שיטות אינטגרציה

2019-03-15T13:52:21Z

Evyatar531: another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

==אינטגרציה מיידית==
אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>

[[מדיה:אינטגרלים.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]

==אינטגרציה בחלקים==
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

<math>\int f'g=f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).

===דוגמא===
<math>\int\ln(x)dx</math>

לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> .

לכן נקבל <math>f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}</math> .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

<math>\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math>

[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]

==אינטגרציה בהצבה==
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

<math>\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math> (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

===דוגמא===
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .

נבצע הצבה<math>u=\sin^2(x)\</math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>

מקבלים:

<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).

[[שיטת ההצבה|הרחבה]]

==פונקציה רציונאלית==
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.

==הצבות אוניברסאליות==
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .

נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .

נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math> .

לכן:

<math>\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>

<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>

ובדרך אחרת:

<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>

ולכן מתקיים

<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>

כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .

לסיכום,
<math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>

===דוגמא===
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:

<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>

<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>

[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]

==הצבות אוילר==
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .

===אוילר 1 - הפולינום פריק===
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .

הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .

====דוגמא====
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .

לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .

לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .

בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>

מקבלים:

<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
ישנן שתי אפשרויות:
# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .

נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .

====דוגמא====
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .

נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .

לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,

וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .

מקבלים:

<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>

[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]

==סיכום==
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיטות אינטגרציה