Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

הכנה לקראת לימודי הקיץ של החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה

2019-11-23T14:55:18Z

Erez:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=שאלות ותשובות לקראת סמסטר הקיץ=
*[[מדיה:19YouthBooklet.pdf| חוברת המידע של החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה]]
*[[החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה - שאלות ותשובות]]

=קישורים לדפי הקורסים=
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעט|לינארית 1 תשע"ט]]
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעט|בדידה תשע"ט]]

=הכנה לקראת הקיץ=

מספר המלצות לקראת סמסטר הקיץ של תלמידי התיכון:
*מומלץ לצפות בסרטונים.
*מומלץ לקרוא את מערכי ההרצאות, מערכי התרגול ולנסות לפתור תרגילים.
*למרות שלא תצליחו להבין את הכל, ההכרות עם החומר תקל על סמסטר הקיץ.
*לא חייבת להיות חפיפה מוחלטת בין החומר המוצג כאן לסמסטר הקיץ, אך החומר כמעט זהה.

==אלגברה לינארית 1==

*[[מדיה:14Linear1Eran.pdf|סיכומי ההרצאות של ד"ר מיטל אליהו רובינסון, ע"י ערן רכס, קיץ 2014]]

*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]

*[[אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול|מערכי התרגול]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"ג]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"ב]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"א]]

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס אלגברה לינארית של פרופ' בועז צבאן - הגדרות, משפטים ושאלות ללא הוכחות ופתרונות]]

==מתמטיקה בדידה==
*[[מדיה:16BdidaOrit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]

* [[סרטונים:מתמטיקה בדידה|הרצאות מצולמות בנושאי הקורס, עד ולא כולל עוצמות]]

*[[מתמטיקה בדידה - מערך הרצאה|מערכי הרצאה]]

* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעג/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"ג]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"א]]

*[[מדיה:סיכום תכונות תמונה ותמונה הפוכה.pdf|סיכום תכונות תמונה ותמונה הפוכה]]

=רשימת הנושאים (קיץ תשע"ט, 2019) =
'''הסרטונים, הסיכומים ושאר חומר העזר באתר אינם מהווים תחליף לנוכחות בכיתה'''.

לאחר שאמרנו זאת, לעיתים העדרות משיעורים הינה בלתי נמנעת.

על מנת לדעת איזה חומר יש להשלים עבור העדרות בתאריכים מסויימים, הביטו בטבלה הבאה.

חשוב לציין שהנושאים הרשומים בכל תאריך הינם '''משוערים''' ועשויים להקדים או לאחר במהלך הסמסטר.

===אלגברה לינארית 1===

עמודי ההרצאה הם העמודים בקובץ הPDF של [[מדיה:14Linear1Eran.pdf|ההרצאות של ד"ר מיטל אליהו רובינסון]] (לא מספרי העמודים שרשומים על הדפים בקובץ).
<span id="lineartable"></span>

{| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; text-wrap:none; font-size:14px; "
|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#3b488e;"
!מס' !!תאריך !!נושא !!עמודי הרצאה!!תרגול

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

1

|style="vertical-align:text-top;"|

7/07

|style="vertical-align:text-top;"|
שדות, מספרים מרוכבים

|style="vertical-align:text-top;"|

1-12

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|שיעור 1]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

2

|style="vertical-align:text-top;"|

9/07

|style="vertical-align:text-top;"|
מערכות משוואות לינאריות, דירוג גאוס, אלגברת מטריצות (חיבור וכפל בסקלר)

|style="vertical-align:text-top;"|

13-24

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|שיעור 1]], [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2|שיעור 2]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

3

|style="vertical-align:text-top;"|

14/07

|style="vertical-align:text-top;"|
אלגברת מטריצות (כפל מטריצות), שחלוף, מטריצות ריבועיות מיוחדות

|style="vertical-align:text-top;"|
25-41

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2|שיעור 2]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

4

|style="vertical-align:text-top;"|

16/07

|style="vertical-align:text-top;"|
מטריצות הפיכות, מטריצות פעולות שורה אלמנטריות

|style="vertical-align:text-top;"|
43-55

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3|שיעור 3]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

5

|style="vertical-align:text-top;"|

23/07

|style="vertical-align:text-top;"|
אלגוריתם להפיכת מטריצות, מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, סכום וחיתוך תתי מרחבים

|style="vertical-align:text-top;"|

57-71

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3|שיעור 3]], [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4|שיעור 4]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

6

|style="vertical-align:text-top;"|

25/07**

|style="vertical-align:text-top;"|
סכום ישר, צירופים לינאריים, תלות לינארית, פרישה, משפטון ההחלפה של שטייניץ, בסיסים, מימד

|style="vertical-align:text-top;"|

73-85

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4|שיעור 4]], [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|שיעור 5]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

7

|style="vertical-align:text-top;"|

28/07

|style="vertical-align:text-top;"|

מציאת בסיס לחיתוך וחיבור תתי מרחבים, משפט 'השלישי חינם', משפט המימדים

|style="vertical-align:text-top;"|

87-99

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|שיעור 5]], [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|שיעור 6]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

8

|style="vertical-align:text-top;"|

30/07

|style="vertical-align:text-top;"|

מרחבי המטריצה, דרגת המטריצה, קשר בין דרגת המטריצה למספר הפתרונות למערכת משוואות לינארית, העתקות לינאריות

|style="vertical-align:text-top;"|

112-126

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|שיעור 7]], [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|שיעור 8]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

9

|style="vertical-align:text-top;"|

4/08

|style="vertical-align:text-top;"|

הרכבת העתקות, הפיכות, משפט ההגדרה, גרעין ותמונה

|style="vertical-align:text-top;"|

127-136

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|שיעור 8]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

10

|style="vertical-align:text-top;"|

6/08

|style="vertical-align:text-top;"|

משפט הדרגה

יחידות ההצגה'''*''', קואורדינטות, מטריצות מעבר בין בסיסים

|style="vertical-align:text-top;"|

137-144

101-111

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|שיעור 6]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

11

|style="vertical-align:text-top;"|

13/08

|style="vertical-align:text-top;"|

מטריצה מייצגת העתקה, מרחב ההעתקות

|style="vertical-align:text-top;"|

145-149

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|שיעור 9]], [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10|שיעור 10]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

12

|style="vertical-align:text-top;"|

15/08**

|style="vertical-align:text-top;"|

דטרמיננטות

|style="vertical-align:text-top;"|

155-164

|style="vertical-align:text-top;"|

[[מדיה: 88-112-2011S11.pdf|שיעור 11]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

13

|style="vertical-align:text-top;"|

18/08

|style="vertical-align:text-top;"|

כפליות הדטרמיננטה, מטריצה נלווית

|style="vertical-align:text-top;"|

167-176

|style="vertical-align:text-top;"|

[[מדיה: 88-112-2011S12b.pdf|שיעור 12]], [[מדיה: 88-112-2011S13b.pdf|שיעור 13]]
|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

14

|style="vertical-align:text-top;"|

20/08

|style="vertical-align:text-top;"|

השלמה/חזרה

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

|}

<nowiki>*</nowiki>נושא יחידות ההצגה מופיע בעמוד 96.

<nowiki>**</nowiki>ימי ראשון 21/07, 11/08 מבוטלים בעקבות יז' בתמוז וט' באב, נלמד במקומם בימי חמישי 25/07, 15/08.

===מתמטיקה בדידה===
עמודי ההרצאה הם העמודים בקובץ הPDF של [[מדיה:16BdidaOrit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]].
{| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; text-wrap:none; font-size:14px; "
|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#3b488e;"
!מס' !!תאריך !!נושא !!סרטונים !!עמודי הרצאה !!תרגול

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

1

|style="vertical-align:text-top;"|

8/07

|style="vertical-align:text-top;"|
לוגיקה מתמטית - קשרים, טבלאות אמת, דה מורגן, פילוג, כמתים, פרדיקטים, שלילה

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=syqox1IXghE מבוא לחשיבה מתמטית]

[https://www.youtube.com/watch?v=1Zo7vEsnFgA קשרים, טבלאות אמת, שקילות פסוקים]

|style="vertical-align:text-top;"|

1-4,

[[88-101 חשיבה מתמטית|חשיבה מתמטית - עוזי וישנה]]

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 0|שיעור 0]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

2

|style="vertical-align:text-top;"|

10/07

|style="vertical-align:text-top;"|

קבוצות, פעולות על קבוצות, שיטות הוכחה

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=UgNl63BrzCM קבוצות ופעולות על קבוצות]

|style="vertical-align:text-top;"|

5-12,

[[שיטות הוכחה בסיסיות|הרצאה 2.5 - ארז שיינר]]

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1|שיעור 1]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

3

|style="vertical-align:text-top;"|

15/07

|style="vertical-align:text-top;"|
אינדוקציה, איחוד וחיתוך כלליים, קבוצת החזקה

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=xP9VIaCCH7A איחוד וחיתוך כלליים]

[https://www.youtube.com/watch?v=uZVMvwbs5kw קבוצת החזקה]

|style="vertical-align:text-top;"|

13-21

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1|שיעור 1]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1.5|שיעור 1.5]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

4

|style="vertical-align:text-top;"|

17/07

|style="vertical-align:text-top;"|

מכפלה קרטזית, יחסים, יחס שקילות

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=wyDw5XXmPp8 יחסים]

[https://www.youtube.com/watch?v=jKprPSfRysE יחסי שקילות]

|style="vertical-align:text-top;"|

22-30

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2|שיעור 2]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

5

|style="vertical-align:text-top;"|

22/07

|style="vertical-align:text-top;"|
יחס המושרה מחלוקה, קבוצת מנה, יחסי סדר

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=jKprPSfRysE יחסי שקילות]

[https://www.youtube.com/watch?v=6X0OGf5CJrU יחסי סדר]

|style="vertical-align:text-top;"|

31-36

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2|שיעור 2]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3|שיעור 3]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

6

|style="vertical-align:text-top;"|

24/07

|style="vertical-align:text-top;"|
יחסי סדר, איברים מינימליים ומקסימליים, איבר קטן/גדול ביותר, חסם מלעיל/מלרע, חסם עליון/תחתון

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=EX6sPaiiu3k איברים מינמליים ומקסימליים]

|style="vertical-align:text-top;"|

37-45

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3|שיעור 3]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

7

|style="vertical-align:text-top;"|

29/07

|style="vertical-align:text-top;"|

פונקציות, חח"ע, על, תמונה ותמונה הפוכה

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?v=XP-SwmSlTUc פונקציות]

[https://www.youtube.com/watch?v=BgCrOeJEjDo חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה]

|style="vertical-align:text-top;"|

46-52

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|שיעור 4]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5|שיעור 5]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

8

|style="vertical-align:text-top;"|

31/07

|style="vertical-align:text-top;"|

הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות, הרחבה וצמצום של פונקציות

|style="vertical-align:text-top;"|

[https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=t5QyDk-Mo2g הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות]

|style="vertical-align:text-top;"|

53-60

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|שיעור 4]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5|שיעור 5]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

9

|style="vertical-align:text-top;"|

5/08

|style="vertical-align:text-top;"|

שקילות עוצמה, קבוצות בנות מנייה, עוצמת הממשיים

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

61-66

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6|שיעור 6]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

10

|style="vertical-align:text-top;"|

7/08

|style="vertical-align:text-top;"|

סדר בין עוצמות, משפט קנטור, משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

67-76

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6|שיעור 6]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7|שיעור 7]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

11

|style="vertical-align:text-top;"|

12/08

|style="vertical-align:text-top;"|

אריתמטיקה של עוצמות

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

77-89

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7|שיעור 7]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

12

|style="vertical-align:text-top;"|

14/08

|style="vertical-align:text-top;"|

מבוא לגרפים

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

89-93

|style="vertical-align:text-top;"|

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 11|שיעור 11]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

13

|style="vertical-align:text-top;"|

19/08

|style="vertical-align:text-top;"|

מעגל ומסלול אוילר

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

93-96

|style="vertical-align:text-top;"|
[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 11|שיעור 11]]
|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

14

|style="vertical-align:text-top;"|

21/08

|style="vertical-align:text-top;"|

השלמה/חזרה

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|

|style="vertical-align:text-top;"|
|}

סרטונים:מתמטיקה בדידה

2019-11-23T14:54:51Z

Erez:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
ברוכים הבאים לקורס

<font size=4>
[[88-195 מתמטיקה בדידה|מתמטיקה בדידה]]
</font>

בקישור לעיל תמצאו [[מבחנים בבדידה|מבחנים פתורים]], [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/תרגילים|תרגילים פתורים]] משנים שונות וסיכומים.

בטבלה למטה מופיעים הסרטונים מסודרים לפי נושאי הקורס, עם חומר עזר תואם לנושא.

{| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; text-wrap:none; font-size:14px; "
|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#3b488e;"
!נושא !!וידאו !!קישורים לחומר עזר

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

מבוא לחשיבה מתמטית

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>syqox1IXghE</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[88-101 חשיבה מתמטית|88-101 חשיבה מתמטית - קורס מתוקשב על ידי עוזי וישנה]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

לוגיקה מתמטית,

קשרים, טבלאות אמת

ושקילות פסוקים

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>1Zo7vEsnFgA</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[88-101 חשיבה מתמטית|88-101 חשיבה מתמטית - קורס מתוקשב על ידי עוזי וישנה]]
*[[מדיה:12BdidaLec1.pdf| בדידה - הרצאה 1 - אפי כהן]]
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 0|תרגול בנושא לוגיקה]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

קבוצות ופעולות

על קבוצות

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>UgNl63BrzCM</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec2.pdf| בדידה - הרצאה 2 - אפי כהן]]
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1|תרגול בנושא קבוצות]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

קבוצת החזקה

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>uZVMvwbs5kw</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec3.pdf| בדידה - הרצאה 3 - אפי כהן]]
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1|תרגול בנושא קבוצות]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

חיתוך ואיחוד כללי

על אוסף אינסופי

של קבוצות

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>xP9VIaCCH7A</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec3.pdf| בדידה - הרצאה 3 - אפי כהן]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

יחסים על קבוצות

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>wyDw5XXmPp8</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec3.pdf| בדידה - הרצאה 3 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2|תרגול בנושא יחסים]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

יחסי שקילות

ומחלקות שקילות

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec3.pdf| בדידה - הרצאה 3 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2|תרגול בנושא יחסי שקילות]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

יחסי סדר

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>6X0OGf5CJrU</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec4.pdf| בדידה - הרצאה 4 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3|תרגול בנושא יחסי סדר]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

איברים מינמליים,

ומקסימליים

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>EX6sPaiiu3k</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec5.pdf| בדידה - הרצאה 5 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3|תרגול בנושא יחסי סדר]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

מבוא לפונקציות

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>XP-SwmSlTUc</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec6.pdf| בדידה - הרצאה 6 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|תרגול בנושא פונקציות]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

פונקציות חח"ע ועל

תמונה ותמונה הפוכה

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>BgCrOeJEjDo</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec6.pdf| בדידה - הרצאה 6 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|תרגול ראשון בנושא פונקציות]]
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5|תרגול שני בנושא פונקציות]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

הרכבת פונקציות

פונקציות הפיכות

|style="padding:0px !important;" |<videoflash>t5QyDk-Mo2g</videoflash>

|style="vertical-align:text-top;"|

*[[מדיה:12BdidaLec7.pdf| בדידה - הרצאה 7 - אפי כהן]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|תרגול ראשון בנושא פונקציות]]
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5|תרגול שני בנושא פונקציות]]

|}

[[קובץ:buzz.png|frameless|300px]]

<fb/>

אנליזת פורייה - ארז שיינר

2019-11-23T14:54:16Z

Erez:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים לדוגמא=
*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא סמסטר ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:19ForierTestA.pdf|מועד א' סמסטר ב' תשע"ט]]

=תקציר ההרצאות=
*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [http://www2.math.technion.ac.il/~yoramy/heb-ps.html 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].
==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה==
===הקדמה - גלים===

*מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
*לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
**תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
**אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
**פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
*אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

*מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
*למדנו במד"ר על המשוואה <math>y''=-k^2y</math> המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
*זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
*הפתרון הכללי למד"ר הוא <math>y=a\sin(kt)+b\cos(kt)</math>.
*הקבוע <math>k</math> קובע את התדר של כל גל.
*הקבועים <math>a,b</math> קובעים את האמפליטודה של כל גל.
*מה לגבי הפאזה?
**בפונקציה <math>a\sin(kt+t_0)</math>, הקבוע <math>t_0</math> קובע את הפאזה.
**ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
***<math>a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)</math>

*האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)</math> ניתן להציג כגל יחיד?
*תשובה: כן.
*הוכחה:
**נסמן <math>z=a+bi=rcis(\theta)</math>
**כלומר <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)</math>
*שימו לב:
**סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
**הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
**לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
**האפליטודה של הגל החדש היא <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>.

*האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
*בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
*האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
*למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
*במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

===טורי פורייה ומקדמי פוריה===
*טור פורייה הוא טור מהצורה <math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]</math>

*אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים <math>a_n,b_n</math>?

====חישובים להקדמה====
*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
**<math>\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]</math>
**<math>\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]</math>
*כעת, לכל <math>0\neq n\in\mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
*באופן דומה, לכל <math>0\neq n\in\mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
*עבור <math>n,k\in \mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0</math> כיוון שמדובר ב'''אינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית'''.
*ולבסוף, עבור <math>n=0</math> נקבל
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math>
*שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

*הערה חשובה:
**למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>

====מקדמי הטור====

*כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=</math>
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=</math>
*כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]</math>
*לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
*<math>a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx</math>
*שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור <math>k=0</math>.
*באופן דומה נקבל כי <math>b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx</math>

*הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
*השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
*באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור <math>2\pi</math>.
*לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
**תהי פונקציה <math>f</math>, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה <math>g</math> על ידי:
**לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math> ולכל <math>x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)</math> נגדיר <math>g(x)=f(x-2\pi k)</math>.
**ברור ש <math>g(x+2\pi) = g(x)</math>, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
**ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת <math>g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)</math>

*לדוגמא, ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>:
:[[קובץ:x^2_fourier.png|1000px]]

=====דוגמא=====
*נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>
*שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

:<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0</math>.
*שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}</math>

:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=</math>
:<math>=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx=
\left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=</math>
:<math>- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>

*שימו לב כי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>cos(n\pi)=(-1)^n</math>

*סה"כ אם ההמשך המחזורי של <math>x^2</math> שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>

*נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב <math>\pi</math>.
*<math>\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}</math>
*ונקבל את הסכום המפורסם
::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>

==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה==
===מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים===
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
**1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
**2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
*למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

*E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}</math> מעל השדה <math>\mathbb{C}</math>, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
**לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
*<math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> היא מכפלה פנימית מעל E.
**<math>\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}</math>
**<math>\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle </math>
**<math>\langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx</math>
***בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
***כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
*נביט בנורמה המושרית <math>||f||^2=\langle f,f\rangle</math>

*כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
*יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
*ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

*תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math>, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
*לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math>
*נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

*מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**<math>\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**המעבר האחרון נכון כיוון ש <math>\{e_1,...,e_n\}</math> אורתונורמלית.

*מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>
**נזכור כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>.
**לכן קיבלנו כי <math>||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2</math>

*מסקנה מיידית: <math>||\widetilde{v}||\leq ||v||</math>

====אי שיוויון בסל====
*כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{e_1,e_2,...\}</math>.
*לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>
**הוכחה:
**ראינו שלכל n מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>.
**כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי <math>||v||^2</math> ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

*בפרט נובע כי
:<math>\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0</math>

===למת רימן לבג===

*ראינו כי <math>\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}</math> היא קבוצה אורתונורמלית ב<math>E</math> (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
*כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
*לכל <math>1\leq n\in \mathbb{N}</math> הגדרנו <math>a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle</math>, ו<math>b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle</math>

*נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
*כלומר:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0</math>

*למת רימן-לבג: תהי <math>g</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>, אזי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0</math>
*הוכחה:
**<math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt
</math>
**נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math>
**קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>.
**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0</math>

===גרעין דיריכלה===

*גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>

*טענה: <math>D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math>
**הוכחה:
**נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל:
**<math>\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)</math>
**נבחין בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)</math>
**ובפרט <math>2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})</math>
**ביחד נקבל <math>\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)</math>

*נשים לב כי הפונקציה <math>2\sin(\frac{t}{2})</math> מתאפסת בנקודות <math>t=2\pi k</math>, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
*זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
*כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי <math>2\pi</math> כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות <math>2\pi</math>.

*נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
*ראשית, לכל <math>1\leq k \in \mathbb{N}</math> מתקיים:
:<math>\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0</math>
*לכן נקבל:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}</math>

====הסכומים החלקיים של טור פוריה====
*תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה <math>f</math> שהיא מחזורית <math>2\pi</math>:
:<math>S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)</math>
*נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=</math>
:<math>= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=</math>
:<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt</math>
*זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt</math>
*שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

*טענה: תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>. אזי לכל <math>a\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי:
:<math>\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx</math>
*כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך <math>2\pi</math>.
**הוכחה:
::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx</math>
::נבצע הצבה <math>t=x-2\pi</math> באינטגרל השני ונקבל:
::<math>\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx</math>
::ביחד נקבל כי:
::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx</math>

*נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>
:כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>

==הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה==

===סימונים והגדרות===
*נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב<math>f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x)</math>.
*נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב<math>f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x)</math>.
*שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

*נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י <math>f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}</math>.
*נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י <math>f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}</math>.
*שימו לב: ייתכן ש<math>f'(d^+)=f'(d^-)</math> אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\frac{x}{|x|}</math>
*מתקיים כי <math>f(0^+)=1</math>, ו<math>f(0^-)=-1</math>.
*כמו כן מתקיים כי <math>f'(0^+)=f'(0^-)=0</math>.
כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

===משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה===
*תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
*אזי לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> הטור עם מקדמי הפוריה של <math>f</math> מתכנס:
:<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)</math>
*בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

====הוכחה====
*תהי נקודה <math>x\in\mathbb{R}</math>.
*נביט בפונקציה <math>g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>
*<math>\lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1</math>
*כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש<math>g(t)</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>.
*לפי למת רימן-לבג נובע כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0</math>
*כלומר:
:<math>0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt=
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt</math>
*כיוון ש
:<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
*נובע כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>

*באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>
*ולכן סה"כ נקבל כי:
:<math>\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}</math>

====דוגמאות====
=====דוגמא 1=====
*תהי <math>f</math> ההמשך המחזורי של <math>x</math>.
:[[קובץ:x_fourier.png|1000px]]
*כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
*כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_n=0</math>.

*כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx =
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי:
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) </math>.
*בפרט, לכל נקודה <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
*עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
*קל לראות שאכן לכל <math>x=\pi+2\pi k</math> נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).

*נציב לדוגמא <math>x=\frac{\pi}{2}</math> ונקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) </math>
*לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>.

=====דוגמא 2=====
*כעת, תהי <math>g</math> ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>.
*הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
*הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות <math>x=\pi+2\pi k</math>.
*בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל<math>\pm 2\pi</math> (כיוון שהנגזרת של <math>x^2</math> היא <math>2x</math>).
*סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).

*כלומר קיבלנו שלכל <math>x\in [-\pi,\pi]</math> מתקיים כי:
::<math>x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>

*שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של <math>x^2</math>, נקבל את טור הפורייה של <math>2x</math>.
*האם זה מפתיע?

=====דוגמא 3=====
*תהי <math>h</math> ההמשך המחזורי של הפונקציה <math>\begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}</math>
:[[קובץ:x_and_0_fourier.png|1000px]]
*שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

*נחשב את מקדמי הפורייה:

:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}</math>

:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi=
\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}</math>

:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>

*סה"כ שלכל <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]</math>

*שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל<math>x</math> בקטע <math>(0,\pi)</math>.
*באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.

===טור הנגזרת===
*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע.
====שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים====
*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
**כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
**בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
**אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
***לדוגמא:
***<math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1</math>
***כלומר קיבלנו כי <math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}</math>, כאשר <math>(|x|)' = \frac{x}{|x|}</math>

====חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת====
*נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math>
*נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:

:<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math>

:<math>\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx =
\frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n</math>

:<math>\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n</math>

*כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
:<math>f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
:<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math>

*במקרה המיוחד בו <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> מתקיים כי <math>\alpha_0=0</math> ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
:<math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math>

====דוגמאות====
=====דוגמא 1=====
*נזכר בטור הפורייה של <math>x^2</math>:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>
*נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של <math>\frac{x^3}{3}</math>, נסמנם ב<math>a_n,b_n</math>.

*לכל <math>1\leq n</math> נקבל כי:
:<math>\frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>
:<math>-na_n = 0</math>
*כמו כן נחשב את המקדם הראשון:
:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0</math>

*נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא:
:<math>\frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math>

=====דוגמא 2=====
*נחשב את טור הפורייה של <math>e^x</math>.
*נסמן את טור הפורייה של <math>e^x</math> ב:
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
*מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:
:<math>\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx)</math>
*כאשר <math>\alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}</math>

*ביחד נקבל את המשוואות:
:<math>a_0=\alpha_0</math>
:<math>a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n</math>
:<math>b_n=-na_n</math>
*נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:
:<math>a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}</math>
*ולכן
:<math>b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}</math>

*סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של <math>e^x</math> הינו:
:<math>\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx)</math>

*כיוון שלהמשך המחזורי של <math>e^x</math> יש אי רציפות קפיצתית ב<math>x=\pi</math>, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע <math>\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}</math>
*כלומר, אם נציב <math>x=\pi</math> נקבל:
:<math>\frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}</math>
*נפשט:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}</math>

==הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל==
===תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה===
*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך ש <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
*אזי טור הפורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.

*לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
*נסמן את טור הפורייה ב
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*ברור כי
:<math>\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|</math>
*לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.

*נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>.
*כבר חישבנו ש:
**<math>\alpha_0=0</math>
**<math>\alpha_n=nb_n</math>
**<math>\beta_n=-na_n</math>
*לכן ביחד נקבל כי <math>\sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math>
*לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:
:<math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math>
*לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2</math> מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של <math>f'\in E</math>.
**(זכרו שמותר להניח כי <math>f'\in E</math> על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
*לכן <math>\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right)</math> חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
*לכן סה"כ <math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n}</math> חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.

*סה"כ קיבלנו כי <math>\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}</math> מתכנס.
*לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|</math> ו<math>\sum_{n=1}^\infty |b_n|</math> מתכנסים, כפי שרצינו.

===שיוויון פרסבל===
*נביט במערכת האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E</math>, ותהי <math>f\in E</math>.
*ידוע לנו כי <math>a_0=\langle f,1\rangle</math>, ולכן <math>\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle</math>

*נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב <math>S_n</math>.
*<math>S_n</math> היא ההיטל של <math>f</math> על הקבוצה האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}</math>
**אכן <math>\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>

*נזכור כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**לכן <math>||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2</math>.
*כמו כן, נזכור כי <math>||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**לכן <math>||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2</math>

*אי שיוויון בסל אומר כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>
*כלומר:
:<math>\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx</math>
*משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 </math>

*אם נוכיח ש <math>||f-S_n||^2\to 0</math>, נסיק כי <math>||S_n||^2\to ||f||^2</math> וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.

====הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש====

*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
*נסמן <math>d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|</math>
*הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר <math>d_n\to 0</math>.
*לכן <math>||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0</math>

=====דוגמא=====
*הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> מקיימת את דרישות המשפט.
*נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>

*לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>

:<math>\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>

*ולכן:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math>

====הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי====

*תהי <math>f \in E</math>, אנחנו מעוניינים להוכיח כי <math>||f-S_m||\to 0</math>.
*נבנה סדרת פונקציות <math>f_n</math> רציפות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימות <math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>, כך שהנגזרות שלהן <math>f_n'</math> רציפות למקוטעין, המקיימות:
:<math>||f-f_n||\to 0</math>

*יהי <math>\varepsilon</math>, נבחר <math>n</math> כך ש <math>||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*נסמן ב<math>T_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של <math>f_n</math>.
*ראינו כי <math>\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0</math>.

*כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
**<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math>
*כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math>
*קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו.

=====בניית סדרת הפונקציות=====

*f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
*לכן ניתן לבחור חלוקה <math>P</math> הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש <math>|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}</math> לכל זוג נקודות <math>x,c_k\in [x_{k-1},x_k]</math>.
*נבחר נקודות כלשהן <math>c_k</math> בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע <math>f(c_k)</math>.
*כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon</math>
*לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל <math>g_n</math> כך ש<math>||f-g_n||<\frac{1}{n}</math>

*כעת נגדיר סדרת פונקציות <math>f_n</math> להיות <math>g_n</math>, פרט לשינויים הבאים:
**עבור <math>\delta</math> שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים <math>[x_k-\delta,x_k]</math>.
**נגדיר <math>f_n(-\pi)=g(\pi)</math>.
**נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע <math>[x_0,x_0+\delta]</math>.
*עבור <math>\delta</math> קטנה מספיק, <math>\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}</math>.

*סה"כ נקבל כי
**<math>f_n</math> מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
**<math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>
**אכן מתקיים כי <math>||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0</math>

===יחידות טור פורייה===

====הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?====
*תהיינה <math>f,g\in E</math> בעלות אותם מקדמי פורייה.
*אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?

*מקדמי הפורייה של <math>f-g</math> הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:
:<math>||f-g||^2=0</math>
*לכן <math>f=g</math>.

*שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש<math>f=g</math> פרט למספר סופי של נקודות.

====האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?====
*קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
*יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
*מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך '''לא''' כל מקדמי הטור הם אפס.

==הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים==
===תופעת גיבס===
*ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
*כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.

*נביט בטור פורייה של הפונקציה x:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
*נסמן ב<math>S_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:
:<math>S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})</math>
*כעת,
:<math>\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx</math>
*לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:
:<math>\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56</math>
*(הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
*כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
*אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה <math>\pi</math>, נקבל בערך <math>-0.089</math>.

*לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.

:[[קובץ:gibs_x.png|1000px]]

===טור הסינוסים וטור הקוסינוסים===
*עבור פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע <math>[0,\pi]</math> ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה <math>f^+</math> הזוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, או ל<math>f^-</math> האי זוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

*את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>. זה נקרא '''טור הקוסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.
*הוכחה:
**<math>f^+</math> רציפה ב<math>[-\pi,\pi]</math>, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש<math>f(-\pi)=f(\pi)</math>.

*את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע <math>(0,\pi)</math>. זה נקרא '''טור הסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.
*אם <math>f(\pi)=f(0)=0</math> אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>.
*הוכחה:
**<math>f^-</math> רציפה כיוון ש<math>f(0)=0</math>, ומתקיים כי <math>f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)</math>.

*חישוב המקדמים:
*עבור טור הקוסינוסים:
**<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx </math>
*עבור טור הסינוסים:
**<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx </math>

====דוגמאות====

*נחשב טור קוסינוסים של <math>e^x</math>:
**<math>a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)</math>
**<math>a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}</math>
**הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע <math>[0,\pi]</math>:
:<math>e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx) </math>
*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל:
:<math>e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)</math>

*נציב למשל <math>x=0</math> ונקבל את השיוויון:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}</math>

*נחשב טור סינוסים של <math>e^x</math>:
**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}</math>
**הטור מתכנס בקטע <math>(0,\pi)</math>:
:<math>e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx) </math>

*נחשב טור סינוסים של <math>f(x)=\pi x - x^2</math>.
*שימו לב: <math>f(0)=f(\pi)=0</math>.
**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} </math>
**לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>:
:<math>\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)</math>
*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל:
:<math>\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)</math>
*שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.

==הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה==
===משוואת החום על טבעת===
*נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה <math>u(x,t)</math>:
**<math>u_t-ku_{xx}=0</math>
**<math>u(x,0)=f(x)</math> (תנאי התחלה)
**<math>u(-\pi,t)=u(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
**<math>u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
**כאשר <math>x\in[-\pi,\pi]</math>, ו<math>t\in[0,\infty)</math>
*על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.

*נחפש פתרון מהצורה <math>u(x,t)=X(x)\cdot T(t)</math>.
*נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
:<math>X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)</math>
*נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}</math>
*כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
*נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda</math>

*כעת נפתור את ה[[מד"ר תקציר הרצאות|מד"ר]]ים בנפרד:
*שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
**עבור <math>\lambda=0</math>:
***<math>X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}</math>, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי <math>c=0</math>
***<math>T_0(t)=1</math> (הקבוע יבלע בקבוע של <math>X_0(x)</math>)

**עבור <math>\lambda\neq 0</math>:
***<math>X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)</math>
***<math>T=e^{-k\lambda t}</math> (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב<math>X(x)</math>)

*ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור <math>\lambda=n^2</math> הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
*גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
*צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).

*לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
:<math>u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))</math>
*כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים <math>a_n,b_n</math>.
*נציב כעת בתנאי ההתחלה <math>u(x,0)=f(x)</math> ונקבל בעצם את טור הפורייה:
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
*מדוע זה יהיה פתרון?
**נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
**בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור <math>t\in [a,\infty)</math> לכל <math>a>0</math> ולכל <math>x\in[-\pi,\pi]</math>.
**לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.

===התמרת פורייה===

====טור פורייה המרוכב====
*לא קשה לוודא כי <math>\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:
:<math>\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>
*תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
:<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}</math>
*כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math>

*נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב<math>a_n,b_n</math>.

*נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל:
:<math>\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math>
*כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים:
:<math>\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =</math>
:<math>= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=</math>
:<math>= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math>
:<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)

*כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!

====הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות====
*טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
*בהנתן גל <math>e^{inx}</math>, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx</math>
*(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו <math>-i</math>).

*מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל <math>e^{isx}</math> נמצא את ה'אמפליטודה':
:<math>\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx</math>.
*כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](s)</math> נקראת '''התמרת פורייה''' של הפונקציה <math>f</math>.
*הערה - המקדם <math>\frac{1}{2\pi}</math> לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.

*הערות כלליות:
**נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב<math>F(s)=\mathcal{F}(f)(s)</math>.
**<math>F(s)</math> מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
**לעומת זאת, <math>f(x)</math> מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
**לכל תדר <math>s</math> יש שני גלים שמייצגים אותו, <math>e^{\pm isx}</math>.
**כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.

*נסמן ב<math>G</math> את אוסף הפונקציות <math>g</math> הרציפות למקוטעין ב<math>\mathbb{R}</math>, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty</math>.
*לכל <math>f\in G</math> התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
**הוכחה:
**<math>\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx</math> מתכנס.
**כיוון שהאינטגרל המגדיר את <math>F(s)</math> מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.

=====דוגמאות=====
*נמצא את <math>\mathcal{F}(f)(s)</math> עבור <math>f(x)=e^{-|x|}</math>.
:<math>2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=</math>
:<math>=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}</math>
*שימו לב - השתמשנו בעובדה ש<math>e^{isx}</math> חסומה, ואילו <math>e^{-x}\to 0</math> כאשר <math>x\to \infty</math>.
*לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>

*נמצא את התמרת הפורייה של <math>f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}</math>
:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math>
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math>

==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה==
===תכונות ההתמרה===
*תהי <math>f\in G</math> אזי <math>F(s)=\mathcal{F}[f](s)</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math>.
**הוכחה:
**יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס, קיים <math>R</math> עבורו <math>\frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}</math>
**עבור <math>s_1,s_2</math> מתקיים כי <math>|F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx</math>
**כמובן ש <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2</math> ולכן בתחום <math>|x|>R</math> האינטגרל הנ"ל קטן מ<math>\frac{\varepsilon}{2}</math>.
**נותר להוכיח שעבור <math>s_1,s_2</math> מספיק קרובים מתקיים כי <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>
**נראה כי <math>|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|</math>.
***<math>|e^{ix}-e^{iy}|</math> הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
***<math>|x-y|</math> הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
***אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
**לכן <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|</math>
**כיוון ש<math>|x|\leq R</math> והפונקציה <math>f</math> חסומה בתחום זה, עבור <math>|s_1-s_2|</math> מספיק קטן נקבל את הדרוש.

*רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
*<math>\mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]</math>
*<math>\mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}</math>
*אם <math>f</math> ממשית וזוגית, גם <math>\mathcal{F}[f](s)</math> ממשית וזוגית.

*הזזה במרחב הזמן:
*אם <math>g(x)=f(ax+b)</math>, אזי <math>\mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})</math>
*אם <math>a=1</math> אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב<math>e^{isb}</math> משנה את הזוית).

*הזזה במרחב התדר:
*<math>\mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)</math>
*באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.

*התמרת הנגזרת:
*נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי f רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי:
*<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>
**הוכחה:
**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx</math>
**נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx</math>.
**כיוון ש<math>e^{-isx}</math> חסומה, יחד עם הנתון נובע כי <math>(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0</math>.
**לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>

*נגזרת ההתמרה:
*תהי <math>f\in G</math> רציפה כך ש<math>xf(x)\in G</math> אזי:
*<math>\mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s)</math>
**הוכחה:
**<math>i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)</math>
**אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
***נסמן <math>F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx</math>
***ברור ש<math>F_n(s)\to F(s)</math>, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של <math>F(s)</math>.
***עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
***אכן <math>F_n'(s)</math> מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx</math> מתכנס, והרי <math>|xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)|</math> ואכן אינו תלוי בs.

====דוגמאות====

*ראינו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>
*לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
**<math>\mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}</math>

*נסמן <math>F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}]</math>.
*כעת <math>\mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF'</math> לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
*מצד שני, <math>\mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF</math> לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
*ביחד נקבל כי <math>isF = -2iF'</math>, ולכן <math>sF=-2F'</math>.
*נפתור את המד"ר:
**נכפול בגורם אינטגרציה <math>\frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}}</math> ונקבל <math>(e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0</math>
**לכן <math>F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}</math>
**נציב <math>s=0</math>
**<math>2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math>, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.

==הרצאה 8 - התמרה הפוכה==

*בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
*כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
*האמפליטודה של כל תדר מרוכב <math>e^{isx}</math> היא התמרת הפורייה <math>F(s)</math>, ולכן אנחנו מצפים לקבל:
**<math>f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)</math>

*משפט ההתמרה ההפוכה:
**תהי <math>f\in G</math>, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
**<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
**שימו לב שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.

===דוגמא===

*ראינו ש<math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx</math>
*כיוון ש<math>e^{-x^2}</math> רציפה וגזירה, וכיוון ש <math>e^{-\frac{s^2}{4}}\in G</math> לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
**<math>\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}</math>
*כלומר <math>e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds </math>
*נציב <math>t=\frac{s}{2}</math> ונקבל:
**<math>e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}</math>
*ולכן <math>4C^2\pi = 1</math>, ומכאן <math>C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math>

*נזכור בנוסף שראינו כי <math>2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>.
*לכן נובע כי <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>

===דוגמא===
*נביט ב<math>f(x)=\begin{cases}1 & |x|<1 \\ 0 & |x|>1\end{cases}</math>
*<math>\mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s}</math>
*<math>\lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2}</math> (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).

===הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===

*כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.

====למת רימן-לבג====
*ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
*כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:

*תהי <math>f\in G</math>, אזי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0</math>
*(כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)

*נוכיח את הלמה:

*צ"ל כי<math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0</math>
*נשים לב כי <math>e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx)</math>.
*לכן מספיק לנו להוכיח כי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0</math> (ההוכחה עבור סינוס דומה).
*כיוון ש<math>f\in G</math> האינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס.
*לכן קיים <math>M</math> עבורו <math>\int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>.
*לכן <math>|\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}</math>
*לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}</math>
*(עבור <math>M=\pi</math> ו<math>s\in\mathbb{N}</math> כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)

*נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
**<math>\lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0</math>
*כיוון ש<math>f</math> רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב<math>[-M,M]</math>.
*לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות <math>h</math> עבורה מתקיים <math>\int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math> (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
*כמו כן מתקיים:
**<math>\int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx</math>
**כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
*סה"כ <math>\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx</math>
**מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math>
**עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}</math>

*סה"כ קיבלנו כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon</math>

====טענת עזר====
*תהי <math>f\in G</math> ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>

*נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.

*נגדיר את הפונקציה <math>g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}</math>
*כיוון ש<math>f\in G</math> נובע שגם <math>g\in G</math> הרי <math>\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|</math> עבור <math>t>\pi</math>.
*לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי <math>\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0</math>
*בפרט מתקיים גבול הסדרה:
**<math>\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0</math>
*אבל <math>\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt</math>

*לכן נותר להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
*נגדיר את הפונקציה <math>h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>.
**אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של <math>\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math> נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
**לכן הפוקנציה <math>h</math> רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
*כעת נשים לב כי:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt
= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt</math>
**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל<math>\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}</math>.

=====דוגמא=====
*טענה:
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}</math>

*הוכחה:
**ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
**לכן מתקיים כי <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx</math>
**נבצע הצבה <math>t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}}</math> ונקבל כי:
***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt</math>
**עבור <math>f(x)=1</math>, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא <math>\frac{\pi}{2}</math>

===הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===
*<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=</math>
*<math>=\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds</math>
*נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =</math>
*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =</math>
*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy</math>
*נציב <math>t=y-x</math> ונקבל:
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}</math>
כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.

====הצדקת החלפת סדר האינטגרציה====

*נביט בסדרה <math>u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy</math>, שמתכנסת כמובן ל<math>\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy</math>
*מתקיים כי <math>|\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|>k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|>k} |f(y)|dy\to 0</math>
**(נתון כי <math>f\in G</math>)
*לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds</math>
**לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy</math>
**שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.

==הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי==

*תהיינה <math>f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> פונקציות, נגדיר את ה'''קונבולוציה''' ביניהן להיות:
**<math>f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy</math>.

*מוטיבציה לדוגמא:
**אם <math>f,g</math> הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
**הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.

*הקונבולוציה היא אבלית:
**<math>g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g</math>

*שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
*ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner

*משפט הקונבולוציה:
*תהיינה <math>f,g\in G</math> רציפות וחסומות אזי <math>\mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>

*הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):
:<math>\mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx = </math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx =</math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy =</math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>
:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>
:<math>= 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>

===משוואת החום על מוט אינסופי===

*אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא <math>u(x,t)</math>, היא מקיימת את המשוואה <math>u_t-ku_{xx}=0</math>.
*נניח גם כי תנאי ההתחלה הם <math>u(x,0)=f(x)</math> (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).

*נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:
:<math>U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx</math>
*נגזור לפי המשתנה t:
:<math>U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx</math>
*(נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
*כיוון ש<math>u_t-ku_{xx}=0</math> נקבל כי:
:<math>U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx</math>
*נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת <math>\mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f]</math>
*ולכן נקבל כי:
:<math>U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t)</math>
*זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:
:<math>U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t}</math>

*נציב את תנאי ההתחלה <math>t=0</math> ונקבל כי
:<math>A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f]</math>
*לכן בעצם מתקיים כי <math>U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t}</math>
*קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.

*נחפש את ההתמרה ההפוכה של <math>e^{-ks^2 t}</math>
*נזכור כי <math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}}</math>
:<math>\mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}=</math>
:<math>=\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>
*נסמן פונקציה זו ב<math>p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

*לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:
:<math>\mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p]</math>
*ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי
:<math> u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t)</math>
*שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
*לכן
:<math>u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy</math>

*שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.

==הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון==
===משפט הדגימה של שנון===
*תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים <math>f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),...</math> לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
*בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה <math>sin(x)</math> בנקודות <math>2\pi n</math> אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
*מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
*במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
*כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.

*עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
*בהנתן פונקציה עם מחזור <math>t</math> נגדיר את התדר של המחזור להיות <math>\frac{1}{t}</math>.
*דוגמאות:
**התדר של <math>\sin(x)</math> הוא <math>\frac{1}{2\pi}</math>
**התדר של <math>\sin(\pi x)</math> הוא <math>\frac{1}{2}</math>
**באופן כללי, התדר של <math>sin(\pi t x)</math> הוא <math>\frac{t}{2}</math> כיוון ש <math>\sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x)</math>
**התדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> כיוון ש <math>e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx}</math>

*משפט הדגימה של שנון:
*תהי <math>f\in G</math> רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי <math>t</math>, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר <math>2t</math> ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
*שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש<math>\mathcal{F}[f](s)=0</math> לכל <math>\frac{|s|}{2\pi}>t</math>.

====הוכחת משפט הדגימה====
*כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע <math>[-2\pi t,2\pi t]</math>, ניתן לקבוע כי
:<math>\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
*ובפרט האינטגרל מתכנס.
*לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי <math>f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>

*כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר <math>2t</math>:
:<math>c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z}</math>
*נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:
:<math>c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds</math>
*נבצע הצבה <math>\frac{s}{2t}=-x</math> ונקבל:
:<math>c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx</math>
*אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע <math>\frac{1}{2\pi}</math>) של הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math>.
*כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור <math>|x|\geq \pi</math> מתקיים כי <math>\mathcal{F}[f](-2tx)=0</math> (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
*לכן <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math> נקבעת על ידי ערכיה בקטע <math>(-\pi,\pi)</math>, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
*לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).

====הערות====
*שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
*מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
*נקבל פונקציה שאינה שייכת ל<math>G</math>, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
*בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.

==הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה==

===DFT - Discrete Fourier transform===

*תהי סדרת נקודות <math>a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C}</math>, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות <math>A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י:
:<math>A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}} </math>

*שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של <math>N^2</math>.
*התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של <math>N\log(N)</math>.

====משמעות ההתמרה====

*תהי פונקציה f. נדגום ממנה <math>N</math> נקודות בתדר <math>t</math>, כלומר נתון לנו:
:<math>f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})</math>
*נסמן נקודות אלה ב<math>a_k=f(\frac{k}{t})</math>

*אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:
:<math>f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x}</math>
*כיוון שהתדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> נובע כי הגלים הללו הם בתדרים <math>0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N}</math>
*שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.

*נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.

*נביט בפונקצית הגל <math>u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x}</math>.
*נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
:<math>v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right)</math>
*נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
:<math>v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})</math>
*לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:
:<math>v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}</math>
*זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:
:<math>f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})</math>

*נבחן את הקבוצה <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math>.
:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math>
*עבור <math>n\neq m</math>:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math>
*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math>
*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>.
*כמו כן, שימו לב ש<math>q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1</math>
*לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0</math>
*כלומר גילינו כי <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math> קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
*לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים <math>B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}</math>

*לבסוף, נשים לב כי:
:<math>\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n</math>
*כלומר <math>B_n = \frac{A_n}{N}</math>

====התמרת פורייה הבדידה ההפוכה====
*מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים <math>A_n</math> לסדרת הדגימות <math>a_n</math>.
:<math>v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})</math>
*ולכן:
:<math>a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}</math>

====מסקנות לגבי גלים ממשיים====
*פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?

*ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:
:<math>v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)})</math>
*(השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
*ולכן נקבל:
:<math>v_n = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math>

*כלומר פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,...,u_{N-1}</math> נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,u_{-1},...</math>.
*כאשר המקדם של <math>u_{-n}</math> שווה למקדם של <math>u_{N-n}</math>.
*שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.

*לדוגמא:
*נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
*אם נפרק את f לגלים <math>u_0,u_1,...,u_5</math> נקבל <math>v=B_0v_0+...+B_4v_4</math>
*אם נפרק את f לגלים <math>u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2</math> נקבל <math>v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2</math>
*במצב זה, אם דגמנו בתדר <math>t</math> נקבל את התדרים <math>0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5}</math> שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).

*עבור n ספציפי מתקיים כי:
:<math>B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x)</math>
*מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי <math>B_n+B_{N-n}</math> וגם <math>i(B_n-B_{N-n})</math> הם ממשיים.
*כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.

*הערה: אם N זוגי, אז הגל <math>u_{\frac{N}{2}}</math> נותר בודד.
*לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math>
*נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.

מבנים אלגבריים למדעי המחשב - ארז שיינר

2019-11-23T14:53:22Z

Erez:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]

=ספר הקורס=
ההרצאות מבוססות באופן כללי על הספר [http://abstract.ups.edu/aata/ Abstarct Algebra - Theory and Applications by Thomas W. Judson]

=מבחנים לדוגמא=

*[[מדיה:17ASExmTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest1Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 1 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASExmTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest2Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 2 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASExmTest3.pdf|מבחן לדוגמא 3 תשע"ח]]
**[[מדיה:17ASExmTest3Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 3 תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:18ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]

=נושאי ההרצאות=
==הרצאה 1 הקדמה; הסבר על קידוד והצפנה, מבוא למבנים אלגבריים ==

*קידוד הוא שיטה להעברת מידע ובין היתר מטרתו היא להבטיח את נכונות המידע ולזהות (ולתקן) שגיאות.
*הצפנה היא שיטה להסתרת מידע במקום בו כולם רואים את התוכן המועבר, דרך להבטיח מי הוא מקור המידע (חתימה) ודרך להבטיח את אמינות המידע (ללא חוסרים וללא שינויים).
*המבנים האלגבריים שאנו עוסקים בהם בקורס הם חבורה, חוג ושדה.

==הרצאה 2 חבורות ותת חבורות; פרקים 3,4 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==
===חבורות===
*חבורה היא קבוצה G עם פעולה המקיימת:
**סגירות
**אסוציאטיביות
**איבר נייטרלי
**לכל איבר יש איבר הופכי

*חבורה המקיימת את חוק החילוף נקראת חבורה אבלית, קומוטטיבית או חילופית

*תכונת הצמצום: תהי חבורה G, אזי לכל <math>a,b,c\in G</math> אם <math>ab=ac</math> אזי <math>b=c</math>.
**הוכחה: נכפול באיבר ההופכי <math>a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)</math> ונשתמש באסוציאטיביות ובאיבר הנייטרלי.

*יחידות האיבר ההופכי: נובע מתכונת הצמצום שלכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי יחיד.
**הוכחה: אם <math>ab=ac=e_G</math> אזי <math>b=c</math>.

*דוגמאות לחבורות:
**<math>S_n</math> חבורת הפונקציות ההפיכות מקבוצה בגודל n לעצמה עם פעולת ההרכבה.
**<math>GL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות ההפיכות עם כפל מטריצות.
**<math>\mathbb{Z}</math> חבורת השלמים עם חיבור.
**<math>\mathbb{Z}_n</math> חבורת השאריות עם חיבור מודולו n.

===תת חבורות===
*הגדרה: תהי חבורה G. תת קבוצה <math>H\subseteq G</math> נקראת תת חבורה של G אם היא חבורה ביחס לפעולה של G.

*קרטריון מקוצר לבדיקת תת חבורה:
*תת קבוצה H של חבורה G הינה תת חבורה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
**<math>e_G\in H</math>.
**לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.

*הוכחת הקריטריון המקוצר:
*בכיוון ראשון נניח כי H תת חבורה:
**נוכיח כי <math>e_G\in H</math>.
***נניח H תת חבורה, לכן קיים בה איבר נייטרלי <math>e_H</math>.
***כיוון שמדובר באיבר נייטרלי בH מתקיים כי <math>e_H\cdot e_H=e_H</math>.
***מצד שני ברור ש<math>e_H\cdot e_G=e_H</math>.
***לכן <math>e_H\cdot e_H=e_H\cdot e_G</math> ולפי תכונת הצמצום נובע ש <math>e_H=e_G</math>.
**נוכיח כי לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***קיים בH הופכי לb, נקרא לו c.
***לכן <math>bc=bb^{-1}=e_G</math> (הרי הוכחנו כבר ש<math>e_H=e_G</math>).
***שוב לפי תכונת הצמצום נובע כי <math>b^{-1}=c\in H</math>.
***לפי הסגירות של H נובע כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
*בכיוון השני, נוכיח כי H תת חבורה:
**סגירות:
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***ידוע כי <math>e_G\in H</math>, לכן <math>e_G\cdot b^{-1}\in H</math>, כלומר <math>b^{-1}\in H</math>.
***לכן <math>a\cdot \left(b^{-1}\right)^{-1}\in H</math> כלומר <math>a\cdot b \in H</math>.
**אסוציאטיביות:
***נתון כי הפעולה אסוציאטיבית, הרי זו הפעולה של G וG חבורה.
**איבר נייטרלי:
***נתון כי <math>e_G\in H</math>.
**איברים הופכיים:
***יהי <math>a\in H</math>.
***לכן <math>a^{-1}=e_G\cdot a^{-1}\in H</math> בדומה להוכחת הסגירות.

*תת חבורות;
**<math>SL_n(\mathbb{F})</math> חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה שווה 1, עם כפל מטריצות.
**קווטרניונים <math>\left\{
\pm\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix},
\pm\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}
\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{C}\right)</math>
**<math>\mathbb{C}\setminus \{0\}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:(a,b)\neq (0,0)\right\}\subseteq GL_2\left(\mathbb{R}\right)</math>.
**<math>\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> מעגל היחידה.

===תת חבורות ציקליות===

*כתיב אקספוננט <math>g^n=g\cdots g</math> או כפל <math>ng=g+\cdots+g</math> בהתאם לסימון פעולת החבורה.

*תהי G חבורה, לכל <math>a\in G,n\in \mathbb{N}</math> נגדיר:
**<math>a^0=e_G</math>.
**<math>a^{-n}=(a^{-1})^n</math>

*הערה: קל להוכיח כי <math>(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}</math>

*תהי חבורה G, לכל <math>a\in G</math> נגדיר את הסדר של האיבר <math>o(a)</math> בתור החזקה החיובית הקטנה ביותר k עבורה <math>a^k=e_G</math>. אם אין חזקה כזו, ניתן לומר שהסדר הוא אינסוף.
*דוגמאות:
**<math>o(e_G)=1</math>.
**ב<math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים כי <math>o(2)=5</math>.
**ב<math>\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר שונה מאפס הוא אינסוף.

*תהי חבורה G, ויהי <math>a\in G</math>. תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a הינה <math><a>=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}</math>
*הוכחה שאכן מדובר בתת חבורה:
**<math>e_G=a^0\in<a></math>.
**יהיו <math>a^n,a^k\in<a></math> אזי <math>a^n\cdot (a^k)^{-1}=a^n\cdot (a^{-1})^k=a^{n-k}\in<a></math>.

*תהי חבורה G, אזי סדר כל איבר הוא גודל החבורה הציקלית שהוא יוצר, כלומר <math>|<a>|=o(a)</math>.
*הוכחה:
**ראשית נוכיח עבור המקרה בו סדר האיבר סופי <math>o(a)=n</math>.
***רוצים להוכיח כי <math><a>=\{e_G,a,a^2,...,a^{n-1}\}</math> וכי כל האיברים בקבוצה זו שונים זה מזה (אחרת כמות האיברים קטנה יותר מn).
***ברור שהחזקות של a שייכות לתת החבורה הציקלית.
***יהי k כלשהו, נסמן בr את השארית <math>r=k \mod n</math> כלומר <math>k=pn+r</math> עבור <math>p\in\mathbb{Z}, 0\leq r\leq n-1</math>.
***<math>a^k=(a^n)^pa^r=e_G^pa^r=a^r</math>.
***כעת נניח כי קיימות שתי חזקות שונות <math>0\leq r_1<r_2\leq n-1</math> כך ש <math>a^{r_1}=a^{r_2}</math>.
***לכן <math>a^{r_2-r_1}=e_G</math>.
***אבל <math>r_2-r_1\leq n-1 < n</math> בסתירה לכך ש<math>o(a)=n</math>.
**כעת נניח כי סדר האיבר הוא אינסוף, ונוכיח כי גודל תת החבורה הציקלית שהוא יוצר הוא אינסוף.
***נניח בשלילה ש <math><a></math> סופית, לכן לפחות שתי חזקות שונות של a נותנות אותו איבר.
***נסמן <math>n<k</math> כך ש <math>a^n=a^k</math>.
***לכן <math>a^{k-n}=e_G</math> בסתירה לכך שסדר האיבר הוא אינסוף.

*מסקנה: תהי חבורה '''סופית''' G, אזי לכל איבר בחבורה יש סדר סופי.
**הוכחה: גודל תת החבורה הציקלית חייב להיות סופי.

*תת חבורות ציקליות:
**<math>2\mathbb{Z}</math>.
**<math>\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\}\subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> שורשי היחידה מסדר n.

==הרצאה 3 חבורת תמורות, סימן התמורה; פרק 5 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==

===סימן של תמורה===
*נביט בחבורת התמורות <math>S_n</math>.
*עבור <math>f\in S_n</math> נגדיר את הסימן <math>\mathrm{sign}(f):=\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(i)}-x_{f(j)}}{x_i-x_j}</math>.
*הסימן של תמורה הוא תמיד פלוס או מינוס 1.
*אם סימן התמורה הוא מינוס אחד אומרים שהיא '''אי-זוגית''' או '''שלילית''', ואם הסימן הוא אחד אומרים שהיא '''זוגית''' או '''חיובית'''.

*כפליות הסימן: תהיינה שתי תמורות <math>f,g\in S_n</math>, אזי <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.
**הוכחה:
**<math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_i-x_j}=\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}\cdot\frac{x_{g(i)}-x_{g(j)}}{x_i-x_j}</math>
**כיוון שg חח"ע ועל,אוסף הזוגות <math>i\neq j</math> שווה לאוסף הזוגות <math>g(i),g(j)</math>, ולכן <math>\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}=\mathrm{sign}(f)</math>.
**סה"כ קיבלנו <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.

===מחזורים===
*מחזור <math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)</math> מייצג את התמורה f המקיימת <math>f(a_1)=a_2,...,f(a_{k-1})=a_k,f(a_k)=a_1</math> ולכל איבר אחר <math>f(a)=a</math>.
*לדוגמא: <math>\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)\in S_5</math>

*כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים זרים, ואת תמורה הזהות ניתן להציג כ<math>(1)</math>.

*חילוף הוא מחזור באורך 2.
*חילוף הוא תמורה אי זוגית.
**נוכיח עבור <math>f=(1\ 2)\in S_n</math>. (זה מספיק כיוון שהשם של האיברים לא משנה.)
**<math>\mathrm{sign}(f)=\left(\frac{x_2-x_1}{x_1-x_2}\cdot\frac{x_2-x_3}{x_1-x_3}\cdots \frac{x_2-x_n}{x_1-x_n}\right)\cdot\left(\frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}\cdots\frac{x_1-x_n}{x_2-x_n}\right)\left(\cdot\frac{x_3-x_4}{x_3-x_4}\cdots\frac{x_{n-1}-x_n}{x_{n-1}-x_n}\right)=-1</math>

*כל מחזור ניתן להציג כהרכבה של חילופים:
**<math>(a_1\ a_2\ \cdots \ a_k)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdot (a_{k-1}\ a_k)</math>
**כל איבר שלא מוזכר במחזור נשלח לעצמו, ונציב בשני הצדדים את <math>a_1,...,a_{k-1}</math> ונראה כי הפונקציות שוות.
**כיוון שמדובר בפונקציה הפיכה, אין צורך לבדוק את האיבר האחרון <math>a_k</math>.

*מסקנה: כיוון שסימן כל חילוף הוא שלילי ולפי כפליות הסימן, הסימן של מחזור באורך k הוא <math>(-1)^{k-1}</math>.
*דוגמא:
**<math>f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\4&2&5&3&1&7&6\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)(6\ 7)</math>.
**לכן <math>\mathrm{sign}(f)=(-1)\cdot(-1)=1</math>, כלומר מדובר בתמורה זוגית.

==הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==

===הומומורפיזם, איזומורפיזם===
*הגדרה: תהיינה שתי חבורות G,H ותהי פונקציה <math>f:G\to H</math>. אזי f נקראת '''הומומורפיזם''' אם לכל <math>a,b\in G</math> מתקיים <math>f(a\cdot_G b)=f(a)\cdot_H f(b)</math>.
*שימו לב ש <math>\cdot_G</math> היא הפעולה של G, ו<math>\cdot_H</math> היא הפעולה של H.
*הומומורפיזם שהוא פונקציה חח"ע ועל נקרא איזומורפיזם.
*הומומורפיזם שומר במובן מסויים על המבנה של החבורה, ואיזומורפיזם מראה שהחבורות הן 'אותה גברת בשינוי אדרת'.

*תכונות:
**אם <math>f:G\to H</math> הומומורפיזם אזי <math>f(e_G)=e_H</math>.
***הוכחה:
***<math>f(e_G)=f(e_G\cdot e_G)=f(e_G)\cdot f(e_G)</math>.
***לפי תכונת הצמצום <math>f(e_G)=e_H</math>.
**אם f הומומופיזם אזי <math>o(f(a))\leq o(a)</math>.
***אם <math>o(a)=n</math> אזי <math>a^n=e_G</math>.
***לכן <math>f(a^n)=\left(f(a)\right)^n=e_H</math>.
***לכן <math>o(f(a))\leq n=o(a)</math>.
**אם f איזומורפיזם אזי <math>o(f(a))= o(a)</math>.
***נניח כי <math>o(a)=n</math>, הוכחנו ש<math>o(f(a))\leq n</math>.
***נסמן <math>o(f(a))=k</math>.
***לכן <math>\left(f(a)\right)^k=e_H</math>, ולכן <math>f(a^k)=e_H</math>.
***כיוון שאיזומורפיזם הינו פונקציה חח"ע, נובע כי <math>a^k=e_G</math>, כלומר <math>o(a)\leq k</math>.
***ביחד <math>k=n</math>.
***לבסוף, נובע <math>o(f(a))</math> סופי אם"ם <math>o(a)</math> סופי, ולכן הם שווים גם אם אחד מהם הוא אינסוף.
**אם f הומומורפיזם אזי <math>f(a^{-1})=\left(f(a)\right)^{-1}</math> (שימו לב שf לא צריכה להיות הפיכה, והסימון <math>f^{-1}(a)</math> לא בהכרח מוגדר ואינו קשור).
***אכן <math>f(a)\cdot f(a^{-1})=f(e_G)=e_H</math>.

*הגדרה: גרעין של הומומורפיזם הוא אוסף האיברים שנשלחים לאיבר היחידה.
*טענה: התמונה והגרעין של הומומורפיזם הינם תתי חבורות של הטוווח והתחום בהתאמה.
**הוכחה לגבי התמונה:
**יהי הומומורפיזם <math>f:G\to H</math>.
**ראשית, <math>f(e_G)=e_H</math> ולכן <math>e_H\in Im(f)</math>.
**שנית, יהיו <math>h_1,h_2\in Im(f)</math> לכן קיימים <math>g_1,g_2\in G</math> כך ש <math>f(g_i)=h_i</math>.
**<math>h_1\cdot h_2^{-1}=f(g_1)\cdot \left(f(g_2)\right)^{-1}=f(g_1\cdot g_2^{-1})\in Im(f)</math>.
**סה"כ הוכחנו כי <math>Im(f)</math> הינה תת חבורה של <math>H</math>.

===משפט קיילי===
*שיכון קיילי:
**תהי חבורה <math>G</math> ונגדיר את S להיות חבורת הפונקציות ההפיכות מ<math>G</math> לעצמה עם פעולת ההרכבה (חבורת תמורות).
**לכל איבר <math>a\in G</math> נגדיר את התמורה המתאימה לו <math>f_a\in S</math> המוגדרת ע"י <math>f_a(x)=a\cdot x</math>.
***הוכחה ש<math>f_a\in S</math>:
***חח"ע: אם <math>f_a(x_1)=f_a(x_2)</math> אזי <math>a\cdot x_1=a\cdot x_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>x_1=x_2</math>.
***על: עבור <math>y\in G</math> מתקיים כי <math>f_a(a^{-1}\cdot y)=a\cdot(a^{-1}\cdot y) =(a\cdot a^{-1})\cdot y=y </math>
**הפונקציה <math>\varphi:G\to S</math> השולחת כל איבר לתמורה המתאימה לו <math>\varphi(a)=f_a</math> נקראת '''שיכון קיילי'''.

*תכונות:
*שיכון קיילי הינו הומומורפיזם.
**<math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=f_a\circ f_b</math>.
**<math>f_a\circ f_b (x)=f_a(f_b(x))=a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot (x) = f_{a\cdot b}(x)</math>.
**לכן <math>\varphi(a)\circ\varphi(b)=\varphi(a\cdot b)</math>.
*שיכון קיילי הינו חח"ע (לכן הוא נקרא שיכון).
**אם <math>a\neq b</math>, אזי <math>f_a(e)=a\neq b=f_b(e)</math>.
**כלומר <math>f_a\neq f_b</math> ולכן <math>\varphi(a)\neq\varphi(b)</math>.

*מסקנה: '''משפט קיילי''' כל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורת תמורות.
**הוכחה: החבורה איזומורפית לתמונה שלה בשיכון קיילי.

===משפט לגראנג'===
*תהי חבורה G ותת חבורה H. יהי <math>a\in G</math>, נגדיר את '''המחלקה''' <math>a\cdot H:=\{a\cdot h:h\in H\}</math>.
*אלה הן למעשה מחלקות השקילות של היחס <math>aRb\iff a^{-1}b\in H</math>
**הוכחה שמדובר ביחס שקילות:
***רפלקסיביות: <math>a^{-1}a=e\in H</math>
***סימטריות: אם <math>a^{-1}b\in H</math> אזי גם ההופכי שלו <math>(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H</math>
***טרנזיטיביות: נניח <math>a^{-1}b,b^{-1}c\in H</math> אזי לפי סגירות גם <math>a^{-1}bb^{-1}c=a^{-1}c\in H</math>
**אכן <math>[a]_R=\{b|aRb\}=\{b|a^{-1}b=h\in H\}=\{b|b=ah,h\in H\}=a\cdot H</math>
*טענה: לכל איבר <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>|a\cdot H|=|H|</math>.
**הוכחה:
**נביט בפונקציה <math>f:H\to a\cdot H</math> המוגדרת ע"י <math>f(h)=a\cdot h</math> ונוכיח שהיא חח"ע ועל.
**חח"ע: אם <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אזי <math>a\cdot h_1=a\cdot h_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>h_1=h_2</math>.
**על: יהי <math>a\cdot h\in a\cdot H</math>, ברור ש<math>f(h)=a\cdot h</math>.

*הגדרה: האינדקס <math>[G:H]</math> מוגדר להיות מספר המחלקות השונות ש<math>H</math> מגדירה.
*כיוון שראינו שהמחלקות הן בעצם מחלקות שקילות שוות בגודלן המחלקות את G, נובע '''משפט לגראנג' ''':עבור חבורות סופיות, <math>|G|=|H|\cdot [G:H]</math>.
*נובע כי הגודל (סדר) של כל תת חבורה, מחלק את הגודל (סדר) של החבורה כולה.
*יהי <math>a\in G</math> איבר מסדר <math>n</math>. ראינו כי <math>|<a>|=n</math>, ולכן ביחד סדר האיבר מחלק את גודל החבורה.
*תהי חבורה סופית עם מספר ראשוני של איברים, אזי היא חבורה ציקלית.
**אכן, ניקח איבר שונה מהנייטרלי, הסדר שלו חייב להיות המספר הראשוני (כי לראשוני אין מחלקים), ולכן החבורה הציקלית שלו שווה לכל החבורה.

*לפני הרצאה זו, חזרו בבקשה על הנושא של יחסי שקילות. ניתן לצפות בסרטון הבא:

<videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>

==הרצאה 5 חבורת אוילר, משפטי אוילר ופרמה; פרק 6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
===חלוקה עם שארית===
*זוג מספרים שלמים <math>a,b</math> נקראים שקולים מודולו n אם קיים שלם <math>q</math> כך ש <math>a=b+q\cdot n</math>
*חלוקה עם שארית: לכל מספר טבעי a ולכל מספר שלם b קיים זוג שלמים '''יחיד''' <math>q,r</math> כך ש <math>b=q\cdot a+r</math> וגם <math>0\leq r < a</math>.
**קיום:
***יהי <math>a\in\mathbb{N}</math>
***אם <math>b=0</math> אזי <math>b=0\cdot a + 0</math>.
***יהי <math>b\geq 0</math> עבורו הטענה נכונה, נוכיח עבור <math>b+1</math>.
***<math>b+1=qa+r+1</math>.
***אם <math>r+1<a</math> סיימנו, אחרת <math>r+1=a</math> ולכן <math>b=(q+1)a+0</math>.
***אם <math>b<0</math> אזי <math>-b=qa+r</math>.
***אם <math>r=0</math> אזי <math>b=(-q)a+0</math> וסיימנו.
***אם <math>0<r<a</math> אזי <math>b=-qa-r=-qa-a+a-r=(-q-1)a+(a-r)</math> כאשר <math>0<a-r<a</math>.
**יחידות:
***נניח <math>b=q_1a+r_1=q_2a+r_2</math>.
***לכן <math>(q_1-q_2)a=r_2-r_1</math>.
***אבל <math>-(a-1)<r_2-r_2<a-1</math>, ולכן <math>r_2-r_1\neq ka</math>.
***לכן <math>q_1-q_2=0</math> כלומר <math>q_1=q_2</math> ולכן גם <math>r_1=r_2</math>.
*המספר q נקרא '''מנת''' החלוקה והמספר r נקרא '''שארית''' החלוקה.
*יהיו שני שלמים <math>a,b</math> ויהיו <math>r_a,r_b</math> השאריות שלהם בחלוקה בn. אזי <math>ab\equiv r_ar_b \mod n</math>
**<math>ab=(q_an+r_a)(q_bn+r_b)=(q_aq_bn+r_aq_b+q_ar_b)n+r_ar_b</math>
*מסקנה: באותם תנאים, לכל k טבעי מתקיים כי <math>a^k\equiv r_a^k \mod n</math>.

===המחלק המשותף הגדול ביותר===
*לכל שני מספרים טבעיים <math>k<n</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)</math>
**נוכיח שכל מספר שמחלק את <math>n,k</math> מחלק גם את <math>n-k,k</math> וההפך, ולכן הגדול ביותר הוא אותו האחד.
**אם <math>a</math> מחלק את <math>n,k</math> אזי <math>n=qa,k=ta</math>, לכן <math>n-k=(q-t)a</math>.
**אם <math>a</math> מחלק את <math>n-k,k</math> אזי <math>n-k=qa,k=ta</math> ולכן <math>n=(q+t)a</math>.
*לכל שני מספריים טבעיים <math>n,k</math> קיימים מספרים שלמים <math>a,b</math> כך ש <math>an+bk=gcd(n,k)</math>
**עבור <math>n=k=1</math> מתקיים כי <math>1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1 = gcd(1,1)</math>.
**נניח שהטענה נכונה לכל <math>n+k<m</math> נוכיח שהיא נכונה עבור <math>n+k=m</math>.
**אם <math>n=k</math> אזי <math>1\cdot n + 0\cdot k = n =gcd(n,n)=gcd(n,k)</math>.
**אחרת, אם <math>n>k</math> מתקיים כי <math>gcd(n,k)=gcd(n-k,k)=a(n-k)+bk=an+(b-a)k</math>.
**שימו לב שהנחת האינדוקציה התקיימה עבור הזוג <math>n-k,k</math>.

*שני מספרים טבעיים n,k נקראים '''זרים''' אם <math>gcd(n,k)=1</math>
*ב<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולת הכפל מודולו n האיברים ההפיכים הם בדיוק המספרים הזרים ל n.
**נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> אינו זר לn, כלומר <math>gcd(n,k)=a>1</math>.
***לכן <math>n=qa,k=ta</math> לכן <math>qk=tn</math> ולכן <math>qk=0\in\mathbb{Z}_n</math> כלומר k מחלק אפס ואינו הפיך.
**נניח <math>k\in\mathbb{Z}_n</math> זר לn כלומר <math>gcd(n,k)=1</math>.
***לכן קיימים שלמים כך ש <math>an+bk=1</math> לכן <math>b\cdot k \equiv 1 \mod n</math>.
*עבור מספר טבעי <math>1<n</math> קבוצת המספרים הטבעיים הזרים לn וקטנים ממנו מהווה חבורה ביחס לכפל מודולו n, היא נקראית '''חבורת אוילר''' ומסומנת <math>U_n</math>.
**הוכחה ש<math>U_n</math> חבורה:
**סגירות: מכפלת הפיכים היא הפיכה.
**אסוציאטיביות: נובע מהאסוציאטיביות של הכפל.
**איבר נייטרלי: 1.
**הפיכים: ברור מההגדרה.
*<math>\mathbb{Z}_n</math> עם פעולות חיבור וכפל מודולו n הוא שדה אם ורק אם n הינו מספר ראשוני.
**אכן, כל המספרים החיוביים הקטנים מn הפיכים אם"ם כולם זרים לו אם"ם הוא ראשוני.

===פונקצית אוילר, משפט אוילר והמשפט הקטן של פרמה===
*פונקצית אוילר <math>\phi(n)</math> היא מספר המספרים הטבעיים שקטנים או שווים לn וזרים לו.
*'''משפט אוילר''' - יהיו שני מספרים טבעיים '''זרים''' <math>a<n</math>. אזי <math>a^{\phi(n)}\equiv 1</math> מודולו n.
**עבור <math>n>1</math>, מתקיים כי <math>a\in U_n</math> וגם <math>|U_n|=\phi(n)</math>.
**הסדר של איבר בחבורה סופית חייב לחלק את סדר החבורה, נסמן <math>o(a)=k</math> ולכן <math>\phi(n)=t\cdot k</math>.
**לכן <math>a^{\phi(n)} = (a^k)^t=1</math> כאשר הכפל נעשה ב<math>U_n</math>.
*'''המשפט הקטן של פרמה''' - יהי p ראשוני ומספר טבעי <math>a<p</math> אזי <math>a^{p-1}\equiv 1</math> מודולו p.
**זו מסקנה ישירה ממשפט אוילר (אמנם למעשה אוילר הוא הכללה של פרמה), כיוון ש <math>\phi(p)=p-1</math>.
*בפרט, בתנאי המשפט, <math>a^p\equiv a</math> מודולו p.
**למעשה <math>a^p\equiv a</math> מודולו p נכון לכל ראשוני p ולכל טבעי a.
**כיוון שאם a זר לp מתקיים כי גם השארית <math>r_a</math> זרה ל <math>p</math> ולכן <math>a^{p-1}\equiv r_a^{p-1}\equiv 1</math> מודולו p.
**אם a אינו זר לp אזי הוא חייב להתחלק בראשוני p, ולכן <math>a^p\equiv a \equiv 0</math> מודולו p.

==הרצאה 6 הצפנה סימטרית (מפתח פרטי), הצפנה אסימטרית (מפתח ציבורי), RSA; פרק 7 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*הצפנה; העברת מידע בערוץ פומבי כך שרק המשתתפים בהצפנה יוכלו להבין אותו, הוכחה לזהות כותב המידע (בין היתר כותב המידע לא יוכל להתנער ממנו), הוכחה לאמינות ושלימות המידע (המידע אינו חלקי ואף אחד לא שינה אותו).
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A6%D7%95%D7%A4%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99 הצפנה סימטרית] - הצפנה בה לשני הצדדים יש סוד משותף שהעבירו מראש בערוץ שאינו פומבי (משאית ברינקס, לנסוע לחנות לאסוף כרטיס sim).
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A4%D7%AA%D7%97_%D7%A6%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%99 הצפנה פומבית] - הצפנה ללא סוד מתואם מראש, באמצעות מפתחות פומביים (שכולם רואים).
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Transport_Layer_Security פרקטית] הצדדים מעבירים מפתח סודי באמצעות הצפנה פומבית, ואז עוברים להצפנה סימטרית.

*ההצפנה "המושלמת" - רצף בינארי אקראי באורך המידע המוסכם על שני הצדדים. ללא תלות במידע ובחוקיותו, חיבור בכל ביט (xor) של המידע עם הרצף ייצר תוכן שבו לכל ביט יש סיכוי שווה להיות 0 או 1.
*אם הרצף קצר מהמידע וחוזר על עצמו, חיבור שתי חתיכות שנשלחו יאפס את הרצף הסודי וישאיר לנו שתי חתיכות מידע גלוי המחוברות (זה כמעט מידע חשוף).

*קוד חילוף אותיות - נשבר ע"י חקר סטטיסטיקת שכיחות האותיות. אם המידע עובר תהליך שגורם לו להראות אקראי - עדיף
*מטא דטא - מידע על המידע שעשוי לעניין אותנו:
**אם רצף נשלח פעמיים, גם אם אין אנו יודעים מהו, ייתכן שנסיק מההקשר.
**הזמן שבו נשלח מסר (אמצע הלילה למשל).
**הזמן שלקח למכונה להצפין את המידע.
**עצם העובדה ששני צדדים מסוימים מדברים (רוסיה ונציגי קמפיין לנשיאות ארה"ב).
**אורך המידע (בהנחה שהוא אינו מרופד באפסים).

===RSA===
*אליס בוחרת שני ראשוניים גדולים <math>\{p,q\}</math> זה הסוד שלה.
*אליס מחשבת את המכפלה <math>n=p\cdot q</math>
*אליס מחשבת את פונקצית אוילר <math>m=\phi(n)=(p-1)(q-1)</math>
*(הסבר - המספרים שאינם זרים לn מחלקים את אחד הראשוניים. <math>p,2p,3p,...,q\cdot p</math> וגם <math>q,2q,3q,...,p\cdot q</math>. סה"כ <math>p+q-1</math> כי <math>n=p\cdot q</math> נספר פעמיים.)
*אליס בוחרת מספר כלשהו e כך שהוא זר לm.
*אליס מחשבת את ההופכי של e מודולו m, נקרא לו d. היא יודעת לעשות את זה כיוון שהיא הקשיבה בהרצאה קודמת על gcd ומציאת הופכי.
*אליס מפרסמת לכל העולם ואחותו את זוג המספרים <math>n,e</math>

*כעת בוב מעוניין לשלוח לאליס מידע שרק היא תוכל לפענח.
*בוב בעצם הולך "לנעול" את המידע באמצעות המנעול <math>e,n</math> של אליס. כל אחד יכול לנעול אותו, ורק אליס יודעת לפתוח אותו.
*המידע שבוב מעוניין לשלוח הוא מספר <math>x<n</math>, בוב שולח את המידע המוצפן <math>x^e\mod n</math>
*אם בוב רוצה לשלוח יותר מידע, הוא יצטרך לפרק אותו לחתיכות. שימו לב שאם המנעול של אליס ישאר קבוע לחלוטין זה יהווה חולשה.

*אליס מקבלת את המידע המוצפן ומפענחת אותו באופן הבא: <math>x=\left(x^e\right)^d \mod n</math>
*הוכחה - נחלק לשני מקרים.
*אם <math>gcd(x,n)=1</math>:
**נתון כי <math>de=km+1=k\phi(n)+1</math>.
**<math>\left(x^e\right)^d=x^{de}=x^{k\phi(n)+1}=\left(x^{\phi(n)}\right)^k\cdot x\equiv x \mod n</math>
**זה נכון כיוון שלפי משפט אוילר <math>x^{\phi(n)}\equiv 1 \mod n</math>
*אם <math>gcd(x,n)\neq 1</math>:
**כיוון ש<math>n=p\cdot q</math> אז x הוא כפולה של p או q. נוכיח במקרה שx מתחלק בp.
**קיים <math>h<q</math> עבורו <math>x=hp</math> וכמו כן x זר לq (אחרת בשני המקרים יוצא ש <math>x\geq n</math>).
**לכן לפי פרמה הקטן יוצא ש <math>x^{q-1}\equiv 1 \mod q</math>
**לכן <math>x^{km}=x^{k(p-1)(q-1)}=\left(x^{q-1}\right)^{k(p-1)}\equiv 1 \mod q</math>
**לכן <math>x^{de}=x^{km+1}=x^{km}x=(1+tq)x=x+tqhp=x+th\cdot n\equiv x \mod n</math>

*שימו לב: אמנם <math>4\equiv 1 \mod 3</math> אך <math>2^4 \not\equiv 2 \mod 3</math> כלומר לחשב את ההופכי של e מוד n זה אמנם קל, אך לא יעיל לשום דבר...

==הרצאה 7 המשך הצפנה - בדיקת ראשוניות, דיפי הלמן, חתימה, חישוב חזקות;==

===שיטת מילר-רבין לבדיקת ראשוניות===
*חלק מהותי בשיטות שאנו לומדים הוא מציאת ראשוניים גדולים. כיצד הדבר נעשה? האם יש רשימה גדולה של כל הראשוניים בעולם?
*ידוע שכמות הראשוניים עד המספר <math>n</math> היא בערך <math>\frac{n}{\ln(n)}</math>.
*לכן הסיכוי בבחירת מספר אקראי עד <math>n</math> שהוא יהיה ראשוני הוא בערך <math>\frac{1}{\ln(n)}</math>.
*אנו זקוקים למבחן ראשוניות - נגריל מספרים אקראיים ונבדוק האם הם ראשוניים, ומהר מאד נמצא אחד כזה בהתחשב בסיכוי הנ"ל.
*זכרו שפירוק לגורמים ראשוניים היא בעייה קשה (אחרת RSA מיותר ממילא).

*לפי משפט פרמה הקטן, אם <math>p</math> ראשוני, אזי לכל <math>a<p</math> מתקיים <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math>.
*האם ההפך נכון? כלומר, האם <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math> רומז ש<math>p</math> ראשוני?
*[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A7%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%99%D7%A7%D7%9C מספרי קרמייקל] מקיימים את התכונה הזו כמעט לכל <math>a</math> למרות שאינם ראשוניים.

*טענה: אם <math>p</math> ראשוני, ו<math>x\in U_p</math> איבר כך ש <math>x^2=1</math> אזי <math>x=\pm 1</math>
*הוכחה:
**נזכור ש<math>U_p</math> הוא '''שדה''' כיוון שמדובר במספר ראשוני, ולכן אין בו מחלקי אפס.
**<math>x^2=1</math> אם"ם <math>(x-1)(x+1)=0</math> אם"ם <math>x=\pm 1</math>

*הגדרה:
**בהנתן מספר n, ונסמן <math>n-1=2^s\cdot r</math> עבור r אי זוגי. אומרים שהמספר <math>1\leq a <n</math> הוא '''עד חזק''' לראשוניות של n אם אחד מהתנאים הבאים מתקיים:
***<math>a^r\equiv 1 \mod n</math>
***<math>a^{2^kr}\equiv n-1 \mod n</math> עבור <math>1\leq k \leq s-1</math>.

*שימו לב: <math>n-1\equiv -1 \mod n</math>

*אם <math>p</math> ראשוני אזי כל המספרים <math>1<a<p</math> הם עדים חזקים לכך.
**הוכחה:
***לפי אוילר <math>a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math> .
***אם נעלה את <math>a^r</math> בריבוע s פעמים נקבל <math>a^{2^s\cdot r}=a^{p-1}\equiv 1 \mod p</math>.
***לכן אם <math>a^r\not \equiv 1 \mod p</math>, בשלב כלשהו נעלה מספר שאינו 1 בריבוע ונקבל 1, לכן מספר זה חייב להיות <math>-1</math>.
*אם <math>p</math> אינו ראשוני, ידוע שלכל היותר רבע מבין המספרים <math>a</math> יכולים להיות עדים חזקים.
*לכן הסיכוי שמצאנו עד חזק למרות שהמספר שאנו בודקים אינו ראשוני הוא רבע.
*אם נבחן k מספרים אקראיים שונים, הסיכוי שכולם יהיו עדים חזקים אך המספר אינו ראשוני הוא <math>\frac{1}{4^k}</math> (נמוך מאד).

===דיפי-הלמן===
*למדנו שבעזרת RSA ניתן להעביר פיסת מידע באופן בטוח בערוץ פומבי, ולרוב נרצה להעביר מפתח סודי לצורך הצפנה סימטרית.
*אלגוריתם דיפי-הלמן הוא שיטה לתיאום מפתח סודי בלבד ולא להעברת מידע.

*אליס ובוב מתאמים מספר ראשוני גדול <math>p</math> שאינו סודי כמובן.
*כמו כן הם מתאמים יוצר <math>g</math> של <math>U_p</math> (כלומר <math>U_p=<g></math>), או לפחות איבר מסדר מאד גדול.
*כעת אליס בוחרת מספר אקראי סודי <math>a\leq p-1</math> ושולחת לבוב את <math>g^a \mod p</math>.
*בוב בוחר מספר אקראי סודי <math>b\leq p-1</math> ושולח לאליס את <math>g^b \mod p</math>.

*כעת אליס ובוב שניהם יכולים לחשב בקלות את הסוד המשותף <math>g^{ab}</math>.

*על מנת לשבור את ההצפנה צריך לחשב את <math>a</math> בהנתן <math>g^a \mod p</math>, זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי שנחשבת לקשה.
*אם <math>g</math> מסדר נמוך חישוב כל החזקות האפשריות שלו הוא קל.

*גישה פרקטית למשל:
**נבחר את p להיות מספר ראשוני "בטוח", כלומר <math>p=2q+1</math> כאשר <math>q</math> ראשוני.
**כעת ב<math>|U_p|=2q</math> ולכן הסדר של כל איבר ב<math>U_p</math> הוא אחד מבין <math>1,2,q,2q</math>.
**נגריל איבר <math>g\neq 1</math> כך ש<math>g^2\not\equiv 1 \mod p</math> וגם <math>g^q\not\equiv 1 \mod p</math>.
**האיבר שבחרנו הוא יוצר.

===חתימה===

*פונקציות גיבוב (hash) - מעבירות קלט בגודל אקראי לקלט באורך קבוע.
*התנגשות היא מצב בו שני קלטים מובילים לאותו ערך מגובב. לפי שובך היונים התנגשויות קיימות, אך בפונקציות גיבוב "טובות" הסיכוי לכך נמוך מאד.

*סיפרנו על אליס שייצרה מפתח פומבי <math>(n,e)</math>, ושמרה לעצמה את הערכים הסודיים <math>m,d</math>
*כעת בוב שרוצה לשלוח לה מידע ולהבטיח את זהותו ואת אמינות המידע, מייצר באופן דומה מפתח פומבי <math>(n',e')</math> ושומר ערכים סודיים <math>m',d'</math>
*בוב מעביר את המידע שלו דרך פונקצית גיבוב ומקבל את הערך המגובב <math>a</math>
*בוב מחשב את <math>y=a^{d'} \mod n'</math> ושולח לאליס בנוסף למידע.
*אפילו בהנתן <math>a</math> לא ניתן לחשב את <math>d'</math> (זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי).
*אף אחד אחר לא יכול לחשב את y כיוון ש <math>d'</math> סודי.

*כעת אליס מחשבת את <math>a=y^{e'} \mod n'</math> ומוודאת כי המידע שהיא קיבלה הוא המידע שבוב התכוון לשלוח עד כדי המקרה הבלתי סביר של התנגשות.
*אף אחד אחר לא יכל ליצור את הוכחת אמינות המידע הזו פרט לבוב.

*שימו לב שעל מנת למנוע תקיפת 'אדם באמצע' באמצעות חתימה המפתחות הפומביים צריכים להיות מאומתים על פני ערוץ מאובטח (מקודדים בתוך הדפדפן למשל).

===חישוב חזקה===
*[http://abstract.ups.edu/aata/section-method-of-repeated-squares.html שיטת הריבועים החוזרים] לחישוב חזקה.
*לדוגמא, אנו מעוניינים לחשב את <math>x^{41} \mod n</math> במעט פעולות
**<math>41=2^5+2^3+1</math>
**<math>x^{41}=x^{2^5}\cdot x^{2^3}\cdot x</math>
**<math>x^{41}=\left(\left(\left(\left(x^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\cdot \left(\left(x^2\right)^2\right)^2 \cdot x</math>
**סה"כ חישבנו את החזקה עם 8 העלאות בריבוע, ושלוש הכפלות, במקום 40 הכפלות.

==הרצאה 8 תת חבורות נורמליות, חבורות מנה, גרעין; פרקים 10,11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*תהי חבורה G ותהי תת חבורה N. תת החבורה N נקראת '''נורמלית''' אם לכל <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>aN=Na</math>.
*ברור שבחבורה אבלית כל חבורה היא תת חבורה נורמלית.
*דוגמא:
**נביט בחבורה הסימטרית <math>G=S_3</math> ובתת החבורה <math>H=<(1\ 2)>=\{(1),(1\ 2)\}</math>.
**אזי <math>(1\ 3)H=\{(1\ 3), (3\ 1\ 2)\}</math> אך <math>H(1\ 3)=\{(1\ 3),(2\ 1\ 3)\} </math> וקל לראות כי <math>(1\ 3)H\neq H(1\ 3)</math>.
**אזי N תת חבורה לא נורמלית!
*דוגמא נוספת:
**נביט בחבורה הסימטרית <math>G=S_3</math> ובתת החבורה <math>N=<(1\ 2\ 3)></math> שהיא תת החבורה של כל התמורות הזוגיות במקרה זה.
**קל לוודא שלכל תמורה זוגית מתקיים <math>fN=Nf=N</math> ולכל תמורה אי-זוגית מתקיים <math>fN=Nf</math> שווה לקבוצת כל התמורות האי-זוגיות.

*טענה תהי N תת חבורה נורמלית אזי <math>(aN)(bN)=abN</math>
*הוכחה - הכלה דו כיוונית:
**יהי <math>anbk\in (aN)(bN)</math> כיוון ש <math>bN=Nb</math> אזי <math>anbk=abmk\in abN</math>.
**יהי <math>abn\in abN</math> אזי <math>aebn\in (aN)(bN)</math>.

*תהיינה G חבורה וN תת חבורה נורמלית, אזי <math>G/N=\{aN|a\in G\}</math> היא חבורה.

*יהי הומומורפיזם בין חבורות <math>\varphi:G\to H</math>. נגדיר את '''הגרעין''' <math>\ker(\varphi)=\{a\in G|\varphi(a)=e_H\}</math>.
*הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>.
*הוכחה - נסמן <math>K=\ker(\varphi)</math>:
**ראשית עלינו להוכיח שמדובר בתת-חבורה: אכן <math>e_G\in K</math> ואם <math>a,b\in K</math> אז <math>\varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\left(\varphi(b)\right)^{-1}=e_H</math>.
**כעת יהי <math>a\in G</math> עלינו להוכיח כי <math>aK=Ka</math>. נעשה הכלה בכיוון אחד, הכיוון השני דומה.
**יהי <math>ak\in aK</math> רוצים למצוא <math>m\in K</math> כך ש <math>ak=ma</math>.
**לכן עלינו לבחור <math>m=aka^{-1}</math>, נותר להוכיח שאכן <math>m\in K</math>.
**אכן <math>\varphi(m)=\varphi(aka^{-1})=\varphi(a)e_H\left(\varphi(a)\right)^{-1}=e_H</math>.

==הרצאה 9 משפט האיזומורפיזם, מבוא לקידוד; פרק 11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*'''משפט האיזומורפיזם הראשון'''. יהי <math>\varphi:G\to H</math> הומומורפיזם בין חבורות. אזי <math>G/\ker(\varphi)\cong im(\varphi) </math>
*הוכחה:
**לצורך הנוחות נסמן <math>K=\ker(\varphi)</math> ו<math>M=im(\varphi)</math>.
**עלינו להראות שקיים איזומורפיזם (כלומר הומומורפיזם חח"ע ועל) <math>f:G/K\to M</math>.
**לכל <math>aK\in G/K</math> נגדיר <math>f(aK)=\varphi(a)</math>.
**ראשית, עלינו להוכיח כי מדובר בפונקציה מוגדרת היטב. כלומר, בהנתן <math>a,b\in G</math>, אם <math>aK=bK</math> עלינו להוכיח כי <math>f(aK)=f(bK)</math>.
***<math>a=ae\in aK</math> ולכן <math>a\in bK</math>. כלומר קיים <math>k\in K</math> כך ש <math>a=bk</math>.
***<math>\varphi(a)=\varphi(bk)=\varphi(b)\varphi(k)=\varphi(b)</math>.
***<math>f(aK)=\varphi(a)=\varphi(b)=f(bK)</math>.
**כעת, עלינו להוכיח ש<math>f</math> הינו הומומורפיזם.
***<math>f\left((aK)(bK)\right)=f(abK)=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=f(aK)f(bK)</math>
**עכשיו נוכיח ש<math>f</math> על.
***לכל איבר בתמונה <math>h\in M</math> קיים מקור <math>g\in G</math>. לכן <math>f(gK)=\varphi(g)=h</math>.
**ולבסוף, נוכיח ש<math>f</math> חח"ע.
***יהיו <math>aK,bK\in G/K</math> כך ש <math>f(aK)=f(bK)</math> עלינו להוכיח כי <math>aK=bK</math>.
***נתון <math>\varphi(a)=\varphi(b)</math> צ"ל <math>aK=bK</math>. שימו לב שלא צריך להוכיח כי <math>a=b</math>; אכן <math>\varphi</math> לא חייב להיות חח"ע.
***נראה הכלה בכיוון אחד, הכיוון השני דומה.
***יהי <math>ak\in aK</math> צ"ל <math>ak\in bK</math>.
***קל לראות ש <math>ak=bb^{-1}ak</math>, עלינו להוכיח כי <math>b^{-1}ak\in K</math>.
***אכן <math>\varphi(b^{-1}ak)=\left(\varphi(b)\right)^{-1}\varphi(a)\varphi(k)=\left(\varphi(a)\right)^{-1}\varphi(a)=e_H</math>

*דוגמא.
*נגדיר את הפונקציה <math>\varphi:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n</math> על ידי <math>\varphi(a)=a\mod n</math> (השארית של החלוקה של a בn).
*נוכיח שמדובר בהומומורפיזם.
**יהיו <math>a,b\in\mathbb{Z}</math> לפי ההגדרה <math>\varphi(a+b)= a+b \mod n</math>.
**נשים לב כי <math>a=\varphi(a)+kn, b=\varphi(b)+mn</math>.
**לכן <math>a+b\equiv \varphi(a)+\varphi(b) \mod n</math>.
**סה"כ <math>\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)</math> כיוון שהם שקולים מודולו n, ואנו עוסקים בחבורה <math>\mathbb{Z}_n</math>.
*כעת מתקיים כי <math>\ker\varphi=n\mathbb{Z}=\{na|a\in\mathbb{Z}\}</math>.
*לכן <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math>

*שאלה - האם בחיבור <math>1+7+5+8</math> ב<math>\mathbb{Z}_9</math> חשוב לבצע את פעולת המודולו בכל חיבור, או שמותר בסוף?
*<math>\mathbb{Z}_9</math> איזומורפית לחבורה <math>\{0+9\mathbb{Z},...,8+9\mathbb{Z}\}</math>
*נביט ב <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})</math>
*הוכחנו כי <math>(aN)(bN)=abN</math>. לכן <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})=21+9\mathbb{Z}</math>.
*כיוון ש <math>\varphi(21)=\varphi(3)</math>, נובע לפי הוכחת משפט האיזומורפיזם הראשון כי <math>21+9\mathbb{Z}=3+9\mathbb{Z}</math>, כלומר אכן מותר לעשות את המודולו בסוף.

===מבוא לקידוד===
*קוד ISBN בעל 10 ספרות, כאשר הספרה האחרונה היא ספרת ביקורת.
*הספרות שייכות לחבורה <math>\mathbb{Z}_{11}</math>, כאשר 9 הספרות הראשונות הן 0-9 והאחרונה יכולה להיות גם X.
*קוד תקין מקיים את הנוסחא <math>10x_1+9x_2+...+x_{10}=0</math> (שימו לב שמדובר בפעולות מודולו 11).
*לכן חישוב ספרת הביקורת הוא <math>x_{10}=-\left(10x_1+...+2x_9\right)</math>.
*אם ספרה אחת בלבד מהקוד תשתנה בטעות, הקוד בוודאות לא יהיה תקין.
**אם נחליף את <math>x_i</math> בספרה <math>y_i</math> על מנת שהקוד החדש יהיה תקין צריך ש <math>a_i(y_i-x_i)=0</math>, אבל <math>a_i\neq 0</math> ו<math>\mathbb{Z}_{11}</math> הוא שדה.
*אם נחליף במיקום של זוג ספרות כלשהן נקבל קוד בלתי תקין.
**<math>a_ix_i+a_jx_j-a_ix_j-a_jx_i=(a_i-a_j)(x_i-x_j)\neq 0</math>.
*שימו לב שקוד זה מוגבל במספר הספרות, ואכן כשהוסיפו ספרות שינו אותו באופן דומה במידה מסוימת לתעודת הזהות שנלמד בהמשך.

==הרצאה 10 קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*תעודת זהות בישראל.
*עבור ספרת הביקורת של תעודת הזהות אנו לא מרשים שימוש בספרה X ולכן עובדים ב<math>\mathbb{Z}_{10}</math>.
*הבעייה - זה אינו שדה ויש מחלקי אפס. למשל <math>5\cdot 0 = 5\cdot 2</math>, לכן הקוד לעיל לא יזהה בהכרח החלפת ספרה.
*תאור מילולי של חישוב ספרת ביקורת (אלגוריתם Luhn):
**לכל ספרה בתעודת הזהות ניתן משקל - 2 עבור הספרה הימנית ביותר (שאינה ספרת הביקורת) 1 עבור הבאה, וכך הלאה בסירוגין.
**נכפיל כל ספרה במשקל שלה, אם הכפלנו ספרה ב2 וקיבלנו מספר בן שתי ספרות - נסכום את הספרות.
**נסכום את כל התוצאות הללו.
**המספר הקטן ביותר שנוסיף לסכום לעיל על מנת להשלים אותו לכפולה שלימה של 10, הוא ספרת הביקורת.
*לדוגמא - מספר התעודת הזהות הראשון שניתן הוא 1. נכפול ב2 ונקבל 2. נשלים ל10 וספרת הביקורת היא 8, לכן תעודת הזהות היא 18.
*לדוגמא - נניח שתעודת הזהות היא 1789 (כמובן ללא ביקורת). אזי 9 כפול 2 זה 18, ולכן נסכום 9, 8 כפול 1 זה 8, 7 כפול 2 זה 14 שנותן 5, ו1 כפול 1 זה 1.
**סה"כ קיבלנו 9+8+5+1=22 ולכן ספרת הביקורת היא 8.

*תאור מתמטי:
*ראשית נביט בכפל ב2
**הספרות <math>\{0,1,2,3,4\}</math> נשלחות לספרות <math>\{0,2,4,6,8\}</math> בהתאמה.
**הספרות <math>\{5,6,7,8,9\}</math> נשלחות לספרות <math>\{1,3,5,7,9\}</math> בהתאמה.
**הספרות <math>\{5,6,7,8,9\}</math> כפול 2 שוות ל <math>10+x</math> ונשלחות ל<math>1+x</math>.
**נשים לב כי פעמיים הספרה שקול ל <math>x</math> מודולו 10.
**סה"כ הגדרנו את הפונקציה הבאה על הספרות <math>f(a)=\begin{cases}2a & a\leq 4 \\ 2a+1 & a\geq 5\end{cases}</math>.
*שימו לב שכפל רגיל ב2 לא היה עובד, כיוון ש<math>2\cdot 5 = 2\cdot 0</math>.

*מדוע אם כך בחרנו דווקא במשקל 2 שאינו זר ל 10 (ולכן אינו הפיך)?
**ההפיכים מודולו 10 הם אי זוגיים.
**ההפרש בין כל שניים מהם הוא זוגי, ולכן כל חילוף של שתי ספרות בהפרש 5 לא היה מתגלה.
** לדוגמא נניח כי המשקלים הם 1 ו3.
**<math>1\cdot a+3\cdot (a+5)=a+3a+15=1\cdot(a+5)+3\cdot a</math>.

*נניח שספרות תעודת הזהות הן <math>x_9,...,x_1</math> כאשר <math>x_1</math> היא ספרת הביקורת והימנית ביותר.
*לפי החישוב לעיל ספרת הביקורת נבחרה כך ש <math>x_9+f(x_8)+x_7+...+f(x_2)+x_1=0</math>.
*נעביר אגף ונקבל נוסחא לספרת הביקורת.

*קל לראות שתעודת זהות שנפלה בה טעות בספרה אחת אינה תקינה יותר.
**אם הספרה השונה היא במקום אי זוגי אז <math>1\cdot x_i\neq 1\cdot yi</math>.
**אם הספרה השונה היא במקום אי זוגי אז <math>f(x_i)\neq f(y_i)</math> כיוון ש<math>f</math> חח"ע.
*אם החלפנו את הספרות 0,9 במקומות סמוכים לא נזהה את השגיאה.
**אכן, <math>1\cdot 0 + f(9) = 9 = 1\cdot 9 + f(0)</math>.
*אם החלפנו שתי ספרות שונות במקומות סמוכים שאינן הזוג 0,9 אז נזהה את השגיאה.
**אם שתי הספרות קטנות או שוות ל4, נקבל <math>x_i+2x_j-x_j-2x_i=x_j-x_i\neq 0</math>.
**אם שתי הספרות גדולות או שוות ל5 נקבל <math>x_i+2x_j+1-x_j-2x_i-1=x_j-x_i\neq 0</math>.
**אם <math>0\leq x_i\leq 4</math> אבל <math>5\leq x_j\leq 9</math> נקבל <math>x_i+2x_j+1-x_j-2x_i=x_j-x_i+1</math>.
**הדרך היחידה ש<math>x_j-x_i+1=0</math>היא אם <math>x_j-x_i=9</math> וזה בדיוק הזוג 0,9.

===קוד לינארי===
*המידע שאנו מעוניים לשלוח הוא וקטור של ביטים <math>\mathbb{Z}_2^k</math>.
*נכפיל את המידע במטריצה הבינארית <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> ונקבל קוד ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math>.
*דוגמא
**נביט במטריצה <math>G=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>.
**כפל במטריצה זו מוסיף למידע באורך 3 ביט יתירות הבודק זוגיות (parity bit).

*עבור <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> נגדיר את המטריצה <math>H=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}</math>.
*טענה:
*לכל וקטור <math>Hv=0</math> אם ורק אם <math>v</math> הוא מהצורה <math>v=Gx</math>.
**הוכחה:
**כיוון ראשון:
***נוכיח ראשית ש<math>HG=0</math>, ולכן ברור שאם <math>v=Gx</math> אזי <math>Hv=0</math>.
***<math>HG=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_k \\ A\end{pmatrix}=A+A=0</math> (זכרו שאנו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>).
**בכיוון ההפוך:
***נניח כי <math>Hv=0</math> ונסמן <math>v=\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> כאשר <math>x\in\mathbb{Z}_2^k</math>.
***נוכיח כי <math>Gx=v</math>.
***נסמן <math>Gx=\begin{pmatrix}x\\u'\end{pmatrix}</math>, צריך להוכיח כי <math>u=u'</math>.
***נתון כי <math>Hv=0</math>, ומכיוון קודם ידוע כי <math>HGx=0</math> ולכן ביחד <math>H(Gx-v)=0</math>.
***לכן <math>0=H(Gx-v)=H\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=u'-u</math>
**כלומר קוד <math>v</math> הינו תקין אם ורק אם <math>Hv=0</math>.

*שימו לב כי נובע מההוכחה לעיל שעבור וקטור מידע <math>x</math> יש בדיוק וקטור יתירות יחיד <math>u</math> עבורו <math>\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> תקין.
*כלומר, ניתן לזהות כל כמות טעויות המשנה אך ורק את וקטור היתירות.

==הרצאה 11 המשך קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*עד כה הראנו שיש לנו דרך לקודד מידע ולוודא שהמידע שהגיע הוא קוד תקין.
*השאלה: כיצד שגיאות עשויות להשפיע על הקוד? כמה שגיאות יכולות להעביר אותנו ממילה חוקית אחת לאחרת?
*מרחק המינג- המרחק בין שני וקטורים ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math> הוא כמות העמודות בהן הם נבדלים.
**דוגמא: <math>d((1,0,1,0),(0,1,1,0))=2</math>.

*נסמן ב<math>d_{min}</math> את המרחק הקטן ביותר בין שתי מילים חוקיות כלשהן <math>Gx_1,Gx_2</math>.
*טענה: אם <math>d_{min}\geq 2n+1</math> אז הקוד מסוגל לזהות עד <math>2n</math> שגיאות ולתקן עד <math>n</math> שגיאות.
*הוכחה:
**אם כמות השגיאות קטנה או שווה ל<math>2n</math> המילה שהתקבלה בוודאות אינה חוקית, כיוון שהמרחק המינימלי בין שתי מילים חוקיות גדול או שווה ל<math>2n+1</math>.
**אם כמות השגיאות קטנה או שווה ל<math>n</math> יש בדיוק מילה חוקית אחת שיכולה להיות המקור.
**אחרת, ניתן להגיע ע"י n שגיאות משתי מילים חוקיות למילה שקיבלנו, כלומר המרחק בין שתי המילים החוקיות קטן או שווה ל<math>2n</math>, בסתירה.

*דוגמא: בקוד ביט parity מתקיים כי <math>d_{min}=2</math> והקוד יכול לזהות שגיאה אחת ולא לתקן בכלל.

*טענה:
*הקוד מסוגל לזהות לפחות שגיאה אחת אם ורק אם ב<math>H</math> אין עמודת אפסים.
**הוכחה:
**תהי מילה חוקית <math>v</math> ונוסיף לה שגיאה אחת בדיוק <math>v+e_i</math>.
**אזי <math>H(v+e_i)=Hv+He_i=0+C_i(H)</math>.

*טענה:
*<math>d_{min}\geq 3</math> אם ורק אם ב<math>H</math> אין עמודת אפסים וגם אין שתי עמודות זהות.
*במקרה זה ניתן לזהות לפחות שתי שגיאות, ולתקן לפחות שגיאה אחת.
**הוכחה:
**תהי מילה חוקית <math>v</math> ונוסיף לה שתי שגיאות <math>v+e_i+e_j</math>.
**אזי <math>H(v+e_i+e_j)=C_i(H)+C_j(H)</math>.
**זה שווה אפס (כלומר המילה החדשה חוקית) אם ורק אם <math>C_i(H)=C_j(H)</math>.

*הערה:
*נניח שהוספנו <math>n-k</math> ביטים למידע, זה משאיר ל<math>A</math> כמות של <math>2^{n-k}-(n-k)-1</math> עמודות שיכולות להיות שונות מאפס, ושונות מהעמודות של <math>I_{n-k}</math>.
*כלומר על מנת לתקן שגיאה אחת, כמות הביטים שעלינו להוסיף לוגריתמית ביחס לכמות המידע.

*דוגמא (קוד המינג)
*<math>H=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1& 0 & 0\\ 1& 0 & 1&1&0&1&0\\1&1&0&1&0&0&1\end{pmatrix}</math>
*כיוון שסכום שלושת העמודות הראשונות הוא אפס <math>d_{min}\leq 3</math>.
*מצד שני, כיוון שאין ב<math>H</math> שתי עמודות זהות <math>d_{min}\geq 3</math>.
*ביחד <math>d_{min}= 3</math>.

*מציאת שגיאה, בהנתן שהתרחשה בדיוק שגיאה אחת:
*נניח שהמילה שנשלחה היא <math>v</math> והמילה שהתקבלה היא <math>v+e_i</math>.
*לכן <math>H(v+e_i)=C_i(H)</math>.
*כלומר מיקום העמודה במטריצה <math>H</math> הוא מיקום הטעות.

*דוגמא:
*<math>
v=Gx=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0 & 1 & 1 & 1\\1& 0 & 1&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}
</math>
*נניח שהתקבלה בצד השני המילה יחד עם טעות אחת <math>u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>.
*נחשב <math>Hu=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>.
*כך אנו יודעים שהטעות הייתה בביט השני.

checksum בפרוטוקולי IP, TCP, UDP.

==הרצאה 12 חוג הפולינומים; פרקים 16,17 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

*תזכורת: חוג הוא קבוצה <math>R</math> עם פעולות חיבור וכפל, כך שהוא חבורה חילופית ביחד לחיבור, מקיים אסוציאטיביות בכפל, מכיל איבר יחידה ואת חוק הפילוג.

===חוג הפולינומים===

*יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, אזי <math>\mathbb{F}[x]</math> הוא חוג הפולינומים עם פעולות כפל וחיבור רגילות.
**כלומר <math>\mathbb{F}[x]=\{a_nx^n+...+a_1x+a_0|n\in\mathbb{N},a_i\in\mathbb{F}\}</math>.
*עבור פולינום <math>a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> כאשר <math>a_n\neq 0</math> אומרים ש'''הדרגה''' שלו היא <math>n</math>.
*עבור פולינום האפס אפשר להגיד שדרגתו היא <math>-1</math>.

*טענה (חלוקה עם שארית): יהיו שני פולינומים <math>f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]</math> כך ש<math>g(x)</math> אינו פולינום האפס, אזי קיימים פולינומים יחידים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
**<math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math>.
*הוכחה:
*קיום:
**יהי <math>g(x)</math> כזה.
**אם <math>\deg(f)<\deg(g)</math> אזי <math>f=0\cdot g + f</math>.
**אם <math>\deg(f)\geq\deg(g)</math> נוכיח באינדוקציה על הדרגה של <math>f</math>.
**נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math>, <math>g(x)=b_mx_m+...+b_0</math> כאשר נתון <math>n\geq m</math>.
**הפולינום <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)</math> הוא מדרגה קטנה ממש מ<math>n</math> ולכן מקיים את הטענה לפי הנחת האינדוקציה.
**לכן <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**לכן <math>f(x)=(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q(x))g(x)+r(x)</math>.
*יחידות:
**נניח <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math>.
**לכן <math>(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_1(x)-r_2(x)</math>.
**אבל <math>\deg(r_1(x)-r_2(x))<\deg(g(x))</math> ולכן <math>q_1(x)-q_2(x)=0</math> ולכן גם <math>r_1(x)-r_2(x)=0</math>.

*מסקנה: עבור פולינום <math>f(x)</math> ועבור נקודה <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>f(a)=0</math> אם"ם קיים פולינום <math>q(x)</math> כך ש <math>f(x)=q(x)(x-a)</math>.
*במילים: a הינו שורש של הפולינום f אם"ם הפולינום f מתחלק בפולינום x-a.
*הוכחה:
**לפי משפט החלוקה עם שארית קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
***<math>f(x)=q(x)(x-a)+r(x)</math>.
***<math>\deg(r(x))<\deg(x-a)=1</math>, כלומר <math>r(x)=r\in\mathbb{F}</math> הוא קבוע.
**נציב <math>a</math> ונקבל <math>f(a)=r</math>.
**לכן <math>f(x)=q(x)(x-a)</math> אם ורק אם <math>f(a)=0</math>.

===אידיאלים===
*יהי חוג <math>R</math>. תת קבוצה <math>I\subseteq R</math> נקראת '''אידיאל''' (דו-צדדי) אם:
**<math>I</math> מקיימת את כל התכונות של חוג, פרט אולי לקיום איבר יחידה כפלי.
**לכל <math>r\in R</math> ולכל <math>a\in I</math> מתקיים כי <math>ar,ra\in I</math> (כלומר האידיאל "בולע" איברים בכפל).

*דוגמא:
*<math>k\mathbb{Z}</math> הוא אידיאל של <math>\mathbb{Z}</math>.

*טענה: אם <math>I\subseteq\mathbb{F}[x]</math> הוא אידיאל אזי קיים פולינום <math>g(x)</math> עבורו <math>I=\langle g(x)\rangle=\{f(x)g(x)|f(x)\in\mathbb{F}[x]\}</math>.
*(קוראים לאידיאל כזה הנוצר ממכפלות באיבר אחד - אידיאל ראשי.)
*הוכחה:
**נביט בפולינום <math>g(x)\in I</math> בעל דרגה מינימלית מבין כל הפולינומים השונים מאפס ב<math>I</math>.
**יהי <math>f(x)\in I</math> נבצע חלוקה עם שארית ונקבל <math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**כיוון שמדובר באידיאל גם <math>r(x)=f(x)-q(x)g(x)\in I</math>.
**כיוון ש<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math> אבל הדרגה של <math>g(x)</math> היא מינימלית, נובע כי <math>r(x)=0</math>.
**לכן <math>f(x)=q(x)g(x)</math>.
**כמובן גם שלכל <math>q(x)</math> מתקיים כי <math>q(x)g(x)\in I</math> כיוון שמדובר באידיאל.

===קודים פולינומיים===

*כעת נביט בפולינומים מעל השדה הבינארי <math>\mathbb{Z}_2[x]</math>.
*כל פולינום מדרגה n מתאים לוקטור המקדמים ב<math>\mathbb{Z}_2^{n+1}</math>.
*למשל, וקטור המידע <math>10110</math> מתאים לפולינום <math>x^4+x^2+x</math>.

*נקבע פולינום <math>g(x)\in\mathbb{Z}_2[x]</math> כלשהו מדרגה m.
*עבור מידע <math>f(x)</math> נבצע חלוקה עם שארית של <math>x^m\cdot f(x)</math> ב<math>g(x)</math>
*<math>x^m\cdot f(x) =q(x)g(x)+r(x)</math>.
*המילה שנשלח היא <math>x^m\cdot f(x) + r(x)</math> (שימו לב כי <math>r(x)=-r(x)</math>).
*המילה תקינה אם ורק אם היא מתחלקת ב<math>g(x)</math>.
*זהו קוד לינארי:
**אם <math>f(x),h(x)</math> מתאימים לוקטורי מידע, <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)</math> ו<math>h(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math> אז השארית של <math>f(x)+h(x)</math> היא <math>r_1(x)+r_2(x)</math>.
*קוד זה מוסיף m ביטים של יתירות למידע.

*דוגמא:
*נבחר את הפולינום <math>g(x)=x^3+x+1</math> (מוסיף 3 ביטי יתירות).
**נקודד מידע:
***נניח כי המידע שלנו הוא <math>1010</math> כלומר הפולינום <math>f(x)=x^3+x</math>.
***לכן עלינו לחלק את הפולינום <math>x^3\cdot f(x) =x^6+x^4</math> בפולינום <math>g(x)=x^3+x+1</math>.
***לאחר אלגוריתם חלוקה עם שארית נקבל <math>x^6+x^4=(x^3+1)(x^3+x+1)+x+1</math>.
***לכן סה"כ המידע שנשלח הוא <math>x^3\cdot f(x) + r(x)=x^6+x^4+x+1</math> שזה בעצם <math>1010011</math>.
**נבדוק תקינות מידע:
***האם המידע <math>1101101</math> תקין?
***זה בעצם הפולינום <math>x^6+x^5+x^3+x^2+1</math>, זה קוד תקין אם"ם הוא מתחלק ב<math>g(x)</math>.
***נבצע חלוקה עם שארית ונקבל שארית <math>x^2</math>, לכן הקוד אינו תקין.

==הרצאה 13 קודים ציקליים; פרק 22 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==

===קידוד פולינומי ציקלי===
*עבור הקידוד הציקלי נקבע את הפרמטרים הבאים:
**יהי k אורך המידע, כלומר נקודד פולינומים עד דרגה <math>k-1</math> בלבד.
**יהי g פולינום מדרגה m, לפי נקודד קידוד פולינומי.
**נסמן את אורך המילה המקודדת ב<math>n=k+m</math>.

*קוד נקרא ציקלי אם לכל מילה חוקית <math>(a_{n-1}\ a_{n-2}\ \cdots\ a_1\ a_0)</math> גם ההזזה הציקלית <math>(a_{n-2}\ a_{n-3}\ \cdots\ a_0\ a_{n-1})</math> היא מילה חוקית.

*נתאר את ההזה הציקלית באמצעות פעולה אלגברית.
**יהי <math>f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>
**אזי <math>x\cdot f(x) \equiv a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x+a_{n-1} \mod x^n-1</math>
**כלומר ההזזה הציקלית של <math>f(x)</math> היא השארית של <math>x\cdot f(x)</math> בחלוקה ב<math>x^n-1</math>.
**הוכחה:
***אכן <math>x\cdot f(x)= a_{n-1}x^n+...+a_0x=a_{n-1}(x^n-1) + a_{n-1} + a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x</math>

*משפט: הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^n-1</math> אם ורק אם הקוד הפולינומי הינו ציקלי.
**הוכחה:
**ראשית נסמן ב<math>I</math> את אוסף כל המילים החוקיות, כלומר כל הפולינומים מהצורה <math>f(x)g(x)</math> כאשר <math>\deg(f)<k</math>.
**כעת, בכיוון ראשון, נניח כי הקוד הינו ציקלי:
***נחלק את <math>x^n-1</math> ב<math>g(x)</math> עם שארית, ונוכיח כי השארית היא אפס.
***<math>x^n-1=h(x)g(x)+r(x)</math>
***שימו לב ש<math>h(x)g(x)\not\in I</math> כיוון ש<math>\deg(h)=k</math>.
***נסמן <math>h(x)=x^k+t(x)</math> ולכן <math>h(x)g(x)=x^kg(x)+t(x)g(x)</math>.
***כעת <math>x^kg(x) = x\cdot x^{k-1}g(x)</math>.
***נחשב את השארית מודולו <math>x^n-1</math> ונקבל ההזזה ציקלית של המילה החוקית <math>x^{k-1}g(x)\in I</math>.
***כיוון שהקוד ציקלי, גם המילה המוזזת הינה חוקית, ולכן <math>x^kg(x)\equiv q(x)g(x) \mod x^n-1</math>.
***נחזור לחלוקה בשארית המקורית, נחשב את השאריות מודולו <math>x^n-1</math> ונקבל:
****<math>0=q(x)g(x)+t(x)g(x)+r(x)</math>
****<math>r(x)=(q(x)+t(x))g(x)</math>
***כיוון ש <math>\deg(r)<\deg(g)</math> נובע כי <math>r(x)=0</math>.
**בכיוון השני, נניח כי <math>x^n-1=t(x)g(x)</math> ונוכיח כי מדובר בקוד ציקלי.
***נוכיח כי לכל מילה חוקית <math>h(x)g(x)\in I</math> גם השארית <math>xh(x)g(x) \mod x^n-1</math> היא מילה חוקית.
***נבצע חלוקה עם שארית של <math>x\cdot h(x)</math> ב<math>t(x)</math>.
***<math>xh(x)=q(x)t(x)+r(x)</math>
***כיוון ש<math>\deg(t)=k</math>, מתקיים כי <math>\deg(r)<k</math>, ולכן <math>r(x)g(x)\in I</math>.
***נכפול את שני הצדדים ב<math>g(x)</math> ונקבל <math>xh(x)g(x)=q(x)(x^n-1)+r(x)g(x)</math>.
***לכן אכן השארית של <math>xh(x)g(x)</math> מודולו <math>x^n-1</math> היא מילה חוקית.

*משפט: קוד פולינומי ציקלי עם פולינום <math>g(x)</math> מדרגה <math>m</math> מסוגל לזהות כל כמות של שגיאות, בתנאי שכולן נמצאות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים.
*הוכחה:
**נניח שקרו טעויות בתוך טווח של <math>m</math> ביטים.
**אם המילה החדשה חוקית, גם כל הזזה ציקלית שלה היא חוקית.
**נזיז את <math>m</math> הביטים כך שיהיו בקצה הימני במקום של היתירות.
**כיוון שהיתירות היא יחידה, בוודאות המילה אינה חוקית, סתירה.

*דוגמא:
*<math>x^7-1=(1+x)(1+x+x^3)(1+x^2+x^3)</math>
*לכן הקוד הנוצר על ידי הפולינום <math>g(x)=1+x+x^3</math> עבור וקטורי מידע באורך 4 הוא ציקלי.

*פרוטוקול Ethernet משתמש בתיקון שגיאות ציקלי הנקרא CRC32, ובפרט בפולינום:
*<math>g(z)=x^{32} + x^{26} + x^{23} + x^{22} + x^{16} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1</math>.
*הפולינום <math>g(x)</math> מחלק את <math>x^{2^{32}-1}-1</math>, כלומר הוא מתאים לקידוד של עד למעלה מ4 מיליארד ביטים של מידע.

89-214 תשף סמסטר א

2019-11-23T14:53:04Z

Erez:

'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]'''

==קישורים==

* [[89-214 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]]
* [[89-214 מבנים אלגבריים/תקציר הרצאות|תקצירי ההרצאות]]
* [http://abstract.ups.edu/aata/ Abstarct Algebra - Theory and Applications ] מאת Thomas W. Judson.
* [https://www.shoup.net/ntb A Computational Introduction to Number Theory and Algebra] מאת Victor Shoup.

==הודעות==

==תרגילי בית==

יש חובת הכנה לתרגילי הבית. יש להגיש את תרגילי הבית דרך מערכת הלמידה המתוקשבת https://lemida.biu.ac.il (המודל) בקבוצת ההרצאה אליה אתם רשומים.
בעת ההגשה תצטרכו להעלות קובץ PDF (עדיף מוקלד) עם הפתרונות שלכם.
מותר לעבוד יחד בקבוצות של עד שלושה סטודנטים, אך כל סטודנט צריך לכתוב את הפתרון שלו בעצמו ולהוסיף את שמות חברי הקבוצה בעמוד הראשון של הפתרון.

* [[מדיה: 89214exe1_2020A.pdf | תרגיל 1]], להגשה עד התאריך 13.11.2019.
* [[מדיה: 89214exe2_2020A.pdf | תרגיל 2]], להגשה עד התאריך 20.11.2019.
* [[מדיה: 89214exe3_2020A.pdf | תרגיל 3]], להגשה עד התאריך 26.11.2019.
* [[מדיה: 89214exe4_2020A.pdf | תרגיל 4]], להגשה עד התאריך 4.12.2019.

שאלות החימום הן שאלות שלא יקבלו ציון, והן בדרך כלל קלות יותר. אבל כדאי מאוד לוודא שיודעים איך לפתור אותן, אפילו בעל פה.

==חוברת מערכי תרגול==

'''הערה''': חשוב לשים לב כי מערכי התרגול לא חופפים לגמרי למה שנלמד בכיתה, ולעתים עלולים להכיל טעויות! נשמח לשמוע הערות והצעות למערכים.

[[מדיה:89214rec2020A.pdf|חוברת מערכי תרגול]] (לפעמים צריך לרענן את הדף כדי לקבל את הגרסה האחרונה, שבה סדר התרגולים יותר מתאים למה שעשינו בכיתה.)

==לא מדויק==

הבלוג [http://gadial.net/ לא מדויק] של גדי אלכסנדרוביץ' הוא מקור מצוין למי שחושב שאיבד את הדרך בקורס, וגם למי שלא. רוב הפוסטים שקשורים לקורס מופיעים ב[https://gadial.net/category/%d7%90%d7%9c%d7%92%d7%91%d7%a8%d7%94-%d7%9e%d7%95%d7%a4%d7%a9%d7%98%d7%aa/ קטגוריה אלגברה מופשטת], למשל:

* [http://www.gadial.net/2017/02/01/group_definition/ אז מה זו בעצם חבורה?]
* [http://www.gadial.net/2017/02/07/subgroups_and_cyclic_groups/ תתי-חבורות וחבורות ציקליות]
* [http://www.gadial.net/2017/02/08/cosets_and_quotient_groups/ קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה]
* [http://www.gadial.net/2017/02/26/group_homomorphisms/ הומומורפיזמים של חבורות]
* [http://www.gadial.net/2017/03/06/group_isomorphism_theorems/ משפטי האיזומורפיזם של חבורות]
* [http://www.gadial.net/2017/03/14/permutation_groups/ חבורות של תמורות]

ויש גם פוסטים על RSA:

* [http://www.gadial.net/2007/11/27/rsa_math/ המתמטיקה של RSA]
* [http://www.gadial.net/2009/07/22/bad_math_rsa/ למה RSA טרם נפרץ?]

89-214 תשף סמסטר א

2019-11-23T14:52:23Z

Erez:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]'''

==קישורים==

* [[89-214 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]]
* [[89-214 מבנים אלגבריים/תקציר הרצאות|תקצירי ההרצאות]]
* [http://abstract.ups.edu/aata/ Abstarct Algebra - Theory and Applications ] מאת Thomas W. Judson.
* [https://www.shoup.net/ntb A Computational Introduction to Number Theory and Algebra] מאת Victor Shoup.

==הודעות==

==תרגילי בית==

יש חובת הכנה לתרגילי הבית. יש להגיש את תרגילי הבית דרך מערכת הלמידה המתוקשבת https://lemida.biu.ac.il (המודל) בקבוצת ההרצאה אליה אתם רשומים.
בעת ההגשה תצטרכו להעלות קובץ PDF (עדיף מוקלד) עם הפתרונות שלכם.
מותר לעבוד יחד בקבוצות של עד שלושה סטודנטים, אך כל סטודנט צריך לכתוב את הפתרון שלו בעצמו ולהוסיף את שמות חברי הקבוצה בעמוד הראשון של הפתרון.

* [[מדיה: 89214exe1_2020A.pdf | תרגיל 1]], להגשה עד התאריך 13.11.2019.
* [[מדיה: 89214exe2_2020A.pdf | תרגיל 2]], להגשה עד התאריך 20.11.2019.
* [[מדיה: 89214exe3_2020A.pdf | תרגיל 3]], להגשה עד התאריך 26.11.2019.
* [[מדיה: 89214exe4_2020A.pdf | תרגיל 4]], להגשה עד התאריך 4.12.2019.

שאלות החימום הן שאלות שלא יקבלו ציון, והן בדרך כלל קלות יותר. אבל כדאי מאוד לוודא שיודעים איך לפתור אותן, אפילו בעל פה.

==חוברת מערכי תרגול==

'''הערה''': חשוב לשים לב כי מערכי התרגול לא חופפים לגמרי למה שנלמד בכיתה, ולעתים עלולים להכיל טעויות! נשמח לשמוע הערות והצעות למערכים.

[[מדיה:89214rec2020A.pdf|חוברת מערכי תרגול]] (לפעמים צריך לרענן את הדף כדי לקבל את הגרסה האחרונה, שבה סדר התרגולים יותר מתאים למה שעשינו בכיתה.)

==לא מדויק==

הבלוג [http://gadial.net/ לא מדויק] של גדי אלכסנדרוביץ' הוא מקור מצוין למי שחושב שאיבד את הדרך בקורס, וגם למי שלא. רוב הפוסטים שקשורים לקורס מופיעים ב[https://gadial.net/category/%d7%90%d7%9c%d7%92%d7%91%d7%a8%d7%94-%d7%9e%d7%95%d7%a4%d7%a9%d7%98%d7%aa/ קטגוריה אלגברה מופשטת], למשל:

* [http://www.gadial.net/2017/02/01/group_definition/ אז מה זו בעצם חבורה?]
* [http://www.gadial.net/2017/02/07/subgroups_and_cyclic_groups/ תתי-חבורות וחבורות ציקליות]
* [http://www.gadial.net/2017/02/08/cosets_and_quotient_groups/ קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה]
* [http://www.gadial.net/2017/02/26/group_homomorphisms/ הומומורפיזמים של חבורות]
* [http://www.gadial.net/2017/03/06/group_isomorphism_theorems/ משפטי האיזומורפיזם של חבורות]
* [http://www.gadial.net/2017/03/14/permutation_groups/ חבורות של תמורות]

ויש גם פוסטים על RSA:

* [http://www.gadial.net/2007/11/27/rsa_math/ המתמטיקה של RSA]
* [http://www.gadial.net/2009/07/22/bad_math_rsa/ למה RSA טרם נפרץ?]

83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס

2019-11-23T14:51:55Z

Erez:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים מהעבר=
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]]
**[[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]]
*[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]]
**[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]]
**[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]]
**[[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ז]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]]
**[[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]]

=נושאי ההרצאות=
שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.
==הרצאה 1==
*מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
*שורש 2, 0.999.
*חזקות.
*לוגריתמים.
*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>

==הרצאה 2==
*כמתים, שלילת כמתים.
*חסמים.
==הרצאה 3==
*ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
*הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
==הרצאה 4==

*גבול הוא יחיד.
**נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
*הסדרה הקבועה.
*כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
*אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
**(אי שיוויון המשולש.)
**סכום.
**מכפלה.
**חלוקה (תרגיל לבית).

==הרצאה 5==
*התכנסות במובן הרחב.
*אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
*סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
*<math>a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0</math>
*חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.

==הרצאה 6==
*אינדוקציה.
*ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>
**חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
*מבחן המנה ([[אי-שוויון הממוצעים]]).
*הגבול של השורש הn של n.

==הרצאה 7==
*סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).
*<math>2<e<4</math>.
*אם <math>a_n\to\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
**<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.
**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>
**שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.

*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.

*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>

==הרצאה 8==
*פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.

*תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
**סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
**אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.

==הרצאה 9==
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>

*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

==הרצאה 10==

*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.
*רציפות.
*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.
*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.

*מיון אי רציפות.
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

==הרצאה 11==
===הגדרת הנגזרת===
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*<math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.

===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
*טריגו:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.
*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
***בפרט:
***<math>(1)'=0</math>
***<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
***<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>

==הרצאה 12==
===נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות===
תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x.
*<math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)</math>
*<math>(f+g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)</math>
*<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math>
:<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math>
*שימו לב ש<math>g(x+h)\to g(x)</math> כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.

===נגזרת של הרכבה===
תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירה ב<math>f(x_0)</math>:
*<math>(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}</math>
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.
*אמנם <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>f(x_n)\neq f(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>f(a_n)=f(x_0)</math> אזי <math>\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>f'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.

===נגזרת של חזקה===
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>
*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>

===נגזרת מנה===
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>

==הרצאה 13==
*הגדרה:
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>

*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>

*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
**הוכחה:
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>

*דוגמא חשובה:
*<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>

==הרצאה 14==
*משפט ערך הביניים.
*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

==הרצאה 15==
*משפטי ויירשטראס.
**פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
**פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
*משפט פרמה.
**אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
**ההפך אינו נכון.
*משפט רול.
**פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
**לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
*משפט לגראנז'.
**פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
*משפט לגראנז' המוכלל.
**שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.

==הרצאה 16==
*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
*פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
*פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.

*כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
*כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.

==הרצאה 17==
*פולינום טיילור.
*שארית לגראנז' בפולינום טיילור.

==הרצאה 18==

==הרצאה 19==
*אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
*הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.
==הרצאה 20==
*אינטגרציה בחלקים.
*שיטת ההצבה.
==הרצאה 21==
*אינטגרל על פונקציה רציונאלית.
==הרצאה 22==
*סכומי רימן.
*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.
==הרצאה 23==
*אינטגרלים לא אמיתיים.
*מבחני התכנסות.

מכינה למתמטיקה קיץ תשעד

2014-11-08T15:58:12Z

Erez: /* הודעות */

[[מכינה למחלקה למתמטיקה]]

==קישורים==

*[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעד/תרגילים|תרגילים]]

*[[מכינה למחלקה למתמטיקה/מערכי שיעור|מערכי השיעור]]

*[[מכינה למחלקה למתמטיקה/סילבוס|סילבוס המכינה]]

==הודעות==

===ציונים===
*[[מדיה:ציוני_מכינה_2014.pdf|ציוני המבחן המסכם]]

===מבחן הסיום===
המבחן יתקיים מחר (יום שני 22/09/14) בשעה 16:00 בבניין מתמטיקה 216 (הכניסה האחרונה של הבניין), חדר 201 (קומה עליונה).

===שינוי בתאריך המבחן===
המבחן לא יתקיים ביום חמישי ה18/09/14 אלא ביום שני 22/09/14.

המבחן יתקיים בשעה 16:00, כיתה תפורסם בהמשך.

===שינוי כיתה===
כיתת המכינה שונתה באופן קבוע עד סוף הקורס (כלומר, עד סוף השבוע).
*כיתה חדשה: בניין 507 חדר 3

===מבחנים לדוגמא===

*[[מדיה:12MehinaMoedb.pdf|מבחן לדוגמא שנת תשע"ג]]

*[[מדיה:12MehinaFinal.pdf|מבחן שנת תשע"ב]]

*[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה|מבחן לדוגמא שנת תשע"ב]]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה

2014-11-08T15:57:35Z

Erez: /* הודעות */

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

==מטלות קריאה עצמית==

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/ZPowerExmpl.pdf דוגמא להוכחה של תכונות חזקה]. נכתב בלילה נטול שינה. נא לדווח למרצה במייל על טעויות או סיבוכים מיותרים).

==הודעות==

'''שיעורי עזר במימון המחלקה:''' החל מ 2.11.14, קבלת קהל לכל תלמידי שנה א', ובפרט לתלמידי הקורס, ועזרה בהבנת החומר (הרצאה או תרגיל), יינתנו במימון מלא של המחלקה, על ידי ד"ר מיכאל מכורה, בימים:
* '''ימי שני''', בשעות '''10-12''' בבוקר, וכן
* '''ימי רביעי''', בשעות '''16-18''' אחר הצהריים.
* '''מקום:''' בניין 409, חדר 202 (קומה ג').
מי שממש אינו יכול להגיע בזמנים אלה, מוזמן (בלי התחייבות) לתאם עם ד"ר מכורה במייל machura@math.biu.ac.il לפחות 3 ימים מראש. מומלץ להודיע לד"ר מכורה מראש גם אם מגיעים בימים שנקבעו לעיל, לוודא שהוא נמצא.

===ציוני המכינה===

*[[מדיה:ציוני_מכינה_2014.pdf|ציוני המבחן המסכם של המכינה מהקיץ]]

==קישורים==

* [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi1ExtOutline.pdf תקצירי הרצאות]. מתעדכן כל הזמן. נא לדווח טעויות (שלא תוקנו בגירסה העדכנית ביותר) למרצה.

* [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Lec2Ahiya.pdf רשימות הרצאה 2]: סיכום מפורט של הרצאה 2, שניתנה על ידי אחיה בר-און.

*[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה|שאלות ותשובות]]

*[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===חומר עזר===

בקרוב יועלה לכאן חומר עזר.

===רענון===

מי שמרגיש שזקוק לרענון נוסף על אי שוויונים ואינדוקציה מוזמן לפתור את התרגיל הבא:

[[מדיה:Infi12015Exe0.pdf|תרגיל רענון]]

[[מדיה:Exe1_home_sol.pdf|פתרון]]

נושאים נוספים לרענון אפשר למצוא במכינה למתמטיקה

*[[מכינה למחלקה למתמטיקה/מערכי שיעור|מערכי שיעור מכינה]]

(שיעורים 1-7)
*[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעג/תרגילים|תרגילים עם פתרונות מהמכינה]]