Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2013-01-05T15:36:08Z

Jørgen: /* תרגיל10, שאלה4 */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-31T21:50:03Z

Jørgen: /* תרגיל9, שאלת בונוס */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-31T21:34:39Z

Jørgen: /* תרגיל9, שאלת בונוס */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-31T21:34:13Z

Jørgen: /* תרגיל9, שאלת בונוס */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-31T20:23:10Z

Jørgen: /* תרגיל9, שאלת בונוס */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-31T20:10:38Z

Jørgen: /* תרגיל9, שאלת בונוס */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-22T15:53:08Z

Jørgen: /* תרגיל8, על שאלות 1 ו2 */ פסקה חדשה

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, '''אנא צטטו'''.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>". פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

==תרגיל 4 סעיף 2==

לא הבנתי איך להוכיח בהנתן גרעין את ההומומורפיזם של פונקציה
אני מבקש מלואי פולב הסבר .

תודה מראש יבגני פודוקשיק.

<n>.owiki>[[משתמש:יבגני פודוקשיק|יבגני פודוקשיק]] 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
::"Left cosets of H in G"
::"Left cosets of G with respect to H"
--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה2(ב) ==

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה
::גם אם הסדר של <math>a</math> הוא אינסופי אז אמור להתקים ואפשר להוכיח זאת <math>o(a)=o(\varphi(a))=\infty</math> ולכן אין צורך להניח שהסדר סופי.אפשר כמובן לטפל במקרה האינסופי בהתחלה ואז לדון במקרה הסופי.

לגבי ג: מספר היוצרים לא נשמר בהכרח. אם היה מדובר באיזומורפיזם אז זה היה נכון אך בשאלה אנו מניחים רק אפימורפיזם. יתכן בהחלט ש<math>\varphi(a_1)=\varphi(a_2)</math> כאשר <math>a_1,a_2</math> יוצרים של <math>G</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:10, 23 בנובמבר 2012 (IST)

בסעיף ב לא מספיק להניח מונומורפיזם?
בסעיף ג' צריך להראות שהומ' לוקח קבוצת יוצרים של G (חבורה כלשהי) לקבוצת יוצרים שיוצרים את G או את <math>f(G)</math> ?
::לגבי סעיף ב' נכון מספיק אפילו מונומורפיזם. לגבי סעיף ג' פרסמנו כבר תיקון שמדובר באפימורפיזם ולא הומומורפיזם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 5(4) ==

מה הכוונה בסימון <math>x\mod3</math>? אני מניח שזה השארית אחרי חילוק ב-3(כלומר, 012), אבל אני לא בטוח.
תודה.
::אתה צודק. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:06, 24 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 2 סעיף ג' ==

האם צריך להוכיח גם עבור המקרה שהחבורות אינן נוצרות סופיות?
: לטובת מי שאינו יודע מהי "שאלה 2 סעיף ג'" (למשל: המרצה, וכל מי שילמד את הקורס בעוד שנה ושנתיים), אנא צטט את השאלה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

::שאלה 2, סעיף ג': ''הראו שאפימורפיזם מעביר קבוצת יוצרים לקבוצת יוצרים.''
::: הטענה נכונה גם כשהחבורות אינן נוצרות סופית. תהי G חבורה ותהי S קבוצת יוצרים שלה. יהי <math>\ f : G \rightarrow H</math> אפימורפיזם. צריך להוכיח שתמונת S, כלומר הקבוצה <math>\ f(S) = \{f(x) \,: \, x \in S\}</math>, יוצרת את H. יהי <math>\ h \in H</math>. לפי ההנחה יש <math>\ g\in G</math> כך ש-<math>\ f(g) = h</math>. מכיוון ש-S יוצרת את G, אפשר להציג את g כמכפלה <math>\ g = x_1x_2\cdots x_n</math> עבור <math>\ x_1,\dots,x_n \in S \cup S^{-1}</math> (לא בהכרח שונים זה מזה). כעת <math>\ f(g) = f(x_1)f(x_2) \cdots f(x_n) \in \langle f(S)\rangle</math>, מש"ל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:56, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה7 ==

מותר שלא להשתמש בהדרכה? תודה
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה- קשורה (או שלא?) איכשהו לתרגיל בית ==

אם יש לי שתי ת"ח בחבורה מסויימת,
יש איזשהו מצב שהאינדקס של החיתוך שלהן הוא בדיוק הכפולה המשותפת המינימלית של האינדקסים של כל אחת מהן בנפרד?או שבכלל אין קשר??

תודה.

יש קשר. למעשה ניתן להראות שבהינתן <math>H,K \leq G</math> אזי <math>[G: H \cap K] \geq lcm([G:H],[G:K])</math>. כמובן שאי אפשר להתשמש בזה בלי להוכיח. הנה תרגיל חביב: מצאו דוגמא שבה השוויון לא מתקיים (אפילו במקרה בו האינדקסים סופיים) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:43, 26 בנובמבר 2012 (IST)

מממ בכל מקרה שהאינדקס של H ושל K זרים?
:: הכונה באי השויון הנ"ל (שהאינדקס של החיתוך בחבורה גדול או שווה ...) היתה תמיד עבור אינדקסים סופיים
בלי קשר אם האינדקסים זרים או לא. ישנן דוגמאות נגדיות לכך שאין שוויון אבל זה דווקא כשהאינדקסים אינם זרים ולזה לואי התכוונה.
במקרה שהאינדקסים זרים בוודאות לא תהיה דוגמא נגדית. כי אחרת...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:57, 26 בנובמבר 2012 (IST)

חחח אז זהו..אחרי שעניתי קלטתי שלא עניתי על השאלה..כנראה שעניתי על ה"כי אחרת..." שלך..;)
::גם ככה מצבך טוב (ביחס לתרגיל בית) :)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:59, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

האם ניתן להניח שהחבורות מסדר סופי, על מנת להשתמש במשפט לגראנז'?
::לא. אבל אפשר להיעזר בתרגילים קודמים ובכך שהאינדקסים סופיים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:22, 27 בנובמבר 2012 (IST)

==תרגיל 5, שאלה ראשונה, סעיף 1 ב' ==
משום מה אין לי אפשרות לפתוח כותרת חדשה - לכן אתייחס כאן לתרגיל 5 שאלה ראשונה חלק ראשון סעיף ב': מה הכוונה ב "תת חבורה הנוצרת ע י" המחלקות של"
על ידי שתי המחלקות ביחד? ואם כן אז באיזה אופן היא נוצרת על ידן?

הכוונה לחבורה הנוצרת על ידי שני האיברים הנתונים. הגדרתם בהרצאה חבורה נוצרת על ידי איברים. כאן מדובר בתת חבורה של חבורת המנה. איברי חבורת המנה הם מחלקות שקילות. תת החבורה המדוברת נוצרת על ידי שני איברים, כלומר על ידי שתי מחלקות שקילות. הפעולה בין שני האיברים היא הפעולה של חבורת המנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:09, 27 בנובמבר 2012 (IST)

תודה רבה! זה מאוד הועיל...

== תרגיל 5 שאלה 2 סעיף א ==

''תהי <math>H \leq G</math> הראו ש <math>H \cap Z(G) \subseteq Z(H)</math>, ותנו דוגמה '''שבה הכלה זו אמיתית.'''''

הכלה אמיתית, פירושה, הכלה ממש?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:24, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 4(ב) תרגיל 5 ==

" מצאו תת חבורה מאינדקס 3 של S4"- הכוונה למצוא תת חבורה בת שמונה איברים?

כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:11, 30 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל5, שאלה1 ==

(2)אני לא מבין את <math>(\mathbb{Q},\cdot)</math> בהקשר זה? לא היה צריך רק <math>\mathbb{Q}</math>?

(1) האם צריך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> תת-חבורה נורמלית?
תודה.
::לגבי 2 אכן יש שם טעות בהקלדה. הנקודה מייצגת את פעולת החבורה (כפל מטריצות)והיתה אמורה להיות מחוץ לסוגריים.

אין צורך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> היא תת-חבורה נורמלית. זה מיידי מכך ש<math>\mathbb{Q}</math> אבלית וכל תת חבורה שלה היא נורמלית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:18, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל5, שאלה1 ==

האם "אינדקס לא סופי" נחשב תשובה, בניגוד ללומר למשל, <math>\aleph_0</math>? .תודה.

::אם אתם יודעים את העוצמה, תכתבו את העוצמה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:31, 3 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6- שאלה 1 ==

לא הבנתי כל כך מה צריכים לעשות. האם להראות שהמחזורים אינם צמודים ב-A4 זה להראות שהם אינם צמודים עם כל האיברים ב-A4 ?
ולהראות שהם צמודים ב-A5 זה להראות עם איבר אחד A5 ?

::על מנת להראות ששני איברים אינם צמודים, יש להראות שכל איבר בחבורה לא מצמיד אותם. בפועל, לא באמת צריך לעבור על כל האיברים, אלא אפשר לקצר תוך שימוש בשיקולים מסויימים של הצמדה. כעת, על מנת להראות ששני איברים צמודים, מספיק להראות (וזאת ההגדרה!) שיש איבר אחד ש"מצמיד" אותם. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:54, 5 בדצמבר 2012 (IST)

רק לראות שהבנתי. להראות שהתמורות צמודות ב- A5 זה למצוא איבר ב-A5 למשל נסמן אותו ב-x כך ש- (x(123)x^-1=(132 ?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:12, 6 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==
האם לא די להסתפק בכך שהחיתוך של H עם M שווה לחיתוך של H עם N מבלי להשתמש בכך שהם שווים לקב' היחידה?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:26, 11 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 6 ==

האם יש קשר למשפט האיזומורפיזם השלישי? אם לא אפשר לקבל רמז?
תודה(:

::אני לא רואה כרגע דרך לפתור דרך איזומורפיזם שלישי אם כי אני לא פוסל את האפשרות הזו. בכל מקרה שווה לנסות אפילו משפט איזומורפיזם ראשון. לפי איזו ראשון חבורה B היא חבורת מנה של חבורה A (עד כדי איזומורפיזם) אם קיים אפימורפיזם מ A ל B. לכן כדאי למצוא אפימורפיזם שכזה. לא צריך לחפש רחוק מדי לפעמים הדברים הכי טבעיים עובדים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:57, 10 בדצמבר 2012 (IST)

== פתרון של תרגיל 5 שאלה 5 סעיף ב' ==
בתחילת הפתרון ישנה טענה שלפיה אם G מודולו K איזומורפי ל Z אזי יש אפימורפיזם מ G ל Z. אפשר בבקש להסביר את הטענה? (אולי גם להכליל אותה)

* לא מתרגל/ת אבל אולי אוכל לעזור..זה ש-G מודולו K איזומורפי ל-Z= קיים הומומורפיזם חח"ע ועל מ-G ל-Z. ז"א שלכל איבר בטווח (Z אצלנו) יש מקור..ובפרט קיים הומומורפיזם על (=אפי') מ-G ל-Z.

::אני חושש שההסבר שניתן כאן אינו נכון. זה ש-G מודולו K איזומורפי ל-Z לא אומר שקיים הומומורפיזם חח"ע ועל (ובקיצור איזו') מ-G ל- Z ואפשר למצוא דוגמאות נגדיות. אם הנתון היה שG עצמה איזומורפית לZ אז הטענה היתה נכונה פשוט לפי ההגדרה של איזו'.

::בכל מקרה הרעיון הכללי של ההוכחה הוא: בהינתן חבורה <math>G</math> ותת חבורה נורמלית <math>K</math> תמיד קיים האפימורפיזם
::<math>\varphi:G\to G/K, \ \varphi(g)=gK</math>. כעת, מכיון שקיים גם איזומורפיזם ובפרט אפימורפיזם <math>\psi:G/K\to \mathbb{Z}</math> אז ההרכבה נותנת אפימורפיזם מ G לZ. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:21, 13 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7,שאלות ==

תרגיל7, שאלה1: שאלה אלמנטנרית. עבור תמורות a,b האם סדר החישוב של ab הוא הוא מימין לשמאל. אני חושב שכן, כי זה הרכבת פונקציות. אבל ראיתי גם ההפך.

תרגיל 7, שאלה"אולי שאלת בונוס". האם היא כמו יתר השאלות הרגילות או כבונוס? תודה.

::1. נכון, יש ספרים שמחשבים הפוך גם הרכבה של פונקציות... :) אצלנו זה כמו שאמרת...
::2. שאלת בונוס היא אכן בונוס. ה"אולי" מופיע שם בגלל שלא היינו בטוחים לגבי דרגת הקושי שלה... יש לה סעיף קל וסעיף קשה יותר... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:26, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== איזומורפיזם בין חבורות. ==

האם זה נכון להגיד ששתי חבורות שונות, בעלות אותו הסדר (סופי), אינן איזומורפיות כי מספר תתי החבורות שלהן, עבור סדר מסויים כלשהו, הוא שונה?
במידה וכן, האם אפשר לקבל כיוון להוכחת הדבר?
::כן. זה נכון. אם <math>G_1,\ldots G_i</math> תתי חבורות שונות מסדר <math>n</math> של <math>G</math>
ו<math>f:G\to H</math> איזו' אז <math>f(G_1),\ldots f(G_i)</math> תתי חבורות שונות מסדר <math>n</math> של <math>H</math>. לכן מספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>H</math> גדול או שווה למספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>G</math>.
<math>f^{-1}:H\to G</math> גם היא איזו' ולכן ניתן להוכיח בצורה דומה שמספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>G</math> גדול או שווה למספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>H</math>. בסה"כ נקבל את השוויון הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:56, 17 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

האם יש קשר בין הסעיפים? כלומר, האם אני יכולה להיעזר בסעיף שהוכחתי?
::מותר להיעזר בסעיפים שהוכחת. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:50, 19 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל8, על שאלות 1 ו2 ==

1. לגבי "...מכילה שני איברים.", האם בדיוק שניים?

2. יכול להיות שהנתון <math>|G|=p^k</math> מיותר, או יותר מדויק, שבעצם חשוב רק הנתון <math>|H|=p</math>?

תודה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-15T15:54:01Z

Jørgen: /* תרגיל 7,שאלות */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-15T15:53:08Z

Jørgen: /* פתרון של תרגיל 5 שאלה 5 סעיף ב' */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-15T15:52:40Z

Jørgen:

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, '''אנא צטטו'''.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>". פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

==תרגיל 4 סעיף 2==

לא הבנתי איך להוכיח בהנתן גרעין את ההומומורפיזם של פונקציה
אני מבקש מלואי פולב הסבר .

תודה מראש יבגני פודוקשיק.

<n>.owiki>[[משתמש:יבגני פודוקשיק|יבגני פודוקשיק]] 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
::"Left cosets of H in G"
::"Left cosets of G with respect to H"
--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה2(ב) ==

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה
::גם אם הסדר של <math>a</math> הוא אינסופי אז אמור להתקים ואפשר להוכיח זאת <math>o(a)=o(\varphi(a))=\infty</math> ולכן אין צורך להניח שהסדר סופי.אפשר כמובן לטפל במקרה האינסופי בהתחלה ואז לדון במקרה הסופי.

לגבי ג: מספר היוצרים לא נשמר בהכרח. אם היה מדובר באיזומורפיזם אז זה היה נכון אך בשאלה אנו מניחים רק אפימורפיזם. יתכן בהחלט ש<math>\varphi(a_1)=\varphi(a_2)</math> כאשר <math>a_1,a_2</math> יוצרים של <math>G</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:10, 23 בנובמבר 2012 (IST)

בסעיף ב לא מספיק להניח מונומורפיזם?
בסעיף ג' צריך להראות שהומ' לוקח קבוצת יוצרים של G (חבורה כלשהי) לקבוצת יוצרים שיוצרים את G או את <math>f(G)</math> ?
::לגבי סעיף ב' נכון מספיק אפילו מונומורפיזם. לגבי סעיף ג' פרסמנו כבר תיקון שמדובר באפימורפיזם ולא הומומורפיזם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 5(4) ==

מה הכוונה בסימון <math>x\mod3</math>? אני מניח שזה השארית אחרי חילוק ב-3(כלומר, 012), אבל אני לא בטוח.
תודה.
::אתה צודק. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:06, 24 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 2 סעיף ג' ==

האם צריך להוכיח גם עבור המקרה שהחבורות אינן נוצרות סופיות?
: לטובת מי שאינו יודע מהי "שאלה 2 סעיף ג'" (למשל: המרצה, וכל מי שילמד את הקורס בעוד שנה ושנתיים), אנא צטט את השאלה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

::שאלה 2, סעיף ג': ''הראו שאפימורפיזם מעביר קבוצת יוצרים לקבוצת יוצרים.''
::: הטענה נכונה גם כשהחבורות אינן נוצרות סופית. תהי G חבורה ותהי S קבוצת יוצרים שלה. יהי <math>\ f : G \rightarrow H</math> אפימורפיזם. צריך להוכיח שתמונת S, כלומר הקבוצה <math>\ f(S) = \{f(x) \,: \, x \in S\}</math>, יוצרת את H. יהי <math>\ h \in H</math>. לפי ההנחה יש <math>\ g\in G</math> כך ש-<math>\ f(g) = h</math>. מכיוון ש-S יוצרת את G, אפשר להציג את g כמכפלה <math>\ g = x_1x_2\cdots x_n</math> עבור <math>\ x_1,\dots,x_n \in S \cup S^{-1}</math> (לא בהכרח שונים זה מזה). כעת <math>\ f(g) = f(x_1)f(x_2) \cdots f(x_n) \in \langle f(S)\rangle</math>, מש"ל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:56, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה7 ==

מותר שלא להשתמש בהדרכה? תודה
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה- קשורה (או שלא?) איכשהו לתרגיל בית ==

אם יש לי שתי ת"ח בחבורה מסויימת,
יש איזשהו מצב שהאינדקס של החיתוך שלהן הוא בדיוק הכפולה המשותפת המינימלית של האינדקסים של כל אחת מהן בנפרד?או שבכלל אין קשר??

תודה.

יש קשר. למעשה ניתן להראות שבהינתן <math>H,K \leq G</math> אזי <math>[G: H \cap K] \geq lcm([G:H],[G:K])</math>. כמובן שאי אפשר להתשמש בזה בלי להוכיח. הנה תרגיל חביב: מצאו דוגמא שבה השוויון לא מתקיים (אפילו במקרה בו האינדקסים סופיים) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:43, 26 בנובמבר 2012 (IST)

מממ בכל מקרה שהאינדקס של H ושל K זרים?
:: הכונה באי השויון הנ"ל (שהאינדקס של החיתוך בחבורה גדול או שווה ...) היתה תמיד עבור אינדקסים סופיים
בלי קשר אם האינדקסים זרים או לא. ישנן דוגמאות נגדיות לכך שאין שוויון אבל זה דווקא כשהאינדקסים אינם זרים ולזה לואי התכוונה.
במקרה שהאינדקסים זרים בוודאות לא תהיה דוגמא נגדית. כי אחרת...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:57, 26 בנובמבר 2012 (IST)

חחח אז זהו..אחרי שעניתי קלטתי שלא עניתי על השאלה..כנראה שעניתי על ה"כי אחרת..." שלך..;)
::גם ככה מצבך טוב (ביחס לתרגיל בית) :)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:59, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

האם ניתן להניח שהחבורות מסדר סופי, על מנת להשתמש במשפט לגראנז'?
::לא. אבל אפשר להיעזר בתרגילים קודמים ובכך שהאינדקסים סופיים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:22, 27 בנובמבר 2012 (IST)

==תרגיל 5, שאלה ראשונה, סעיף 1 ב' ==
משום מה אין לי אפשרות לפתוח כותרת חדשה - לכן אתייחס כאן לתרגיל 5 שאלה ראשונה חלק ראשון סעיף ב': מה הכוונה ב "תת חבורה הנוצרת ע י" המחלקות של"
על ידי שתי המחלקות ביחד? ואם כן אז באיזה אופן היא נוצרת על ידן?

הכוונה לחבורה הנוצרת על ידי שני האיברים הנתונים. הגדרתם בהרצאה חבורה נוצרת על ידי איברים. כאן מדובר בתת חבורה של חבורת המנה. איברי חבורת המנה הם מחלקות שקילות. תת החבורה המדוברת נוצרת על ידי שני איברים, כלומר על ידי שתי מחלקות שקילות. הפעולה בין שני האיברים היא הפעולה של חבורת המנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:09, 27 בנובמבר 2012 (IST)

תודה רבה! זה מאוד הועיל...

== תרגיל 5 שאלה 2 סעיף א ==

''תהי <math>H \leq G</math> הראו ש <math>H \cap Z(G) \subseteq Z(H)</math>, ותנו דוגמה '''שבה הכלה זו אמיתית.'''''

הכלה אמיתית, פירושה, הכלה ממש?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:24, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 4(ב) תרגיל 5 ==

" מצאו תת חבורה מאינדקס 3 של S4"- הכוונה למצוא תת חבורה בת שמונה איברים?

כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:11, 30 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל5, שאלה1 ==

(2)אני לא מבין את <math>(\mathbb{Q},\cdot)</math> בהקשר זה? לא היה צריך רק <math>\mathbb{Q}</math>?

(1) האם צריך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> תת-חבורה נורמלית?
תודה.
::לגבי 2 אכן יש שם טעות בהקלדה. הנקודה מייצגת את פעולת החבורה (כפל מטריצות)והיתה אמורה להיות מחוץ לסוגריים.

אין צורך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> היא תת-חבורה נורמלית. זה מיידי מכך ש<math>\mathbb{Q}</math> אבלית וכל תת חבורה שלה היא נורמלית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:18, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל5, שאלה1 ==

האם "אינדקס לא סופי" נחשב תשובה, בניגוד ללומר למשל, <math>\aleph_0</math>? .תודה.

::אם אתם יודעים את העוצמה, תכתבו את העוצמה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:31, 3 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6- שאלה 1 ==

לא הבנתי כל כך מה צריכים לעשות. האם להראות שהמחזורים אינם צמודים ב-A4 זה להראות שהם אינם צמודים עם כל האיברים ב-A4 ?
ולהראות שהם צמודים ב-A5 זה להראות עם איבר אחד A5 ?

::על מנת להראות ששני איברים אינם צמודים, יש להראות שכל איבר בחבורה לא מצמיד אותם. בפועל, לא באמת צריך לעבור על כל האיברים, אלא אפשר לקצר תוך שימוש בשיקולים מסויימים של הצמדה. כעת, על מנת להראות ששני איברים צמודים, מספיק להראות (וזאת ההגדרה!) שיש איבר אחד ש"מצמיד" אותם. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:54, 5 בדצמבר 2012 (IST)

רק לראות שהבנתי. להראות שהתמורות צמודות ב- A5 זה למצוא איבר ב-A5 למשל נסמן אותו ב-x כך ש- (x(123)x^-1=(132 ?
::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:12, 6 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==
האם לא די להסתפק בכך שהחיתוך של H עם M שווה לחיתוך של H עם N מבלי להשתמש בכך שהם שווים לקב' היחידה?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:26, 11 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 6 ==

האם יש קשר למשפט האיזומורפיזם השלישי? אם לא אפשר לקבל רמז?
תודה(:

::אני לא רואה כרגע דרך לפתור דרך איזומורפיזם שלישי אם כי אני לא פוסל את האפשרות הזו. בכל מקרה שווה לנסות אפילו משפט איזומורפיזם ראשון. לפי איזו ראשון חבורה B היא חבורת מנה של חבורה A (עד כדי איזומורפיזם) אם קיים אפימורפיזם מ A ל B. לכן כדאי למצוא אפימורפיזם שכזה. לא צריך לחפש רחוק מדי לפעמים הדברים הכי טבעיים עובדים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:57, 10 בדצמבר 2012 (IST)

== פתרון של תרגיל 5 שאלה 5 סעיף ב' ==
בתחילת הפתרון ישנה טענה שלפיה אם G מודולו K איזומורפי ל Z אזי יש אפימורפיזם מ G ל Z. אפשר בבקש להסביר את הטענה? (אולי גם להכליל אותה)

* לא מתרגל/ת אבל אולי אוכל לעזור..זה ש-G מודולו K איזומורפי ל-Z= קיים הומומורפיזם חח"ע ועל מ-G ל-Z. ז"א שלכל איבר בטווח (Z אצלנו) יש מקור..ובפרט קיים הומומורפיזם על (=אפי') מ-G ל-Z.

::אני חושש שההסבר שניתן כאן אינו נכון. זה ש-G מודולו K איזומורפי ל-Z לא אומר שקיים הומומורפיזם חח"ע ועל (ובקיצור איזו') מ-G ל- Z ואפשר למצוא דוגמאות נגדיות. אם הנתון היה שG עצמה איזומורפית לZ אז הטענה היתה נכונה פשוט לפי ההגדרה של איזו'.

::בכל מקרה הרעיון הכללי של ההוכחה הוא: בהינתן חבורה <math>G</math> ותת חבורה נורמלית <math>K</math> תמיד קיים האפימורפיזם
::<math>\varphi:G\to G/K, \ \varphi(g)=gK</math>. כעת, מכיון שקיים גם איזומורפיזם ובפרט אפימורפיזם <math>\psi:G/K\to \mathbb{Z}</math> אז ההרכבה נותנת אפימורפיזם מ G לZ. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:21, 13 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל7, שאלה1: שאלה אלמנטנרית. עבור תמורות a,b האם סדר החישוב של ab הוא הוא מימין לשמאל. אני חושב שכן, כי זה הרכבת פונקציות. אבל ראיתי גם ההפך.

תרגיל 7, שאלה"אולי שאלת בונוס". האם היא כמו יתר השאלות הרגילות או כבונוס?

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-02T22:39:16Z

Jørgen: /* תרגיל5, שאלה1 */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-02T22:38:52Z

Jørgen: /* תרגיל5, שאלה1 */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-01T15:53:45Z

Jørgen: /* תרגיל5, שאלה1 */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-12-01T15:47:16Z

Jørgen: /* תרגיל5, שאלה1 */ פסקה חדשה

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, '''אנא צטטו'''.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>". פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

==תרגיל 4 סעיף 2==

לא הבנתי איך להוכיח בהנתן גרעין את ההומומורפיזם של פונקציה
אני מבקש מלואי פולב הסבר .

תודה מראש יבגני פודוקשיק.

<n>.owiki>[[משתמש:יבגני פודוקשיק|יבגני פודוקשיק]] 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
::"Left cosets of H in G"
::"Left cosets of G with respect to H"
--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה2(ב) ==

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה
::גם אם הסדר של <math>a</math> הוא אינסופי אז אמור להתקים ואפשר להוכיח זאת <math>o(a)=o(\varphi(a))=\infty</math> ולכן אין צורך להניח שהסדר סופי.אפשר כמובן לטפל במקרה האינסופי בהתחלה ואז לדון במקרה הסופי.

לגבי ג: מספר היוצרים לא נשמר בהכרח. אם היה מדובר באיזומורפיזם אז זה היה נכון אך בשאלה אנו מניחים רק אפימורפיזם. יתכן בהחלט ש<math>\varphi(a_1)=\varphi(a_2)</math> כאשר <math>a_1,a_2</math> יוצרים של <math>G</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:10, 23 בנובמבר 2012 (IST)

בסעיף ב לא מספיק להניח מונומורפיזם?
בסעיף ג' צריך להראות שהומ' לוקח קבוצת יוצרים של G (חבורה כלשהי) לקבוצת יוצרים שיוצרים את G או את <math>f(G)</math> ?
::לגבי סעיף ב' נכון מספיק אפילו מונומורפיזם. לגבי סעיף ג' פרסמנו כבר תיקון שמדובר באפימורפיזם ולא הומומורפיזם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 5(4) ==

מה הכוונה בסימון <math>x\mod3</math>? אני מניח שזה השארית אחרי חילוק ב-3(כלומר, 012), אבל אני לא בטוח.
תודה.
::אתה צודק. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:06, 24 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 2 סעיף ג' ==

האם צריך להוכיח גם עבור המקרה שהחבורות אינן נוצרות סופיות?
: לטובת מי שאינו יודע מהי "שאלה 2 סעיף ג'" (למשל: המרצה, וכל מי שילמד את הקורס בעוד שנה ושנתיים), אנא צטט את השאלה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)

::שאלה 2, סעיף ג': ''הראו שאפימורפיזם מעביר קבוצת יוצרים לקבוצת יוצרים.''
::: הטענה נכונה גם כשהחבורות אינן נוצרות סופית. תהי G חבורה ותהי S קבוצת יוצרים שלה. יהי <math>\ f : G \rightarrow H</math> אפימורפיזם. צריך להוכיח שתמונת S, כלומר הקבוצה <math>\ f(S) = \{f(x) \,: \, x \in S\}</math>, יוצרת את H. יהי <math>\ h \in H</math>. לפי ההנחה יש <math>\ g\in G</math> כך ש-<math>\ f(g) = h</math>. מכיוון ש-S יוצרת את G, אפשר להציג את g כמכפלה <math>\ g = x_1x_2\cdots x_n</math> עבור <math>\ x_1,\dots,x_n \in S \cup S^{-1}</math> (לא בהכרח שונים זה מזה). כעת <math>\ f(g) = f(x_1)f(x_2) \cdots f(x_n) \in \langle f(S)\rangle</math>, מש"ל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:56, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה7 ==

מותר שלא להשתמש בהדרכה? תודה
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה- קשורה (או שלא?) איכשהו לתרגיל בית ==

אם יש לי שתי ת"ח בחבורה מסויימת,
יש איזשהו מצב שהאינדקס של החיתוך שלהן הוא בדיוק הכפולה המשותפת המינימלית של האינדקסים של כל אחת מהן בנפרד?או שבכלל אין קשר??

תודה.

יש קשר. למעשה ניתן להראות שבהינתן <math>H,K \leq G</math> אזי <math>[G: H \cap K] \geq lcm([G:H],[G:K])</math>. כמובן שאי אפשר להתשמש בזה בלי להוכיח. הנה תרגיל חביב: מצאו דוגמא שבה השוויון לא מתקיים (אפילו במקרה בו האינדקסים סופיים) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:43, 26 בנובמבר 2012 (IST)

מממ בכל מקרה שהאינדקס של H ושל K זרים?
:: הכונה באי השויון הנ"ל (שהאינדקס של החיתוך בחבורה גדול או שווה ...) היתה תמיד עבור אינדקסים סופיים
בלי קשר אם האינדקסים זרים או לא. ישנן דוגמאות נגדיות לכך שאין שוויון אבל זה דווקא כשהאינדקסים אינם זרים ולזה לואי התכוונה.
במקרה שהאינדקסים זרים בוודאות לא תהיה דוגמא נגדית. כי אחרת...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:57, 26 בנובמבר 2012 (IST)

חחח אז זהו..אחרי שעניתי קלטתי שלא עניתי על השאלה..כנראה שעניתי על ה"כי אחרת..." שלך..;)
::גם ככה מצבך טוב (ביחס לתרגיל בית) :)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:59, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

האם ניתן להניח שהחבורות מסדר סופי, על מנת להשתמש במשפט לגראנז'?
::לא. אבל אפשר להיעזר בתרגילים קודמים ובכך שהאינדקסים סופיים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:22, 27 בנובמבר 2012 (IST)

==תרגיל 5, שאלה ראשונה, סעיף 1 ב' ==
משום מה אין לי אפשרות לפתוח כותרת חדשה - לכן אתייחס כאן לתרגיל 5 שאלה ראשונה חלק ראשון סעיף ב': מה הכוונה ב "תת חבורה הנוצרת ע י" המחלקות של"
על ידי שתי המחלקות ביחד? ואם כן אז באיזה אופן היא נוצרת על ידן?

הכוונה לחבורה הנוצרת על ידי שני האיברים הנתונים. הגדרתם בהרצאה חבורה נוצרת על ידי איברים. כאן מדובר בתת חבורה של חבורת המנה. איברי חבורת המנה הם מחלקות שקילות. תת החבורה המדוברת נוצרת על ידי שני איברים, כלומר על ידי שתי מחלקות שקילות. הפעולה בין שני האיברים היא הפעולה של חבורת המנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:09, 27 בנובמבר 2012 (IST)

תודה רבה! זה מאוד הועיל...

== תרגיל 5 שאלה 2 סעיף א ==

''תהי <math>H \leq G</math> הראו ש <math>H \cap Z(G) \subseteq Z(H)</math>, ותנו דוגמה '''שבה הכלה זו אמיתית.'''''

הכלה אמיתית, פירושה, הכלה ממש?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:24, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 4(ב) תרגיל 5 ==

" מצאו תת חבורה מאינדקס 3 של S4"- הכוונה למצוא תת חבורה בת שמונה איברים?

כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:11, 30 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל5, שאלה1 ==

(2)מה הכוונה ב <math>(\mathbb{Q},\cdot)</math>? לא היה צריך רק <math>\mathbb{Q}</math>?
(1) האם צריך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> תת-חבורה נורמלית?
תודה.

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-30T10:53:14Z

Jørgen: /* תרגיל6, שאלה4 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

==שאלות==

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

בג' אין טעות???
לא צריך להיות רשום בעבור כל x,y ששייכים לA??,כתוב במקום בעבור כל x,y ששייכים לX

צודק. זה צריך להיות <math>x,y \in A</math>. יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:44, 25 באוקטובר 2012 (IST)

תוקן --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 6 ו7 ==

בשביל קבוצה פתוחה או סגורה,צריך לדעת באיזו מטריקה מדובר,אז.... באיזו מטריקה מדובר??

לעצם השאלה - מדובר במטריקה האוקלידית הסטנדרטית <math>d_2</math>.

חוץ מזה, זה לא מדויק להגיד שצריך לדעת באיזה מטריקה מדובר.
כי כמו שראינו - מטריקות שקולות יוצרות את אותן קבוצות פתוחות, אז באותה מידה אפשר להשתמש בכל מטריקה <math>d_p</math> שנוצרת ע"י
<math>||\quad||_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:55, 25 באוקטובר 2012 (IST)

למה לא?יש אינספור מטריקות שלא שקולות אחת לשנייה...

לא אמרתי שזה לא נכון, רק שזה לא מדויק.

בכל אופן לא צריך להתווכח על זה.

אם ברור לשנינו ש

1) עבור כל מטריקה מהמשפחה <math>d_p</math> זה לא משנה איזה מטריקה בוחרים.

2) הכוונה בשאלה היא למטריקות מהמשפחה הזאת - (וזאת הכוונה תמיד אם לא אומרים במפורש באיזה מטריקה משתמשים)

אז אנחנו מבינים אחד את השני.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:05, 27 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 7 ==

לא הבנתי מניסוח השאלה האם באפשרויות הסיווג של הקבוצות ניתן לבחור גם באופציה לא פתוחה ולא סגורה?

תשובה: כן, אלה שתי שאלות נפרדות. האם היא פתוחה? והאם היא סגורה? יכול להיות שהתשובה לשתיהן היא לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:25, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== בנוגע לשעת הקבלה ביום ראשון ==
בימי ראשון בשעה 14:00 עד 15:30 מתקיימת ההרצאה באינפי3, יש אפשרות לשנות את מועד שעת הקבלה?
כמו כן, תודה על שינוי שם הקבוצה! :)

תשובה: כן, אפשר. לא הייתי מודע לשעות של ההרצאה. אני אשנה את זה ל 15:30 עד 16:30--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:18, 31 באוקטובר 2012 (IST)

תודה רבה!

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

לא הבנתי את ההגדרה של A+B.
אפשר דוגמא או הסבר?
תודה :)

תשובה:

ההגדרה היא
<math>A+B = \{a+b\mid a\in A, \quad b\in B\}</math>.

כלומר האיברים ב <math>A+B</math> הם הוקטורים שאפשר לכתוב כחיבור של שני וקטורים אחרים, אחד מ <math>A</math> ואחד מ <math>B</math>.

זה כמו חיבור של תתי מרחבים וקטוריים שלמדתם באלגברה לינארית 1, רק שכאן אנחנו מחברים קבוצות כלשהן שהן לא בהכרח מרחבים וקטוריים.

למשל:

1) אם <math>A=\{(a_1,a_2)\}</math> ו <math>B=\{(b_1,b_2)\}</math> (שתיהן קבוצות בנות נקודה אחת) אז <math>A+B = \{(a_1+b_1,a_2+b_2)\}</math>..

2) אם <math>A=\{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(0,x) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> - כלומר <math>A</math> היא ציר <math>x</math> ו <math>B</math> הוא ציר <math>y</math> אז <math>A+B = \mathbb{R}^2</math> כי כל וקטור במרחב הוא צירוף של וקטור מציר <math>x</math> ווקטור מציר <math>y</math>.

3) אם <math>A= \{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(1,1),(0,-1)\}</math> אז
<math>A+B=\{(x,y) \mid y\in \{1,-1\}\}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:11, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== קבוצות קשירות ==

האם הקבוצה הריקה או קבוצה בעלת איבר אחד היא קשירה?

תשובה: גם הקבוצה הריקה וגם קבוצה בעלת איבר אחד הן קשירות. וזה אפילו די פשוט להראות את זה מההגדרה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:03, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה כללית ==

האם <math>A+B=\empty</math> כאשר <math>A=\empty</math>?

תשובה: כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

1)אם השאלה שלי נכונה, האם מדובר במטריקות שמושרות על-ידי נורמות-p או שצריך להניח שמדובר בנורמה כללית?
2)הטענה נראית נכונה גם עבור מרחבים מטריים כלשהם, אם כן אז ההגבלה ל-R^k נראית מיותרת (זה שאלה/הערה)
תודה

תשובה:

1) אני אגיד שוב, כשלא מצויינת מטריקה במפורש הכוונה למטריקה האוקלידית הסטנדרטית.

(כמובן היות וכל המטריקות <math>||\quad||_p</math> שקולות אליה, שימוש בהן יביא תמיד לאותה תוצאה)

2) כן, הטענה נכונה לכל מרחב מטרי (אפילו לכל טופולוגיה), מי שרוצה להוכיח בצורה כללית יותר, רשאי (אני לא ראיתי צורך לסבך אתכם).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:38, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3, שאלה 5 (תהייה) ==
האם הנורמה האוקלידית היא יותר מאשר הרכבת פונקציות אלמנטריות?
במידה שלא, האם יש לעשות יותר מאשר לצטט משפט זה כדי להצדיק את הטענה?

תשובה: האמת היא שאתה צודק. היא הרכבת אלמנטריות ולכן רציפה.

הכוונה היתה שתוכיחו עם <math>\epsilon,\delta</math> (וגם אז זאת שאלה די קלה).

אבל מה שהוגן הוגן, היות ומותר להסתמך על מה שראיתם בהרצאה/תרגול - מספיק להציג אותה כהרכבת אלמנטריות, לצטט את המשפט וזהו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:02, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה3(א) ==

זה לא נובע מרציפות רכיב רכיב? אם כן, אז יכול להיות שהשאלה היא להוכיח רציפות במידה שווה? תודה

תשובה: זה ממש לא נובע מרציפות רכיב רכיב - זה שני דברים שונים.

רציפות רכיב רכיב היא חלוקה לפי הרכיבים של הטווח עבור פונקציות שהטווח שלהן הוא <math>\mathbb{R}^m</math>, כאן החלוקה היא עבור רכיבים של התחום וזה משהו אחר.

כל כך אחר, '''שהיום גילינו שהטענה בכלל לא נכונה - ואנחנו מורידים את השאלה הזאת מהתרגיל'''. אני מצטער על הטעות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:46, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

האם יכול להיות שישנה טעות בשאלה אני מבינה שהפונקציה חייבת להיות חיובית ולא שווה לאפס אבל ניתן לבחור X ן Y
כרצוני כך שהפונקציה שלי תשאף ל-0.
ולכן לא קיים M גדול ממש מ-0 שהפונקציה תהיה גדולה ממנו כי תמיד אני אוכל למצוא ערך
של הפונקציה שקטן ממנו.
ולא ניתן להוכיח זאת ע"י קומקפטיות כי הפונקציה אינה רציפה על ציר ה-X .

תשובה: בשאלה הזאת אין טעות. אולי זה יעזור אם אני אגיד שהפונקציה לא מוגדרת בכלל על ציר <math>x</math> לכן ממילא <math>E</math> לא כולל נקודות מציר <math>x</math>. (הרי נתון ש <math>f</math> מוגדרת על <math>E</math>).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4, שאלה 2 ==

האם מדובר ב-<math>\mathbb{R}^2</math>?

תשובה: כן מדובר על <math>\mathbb{R}^2</math> - זאת באמת טעות קטנה שכתבתי <math>\mathbb{R}^n</math>. (למרות שאם לומר את האמת, התשובה לא באמת משתנה אם זה על <math>\mathbb{R}^n</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:59, 19 בנובמבר 2012 (IST)

אבל אז מה פירוש <math>\frac{x}{y}</math> ב<math>\mathbb{R}^n</math>?

תשובה: אין לו פירוש. '''הטווח''' של הפונקציה הוא <math>\mathbb{R}</math> - וזה כתוב בשאלה ובזה אין טעות. '''התחום''' יכול להיות <math>\mathbb{R}^n</math> או <math>\mathbb{R}^2</math> וזה לא משנה ממש את התשובה. אפשר להניח שזה <math>\mathbb{R}^2</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:28, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל6, שאלה4 ==

אני חושב שיש בעיה בניסוח השאלה: כתוב "משוואה" ואין כזאת.

שיחה:88-240 תשעג סמסטר א

2012-11-25T19:18:53Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה3(א) */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=
בבקשה לכתוב את השאלות כאן, ולא דרך הפייסבוק. תודה --[[משתמש:Michael|Michael]] 02:35, 7 בנובמבר 2012 (IST)

אתר הקורס מתוחזק ע"י פרופ' שיף. הוא מחליט מתי להעלות פתרונות --[[משתמש:Michael|Michael]] 15:01, 11 בנובמבר 2012 (IST)

שלום אבישי, מערכי השיעור באתר של פרופ' שיף. --[[משתמש:Michael|Michael]] 12:36, 23 בנובמבר 2012 (IST)
== 4 א תרגיל 2 ==

אני חושב שגם 0=n פתרון
: אתה צודק, אבל אני חושב שהכוונה בפתרון הכללי היא לפתרון הרגולרי (זה שמכיל את הקבוע) - כך שזה בסדר. --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:31, 14 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה טכנית ==

האם יש צורך להקפיד לפרט חישובים עבור ביטויים מספריים. למשל, מ-<math>(2 \pi\cos(pi/4)-\sin(\pi/4))(\pi+4)</math>, לכתוב מיד שזה שווה <math>((4+\pi) (-1+2 \pi))/\sqrt2</math>? תודה
:אם יש אפשרות לפשט - כדאי. אני לא יודע עד כמה הבודק מתעקש על זה --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:43, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 - שאלה 2 סע' א ==

אני מצליח להוכיח שזה נכון כאשר y2 זהותית שווה לאפס או y2 שונה מאפס בכל הקטע. אבל אם y2 מתאפסת רק בנק' אחת אני לא מצליח. האם נכון להניח כי y1 ו-y2 הן פתרונות של מד"ר (אחרת אני לא מוצא דרך לפתור את השאלה)
: אין צורך להניח את זה --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:30, 20 בנובמבר 2012 (IST)

:: האם ניתן להניח ש-y1,y2 שתיהן חיוביות (ליתר דיוק, שאינן מחליפות סימן) בכל הקטע? כי אם לא ואכן y2 תלויה ב-y1 אז היא כפולה שלה, ולכן גם היא לא יכולה להתאפס (כי אם היא מתאפסת בנקודה אז קבוע הפרופורציה גם חייב יהיה להתאפס).
:: האם הכוונה ש-y1 אינה זהותית אפס? כי אז אפשר להפריך ע"י <math>|x|^3</math> ו-<math>x^3</math> למשל בקטע <math>(-1,1)</math>.

::: לא ניתן להניח זאת. אם זה נכון אתה צריך להוכיח את זה.
::: ולגבי השאלה השנייה, אין הכוונה לכך ש-y1 אינה זהותית אפס - אלא לכך שאינה אפס באף נקודה. --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:59, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלות 2,3 ==

מה הכוונה ב"מצא את פתרון הבעיה" האם זה מספיק שאני רושם את האינטגרל לפי נוסחת גרין או שצריך יותר מזה? (אני לא מוצא דרך לפתור את האינטגרל אם הפונקציה B לא נתונה)
:אכן, אי אפשר לפשט את האינטגרל. עליך להשאיר את התשובה בצורה אינטגרלית. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:54, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה3(א) ==

למה הנתון <math>a</math> חיובי. תודה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-25T18:41:44Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה7 */

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-25T18:40:57Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה7 */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-25T18:38:53Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה7 */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-24T16:01:43Z

Jørgen: /* שאלה 5(4) */

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<n>.owiki>[[משתמש:יבגני פודוקשיק|יבגני פודוקשיק]] 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

==תרגיל 4 סעיף 2==

לא הבנתי איך להוכיח בהנתן גרעין את ההומומורפיזם של פונקציה
אני מבקש מלואי פולב הסבר .

תודה מראש יבגני פודוקשיק.

<n>.owiki>[[משתמש:יבגני פודוקשיק|יבגני פודוקשיק]] 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
::"Left cosets of H in G"
::"Left cosets of G with respect to H"
--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה2(ב) ==

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה
::גם אם הסדר של <math>a</math> הוא אינסופי אז אמור להתקים ואפשר להוכיח זאת <math>o(a)=o(\varphi(a))=\infty</math> ולכן אין צורך להניח שהסדר סופי.אפשר כמובן לטפל במקרה האינסופי בהתחלה ואז לדון במקרה הסופי.

לגבי ג: מספר היוצרים לא נשמר בהכרח. אם היה מדובר באיזומורפיזם אז זה היה נכון אך בשאלה אנו מניחים רק אפימורפיזם. יתכן בהחלט ש<math>\varphi(a_1)=\varphi(a_2)</math> כאשר <math>a_1,a_2</math> יוצרים של <math>G</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:10, 23 בנובמבר 2012 (IST)

בסעיף ב לא מספיק להניח מונומורפיזם?
בסעיף ג' צריך להראות שהומ' לוקח קבוצת יוצרים של G (חבורה כלשהי) לקבוצת יוצרים שיוצרים את G או את <math>f(G)</math> ?

== שאלה 5(4) ==

מה הכוונה בסימון <math>x\mod3</math>? אני מניח שזה השארית אחרי חילוק ב-3(כלומר, 012), אבל אני לא בטוח.
תודה.

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-24T16:01:13Z

Jørgen: /* שאלה 5(4) */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-24T16:00:10Z

Jørgen: /* שאלה 5(4) */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-23T08:34:08Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה2(ב) */

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>. פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
::"Left cosets of H in G"
::"Left cosets of G with respect to H"
--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה2(ב) ==

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-23T08:00:45Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה2(ב) */ פסקה חדשה

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>. פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
::"Left cosets of H in G"
::"Left cosets of G with respect to H"
--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==

"הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה2(ב) ==

האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-19T21:12:07Z

Jørgen: /* תרגיל 3, שאלה 4 */ פסקה חדשה

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>. פתיחת חשבון - חינם.
# אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה6 ==
כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
<math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?

::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== פתרונות לתרגילים ==

אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
האם <math>\phi(0)=0</math>?

::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)

:: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== הוכחה קשה באגודות ==

במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.

אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.

:: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.

:: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.

:: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>

:: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.

:: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.

:: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.

== תרגיל 3, שאלה 4 ==

שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-19T21:09:07Z

Jørgen: /* תרגיל 4, שאלה 2 */

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-19T21:08:29Z

Jørgen: /* תרגיל 4, שאלה 2 */

{{הוראות דף שיחה}}

==שאלות==

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

בג' אין טעות???
לא צריך להיות רשום בעבור כל x,y ששייכים לA??,כתוב במקום בעבור כל x,y ששייכים לX

צודק. זה צריך להיות <math>x,y \in A</math>. יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:44, 25 באוקטובר 2012 (IST)

תוקן --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 6 ו7 ==

בשביל קבוצה פתוחה או סגורה,צריך לדעת באיזו מטריקה מדובר,אז.... באיזו מטריקה מדובר??

לעצם השאלה - מדובר במטריקה האוקלידית הסטנדרטית <math>d_2</math>.

חוץ מזה, זה לא מדויק להגיד שצריך לדעת באיזה מטריקה מדובר.
כי כמו שראינו - מטריקות שקולות יוצרות את אותן קבוצות פתוחות, אז באותה מידה אפשר להשתמש בכל מטריקה <math>d_p</math> שנוצרת ע"י
<math>||\quad||_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:55, 25 באוקטובר 2012 (IST)

למה לא?יש אינספור מטריקות שלא שקולות אחת לשנייה...

לא אמרתי שזה לא נכון, רק שזה לא מדויק.

בכל אופן לא צריך להתווכח על זה.

אם ברור לשנינו ש

1) עבור כל מטריקה מהמשפחה <math>d_p</math> זה לא משנה איזה מטריקה בוחרים.

2) הכוונה בשאלה היא למטריקות מהמשפחה הזאת - (וזאת הכוונה תמיד אם לא אומרים במפורש באיזה מטריקה משתמשים)

אז אנחנו מבינים אחד את השני.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:05, 27 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 7 ==

לא הבנתי מניסוח השאלה האם באפשרויות הסיווג של הקבוצות ניתן לבחור גם באופציה לא פתוחה ולא סגורה?

תשובה: כן, אלה שתי שאלות נפרדות. האם היא פתוחה? והאם היא סגורה? יכול להיות שהתשובה לשתיהן היא לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:25, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== בנוגע לשעת הקבלה ביום ראשון ==
בימי ראשון בשעה 14:00 עד 15:30 מתקיימת ההרצאה באינפי3, יש אפשרות לשנות את מועד שעת הקבלה?
כמו כן, תודה על שינוי שם הקבוצה! :)

תשובה: כן, אפשר. לא הייתי מודע לשעות של ההרצאה. אני אשנה את זה ל 15:30 עד 16:30--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:18, 31 באוקטובר 2012 (IST)

תודה רבה!

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

לא הבנתי את ההגדרה של A+B.
אפשר דוגמא או הסבר?
תודה :)

תשובה:

ההגדרה היא
<math>A+B = \{a+b\mid a\in A, \quad b\in B\}</math>.

כלומר האיברים ב <math>A+B</math> הם הוקטורים שאפשר לכתוב כחיבור של שני וקטורים אחרים, אחד מ <math>A</math> ואחד מ <math>B</math>.

זה כמו חיבור של תתי מרחבים וקטוריים שלמדתם באלגברה לינארית 1, רק שכאן אנחנו מחברים קבוצות כלשהן שהן לא בהכרח מרחבים וקטוריים.

למשל:

1) אם <math>A=\{(a_1,a_2)\}</math> ו <math>B=\{(b_1,b_2)\}</math> (שתיהן קבוצות בנות נקודה אחת) אז <math>A+B = \{(a_1+b_1,a_2+b_2)\}</math>..

2) אם <math>A=\{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(0,x) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> - כלומר <math>A</math> היא ציר <math>x</math> ו <math>B</math> הוא ציר <math>y</math> אז <math>A+B = \mathbb{R}^2</math> כי כל וקטור במרחב הוא צירוף של וקטור מציר <math>x</math> ווקטור מציר <math>y</math>.

3) אם <math>A= \{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(1,1),(0,-1)\}</math> אז
<math>A+B=\{(x,y) \mid y\in \{1,-1\}\}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:11, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== קבוצות קשירות ==

האם הקבוצה הריקה או קבוצה בעלת איבר אחד היא קשירה?

תשובה: גם הקבוצה הריקה וגם קבוצה בעלת איבר אחד הן קשירות. וזה אפילו די פשוט להראות את זה מההגדרה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:03, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה כללית ==

האם <math>A+B=\empty</math> כאשר <math>A=\empty</math>?

תשובה: כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

1)אם השאלה שלי נכונה, האם מדובר במטריקות שמושרות על-ידי נורמות-p או שצריך להניח שמדובר בנורמה כללית?
2)הטענה נראית נכונה גם עבור מרחבים מטריים כלשהם, אם כן אז ההגבלה ל-R^k נראית מיותרת (זה שאלה/הערה)
תודה

תשובה:

1) אני אגיד שוב, כשלא מצויינת מטריקה במפורש הכוונה למטריקה האוקלידית הסטנדרטית.

(כמובן היות וכל המטריקות <math>||\quad||_p</math> שקולות אליה, שימוש בהן יביא תמיד לאותה תוצאה)

2) כן, הטענה נכונה לכל מרחב מטרי (אפילו לכל טופולוגיה), מי שרוצה להוכיח בצורה כללית יותר, רשאי (אני לא ראיתי צורך לסבך אתכם).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:38, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3, שאלה 5 (תהייה) ==
האם הנורמה האוקלידית היא יותר מאשר הרכבת פונקציות אלמנטריות?
במידה שלא, האם יש לעשות יותר מאשר לצטט משפט זה כדי להצדיק את הטענה?

תשובה: האמת היא שאתה צודק. היא הרכבת אלמנטריות ולכן רציפה.

הכוונה היתה שתוכיחו עם <math>\epsilon,\delta</math> (וגם אז זאת שאלה די קלה).

אבל מה שהוגן הוגן, היות ומותר להסתמך על מה שראיתם בהרצאה/תרגול - מספיק להציג אותה כהרכבת אלמנטריות, לצטט את המשפט וזהו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:02, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה3(א) ==

זה לא נובע מרציפות רכיב רכיב? אם כן, אז יכול להיות שהשאלה היא להוכיח רציפות במידה שווה? תודה

תשובה: זה ממש לא נובע מרציפות רכיב רכיב - זה שני דברים שונים.

רציפות רכיב רכיב היא חלוקה לפי הרכיבים של הטווח עבור פונקציות שהטווח שלהן הוא <math>\mathbb{R}^m</math>, כאן החלוקה היא עבור רכיבים של התחום וזה משהו אחר.

כל כך אחר, '''שהיום גילינו שהטענה בכלל לא נכונה - ואנחנו מורידים את השאלה הזאת מהתרגיל'''. אני מצטער על הטעות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:46, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

האם יכול להיות שישנה טעות בשאלה אני מבינה שהפונקציה חייבת להיות חיובית ולא שווה לאפס אבל ניתן לבחור X ן Y
כרצוני כך שהפונקציה שלי תשאף ל-0.
ולכן לא קיים M גדול ממש מ-0 שהפונקציה תהיה גדולה ממנו כי תמיד אני אוכל למצוא ערך
של הפונקציה שקטן ממנו.
ולא ניתן להוכיח זאת ע"י קומקפטיות כי הפונקציה אינה רציפה על ציר ה-X .

תשובה: בשאלה הזאת אין טעות. אולי זה יעזור אם אני אגיד שהפונקציה לא מוגדרת בכלל על ציר <math>x</math> לכן ממילא <math>E</math> לא כולל נקודות מציר <math>x</math>. (הרי נתון ש <math>f</math> מוגדרת על <math>E</math>).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4, שאלה 2 ==

האם מדובר ב-<math>\mathbb{R}^2</math>?

תשובה: כן מדובר על <math>\mathbb{R}^2</math> - זאת באמת טעות קטנה שכתבתי <math>\mathbb{R}^n</math>. (למרות שאם לומר את האמת, התשובה לא באמת משתנה אם זה על <math>\mathbb{R}^n</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:59, 19 בנובמבר 2012 (IST)
אבל אז מה פירוש <math>\frac{x}{y}</math> ב<math>\mathbb{R}^n</math>?

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-19T21:08:01Z

Jørgen: /* תרגיל 4, שאלה 2 */

{{הוראות דף שיחה}}

==שאלות==

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

בג' אין טעות???
לא צריך להיות רשום בעבור כל x,y ששייכים לA??,כתוב במקום בעבור כל x,y ששייכים לX

צודק. זה צריך להיות <math>x,y \in A</math>. יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:44, 25 באוקטובר 2012 (IST)

תוקן --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 6 ו7 ==

בשביל קבוצה פתוחה או סגורה,צריך לדעת באיזו מטריקה מדובר,אז.... באיזו מטריקה מדובר??

לעצם השאלה - מדובר במטריקה האוקלידית הסטנדרטית <math>d_2</math>.

חוץ מזה, זה לא מדויק להגיד שצריך לדעת באיזה מטריקה מדובר.
כי כמו שראינו - מטריקות שקולות יוצרות את אותן קבוצות פתוחות, אז באותה מידה אפשר להשתמש בכל מטריקה <math>d_p</math> שנוצרת ע"י
<math>||\quad||_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:55, 25 באוקטובר 2012 (IST)

למה לא?יש אינספור מטריקות שלא שקולות אחת לשנייה...

לא אמרתי שזה לא נכון, רק שזה לא מדויק.

בכל אופן לא צריך להתווכח על זה.

אם ברור לשנינו ש

1) עבור כל מטריקה מהמשפחה <math>d_p</math> זה לא משנה איזה מטריקה בוחרים.

2) הכוונה בשאלה היא למטריקות מהמשפחה הזאת - (וזאת הכוונה תמיד אם לא אומרים במפורש באיזה מטריקה משתמשים)

אז אנחנו מבינים אחד את השני.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:05, 27 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 7 ==

לא הבנתי מניסוח השאלה האם באפשרויות הסיווג של הקבוצות ניתן לבחור גם באופציה לא פתוחה ולא סגורה?

תשובה: כן, אלה שתי שאלות נפרדות. האם היא פתוחה? והאם היא סגורה? יכול להיות שהתשובה לשתיהן היא לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:25, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== בנוגע לשעת הקבלה ביום ראשון ==
בימי ראשון בשעה 14:00 עד 15:30 מתקיימת ההרצאה באינפי3, יש אפשרות לשנות את מועד שעת הקבלה?
כמו כן, תודה על שינוי שם הקבוצה! :)

תשובה: כן, אפשר. לא הייתי מודע לשעות של ההרצאה. אני אשנה את זה ל 15:30 עד 16:30--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:18, 31 באוקטובר 2012 (IST)

תודה רבה!

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

לא הבנתי את ההגדרה של A+B.
אפשר דוגמא או הסבר?
תודה :)

תשובה:

ההגדרה היא
<math>A+B = \{a+b\mid a\in A, \quad b\in B\}</math>.

כלומר האיברים ב <math>A+B</math> הם הוקטורים שאפשר לכתוב כחיבור של שני וקטורים אחרים, אחד מ <math>A</math> ואחד מ <math>B</math>.

זה כמו חיבור של תתי מרחבים וקטוריים שלמדתם באלגברה לינארית 1, רק שכאן אנחנו מחברים קבוצות כלשהן שהן לא בהכרח מרחבים וקטוריים.

למשל:

1) אם <math>A=\{(a_1,a_2)\}</math> ו <math>B=\{(b_1,b_2)\}</math> (שתיהן קבוצות בנות נקודה אחת) אז <math>A+B = \{(a_1+b_1,a_2+b_2)\}</math>..

2) אם <math>A=\{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(0,x) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> - כלומר <math>A</math> היא ציר <math>x</math> ו <math>B</math> הוא ציר <math>y</math> אז <math>A+B = \mathbb{R}^2</math> כי כל וקטור במרחב הוא צירוף של וקטור מציר <math>x</math> ווקטור מציר <math>y</math>.

3) אם <math>A= \{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(1,1),(0,-1)\}</math> אז
<math>A+B=\{(x,y) \mid y\in \{1,-1\}\}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:11, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== קבוצות קשירות ==

האם הקבוצה הריקה או קבוצה בעלת איבר אחד היא קשירה?

תשובה: גם הקבוצה הריקה וגם קבוצה בעלת איבר אחד הן קשירות. וזה אפילו די פשוט להראות את זה מההגדרה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:03, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה כללית ==

האם <math>A+B=\empty</math> כאשר <math>A=\empty</math>?

תשובה: כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

1)אם השאלה שלי נכונה, האם מדובר במטריקות שמושרות על-ידי נורמות-p או שצריך להניח שמדובר בנורמה כללית?
2)הטענה נראית נכונה גם עבור מרחבים מטריים כלשהם, אם כן אז ההגבלה ל-R^k נראית מיותרת (זה שאלה/הערה)
תודה

תשובה:

1) אני אגיד שוב, כשלא מצויינת מטריקה במפורש הכוונה למטריקה האוקלידית הסטנדרטית.

(כמובן היות וכל המטריקות <math>||\quad||_p</math> שקולות אליה, שימוש בהן יביא תמיד לאותה תוצאה)

2) כן, הטענה נכונה לכל מרחב מטרי (אפילו לכל טופולוגיה), מי שרוצה להוכיח בצורה כללית יותר, רשאי (אני לא ראיתי צורך לסבך אתכם).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:38, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3, שאלה 5 (תהייה) ==
האם הנורמה האוקלידית היא יותר מאשר הרכבת פונקציות אלמנטריות?
במידה שלא, האם יש לעשות יותר מאשר לצטט משפט זה כדי להצדיק את הטענה?

תשובה: האמת היא שאתה צודק. היא הרכבת אלמנטריות ולכן רציפה.

הכוונה היתה שתוכיחו עם <math>\epsilon,\delta</math> (וגם אז זאת שאלה די קלה).

אבל מה שהוגן הוגן, היות ומותר להסתמך על מה שראיתם בהרצאה/תרגול - מספיק להציג אותה כהרכבת אלמנטריות, לצטט את המשפט וזהו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:02, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה3(א) ==

זה לא נובע מרציפות רכיב רכיב? אם כן, אז יכול להיות שהשאלה היא להוכיח רציפות במידה שווה? תודה

תשובה: זה ממש לא נובע מרציפות רכיב רכיב - זה שני דברים שונים.

רציפות רכיב רכיב היא חלוקה לפי הרכיבים של הטווח עבור פונקציות שהטווח שלהן הוא <math>\mathbb{R}^m</math>, כאן החלוקה היא עבור רכיבים של התחום וזה משהו אחר.

כל כך אחר, '''שהיום גילינו שהטענה בכלל לא נכונה - ואנחנו מורידים את השאלה הזאת מהתרגיל'''. אני מצטער על הטעות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:46, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

האם יכול להיות שישנה טעות בשאלה אני מבינה שהפונקציה חייבת להיות חיובית ולא שווה לאפס אבל ניתן לבחור X ן Y
כרצוני כך שהפונקציה שלי תשאף ל-0.
ולכן לא קיים M גדול ממש מ-0 שהפונקציה תהיה גדולה ממנו כי תמיד אני אוכל למצוא ערך
של הפונקציה שקטן ממנו.
ולא ניתן להוכיח זאת ע"י קומקפטיות כי הפונקציה אינה רציפה על ציר ה-X .

תשובה: בשאלה הזאת אין טעות. אולי זה יעזור אם אני אגיד שהפונקציה לא מוגדרת בכלל על ציר <math>x</math> לכן ממילא <math>E</math> לא כולל נקודות מציר <math>x</math>. (הרי נתון ש <math>f</math> מוגדרת על <math>E</math>).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4, שאלה 2 ==

האם מדובר ב-<math>\mathbb{R}^2</math>?

תשובה: כן מדובר על <math>\mathbb{R}^2</math> - זאת באמת טעות קטנה שכתבתי <math>\mathbb{R}^n</math>. (למרות שאם לומר את האמת, התשובה לא באמת משתנה אם זה על <math>\mathbb{R}^n</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:59, 19 בנובמבר 2012 (IST)
אבל אז מה פירוש <math>\frac{x}{y}</math>?

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-19T18:38:45Z

Jørgen: /* תרגיל 4, שאלה 2 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

==שאלות==

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

בג' אין טעות???
לא צריך להיות רשום בעבור כל x,y ששייכים לA??,כתוב במקום בעבור כל x,y ששייכים לX

צודק. זה צריך להיות <math>x,y \in A</math>. יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:44, 25 באוקטובר 2012 (IST)

תוקן --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:17, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 6 ו7 ==

בשביל קבוצה פתוחה או סגורה,צריך לדעת באיזו מטריקה מדובר,אז.... באיזו מטריקה מדובר??

לעצם השאלה - מדובר במטריקה האוקלידית הסטנדרטית <math>d_2</math>.

חוץ מזה, זה לא מדויק להגיד שצריך לדעת באיזה מטריקה מדובר.
כי כמו שראינו - מטריקות שקולות יוצרות את אותן קבוצות פתוחות, אז באותה מידה אפשר להשתמש בכל מטריקה <math>d_p</math> שנוצרת ע"י
<math>||\quad||_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:55, 25 באוקטובר 2012 (IST)

למה לא?יש אינספור מטריקות שלא שקולות אחת לשנייה...

לא אמרתי שזה לא נכון, רק שזה לא מדויק.

בכל אופן לא צריך להתווכח על זה.

אם ברור לשנינו ש

1) עבור כל מטריקה מהמשפחה <math>d_p</math> זה לא משנה איזה מטריקה בוחרים.

2) הכוונה בשאלה היא למטריקות מהמשפחה הזאת - (וזאת הכוונה תמיד אם לא אומרים במפורש באיזה מטריקה משתמשים)

אז אנחנו מבינים אחד את השני.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:05, 27 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 7 ==

לא הבנתי מניסוח השאלה האם באפשרויות הסיווג של הקבוצות ניתן לבחור גם באופציה לא פתוחה ולא סגורה?

תשובה: כן, אלה שתי שאלות נפרדות. האם היא פתוחה? והאם היא סגורה? יכול להיות שהתשובה לשתיהן היא לא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:25, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== בנוגע לשעת הקבלה ביום ראשון ==
בימי ראשון בשעה 14:00 עד 15:30 מתקיימת ההרצאה באינפי3, יש אפשרות לשנות את מועד שעת הקבלה?
כמו כן, תודה על שינוי שם הקבוצה! :)

תשובה: כן, אפשר. לא הייתי מודע לשעות של ההרצאה. אני אשנה את זה ל 15:30 עד 16:30--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:18, 31 באוקטובר 2012 (IST)

תודה רבה!

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

לא הבנתי את ההגדרה של A+B.
אפשר דוגמא או הסבר?
תודה :)

תשובה:

ההגדרה היא
<math>A+B = \{a+b\mid a\in A, \quad b\in B\}</math>.

כלומר האיברים ב <math>A+B</math> הם הוקטורים שאפשר לכתוב כחיבור של שני וקטורים אחרים, אחד מ <math>A</math> ואחד מ <math>B</math>.

זה כמו חיבור של תתי מרחבים וקטוריים שלמדתם באלגברה לינארית 1, רק שכאן אנחנו מחברים קבוצות כלשהן שהן לא בהכרח מרחבים וקטוריים.

למשל:

1) אם <math>A=\{(a_1,a_2)\}</math> ו <math>B=\{(b_1,b_2)\}</math> (שתיהן קבוצות בנות נקודה אחת) אז <math>A+B = \{(a_1+b_1,a_2+b_2)\}</math>..

2) אם <math>A=\{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(0,x) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> - כלומר <math>A</math> היא ציר <math>x</math> ו <math>B</math> הוא ציר <math>y</math> אז <math>A+B = \mathbb{R}^2</math> כי כל וקטור במרחב הוא צירוף של וקטור מציר <math>x</math> ווקטור מציר <math>y</math>.

3) אם <math>A= \{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}</math> ו <math>B=\{(1,1),(0,-1)\}</math> אז
<math>A+B=\{(x,y) \mid y\in \{1,-1\}\}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:11, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== קבוצות קשירות ==

האם הקבוצה הריקה או קבוצה בעלת איבר אחד היא קשירה?

תשובה: גם הקבוצה הריקה וגם קבוצה בעלת איבר אחד הן קשירות. וזה אפילו די פשוט להראות את זה מההגדרה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:03, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה כללית ==

האם <math>A+B=\empty</math> כאשר <math>A=\empty</math>?

תשובה: כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:52, 5 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

1)אם השאלה שלי נכונה, האם מדובר במטריקות שמושרות על-ידי נורמות-p או שצריך להניח שמדובר בנורמה כללית?
2)הטענה נראית נכונה גם עבור מרחבים מטריים כלשהם, אם כן אז ההגבלה ל-R^k נראית מיותרת (זה שאלה/הערה)
תודה

תשובה:

1) אני אגיד שוב, כשלא מצויינת מטריקה במפורש הכוונה למטריקה האוקלידית הסטנדרטית.

(כמובן היות וכל המטריקות <math>||\quad||_p</math> שקולות אליה, שימוש בהן יביא תמיד לאותה תוצאה)

2) כן, הטענה נכונה לכל מרחב מטרי (אפילו לכל טופולוגיה), מי שרוצה להוכיח בצורה כללית יותר, רשאי (אני לא ראיתי צורך לסבך אתכם).

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:38, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3, שאלה 5 (תהייה) ==
האם הנורמה האוקלידית היא יותר מאשר הרכבת פונקציות אלמנטריות?
במידה שלא, האם יש לעשות יותר מאשר לצטט משפט זה כדי להצדיק את הטענה?

תשובה: האמת היא שאתה צודק. היא הרכבת אלמנטריות ולכן רציפה.

הכוונה היתה שתוכיחו עם <math>\epsilon,\delta</math> (וגם אז זאת שאלה די קלה).

אבל מה שהוגן הוגן, היות ומותר להסתמך על מה שראיתם בהרצאה/תרגול - מספיק להציג אותה כהרכבת אלמנטריות, לצטט את המשפט וזהו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:02, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל4, שאלה3(א) ==

זה לא נובע מרציפות רכיב רכיב? אם כן, אז יכול להיות שהשאלה היא להוכיח רציפות במידה שווה? תודה

תשובה: זה ממש לא נובע מרציפות רכיב רכיב - זה שני דברים שונים.

רציפות רכיב רכיב היא חלוקה לפי הרכיבים של הטווח עבור פונקציות שהטווח שלהן הוא <math>\mathbb{R}^m</math>, כאן החלוקה היא עבור רכיבים של התחום וזה משהו אחר.

כל כך אחר, '''שהיום גילינו שהטענה בכלל לא נכונה - ואנחנו מורידים את השאלה הזאת מהתרגיל'''. אני מצטער על הטעות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:46, 18 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

האם יכול להיות שישנה טעות בשאלה אני מבינה שהפונקציה חייבת להיות חיובית ולא שווה לאפס אבל ניתן לבחור X ן Y
כרצוני כך שהפונקציה שלי תשאף ל-0.
ולכן לא קיים M גדול ממש מ-0 שהפונקציה תהיה גדולה ממנו כי תמיד אני אוכל למצוא ערך
של הפונקציה שקטן ממנו.
ולא ניתן להוכיח זאת ע"י קומקפטיות כי הפונקציה אינה רציפה על ציר ה-X .

== תרגיל 4, שאלה 2 ==

האם מדובר ב-<math>\mathbb{R}^2</math>?

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-18T21:02:51Z

Jørgen: /* תרגיל4, שאלה3(א) */ פסקה חדשה

שיחה:88-240 תשעג סמסטר א

2012-11-17T18:46:03Z

Jørgen: /* שאלה טכנית */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=
בבקשה לכתוב את השאלות כאן, ולא דרך הפייסבוק. תודה --[[משתמש:Michael|Michael]] 02:35, 7 בנובמבר 2012 (IST)

אתר הקורס מתוחזק ע"י פרופ' שיף. הוא מחליט מתי להעלות פתרונות --[[משתמש:Michael|Michael]] 15:01, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== 4 א תרגיל 2 ==

אני חושב שגם 0=n פתרון
: אתה צודק, אבל אני חושב שהכוונה בפתרון הכללי היא לפתרון הרגולרי (זה שמכיל את הקבוע) - כך שזה בסדר. --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:31, 14 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה טכנית ==

האם יש צורך להקפיד לפרט חישובים עבור ביטויים מספריים. למשל, מ-<math>(2 \pi\cos(pi/4)-\sin(\pi/4))(\pi+4)</math>, לכתוב מיד שזה שווה <math>((4+\pi) (-1+2 \pi))/\sqrt2</math>? תודה

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-10T19:40:52Z

Jørgen: /* תרגיל 2, שאלה 4 */

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-10T19:37:35Z

Jørgen: /* תרגיל 2, שאלה 4 */

שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/קבוצה רגילה

2012-11-10T18:10:33Z

Jørgen: /* תרגיל 2, שאלה 4 */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-10T17:06:49Z

Jørgen: /* תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' */

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>. פתיחת חשבון - חינם.

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
*קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =)
*שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==

בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)

::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 4 ==

עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== סילבוס ==

היי ,
איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?

== תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?

(מישהו אחר)
על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-01T18:49:46Z

Jørgen: /* שאלה 3 */

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>. פתיחת חשבון - חינם.

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?

== שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.

שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

2012-11-01T18:45:21Z

Jørgen: /* שאלה 3 */ פסקה חדשה

[[קטגוריה:88211]]
זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא [[88-211 תשעג סמסטר א|בדף הראשי]] של הקורס.

== הנחיות ==

# כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
# אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
# חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "<nowiki>~~~~</nowiki>. פתיחת חשבון - חינם.

== תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== שאלה ==

תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.

::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==

האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''

רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?

== שאלה 3 ==

האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? תודה.