Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

קובץ:23BdidaSummerTestASol.pdf

2023-08-28T07:01:09Z

Harel530:

קובץ:23BdidaSummerTestA.pdf

2023-08-28T07:00:50Z

Harel530:

מבחנים בבדידה

2023-08-28T07:00:07Z

Harel530:

==מבחני בר-אילן==
=== מתמטיקה===
* מועד א קיץ 2023 [[מדיה:23BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ג]], [[מדיה:23BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ג]]
* מועד ג קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ב קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"ב]]
* מועד א קיץ 2022 [[מדיה:22BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:22BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"ב]]
* מועד ג קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestC.pdf|מועד ג' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestCSol.pdf|פתרון מועד ג' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestB.pdf|מועד ב' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשפ"א]]
* מועד א קיץ 2021 [[מדיה:21BdidaSummerTestA.pdf|מועד א' קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21BdidaSummerTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשפ"א]]
* מועד ב קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestB.pdf|מועד ב' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תש"פ]]
* מועד א קיץ 2020 [[מדיה:20BdidaTestA.pdf|מועד א' קיץ תש"פ]], [[מדיה:20BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תש"פ]]
* מועד ב קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
* מועד א קיץ 2019 [[מדיה:19BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
* מועד ב קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ח]]
* מועד א קיץ 2018 [[מדיה:18BdidaTestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18BdidaTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]
*מועד א' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:17BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
* מועד ב' קיץ 2017 [[מדיה:17BdidaTestB.pdf|מועד ב']], [[מדיה:17BdidaTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשעז]]
*מועד א' חורף 2017 [[מדיה:88195_test_77a.pdf|מועד א' חורף תשעז]]
*מועד ב' קיץ 2016 [[מדיה:DMtest2016B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ו]]
*מועד א' קיץ 2016 [[מדיה:16BdidaTestA.pdf|מועד א']] ו[[מדיה:16BdidaTestASol.pdf|פתרונו]]
*מועד ב' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015B.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ה]]
*מועד א' קיץ 2015 [[מדיה:DMtest2015.pdf|מבחן מועד א קיץ תשע"ה]]
*מועד א' חורף 2015 [[מדיה:88195_test_75a_150201.pdf|מבחן מועד א חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75a_sol_150220.pdf|פתרון מבחן מועד א חורף תשע"ה]]
*מועד ב' חורף 2015: בחינת סיום (מועד ב'): [[מדיה:88195_test_75b_150201.pdf|מבחן מועד ב חורף תשע"ה]], [[מדיה:88195_test_75b_sol_150401.pdf|פתרון מבחן מועד ב חורף תשע"ה]]
*מועד ב' קיץ 2014 [[מדיה:DMtestB2014.pdf|מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]],[[מדיה:DMtestBsol2014.pdf|פתרון מבחן מועד ב קיץ תשע"ד]]
*מועד א׳ 2014 [[מדיה:14BdidaTestA.pdf|מבחן מועד א תשע"ד]],[[מדיה:14BdidaTestAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א תשע"ד]]
*מועד א׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoesaatim.pdf | מבחן מועד א כולל פתרון]]
*מועד ב׳ 2013[[מדיה:mivh11anmoedb11m.pdf | מבחן מועד ב כולל פתרון]]
*מועד א' 2012 [[מדיה:s2012a.pdf|מועד א' + פתרון]]
*מועד ב' 2012 [[מדיה:s2012b.pdf|מועד ב' + פתרון]]
*מועד א, 2011 [[מדיה:11BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2011 [[מדיה:11BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*מועד א, 2010 [[מדיה:10BdidaTestASol.pdf|פתרון]]
*מועד ב, 2010 [[מדיה:10BdidaTestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2009.pdf|מועד א, 2009]], [[מדיה:BdidaExamMoedA2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2009.pdf|מועד ב, 2009]],[[מדיה:BdidaExamMoedB2009Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2008.pdf|מועד א, 2008]],[[מדיה:BdidaExamMoedA2008Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2008.pdf|מועד ב, 2008]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2007.pdf|מועד א, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2007.pdf|מועד ב, 2007]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2006.pdf|מועד א, 2006]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2005.pdf|מועד א, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2005.pdf|מועד ב, 2005]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedA2004.pdf|מועד א, 2004]]
*[[מדיה:BdidaExamMoedB2004.pdf|מועד ב, 2004]]

*[[מדיה:20DmRandSol.pdf|פתרונות למספר שאלות אקראיות]]
*[[מדיה:פתרון_מבחן_תשף_אסף_רינות_עי_יונתן_סמידוברסקי.pdf |מבחן תש"ף חורף של פרופ' רינות]] -פתרון ע"י יונתן סמידוברסקי

=== מתמטיקה בדידה מדעי המחשב ===
תשעז:
*[[מדיה:BdidaCS17ExamB.pdf|מבחן מועד ב תשעז]],
*[[מדיה:BdidaCS17ExamA.pdf|מבחן מועד א תשעז]], [[מדיה:BdidaCS17ExamASol.pdf|פתרון מועד א]]
*[[מדיה:BdidaCS17DemoExam.pdf|מבחן לדוגמא קיץ תשעז]]

קובץ:BdidaSummer2023QuizSol.pdf

2023-07-24T08:52:48Z

Harel530:

בחנים בבדידה

2023-07-24T08:52:08Z

Harel530:

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

=בחנים בר-אילן=
*[[מדיה:BdidaSummer2023Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"ג]], [[מדיה:BdidaSummer2023QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ג]]
*[[מדיה:Bdida2023QuizCS.pdf|בוחן מדמח חורף תשפ"ג]], [[מדיה:Bdida2023QuizCSSol.pdf|פתרון בוחן מדמח חורף תשפ"ג]]
*[[מדיה:BdidaSummer2022Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:BdidaSummer2022QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:BdidaSummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"ף]], [[מדיה:BdidaSummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"ף]] (הבוחן היה ב XI)
*[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעט]],[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעט]]
*[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעט]],[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעט]]
*[[מדיה:בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | בוחן קיץ תשעח]] [[מדיה:פתרון_בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | פתרון בוחן קיץ תשעח]]
*[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעח]],[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעח]]
*תשעז קיץ[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעז]],[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעז]].
*תשעז חורף [[מדיה:Bdida2017MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעז]],[[מדיה:Bdida2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעז]].
*תשעו קיץ [[מדיה:BdidaSummer2016MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעו]].
*תשעו חורף [[מדיה:Bdida2016MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעו + פתרון]].
*תשעה קיץ [[מדיה:פתרון הבוחן בבדידה.pdf|פתרון הבוחן]]
*תשעה קיץ-בוחן לדוגמא [[מדיה:בוחן לדוגמא.pdf|בוחן לדוגמא]] ופתרונו [[מדיה:פתרון הבוחן לדוגמא.pdf|פתרון הבוחן לדוגמא]]
*תשעה חורף [[מדיה:Bdida2015MiddleExam.pdf|בוחן תשעה + פתרון]]
*תשעד קיץ [[מדיה:MidExamBdida2014.pdf | בוחן תשע"ד + פתרון]]
*תשעד חורף [[מדיה:88195_בוחן_תשעד.pdf|שאלון בוחן]] ([[מדיה:Discrete_2014_QuizS.pdf|פתרון]])
*תשעג קיץ [[מדיה:MidExamBdida2013.pdf | בוחן בדידה תשעג +פתרון]]
*תשעג חורף [[מדיה:Bohan.doc|בוחן]],[[מדיה:BohanS.doc|פתרון]]
*תשעב קיץ [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88195/QuizSol_2012s.pdf פתרון בוחן אמצע]
*תשעא קיץ - בוחן דמה [[מדיה:11BdidaFakeQuiz.pdf|בוחן דמה קיץ תשעא]]

קובץ:Exam DIS S 23 SOL.pdf

2023-07-24T08:52:03Z

Harel530:

קובץ:BdidaSummer2023Quiz.pdf

2023-07-24T08:51:35Z

Harel530:

הכנה לקראת לימודי הקיץ של החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה

2023-07-02T09:49:09Z

Harel530:

[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=שאלות ותשובות לקראת סמסטר הקיץ=
*[[מדיה:22YouthBooklet.pdf| חוברת המידע של החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה]]
*[[החממה האקדמית לנוער מצטיין במתמטיקה - שאלות ותשובות]]

=הכנה לקראת הקיץ=

מספר המלצות לקראת סמסטר הקיץ של תלמידי התיכון:
*מומלץ לצפות בסרטונים: [[אלגברה לינארית - ארז שיינר|https://linear.math-wiki.com]], [[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|https://dm.math-wiki.com]]
*מומלץ לקרוא את מערכי ההרצאות, מערכי התרגול ולנסות לפתור תרגילים.
*למרות שלא תצליחו להבין את הכל, ההכרות עם החומר תקל על סמסטר הקיץ.
*לא חייבת להיות חפיפה מוחלטת בין החומר המוצג כאן לסמסטר הקיץ, אך החומר כמעט זהה.

==אלגברה לינארית 1==
*מבחנים, תקציר וסרטונים [[אלגברה לינארית - ארז שיינר|https://linear.math-wiki.com]]

*[[מדיה:14Linear1Eran.pdf|סיכומי ההרצאות של ד"ר מיטל אליהו רובינסון, ע"י ערן רכס, קיץ 2014]]

*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]

*[[אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול|מערכי התרגול]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"ג]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"ב]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"א]]

* [[מדיה: linear.pdf|חוברת הקורס אלגברה לינארית של פרופ' בועז צבאן - הגדרות, משפטים ושאלות ללא הוכחות ופתרונות]]

==מתמטיקה בדידה==

*מבחנים, תקציר וסרטונים [[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|https://dm.math-wiki.com]]

*[[מדיה:16BdidaOrit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]

* [[סרטונים:מתמטיקה בדידה|הרצאות מצולמות בנושאי הקורס, עד ולא כולל עוצמות]]

*[[מתמטיקה בדידה - מערך הרצאה|מערכי הרצאה]]

* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעג/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"ג]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/תרגילים|תרגילים ופתרונותיהם מקיץ תשע"א]]

*[[מדיה:סיכום תכונות תמונה ותמונה הפוכה.pdf|סיכום תכונות תמונה ותמונה הפוכה]]

=רשימת הנושאים (קיץ תשפ"ב, 2022) =
'''הסרטונים, הסיכומים ושאר חומר העזר באתר אינם מהווים תחליף לנוכחות בכיתה'''.

לאחר שאמרנו זאת, לעיתים העדרות משיעורים הינה בלתי נמנעת.

על מנת לדעת איזה חומר יש להשלים עבור העדרות בתאריכים מסויימים, הביטו בטבלה הבאה.

חשוב לציין שהנושאים הרשומים בכל תאריך הינם '''משוערים''' ועשויים להקדים או לאחר במהלך הסמסטר.

===אלגברה לינארית 1===
*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות]]

<span id="lineartable"></span>

{| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; text-wrap:none; font-size:14px; "
|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#3b488e;"
!מס' !!תאריך !!נושא

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

1

|style="vertical-align:text-top;"|

05/07

|style="vertical-align:text-top;"|
שדות, מספרים מרוכבים

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

2

|style="vertical-align:text-top;"|

10/07

|style="vertical-align:text-top;"|
מערכות משוואות לינאריות, דירוג גאוס

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

3

|style="vertical-align:text-top;"|

12/07

|style="vertical-align:text-top;"|
אלגברת מטריצות (חיבור וכפל מטריצות, כפל בסקלר), שחלוף, מטריצות ריבועיות מיוחדות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

4

|style="vertical-align:text-top;"|

19/07

|style="vertical-align:text-top;"|
מטריצות הפיכות, מטריצות פעולות שורה אלמנטריות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

5

|style="vertical-align:text-top;"|

21/07

|style="vertical-align:text-top;"|
אלגוריתם להפיכת מטריצות, מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, סכום וחיתוך תתי מרחבים

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

6

|style="vertical-align:text-top;"|

24/07

|style="vertical-align:text-top;"|
סכום ישר, צירופים לינאריים, תלות לינארית, פרישה

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

7

|style="vertical-align:text-top;"|

26/07

|style="vertical-align:text-top;"|

משפטון ההחלפה של שטייניץ, בסיסים, מימד, משפט 'השלישי חינם', הכלה חד כיוונית ושיוויון מימדים

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

8

|style="vertical-align:text-top;"|

31/07

|style="vertical-align:text-top;"|

משפט המימדים, מרחבי המטריצה, דרגת המטריצה, קשר בין דרגת המטריצה למספר הפתרונות למערכת משוואות לינארית, מציאת בסיס לחיתוך וחיבור תתי מרחבים

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

9

|style="vertical-align:text-top;"|

02/08

|style="vertical-align:text-top;"|

העתקות לינאריות, פעולות על העתקות (סכום והרכבת העתקות, כפל בסקלר), הפיכות, משפט ההגדרה, גרעין ותמונה

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

10

|style="vertical-align:text-top;"|

09/08

|style="vertical-align:text-top;"|

משפט הדרגה, יחידות ההצגה, קואורדינטות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

11

|style="vertical-align:text-top;"|

11/08

|style="vertical-align:text-top;"|

מטריצה מייצגת העתקה, מטריצת מעבר בין בסיסים

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

12

|style="vertical-align:text-top;"|

14/08

|style="vertical-align:text-top;"|

דטרמיננטות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

13

|style="vertical-align:text-top;"|

16/08

|style="vertical-align:text-top;"|

כפליות הדטרמיננטה, מטריצה נלווית, כלל קרמר

|}

===מתמטיקה בדידה===
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות]]

{| border="1" cellpadding="20px" style="text-align:right; text-wrap:none; font-size:14px; "
|- style=" font-size:18px; color:#f5f5f5; background-color:#3b488e;"
!מס' !!תאריך !!נושא

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

1

|style="vertical-align:text-top;"|

05/07

|style="vertical-align:text-top;"|
לוגיקה מתמטית - קשרים, טבלאות אמת, דה מורגן, פילוג, כמתים, פרדיקטים, שלילה

[[88-101 חשיבה מתמטית|חשיבה מתמטית - עוזי וישנה]]

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

2

|style="vertical-align:text-top;"|

10/07

|style="vertical-align:text-top;"|

אינדוקציה, קבוצות, פעולות על קבוצות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

3

|style="vertical-align:text-top;"|

12/07

|style="vertical-align:text-top;"|
שיטות הוכחה, איחוד וחיתוך כלליים, קבוצת החזקה

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

4

|style="vertical-align:text-top;"|

17/07

|style="vertical-align:text-top;"|

מכפלה קרטזית, יחסים, יחס שקילות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

5

|style="vertical-align:text-top;"|

19/07

|style="vertical-align:text-top;"|
יחס המושרה מחלוקה, קבוצת מנה, יחסי סדר

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

6

|style="vertical-align:text-top;"|

24/07

|style="vertical-align:text-top;"|
יחסי סדר, איברים מינימליים ומקסימליים, איבר קטן/גדול ביותר, חסם מלעיל/מלרע, חסם עליון/תחתון

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

7

|style="vertical-align:text-top;"|

26/07

|style="vertical-align:text-top;"|

פונקציות, חח"ע, על, תמונה ותמונה הפוכה

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

8

|style="vertical-align:text-top;"|

31/07

|style="vertical-align:text-top;"|

הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות, הרחבה וצמצום של פונקציות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

9

|style="vertical-align:text-top;"|

02/08

|style="vertical-align:text-top;"|

שקילות עוצמה וסדר בין עוצמות, עוצמות הטבעיים, הרציונאליים והממשיים. משפט קנטור.

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

10

|style="vertical-align:text-top;"|

07/08

|style="vertical-align:text-top;"|

קבוצות בנות מנייה, חשבון עוצמות

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

11

|style="vertical-align:text-top;"|

9/08

|style="vertical-align:text-top;"|

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין, אקסיומת הבחירה, איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

12

|style="vertical-align:text-top;"|

14/08

|style="vertical-align:text-top;"|

עקרון המקסימום של האוסדורף

|-
|style="vertical-align:text-top; font-weight:bold; background-color:#b0b0d4; color:#162056; font-size:16px" |

13

|style="vertical-align:text-top;"|

16/08

|style="vertical-align:text-top;"|

ניתן להשוות בין קבוצות, עיקרון הסכום והכפל, הקשר בין הממשיים וקבוצת החזקה של הטבעיים, חזרה

|}

בחנים בבדידה

2022-08-25T08:36:39Z

Harel530: /* בחנים בר-אילן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

=בחנים בר-אילן=

*[[מדיה:BdidaSummer2022Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:BdidaSummer2022QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:BdidaSummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"ף]], [[מדיה:BdidaSummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"ף]] (הבוחן היה ב XI)
*[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעט]],[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעט]]
*[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעט]],[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעט]]
*[[מדיה:בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | בוחן קיץ תשעח]] [[מדיה:פתרון_בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | פתרון בוחן קיץ תשעח]]
*[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעח]],[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעח]]
*תשעז קיץ[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעז]],[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעז]].
*תשעז חורף [[מדיה:Bdida2017MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעז]],[[מדיה:Bdida2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעז]].
*תשעו קיץ [[מדיה:BdidaSummer2016MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעו]].
*תשעו חורף [[מדיה:Bdida2016MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעו + פתרון]].
*תשעה קיץ [[מדיה:פתרון הבוחן בבדידה.pdf|פתרון הבוחן]]
*תשעה קיץ-בוחן לדוגמא [[מדיה:בוחן לדוגמא.pdf|בוחן לדוגמא]] ופתרונו [[מדיה:פתרון הבוחן לדוגמא.pdf|פתרון הבוחן לדוגמא]]
*תשעה חורף [[מדיה:Bdida2015MiddleExam.pdf|בוחן תשעה + פתרון]]
*תשעד קיץ [[מדיה:MidExamBdida2014.pdf | בוחן תשע"ד + פתרון]]
*תשעד חורף [[מדיה:88195_בוחן_תשעד.pdf|שאלון בוחן]] ([[מדיה:Discrete_2014_QuizS.pdf|פתרון]])
*תשעג קיץ [[מדיה:MidExamBdida2013.pdf | בוחן בדידה תשעג +פתרון]]
*תשעג חורף [[מדיה:Bohan.doc|בוחן]],[[מדיה:BohanS.doc|פתרון]]
*תשעב קיץ [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88195/QuizSol_2012s.pdf פתרון בוחן אמצע]
*תשעא קיץ - בוחן דמה [[מדיה:11BdidaFakeQuiz.pdf|בוחן דמה קיץ תשעא]]

קובץ:BdidaSummer2022QuizSol.pdf

2022-08-25T08:36:34Z

Harel530:

קובץ:BdidaSummer2022Quiz.pdf

2022-08-25T08:35:58Z

Harel530:

בחנים בבדידה

2022-08-03T14:24:57Z

Harel530: /* בחנים בר-אילן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

=בחנים בר-אילן=

*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:BdidaSummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"ף]], [[מדיה:BdidaSummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"ף]] (הבוחן היה ב XI)
*[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעט]],[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעט]]
*[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעט]],[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעט]]
*[[מדיה:בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | בוחן קיץ תשעח]] [[מדיה:פתרון_בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | פתרון בוחן קיץ תשעח]]
*[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעח]],[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעח]]
*תשעז קיץ[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעז]],[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעז]].
*תשעז חורף [[מדיה:Bdida2017MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעז]],[[מדיה:Bdida2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעז]].
*תשעו קיץ [[מדיה:BdidaSummer2016MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעו]].
*תשעו חורף [[מדיה:Bdida2016MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעו + פתרון]].
*תשעה קיץ [[מדיה:פתרון הבוחן בבדידה.pdf|פתרון הבוחן]]
*תשעה קיץ-בוחן לדוגמא [[מדיה:בוחן לדוגמא.pdf|בוחן לדוגמא]] ופתרונו [[מדיה:פתרון הבוחן לדוגמא.pdf|פתרון הבוחן לדוגמא]]
*תשעה חורף [[מדיה:Bdida2015MiddleExam.pdf|בוחן תשעה + פתרון]]
*תשעד קיץ [[מדיה:MidExamBdida2014.pdf | בוחן תשע"ד + פתרון]]
*תשעד חורף [[מדיה:88195_בוחן_תשעד.pdf|שאלון בוחן]] ([[מדיה:Discrete_2014_QuizS.pdf|פתרון]])
*תשעג קיץ [[מדיה:MidExamBdida2013.pdf | בוחן בדידה תשעג +פתרון]]
*תשעג חורף [[מדיה:Bohan.doc|בוחן]],[[מדיה:BohanS.doc|פתרון]]
*תשעב קיץ [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88195/QuizSol_2012s.pdf פתרון בוחן אמצע]
*תשעא קיץ - בוחן דמה [[מדיה:11BdidaFakeQuiz.pdf|בוחן דמה קיץ תשעא]]

אלגברה לינארית 1/מבחנים

2022-08-03T14:24:53Z

Harel530: /* בחנים */

=מבחנים=

==מבחנים ופתרונותיהם==

שימו לב: בסמסטר הקיץ נבחנים התיכוניסטים, ובמועד חורף או סמסטר א' נבחנים התלמידים הבוגרים של מתמטיקה.

תשפ"א
*[[מדיה:21Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:21Linear1SummerTestC.pdf|מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א]], [[מדיה:21Linear1SummerTestCSol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א]]

תש"פ
*[[מדיה:20Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ]]
*[[מדיה:20Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]], [[מדיה:20Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ]]

תשע"ט:
*[[מדיה:19Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]], [[מדיה:19Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:18Linear1SummerTestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1SummerTestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1SummerTestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח]]

*[[מדיה:18Linear1ExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1ExmTestSol.pdf| פתרון מבחן דמה תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח]]
*[[מדיה:18Linear1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]], [[מדיה:18Linear1TestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח]]

תשעז:
*[[מדיה:LinearExamA2017.pdf| מועד א' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:LinearExamA2017Sol.pdf| פתרון מועד א' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה:LinearExamB2017.pdf| מועד ב' קיץ תשע"ז]], [[מדיה:Linear1ExamB2017Sol.pdf| פתרון מועד ב' קיץ תשע"ז]]
*[[מדיה: LinAlg1-2017-MoedA.pdf| מועד א חורף תשע"ז]],[[מדיה: LinAlg1_2017_MoedA-sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע"ז]].

תשעו:
*[[מדיה:16Linear1MoedA.pdf|מועד א קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedASol.pdf|פתרון מועד א קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:16Linear1MoedB.pdf|מועד ב קיץ תשע"ו]],[[מדיה:16Linear1MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב קיץ תשע"ו]]
*[[מדיה:LinAlg1TestA2016Sol.pdf|מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו]].

תשע"ה:
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015.pdf|מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedB2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]], [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2015Sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' קיץ תשע"ה]]
בפתרון של שאלה 4,ב יש טעות חישוב קלה. תשובה נכונה (מסוג אחר) מאת עידו כרמל אפשר לראות [[מדיה: IDO_CARMEL_sol2015.4.2.jpeg | כאן]].

תשע"ד:
*[[מדיה:14Linear1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמה, קיץ 2014]], [[מדיה:14Linear1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמה, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamAndSol.pdf|מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ 2014]]
*[[מדיה:14linear1ExamB.pdf|מבחן מועד ב', קיץ 2014]], [[מדיה:14linear1ExamBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב', קיץ 2014]]
*[[מדיה:LA1_2014a.docx|מבחן מועד א' חורף תשעד]], [[מדיה:LA1_2014a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעד- פיתרון]]

תשע"ג:
*[[מדיה:LA1_2013a.doc|מבחן מועד א' חורף תשע"ג]], [[מדיה:LA1_2013a.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעג- פיתרון]]
* [[מדיה:La1_2013a_sol.pdf|מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות]]

תשע"ב:
*[[מדיה:LA1_2012a.doc|מבחן מועד א' חורף תשעב]],[[מדיה:linear1LastExam3.pdf|מבחן מועד א' חורף תשעב + פתרון]]
*[[מדיה:linear1LastExam4.doc|מועד ב חורף תשעב]], [[מדיה:linear1LastExam4S.doc|מועד ב חורף תשעב-פתרון חלקי]]
* [[מדיה:LinAlg1TestSummerMoedA2012.png|מבחן מועד א' קיץ תשע"ב]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'| פתרון מועד א קיץ תשעב]]

תשע"א:
*[[מדיה:11Linear1testA.pdf|מועד א' קיץ תשעא]],[[מדיה:11Linear1TestASol.pdf|פתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest.pdf|מבחן דמה 1 קיץ תשעא]], [[אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא|פתרון חלקי למבחן הדמה]]
*[[מדיה:11Linear1Dumbtest2.pdf|מבחן דמה 2 קיץ תשעא]], [[מדיה:11Linear1Dumbtest2Sol.pdf|פתרון מבחן דמה 2 קיץ תשעא]]
*[[מדיה:linear1LastExam5.pdf|מועד א חורף תשעא+ פתרון]]

שנת תש"ע:
*[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון מועד א' קיץ תשע]]
*[[מדיה: 10LinearTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' קיץ תשע]]
*[[מדיה:linear1LastExam7.doc|מועד א חורף תשע]], [[מדיה:linear1LastExam7Sol.pdf| פתרון מועד א חורף תשע]]

תשס"ט:
*[[מדיה:linear1LastExam6.doc|מועד א חורף תשסט]], [[מדיה:linear1LastExam6sol.pdf|פתרון מועד א חורף תשסט]]

תשס"ח
*[[מדיה:linear1LastExam2.doc|מועד א חורף תשסח]],[[מדיה:linear1LastExam2sol.doc|פתרון מועד א חורף תשסח]]

תשס"ו
* [[מדיה:linear1LastExam1.doc|מועד א חורף תשסו]]

*[[מדיה:88-112-2011S13b.pdf|פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

*[[מדיה:24.08.20Linear1.pdf|עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים]]

==מבחנים נוספים==

[http://u.math.biu.ac.il/~reznikov/courses/linear.html מבחנים של פרופסור רזניקוב + אוסף שאלות שכדאי לפתור לפני הבחינה]

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html מבחנים באתר של בועז צבאן]

=בחנים=

*[[מדיה:Exam_LA_S_22.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:exam_LA_S_22_B_SOL.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:LASummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:LASummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:LASummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"פ]], [[מדיה:LASummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"פ]] (הבוחן בשנה זו היה ב XI)
*[[מדיה: LinAlg1Quiz2019Summer.pdf|בוחן קיץ תשע"ט]], [[מדיה: LinAlg1Quizsol2019Summer.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: linear1summer2018exam.pdf|בוחן קיץ תשע"ח]], [[מדיה: linear1summer2018examsol.pdf|ופתרונו]]
*[[מדיה: 88112midexam2017.pdf| בוחן חורף תשע"ז]], [[מדיה: 88112midexam2017-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה: LinSummer2016mid.pdf|בוחן קיץ תשע"ו]], [[מדיה: LinSummer2016midSOL.pdf | ופתרונו]]
*[[מדיה:LinAlg1Quiz2016.pdf|בוחן חורף תשע"ו]], [[מדיה:LinAlg1Quiz2016-sol.pdf|ופתרונו]].
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2015SummerSolution.pdf| בוחן קיץ תשע"ה + פתרון]]
*[[מדיה:Linear1Bohan1.pdf|בוחן חורף תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:LinearAlgebraQuiz2014SummerSolution.pdf|בוחן קיץ תשע"ד + פתרון]]
*[[מדיה:13linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ג]], [[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam1.doc|בוחן1 חורף תשע"ג]], [[מדיה:linear1SolExam1.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:linear1Exam2.doc|בוחן 2 חורף תשע"ג]] , [[מדיה:linear1SolExam2.doc|ופתרונו]]
*[[מדיה:12linear1MidExam.pdf|בוחן קיץ תשע"ב]],[[אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן|ופתרונו]]
*[[מדיה:11Linear1quizSol.pdf| בוחן קיץ תשע"א + פתרון]]
*[[מדיה:11Linear1FakeQuiz.pdf| בוחן דמה קיץ תשע"א]]
*[[מדיה:10Linear1BohanSol.pdf|בוחן קיץ תש"ע + פתרון]]

בחנים בבדידה

2022-08-03T14:20:01Z

Harel530: /* בחנים בר-אילן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

=בחנים בר-אילן=
*[[מדיה:Exam_LA_S_22.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:exam_LA_S_22_B_SOL.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:BdidaSummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"ף]], [[מדיה:BdidaSummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"ף]] (הבוחן היה ב XI)
*[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעט]],[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעט]]
*[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעט]],[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעט]]
*[[מדיה:בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | בוחן קיץ תשעח]] [[מדיה:פתרון_בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | פתרון בוחן קיץ תשעח]]
*[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעח]],[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעח]]
*תשעז קיץ[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעז]],[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעז]].
*תשעז חורף [[מדיה:Bdida2017MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעז]],[[מדיה:Bdida2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעז]].
*תשעו קיץ [[מדיה:BdidaSummer2016MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעו]].
*תשעו חורף [[מדיה:Bdida2016MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעו + פתרון]].
*תשעה קיץ [[מדיה:פתרון הבוחן בבדידה.pdf|פתרון הבוחן]]
*תשעה קיץ-בוחן לדוגמא [[מדיה:בוחן לדוגמא.pdf|בוחן לדוגמא]] ופתרונו [[מדיה:פתרון הבוחן לדוגמא.pdf|פתרון הבוחן לדוגמא]]
*תשעה חורף [[מדיה:Bdida2015MiddleExam.pdf|בוחן תשעה + פתרון]]
*תשעד קיץ [[מדיה:MidExamBdida2014.pdf | בוחן תשע"ד + פתרון]]
*תשעד חורף [[מדיה:88195_בוחן_תשעד.pdf|שאלון בוחן]] ([[מדיה:Discrete_2014_QuizS.pdf|פתרון]])
*תשעג קיץ [[מדיה:MidExamBdida2013.pdf | בוחן בדידה תשעג +פתרון]]
*תשעג חורף [[מדיה:Bohan.doc|בוחן]],[[מדיה:BohanS.doc|פתרון]]
*תשעב קיץ [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88195/QuizSol_2012s.pdf פתרון בוחן אמצע]
*תשעא קיץ - בוחן דמה [[מדיה:11BdidaFakeQuiz.pdf|בוחן דמה קיץ תשעא]]

קובץ:Exam LA S 22.pdf

2022-08-03T14:19:45Z

Harel530: Harel530 העלה גרסה חדשה של קובץ:Exam LA S 22.pdf

בחנים בבדידה

2022-08-03T14:18:34Z

Harel530: /* בחנים בר-אילן */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

=בחנים בר-אילן=
*[[מדיה:Exam_LA_S_22.pdf.pdf|בוחן קיץ תשפ"ב]], [[מדיה:exam_LA_S_22_B_SOL.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"ב]]
*[[מדיה:BdidaSummer2021Quiz.pdf|בוחן קיץ תשפ"א]], [[מדיה:BdidaSummer2021QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תשפ"א]]
*[[מדיה:BdidaSummer2020Quiz.pdf|בוחן קיץ תש"ף]], [[מדיה:BdidaSummer2020QuizSol.pdf|פתרון בוחן קיץ תש"ף]] (הבוחן היה ב XI)
*[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעט]],[[מדיה:BdidaSummer2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעט]]
*[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעט]],[[מדיה:BdidaWinter2019MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעט]]
*[[מדיה:בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | בוחן קיץ תשעח]] [[מדיה:פתרון_בוחן_בדידה_קיץ_תשעח.pdf | פתרון בוחן קיץ תשעח]]
*[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעח]],[[מדיה:BdidaSummer2018MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעח]]
*תשעז קיץ[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעז]],[[מדיה:BdidaSummer2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן קיץ תשעז]].
*תשעז חורף [[מדיה:Bdida2017MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעז]],[[מדיה:Bdida2017MiddleExamSol.pdf| פתרון בוחן חורף תשעז]].
*תשעו קיץ [[מדיה:BdidaSummer2016MiddleExam.pdf| בוחן קיץ תשעו]].
*תשעו חורף [[מדיה:Bdida2016MiddleExam.pdf| בוחן חורף תשעו + פתרון]].
*תשעה קיץ [[מדיה:פתרון הבוחן בבדידה.pdf|פתרון הבוחן]]
*תשעה קיץ-בוחן לדוגמא [[מדיה:בוחן לדוגמא.pdf|בוחן לדוגמא]] ופתרונו [[מדיה:פתרון הבוחן לדוגמא.pdf|פתרון הבוחן לדוגמא]]
*תשעה חורף [[מדיה:Bdida2015MiddleExam.pdf|בוחן תשעה + פתרון]]
*תשעד קיץ [[מדיה:MidExamBdida2014.pdf | בוחן תשע"ד + פתרון]]
*תשעד חורף [[מדיה:88195_בוחן_תשעד.pdf|שאלון בוחן]] ([[מדיה:Discrete_2014_QuizS.pdf|פתרון]])
*תשעג קיץ [[מדיה:MidExamBdida2013.pdf | בוחן בדידה תשעג +פתרון]]
*תשעג חורף [[מדיה:Bohan.doc|בוחן]],[[מדיה:BohanS.doc|פתרון]]
*תשעב קיץ [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88195/QuizSol_2012s.pdf פתרון בוחן אמצע]
*תשעא קיץ - בוחן דמה [[מדיה:11BdidaFakeQuiz.pdf|בוחן דמה קיץ תשעא]]

קובץ:Exam LA S 22 B SOL.pdf

2022-08-03T14:18:21Z

Harel530:

קובץ:Exam LA S 22.pdf

2022-08-03T14:17:33Z

Harel530:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2

2021-07-11T07:59:17Z

Harel530:

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

=שיעור שני=
==אלגברת מטריצות==
הגדרה: אוסף המטריצות מגודל <math>m\times n</math> עם כניסות ב <math>\mathbb{F}</math>
מסומן כ <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> או <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>

'''הערה: שתי מטריצות <math>A=B</math> שוות, אם הם מאותו גודל ולכל <math>i,j</math>
מתקיים <math>A_{i,j}=B_{i,j}</math> ׁ(כלומר שוות בכל כניסה)'''

על מטריצות ניתן להגדיר את הפעולות הבאות:

'''חיבור/חיסור מטריצות '''יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי החיבור בניהם
<math>A+B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מוגדר (ע"י הגדרת הכניסה ה <math>i,j</math>)
<math>(A+B)_{ij}:=(A)_{ij}+(B)_{ij}</math>.

לדוגמא

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}\right)</math>

'''כפל בסקלאר''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\alpha\in\mathbb{F}</math> אזי הכפל בניהם
<math>\alpha\cdot A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מוגדר <math>(\alpha A)_{ij}=\alpha(A)_{ij}</math>

לדוגמא

<math>3\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 6 & 9\\
12 & 15 & 18
\end{array}\right)</math>

הגדרה: '''כפל מטריצות''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math> (שימו לב שמספר העמודות של A זהה למספר השורות של B ) אזי המכפלה
<math>AB\in \mathbb{F}^{m\times k}</math> והאיבר הij בכפל AB מוגדר להיות <math>[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}</math>

בצורה גרפית ניתן לראות את <math>[AB]_{ij}</math> כמכפלה של * הבאות-

<math>\begin{array}{ccc}
& & j\\
i & \left(\begin{array}{cccc}
\\
\negmedspace* & * & \cdots & *\\
\\
\end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc}
& *\\
& *\\
& \vdots\\
& *
\end{array}\right)
\end{array}</math>

דוגמא
<math>A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right)_{3\times2},\, B=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)_{2\times2}</math>
אזי <math>AB\in \mathbb{R}^{3\times2}</math> . נחשב את המקדם 1,1 של המכפלה

<math>(AB)_{11}=

\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \end{array} \right) \cdot

\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\

\end{array}\right) =
1\cdot(-1)+5\cdot1=4,\</math>

אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.

=== תכונות ===
כאשר הפעולות מוגדרות מתקיים כי
*כפל מטריצות קיבוצי כלומר <math>(AB)C=A(BC)</math>.

(לא מומלץ לעשות בתירגול) הוכחה: נסמן

<math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times p},\, C\in \mathbb{F}^{p\times l}</math>

קל לראות שבני האגפים מקבלים מטריצה מגודל <math>m\times l</math>. נראה שהכניסות שוות

<math>((AB)C)_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{p}(AB)_{ik}(C)_{kj}=\sum\limits _{k=1}^{p}\sum\limits _{s=1}^{n}(A)_{is}(B)_{sk}(C)_{kj}</math> .

מצד שני<math>(A(BC))_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}(A)_{ik}(BC)_{kj}=\sum\limits _{k=1}^{n}(A)_{ik}\sum\limits _{s=1}^{p}(B)_{ks}(C)_{sj}=\sum\limits _{k=1}^{n}\sum\limits _{s=1}^{p}(A)_{ik}(B)_{ks}(C)_{sj}</math> . קיבלנו שיוויון.

* פילוג: מתקיים כי <math>A(B+C)=AB+BC</math>
* הוצאת סקלאר <math>\alpha</math>: מתקיים כי <math>\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)</math>
*חילוף בחיבור <math>A+B=B+A</math>
* ''' הערה: באופן כללי, כפל מטריצות אינו חייב להיות חילופי. כלומר, לא תמיד AB=BA !!'''

=== חזרה למערכת משוואות לינארית ===

אבחנה: ראינו כי מערכת משוואות
<math>
\begin{array}{ccc}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2+ \dots + a_{1,n}x_n& = & b_1 \\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2+ \dots + a_{2,n}x_n& = & b_2 \\
\vdots & & \\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2+ \dots + a_{m,n}x_n& = & b_m \\
\end{array}
</math>

ניתן להציג במטריצה <math>(A|b)</math> כאשר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> היא '''מטריצת המקדמים''' (הכניסה ה i,j שלה שווה ל <math>a_{i,j}</math>) ו <math>b\in \mathbb{F}^{m\times 1}</math> הוא '''וקטור הפתרון''' (הכניסה ה i,1 שלו שווה ל <math>b_i</math>). כעת נגדיר את וקטור הנעלמים <math>x\in \mathbb{F}^{n\times 1}</math>
<math>
x=\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2\\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right)
</math>

בסימונים אלו ובהגדרת כפל מטריצות מתקיים כי <math>Ax=b</math> בדיוק מייצג את מערכת המשוואות הלינארית. מכאן והלאה נשתמש ב <math>Ax=b</math> בלי (אולי) להדגיש את גודל המטריצה (בדר"כ <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> גם אם לא צוין) . בנוסף לעיתים נתייחס ל <math> \mathbb{F}^{n\times 1}</math> כ <math> \mathbb{F}^{n}</math>

===תרגיל 3.4 ג-ז===
נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b. נסמן ב <math>H=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=0\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב<math>L=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=b\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:

====ג (עושים בהרצאה)====
נניח <math>L</math> אינה קבוצה ריקה ויהא <math>v_1\in L</math> פתרון למערכת הלא הומוגנית.
הוכח כי <math>L=\{v_1+v|v\in H\}=v_1 + H</math>. במילים אחרות, כל פתרון של המערכת הלא הומגונית מתקבל מפתרון למערכת ההומוגנית + <math>v_1</math>.

(גם להיפך מתקיים <math>H=L-v_1 =\{v-v_1 : v\in L\}</math>
=====פתרון=====
נוכיח הכלה דו כיוונית.

כיוון ראשון (<math>\subseteq</math>)

יהא <math>w\in L</math> צ"ל <math>w\in v_1 +H</math>. נגדיר <math>v=w-v_1</math> ואז <math>w=v_1 + v</math> נותר להוכיח כי <math>v\in H</math> (כלומר כי מתקיים <math>Av=0</math>).
אכן <math>Av=A(w-v_1)=Aw-Av_1 = b-b =0</math>.

כיוון שני (<math>\supseteq</math>)

ניקח <math>v\in H</math> כלשהו ונוכיח כי <math>v_1+v\in L</math>.

אכן, <math>A(v_1+v)=Av_1+Av=b+0=b</math>.

מסקנה: אם <math>L</math> אינה ריקה קיימת התאמה חח"ע ועל <math>f:H\to L</math> המוגדרת <math>f(v)=v_1+v</math> (בלשון פורמאלית L ו H שוות עוצמה. בלשון לא פורמאלית ב L ו H יש אותם כמות איברים)

====ד====
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש פתרון יחיד למערכת ההומוגנית

=====פתרון=====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>b=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד (0,0).

====ה====
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש אינסוף פתרונות למערכת ההומוגנית

=====פתרון=====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>b=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות. קבוצת הפתרונות היא
<math>\{\left( \begin{array}{c}
-t \\
t\\
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

====ו (בקיץ לא לומדים שדות סופיים)====
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש 7 פתרונות למערכת ההומוגנית

=====פתרון=====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל השדה <math>\mathbb{Z}_7</math> ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש 7 פתרונות מכיוון שיש משתנה חופשי יחיד.

====ז====
נתון שמספר המשוואות זהה למספר הנעלמים. עוד נתון שאין פתרונות למערכת הלא-הומוגנית. מה ניתן לומר על מספר הפתרונות של המערכת ההומוגנית?

=====פתרון=====
נדרג את המטריצה A. מכיוון שאין פתרונות למערכת הלא-הומוגנית, חייבת להיות בצורה המדורגת של A שורת אפסים (אחרת יש אותו מספר של איברים מובילים ושל משתנים ולכן אין משתנים חופשיים וכל משתנה נקבע באופן יחיד על ידי וקטור הפתרונות). מכיוון שיש שורת אפסים בצורה המדורגת, יש משתנה חופשי ולכן יש יותר מפתרון אחד למערכת ההומוגנית (מספר הפתרונות הוא מספר האיברים בשדה בחזקה מספר המשתנים החופשיים, ובכל שדה יש לפחות שני איברים שונים).

===סוגים שונים של כפל מטריצות===
בנוסף לכפל הרגיל, '''חשוב מאד''' לדעת גם כפל-שורה וכפל-עמודה:

====כפל שורה שורה ====

נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} -R_1- \\ -R_2- \\ \vdots \\ -R_n- \end{pmatrix}</math> ששורותיה הן <math>R_1,...,R_n</math>, ונביט בוקטור השורה <math>x=(a_1,...,a_n)</math>. מתקיים ש<math>xA=\sum_{i=1}^na_iR_i</math>. במילים - הכפל של השורה <math>x</math> במטריצה <math>A</math> הינה סכום של שורות <math>A</math> כפול הקבועים מהשורה <math>x</math>. נובע בקלות שהשורה ה-j בכפל <math>AB</math> הינה סכום שורות <math>B</math> כפול הקבועים המתאימים מהשורה ה-j של <math>A</math>. למעשה זהו מקרה פרטי של הכפל הרגיל <math>AB</math> עבור מטריצה <math>A=x\in \mathbb{F}^{1\times n}</math> ומטריצה <math>B\in \mathbb{F}^{n\times m}</math>, ולכן התוצאה שנקבל היא מטריצה 1 על m הלא הוא וקטור שורה.

דוגמא
<math>A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)</math>.

אזי

<math>R_{3}(AB)=R_{3}(A)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}
3 & -7\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)=
\\
3\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\end{array}\right)+(-7)\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-3 & 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
-7 & -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-10 & -11\end{array}\right)</math>

==== כפל עמודה עמודה ====

באופן דומה, נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} C_1 & C_2 & \cdots & C_m \end{pmatrix}</math> שעמותודיה הן <math>C_1,...,C_m</math>, ונביט בוקטור העמודה <math>x=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix}</math>. מתקיים ש<math>Ax=\sum_{i=1}^ma_iC_i</math>. במילים - '''הכפל של מטריצה בעמודה שווה לסכום עמודות המטריצה כפול הקבועים מהעמודה'''. נובע בקלות שהעמודה ה-j בכפל AB שווה לסכום עמודות A כפול הקבועים המתאימים מהעמודה ה-j של B. שימו לב שמערכת משוואות הינה מקרה פרטי של כפל-עמודה. למעשה זהו מקרה פרטי של הכפל הרגיל AB עבור מטריצה A מגודל n על m ומטריצה B=x מגודל m על 1, ולכן התוצאה שנקבל היא מטריצה n על 1 הלא הוא וקטור עמודה כפי שאכן מתקבל במערכת משוואות.

דוגמא

<math>A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)</math>

אזי

<math>C_{2}(AB)=A\cdot C_{2}(B)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)=1\left(\begin{array}{c}
1\\
-2\\
3
\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}
5\\
3\\
-7
\end{array}\right)= \\
\left(\begin{array}{c}
1\\
-2\\
3
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
10\\
6\\
-14
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
11\\
4\\
-11
\end{array}\right)</math>

=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?
===תרגיל 3.7===
תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB

====פתרון====
לפי כפל עמודה עמודה (או כפל של מטריצות בלוקים) קל לוודא ש <math>AB=(b,0,b,b,-b)</math>

====כפל מטריצת בלוקים (אפשר לדלג) ====
'''מטריצת בלוקים'''. מטריצה בלוקים הינה מטריצה הבנוייה ממספר מטריצות קטנות יותר (המכונות בלוקים). לדוגמא, ניקח את המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. אזי מטריצת הבלוקים מוגדרת להיות <math>C=(A|B)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math>

'''משפט''': לכל שלש מטריצות A,B,C כך שהכפל מוגדר, מתקיים ש<math>C(A|B)=(CA|CB)</math> כלומר כפל C במטריצת הבלוקים, הוא מטריצה הבלוקים המורכבת מהכפל של C בכל בלוק.

'''הוכחה''': נובע בקלות מכפל-עמודה המוזכר לעיל.

באופן כללי יהיו
<math>M_1 =
\left(\! \begin{array}{c|c}
A & B \\
\hline
C & D\\
\end{array}\!\right),
\,
M_2 =
\left(\! \begin{array}{c|c}
X & Y \\
\hline
Z & W\\
\end{array}\!\right)

</math>
כך שכל הכפלים הבאים מוגדרים (מבחנית גדלי המטריצות) אזי מתקיים

<math>M_1\cdot M_2 =

\left(\! \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} &
\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ W \end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix} C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} &
\begin{pmatrix} C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ W \end{pmatrix} \\

\end{array}\!\right)
</math>

במילים אחרות: כאשר הכפל מוגדר אפשר להכפיל בלוקים של מטריצה כאילו היו איברים במטריצה!

===שחלוף וסימטריות===
'''הגדרה''': תהי מטריצה <math>A \in F^{n \times m}</math>. אזי המטריצה המשוחלפת <math>A^t \in F^{m \times n}</math> מוגדרת ע"י <math>[A^t]_{ij}=[A]_{ji}</math>. כלומר, האיבר בשורה ה-i והעמודה ה-j של המטריצה המשוחלפת הוא האיבר בשורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית - הפכנו את השורות לעמודות, ואת העמודות לשורות.

'''דוגמא''': אם <math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}</math> אזי <math>A^t=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}</math>

'''הגדרה''': מטריצה נקראת סימטרית אם היא שווה למשוחלפת של עצמה; כלומר <math>A=A^t</math> (השורות והעמודות שלה זהות). מטריצה נקראת אנטי-סימטרית אם <math>A=-A^t</math>

לדוגמא
<math>\left(\begin{array}{cc}
2 & a\\
a & 5
\end{array}\right)</math> סימטרית

ו-
<math>\left(\begin{array}{cc}
0 & -a\\
a & 0
\end{array}\right)</math> אנטי סימטרית.

'''תכונות''':
*לכל שתי מטריצות A,B עבורן הכפל מוגדר, מתקיים <math>(AB)^t=B^tA^t</math>.
*<math>(A^t)^t=A</math>
*לכל שתי מטריצות מאותו סדר A,B מתקיים <math>(A+B)^t = A^t+B^t</math>
*לכל מטריצה A ולכל קבוע מהשדה <math>\alpha</math> מתקיים ש <math>(\alpha A)^t= \alpha (A^t)</math>

===תרגיל 4.4===
א. הוכח שלכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית.

ב. הוכח שלכל מטריצה ריבועית A (כלומר <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> )מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> סימטרית, ואילו המטריצה <math>A-A^t</math> אנטי סימטרית.

====פתרון====
א. נסמן <math>B=A^t</math>. לפי התכונות לעיל קל לראות ש <math>(AA^t)^t= (AB)^t =B^tA^t = (A^t)^tA^t= AA^t </math> והוכחנו שהמטריצה סימטרית.

ב. <math>(A+A^t)^t = A^t + (A^t)^t = A^t+A = A+ A^t</math> (הרי חיבור מטריצות הוא חילופי). כמו כן, <math>(A-A^t)^t = A^t - A = -(A-A^t)</math> כפי שרצינו.

===תרגיל 4.5===
א. תהי A מטריצה ריבועית ממשית (כלומר שאיבריה משדה הממשיים) אנטי סימטרית. הוכח שכל איברי האלכסון שלה שווים לאפס.

ב. (כשמלמדים שדות סופיים) האם הטענה נכונה למטריצות ריבועיות אנטי סימטריות מעל שדות אחרים? אפיין בדיוק את השדות מעליהם הטענה נכונה.

====פתרון====
נביט באיבר אלכסון <math>[A]_{ii}</math>. מתוך אנטי סימטריות מתקיים ש<math>[A]_{ii}=-[A]_{ii}</math> (החלפנו את השורה והעמודה, מכיוון שהן שוות קיבלנו בדיוק את אותו האיבר).

לפי תכונות השדה שלמדנו, ניתן לחבר לשני האגפים את הנגדי ולקבל <math>[A]_{ii}+[A]_{ii}=0</math>. ולכן <math>(1+1)[A]_{ii}=0</math>. מכיוון שבשדה אין מחלקי אפס, יש שתי אפשרויות:
*<math>[A]_{ii}=0</math>
*<math>1+1=0</math>

לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.

===תרגיל===
מצאו מטריצה ממשית שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה כזאת.

==מטריצות ריבועיות==

'''הגדרה''': מטריצה ריבועית היא <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>

מטריצות מיוחדות :

* מטריצת היחידה היא

<math>I_{n}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math>

מטריצה היחידה מקיימת את התכונה שלכל מטריצה ריבועית <math>A</math> מתקיים כי <math>A\cdot I=I\cdot A =A</math>

* מטריצת האפס היא
<math>0_{n}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

מטריצה האפס מקיימת את התכונה שלכל מטריצה ריבועית <math>A</math>

מתקיים כי <math>A\cdot 0=0\cdot A =0</math>

וגם <math>A+ 0=0+ A =A</math>

*מטריצה משולשית

:* מטריצה משולשית עליונה היא מהצורה

<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
* & * & *\\
0 & \ddots & *\\
0 & 0 & *
\end{array}\right)</math> כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>j<i</math> .

:* מטריצה משולשית תחתונה היא מהצורה

<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
* & 0 & 0\\
* & \ddots & 0\\
* & * & *
\end{array}\right)</math> כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>i<j</math> .

* מטריצה אלכסונית היא מהצורה

<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
* & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & *
\end{array}\right)</math> כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>i\not=j</math> .

* מטריצה סקלארית היא מהצורה

<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
\alpha & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & \alpha
\end{array}\right)=\alpha I_{n}</math>

==== תרגיל ====
*הוכיחו כי כפל של סקלאריות היא סקאלרית
*הוכיחו שכפל של אלכסוניות היא אלכסונית
*הוכיחו כי כפל של משולשיות (מאותו סוג) הוא משולשית (מאותו סוג).
=== עקבה ===

'''הגדרה''': העקבה (trace) של מטריצה ריבועית הינה סכום איברי האלכסון של המטריצה.

'''תכונות''':
*<math>tr(A^t)=tr(A)</math>
*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
*<math>tr(\alpha A)=\alpha \cdot tr(A)</math>

===תרגיל 5.10 וחצי===
הוכח שלא קיימות מטריצות ריבועיות ממשיות כך ש <math>AB-BA=I</math>. האם הדבר נכון לכל שדה?

====פתרון====
נפעיל עקבה על שני האגפים, ונקבל מצד אחד <math>trace(AB-BA)=trace(AB)-trace(BA)=0</math> ומצד שני <math>trace(I)=1+1+...+1</math>. מעל הממשיים סכום אחדות לעולם אינו מתאפס ולכן השיוויון הנ"ל לא ייתכן.

מעל שדה עם מאפיין סופי השיוויון אפשרי, לדוגמא מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> עבור המטריצות <math>A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math> מתקיים ש <math>AB-BA = A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}=I</math> (מכיוון ש<math>1=-1</math>).

===תרגיל 5.11===
א. תהא A מטריצה ממשית כך ש <math>tr(AA^t)=0</math>. הוכח ש-A הינה מטריצת האפס.

ב. תהא A מטריצה מרוכבת כך ש <math>tr(AA^*)=0</math>. הוכח ש-A הינה מטריצת האפס. (<math>A^*:=\overline{A^t}</math>)

====פתרון====
א. נסמן ב <math>R_i(A)</math> את השורה ה-i של המטריצה A וב <math>C_i(A)</math> את העמודה ה-i של המטריצה A. מכיוון שהמטריצה המשוחלפת מתקבלת על ידי החלפת שורות ועמודות של המטריצה המקורית תמיד מתקיים ש <math>[R_i(A)]^t=C_i(A^t)</math> (השחלוף החיצוני הינו על מנת להפוך את וקטור השורה לוקטור עמודה).

כמו כן, נשים לב שבכפל מטריצות מתקיים תמיד <math>[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)</math>.

כעת, <math>tr(AA^t)=\sum_{i=1}^m[AA^t]_{ii}=\sum_{i=1}^mR_i(A)C_i(A^t)=\sum_{i=1}^mR_i(A)(R_i(A))^t</math>

נשים לב שבאופן כללי, בהנתן <math>v=(x_1,...,x_n)</math> מתקיים ש <math>vv^t = (x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_n)^2</math>.

ביחד ניתן להסיק ש<math>tr(AA^t)</math> שווה לסכום הריבועים של '''כל איברי המטריצה'''. מכיוון שריבוע גדול או שווה לאפס, מתקיים שסכום ריבועים הוא אפס אם"ם כל האיברים הם אפס, ולכן המטריצה הינה מטריצת האפס.

ב. עבור המרוכבים ההוכחה הינה דומה, פשוט מקבלים עבור וקטור מרוכב כללי <math>v=(z_1,...,z_n)</math> מתקיים ש <math>vv^*=|z_1|^2+...+|z_n|^2</math> ואז בעזרת טענה דומה מקבלים שכל איברי המטריצה הינם אפס.

===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{m\times m}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש- <math>B=AA^t</math>?

====פתרון====
לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.

===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?

קובץ:88341ex2 2020B.pdf

2019-12-18T10:22:21Z

Harel530:

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-18T10:21:48Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן: מה שלמדנו מתחילת הסמסטר עד השתנות חסומה ורציפות בהחלט. השאלות יכולות להילקח משיעורי בית או מתרגולים (עד שבוע 7), עד כדי שינויים קלים.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.
* [[מדיה: 88341rec7_2020.pdf | תרגול 7]], רציפות בהחלט והשתנות חסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020B.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341_ex5q3.pdf | פתרון שאלה 5]]
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 6]], משפטי התכנסות אינטגרלים. להגשה עד 18.12.19. <math>f</math> שייכת ל-<math>L^1</math> פירושו ש-<math>f</math> אינטגרבילית, ממ"ח סופית - מידת המרחב כולו סופית, ממ"ח סיגמא סופי - ראו הגדרה 9.9 בחוברת.
* [[מדיה: 88341ex7_2020.pdf | תרגיל 7]], תנאי ליפשיץ, רציפות בהחלט והשתנות חסומה. להגשה עד 30.12.19.

קובץ:88341ex5 2020B.pdf

2019-12-18T10:17:00Z

Harel530:

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-18T10:16:06Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן: מה שלמדנו מתחילת הסמסטר עד השתנות חסומה ורציפות בהחלט. השאלות יכולות להילקח משיעורי בית או מתרגולים (עד שבוע 7), עד כדי שינויים קלים.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.
* [[מדיה: 88341rec7_2020.pdf | תרגול 7]], רציפות בהחלט והשתנות חסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341_ex5q3.pdf | פתרון שאלה 5]]
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020B.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 6]], משפטי התכנסות אינטגרלים. להגשה עד 18.12.19. <math>f</math> שייכת ל-<math>L^1</math> פירושו ש-<math>f</math> אינטגרבילית, ממ"ח סופית - מידת המרחב כולו סופית, ממ"ח סיגמא סופי - ראו הגדרה 9.9 בחוברת.
* [[מדיה: 88341ex7_2020.pdf | תרגיל 7]], תנאי ליפשיץ, רציפות בהחלט והשתנות חסומה. להגשה עד 30.12.19.

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-05T07:39:07Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן נודיע בהמשך.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 6]]. להגשה עד 18.12.19. f שייכת ל- 1^L פירושו ש-f אינטגרבילית, ממ"ח סופית- מידת המרחב כולו סופית, ממ"ח סיגמא סופי- ראו הגדרה 9.9 בחוברת.

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-05T07:38:43Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן נודיע בהמשך.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 6]]. להגשה עד 18.12.19 f שייכת ל- 1^L פירושו ש-f אינטגרבילית, ממ"ח סופית- מידת המרחב כולו סופית, ממ"ח סיגמא סופי- ראו הגדרה 9.9 בחוברת.

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-05T07:37:50Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן נודיע בהמשך.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 6]]. להגשה עד 18.12.19
f שייכת ל- 1^L פירושו ש-f אינטגרבילית. ממ"ח סופית- מידת המרחב כולו סופית, ממ"ח סיגמא סופי- ראו הגדרה 9.9 בחוברת.

קובץ:88341ex6 2020.pdf

2019-12-05T07:33:19Z

Harel530:

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-05T07:31:12Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן נודיע בהמשך.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 6]]. להגשה עד 18.12.19

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-05T07:30:41Z

Harel530: /* תרגילי בית */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן נודיע בהמשך.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.
* [[מדיה: 88341rec6_2020.pdf | תרגול 6]], משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.
* [[מדיה: 88341ex6_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 18.12.19

88-341 תשף סמסטר א

2019-12-04T08:36:55Z

Harel530: /* הודעות */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[מדיה:הרצאות_אנליזה_מודרנית_2013_studenteen_שמחה_הורוביץ.pdf|חוברת ההרצאות]]
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==
תאריך הבוחן:
* 24.12.19, יום שלישי בשעה 8:00
חומר לבוחן נודיע בהמשך.

==תרגולים==
===הקבוצה של עידו===
אשמח אם תודיעו לי במייל לגבי טעויות או דברים לא ברורים בדפי התרגול.

* [[מדיה: 88341rec1_2020.pdf | תרגול 1]], בעיקר על מידה חיצונית. מומלץ לעבור גם על התרגילים שלא הספקנו.
* [[מדיה: 88341rec2_2020.pdf | תרגול 2]], <math>\sigma</math>-אלגברות וקבוצת קנטור. תוכלו להיעזר בתכונות המידה בשיעורי הבית.
* [[מדיה: 88341rec3_2020.pdf | תרגול 3]], מידה חיובית ומבוא לפונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec4_2020.pdf | תרגול 4]], פונקציות מדידות.
* [[מדיה: 88341rec5_2020.pdf | תרגול 5]], אינטגרל לבג, הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות המונוטונית.

==תרגילי בית==
את תרגילי הבית יש להגיש במערכת המודל, בפורמט pdf.

* [[מדיה: 88341ex1_2020.pdf | תרגיל 1]], בנושא מידה חיצונית. להגשה עד 13.11.19. שימו לב לתיקון - קבוצה היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם היא '''חיתוך''' בן-מניה של קבוצות פתוחות.
* [[מדיה: 88341ex1sol4_2020.pdf | פתרון שאלת רשות]]
* [[מדיה: 88341ex2_2020.pdf | תרגיל 2]], בנושא <math>\sigma</math>-אלגברות, מידת לבג וקבוצת קנטור. להגשה עד 20.11.19. רמז לשאלה 2: נסו להציג את A כחיתוכים ואיחודים בני מניה של קבוצות פתוחות כדי להראות כי A מדידה בורל (ולכן גם מדידה לבג). בשאלה 5, <math>\sigma(A)</math> היא ה-<math>\sigma</math>-אלגברה המינימלית המכילה את <math>A</math>. תיקון לשאלה 3 - הקבוצות <math>A_n</math> מדידות ב-<math>[0,1]</math>. בסעיף ב', צריך להוכיח שהמידה של F גדולה או שווה ל-<math>\delta</math>, ולא גדולה ממש.
* [[מדיה: 88341ex3_2020.pdf | תרגיל 3]], בנושא מידות כלליות. להגשה עד 27.11.19.
* [[מדיה: 88341ex4_2020.pdf | תרגיל 4]], בנושא פונקציות מדידות. להגשה עד 4.12.19. בשאלה 2, הכוונה לסדרת קבוצות מדידות.
* [[מדיה: 88341ex5_2020.pdf | תרגיל 5]], מבוא לאינטגרל לבג. להגשה עד 11.12.19. בשאלה 2 הכוונה למידת לבג.

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T19:24:44Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T19:24:03Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T16:58:15Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T16:57:02Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T16:56:23Z

Harel530: /* תרגילי בית */

קובץ:88341ex1sol4 2020.pdf

2019-11-07T16:03:01Z

Harel530:

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T16:02:18Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T08:16:36Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T08:16:17Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-11-07T08:15:26Z

Harel530: /* תרגילי בית */

88-341 תשף סמסטר א

2019-10-30T08:22:14Z

Harel530: /* קישורים */

[[88-341 אנליזה מודרנית 1]]

מרצה: ד"ר שמעון ברוקס.

מתרגלים: עידו שפרינגר idospringer@gmail.com

הראל רוזנפלד harelrozen@gmail.com

==קישורים==
*[[88-341 תשעח סמסטר א/תרגולים|תרגולים של עופר מתשע"ח]]

==הודעות==

==תרגילי בית==

קובץ:Blabla.pdf

2019-09-02T05:30:39Z

Harel530: Harel530 העלה גרסה חדשה של קובץ:Blabla.pdf

gdhgd

קובץ:Blabla.pdf

2019-09-02T05:26:35Z

Harel530:

gdhgd

קובץ:Bla.pdf

2019-09-01T09:08:17Z

Harel530: Harel530 העביר את הדף קובץ:Bla.pdf ל־קובץ:Bgregefgdrla.pdf

#הפניה [[קובץ:Bgregefgdrla.pdf]]

קובץ:Bgregefgdrla.pdf

2019-09-01T09:08:08Z

Harel530: Harel530 העביר את הדף קובץ:Bla.pdf ל־קובץ:Bgregefgdrla.pdf

bla

קובץ:Bgregefgdrla.pdf

2019-09-01T09:03:17Z

Harel530: Harel530 העלה גרסה חדשה של קובץ:Bla.pdf

bla

קובץ:Bgregefgdrla.pdf

2019-07-12T16:16:52Z

Harel530:

bla

קובץ:Dsadfהדעגכגsd123.pdf

2019-07-12T16:11:24Z

Harel530: Harel530 העביר את הדף קובץ:Dsadfהדעגכגsd123.pdf ל־קובץ:Blabla.pdf

#הפניה [[קובץ:Blabla.pdf]]

קובץ:Blabla.pdf

2019-07-12T16:11:24Z

Harel530: Harel530 העביר את הדף קובץ:Dsadfהדעגכגsd123.pdf ל־קובץ:Blabla.pdf

קובץ:Dsadfsd123vsf.pdf

2019-07-12T16:09:12Z

Harel530: Harel530 העביר את הדף קובץ:Dsadfsd123vsf.pdf ל־קובץ:Bla.pdf

#הפניה [[קובץ:Bla.pdf]]