Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-05-09T14:12:59Z

Naftali: /* הבוחן - דרך ניקוד */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=
== למה לא לומדים כלום? ==

הקצב הוא בערך רבע ממה שהיה בסמסטר א'. זה ישאר ככה?
:כרגע אין תרגול. ואולי זה נראה לאט כי חקירת פונקציות נראית ברורה. בכל אופן נושאי הקורס מופיעים (פחות או יותר) במערך התרגול --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מי המתרגילים של הקורס הזה? ==

תודה
:כך נכתב באתר האוניברסיטה (פריא"ל ומידע אישי):
::בקבוצה של פרופ' אגרנובסקי: ארז שיינר ואורפז תורג'מן.
::בקבוצה של ד"ר שיין: ארז שיינר.
::בקבוצה של ד"ר הורוביץ: מתן פתאל.
:מקווה שעזרתי. [[משתמש:gordo6|גל]].

== שאלה 2.ב. עמ' 291 במיזלר ==

צ"ל:<math>\int \frac{dx}{e^{2x}+e^{x}-6}</math>. אפשר עזרה? פירקתי לשברים חלקיים ואין לי מושג מה הלאה
:הייתי מכפיל את המונה והמכנה ב-e^x, ואז מציב t=e^x. אחרי זה הייתי משתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים וממשיך כרגיל, ואז זה הרבה יותר קל. מקווה שעזרתי. [[משתמש:Gordo6|גל]].
תודה על העזרה... יצא תרגיל ארוך :P

== יש בסוף בוחן שבוע הבא? ==

לא הבנתי
:נבדוק את העניין --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 תרגיל 1 ==

נניח <math>f(x)</math> פונקציה מוגדרת על הקטע <math>[a,c]</math>, וקיימת לה פונקציה קדומה בקטעים <math>[a,b];(b,c]</math>. הפונקציה הקדומה של <math>f(x)</math> זה לא: <math>F(x)=\begin{cases}
\int f(x_{1})dx_{1} & \text{ if } x_{1}\in [a,b] \\
\int f(x_{2})dx_{2} & \text{ if } x_{2}\in (b,c]
\end{cases}</math> ?
:באם אענה לך תשובה מלאה לעניין אסגיר את הפתרון לשאלה (לפחות כפי שעולה כרגע בעיני רוחי). ממליץ לבדוק את תכונות הפונקציה בנקודה x=b, והאם הן תתקיימנה לכל פונקציות ולכל קטע שנקח. האם תמיד תתקיים רציפות? האם תמיד תתקיים גזירות? אכוון אותך ואומר לך: מהו תנאי הכרחי לגזירות? מה יקרה אם הוא לא ייתקיים בנקודה מסויימת בקטע? באיזו נקודה זה לא ישפיע על הנתונים? (אם בכלל קיימת כזו). התשובה לשאלה שלך תלויה בתשובה לשאלות אלו. [[משתמש:gordo6|גל]].

== לאיזו קבוצה/ות האתר מיועד(בנושא אינפי 2)? ==

תיכוניסטים, מתמטיקאים, מדמ"ח וכו'...
:כולן--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 3 ==

<math>formula</math>אם אני מבין נכון הפונקצייה שבתוך סימן האינטגרל מקבלת את הערך של X ל-X גדול מ-X בריבוע שזה מתקיים ל-X בין 0 ל-1 ושל X בריבוע כאשר X בריבוע גדול מ-X שזה מתקיים ל-X גדול מ-1 או קטן מ-0.
כדי לקבל פונקצייה שניגזרתה היא הפונקצייה הנ"ל צריך להגדיר שהיא תהיה שווה ל- X בריבוע חלקי 2 לכל X בקטע [0,1] ול-X בשלישית חלקי 3 לכל X שמחוץ לקטע זה.
לפונקצייה זו יש ניגזרת ימנית בנקודה X=1 השווה ל-X בריבוע וניגזרת שמאלית השווה ל-X לכן היא איננה גזירה בנקודה זו. לכן פונקצייה זו אינה יכולה להיות פונקצייה קדומה לפונקצייה הנ"ל.
האם נכון לומר שלפונקציה הנ"ל אין פונקצייה קדומה?
:דבר ראשון, אין זו שאלה בנושא אינטגרלים? מדוע היא בשאלות כלליות?
:שנית, אין כזה דבר "הנגזרת בנקודה אחת היא איקס בריבוע". נגזרת בנקודה היא מספר ממשי, או לא קיימת. ניתן לפי הגדרת הנגזרת (בעזרת גבולות) להוכיח שהפונקציה אינה גזירה אם זה מה שאתה חושב, או להוכיח שהיא כן גזירה (אם זה מה שאתה חושב) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חובת הגשת תרגילים ==

יש חובת הגשה?
:לא--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לאף אחד אין? גם לא למדעי המחשב?
:::אל תתחכמו, אני לא המתרגל שלכם (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== למתי צריך להגיש את התרגיל הראשון? ==

תודה
:שבוע הקרוב או הזה שאחריו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אינפי 1- מערכי תרגול סדרות ==

היי,
כאן שואלים על מערכי התרגול של אינפי 1, נכון?
במידה וכן, במערך התרגול הבא: http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/גבול
בתרגיל לגבי שלילת הגבול העוסק בסדרה (1-) בחזקת n: האם ניתן להימנע מההנחה כי L אי שלילי ע"י שימוש באי שוויון המשולש

::לא...פה זה אינפי 2 D:

::אבל אני אענה לך בכל זאת. הוכחת התרגיל נעשתה בשיטת ההוכחה בשלילה, כלומר - מניחים משהו ואז מראים שבכל מקרה תצא סתירה - כלומר שההנחה שגויה,וזה אומר שהיא לא נכונה.

::אפשר,אך הדרך שבה פתרו מקלה עלינו לפתור. --[[משתמש:Arielipi|Arielipi]] 10:27, 29 במרץ 2012 (IST)

:::אממ..אני לא חושבת שהבנת למה התכוונתי- אין לי בעיה עם העובדה שהניחו בשלילה. יש לי בעיה עם ההנחה הנוספת. ש L אי שלילי. אתה לא חושב שלהפעיל אי שוויון המשולש יותר פשוט מלהניח הנחה נוספת? לדעתי אם מתאפשר אז עדיף.

::::אי שיוויון המשולש ייתן לך ביטוי גדול יותר, אבל אתה מחפש ביטוי קטן יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::::אויש נכון..תודה. אגב, איפה לשאול שאלות על המערכים מעתה והלאה?

::::::האמת שבהתחלה לא הבנתי, ואז הבנתי ולכן השורה השניה שכן מתייחסת למה ששאלת באמת. שאלות בנוגע למערכי תרגול באינפי 1: [[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|כאן.]] אינפי 2: [[שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|כאן.]] --[[משתמש:Arielipi|אריאל]]

== למה אין שיעורי בית? ==

אנחנו לא ניהיה מוכנים לבחנים!!!
:1. יש תרגילים בשנים קודמות, 2. יהיה תרגיל 2 בקרוב, ממילא רק מתחילים את החומר שעוקף את תרגיל 1. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::באמת נראה לך שיתנו בחנים על חומר שלא למדו?
:::אממ..... כן!!! בודאות ההיפך זה עושה להם טוב בלב
::::יין ישמח לבב אנוש, ונכשל ישמח לב אבן של מתרגל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::::LOL, אני לא יודע מה מצחיק יותר: מה שארז כתב או חוסר ההיגיון שבתגובה "באמת...".
::::::השאלה מה קורה עם מתרגל עם לב אבן ששתה יין...
:::::::ההנחה היא שאם לא ציינת אז כלום לא קרה עם נכשלים, ולכן פשיטא שאם מתרגל הוא אנוש אז הוא ישמח.
::::::::אבל לכל בן אנוש לב רגיל, לכן החיתוך בין בני האדם והמתרגלים הוא קבוצה ריקה, לכן מתרגל לא ישמח
:::::::::לא נכון. לא כתוב בשום מקום שלכל מתרגל יש לב אבן, אלא רק שאם למתרגל יש לב אבן, אז...
:::::::::ובאותו אופן, אפילו אם היה כתוב זאת, עדיין טיעונך היה קורס, שכן לא טענו שרק בני אנוש שמחים עקב שתיית יין. לסיכום, אם עברת כבר סדנת לוגיקה, את/ה בבעיה :) [וגם אם לא]

== הוכחת משפט דארבו ==

הוכחנו אותו בכיתה? או שסתם צריך להכיר?

== בחנים ==

מתי ידעו את התאריכים של הבחנים?
צריך לדעת להיערך מראש, לתכנן את הלו"ז, לא יכולים להודיע לנו על הדקה האחרונה

קבעו את הבוחן ליום חמישי ה-3.5 אבל כעת רושמים שזה שבוע אחרי.
יש אפשרות לעשות את זה בכל זאת ביום חמישי הקרוב? שבוע הבא יום חמישי הוא ל"ג בעומר.
:אז מה אם זה ל"ג בעומר? זה בשעה שש בערב שאחרי יום המדורות. התאריך הזה נוח יותר למרבית התלמידים, ולכן הזזנו את הבוחן בשבוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן הבא עלינו לטובה ==

מהם התרגולים עליהם יהיה הבוחן?
האם הנושא של אינטגרלים לא אמיתיים יהיה כלול בבוחן? ועוד נושאים שבאים אחרי האינטגרלים הלא אמיתיים?
מה מבנה הבוחן?

תודה רבה
:הכל כתוב בהודעות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חקירת פונקציות ==

בפונקציה זוגית/אי זוגית, האם ניתן לומר שהפרש אי זוגיות היא אי זוגית? איך 'מוכיחים' אי זוגיות? וכן להיפך לזוגיות.
תודה.
:הכלל הוא פשוט להוכחה והוא גם יענה לך על השאלה. כאשר אתה רוצה לקבוע (להוכיח) שפונקציה הינה זוגית (למשל) אתה מוכיח את ההגדרה- <math>\forall x:f(-x)=f(x)</math>. אתה רוצה לבדוק לגבי סכום? בדוק למה שווה <math>(f+g)(-x)</math>

[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:02, 7 במאי 2012 (IDT)

== הבוחן - דרך ניקוד ==

שלום ארז, היום אמרת לי שיש 10 שאלות וכל אחת היא 15 נקודות. האם צריך להגיע ל150 נקודות בשביל שזה ייחשב כ-100, או ליותר מ-100?
:[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%A2%D7%A8_%D7%A9%D7%9C_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9D תערו של אוקאם] - ההסבר הפשוט ביותר הוא הנכון. יש 10 שאלות... מה היה הניקוד לכל שאלה אם פתרון של כל השאלות מקנה 100 נקודות? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:: 10 (נכון רואים שלמדתי בסמסטר הקודם הרבה?)

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-05-09T11:30:16Z

Naftali: /* הבוחן - דרך ניקוד */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-27T13:41:43Z

Naftali: /* תרגיל 4 שאלה 2 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון| ארכיון 1]]''' - תרגילים 1-2.

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון_1| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3.

=שאלות=

== בתרגיל 4, בשאלה ראשונה 2 שאלות: ==
*-אפשר להניח שהמשתמש מכניס את הוקטור של הטווח באופן שמתאים ל-mesh/surf, כלומר הוקטור יהיה מהצורה [minx,maxx,miny,maxy]?
*-איך אני יכול להכניס בתוך תנאי את העניין שנניח והמשתמש לא הכניס פרמטר מסוים?
: שאלה ראשונה - בניסוח השאלה כתוב שיש להעביר לפונקציה את התחום שבו רוצים להעביר אותה. כלומר, לא צריך להניח שמתמש עושה את זה, אלא יש לממש את הדבר.
: שאלה שנייה - אתה יכול למצוא את זה או ב- help של Matlab או במצגת של תרגול 3, איפה שמדברים על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להעמיס שיטות?
אחרת איך אפשר לא להעביר וקטור לפונקציה?
: על איזה שיטות מדובר? מה הכוונה - להעמיס? אין שום בעיה להעביר וקטור לפונקציה - לדוגמא - sin(x), כאשר x הוא וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:38, 24 באפריל 2012 (IDT)
::הבעיה היא שבשאלה דורשים לטפל במצבים שבו הקלט הוא חלקי, ואי אפשר סתם להתעלם מזה שהפונקציה צריכה לקלוט וקטור (מתקבלת שגיאה). לכן עולה השאלה, אם ניתן להעמיס את פונקציה שצריך לבנות? וזאת על מנת שנוכל לטפל גם במקרה כזה.
::: אנחנו לא כותבים ב C++ אלא במטלב. ראה את ההסבר איך עושים את זה במצגת של תרגול 3, בפרק שמדבר על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:57, 25 באפריל 2012 (IDT)
::::הסתדרתי, אבל צצה שאלה אחרת. באחת התשובות אמרת שאנחנו מקבלים וקטור שמייצג את התחום ואז לממש אותו לוקטור שמתאים לפונקציה, אבל בעצם אנחנו צריכים גם תחום בציר הx וגם בתחום בציר הy. איך העניין הזה מסתדר בעצם? האם הוקטור שאנחנו מקבלים הוא שירשור של שני התחומים? או שאנחנו מקבלים וקטור כפי שאנחנו צריכים לשלוח לezmesh\ezsurf?
::ezmesh/ezsurf מקבל בתחום כל פורמט הגיוני...
::: תממש מה שיותר נוח והגיוני בשלבילך. עדיף שתעשה דומה להגיון שממומש ב- matlab. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:13, 25 באפריל 2012 (IDT)

== לא קשור לשיעורי בית ==

איך אני משנה את השדה שאני רוצה לעבוד אתו?
: איזה שדה? שדה של מה? על מה בדיוק אתה מדבר? קצת הכוונה או דוגמא מאוד תעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)
הכוונה לשדה אלגברי. לדוגמה אם אני רוצה שהחישובים שנעשים יעשו ב<math>\mathbb {Z}_5</math>?
: באופן כללי אין אפשרות כזאת (או שאני לא יודע איך עושים דבר כזה). ספציפית, במקרה של <math>\Z_5</math>, אפשר לעשות כל הפעולות mod 5. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:01, 25 באפריל 2012 (IDT)
מה הבעיה לעשות mod בסוף כל חישוב?
: כיוון שאין לי מושג מה אתה רוצה לעשות, לא יכול לענות האם יש איזושהי בעיה. תסביר מה אתה עושה ומה אתה רוצה לקבל ואשתדל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:15, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4 בכלליות ==

למה נועדו הערכים אלפה וביתא?
: תשחק עם הפרמטרים, תצייר גרפים עבור <math>\alpha, \beta</math> שונים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:03, 25 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

איפה אפשר למצוא את הדוגמה שמסבירה על movie? או שהיא עדיין לא הועלתה?
: תתחיל מ- help של matlab. כמו כן אפשר לראות את הדוגמא שנתתי בתרגול (היא הועלה לאתר שלי). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:02, 25 באפריל 2012 (IDT)
:: הדוגמה שנתת לא כוללת את הפקודה movie2avi. חובה להשתמש בה? אם כן, איך?
::: help movie2avi. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:54, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

הפונקציה מקבלת וקטור?
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
חייבים לפעול על פי ההדרכה?
: באופן כללי כן, אבל תסביר למה אתה מתכוון. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)

צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את התחום?
צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את הפונקציה?
: צריכים להתייחס למקרה שלא מקבלים אף פרמטר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור.
כן אבל הפונקציה מקבלת 3 נתונים ולא וקטור
: כן. פונקציה מקבלת 3 נתונים כאשר אחד מהם וקטור. מה השאלה? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:13, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להניח שהקלט תקין? (בהנחה ויש קלט כמובן)
: כן --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:46, 26 באפריל 2012 (IDT)

== 2 שאלות-על שאלה 4 ==

2 שאלות:
-בשאלה 1:
איך אני אמור לדעת איזה פרמטר המשתמש לא הכניס? כלומר,אני יודע שע"מ לדעת כמה פרמטרים המשתמש הכניס אני משתמש ב-nargin, אבל איך אני אמור לדעת איזה פרמטרים בדיוק הוא הכניס ע"מ לשים איזהשהו defult במקומם?
: אם הסדר הוא: ('function_name('x^2+2*y',[1 2 -1 3],'mesh, אתה רשאי להניח שהסדר נשמר ויכול לא להופיע קלט אחרון, או שני האחרונים או כל שלושתם, אך לא ייתכן שהקלט הראשון לא הועבר כאשר שני ושלישי כן. או, לחילופית, תבדוק איך עובד ביטוי varargin. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:56, 26 באפריל 2012 (IDT)

-בשאלה 2:
יש איזה פונקציה שיוצרת אנימציה, בדומה ל-commet, אבל ב-3D?
: למשל ezplot3. יש עוד כמה. אך אפשר לייצר אנימציה פשוט ע"י שימוש חוזר בפקודות mesh, surf וכו'. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:56, 26 באפריל 2012 (IDT)

תודה:)

== כשאמרתם פרמטר התכוונתם ל1 מנתוני הקלט? ==

כלומר או לפונקציה או לטווח או לserf/mesh?

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

בשאלה 2, נניח והדבורה נמצאת ב9.7
ומתקדמת ב0.5 באותו כיוון
היא תעצר על 10, או תגיע עד 10.2 ושם תעצר?

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-26T14:49:12Z

Naftali: /* תרגיל 4 שאלה 1 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון| ארכיון 1]]''' - תרגילים 1-2.

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון_1| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3.

=שאלות=

== בתרגיל 4, בשאלה ראשונה 2 שאלות: ==
*-אפשר להניח שהמשתמש מכניס את הוקטור של הטווח באופן שמתאים ל-mesh/surf, כלומר הוקטור יהיה מהצורה [minx,maxx,miny,maxy]?
*-איך אני יכול להכניס בתוך תנאי את העניין שנניח והמשתמש לא הכניס פרמטר מסוים?
: שאלה ראשונה - בניסוח השאלה כתוב שיש להעביר לפונקציה את התחום שבו רוצים להעביר אותה. כלומר, לא צריך להניח שמתמש עושה את זה, אלא יש לממש את הדבר.
: שאלה שנייה - אתה יכול למצוא את זה או ב- help של Matlab או במצגת של תרגול 3, איפה שמדברים על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להעמיס שיטות?
אחרת איך אפשר לא להעביר וקטור לפונקציה?
: על איזה שיטות מדובר? מה הכוונה - להעמיס? אין שום בעיה להעביר וקטור לפונקציה - לדוגמא - sin(x), כאשר x הוא וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:38, 24 באפריל 2012 (IDT)
::הבעיה היא שבשאלה דורשים לטפל במצבים שבו הקלט הוא חלקי, ואי אפשר סתם להתעלם מזה שהפונקציה צריכה לקלוט וקטור (מתקבלת שגיאה). לכן עולה השאלה, אם ניתן להעמיס את פונקציה שצריך לבנות? וזאת על מנת שנוכל לטפל גם במקרה כזה.
::: אנחנו לא כותבים ב C++ אלא במטלב. ראה את ההסבר איך עושים את זה במצגת של תרגול 3, בפרק שמדבר על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:57, 25 באפריל 2012 (IDT)
::::הסתדרתי, אבל צצה שאלה אחרת. באחת התשובות אמרת שאנחנו מקבלים וקטור שמייצג את התחום ואז לממש אותו לוקטור שמתאים לפונקציה, אבל בעצם אנחנו צריכים גם תחום בציר הx וגם בתחום בציר הy. איך העניין הזה מסתדר בעצם? האם הוקטור שאנחנו מקבלים הוא שירשור של שני התחומים? או שאנחנו מקבלים וקטור כפי שאנחנו צריכים לשלוח לezmesh\ezsurf?
::ezmesh/ezsurf מקבל בתחום כל פורמט הגיוני...
::: תממש מה שיותר נוח והגיוני בשלבילך. עדיף שתעשה דומה להגיון שממומש ב- matlab. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:13, 25 באפריל 2012 (IDT)

== לא קשור לשיעורי בית ==

איך אני משנה את השדה שאני רוצה לעבוד אתו?
: איזה שדה? שדה של מה? על מה בדיוק אתה מדבר? קצת הכוונה או דוגמא מאוד תעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)
הכוונה לשדה אלגברי. לדוגמה אם אני רוצה שהחישובים שנעשים יעשו ב<math>\mathbb {Z}_5</math>?
: באופן כללי אין אפשרות כזאת (או שאני לא יודע איך עושים דבר כזה). ספציפית, במקרה של <math>\Z_5</math>, אפשר לעשות כל הפעולות mod 5. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:01, 25 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4 בכלליות ==

למה נועדו הערכים אלפה וביתא?
: תשחק עם הפרמטרים, תצייר גרפים עבור <math>\alpha, \beta</math> שונים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:03, 25 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

איפה אפשר למצוא את הדוגמה שמסבירה על movie? או שהיא עדיין לא הועלתה?
: תתחיל מ- help של matlab. כמו כן אפשר לראות את הדוגמא שנתתי בתרגול (היא הועלה לאתר שלי). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:02, 25 באפריל 2012 (IDT)
:: הדוגמה שנתת לא כוללת את הפקודה movie2avi. חובה להשתמש בה? אם כן, איך?
::: help movie2avi. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:54, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

הפונקציה מקבלת וקטור?
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
חייבים לפעול על פי ההדרכה?
: באופן כללי כן, אבל תסביר למה אתה מתכוון. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)

צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את התחום?
צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את הפונקציה?
: צריכים להתייחס למקרה שלא מקבלים אף פרמטר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להניח שהקלט תקין? (בהנחה ויש קלט כמובן)

88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב שאלות ותשובות ארכיון 1

2012-04-24T17:09:39Z

Naftali: /* שאלה 4, סעיפים אחרונים */

== באג במטלב? ==

במטר' A המפלצתית של תר' 2, אני כותב <math>A=A*10,000;</math> והוא מדפיס אותה בכל זאת! למה? איך אמנע את זה? (אני ממש לא מתכוון להדפיס את A)
: למה אתה כותב פסיק? האם התכוונת לנקודה עשרונית? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:47, 17 באפריל 2012 (IDT)
:: אוקיי, כשלא כותבים פסיק זה עובד טוב. כתבתי כדי שיהיה לי קל לקרוא... מה מטלב חשב שרשמתי?
::: אתה כותב תוכנה וצריך להשתמש בכללי השפה שאתה כותב בה. אתה לא יכול להכניס רווחים, פסיקים ומקפים כדי שזה יראה "קריא יותר". משמעות של פסיק היא שרשור פקודות בשורה אחת. לדוגמא: if x<0, disp('imaginary'); end. ליותר פרטים ראה: help PUNCT. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:07, 17 באפריל 2012 (IDT)

== לגבי פונקציה שאני בונה ==

בניתי את הפונ' שבתרגיל 3 שאלה 1 (f1), והיא עובדת מצויין על מספר, אבל כשאני מפעיל אותו על וקטור הוא פשוט עושה את הפונקציה על האיבר הראשון בוקטור..
אני צריך להגדיר לו בפונקציה שאני בונה את העניין עם הוקטורים? (שאם מתקבל וקטור שהוא יעבור מספר מספר)
: השאלה כללית מדי. אפשר לשלוח לי את הקוד ואשתדל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:28, 18 באפריל 2012 (IDT)
בסוף פשוט הייתי צריך להוסיף לולאת for אחת שפשוט מבצעת לי את אותה פעולה על כל איבר בוקטור.. די פשוט סתם הסתבכתי בהתחלה..

== תיקייה נוכחית ==

מה ההבדל בין ה current folder וה- Current Directory?
: באיזה הקשר השאלה? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:29, 18 באפריל 2012 (IDT)
:: כללי על מטלב. יש הבדל? מה זה בדיוק ה-Current Directory?
::: איפה במטלב מצאת את זה. תכוון אותי קצת על מה השאלה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:16, 18 באפריל 2012 (IDT)

== תר' 3 שאלה 1 ==

אפשר לעשות את המקרא והכותרות באשף עצמו, במקום פקודות?
: לא. צריך לעשות בפקודות כפי שלמדנו בתרגול. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:25, 18 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

מזה משקלות??
באופן כללי לא הבנתי את השאלה
: [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%9E%D7%95%D7%A6%D7%A2_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%9C ראה דוגמא כאן]. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:26, 18 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה משוואת האליפסה הכללית? אני לא מבין איך לעשות את התרגיל
: חיפוש בספרים, ב- wikipedia או ב- google יעזור למצוא תשובה לשאלתך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:12, 19 באפריל 2012 (IDT)

אני עדיין לא מבין איזה וקטורים צריכים להציב כדי לקבל גרף של אליפסה ולא פונקציה טריגונומטרית

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

כתוב בהתחלת התרגיל שבמקרה של פלט גרפי יש להדפיס אותו.... יש צורך גם להדפיס את הcomet??
שכן הוא סתם נראה כמו מעגל
: אכן כתוב בתחילת התרגיל: "יש לכלול בפתרונות המוגשים גם פלט גרפי (אם קיים)". --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:09, 19 באפריל 2012 (IDT)
אבל מבחינת comet לא ניתן לראות מה הפונקציה ממש עושה ואין טעם בלהדפיס את הגרף
: למה? לא הבנתי מה בדיוק לא ניתן לראות. אפשר לראות גרף שהתקבל בסוף. נכון שלא ניתן לראות את האנימציה על ציור סטטי, אך אפשר להדפיס מספר גרפים כך מהם יהיה ברור מה בדיוק קורה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:07, 20 באפריל 2012 (IDT)
איך ניתן להדפיס מספר גרפים כך שמהם יהיה ברור מה קורה?

== תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם צריך לחשב את הערך של sin ברדיאנים או במעלות?

== לגבי התרגיל ==

לא הייתי בשיעור התרגול, ורציתי לדעת, האם חוץ מגרפים, כל התרגיל עוסק בחומר חדש?
אני כרגע עובר על המצגת, ורציתי לדעת, כדי לחשב סכומים, יש איזה פונקציה שצריך להשתמש בה (מכניסים איבר כללי נגיד ואת הגבולות של הסיגמה) שמחשבת לבד , או שצריך לעשות את זה ידני, עם לולאות? בשאלה 1 למשל , שאומרים N הוא נתון, הכוונה שהוא עובר כפרמטר לפונקציה? לכל עזרה תתקבל בברכה.
: אתה צריך לעבור גם על מצגות הקודמות ולבדוק איך מסכמים וקטורים ומטריצות ב- matlab.
: אתה לא חייב לכתוב את השאלה הראשונה כפונקציה, אך אם כן כתבת כפונקציה אז N הוא קלט. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 10:51, 20 באפריל 2012 (IDT)

== סכימה במטלאב ==

צריך לולאות? או שיש פונקציה לזה (שעושה סיגמה)?

== תר' 3 שאלה 4 ==

אם אני לא לוקח <math>\alpha,\beta = 1</math> אז לא נראה לי בכלל שאמורה לצאת אליפסה...

== תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם מותר להשתמש בsum?
: אם לא כתוב שאסור להשתמש במשהו ספציפי, אז מותר. אסור להשתמש בדברים שלא למדנו כלל, כגון: עבודה עם מחרוזות, מערכי תאים, פתרונות סימבוליים (אנליטיים). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:57, 20 באפריל 2012 (IDT)

== תר' 3 שאלה 1 ==

מותר להשתמש בפקודה fplot במקום plot? היא נוחה יותר אם כותבים פונקציות. (ובכל מקרה כשמתכנתים באמת במטלב משתמשים בה.)
: אם בשאלה כתוב שיש להשתמש ב- plot, יש להשתמש דווקא ב- plot ולא כל פונקציה אחרת. כשמתכנתים ב- matlab משתמשים במה שהכי מתאים לשאלה. fplot פונקציה נוחה אך קשה מאוד לקרוא לה אולטימטיבית לכל בעיה אפשרית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:03, 20 באפריל 2012 (IDT)
:: כלומר, מכיוון שלא כתוב בשאלה להשתמש בplot, אקח זאת כאישור. במקרה הזה, אם בכל מקרה כתבתי את הפונקציות, נוח יותר להשתמש בfplot, וגם נכון יותר מכל דרך אחרת שאני רואה, שכוללת לולאה. (כי fplot רצה כקוד פנימי ולכן מהירה יותר.)
::: בשאלה 1 אתה בכל מקרה צריך לחשב את הסכום, לכן אני לא רואה שום סיבה לעשות את זה ע"י fplot. אבל אם אתה רוצה, אין בעיה. דרך אגב, זה לא שאתה חוסך בלולאות, אתה פשוט מעביר אותם לפונקציה שלא אתה כתבת. כמו כן, לא כל פונקציה שכתובה במטלב יעילה יותר ממה שאתה כותב. את שאלה 1 אפשר לעשות ללא לולאות כלל. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:45, 20 באפריל 2012 (IDT)

== תר' 3 שאלה 2 ==
לא למדנו על דרך להחזיר שני ערכים מפונק' (בכלל יש דרך?). אפשר להחזיר את <math>[I |v^{t}]</math> מהפונק?
: help function --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:45, 20 באפריל 2012 (IDT)

== למה יוצא לי קו ישר? ==

הפונקציה f2 בשאלה 1(סינוס בריבוע).
יוצא לי קו ישר כשאני שולח לפנוקציה ערכים בין 10 ל 1000, מה אני עושה לא בסדר?
: כיוון שאיני יודע מה אתה עושה, קשה לענות על שאלתך. זה לא אמור להיות קו ישר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:26, 20 באפריל 2012 (IDT)

:אני סבור שזה בסדר. מן הסתם ה'קו' הזה הוא עם שיפוע 0.5. תסתכל על הנוסחא הסגורה של הסכום הזה ב wolfram...
מה מה? wolfarm ? מה זה בדיוק?
יוצא לי קו ישר (לינארי) בפונקציה הזו. לעומת זאת, בפונקציה הראשונה עם ה 1/i דווקא יוצא לי משהו עולה ודועך לאט..
: לא ייתכן שיש קו ישר. אולי זה נדמה כך כי המספרים גדולים. תסתכלו ברזולוציה נמוכה יותר ותתוודאו שזה לא קו ישר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 10:08, 22 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 3 תרגיל 1 ==

אפשר לעשות את הפונקציות עם לולאה?
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 01:05, 21 באפריל 2012 (IDT)

== איך אני עושה אינטוול עם קפיצות? ==

טנקס
: מה זה אינטרוול עם קפיצות? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:35, 21 באפריל 2012 (IDT)
סליחה לא שמתי פסיק באמצע.איך אני עושה אינטרוול,עם קפיצות?
: אודה להסבר מפורט יותר. מספר שאלה, מה אתה רוצה לעשות, מה אפשרויות וכו'. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:11, 21 באפריל 2012 (IDT)
ב4 א אני אמור לעשות את זה עם linspace?וב5 איך אני קובע שגודל ציר הסימטריה יהיה פי משהו מסויים?
: אתה יכול לעשות גם linspace וגם לקבוע צעדים. מה זה 5? יש סה"כ 4 שאלות בתרגיל הבית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 01:56, 22 באפריל 2012 (IDT)

== בעייה בכתיבת פוקנצייה ==

זה תמיד מחזיר לי את הערך של משתנה הפלט של הפונקצייה יש אפשרות למנוע זאת
כלומר כתבבתי func(5)

אז לאחר שזה עושה את מה שהפונקצייה מורה לו הוא כותב ans=5

תודה
: תשלח לי את הפונקציה שלך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:12, 22 באפריל 2012 (IDT)

function [x,i,k] =sigmafreq( n );
k=0;
for i=1:n
k=k+(1/i);
end
x=(0:k
end

ואם אפשר שאלה על הדרך איך את כל הערכים של k כלומר של הלולאה איך אני מכניס לווקטור?

תודה

: לא שמים נקודה-פסיק בסוף השורה של הגדרת הפונקציה. יש לשים נקודה-פסיק בסוף השורה לפני אחרונה. לא הבנתי מה עושה פונקציה זאת ומה היא מחזירה. כמו כן לא הבנתי את שאלתך, תנסה לנסח אותה אחרת. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:02, 22 באפריל 2012 (IDT)

== הסבר על שאלה 2 ==

אם נתעלם רגע מכל השמות הפיזיקליים שאין לי מושג מה הם אומרים. מה שרוצים בשאלה זה: אני מקבל מטריצה 4*N, מכפיל עמודה שנייה בעמודה ראשונה (כפל איבר איבר) ומסכם את הוקטור שיוצא, מכפיל עמודה שנייה ושלישית ועושה את אותו תהליך. את שלושת המספרים מחזיר בוקטור שורה.?
לגבי החלק השני בשאלה ("טנזור האינרציה") - אפשר הסבר מה זה בדיוק (אני לא רואה שום חוקיות בתהליך החישוב)? האם יש דרך שאוכל להיעזר בחלק הראשון שחישבתי בשאלה (הוקטור שורה)?

== אינטרוול = מקטע? ==

לא בטוח שהבנתי מה זה אינטרוול? האם הכוונה למקטע שבו צריך לסרטט את הפונקציה?
ובאיזה קפיצות (בציר ה X) צריך לסרטט את הגרף? האם אני יכול ליצור למשל וקטור 0:4pi ?
ומזה ליצור גרף?

== צריך להכניס קלטים לדוגמא בתרגילים? ==

בשאלה 2 למשל, האם כשאני מגיש מספיק רק לכתוב את הפונקציה, או שצריך גם להכניס דוגמא למטריצה ולהראות את הפלט מהפונקציה שלי? (כלומר, וודאי שאני יכניס קלטים לפונקציה שלי, כדי לבדוק אותה. השאלה היא האם זה צריך להופיע גם על הדף כשאני מגיש)
: כן, תדפיס איזשהו פלט פשוט של 3-4 שורות לכל היותר (במקרה של מטריצה בשאלה 2) --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:14, 22 באפריל 2012 (IDT)

== בוחן ==

מהו מועד של הבוחן? האם הוא מתפרסם באימייל? האם צריך להשתמש בחשבון בחוות מחשבים כדי לבצע את הבוחן?
תודה
: מועד הבוחן תלוי בקצוצת ההרצאה שאתה רשום אליה. למיטב ידיעתי המרצה הודיע על מועדי הבוחן בהרצאה האחרונה. את הבוחן עושים על הנייר, ללא שימוש במחשב. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:05, 22 באפריל 2012 (IDT)

== HOLD ? ==

מה זה אומר ע"י שימוש ב HOLD או לא?
קראתי, ולא הבנתי בדיוק מה הדבר הזה נותן לי.. אפשר הסבר (בעברית)?
בשאלה 3 ב', אני כותב hold on וזה סתם פותח לי חלון גרף ריק. אח"כ אני כותב plot ועושה תהליך דומה לסעיף א', ומקבל את הגרף המבוקש. ככה צריך לעשות? לא הבנתי מה ה hold נכנס פה לתמונה בדיוק..

: קודם כל תקרא help של Matlab.
: בנוסף תנסה לעשות פעולות הבאות:
: figure
: plot(1:20,20:-1:1)
: plot(1:20,1:20)
: ותשווה ל-
: figure
: hold on
: plot(1:20,20:-1:1)
: plot(1:20,1:20)
: --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:16, 22 באפריל 2012 (IDT)

== בקשר לשאלה 2 א) ==

צריך להציג תוכנית ספציפית למטריצה עם n שורות ו-4 עמודות? כלומר אפשר בלולאה ב4 משתנים או למטריצה כללית יותר?
תודה

: לא בטוח שהבנתי נכון את השאלה. במטריצה יש 4 עמודות ומספר לא ידוע (לפונקציה שיש לכתוב) של שורות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:38, 22 באפריל 2012 (IDT)

התכוונתי כדי כל פעם לשמור את הסכום בלולאה של כל וקטור בנפרד עשיתי

k=0;

for i=1:length(v)
k=[v(i,1)*v(i,2)+];
end

אבל לכל וקטור משתנה נפרד זה בסדר או שזה מוגזם?

== תרגיל 3 ==

לא רשום את כמה קטעים אני צריך שיהיו בפנים
: איזה קטעים? בפנים? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:09, 22 באפריל 2012 (IDT)

== בתרגיל 3 שאלה 2 ==

האם זה בסדר שלסעיף הראשון מרכז כובד עשיתי בפונקצייה 4 משתנים
ולסעיף השני 9 משתנים אחרים? האם תקין או טו מאץ'?

== פלט גרפי ==

הכוונה שאני אדפיס את התמונות?
: כן --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:15, 23 באפריל 2012 (IDT)

== שמות לצירים ==

איזה שמות צריך להביא לצירים?
: שמות שמסבירים את הגרף ואת המשמעויות של הצירים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:07, 23 באפריל 2012 (IDT)

== איך משתמשים בputty? ==

בהוראות איך להתחבר מהבית חסר שלב יענו בהתחלה שאני נכנס לחלון השחור הוא מבקש ממני שם משתמש ושאני רושם הוא מבקש סיסמא אבל הבעייה היא שהוא לא נותן לי לכתוב סיסמא.. איך עושים?
: הוא כותב. אתה פשוט לא רואה את זה על המסך. תכתוב את הסיסמא ותלחץ Enter. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:06, 23 באפריל 2012 (IDT)
אהה חח תודה!

== חיסכון בשורות ==

אפשר לעצב רק את הגרפים של 1 ו3א, כדי להראות שאנו יודעים, במקום לעשות המון פעמים "זה ציר x, זה ציר y"?
: לא. וגם לא צריך לכתוב על הצירים "x" ו- "y" בלבד, אלא לתת הגדרות משמעותיות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:29, 23 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4ג וד' ==

אני לא מבין איך פותרים את התרגיל הזה אפשר עזרה בבקשה?

מצטרף, אפשר הסבר?

:בדומה לדוגמא שראיתם בהרצאה 4 בנושא axis (שקף 16). יש להחליף את הפקודה plot ב comet ולשחק עם הפרמטרים (a,b,אלפא וביתא) כדי לקבל את התוצאות הרצויות.
:--[[משתמש:Shimi|Shimi]] 11:41, 24 באפריל 2012 (IDT)

== איך בוחרים אלפא, ביתא, a, b ==

כך שיצא מעגל, ואיך בוחרים את הכיוון (בין אם בכיוון השעון או נגד) של החלקיק? אני לא יודע איזה פרמטר נותן לי שליטה על זה. כנ"ל לגבי מהירות - איך קובעים אותה? השאלה מתייחסת לסעיפים ג' וד', בשאלה אחרונה.

: אם אתה לא מצליח לנתח את הנוסחא אנליטית, אז תפעיל שיטת ניסוי והטעיה כדי לקבל אינטויציה על המתרחש. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:32, 23 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 4, סעיפים אחרונים ==

משהו לא ברור לי.
בסעיף ג' אני צריך שכאשר t=0 , נקודת ההתחלה תהיה 0,1. הבעייה היא שזה בלתי אפשרי: כאשר t=0 . הקוסינוס תמיד 1 (לא תלוי באלפא), ואז זה משאיר לי לבחור את a=0 (שזה לא טוב).
בערך Y , אי אפשר לקבל 1, כי כאשר t=0 סינוס מתאפס ואז y=0 ברגע זה תמיד 0 (לא תלוי ב b ו ביתא).
אז איך משיגים את הנקודה (0,1) ? אין שום ערכים שאפשר להציב ברגע t=0 שיינתו לי את נקודות ההתחלה הזו!..

:צודק בהחלט, טעות הקלדה שלי. תודה שהסבת את תשומת ליבי. נקודות ההתחלה צריכות היו להיות מן הסתם (1,0) לסעיף ג' ו (1,0-) לסעיף ד.
:--[[משתמש:Shimi|Shimi]] 11:37, 24 באפריל 2012 (IDT)

דווקא מצאנו דרך לעשות את זה, בעזרת comet(y,x) במקום comet(x,y)

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-08T15:05:09Z

Naftali: /* תרגיל 2 שאלה 5 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

מה אמורים להגיש בשיעורי בית?

: את הקוד ואת תוצאת הביצוע. אם נדרש הסבר (למשל בשאלה האחרונה), אז גם את ההסבר.--[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:40, 22 במרץ 2012 (IST)

בשיעורי בית בתרגיל 3 כתוב "עשה את אותו חישוב אבל עם format long)
יש צורך לעשות את כל החישובים מחדש עם format long, או שמספיק הסבר מה זה עושה וכמה דוגמאות?

: כתוב שיש לעשות את זה על 3 סעיפים אחרונים בלבד. כן, צריך לעשות את כל שלושת הסעיפים ולא דוגמאות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 11:31, 23 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

האם בהדפסת שורשי המשוואה אני צריך להדפיס גם את הכותרת הנלוות- "אלו שורשי המשוואה בעלת המקדמים הנתונים?" או משהו בסגנון?
או שאין צורך ועלי להדפיס רק את שורשי המשוואה ללא שום כותרת נלוות?

: עדיף שתהיה איזו כותרת שמסבירה מה עשית ומה קיבלת ולא אוסף המספרים ללא הסבר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 11:31, 23 במרץ 2012 (IST)

מה הכוונה בתרגיל 4 לתוצאות "נומריות" בלבד? הרי יש אפשרות לקבל ערך אחר מהמשוואה הזו?

: שלא יהיה כתוב משהו בסגנון:
: <math>=x_1</math>
: <math>2.05</math>
: אלא רק הערך המספרי. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:27, 23 במרץ 2012 (IST)

== איך אני פותר משוואות במתלאב ==

נגיד AX=B או סתם פולינומים
: נלמד את זה בהמשך הקורס. כרגע יש לפתור ללא שימוש בפונקציות מובנות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:28, 23 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 1 סעיף 13 ==

<ltr>exp[ln...]</ltr>

האם הכוונה למספר <math>e</math> כפול הסוגריים או בחזקת הסוגריים?

: פקודת <math>(...)exp</math> מבצעת העלאת e בחזקה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:03, 23 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 2 ==

כשמבקשים להשתמש במשתנים במקום בערכים מספריים. ההאם הכוונה להשתמש במשתנים גם עבור <math>e</math>
<math>ln3</math> <math>\pi</math>?

: כתוב - ערכים מספריים. מה שאתה כותב זה כבר הפעלה של שתי פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:05, 23 במרץ 2012 (IST)

== בהגשת הש"ב ==

צריך להדפיס קובץ סקריפט ואת הפלט בחלון הפקודות, או שאפשר פשוט להדפיס הכל בחלון הפקודות?

: גם קוד וגם פלט. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:33, 24 במרץ 2012 (IST)
::אבל אפשר להדפיס אותם בנפרד?
::: כן, רק שיהיה ברור לאיזו שאלה מתייחסת התשובה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:22, 26 במרץ 2012 (IST)

== הגשת שיעורי בית ==

איך מגישים שיעורי בית האם אני מעתיק את הקוד לword ומדפיס?
: אפשר להדפיס מתוך matlab או דרך כל תוכנה אחרת. יש להגיש הן הקוד, הן התוצאות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:36, 26 במרץ 2012 (IST)

== הגשת הקובץ ==

הפתרון יוצא ארוך מאד, 8-9 עמודים; אפשר בתרגילים הבאים לשלוח את הקובץ, במקום להדפיס?
: לא. אפשר לנסות לצמצם את אורך הפתרון (למחוק שורות ריקות וכו') ולהדפיס משני צידי הדף. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:15, 27 במרץ 2012 (IST)

== אני לא מצליח להפעיל את הvnc. ==

אחרי שאני מכניס את הסיסמה בvnc (שלב 8) מופיע השגיאה "read: connection reset by peer (10054)".
הצלחתי להיכנס לmatlab בעזרת putty לבד אבל פחות נוח לעבוד ככה.

: אם ביצעת את כל השלבים שהיו בהסבר ואתה לא מצליח להתחבר, אני ממליץ שתפנה לאנשי מעבדה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:49, 28 במרץ 2012 (IST)

לי הייתה אותה בעייה.... אבל מתברר שזה היה תלוי בגרסה של vnc שהורדתי. תוריד/י את הגרסה לפני אחרונה שבקישור (VNC Free Edition Viewer for Windows)

זה לא עוזר זה אומר שהסיסמא עדיין לא נכונה.
ובנוסף איך מתחברים לmatlab דרך המחשבים באוניברסיטה?
: אם המחשבים במעבדה, אז להתחבר למחשב. להיכנס ל- Start -> Applications -> planet. לכתוב את השם ואת הסיסמא ולאחר פעולות אלה להקליד matlab.
: מכל מחשב אחר שאינו במעבדה, יש להתחבר לפי אותו האלגוריתם כמו להתחבר מהבית. בכל בעיה עם סיסמא או חיבור מרחוק אנא תפנה לאנשי המעבדה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:55, 28 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

הכוונה שצריך למצוא את המרחק המקסימלי מ-xi ל-yi או בין xi ל-yj כלשהו?
ועוד משהו-בתרגיל 1, סעיף ד'ו-ה', צריך להסתכל על x כ-x אחרי שעשינו עליו את סעיף ג', או x המקורי?

: שאלה 1 - אחרי שנעשה מה שכתוב בסעיף ג'.
: שאלה 5 - יש למצוא את המרחק המירבי בין נקודות: <math>(x_i,y_i)</math> ו- <math>(x_j,y_j)</math>. כל נקודה היא נקודה על המישור.
: --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 11:19, 28 במרץ 2012 (IST)

== הסבר על mod ו rem ==

היי, אשמח לקבל הסבר מפורט על שתי הפונקציות האלה וההבדלים בניהם, במיוחד במספרים שליליים.
: זאת בדיוק השאלה שעלייך לענות ולתת דוגמאות. כל הפירוט נמצא ב- help של Matlab. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:47, 28 במרץ 2012 (IST)

איפה ישנה אפשרות לראות את המצגות שמועברות בתירגול?
: עבור קבוצות תרגול 03, 04, 08 - [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88151/ כאן]. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:05, 28 במרץ 2012 (IST)

האם בתרגיל 1 שאלה 5 מספיק להביר במילים ולתת דוגמא אישית לכל אחת מהפקודות?
: כן, זה בדיוק מה שצריך לעשות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:05, 28 במרץ 2012 (IST)

ובשאלה 2 לא בדיוק הבנתי את הכוונה פשוט להגיד את פנים הסוגררים במשתנים להפעיל עליהם את הפונקוציות?
: להחליף את כל הערכים המספריים במשתנים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:05, 28 במרץ 2012 (IST)

ומה הכוונה בשאלה 4 בבקשה?
: למצוא שורשים של פולינום ריבועי לפי הכללים שמפורטים בשאלה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:05, 28 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל ==

איך ואיפה שומרים את התרגיל? תודה
: זה לא משנה. ההגשה צריכה להיות על הנייר. יש להגיש גם את הקוד וגם את התשובות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:00, 28 במרץ 2012 (IST)

אם הבנתי נכון אני אכתוב על הנייר את כל התשובות לתרגיל? מה ההבדל בין קוד לתשובות?
: קוד - זה פקודות שאתה כותב. תשובות - זה תוצאה של הפקודות. לא כותבים על הנייר, אלא מריצים את זה ב- Matlab. כלומר, יש להדפיס את הפקודות ואת התוצאות שהתקבלו ולא לכתוב אותם ידנית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:51, 28 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 2, שאלה 1 ==

בשאלה 1 סעיפים א' וב', רשום יש "לקבל", האם הכוונה להכניס את התוצאה לתוך וקטור אחר?
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:13, 30 במרץ 2012 (IDT)
מן הסתם בתחילת התכנית אני אמור לכתוב x= לוקטור שכתוב שם.. בסעיפים ג' ו ד' רשום יש לאפס איברים מסויימים, ואז הוקטור "מתקלקל". האם זה בסדר, שהרי התוצאה תשפיע על סעיף ד'. או שאחרי סעיף ג', צריך שוב להכניס לוקטור x את הוקטור המקורי? ואז לעשות את סעיף ד'?

: אם לא כתוב לקבל וקטור חדש, יש לעשות את כל הפעולות על הוקטור המקורי. אפילו אם יש מספר פעולות "מקלקלות" את המקור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:13, 30 במרץ 2012 (IDT)

== שאלה 2 ==

קבל מטריצה c חדשה הכוונה לכתוב השמה לתוך C, או שזה צריך להיות קלט מהמשתמש עם INPUT?
: לא הבנתי את השאלה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:39, 30 במרץ 2012 (IDT)

בסעיפים 3 ו 4, מה זה איברים מינימאליים ומקסימליים,? בסתם מטריצה יש רק איבר מינימאלי ומקסימאלי אחד..
האם הכוונה שאם יש אותו כמה פעמים אז להדפיס את כולם? לכן במטריצה C התשובה תהיה 2 מינימליים (0 ו 0) ו2 מקסימליים ( 8 ו 8) וזה גם הפלט?
: התחילת התרגיל כתוב שכל הפעולות שאתם מתכנתים אמורים לעבוד עם כל מטריצה שהיא (גם גודל וגם תוכן). הנתריצה הנתונה היא להמחשה בלבד. לא כתוב להדפיס את כל האיברים המינימליים, כתוב - כמה כאלה יש. כלומר יש להדפיס רק 2 ולא 0, 0. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:39, 30 במרץ 2012 (IDT)
כן זה יעבוד על כל מטריצה , אבל לצורך התכנית הקוד שלי אמור להדפיס 2 (בלי ערך האיברים עצמם כמובן)?

דבר אחרון, בכל מקום לכל אורך התרגיל, שרשום יש לקבל זה פשוט השמה או עם INPUT?
צריך בכלל להשתמש ב INPUT בתרגיל?
: לא, לא צריך להשתמש ב- input. קבל מטריצה חדשה אומר שצריך לבצע איזושהי פעולה על המטריצה הקודמת ולשמור את התוצאה במטריצה החדשה. לדוגמא - C2 = C1.^3. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:40, 30 במרץ 2012 (IDT)

== בשאלה 6 ב אני אמרו כאילו ליצור ==

תוכנה שתחשב לי בכמה איברים יש את המספר 3? ואיך אני אמור להסביר את התוצאות ב6 א? אני לא לומד הסתברות(תיכוניסט)
: לא צריך לדעת הסתברות כדי להסביר את התוצאה. תריץ את התוכנה מספר פעמים ותחשוב על התוצאה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:42, 30 במרץ 2012 (IDT)

== בהמשך לשאלה 1 ==

כתבת שהמטריצה היא להמחשה בלבד.. ושהקוד צריך לעבוד על כל מטריצה - זה בסדר. אבל בכל זאת האם אני צריך להכניס את המטריצה לתכנית שלי?
כלומר לכתוב c= למטריצה שלך, ו"לעבוד" עליה? כך שיודפסו פלטים למטריצה הזו?
או שצריך לכתוב סתם קוד ללא התייחסות למטריצה הנתונה?
עוד דבר, האם צריך לפתוח קובץ ובו לרשום את הקוד (כלומר לפתוח FIle->new-> m file) או שצריך לכתוב הכל במסך ה"ראשי"? (ואז יודפסו גם פלטים , זה בסדר?)

: תכתוב איפה שזה נוח לך. אם הפלט יודפס אחרי התוכנה, יש לכתוב משהו (למשל בעזרת disp) שנוכל להבין לאיזה סעיף מתייחס הפלט. כן, צריך לעבוד עם המטריצות הנתונות, אך יש לבדוק את העבודה על המטריצות בגודל אחר עם תוכן שונה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:57, 30 במרץ 2012 (IDT)

== משהו לא ברור לי ב שאלה 2 סעיף2 ==

אמרת שהמטריצה C להמחשה, אבל כתוב להחליף את המספר 4 ב 200.
צריך להחליף בכל מקום שיש 4, או פשוט לגשת לאינדקס במטריצה הספציפית C?
כלומר אפשר פשוט לכתוב:
a = c;
a(3,2) = 200
?
או שהכוונה למשהו אחר?
כי אם מדובר על מטריצה כללית לא בטוח שיש 4 במקום הזה

: לא! אסור לפנות לאינדקס מסוים במטריצה הנתונה. אני חוזר ואומר (וזה גם כתוב בתרגיל עצמו) - קוד שאתם כותבים אמור לעבוד על מטריצה C '''כלשהי'''. למדנו איך משתמשים ב- logical indexing וגם בפקודת find. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:17, 30 במרץ 2012 (IDT)

== שאלה 1 סעיפים 11 - 14 ==

בסעיף 11 רשום להפוך את המטריצה לוקטור שורה ואז למחוק מהוקטור שורה איברים. לפי מה שהבנתי צריך "לדרוס" את המטריצה C?
ואז בסעיף 12 רשום שוב להפוך את C לוקטור שורה, אבל כבר עשיתי את זה בסעיף 11, ודרסתי את C.
אחרי זה בסעיפים 13 ו 14 רשום לעשות עוד דברים על המטריצה C, אבל היא כבר לא מטריצה , היא וקטור שורה!
ההעלאה בחזקה בסעיף 14 תחזיר וקטור שורה עם אפסים.. ( כי בסעיף 12 מחקתי את האיברים השונים מ 0)
זה בסדר כל זה?
אפשר במקום אולי לא לדרוס את המטריצה C, אלא בסעיף 11 להפוך את C לוקטור שורה אבל את התוצאה להכניס למשתנה אחר? או שחייבים לדרוס את C עצמה?
: זה בדיוק מה שצריך לעשות. או לרשום את הווקטור המתקבל למשתנה אחר, או להדפיס אותה על המסך ללא שמירה בשום מקום. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:32, 30 במרץ 2012 (IDT)

== שאלה 3 ב' מספרים אקראיים ==

צריך לעשות מטריצת מספרים אקראיים בין 1 ל -1.
איך אפשר לעשות? למדנו rand אבל הוא נותן מספרים אקראיים רק בין 0 ל 1
: לא לכל דבר יש פונקציה מובנית ב- matlab. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:29, 30 במרץ 2012 (IDT)

== בשאלה 2 13 אני צריך למצוא את האיברים שגדולים מ114 ==

ולשים אותם בוקטור?
: וגם לבדוק מהו גודל של הווקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:10, 30 במרץ 2012 (IDT)

== שמתי לב כי מטלאב מעגל נגיד 0.913=0.9127... ==

האם עליי להתחשב במספרים אלו ב6 ב? או לא?
: אני לא מכיר תופעה כזאת. אתה יכול לשלוח לי דוגמא בה מטלב מעגל מספרים על דעת עצמו? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 00:35, 1 באפריל 2012 (IDT)
מטלאב כאילו שומר את הערך המספרי אבל מציג לי אותו אחרי העיגול למשל את המספר הזה 0.162182308193243 הוא כותב לי 0.1622
: ראה את התרגול הראשון וגם משמעות הפקודה format. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:25, 1 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 5 ועוד משהו ==

רק שאני אבין: בשאלה 5 נתונה מטריצה בגודל N*2 כאשר כל שורה מייצגת נקודה? כאשר בעמודה הראשונה ערכי ה X, וערך ה Y בעמודה השנייה?
צריך לחשב עם הנוסחה:d= שורש של( (x1-x2)בריבוע + (y1-y2)בריבוע) ) ?

: כן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:58, 1 באפריל 2012 (IDT)

או שיש לזה פונקציה מובנית שצריך להשתמש בה?

: לא. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:58, 1 באפריל 2012 (IDT)

עוד משהו קטן על שאלה 3 סעיף ב: המטריצה הסופית לאחר השרשור יוצאת גדולה, ולכן המטלב "מחלק" לי את זה ומציג חלק מהמטריצה עמודות מסויימות ואז מתחת מציג עוד עמודות. לכן אני מעדיף לא להדפיס את התוצאה הסופית. אלא רק כותב את הקוד ושם בסוף נקודה פסיק;
עוד דבר בלי קשר: האם חייבים שיצא פלט לאחר כל תרגיל או שמספיק לכתוב את שורות הקוד? פשוט זה לוקח הרבה מקום בהדפסה..

: אל תדפיס מטריצות גדולות. תעשה עריכה לפני ההדפסה - תמחק שורות ריקות מיותרות, תסדר כך שזה יתפוס פחות מקום. אנחנו כן רוצים לראות את התוצאות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:58, 1 באפריל 2012 (IDT)

וגם: האם ניתן להניח שאכן תתקבל מטריצה כזו (N*2) עם הנקודות. ולא תתקבל נגיד, מטריצה גדולה יותר N*3 עם נקודות של 3 קוארדינטות. כי אחרת הפונקציה שלי לא תעבוד, היא בנוייה לעבוד עם מטריצה N*2 ולא יותר. ו- מה קורה כאשר מתקבלת מטריצה עם נקודה אחת בלבד (ואז אי אפשר לחשב מרחק כי אין שתי נקודות), האם ניתן להניח גם שלא תתקבל כזו?

== שאלה 5 לכתוב פונקציה? ==

כתוב לכתוב "תכנית כללית" מה זה אומר?
אפשר לעשות פונקציה שתקבל כארגומנט את רשימת הנקודות וכפלט תחזיר את המרחק הגדול ביותר?
או שצריך ליצור BLANK M FILE ובתוכו לקבל את הנקודות כקלט מהמשתמש?

: איך שזה נוח לך. העיקר שהתוכנה יודעת לעבוד עם קלטים שונים ללא שינוי קוד. מימוש יכול להיות הן פונקציה הן script. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:00, 1 באפריל 2012 (IDT)

== מותר להשתמש בWHILE ובTRY ב7? ==

לא הבנתי?
: כן, מותר. לא רואה צורך להתשמש ב- try. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 16:15, 2 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 6 לא ברורה ==

איך להסביר את התוצאות? הכוונה להסביר למה נבחרו המספרים האקראיים האלו דווקא?
זה קשור להתפלגויות וכל מיני כאלו? זה כתוב במצגת?
בא' אני אמור פשוט לספור כמה איברים במטריצה בין 0 ל 0.3?

: לא צריך להסביר למה נבחרו דווקא איברים האלה ולא האחרים. צריך לדעת מה עושה פקודה rand - היא מחזירה איברים אקראיים בין 0 ל- 1, כך שלכל מספר יש אותו הסיכוי להיבחר.
: זה קשור ל"התפלגויות וכל מיני כאלו", אבל לא צריך לדעת את ההסתברות כדי להסביר את התוצאה (לא מבקשים הוכחות מתמטיות).
: כדי לבדוק נכונות של התוכנה, אני ממליץ להריץ אותה קודם על מטריצות קטנות, כך שאפשר לבדוק את התוצאות ידנית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:16, 2 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 2 סעיף 13 ==

כל מספר בנפרד בוקטור שמקבלים צריך להיות גדול מ 114? צריך לקבל וקטור שורה או עמודה? אם ככה אז מן הסתם במקרה הזה הגודל של הוקטור יצא 0 כי אין שום מספר ב C שגדול מ 114..
: כל איבר צריך להיות גדול מ- 114. לא משנה שורה או עמודה. התוכנה אמורה לעבוד על '''כל''' וקטור/מטריצה, לאו דווקא זה שנתון בשאלה. יש לבדוק את נכונות הביצוע. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 06:47, 3 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 5 ==

מותר להשתמש בmax
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:44, 3 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 7 ==

מותר להשתמש ב inf?
: מותר, למרות שאין צורך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:16, 4 באפריל 2012 (IDT)

== עזרה עם Rand ==

לא ברור לי עדיין איך הפונקציה עובדת.. לא הבנתי מה זה הההתפלגות האחידה הזו. אפשר איזשהו הסבר/הכוונה? ואולי גם רמז למה אנחנו נדרשים לעשות?
: עזרה על פונקציה אפשר למצוא ב- help של מטלב, [http://eecourses.technion.ac.il/matlab/Lectures/Introduction%20to%20Matlab.pdf בספר הזה], במצגות התרגול ועוד. פונקצית rand מחזירה מספרים בין 0 ל-1, כך שלכל מספר יש אותו סיכוי להיבחר. כדי להבין איך עובדים הדברים צריך להתחיל ממטריצות קטנות, להריץ כמה פעמים ולהסתכל על התוצאות. תנסה "לשחק" קצת עם הפקודות עד שלא תפנים איך הן עובדות ואז תעבור לשאלה עצמה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:28, 4 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 2 ==

מותר להשתמש בwhile?
: בשאלות 5-7 - כן. בשאלות 1-4 - לא. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:49, 5 באפריל 2012 (IDT)

== שאלה 6 ב ==

איך אני מוצא כמה פעמים מופיע ספרה 3? לא זכור לי שלמנדו איך ניגשים לספרות של מספר..
ושאתה אומר 4 ספרות הראשונות אתה מתכוון לספרות שמימין לנקודה העשרונית כן?
אשמח לקצת הכוונה! חג שמח!
: נכון, לא למדנו פקודה כזאת (אני גם לא בטוח אם קיימת כזאת). אבל אם הכלים שקיבלתם אתם כן יכולים לגשת לכל ספרה במספר. כן, מדובר בספרות עשרוניות בלבד. חג שמח! --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 15:57, 6 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

אם אני עושה את התוכנה כתוכנה שמקבלת מטריצת 2*N, מותר לי להניח שהקלט תקין, או לעשות IF כדי לוודא זאת? עריכה - כנ"ל גם לגבי כל שאר השאלות (כולל 1-4 בהם מוזכר לא להשתמש בIF)
: בתרגיל זה אפשר להניח כי הקלט תקין. ברור שאפשר להכליל את שאלה 5 לטפל בנקודות במרחב <math>\R^n</math>. אפשר לפתור את השאלה באופן כללי, אך הפתרון עבור מרחב דו-מימדי הינו מספיק . --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 01:35, 8 באפריל 2012 (IDT)

ועבור השאלות האחרות אפשר גם להניח את זה?

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-07T20:43:48Z

Naftali: /* תרגיל 2 שאלה 5 */

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-07T19:12:32Z

Naftali: /* תרגיל 2 שאלה 5 */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-05T11:51:31Z

Naftali: /* תרגיל 2 */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-01-28T16:18:24Z

Naftali: /* אחוז ציון תרגיל */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

=שאלות=

== שאלה כללית ==

אם עבור פונק' מסויימת (f(x מתקיים <math>\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x) = \infty</math>, אז מאיזה סוג הנק' a? אי רציפות סליקה? סוג ראשון?
::שני. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 18 בינואר 2012 (IST)

== שאלה 8 תרגיל 10 ==

בעצם אמור לצאת ע"פ ההוכחה שתמיד יהיה מינימום לפונקציה... אבל מקסימום לא חייב. האם אני טועה? השתמשתי במשפט ויירשטראס השני.
::שים לב שאמרנו מינימום או מקסימום, לכן אין לך שום סיבה להניח שאתה טועה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:20, 14 בינואר 2012 (IST)

אבל כל השאלות האלה מתחכמות... גם השאלה נראת לי מופשטת מאוד. אני לא הצלחתי למצוא דוגמה נגדית, אבל אני לא בטוח שאני צודק... הכוונה למקסימום מקומי?
::הכוונה היתה למינימום ומקסימום מוחלטים. מצד שני האם יכול להיות שלפונקציה ששואפת לאינסוף כשאיקס שואף לאינסוף יהיה מקסימום? מכאן שכנראה מה שאנחנו רוצים זה ...

לגבי זה שהשאלה מופשטת, במבחן יכולות להופיע שאלות מופשטות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:27, 15 בינואר 2012 (IST)

מינימום מוחלט בטוח קיים. מקסימום מוחלט בטוח לא קיים. מקסימום מקומי- בתלות מהפונקציה.

== תרגיל 10 שאלה 3 ==

בסעיף b מותר להשתמש בכך שאם הפונ' שלנו זוגית אז מציאת נקודת אי רציפות מכל סוג שהוא גוררת שגם המינוס של נקודה (-x0) זו היא אותה סוג אי רציפות?
::תובנה יפה. אני הייתי מקבל את זה גם בבוחן. אם אתה תיכוניסט אולי עדיף שגם ארז יגיד אם היה מקבל.
במבחן כמובן עדיף לשאול את המרצה. כמובן שאם ראיתם את הטענה בתרגול או בהרצאה מותר להסתמך עליה.
אם לא ראיתם אז יפה מאד שהסקת את זה לבד. אני מניח שזה נכון שכן ניתן להוכיח שבהנחה שהפונקציה זוגית אז אם קיים גבול באחד האגפים הוא שוה לגבול באגף השני. אני מדבר על השויון: <math>\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to (-a)^{-}}f(x)</math>
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:38, 14 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 7 ==

אפשר לקבל הכוונה לפיתרון??? --[[משתמש:ג.יפית|ג.יפית]] 16:18, 14 בינואר 2012 (IST)

חחח ג. יפית
::משפט ערך הביניים. על איזה פונקציה כדאי להפעיל? על איזה קטע סגור כדאי להפעיל?--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:21, 14 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 10, שאלה 8 ==

יש אולי אפשרות שתתנו או לפחות תאמרו אם קיימת פונקציה שמקיימת תנאי אחד בדיוק? תודה.

:: מה הכוונה "מקיימת תנאי אחד בדיוק"? יש המון פונקציות שמקיימות את תנאי השאלה... למשל: <math>f(x)= x</math> --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:31, 15 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 11 ==

באופן כללי, אני יכול להשתמש במשפט שפונקציה רציפה ומחזורית היא רציפה במ"ש?
או שאני צריך להוכיח אותה? ואם כן, למה לא אמרו לנו כלום לגבי זה (כלומר, למה זה לא מופיע במערכי תירגול)?
:אפשר ונוסיף למערכי התרגול --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 7 תרגיל 10 ==

אפשר להוכיח קיום ע"י תהליך:

א) קודם כל, אם הפונקציה רציפה, ומתקיים התנאי <math>f(0)=f(a)</math> והפונקציה בתחום <math>[0,a]</math>
אזי קיים מינימום ומקסימום בתחום הנתון, כך שלפחות אחד מסוגי נקודות קריטיות אינו נק' קצה.

ב)ניקח את הנק' הקריטית, ע"פ משפט כלשהו (לא זוכר שם), קיימות שתי נקודות בכל סביבה של הנקודה שנבחר, כך שהשיפוע הישר בינהם שווה לנגזרת בנקודה עצמה.ולכן, השיפוע של הישר יהיה שווה ל-0.

ג)ניקח סביבה כלשהי של הנקודה, כך שהקצוות שלה יוצרות ישר עם שיפוע 0.נקרא לקצוות
<math>x_{1}<x_{2}</math>.כל עוד לא מתקיים <math>x_{2}-x_{1}=\frac{a}{2}</math>:
נסמן את הנקודה <math>x_{2}=x_{1}+\frac{a}{2}</math>. נמצא את הנקודה הקרובה מימין שמקיימת<math>x:f(x)=f(x_{2})</math>, ונסמן <math>x_{1}=x</math>.
כיוון שהפונקציה רציפה,התהליך מוגדר היטב.מה שיוצא בסוף זה שקיים כזה <math>x_{1}</math> שמקיים את התנאי.
::לא ברור לי באיזה משפט אתה נעזר. אבל, אין לך שום מידע על גזירות הפונקציה באיזושהי נקודה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:46, 15 בינואר 2012 (IST)

ראיתי משפט כזה איפהשהו, לא זוכר איפה, ולא זוכר שם. אבל בנקודה קריטית תמיד קיימת הנגזרת, והיא שווה ל-0, אלא אם כן יש שם אי רציפות, אבל לפי הנתונים הפונקציה רציפה בכל התחום.אנו משתמשים פה בנגזרת של נקודה קריטית.
::הפונקציה ערך מוחלט רציפה בכל <math>\Bbb R</math> מקבלת מינימום מוחלט ב0 אבל לא גזירה ב0. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:16, 16 בינואר 2012 (IST)

:::זה נחשב כנקודה קריטית? אבל בכל מקרה, פונקציה זו לא מקיימת את תנאי הבעיה אז לא ניתן להביא אותה כדוגמה נגדית להוכחה שלי.חוץ מזה, הכוונה שלי הייתה למצוא שתי נק' שהישר בינהם מקביל לציר ה-X ולא לנקודה קריטית. אפילו אם יש נק' קיצון שהיא "שבירה" של הפונקציה, אז האלגוריתם עובד.

::::העובדה שלא ניתן למצוא דוגמא נגדית לתרגיל, נובעת מזה שהוא נכון. לעומת זאת, הדוגמא בוודאי סותרת את ההנחה שאתה משתמש בה לפיה הפונקציה גזירה. אתה הגדרת כי קיימת נקודה קריטית, כאשר התכוונת לנקודת מקסימום או מינימום. עקרונית ההוכחה הזו אינה תקיפה כי היא מניחה נתון שלא קיים - גזירות הפונקציה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אפשר להשתמש בשיעורי בית שפונקציה שרציפה במש במספר ==

סופי של קטעים אזי היא רציפה באיחוד של הקטעים?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הרחבה לאריתמטיקה ==

ניסיתי לשווא להוכיח עפ"י הגדרה ש<math>lim a_n^{limb_n}=lim a_n^{b_n}</math> (כאשר הגבולות קיימים). איך עושים את זה? (או מפריכים)
:: לאחר שתלמדו על פונקציות רציפות ותוכיחו שפונקצית ln רציפה, התשובה לשאלה תהיה יותר ברורה.
--[[משתמש:מני ש.|מני]]

== אתם יכולים לתת לי רמז איך להוכיח ==

ששורש X היא פונקציה רציפה במש בקטע (0,1)תודה

:היא רציפה בקטע הסגור גם... משפט קנטור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::סליחה התבלבלתי קודם איך אני מוכיח את זה לקטע הפתוח מ0 עד אינסוף?
:::
תחלק לקטעים גדול מאחד וקטן מאחד--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== להוכיח לפי הגדרת היינה תרגיל 8 מדמח ==

בשאלה 1 צריך להוכיח לפי הגדרה.
בסעיפים א-ד אפשר להוכיח לפי ההגדרה של היינה, פשוט לוקחים
סדרה כלשהי Xn ששואפת ל-X0 ואומרים שלכל סדרה כזאת אם מפעילים עליה את הפונקציה f(xn), הגבול של זה באינסוף
הוא L. זו הוכחה טובה? במקרה כזה האם יש חובה להשתמש ההגדרה של קושי?
בסעיף ה חייבים להשתמש בהגדרת קושי.

:אני חושב שהכוונה שם זה להגדרת קושי ולא היינה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 11 שאלה 7 ==

אפשר לקבל איזשהי הכוונה או איזשהו ספויילר??
::השאלה ופתרונה מזכירים מאד שאלה מתרגיל 10. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:54, 21 בינואר 2012 (IST)

== סתם שאלה ==

אני שואל מבחינה אינטואיטיבית על איך נראה גרף של פונקציה שאינה רבמ"ש בקטע מסוים.
יכול להיות שמדובר בעליות (וירדות) חדות או מהירות...?

::אינטואיטיבת קצת קשה לראות... אבל למשל <math>x^2</math> היא לא רבמ"ש על הישר הממשי... וזה (ממש אינטואיטיבית) בגלל העליה היחסית חדה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:10, 21 בינואר 2012 (IST)

תודה.

== תרגיל 11 ==

האם המשפט שלמדנו על פונק' מחזוריות שרציפות בכל <math>\mathbb R</math> תופס גם אם הפונק' מוגדרת בקטע כלשהו(ולא בכל <math>\mathbb R</math>)? תודה.
:מה הכוונה? הרי פונקציה רציפה על קטע סגור רציפה שם במ"ש. אם אתה משכפל את הפונקציה על כל ציר הממשיים, היא עדיין תהא רציפה במ"ש. אם תשכפל רק לצד אינסופי אחד, זה עדיין יהיה נכון. לגבי קטע סופי, שוב היא תהיה רציפה בקטע הסגור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 10 שאלה 1ב ==
אפשר לבחור פשוט x^3, נכון?

::אפשר... רק מדוע זה יותר פשוט מסינוס? :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 13:11, 22 בינואר 2012 (IST)
:::כי לא הוכחנו שסינוס מקיים את הדרישה הזאת (וגם לא את הנוסחה של חיבור בשביל הוכחת הרציפות).
::העובדה שפונקצית סינוס היא אי זוגית אמורה להיות מוכרת עוד מהתיכון. כמו כן היא אחת מהפונקציות האלמנטריות שעליהן ידוע שהן רציפות בתחום הגדרתן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:16, 22 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 2 ==

צריך לבחור <math>min(\delta,\alpha)</math>, נכון? (זה מובלע בסוף התשובה)
::<math>\alpha</math> עושה את העבודה לבד. לא צריך לקחת מינימום. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:09, 22 בינואר 2012 (IST)

== הרחבה לתרגיל 10 שאלה 1 ==

תהי <math>f</math> כך ש <math>\exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq c\rightarrow f(c+x)=-f(c-x))</math>.

אני טוען שאם <math>f</math> רציפה ב-<math>c</math>, אזי <math>f(c)=0</math>.

הפתרון שלי הוא להגדיר פונ' <math>g</math> ע"י <math>\forall x \in \mathbb{R}:g(x)=f(x+c)</math> ולהשתמש במה שהוכחנו.

השאלות שלי: האם הפתרון נכון? איך מוכיחים את זה עם סדרות?
::האם לא התכוונת דווקא <math>\exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq 0\rightarrow f(c+x)=-f(c-x))</math>?. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:12, 22 בינואר 2012 (IST)
:::כן, נכון.
:: הפתרון נכון. אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g.
::שהרי g רציפה ב0 וכמו כן <math>g(x)=-g(-x)</math> לכל x השונה מאפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 23 בינואר 2012 (IST)
:::"אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g" איך זה יכול להיות אם הן אפילו לא בהכרח שואפות לc?
:: נראה לי שלא הובנתי. במילים "השאלה המקורית" הכוונה שלי היתה לשאלה 1 מתרגיל 10. אין צורך שהסדרות ישאפו לc אלא לאפס. כל הרעיון להגדיר את הפונקציה g הוא כדי שאפשר יהיה לעבור מדיון ברציפות בc לרציפות באפס. שבה דנים בשאלה 1 תרגיל 10. מסיקים לגבי g ש
<math>g(0)=0</math> וממילא אפשר לקבל מה שצריך בבעיה המורחבת --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:45, 24 בינואר 2012 (IST)

== [מדמ"ח] תרגיל 9 שאלה 1ז ==

הפונקציה מכילה שורש של x-7 ולכן עבור כל x < 7 הפונקציה לא מוגדרת כלל. האם זה נחשב אי רציפות מסוג שני עבור כל x < 7?
(בלי קשר לעובדה שצריך לבדוק את הנקודות 2 ו 2- כי גם בהם הפונקציה בעייתית).
:בנקודות בהן אין סביבה בה הפונקציה מוגדרת, אין גבול ולכן זה מין שני. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הגבלת האפסילון ==

איך מוכיחים שבקריטריון קושי ובהגדרת הגבול מספיק להראות לכל אפסילון רציונלי?

:יהי <math>\epsilon'>0</math> בודאות קיים <math>\epsilon</math> רציונלי הקטן מ<math>\epsilon'</math>. מכאן...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:05, 23 בינואר 2012 (IST)

::אז אפשר גם להרחיב את הטענה: (סטייל מבחן העיבוי) תהי <math>{a_n}</math> חיובית ממש (אפילו לא צריך יורדת) כך ש<math>\lim_{n \to \infty }a_n=0</math>.

::אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> קיים דלתא כך ש... הערך המוחלט קטן מ<math>a_n</math>, אז הגבול של הפונק' קיים ושווה <math>L</math>. האם הטענה נכונה? (זה משפט די מגניב ^_^)
:: לא הבנתי מהי הטענה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:13, 24 בינואר 2012 (IST)

== בוחן תיכוניסטים 4 ==

מתרגלים יקרים, מהו החומר לבוחן הרביעי של התיכוניסטים ב - 29/1 מבחינת תרגילים ומבחינת תרגולים? תודה רבה מראש
:תרגילים 10-12, תרגולים: כל מה שנחוץ על מנת לפתור את תרגילים 10-12 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ציון תרגיל סופי ==

אם עשיתי את כל 3 הבחנים שהיו ויש לי בסה"כ 99, האם זה נחשב 99 בציון תרגיל, או שזה 99/108?
:זה 99 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה!

== התרגיל ברבמ"ש שלא הצלחנו בתירגול ==

היינו צריכים להוכיח ש<math>f(x)=xlnx</math> אינה רבמ"ש בחלק החיובי של ציר הx.

חשבתי על פתרון (כי עדיין לא העלו אחד), לפי ההגדרה עצמה.

ברמת העיקרון שצריך להוכיח שקיים <math>\varepsilon</math> אבל זה עובד לכל אחד.

יהי <math>\delta >0</math>, נניח כי <math>1>\delta </math>.

אזי ניקח <math>x_{0}, x_{1}:=x_{0}+\frac{\delta }{2}</math> ונביט בהגדרה:

<math>|f(x_{1})-f(x_{0})|=|(x_{0}+\frac{\delta }{2})ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})-x_{0}lnx_{0}|=|\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})+x_{0}ln\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}|</math>

מתקיים: <math>\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}>1\Rightarrow ln(\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}})>0</math>

ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})\geq \varepsilon </math>

ניקח <math>x_{0}=e^{\frac{2\varepsilon }{\delta }}-\frac{\delta }{2}</math> וסיימנו.

:יפה מאד, העתקתי למערכי התרגול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הגדרנו גזירוּת בקטע סגור? ==

(לפי גזירה מהצד המתאים בקצוות?)
השאלה היא כי בכל המשפטים שמתי לב שלא דורשים גזירות בקטע סגור.

בדומה לרציפות, יש נגזרת מימין ונגזרת משמאל, אך במשפטים שלמדנו צריך שהפונקציה תהיה גזירה בכל נקודה בקטע=כל נקודה תהיה גזירה משני הצדדים, ואם מבטיחים גזירות בקטע פתוח אז בהכרח זה משני הצדדים. (בשונה מקטע סגור)

== גבול קשה ==

שאלה 2 [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/programs/competition/Q/competition_62.pdf פה?]

אינטואיטיבית הסוגריים הם כמו <math>\pi n</math> ולכן הגבול הוא 0. פורמלית?

:אני חושב שפורמלית הגבול הוא 1. אל תשכח/י שהשורש הוא מספר אי רציונלי. תנסה/י עוד קצת, ואם לא תצליח/י אני אפרסם כאן איך פותרים. (רמז: נמצא את גבול הסדרה <math>\sqrt{n^2+n}-n</math>)

::לפי הצבת 100 הגבול הוא באמת 1. ע"י הכפלה בצמוד וחלוקת מונה ומכנה בn מקבלים שהגבול שכתבת שווה חצי. מוסיפים ומחסרים בתוך הסוגריים <math>\pi n</math> ומקבלים ביטוי ששואף ל<math>3\pi/2</math>, ולפי הרכבת רציפות מקבלים הדרוש, לדעתי :)
::איפה נעזרת באי-רציונליות?
זה בדיוק מה שעשיתי (חוץ מזה שהוכחתי גם את התכנסות הסדרה. זה שואף ל1+- לפני הבריבוע, ולכן ל-1), איפה נעזרתי באי-רציונליות? מה זאת אומרת? לא ממש הבנתי את השאלה, אבל אני יכול לומר מה שאני יודע שכן עשיתי: לא יכולתי להשתמש ישר בנוסחה של 0=sin n pi ולכן רציתי להגיע לביטוי שמתכנס לזה. זה למה החסרתי ב-n (לא ככה עליתי על זה אבל זה לא משנה) וככה מצאתי שהביטוי שואף לביטוי אחר שאיתו ניתן להשתמש בנוסחה. מכיוון וזוהי שאיפה, למרות שזה לא בדיוק 0.5 זאת עדיין שאיפה בשונה משורש של מספר לא ריבועי.

== פתרון תר׳ 10 שאלה 3ב ==

ה0= בפתרון לx=1 הוא טעות, נכון?

כנראה שאתה צודק. כי:
1.צריך להוכיח שאותו גבול לא קיים.
2.הגבולות החד צדדיים הם 1,1-.

== אחוז ציון תרגיל ==

הציון תרגיל מהווה 10% או 20% מהציון הסופי?

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-01-25T17:25:13Z

Naftali: /* ציון תרגיל סופי */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2| ארכיון 2]]

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 3| ארכיון 3]]

=שאלות=

== שאלה כללית ==

אם עבור פונק' מסויימת (f(x מתקיים <math>\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x) = \infty</math>, אז מאיזה סוג הנק' a? אי רציפות סליקה? סוג ראשון?
::שני. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 18 בינואר 2012 (IST)

== שאלה 8 תרגיל 10 ==

בעצם אמור לצאת ע"פ ההוכחה שתמיד יהיה מינימום לפונקציה... אבל מקסימום לא חייב. האם אני טועה? השתמשתי במשפט ויירשטראס השני.
::שים לב שאמרנו מינימום או מקסימום, לכן אין לך שום סיבה להניח שאתה טועה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:20, 14 בינואר 2012 (IST)

אבל כל השאלות האלה מתחכמות... גם השאלה נראת לי מופשטת מאוד. אני לא הצלחתי למצוא דוגמה נגדית, אבל אני לא בטוח שאני צודק... הכוונה למקסימום מקומי?
::הכוונה היתה למינימום ומקסימום מוחלטים. מצד שני האם יכול להיות שלפונקציה ששואפת לאינסוף כשאיקס שואף לאינסוף יהיה מקסימום? מכאן שכנראה מה שאנחנו רוצים זה ...

לגבי זה שהשאלה מופשטת, במבחן יכולות להופיע שאלות מופשטות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:27, 15 בינואר 2012 (IST)

מינימום מוחלט בטוח קיים. מקסימום מוחלט בטוח לא קיים. מקסימום מקומי- בתלות מהפונקציה.

== תרגיל 10 שאלה 3 ==

בסעיף b מותר להשתמש בכך שאם הפונ' שלנו זוגית אז מציאת נקודת אי רציפות מכל סוג שהוא גוררת שגם המינוס של נקודה (-x0) זו היא אותה סוג אי רציפות?
::תובנה יפה. אני הייתי מקבל את זה גם בבוחן. אם אתה תיכוניסט אולי עדיף שגם ארז יגיד אם היה מקבל.
במבחן כמובן עדיף לשאול את המרצה. כמובן שאם ראיתם את הטענה בתרגול או בהרצאה מותר להסתמך עליה.
אם לא ראיתם אז יפה מאד שהסקת את זה לבד. אני מניח שזה נכון שכן ניתן להוכיח שבהנחה שהפונקציה זוגית אז אם קיים גבול באחד האגפים הוא שוה לגבול באגף השני. אני מדבר על השויון: <math>\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to (-a)^{-}}f(x)</math>
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:38, 14 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 7 ==

אפשר לקבל הכוונה לפיתרון??? --[[משתמש:ג.יפית|ג.יפית]] 16:18, 14 בינואר 2012 (IST)

חחח ג. יפית
::משפט ערך הביניים. על איזה פונקציה כדאי להפעיל? על איזה קטע סגור כדאי להפעיל?--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:21, 14 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 10, שאלה 8 ==

יש אולי אפשרות שתתנו או לפחות תאמרו אם קיימת פונקציה שמקיימת תנאי אחד בדיוק? תודה.

:: מה הכוונה "מקיימת תנאי אחד בדיוק"? יש המון פונקציות שמקיימות את תנאי השאלה... למשל: <math>f(x)= x</math> --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:31, 15 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 11 ==

באופן כללי, אני יכול להשתמש במשפט שפונקציה רציפה ומחזורית היא רציפה במ"ש?
או שאני צריך להוכיח אותה? ואם כן, למה לא אמרו לנו כלום לגבי זה (כלומר, למה זה לא מופיע במערכי תירגול)?
:אפשר ונוסיף למערכי התרגול --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 7 תרגיל 10 ==

אפשר להוכיח קיום ע"י תהליך:

א) קודם כל, אם הפונקציה רציפה, ומתקיים התנאי <math>f(0)=f(a)</math> והפונקציה בתחום <math>[0,a]</math>
אזי קיים מינימום ומקסימום בתחום הנתון, כך שלפחות אחד מסוגי נקודות קריטיות אינו נק' קצה.

ב)ניקח את הנק' הקריטית, ע"פ משפט כלשהו (לא זוכר שם), קיימות שתי נקודות בכל סביבה של הנקודה שנבחר, כך שהשיפוע הישר בינהם שווה לנגזרת בנקודה עצמה.ולכן, השיפוע של הישר יהיה שווה ל-0.

ג)ניקח סביבה כלשהי של הנקודה, כך שהקצוות שלה יוצרות ישר עם שיפוע 0.נקרא לקצוות
<math>x_{1}<x_{2}</math>.כל עוד לא מתקיים <math>x_{2}-x_{1}=\frac{a}{2}</math>:
נסמן את הנקודה <math>x_{2}=x_{1}+\frac{a}{2}</math>. נמצא את הנקודה הקרובה מימין שמקיימת<math>x:f(x)=f(x_{2})</math>, ונסמן <math>x_{1}=x</math>.
כיוון שהפונקציה רציפה,התהליך מוגדר היטב.מה שיוצא בסוף זה שקיים כזה <math>x_{1}</math> שמקיים את התנאי.
::לא ברור לי באיזה משפט אתה נעזר. אבל, אין לך שום מידע על גזירות הפונקציה באיזושהי נקודה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:46, 15 בינואר 2012 (IST)

ראיתי משפט כזה איפהשהו, לא זוכר איפה, ולא זוכר שם. אבל בנקודה קריטית תמיד קיימת הנגזרת, והיא שווה ל-0, אלא אם כן יש שם אי רציפות, אבל לפי הנתונים הפונקציה רציפה בכל התחום.אנו משתמשים פה בנגזרת של נקודה קריטית.
::הפונקציה ערך מוחלט רציפה בכל <math>\Bbb R</math> מקבלת מינימום מוחלט ב0 אבל לא גזירה ב0. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:16, 16 בינואר 2012 (IST)

:::זה נחשב כנקודה קריטית? אבל בכל מקרה, פונקציה זו לא מקיימת את תנאי הבעיה אז לא ניתן להביא אותה כדוגמה נגדית להוכחה שלי.חוץ מזה, הכוונה שלי הייתה למצוא שתי נק' שהישר בינהם מקביל לציר ה-X ולא לנקודה קריטית. אפילו אם יש נק' קיצון שהיא "שבירה" של הפונקציה, אז האלגוריתם עובד.

::::העובדה שלא ניתן למצוא דוגמא נגדית לתרגיל, נובעת מזה שהוא נכון. לעומת זאת, הדוגמא בוודאי סותרת את ההנחה שאתה משתמש בה לפיה הפונקציה גזירה. אתה הגדרת כי קיימת נקודה קריטית, כאשר התכוונת לנקודת מקסימום או מינימום. עקרונית ההוכחה הזו אינה תקיפה כי היא מניחה נתון שלא קיים - גזירות הפונקציה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אפשר להשתמש בשיעורי בית שפונקציה שרציפה במש במספר ==

סופי של קטעים אזי היא רציפה באיחוד של הקטעים?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הרחבה לאריתמטיקה ==

ניסיתי לשווא להוכיח עפ"י הגדרה ש<math>lim a_n^{limb_n}=lim a_n^{b_n}</math> (כאשר הגבולות קיימים). איך עושים את זה? (או מפריכים)
:: לאחר שתלמדו על פונקציות רציפות ותוכיחו שפונקצית ln רציפה, התשובה לשאלה תהיה יותר ברורה.
--[[משתמש:מני ש.|מני]]

== אתם יכולים לתת לי רמז איך להוכיח ==

ששורש X היא פונקציה רציפה במש בקטע (0,1)תודה

:היא רציפה בקטע הסגור גם... משפט קנטור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::סליחה התבלבלתי קודם איך אני מוכיח את זה לקטע הפתוח מ0 עד אינסוף?
:::
תחלק לקטעים גדול מאחד וקטן מאחד--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== להוכיח לפי הגדרת היינה תרגיל 8 מדמח ==

בשאלה 1 צריך להוכיח לפי הגדרה.
בסעיפים א-ד אפשר להוכיח לפי ההגדרה של היינה, פשוט לוקחים
סדרה כלשהי Xn ששואפת ל-X0 ואומרים שלכל סדרה כזאת אם מפעילים עליה את הפונקציה f(xn), הגבול של זה באינסוף
הוא L. זו הוכחה טובה? במקרה כזה האם יש חובה להשתמש ההגדרה של קושי?
בסעיף ה חייבים להשתמש בהגדרת קושי.

:אני חושב שהכוונה שם זה להגדרת קושי ולא היינה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 11 שאלה 7 ==

אפשר לקבל איזשהי הכוונה או איזשהו ספויילר??
::השאלה ופתרונה מזכירים מאד שאלה מתרגיל 10. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:54, 21 בינואר 2012 (IST)

== סתם שאלה ==

אני שואל מבחינה אינטואיטיבית על איך נראה גרף של פונקציה שאינה רבמ"ש בקטע מסוים.
יכול להיות שמדובר בעליות (וירדות) חדות או מהירות...?

::אינטואיטיבת קצת קשה לראות... אבל למשל <math>x^2</math> היא לא רבמ"ש על הישר הממשי... וזה (ממש אינטואיטיבית) בגלל העליה היחסית חדה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:10, 21 בינואר 2012 (IST)

תודה.

== תרגיל 11 ==

האם המשפט שלמדנו על פונק' מחזוריות שרציפות בכל <math>\mathbb R</math> תופס גם אם הפונק' מוגדרת בקטע כלשהו(ולא בכל <math>\mathbb R</math>)? תודה.
:מה הכוונה? הרי פונקציה רציפה על קטע סגור רציפה שם במ"ש. אם אתה משכפל את הפונקציה על כל ציר הממשיים, היא עדיין תהא רציפה במ"ש. אם תשכפל רק לצד אינסופי אחד, זה עדיין יהיה נכון. לגבי קטע סופי, שוב היא תהיה רציפה בקטע הסגור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 10 שאלה 1ב ==
אפשר לבחור פשוט x^3, נכון?

::אפשר... רק מדוע זה יותר פשוט מסינוס? :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 13:11, 22 בינואר 2012 (IST)
:::כי לא הוכחנו שסינוס מקיים את הדרישה הזאת (וגם לא את הנוסחה של חיבור בשביל הוכחת הרציפות).
::העובדה שפונקצית סינוס היא אי זוגית אמורה להיות מוכרת עוד מהתיכון. כמו כן היא אחת מהפונקציות האלמנטריות שעליהן ידוע שהן רציפות בתחום הגדרתן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:16, 22 בינואר 2012 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 2 ==

צריך לבחור <math>min(\delta,\alpha)</math>, נכון? (זה מובלע בסוף התשובה)
::<math>\alpha</math> עושה את העבודה לבד. לא צריך לקחת מינימום. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:09, 22 בינואר 2012 (IST)

== הרחבה לתרגיל 10 שאלה 1 ==

תהי <math>f</math> כך ש <math>\exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq c\rightarrow f(c+x)=-f(c-x))</math>.

אני טוען שאם <math>f</math> רציפה ב-<math>c</math>, אזי <math>f(c)=0</math>.

הפתרון שלי הוא להגדיר פונ' <math>g</math> ע"י <math>\forall x \in \mathbb{R}:g(x)=f(x+c)</math> ולהשתמש במה שהוכחנו.

השאלות שלי: האם הפתרון נכון? איך מוכיחים את זה עם סדרות?
::האם לא התכוונת דווקא <math>\exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq 0\rightarrow f(c+x)=-f(c-x))</math>?. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:12, 22 בינואר 2012 (IST)
:::כן, נכון.
:: הפתרון נכון. אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g.
::שהרי g רציפה ב0 וכמו כן <math>g(x)=-g(-x)</math> לכל x השונה מאפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 23 בינואר 2012 (IST)
:::"אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g" איך זה יכול להיות אם הן אפילו לא בהכרח שואפות לc?
:: נראה לי שלא הובנתי. במילים "השאלה המקורית" הכוונה שלי היתה לשאלה 1 מתרגיל 10. אין צורך שהסדרות ישאפו לc אלא לאפס. כל הרעיון להגדיר את הפונקציה g הוא כדי שאפשר יהיה לעבור מדיון ברציפות בc לרציפות באפס. שבה דנים בשאלה 1 תרגיל 10. מסיקים לגבי g ש
<math>g(0)=0</math> וממילא אפשר לקבל מה שצריך בבעיה המורחבת --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:45, 24 בינואר 2012 (IST)

== [מדמ"ח] תרגיל 9 שאלה 1ז ==

הפונקציה מכילה שורש של x-7 ולכן עבור כל x < 7 הפונקציה לא מוגדרת כלל. האם זה נחשב אי רציפות מסוג שני עבור כל x < 7?
(בלי קשר לעובדה שצריך לבדוק את הנקודות 2 ו 2- כי גם בהם הפונקציה בעייתית).
:בנקודות בהן אין סביבה בה הפונקציה מוגדרת, אין גבול ולכן זה מין שני. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הגבלת האפסילון ==

איך מוכיחים שבקריטריון קושי ובהגדרת הגבול מספיק להראות לכל אפסילון רציונלי?

:יהי <math>\epsilon'>0</math> בודאות קיים <math>\epsilon</math> רציונלי הקטן מ<math>\epsilon'</math>. מכאן...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:05, 23 בינואר 2012 (IST)

::אז אפשר גם להרחיב את הטענה: (סטייל מבחן העיבוי) תהי <math>{a_n}</math> חיובית ממש (אפילו לא צריך יורדת) כך ש<math>\lim_{n \to \infty }a_n=0</math>.

::אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> קיים דלתא כך ש... הערך המוחלט קטן מ<math>a_n</math>, אז הגבול של הפונק' קיים ושווה <math>L</math>. האם הטענה נכונה? (זה משפט די מגניב ^_^)
:: לא הבנתי מהי הטענה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:13, 24 בינואר 2012 (IST)

== בוחן תיכוניסטים (משימה בלתי אפשרית) 4 ==

מתרגלים יקרים, מהו החומר לבוחן הרביעי של התיכוניסטים ב - 29/1 מבחינת תרגילים ומבחינת תרגולים? תודה רבה מראש
:תרגילים 10-12, תרגולים: כל מה שנחוץ על מנת לפתור את תרגילים 10-12 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ציון תרגיל סופי ==

אם עשיתי את כל 3 הבחנים שהיו ויש לי בסה"כ 99, האם זה נחשב 99 בציון תרגיל, או שזה 99/108?
:זה 99 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה!

== התרגיל ברבמ"ש שלא הצלחנו בתירגול ==

היינו צריכים להוכיח ש<math>f(x)=xlnx</math> אינה רבמ"ש בחלק החיובי של ציר הx.

חשבתי על פתרון (כי עדיין לא העלו אחד), לפי ההגדרה עצמה.

ברמת העיקרון שצריך להוכיח שקיים <math>\varepsilon</math> אבל זה עובד לכל אחד.

יהי <math>\delta >0</math>, נניח כי <math>1>\delta </math>.

אזי ניקח <math>x_{0}, x_{1}:=x_{0}+\frac{\delta }{2}</math> ונביט בהגדרה:

<math>|f(x_{1})-f(x_{0})|=|(x_{0}+\frac{\delta }{2})ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})-x_{0}lnx_{0}|=|\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})+x_{0}ln\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}|</math>

מתקיים: <math>\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}>1\Rightarrow ln(\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}})>0</math>

ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים <math>\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})\geq \varepsilon </math>

ניקח <math>x_{0}=e^{\frac{2\varepsilon }{\delta }}-\frac{\delta }{2}</math> וסיימנו.

:יפה מאד, העתקתי למערכי התרגול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הגדרנו גזירוּת בקטע סגור? ==

(לפי גזירה מהצד המתאים בקצוות?)
השאלה היא כי בכל המשפטים שמתי לב שלא דורשים גזירות בקטע סגור.

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2012-01-23T17:35:15Z

Naftali: /* ציון תרגיל סופי */ פסקה חדשה

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2012-01-01T20:23:46Z

Naftali: /* תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט) */

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

'''דירוג ביניים:'''

1. עמנואל סגל (11 פתרונות).

2. אלעד איטח (8 פתרונות).

3. נפתלי וקסמן (6 פתרונות).

4. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת ז'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
0 &-6 &6
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &0 &0 &5
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
</math>

<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע למדה. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. <math>dim(V_{2})=3</math>

ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>

[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &1 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math>

א. מצא את הפולינום האופייני של A.
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

[[פתרון 4 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)===

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math> אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענר)===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 \\
0 &0 &4 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

'''עמנואל''': מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון?)

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]

עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיט
על שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ.

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

'''תיקון(עמנואל):''' המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

נפתלי: טוב מה אכפת לי? פרטתי הכל נכון?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

:'''עמנואל:''' אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

נפתלי - לכסנתי את המטריצה. מה אתה רוצה?!

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה
<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0&1 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>
,
<math>B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &1 &0 \\
0 & 0 & 0&0 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>

ענו נכון/לא נכון:

א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math>

ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)===

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)===

מצא את צורת ז'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &0 \\
1& 4 & 0 & 0\\
2& 3& 3 &0 \\
4 & 5 &6 & 3
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)===

תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]

סעיף זה נועד רק לתלמידים שטרם הצטרפו לתחרות (כלומר, לא פתרו שאלות מהמבחנים שבאתר של ד"ר צבאן).
אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST)

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White)===

תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

<math>A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
1 & 0& 3& -1& 0\\
0 & -1& 2& 3& 0\\
0 & 2& -3& 0& 3
\end{bmatrix}</math>

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 21 (Donald L. White)===

מצא את כל צורות ז'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!

א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math>

ב. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> ונתון גם ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21|פתרון (נטע צדוק)]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 4 (Donald L. White)===
Show that every complex non-singular n×n matrix has a square root
פתרון:נעם ליפשיץ [[http://math-wiki.com/images/c/c1/Hanuka.pdf]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 13 (Donald L. White)===
Let A and B be 5×5 complex matrices and suppose that A and B have the same eigenvectors.
Show that if the minimal polynomial of A is (x + 1)2 and the characteristic polynomial of B
is x5, then B3 = 0.
[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 13|פתרון (נעם ליפשיץ)]]

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2012-01-01T20:21:49Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק) */

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

'''דירוג ביניים:'''

1. עמנואל סגל (11 פתרונות).

2. אלעד איטח (8 פתרונות).

3. נפתלי וקסמן (6 פתרונות).

4. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת ז'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
0 &-6 &6
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &0 &0 &5
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
</math>

<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע למדה. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. <math>dim(V_{2})=3</math>

ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>

[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &1 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math>

א. מצא את הפולינום האופייני של A.
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

[[פתרון 4 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)===

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math> אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענר)===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 \\
0 &0 &4 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

'''עמנואל''': מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון?)

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]

עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיט
על שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ.

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

'''תיקון(עמנואל):''' המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

נפתלי: טוב מה אכפת לי? פרטתי הכל נכון?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

:'''עמנואל:''' אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה
<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0&1 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>
,
<math>B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &1 &0 \\
0 & 0 & 0&0 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>

ענו נכון/לא נכון:

א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math>

ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)===

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)===

מצא את צורת ז'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &0 \\
1& 4 & 0 & 0\\
2& 3& 3 &0 \\
4 & 5 &6 & 3
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)===

תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]

סעיף זה נועד רק לתלמידים שטרם הצטרפו לתחרות (כלומר, לא פתרו שאלות מהמבחנים שבאתר של ד"ר צבאן).
אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST)

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White)===

תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

<math>A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
1 & 0& 3& -1& 0\\
0 & -1& 2& 3& 0\\
0 & 2& -3& 0& 3
\end{bmatrix}</math>

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 21 (Donald L. White)===

מצא את כל צורות ז'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!

א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math>

ב. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> ונתון גם ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21|פתרון (נטע צדוק)]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 4 (Donald L. White)===
Show that every complex non-singular n×n matrix has a square root
פתרון:נעם ליפשיץ [[http://math-wiki.com/images/c/c1/Hanuka.pdf]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 13 (Donald L. White)===
Let A and B be 5×5 complex matrices and suppose that A and B have the same eigenvectors.
Show that if the minimal polynomial of A is (x + 1)2 and the characteristic polynomial of B
is x5, then B3 = 0.
[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 13|פתרון (נעם ליפשיץ)]]

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3

2011-12-28T17:16:28Z

Naftali:

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

א. נחשב את הפולינום האופייני של <math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x & 0 & -1 & 0\\
0 & x & 0 & -1\\
-1 & 0 & x & 2\\
0 &-1 & -2 & x
\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}
x & 0 &-1 \\
0 & x &2 \\
-1& -2& x
\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}
0 & -1 &0 \\
x & 0 &-1 \\
-1 & -2 & x
\end{vmatrix}=x(x^{3}-(x-4x))- (-1-(-x^{2}))=x^{4}+3x{^2}+1-x^{2}=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^2=(x-i)^{2}(x+i)^{2}</math> אך בגלל שאנחנו מעל <math>\mathbb{R}</math> לא ניתן לעשות את השלב האחרון, ונקבל כי הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינארים, ולכן למטריצה אין צורת ג'ורדן. מ.ש.ל.

ב. מעל <math>\mathbb{C}</math> נקבל את אותו פולינום אופייני, אך כאפשר לעשות את השורה האחרונה. נמצא את הפולינום המינימלי של <math>A</math>, ונקבל שהוא שווה לפולינום האופייני, ולכן <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
i & 1 & 0 &0 \\
0 & i & 0 & 0\\
0& 0 & -i &1 \\
0& 0 & 0& -i
\end{pmatrix}</math>

את מציאת המטריצה המג'רדנת אני אעשה מחר, צריך ללכת לישון.

זה ארוך מדי לכתוב את זה פה...

אני יכול פשוט להביא את התשובה הסופית וקצת חישובים בדרך בלי לפרט בהכל?

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-28T16:10:14Z

Naftali: /* מטריצה משלשת ומג'רדנת */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שיעורי בית ==

איפה אפשר לראות את שיעורי הבית ?
:בדף התרגילים, כמובן (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה !

== ריבוי של ע"ע ==

איך מוכיחים שריבוי אלגברי של ע"ע גדול מהריבוי הגיאומטרי שלו? (רמז יהיה נחמד)

:אה, נניח שהריבוי הגיאומטרי של ע"ע a הוא r, אזי קיימים r וקטורים בת"ל ששייכים למרחב העצמי של a. נשלים אותם לבסיס B של המרחב שלנו. הפולינום האופייני של מטר' דומות זהה. נסתכל על המטר' (או הע"ל) שלנו לפי בסיס B, יהיה לנו את השורש a לפחות r פעמים, זה נובע מדטרמיננטה של מטריצת בלוקים (ב r עמודות יהיו לנו וקטורים מהצורה a*ei)

== ליכסון מטריצה ==

אמרו לנו בתירגול שניתן ללכסן אופרטור מגודל N על N רק עם יש לנו N איברים עצמיים שונים.

זה נכון גם עבור מטריצה?

זו הייתה ההוכחה הראשונה בהרצאה ביום שלישי O_O

:דבר ראשון, קל לראות באמצעות מטריצות מייצגות שההבדל בין העתקות לינאריות למטריצות הוא זניח. שנית, אין דבר כזה "איבר עצמי" אם הכוונה שלך היא לע"ע אז המשפט שאמרת לא נכון - לדוגמא אופרטור הזהות. אם התכוונת לו"ע המשפט גם לא נכון, הרי קיימים אינסוף ו"ע (על ידי כפל בקבועים). ניתן לדבר על סכום מימדי המרחבים העצמיים שצריך להיות שווה לN ואז יהיה משפט נכון (גם עבור מטריצות). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ליכסון ==

בהרצאה הוכחנו שהמטריצה היחידה שניתנת לליכסון למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה , האם זה אומר שמטריצת היחידה לכסינה או שלא ?

:היא דומה למטריצה אלכסונית ע"י הכפלה ב I מימין ומשמאל... אז מסתמן שכן.

== תרגיל 1 שאלה 1 ==

מה הפירוש של לטרנספורמציה אין ערכים עצמיים שונים - 0 ערכים עצמיים או ערך עצמי אחד?

כן, או שאין ערכים עצמיים או שיש אחד.

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

אפשר רמז או הדרכה לפתרון ?

== מתי מעלים את תרגיל 2 ? ==

?
מצטרף לשאלה

מצטרף לשאלה.

== שאלה ==

ארז שלום,
רציתי לשאול באם תוכל לאפשר לי לשים פה קישור לבלוג שלי שמתעסק בספרות, מידע מדעי וטכנולוגיות. שלחתי לך מיילים אבל כנראה שהמיילים לא הגיעו כי לא ראיתי תגובה. אין בבלוג שלי שום דבר שעובר על זכויות יוצרים. סלבה.

== תרגיל 2 ==

מתי מעלים את תרגיל 2?

== ,תרגילים 2 ו1 ==

מה זה ריבוב? למדנו על ריבוי

זה אותו דבר, ריבוב אלגברי = ריבוי אלגברי, ריבוב גיאומטרי = ריבוי גיאומטרי

== מערכי תרגול ==

האם תוכלו בבקשה להוסיף מערכי תרגול גם ללינארית?

== תשובות לשיעורי הבית ==

למה לא העלו את הפתרון לתרגיל 5 בשיעורי בית 5?
התרגיל היחידי הבעייתי...

== מותר בבוחן להשתמש בהגדרה השנייה של פ"א בלי הסבר? ==

(נוחה יותר כשהכל חיובי)

== אפשר אולגריתם לשילוש מטריצה? ==

תודה

תשובה: נתתי כזה בהוכחה שבהרצאה שלי. אפשר לצלם מאחד התלמידים. בועז

== טעות בפתרון תרגיל 2 שאלה 4 ==

הוציאו קצת לפני סוף הפירוק לגורמים לינארים להוציא (1+ג) {ג=למדה} עשו את הפעולה אך כתבו כאילו הוציאו (1-ג) ואז נוצר ערך עצמי מיותר הפולינום האופייני היה (1+ג)(1-ג)(ג-8) במקום (ג-8)2^(1+ג)

== נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3 ==

הדטרמיננטה של המטריצה <math>\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}</math>

היא: a*e*i+b*f*g+c*d*h-c*e*g-b*d*i-a*f*h

הבודק :)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

בסעיף א', הכוונה לע"ע של A, נכון?
לא למדנו ע"ע של סקלרים ;)

אני חושבת שהכוונה היא ל A^k

== מה זה מרחב -אינווריאנטי ==

והאם הוא יכול להיות שאחד הבסיסים בו ישלח ל0 תודה

== אפשר בבקשה להלעות אלגוריתם לג'רדון מטריצה? ==

תודה

== הודעה חשובה מהבודק ==

נא להגיש תרגילים קריאים!!!
טיוטות לעשות בנפרד ולא בתרגיל המוגש! כמו כן, לא לכתוב את אותה שאלה במקומות שונים - זה מקשה על הבדיקה.

סטודנט שיגיש ש"ב מלאים קשקושים, מחיקות, וטיוטות, עבודתו לא תבדק.

תודה,
הבודק

== צורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית ==

יכול להיות שצורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית לא תהיה בלוק ג'ורדן? שאלה 2 בשאלות האמריקאיות במבחן הזה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2b62ts.pdf

:(לא מתרגל) כל הצורות המוצגות כאופציות הן צורות ג'ורדן.

== טעות נפוצה בשיעורי הבית ==

במהלך תרגיל 4, הופיעה במספר תרגילים הטענה: <math>x</math> ע"ע של <math>A</math> '''אמ"מ''' <math>x^k</math> ע"ע של <math>A^k</math>. מעל שדה <math>F^{n*n}</math>

הראתם בתרגיל 2 את הכיוון שמאל גורר ימין.

הכיוון השני לאו דווקא נכון, ותלוי בשדה!

יתכן כי <math>x^k</math> יהיה בשדה אך <math>x</math> לא יהיה וכתוצאה מזה הוא לא יהיה ע"ע של <math>A</math> בשדה הנ"ל.

לדוגמא,

<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=\pm i</math>

<math>A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=-1</math>

גם <math>A</math> וגם <math>A^2</math> נמצאים ב<math>R^{2*2}</math> וכן <math>x^2</math> נמצא ב<math>R</math>.

אבל, <math>x</math> לא נמצא ב<math>R</math> ולכן הוא אינו ע"ע של <math>A</math> שם.

ולכן, לא ניתן להשתמש בטענה זו בתרגיל 4 שאלה 1 שכן אין אנו יודעים דבר על השדה <math>F</math> הנתון.

הבודק.

:יהי <math>\alpha</math> ע"ע של A אזי <math>\alpha ^{k}</math> ע"ע של <math>A^{k} = 0</math> ולכן <math>\alpha ^ {k} = 0</math> כי 0 הוא הע"ע היחיד של מטריצת האפס... ולכן <math>\alpha = 0</math> וזה הכיוון הראשון.
:[A חייבת להיות לא הפיכה, אחרת <math>A^{k}</math> הפיכה, ובהכרח שונה מ 0, סתירה. לכן קיים צ"ל שמאפס את העמודות של A, ז"א שקיים וקטור v עבורו <math>Av=0</math> וזה אומר ש 0 אכן ע"ע].
:ההוכחה הזו תקפה?

:: ההוכחה הזו אכן תקפה

== הוכחה לאי שוויון המשולש ==

בכיתה משום מה לא הוכחנו את אי שוויון המשולש [המרצה אמר שנחזור לזה] אם מגדירים אורך של וקטור ע"י שורש המכפלה הפנימית.

אז חשבתי על הוכחה אלמנטרית ביותר להוכחת אי-שוויון המשולש: יהיו u,v וקטורים במרחב מכפלה פנימית. נסמן <math>|v|</math> אורך של וקטור v (כדי לקצר את הכתיבה):

<math>0 \leqslant <\frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}, \frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}> = 1+1 - \frac{<u,v>}{|u||v|} - \frac{<v,u>}{|u||v|}</math>

<math>\Rightarrow <u,v> + <v,u> \leqslant 2|u||v| \Rightarrow <u,u>+<u,v> + <v,u> + <v,v> \leqslant <u,u> + 2|u||v| + <v,v> \Rightarrow <u+v,u+v> \leqslant (|u|+|v|)^{2} \Rightarrow |u+v| \leqslant |u| + |v|</math>

קראתי את התרגול ואני לא מבין איך מג'רדנים מטריצה!!
אפשר הסבר טווב ומפורט בבקשה? תודה

מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]

== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==

שאלה 2ג: <math>[T]^K=[T^k]</math>

יהיו S,H הע"ל שהתחום של S הוא הטווח של H אזי <math>[S][H]=[SH]</math> ואינדוקציה

נחמד.

דרך אחרת היא להראות שלכל פול' <math>P</math> מתקיים <math>P[T]_B=[P(T)]_B</math> ובפרט עבור P=t^k. (נכון?)

:איך אתה מוכיח את זה?

::באמצעות מה שניסיתי להוכיח ._.

== הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4 ==

בתרגיל 4, הרבה מכם הניחו שאם <math>A</math> נילפוטנטית אז <math>A</math> היא מטריצה משולשית עם 0 על האלכסון.

הנחה זו '''שגויה'''!.

אמנם, כפי שרבים כתבו, דטרמיננטה של מטריצה נילפוטנטית היא <math>x^n</math> (חלקכם כתב שד"ר קוניאבסקי הוכיח זאת), אז אין זה אומר כלום על טבעה של המטריצה.

לדוגמא, <math>A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}</math> היא נילפוטנטית מסדר 2 (בדקו זאת!) והיא לא בעלת אפסים על האלכסון.

הבודק.

:הם כנראה התכוונו לכך ש-A '''דומה''' למשולשית כזאת, שזה כמובן נכון.

::אם כן, היה צורך לציין זאת או להוכיח את זה. בכל המקרים הנחה זו צוינה כעובדה, ללא נימוק, או הוכחה כלשהי.

== הבוחן ==

על איזה תריגילים הבוחן באינפי וו בלינארית ??

== ציטוט מנתניהו בהשלמה להרצאה ==

מתי הוא אמר את זה?
:"נסיים בציטוט שלא היה". קרא היטב. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]]

חחחחחחח באמת חשבת שנתניהו אמר את זה?? :)

== לא הבנתי את חלק מפתרון תר' 6 ==

תשובה 3C - מה עשו שם עם חישוב חזקות? (למה מותר? האם הכוונה ב"בסיס סטנ'" היא לבסיס הסטנ' של מרחב העמודות, שאנחנו אמורים להבין שהוא אוסף העמודות עצמן?)

תשובה 6 - איפה הוכיחו שקיום גורר <math>M^2=0</math>?

:<math>M=AB, BA = 0</math>

:ולכן <math>M^{2}=ABAB = A0B = 0</math> כי כבר הוכחנו שיש אסוציאטיביות בכפל מטר'

האם כדי להוכיח שעבור ערכים כלשהם המטריצה לכסינה, מספיק לדרוש לאחר שראיתי שהיא מתפרקת לגורמים לינאריים, שמספר הערכים העצמיים השונים הוא כמימד מטריצה, או שצריך להראות בהקשדר של וקטורים עצמיים?

:כן [ואתה לא משתמש במונחים נכון]
::*את. נטע כתבה את זה (ויהיה נחמד אם תתנצל על ההאשמה חסרת השחר שבהמשך - לא אני נדחפתי).

האם כשיש לי שאלה חדשה, אני צריך לכתוב אותה בנושא חדש במקום סתם לשים בשאלה האחרונה? אתם פשוט לא לומדים =.=
(לא שזה משנה כאן, כי המתרגלים במילא לא מסתכלים על הדף הזה.)

:תפתח שאלה חדשה י'מעצבן... [בא לי למחוק את השאלה שלך]

== אוסף בעיות שניתקלתי בהן ולא הצלחתי לפתור ==

-תהיינה <math>N1</math>,<math>N2</math> מטריצות מסדר 3x3 (מעל אותו שדה, כמובן). צריך להוכיח: המטריצות דומות אמ"ם יש להן אותו פולינום מינימאלי.

-השתמש בתוצאה של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא:
תהיינה A,B מטריצות מסדר <math>nxn</math> מעל אותו שדה בעלות אותו פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> ואותו פולינום מינימאלי. הוכח: אם אף <math>a_i</math> אינו גדול מ3 אז, A דומה לB.

-אם A מט' מסדר nxn בעלת פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> מהו <math>tr(A)</math>?
:הוכחנו טענה על מקדמי הפ״א. דרך קלה יותר היא לזכור שtr של מטריצות דומות הוא זהה, ולכן מספיק לחשב עבור צורת ז׳ורדן, לפי המשפט על המעריכים בפ״א.

- תהיינה A,B מט' נילפוטנטיות מסדר 6x6 בעלות אותו פולינום מינימאלי ואותו מרחב אפס. צריך להוכיח שהן דומות ושהדבר לא נכון עבור מטריצות נילפוטנטיות מסדר 7x7.

- השתמש בפתרון של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא: A,B מטריצות מסדר nxn בעלות אותו פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> ופולינום מינימאלי. נניח גם שלכל i הממידים של מרחבי האפס של המטריצות <math>(A-c_iI)</math> ,<math>(B-c_iI)</math> שווים. אם אף <math>d_i</math> אינו גדול מ6, אז A ו-B דומות.

-יהי <math>n\geq2</math> טבעי ותהי מט' A מסדר nxn ונילפוטנטית מסדר n (כלומר <math>A^n=0</math> אבל <math>A^{n-1}\neq0</math>). הוכח שאין מטריצה B מסדר nxn המקיימת <math>B^2=A</math>.

:B^2n=0 אבל B^(2n-2) != 0 הוכחנו כבר שאינדקס נילפוטנטיות של מטר' קטן או שווה ל n, משמע נקבל 2n-1<=n ולכן n<=1 בסתירה לנתון.

== שאלה ==

יש להוכיח שלA, A^-1 יש אותם תמ״ו אינווריאנטיים.

== כמה שאלות: ==

1. בפיתרון של תרגיל 6 שאלה 7 השתמשו במשפט "מספר בלוקי ג'ורדן מגודל 3 הוא <math>\rho (A^2) - 2 \rho (A^3) + \rho (A^4)</math> ". מתי למדנו את המשפט הזה? מותר להשתמש בו? אם לא, איך כן פותרים את התרגיל הזה?

2. אם נתון לי ש- <math>A = A_1\oplus A_2\oplus ... \oplus A_k</math>, אז אני יכול לומר ש- <math>A^s = A_1^s\oplus A_2^s\oplus ... \oplus A_k^s </math> ?

3. אם מבקשים ממני לשלש מטריצה, אני יכול להעביר לצורת ג'ורדן (כי הרי היא משולשית)?

== מטריצה משלשת ומג'רדנת ==

האם אני יכול להשתמש באלגוריתם למציאת מטריצה משלשת במקום האלגוריתם למציאת מטריצה מג'רדנת?

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3

2011-12-27T21:12:51Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "תהי <math>A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ור..."

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-27T20:45:45Z

Naftali: /* אוניברסיטת בר-אילן */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

'''דירוג ביניים:'''

1. נפתלי, עמנואל סגל (5 פתרונות).

2. אלעד איטח (3 פתרונות).

3. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

4. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)===

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]
מצאתי שגיאות בפתרון. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]] 20:57, 26 בדצמבר 2011 (IST)

אילו שגיאות בדיוק?

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת ת"א==

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1

2011-12-27T20:36:37Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 ..."

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

נוכיח כי למטריצות הבאות אותה צורת ג'ורדן, ומזה ינבע שהן דומות זו לזו. נתחיל ב<math>A</math>.

נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>: P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x-1 &-1 &-1 \\
-1 & x-1 & -1\\
-1 & -1 & x-1
\end{vmatrix}=(x-1)^{3}-1-1-((x-1)+(x-1)+(x-1))=x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3) והפולינום המינימלי שלו הוא <math>M_{A}(x)=x(x-3)</math> ולכן צורת הג'ורדן היא <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> שכן מס' הפעמים שמופיע הערך 3 הוא 1, ומספר הפעמים שמופיע הערך 0 הוא 2, אך הבלוק הגדול ביותר של 0 הוא מסדר 1, ולכן קבלנו את המטריצה הנ"ל.

נחשב את הפולינום האופייני של B: <math>P_{B}(x)=x^{2}(x-3)</math> והפולינום המינימלי הוא <math>M_{B}(x)=x(x-3)</math> ולכן נקבל שגם כאן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

ובסה"כ קבלנו שלשתי המטריצות אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. מ.ש.ל.

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-27T20:22:54Z

Naftali: /* אוניברסיטת בר-אילן */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

'''דירוג ביניים:'''

1. נפתלי, עמנואל סגל (5 פתרונות).

2. אלעד איטח (3 פתרונות).

3. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

4. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]
מצאתי שגיאות בפתרון. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]] 20:57, 26 בדצמבר 2011 (IST)

אילו שגיאות בדיוק?

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-27T19:58:46Z

Naftali: /* תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

'''דירוג ביניים:'''

1. נפתלי, עמנואל סגל (5 פתרונות).

2. אלעד איטח (3 פתרונות).

3. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

4. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]
מצאתי שגיאות בפתרון. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]] 20:57, 26 בדצמבר 2011 (IST)

אילו שגיאות בדיוק?

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת ת"א==

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8

2011-12-26T21:29:31Z

Naftali:

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

נסתכל על כל המקרים האפשריים לפולינום המינימלי, ועבור כל מקרה נמצא את צורות הגו'רדן האפשרויות במקרה שלו. נתחיל:

נניח כי הפולינום המינימלי הוא <math>m_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>, אז ישנה צורת ג'ורדן יחידה והיא <math>J_{2}(0),J_{4}(-1),J_{1}(2)</math>

נניח כי הפולינום המינימלי הוא <math>m_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{3}(x-2)</math>, אז ישנה צורת גו'רדן יחידה והיא <math>J_{2}(0),J_{3}(-1),J_{1}(-1),J_{1}(2)</math>

נניח כי הפולינום המינימלי הוא <math>m_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x-2)</math>, אז ישנן שתי צורות ג'ורדן והן <math>J_{2}(0),J_{2}(-1),J_{2}(-1),J_{1}(2)</math> או <math>J_{2}(0),J_{2}(-1),J_{1}(-1),J_{1}(2),J_{1}(2)</math>

נניח כי הפולינום המינימלי הוא <math>m_{T}(x)=x^{2}(x+1)(x-2)</math>, אז ישנה צורת ג'ורדן יחידה והיא <math>J_{2}(0),J_{1}(-1),J_{1}(-1),J_{1}(-1),J_{1}(2),J_{1}(2)</math>

וקבלנו 5 אפשרויות לצורת הג'ורדן. אך ישנן עוד 5 אפשרויות כאלה כאשר החזקה של <math>x</math> היא 1, ולא 2, ולכן מס' האפשרויות לצורת הגו'רדן הוא 10 סה"כ.

נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז צורות הג'ורדן האפשריות הן <math>J_{1}(0),J_{1}(0),J_{2}(-1),J_{2}(-1),J_{1}(2)</math> או <math>J_{1}(0),J_{1}(0),J_{2}(-1),J_{1}(-1),J_{1}(2),J_{1}(2)</math>
ומספר צורות הג'ורדן האפשריות הוא 5.

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-26T21:16:55Z

Naftali: /* תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

'''דירוג ביניים:'''

1. נפתלי, עמנואל סגל (5 פתרונות).

2. אלעד איטח (3 פתרונות).

3. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

4. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

ש: האם שאלה מ'מבחן לדוגמא' נחשבת?

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]
מצאתי שגיאות בפתרון. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]] 20:57, 26 בדצמבר 2011 (IST)

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

==אוניברסיטת ת"א==

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8

2011-12-26T21:16:38Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math> מצא את מס' צורות הג'ו..."

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-26T21:16:06Z

Naftali: /* אוניברסיטת בר-אילן */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

'''דירוג ביניים:'''

1. נפתלי, עמנואל סגל (5 פתרונות).

2. אלעד איטח (3 פתרונות).

3. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

4. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

ש: האם שאלה מ'מבחן לדוגמא' נחשבת?

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי T אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור T.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]
מצאתי שגיאות בפתרון. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]] 20:57, 26 בדצמבר 2011 (IST)

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

==אוניברסיטת ת"א==

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10

2011-12-26T11:20:33Z

Naftali:

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

קודם כל, המטריצה משולשית, ולכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים, ולכן נתנת לג'רדון.

נמצא את הפולינום האופייני של A: <math>P_{A}(x)=(x-1)(x-3)(x-2)^{2}</math>, והפולינום המינימלי הוא יוצא גם הוא אותו דבר. לכן במטריצה המג'ורדנת יש בלוק של הערך 1 מסדר 1, בלוק של הערך 3 מסדר 1 ובלוק של הערך 2 מסדר 2. ומכיון שהמטריצה היא מסדר 4, אין מקום לבלוקים נוספים.

ובסך הכל צורת הג'ורדן של המטריצה היא <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &0 \\
0& 3 &0 &0 \\
0&0 & 2 &1 \\
0 &0 &0 & 2
\end{pmatrix}</math>

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10

2011-12-26T10:02:31Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2 \end{pmatrix}</math>"

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-25T22:38:09Z

Naftali: /* האוניברסיטה העברית */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

'''דירוג ביניים:'''

1. עמנואל סגל (5 פתרונות).

2. אלעד איטח (3 פתרונות).

3. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

4. נפתלי (פתרון 1).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

ש: האם שאלה מ'מבחן לדוגמא' נחשבת?

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר + ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

==אוניברסיטת ת"א==

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5

2011-12-25T22:30:31Z

Naftali:

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

הפולינום האופייני הוא <math>P_{A}(x)=(x-1)^{3}(x-2)</math> (מטריצה משולשית).

בפולינום המינימלי חייבים להיות <math>(x-1)(x-2)</math>. מכיון שמתקיים <math>(A-I)(A-2I)=0</math>, נקבל כי <math>M_{A}(x)=(x-1)(x-2)</math>

כעת נוכיח כי <math>A</math> נתנת ללכסון, ע"י שנוכיח כי צורת הג'ורדן שלה הינה אלכוסנית. ע"פ ההסעיפים הקודמים, הבלוק הגדול ביותר במטריצה הינו מגודל 1X1, ולכן צורת הג'ורדן שלה הינה ללא אחדות מעל האלכסון הראשי, וקבלנו כי צורת הג'ורדן שלה הינה אלכסונית.

האם הפתרון נחשב?

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5

2011-12-25T15:45:27Z

Naftali:

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5

2011-12-25T15:45:12Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "<math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 1 &2 & 0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{pmatrix}</math> מצאו את הפולינום האופייני וה..."

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-25T15:42:08Z

Naftali: /* האוניברסיטה העברית */

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10

2011-12-25T15:19:13Z

Naftali:

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}(\mathbb{C})</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3), m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות.

נוכיח כי לשתיהן אותה צורת ג'ורדן, ונקבל כי הנן דומות עקב כך.

קודם כל, מפני שהמטריצות הנן מעל <math>\mathbb{C}</math>, הן מתפרקות לגומרים לינאריים, ולכן סכום הריבויים האלגבריים הינו סדר המטריצה. לכן <math>A,B\epsilon M_{6}(\mathbb{C})</math>

מפני שנשתמש בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי בלבד, הדברים שנגיד פה יהיו נוכנים לגבי A,B כאחד. אני אשתמש בA בשביל הנוחות בלבד.

נחשב את מטריצת הגו'רדן של A.
<math>J_{A}=\begin{pmatrix}
J_{A}(1) & & \\
& J_{A}(2) & \\
& & J_{A}(3)
\end{pmatrix}
</math> כאשר <math>J_{A}(x)</math> הינו הבלוק בצורת הג'ורדן של A הכולל את כל הבלוקים של הערך העצמי x.

קל לראות כי הבלוק של 3 הוא מגודל 1 ולכן הוא פשוט המטריצה <math>\begin{pmatrix}
3
\end{pmatrix}</math>. לגבי הע"ע 2, הגודל של הבלוק של כל המטריצות של 2, אך הבלוק הגדול ביותר של 2 הוא מגודל 1. לכן זה <math>\begin{pmatrix}
2 &0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}</math> ולגבי 1, הבלוק של כל המטרצות של הערך 1 הוא מגדול 3. אך הבלוק הגדול ביותר של 1 הינו מגודל 2. לכן זה <math>\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix}</math>

ובסה"כ נקבל כי <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
1 &1 & 0 &0 & 0 &0 \\
0 &1 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 & 2 &0 \\
0 & 0 &0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}</math> ומיכון שכל מה שעשינו תקף גם לגבי B, נקבל כי גם <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
1 &1 & 0 &0 & 0 &0 \\
0 &1 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 & 2 &0 \\
0 & 0 &0 &0 & 0 &3
\end{pmatrix}</math> ובה"כ <math>J_{A}=J_{B}</math>

וקבלנו כי A,B דומות.

(מן הסתם יש משפט שאומר שאם הפול' האופייני והמינימלי שווים, אז למטריצות ישנן אותה צורת ג'ורדן. כאן קצת חפרתי...)

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10

2011-12-25T15:17:26Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}(\mathbb{C})</math> שמקיימות <math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3), m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2..."

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-25T15:02:07Z

Naftali: /* האוניברסיטה העברית */

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5

2011-12-25T14:46:06Z

Naftali: יצירת דף עם התוכן "אלו מבין המטריצות הבאות דומות? <math>A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\be..."

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן הנן זהות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.

נתחיל במטריצה הקלה ביותר, <math>D</math>. היא אלכסונית, ולכן <math>P_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> וקל לראות כי גם <math>M_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{D}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

נחשב את צורת הג'ורדן של<math> A</math>: <math>P_{A}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &8 \\
2 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ונקבל כי גם <math>M_{A}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן גם <math>J_{A}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

נחשב את צורת הגו'רדן של<math> B</math>: <math>P_{B}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &0 \\
2 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}</math> כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של <math>B</math>. קל לראות כי <math>M_{B}(x)=(x-2)^{2}</math> (שכן <math>(B-2I)\neq 0</math> ) ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
2 &1 \\
0 &2
\end{pmatrix}</math>

וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של <math>C</math> : <math>P_{C}(x)=\begin{vmatrix}
x-2 &4 \\
4 &x-2
\end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)</math> ולכן גם <math>M_{B}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

ובסה"כ קבלנו כי<math> A\sim C\sim D</math> ו <math>B</math> אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-25T14:16:03Z

Naftali: /* האוניברסיטה העברית */

פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4

2011-12-17T16:22:12Z

Naftali:

נתונות המטריצות <math>A=\begin{pmatrix}
1& 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
, B=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}</math> האם הן דומות? הוכח את טענת.

כן הן דומות. נוכיח שצורת הג'ורדן של שתיהן שווה, ונקבל ש: <math>A=P^{-1}J_{A}P,\; \; B=C^{-1}J_{B}C ,\; \; J_{A}=J_{B} \Rightarrow J_{B}=J_{A}=CBC^{-1} \Rightarrow A=P^{-1}CJ_{A}C^{-1}P \Rightarrow A=(PC^{-1})^{-1}J_{A}(PC^{-1})</math>

נחשב את הפולינום האופייני של A, ונקבל כי <math>P_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}</math> וגם כי הפולינום המינימלי של A שווה לפולינום האופייני ובסה"כ <math>M_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}</math>

במקרה זה, המטריצה הנ"ל מורכבת משני חלקי ג'ורדן (כאשר באחד <math>\lambda =1</math> ובשני <math>\lambda =-1</math>), וכל אחד מהם בגודל 2.

מכיון שבשניהם הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2, נקבל כי צורת הגורדן היא

<math>J_{A}=\begin{pmatrix}
J_{2}(1) & 0\\
0 & J_{2}(-1)
\end{pmatrix}</math>

נעשה אותו הדבר למטריצה B, ונקבל כי יש לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, ולכן <math>J_{B}=\begin{pmatrix}
J_{2}(1) & 0\\
0 & J_{2}(-1)
\end{pmatrix}</math>

וקבלנו כי <math>J_{A}=J_{B}</math>

מ.ש.ל.

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:52:33Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[מדיה:Targil.jpg]] (נפתלי)

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:52:10Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[מדיה:Targil.jpg]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:51:47Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[מדיה:Targil.jpg (נפתלי)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:51:14Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[מדיה:Targil.jpg]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:50:45Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[מדיה:Targil.ogg]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

קובץ:Targil.jpg

2011-12-14T20:49:53Z

Naftali:

תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) (נפתלי)

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:46:47Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:46:29Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[קובץ:Targil.jpg|100px|thumb|left|טקסט תיאור]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:46:16Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[קובץ:Targil.jpg|150px|thumb|left|טקסט תיאור]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:45:25Z

Naftali: /* האוניברסיטה העברית */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[קובץ:Targil.jpg|200px|thumb|left|טקסט תיאור]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:44:04Z

Naftali: /* תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-14T20:43:17Z

Naftali: /* האוניברסיטה העברית */

=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=

==הנחיות==

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

5. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.

6. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

==האוניברסיטה העברית==

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (אבישי זגורי)]]

[[קובץ:Targil.jpg]] (נפתלי)

==אוניברסיטת בר-אילן==

===תשע"א, מועד א', שאלה 4===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן): [[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4]]

==אוניברסיטת ת"א==