 קודקודים של טטראדר וצריך לחשב את נפחו. לא הבנתי את דרך הפתרון - חישבנו את נפח המקבילית המתאימה? למה זה דווקא הדטרמיננטה הזו? (למה הצלעות שפורשות את המקבילית הן דווקא הקודקודים של הטטראדר..) אשמח לתשובה.
: נפח של טטרהדר <math>V = \frac{1}{3} S\,h \,</math> כאשר S הוא שטח הבסיס. כיוון שנקודה <math>p_1</math> מתלכדת עם הראשית, נבחר, בה"כ: <math>a_1=p_2-p_1,\,a_2=p_3-p_1,\,a_3=q-p_1\,</math>. לכן <math>S = \frac{1}{2} |a_1\times a_2| \,</math>. מכאן ברור כי <math>V = \frac{1}{6} |a_3\cdot a_1\times a_2|= \frac{1}{6} |det(a_1,a_2,a_3)|\,</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:18, 31 באוגוסט 2011 (IDT)

==שאלה==
האם מסילות שקולות תמיד קובעות את אותו הקו?

=שאלות לדוגמה=
==שאלה==
מי כתב את השאלות לדוגמה?
: המרצים
::בשאלה הראשונה, כתוב "חשב את העבודה הנעשית ע"י שדה הכח F על חלקיק שנע מהנקודה אל הנקודה לאורך...." - שכחו לתת את הנקודות! יש מצב שאתם מתקנים את זה?
::: תניח שמדובר ב: מנקודה (0,0) לנקודה (2a,0) (או בסדר הפוך, זה בסך הכול ישנה את הסימן).--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:23, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

==שאלה==
בשאלה 3 בשאלות לדוגמה, לא צריך לדרוש מסילות חח"ע? (על מנת לשחק עם הגבולות - מa לb ומ-c ל-d), או שזה לא חובה?
: הן גזירות ברציפות, זה מספיק.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:19, 1 בספטמבר 2011 (IDT)

==תבנית מדויקת==
בסיכומים וחומרי עזר יש הוכחה שהאינטגרל של תבנית מדויקת שווה לאפס. בטוח שהמשפט נכון? מה עם האינטגרל על ydx+xdy על המסילה g(t)=(t,t) מ0 עד 1? יוצא לי שהאינטגרל 1 למרות שהתבנית היא הנגזרת של f=xy.