Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-06-15T16:53:31Z

Neta: /* חומר לבוחן השלישי וקביעת ציון התרגיל */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=
== למה לא לומדים כלום? ==

הקצב הוא בערך רבע ממה שהיה בסמסטר א'. זה ישאר ככה?
:כרגע אין תרגול. ואולי זה נראה לאט כי חקירת פונקציות נראית ברורה. בכל אופן נושאי הקורס מופיעים (פחות או יותר) במערך התרגול --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מי המתרגילים של הקורס הזה? ==

תודה
:כך נכתב באתר האוניברסיטה (פריא"ל ומידע אישי):
::בקבוצה של פרופ' אגרנובסקי: ארז שיינר ואורפז תורג'מן.
::בקבוצה של ד"ר שיין: ארז שיינר.
::בקבוצה של ד"ר הורוביץ: מתן פתאל.
:מקווה שעזרתי. [[משתמש:gordo6|גל]].

== שאלה 2.ב. עמ' 291 במיזלר ==

צ"ל:<math>\int \frac{dx}{e^{2x}+e^{x}-6}</math>. אפשר עזרה? פירקתי לשברים חלקיים ואין לי מושג מה הלאה
:הייתי מכפיל את המונה והמכנה ב-e^x, ואז מציב t=e^x. אחרי זה הייתי משתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים וממשיך כרגיל, ואז זה הרבה יותר קל. מקווה שעזרתי. [[משתמש:Gordo6|גל]].
תודה על העזרה... יצא תרגיל ארוך :P

== יש בסוף בוחן שבוע הבא? ==

לא הבנתי
:נבדוק את העניין --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 תרגיל 1 ==

נניח <math>f(x)</math> פונקציה מוגדרת על הקטע <math>[a,c]</math>, וקיימת לה פונקציה קדומה בקטעים <math>[a,b];(b,c]</math>. הפונקציה הקדומה של <math>f(x)</math> זה לא: <math>F(x)=\begin{cases}
\int f(x_{1})dx_{1} & \text{ if } x_{1}\in [a,b] \\
\int f(x_{2})dx_{2} & \text{ if } x_{2}\in (b,c]
\end{cases}</math> ?
:באם אענה לך תשובה מלאה לעניין אסגיר את הפתרון לשאלה (לפחות כפי שעולה כרגע בעיני רוחי). ממליץ לבדוק את תכונות הפונקציה בנקודה x=b, והאם הן תתקיימנה לכל פונקציות ולכל קטע שנקח. האם תמיד תתקיים רציפות? האם תמיד תתקיים גזירות? אכוון אותך ואומר לך: מהו תנאי הכרחי לגזירות? מה יקרה אם הוא לא ייתקיים בנקודה מסויימת בקטע? באיזו נקודה זה לא ישפיע על הנתונים? (אם בכלל קיימת כזו). התשובה לשאלה שלך תלויה בתשובה לשאלות אלו. [[משתמש:gordo6|גל]].

== לאיזו קבוצה/ות האתר מיועד(בנושא אינפי 2)? ==

תיכוניסטים, מתמטיקאים, מדמ"ח וכו'...
:כולן--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 3 ==

<math>formula</math>אם אני מבין נכון הפונקצייה שבתוך סימן האינטגרל מקבלת את הערך של X ל-X גדול מ-X בריבוע שזה מתקיים ל-X בין 0 ל-1 ושל X בריבוע כאשר X בריבוע גדול מ-X שזה מתקיים ל-X גדול מ-1 או קטן מ-0.
כדי לקבל פונקצייה שניגזרתה היא הפונקצייה הנ"ל צריך להגדיר שהיא תהיה שווה ל- X בריבוע חלקי 2 לכל X בקטע [0,1] ול-X בשלישית חלקי 3 לכל X שמחוץ לקטע זה.
לפונקצייה זו יש ניגזרת ימנית בנקודה X=1 השווה ל-X בריבוע וניגזרת שמאלית השווה ל-X לכן היא איננה גזירה בנקודה זו. לכן פונקצייה זו אינה יכולה להיות פונקצייה קדומה לפונקצייה הנ"ל.
האם נכון לומר שלפונקציה הנ"ל אין פונקצייה קדומה?
:דבר ראשון, אין זו שאלה בנושא אינטגרלים? מדוע היא בשאלות כלליות?
:שנית, אין כזה דבר "הנגזרת בנקודה אחת היא איקס בריבוע". נגזרת בנקודה היא מספר ממשי, או לא קיימת. ניתן לפי הגדרת הנגזרת (בעזרת גבולות) להוכיח שהפונקציה אינה גזירה אם זה מה שאתה חושב, או להוכיח שהיא כן גזירה (אם זה מה שאתה חושב) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חובת הגשת תרגילים ==

יש חובת הגשה?
:לא--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לאף אחד אין? גם לא למדעי המחשב?
:::אל תתחכמו, אני לא המתרגל שלכם (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== למתי צריך להגיש את התרגיל הראשון? ==

תודה
:שבוע הקרוב או הזה שאחריו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אינפי 1- מערכי תרגול סדרות ==

היי,
כאן שואלים על מערכי התרגול של אינפי 1, נכון?
במידה וכן, במערך התרגול הבא: http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/גבול
בתרגיל לגבי שלילת הגבול העוסק בסדרה (1-) בחזקת n: האם ניתן להימנע מההנחה כי L אי שלילי ע"י שימוש באי שוויון המשולש

::לא...פה זה אינפי 2 D:

::אבל אני אענה לך בכל זאת. הוכחת התרגיל נעשתה בשיטת ההוכחה בשלילה, כלומר - מניחים משהו ואז מראים שבכל מקרה תצא סתירה - כלומר שההנחה שגויה,וזה אומר שהיא לא נכונה.

::אפשר,אך הדרך שבה פתרו מקלה עלינו לפתור. --[[משתמש:Arielipi|Arielipi]] 10:27, 29 במרץ 2012 (IST)

:::אממ..אני לא חושבת שהבנת למה התכוונתי- אין לי בעיה עם העובדה שהניחו בשלילה. יש לי בעיה עם ההנחה הנוספת. ש L אי שלילי. אתה לא חושב שלהפעיל אי שוויון המשולש יותר פשוט מלהניח הנחה נוספת? לדעתי אם מתאפשר אז עדיף.

::::אי שיוויון המשולש ייתן לך ביטוי גדול יותר, אבל אתה מחפש ביטוי קטן יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::::אויש נכון..תודה. אגב, איפה לשאול שאלות על המערכים מעתה והלאה?

::::::האמת שבהתחלה לא הבנתי, ואז הבנתי ולכן השורה השניה שכן מתייחסת למה ששאלת באמת. שאלות בנוגע למערכי תרגול באינפי 1: [[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|כאן.]] אינפי 2: [[שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|כאן.]] --[[משתמש:Arielipi|אריאל]]

== למה אין שיעורי בית? ==

אנחנו לא ניהיה מוכנים לבחנים!!!
:1. יש תרגילים בשנים קודמות, 2. יהיה תרגיל 2 בקרוב, ממילא רק מתחילים את החומר שעוקף את תרגיל 1. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::באמת נראה לך שיתנו בחנים על חומר שלא למדו?
:::אממ..... כן!!! בודאות ההיפך זה עושה להם טוב בלב
::::יין ישמח לבב אנוש, ונכשל ישמח לב אבן של מתרגל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:::::LOL, אני לא יודע מה מצחיק יותר: מה שארז כתב או חוסר ההיגיון שבתגובה "באמת...".
::::::השאלה מה קורה עם מתרגל עם לב אבן ששתה יין...
:::::::ההנחה היא שאם לא ציינת אז כלום לא קרה עם נכשלים, ולכן פשיטא שאם מתרגל הוא אנוש אז הוא ישמח.
::::::::אבל לכל בן אנוש לב רגיל, לכן החיתוך בין בני האדם והמתרגלים הוא קבוצה ריקה, לכן מתרגל לא ישמח
:::::::::לא נכון. לא כתוב בשום מקום שלכל מתרגל יש לב אבן, אלא רק שאם למתרגל יש לב אבן, אז...
:::::::::ובאותו אופן, אפילו אם היה כתוב זאת, עדיין טיעונך היה קורס, שכן לא טענו שרק בני אנוש שמחים עקב שתיית יין. לסיכום, אם עברת כבר סדנת לוגיקה, את/ה בבעיה :) [וגם אם לא]

== הוכחת משפט דארבו ==

הוכחנו אותו בכיתה? או שסתם צריך להכיר?

== בחנים ==

מתי ידעו את התאריכים של הבחנים?
צריך לדעת להיערך מראש, לתכנן את הלו"ז, לא יכולים להודיע לנו על הדקה האחרונה

קבעו את הבוחן ליום חמישי ה-3.5 אבל כעת רושמים שזה שבוע אחרי.
יש אפשרות לעשות את זה בכל זאת ביום חמישי הקרוב? שבוע הבא יום חמישי הוא ל"ג בעומר.
:אז מה אם זה ל"ג בעומר? זה בשעה שש בערב שאחרי יום המדורות. התאריך הזה נוח יותר למרבית התלמידים, ולכן הזזנו את הבוחן בשבוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן הבא עלינו לטובה ==

מהם התרגולים עליהם יהיה הבוחן?
האם הנושא של אינטגרלים לא אמיתיים יהיה כלול בבוחן? ועוד נושאים שבאים אחרי האינטגרלים הלא אמיתיים?
מה מבנה הבוחן?

תודה רבה
:הכל כתוב בהודעות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חקירת פונקציות ==

בפונקציה זוגית/אי זוגית, האם ניתן לומר שהפרש אי זוגיות היא אי זוגית? איך 'מוכיחים' אי זוגיות? וכן להיפך לזוגיות.
תודה.
:הכלל הוא פשוט להוכחה והוא גם יענה לך על השאלה. כאשר אתה רוצה לקבוע (להוכיח) שפונקציה הינה זוגית (למשל) אתה מוכיח את ההגדרה- <math>\forall x:f(-x)=f(x)</math>. אתה רוצה לבדוק לגבי סכום? בדוק למה שווה <math>(f+g)(-x)</math>

[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:02, 7 במאי 2012 (IDT)

== הבוחן - דרך ניקוד ==

שלום ארז, היום אמרת לי שיש 10 שאלות וכל אחת היא 15 נקודות. האם צריך להגיע ל150 נקודות בשביל שזה ייחשב כ-100, או ליותר מ-100?
:[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%A2%D7%A8_%D7%A9%D7%9C_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9D תערו של אוקאם] - ההסבר הפשוט ביותר הוא הנכון. יש 10 שאלות... מה היה הניקוד לכל שאלה אם פתרון של כל השאלות מקנה 100 נקודות? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
:: 10 (נכון רואים שלמדתי בסמסטר הקודם הרבה?)

== שרשור תלונות על השאלה הבלתי פתירה בבוחן ==

במקום שכל אחד יכתוב הודעה נפרדת, כאן יהיה המקום המסודר לבכות שזה לא הוגן, לקח לנו את כל הזמן והיה הדבר היחיד שמנע מאיתנו לענות על כל השאר נכון.
:למה אף אחד לא אמר כלום בזמן המבחן?? (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::לפחות אצלנו, לא היית נוכח פיזית רוב זמן הבחינה. ובהתחלה כשהיית, התעסקנו במה שאפשר לפתור ולא במה שלא.
וגם חשבנו שתגיד שזה פתיר וזה קל עד שראינו שWOLFRAM לא פתר את זה!!!!!!!,שיינר אני מציע כדי ליישב את העניין תתן לכל אחד 15 נקודות פקטור כי זה באמת לא הוגן זה לקח מאיתנו זמן ומחשבה והתיש אותנו נפשית.ושיינר איך היינו אמורים לדבר איתך כשהיית אצלנו 5 דקות והלכת?
:למה רק 15 ולא 150? (הפתרון האידאלי יהיה בוחן חוזר, של ארבע-חמש שאלות לפני התרגול הבא, אבל זה לא יקרה)
למה בוחן חוזר? לי מספיק הבוחן שעשיתי ואין לי כח לעוד בוחן ו15 נקודות על שאלה שאבדה...
שיינר לא אתה זה שאמר לי פעם שמרצים לא יודעים לפעמים לפתור שאלות שהם נותנים במבחן?

אני בעד שכל אחד יקבל קופסה עם פרלינים בתור פיצוי ו 15 נקודות

בכיינים. השאלה הייתה טעות, האינטגרל היה בכוונה קשה, אבל היה אמור להיות פונקציה אי זוגית ולכן אפס, ובמקום זאת שמתי פונקציה זוגית. לגבי החמש דקות שהייתי אצלכם... הן היו אחרי חצי בוחן. בקיצור, מי שבזבז זמן על לנסות לפתור שאלה קשה, סימן שהוא לא מבין את ההבדל בין שאלה קשה לקלה. על כן '''מגיעות לו''' פחות נקודות, זה בעצם היה בכוונה וזהו. שוקולד תקבלו בלי קשר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== המועדים של שני הבחנים הבאים ==

האם נוכל לדעת מתי הם יתקיימו?

== הבוחן שהיה ==

תוכלו להעלות את הבוחן ופתרונו לאתר?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::שאתה אומר כן, זה אומר שהסטודנטים יעשו את זה או שאתה?
:::רק אמרתי שאני יכול (: אני אעלה כשיהיה לי זמן, כרגע אני עמוק במחקר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 4 ==

בשאלה 1 לא נתון כלום על גזירות הפונקציה בקטע. לא ניתן להסיק כלום על אורך הקטע.
:ראה שאלה מעליך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בוחן שני 31/5/12 ==

מהם הנושאים הכלולים בבוחן? מה יהיה מבנה הבוחן? תודה

:הבוחן יהיה בנוי היטב, עם יסודות עמוקים ויציבים, ואפילו מרפסת שמש. אמרתי פעם שאני חושבת ששאלות על מבנה הבוחן הן מיותרות? הנושאים לבוחן הם האינטגרל הלא אמיתי, שזה כמובן כולל את כל החומר עד לאינטגרל לא אמיתי (צריך לדעת לעשות אינטגרלים וחקירת פונקציות ולזכור את כל הנוסחאות בע"פ).

:הבוחן יהיה בסגנון שאלות מתרגיל הבית ה-4, אבל לא זהות לשיעורי הבית. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::חושבת? לא, לא אמרתָ זאת באזנינו מעולם... (זאת לא שלילה כפולה, למתחכמים)

== ארז ==

ארז, אם זה לא צויין עדיין, המון תודה על הזמן הנוסף שאתה משקיע בנו באינפי, זה מחמם את הלב.
כולי ציפייה שנצליח להביא ביצועים יותר טובים בבוחן השני- וגם אם לא אז לפחות במבחן.
אלו דברים שאומרים בדר"כ בסוף אבל הרגיש לי נכון להעלות את זה גם עכשיו.
(ואתה לא יודע מי אני אז זאת לא נחשבת התחנפות :) )

**like!
צודק/ת. וכמובן גם על כל הזמן והמאמץ בתקופת אינפי 1..:)

תודה רבה! --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 4 שאלה 1 סעיף ב ==

א. למה אם הפונקציה חיובית לכל אורך הקטע אז האינטגרל מa לb ששניהם בקטע תמיד חיובי?
ב. למה כשהערך המוחלט בפונקציה זה גדול מאשר כשהערך המוחלט הוא נגם על האיטנטגרל (אינטגרל מסויים)?
תודה.

:אילו שני משפטים שמוכיחים בהרצאה. קל להוכיח אותם לפי ההגדרה של סכומי רימן. בראשון כל סכומי הרימן הם חיוביים ולכן גבולם גדול או שווה לאפס. ראינו בתרגיל שאם הפונקציה רציפה הגבול חייב להיות גדול ממש מאפס.
:לגבי השני, כל סכום רימן של הפונקציה בערך מוחלט גדול או שווה לערך המוחלט של סכום הרימן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== יויו ==

אם "שיחקתי ביויו", ונתפסה לי יד ימין. יש לי פטור מהבוחן??
:יש לך 100 אחוזי נכות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בגרות ==

אם יש לי בגרות שבוע אחרי מחר. יש לי פטור מהבוחן??
:לכולם יש פטור מהבוחן, תקבלו בכיף אפס במקום. זה יקל עליי בבדיקה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::אז אקח את זה כהבטחה שתעלו לי את הציון לאפס.

== בוחן #2 ==

אני יודע איפה הבוחן, אבל אני לא יודע מתי...

== פתרונות ==

מתי תעלה את הפתרונות לתרגיל 5? אנחנו רוצים ללמוד לבוחן, ולדעת אם עשינו טוב את התרגילים...

:אם תעשה חיפוש טוב באתר, תראה ששאלות 1,4 לקוחות מתרגילי בית משנים קודמות (תרגיל 10 של 2009),

:וששאלות 2,3 לקוחות מתוך קובץ המבחנים הפתורים של אורי אלברטון.

== חומר לבוחן השלישי וקביעת ציון התרגיל ==

היי. רציתי לשאול מה הוא החומר לבוחן השלישי (חוק מתרגיל 5 - הכוונה בנושאים)
בנוסף, איך ייקבע ציון התרגיל? בחירת 2 מתוך 3 הבחנים? או ממוצע בין שלושת הבחנים?

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-05-14T17:07:16Z

Neta: /* הבוחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון| ארכיון 1]]''' - תרגילים 1-2.

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון_1| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3.

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון_2| ארכיון 3]]''' - תרגיל 4-5.

=שאלות=

== מה זה קובץ .asv ==

תמיד אחרי כל פונקציה שאני יוצר, נוצר קובץ נלווה .asv עם אותו שם. מה הוא עושה? אם אני מוחק פונקציה שעשיתי, צריך למחוק גם את זה, בנוסף לקובץ ה m?
: קובץ asv הוא קובץ בו נשמרים שינויים אחרונים שעשית בתוכנה שלך. כך במקרה של סגירת matlab ללא שמירת קוד, עדיין יישאר לך קוד אחרון. אם אתה לא צריך את זה, אפשר לכבות את זה: <nowiki>File -> Preferences -> Editor/Debugger -> Autosave</nowiki>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 06:57, 8 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

יוצא לי לפעמים במרחב אותונורמלי אחרי שאני מכניס רשימה של ווקטורים (שאני לא יודע אם הם בסיס אני מכניס באופן רנדומלי) אז יוצא פתאום אחרי התהליך של גרהם שמידט וקטורים עם רכיבי NAN ז"א שמה שהכנסתי בתור מרחב כלשהו זה בכלל לא מרחב? או שאפשר להכניס כל רשימה של ווקטורים והם יהוו מרחב כלשהו?

תודה
: NaN יכול לצאת אם אתה מחלק 0 ב- 0. תבדוק אם זה קורה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:26, 8 במאי 2012 (IDT)

אז יכול להיות עדיין שהפונקציה נכונה כלומר עבור מטריצות מסויימות כלומר רשימה של וקטורים שיוצרת מרחב זה יכול לקרות נכון?
: לא הבנתי אותך. תשלח לי את הקוד עם הקלט שמייצר את השגיאה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:07, 8 במאי 2012 (IDT)

תודה, האם אפשר לשלוח לך למייל? כי זה יוצא די מבולגן
: תשלח לאימייל. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:19, 9 במאי 2012 (IDT)

== שאלה אחרונה ==

שאתם אומרים לפתור בשתי שיטות את המשוואות למה אתם מתכוונים? עם שתי פונקציות שונות? pinv ו inv או לעשות A/b ?
: דיברנו על שתי שיטות לפתור את מערכות משוואות ליניאריות ב- Matlab. אז מתכוונים בדיוק לזה - לשיטות. תבחר בעצמל איך לממש את זה, סקריפט, פונקציה, מספר פונקציות וכו'... --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:22, 9 במאי 2012 (IDT)

כן, רק השאלה היא: האם ב"שיטות" אתם מתכוונים לאיזה פונקציה מובנית אני משתמש?

== פיתוח לפי מינורים ==

הכוונה לפיתוח לפי שורה/עמודה?
האם האלגוריתם הזה הוא רקורסיבי ? כי אני לא רואה דרך אחרת לעשות אותו. מותר לי לדרג את המטריצה לפני כן, או שאני חייב ישר לתפוס עמודה/שורה ולפתח לפיה ?
ושכתבתם "תשוו עם det" התכוונתם רק להשוואה של זמן החישוב כן? (כי משם משתמע כאילו יש כמה דרישות)
: זה לא חייב להיות רקורסיבי, אך כן - זאת הדרך הטבעית יותר.
: אפשר לדרג את המטריצה רק כשאתה משווה הסיבוכיות של שני האלגוריתמים, שלך ושל matlab, חשוב שירוצו באותם התנאים.
: להשוות זה כן להשוות את התוצאות וגם את הסיבוכיות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 06:56, 10 במאי 2012 (IDT)

כן , השאלה היא כמה אתם מצפים, וכמה מותר לי, להיעזר במה שמטלב נותן לי. אם מותר לי לדרג, אז אני פשוט ישתמש בפונקצית דירוג, ויכפיל את איברים באלכסון. קל מידי. זה מותר?
עריכה: עוד שאלה, למה התכוונת "באותם התנאים" ?
: בשאלה כתוב - שיטת מינורים. זה אומר שאתה צריך לממש את שיטת המינורים ולא שיטות ומשפטים אחרים.
: אתה יכול לתכנת ככה את פיתוח לפי מינורים שהוא יידע לעבוד עם מטריצות שיש שם הרבה אפסים (זאת לא דרישת השאלה).
: אותם תנאים - זה אומר שגם פונקציה שלך וגם פונקציה det מקבלים את אותה המטריצה בדיוק. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:09, 12 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

במשוואת המישור יש גם a וגם <math>\alpha</math>, זה מכוון? או שהa אמורה להיות גם <math>\alpha</math>?
: a זה <math>\alpha</math>. טעות הקלדה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:59, 11 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 2,1 ==

MATLAB יודע לעבוד עם רקורסיה?
וחוץ מזה האם ניתן להשתמש בפעולה pinv??
: כן, יש רקורסיה ב- Matlab. כן, מותר להשתמש ב- pinv. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:42, 11 במאי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בתרגיל 6 ==

מה הפקודה pinv עושה?
: ההסבר ניתן בתרגולים ואפשר למצוא אותו במצגות. חוץ מזה - help pinv ייתן הסבר של מפתחי Matlab לשאלה זו. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:43, 11 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 4 ==

האם הכוונה היא לשימוש באופרטור \ וב pinv או שהכוונה לשימוש ב solvef?
: איני מכיר פקודה solvef, יש פקודה fsolve, אך עוד לא למדנו אותה. אנחנו בנושא של אלגברה ליניארית ושיטות הן שיטות של אלגברה ליניארית, כפי שנלמדו בהרצאה ובתרגול. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:46, 11 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 2 ==

האם בחישוב המינורים אפשר להיעזר בפונקציה det או שגם אותם צריך לחשב?
: ברור שאסור להשתמש בפקודת det!!! אחרת זאת לא תהיה שיטת מינורים, אלא פשוט שימוש בפקודה מובנית. המטרה לכתוב פונקציה מקבילה ל- det ולבדוק את היעילות שלה ביחס ל- det. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:48, 11 במאי 2012 (IDT)

== הבוחן ==

מה אם החומר לבוחן? מתי יפורסמו שאלות לדוגמא וכו ...
: עד אלגברה ליניארית. בקרוב. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:52, 11 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 2-מציאת הסיבוכיות ==

איך בדיוק אנחנו אמורים למצוא את הסיבוכיות של כל פעולה? אין לנו את המימוש של הפעולה det, אז לא ניתן לחשב את הסיבוכיות שלה, והפעולה שאנחנו כותבים היא רקורסיבית, אז גם לא ניתן לחשב את הסיבוכיות שלה....
: השאלה הזאת חוזרת על עמצה כל הזמן. אתם לא מחשבים את הסיבוכיות אלא מעריכים אותה לפי זמן ריצה עבור קלטים בגודל שונה. עושים את זה ע"י פקודות tic ו- toc. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:28, 12 במאי 2012 (IDT)

::ואיך מעריכים O(n!)?
::: אתה מגדיל גודל של הקלט ומודד זמן. אחרי זה אתה משרטט את הגרף הזמן כפונקציה של גודל הקלט ואם מקבל גרף אם שיפוע קרוב לערך קבוע (לא תקבל ממש קו ישר, אבל משהו שקרוב לקו ישר) - אז הסיבוכיות O(n). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:44, 12 במאי 2012 (IDT)

::::התכוונתי ל<math>O(n!)</math>, איך מעריכים אותה? (ההסבר היבש פחות בעייתי)
::::: לא שמתי לב לסימן קריאה. קודם כל, תשרטט את הגרף של עצרת. לאחר מכך, תביט ב [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%97%D7%AA_%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%A8%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%92 נוסחא הזאת]. על הסיבוכיות של פעולות מתמטיות אפשר לקרוא [http://en.wikipedia.org/wiki/Computational_complexity_of_mathematical_operations כאן]. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:14, 12 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

לא הבנתי איך הפקודה pinv תעזור לי למצוא מרחק בין הנק' למישור...
הרי אפשר פשוט למצוא את הווקטור המאונך למישור שעובר בראשית הצירים ( במקרה שלנו זה הווקטור (2,7a/10, 1) ) (a זה אלפא) ואז פשוט מציבים אותו כפול סקלר t במשוואה, וקיבלנו משוואה עם נעלם אחד.

== מהו חילוק מטריצות? ==

אפשר הסבר על פעולת "חילוק" מטריצות? לא הצלחתי להבין מה help. מה זה מוצא, ומה המטריצות המחולקות צריכות לקיים.
ומה ההבדל בין A/b לבין A\b (ה '\' בכיוונים הפוכים).
שמתי לב ששניהם קיימים, ומבצעים משהו שונה, מה ההבדלים ביניהם?
: אתה מוזמן להסתכל למצגות של תרגולים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 13:34, 13 במאי 2012 (IDT)

== שאלה 3 ==

האם אני צריך לכתוב פונקציה שמקבלת את אלפא כפרמטר, ואז לשלוח לפונקציה ערכים בין -10 ל 10 ? יש סיבה שבחרתם את אלפא דווקא בקטע הזה או שזה שרירותי?

: המישוש שלך. העיקר שזה יעבוד ועדיף אם יעבוד יעיל. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:30, 13 במאי 2012 (IDT)

ועכשיו לשאלות שלא הבנתי : אני מניח ש"הדרך הרגילה" שהתכוונתם היא ע"י הצבת בנוסחה של מרחק נקודה ממישור (מצאתי באינטרנט)? אז לא ברור לי מה היא הדרך עם pinv. ואיך הפונקציה הזו קשורה. אני הרי צריך למצוא את אורך האנך מראשית הצירים למישור. איך זה אמור להיות קשור ללפתור מערכת משוואות? אפשר הכוונה או שאולי אני לא מבין משהו?

: פונקציה pinv לא פותרת מערכת משוואות ליניארית, היא מוצאת מטריצה פסאודו-הופכית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:30, 13 במאי 2012 (IDT)

עריכה : עוד משהו, אני אמור לכתוב 2 פונקציות שונות, כן? אחת לכל שיטה? (הרגילה, ועם pinv שעוד לא ברור איך עושים את זה איתו )

: המישוש הוא לבחירתך. אפשר שתי פונקציות, אפשר אחת, אפשר סקריפט. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:30, 13 במאי 2012 (IDT)

אוקיי, אבל איך pinv אמורה בדיוק לעזור לי למצוא מרחק ?
: זאת בדיוק השאלה שאתה צריך לענות עליה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:04, 13 במאי 2012 (IDT)
כן , אבל אני כבר לא מוצא פתרון לזה . פתרתי בדרך הרגילה (ע"י הצבה בנוסחה) ועובד לי. אני לא רואה איך להפוך מטריצה עוזר לי למצוא מרחק.
אפשר לפחות רמז ? הסתכלתי גם במצגת - אין הכוונה. ואני לא רואה דרך לעשות זאת. אני תקוע |
: pinv עובד גם על המטריצות וגם על וקטורים. תמצא (אם אתה לו מכיר) נוסחא למרחק בצורה וקטורית. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:16, 13 במאי 2012 (IDT)

== שאלה על הבוחן ==

מי מכין אותו, אתם המתרגלים, או המרצה?
: למה זה חשוב? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 19:05, 13 במאי 2012 (IDT)

סתם לדעת למה לצפות (בכל זאת אתם הבאתם את השאלות חזרה)
: נגדיר את זה ככה - אנחנו, גם המרצה וגם המתרגלים, הכננו את הבוחן ואת שאלות החזרה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:35, 14 במאי 2012 (IDT)

== הבוחן ==

האם הבוחן יהיה עם חומר פתוח? והאם הוא יהיה מול מחשב? תודה

:חומר סגור, לא מול מחשב. --[[משתמש:Shimi|Shimi]] 11:16, 14 במאי 2012 (IDT)

::מה זה אומר חומר סגור? אני יכול להביא חומר מודפס משלי?

== מה זה מטריצה פסאדו-הפיכה? ==

לא הבנתי מה זה בדיוק
: אתה מוזמן להסתכל במצגות וב- help של Matlab. ללא פירוט, אם A מטריצה כלשהי (לאו דווקא ריבועית), אז <math>A*pinv(A)=I</math>, אך <math>pinv(A)*A \ne I</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:54, 13 במאי 2012 (IDT)

בקיצור זה הפיכה מצד אחד ?
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:33, 14 במאי 2012 (IDT)

== שאלה 2 ==

האם אסור בכלל להשתמש ב-det? אני לא מבין איך אפשר לפתור את השאלה ללא שימוש ב-det בכלל, הרי אפילו בשיטת המינורים, לאחר שאתה מחלק את המטריצה לפי 'חילוק' של עמודה ושורה שאתה מוחק-אתה עושה דטרמיננטה לכל מטריצה שהתקבלה..
:אם המטריצה שהתקבלה לאחר הסרת שורה-עמודה היא מגודל 2X2 הנוסחא היא פשוטה, אם גדולה מכך תפעיל גם עליה את שיטת המינורים. (תהליך רקורסיבי) --[[משתמש:Shimi|Shimi]] 11:20, 14 במאי 2012 (IDT)

אבל לא למדנו רקורסיה

== איך להשתמש ב pinv בשאלה 3? ==

לא מבין מה אתם רוצים שאעשה עם הפקודה. פתרתי רק בדרך הרגילה. מצאתי את הנוסחה הזאת, בדף הזה, של מרחק של נקודה ממישור (בהצגה השנייה, לא הרגילה): http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA/%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%A7%D7%99%D7%9D

אבל אני עדיין לא מבין איך pinv קשור לעסק. אולי תסבירו למה אתם מתכוונים ?

== תר' 6 שאלה 1 ==

בדוגמאות, צריך 'לטפל' בקלט ולגרום לו להיראות מלכתחילה דומה לפרבולה?

אם כן, איך עושים את זה בצורה יותר מתוחכמת מלהוסיף מספר רנדומלי לפונק' שרוצים לקבל?

: לא 'מטפלים' בקלט. אם תעשה אותו יותר דומה לפרבולה אז תשנה אותו, נכון? והתבקשת לקרב את מה שקיבלת ע"י משוואה ריבועית. ברור שבמקרה שהקלט יהיה רחוק מהצורה הפרבולית, תקבל התאמה גרועה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:38, 14 במאי 2012 (IDT)

== ריבועים מינימליים ==

למה במצגת השתמשתם ב randn ? למה להגריל מספרים בכלל ? לא הבנתי מה עושה השיטה עדיין חוץ מלקרב איכשהו אוסף של נקודות לגרף. כלומר לא הבנתי איך היא פועלת..
: האם אתה מגיע לתרגולים או שרק מסתכל על המצגות. מצגות לא מסבירות את עצמם בצורה מספקת וחשוב גם להקשיב להסברים הניתנים בתרגול. במקרה שאתה מדבר, הגרלתי מספרים כך שיתאימו לפונקציה הקירוב שבחרתי - <math>f(x)=a\cdot sin(x) + b\cdot cos(x)</math>. לא צריך להגריל שום דבר ולא עם הפונקציה randn בפרט, פשוט הייתי צריך הרבה נקודות ולא רציתי לכתוב אותם ידנית.
: לגבי איך השיטה עובדת ולמה זה נכון, אני ממליץ לחזור אל החומר שקיבלתם בהרצאה ואם הוא לא ברור אז לבוא לשעות הקבלה למרצה או לאחד המתרגלים. כמו כן, יש שפע של חומר בנושא גם בספרים וגם באינטרנט. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:38, 14 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 4,א ==

עשיתי בשיטת A/b ובשיטת x=inv(A)*b חוץ מהקטע של קבלת זמן התשובה לא ידוע לנו מה הפעולות הללו עושות באמת ולכן אין לי מה לכתוב בתשובה למה שתי הפתרונות זהים... , נכון?

תודה
: אם פתרון יחיד, אכן שתי שיטות מוצאות את אותו הפתרון. אנחנו כן דיברנו על השיטות ואני מקווה שאמור להיות מושג מה הפקודות האלה עושות באמת. לדוגמא, פקודת inv(A) מוצאת מטריצה הופכית למטריצה A. וכמו שאתם יודעים מאלגברה ליניארית, אם יש למערכת משוואות <math>A\cdot x = b</math> פתרון יחיד, אז המטריצה A הפיכה ולכן הפתרון הוא <math>x=A^{-1}\cdot b</math>. לגבי פעולה '\' אכן לא הסברנו איך היא עובדת אך הסברנו מהן תכונות של הפתרון שהיא מחזירה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:28, 14 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 4 ==

בחלק של הבדיקה. אם אני דורש ש <math>Ax=b</math> זה יוצא לי בסעיף א' שזו תשובה שגויה עבור הדרך עם הpinv, זאת מכיוון שהמטלב טיפה סוטה בתוצאה (סטייה של בסביבות <math>10^{-15}</math> שזה האפסילון של מטלב). לפיכך, זה בסדר לדרוש <math>Ax-b<10^{-14}</math> או משהו קצת יותר גדול? זה לא יכול להוות בעיה במשוואות בעלות סתירה פנימית מסוימות (מכיוון שה pinv מחשב את הפתרון עם הנורמה הקטנה ביותר)?

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-05-13T19:53:55Z

Neta: /* הבוחן שהיה */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-05-13T17:26:09Z

Neta: /* הבוחן */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-30T15:54:05Z

Neta: /* תרגיל 4 שאלה 2 */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון| ארכיון 1]]''' - תרגילים 1-2.

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון_1| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3.

=שאלות=

== בתרגיל 4, בשאלה ראשונה 2 שאלות: ==
*-אפשר להניח שהמשתמש מכניס את הוקטור של הטווח באופן שמתאים ל-mesh/surf, כלומר הוקטור יהיה מהצורה [minx,maxx,miny,maxy]?
*-איך אני יכול להכניס בתוך תנאי את העניין שנניח והמשתמש לא הכניס פרמטר מסוים?
: שאלה ראשונה - בניסוח השאלה כתוב שיש להעביר לפונקציה את התחום שבו רוצים להעביר אותה. כלומר, לא צריך להניח שמתמש עושה את זה, אלא יש לממש את הדבר.
: שאלה שנייה - אתה יכול למצוא את זה או ב- help של Matlab או במצגת של תרגול 3, איפה שמדברים על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להעמיס שיטות?
אחרת איך אפשר לא להעביר וקטור לפונקציה?
: על איזה שיטות מדובר? מה הכוונה - להעמיס? אין שום בעיה להעביר וקטור לפונקציה - לדוגמא - sin(x), כאשר x הוא וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:38, 24 באפריל 2012 (IDT)
::הבעיה היא שבשאלה דורשים לטפל במצבים שבו הקלט הוא חלקי, ואי אפשר סתם להתעלם מזה שהפונקציה צריכה לקלוט וקטור (מתקבלת שגיאה). לכן עולה השאלה, אם ניתן להעמיס את פונקציה שצריך לבנות? וזאת על מנת שנוכל לטפל גם במקרה כזה.
::: אנחנו לא כותבים ב C++ אלא במטלב. ראה את ההסבר איך עושים את זה במצגת של תרגול 3, בפרק שמדבר על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:57, 25 באפריל 2012 (IDT)
::::הסתדרתי, אבל צצה שאלה אחרת. באחת התשובות אמרת שאנחנו מקבלים וקטור שמייצג את התחום ואז לממש אותו לוקטור שמתאים לפונקציה, אבל בעצם אנחנו צריכים גם תחום בציר הx וגם בתחום בציר הy. איך העניין הזה מסתדר בעצם? האם הוקטור שאנחנו מקבלים הוא שירשור של שני התחומים? או שאנחנו מקבלים וקטור כפי שאנחנו צריכים לשלוח לezmesh\ezsurf?
::ezmesh/ezsurf מקבל בתחום כל פורמט הגיוני...
::: תממש מה שיותר נוח והגיוני בשלבילך. עדיף שתעשה דומה להגיון שממומש ב- matlab. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:13, 25 באפריל 2012 (IDT)

== לא קשור לשיעורי בית ==

איך אני משנה את השדה שאני רוצה לעבוד אתו?
: איזה שדה? שדה של מה? על מה בדיוק אתה מדבר? קצת הכוונה או דוגמא מאוד תעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)
הכוונה לשדה אלגברי. לדוגמה אם אני רוצה שהחישובים שנעשים יעשו ב<math>\mathbb {Z}_5</math>?
: באופן כללי אין אפשרות כזאת (או שאני לא יודע איך עושים דבר כזה). ספציפית, במקרה של <math>\Z_5</math>, אפשר לעשות כל הפעולות mod 5. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:01, 25 באפריל 2012 (IDT)
מה הבעיה לעשות mod בסוף כל חישוב?
: כיוון שאין לי מושג מה אתה רוצה לעשות, לא יכול לענות האם יש איזושהי בעיה. תסביר מה אתה עושה ומה אתה רוצה לקבל ואשתדל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:15, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4 בכלליות ==

למה נועדו הערכים אלפה וביתא?
: תשחק עם הפרמטרים, תצייר גרפים עבור <math>\alpha, \beta</math> שונים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:03, 25 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

איפה אפשר למצוא את הדוגמה שמסבירה על movie? או שהיא עדיין לא הועלתה?
: תתחיל מ- help של matlab. כמו כן אפשר לראות את הדוגמא שנתתי בתרגול (היא הועלה לאתר שלי). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:02, 25 באפריל 2012 (IDT)
:: הדוגמה שנתת לא כוללת את הפקודה movie2avi. חובה להשתמש בה? אם כן, איך?
::: help movie2avi. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:54, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

הפונקציה מקבלת וקטור?
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
חייבים לפעול על פי ההדרכה?
: באופן כללי כן, אבל תסביר למה אתה מתכוון. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)

צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את התחום?
צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את הפונקציה?
: צריכים להתייחס למקרה שלא מקבלים אף פרמטר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור.
כן אבל הפונקציה מקבלת 3 נתונים ולא וקטור
: כן. פונקציה מקבלת 3 נתונים כאשר אחד מהם וקטור. מה השאלה? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:13, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להניח שהקלט תקין? (בהנחה ויש קלט כמובן)
: כן --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:46, 26 באפריל 2012 (IDT)

== 2 שאלות-על שאלה 4 ==

2 שאלות:
-בשאלה 1:
איך אני אמור לדעת איזה פרמטר המשתמש לא הכניס? כלומר,אני יודע שע"מ לדעת כמה פרמטרים המשתמש הכניס אני משתמש ב-nargin, אבל איך אני אמור לדעת איזה פרמטרים בדיוק הוא הכניס ע"מ לשים איזהשהו defult במקומם?
: אם הסדר הוא: ('function_name('x^2+2*y',[1 2 -1 3],'mesh, אתה רשאי להניח שהסדר נשמר ויכול לא להופיע קלט אחרון, או שני האחרונים או כל שלושתם, אך לא ייתכן שהקלט הראשון לא הועבר כאשר שני ושלישי כן. או, לחילופית, תבדוק איך עובד ביטוי varargin. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:56, 26 באפריל 2012 (IDT)

-בשאלה 2:
יש איזה פונקציה שיוצרת אנימציה, בדומה ל-commet, אבל ב-3D?
: למשל ezplot3. יש עוד כמה. אך אפשר לייצר אנימציה פשוט ע"י שימוש חוזר בפקודות mesh, surf וכו'. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:56, 26 באפריל 2012 (IDT)

תודה:)

== כשאמרתם פרמטר התכוונתם ל1 מנתוני הקלט? ==

כלומר או לפונקציה או לטווח או לserf/mesh?

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

בשאלה 2, נניח והדבורה נמצאת ב9.7
ומתקדמת ב0.5 באותו כיוון
היא תעצר על 10, או תגיע עד 10.2 ושם תעצר?

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

''"הציגו בעזרת subplot כעשרים מצבי ביניים '''במרווחים שווים'''."''
מה הכוונה במרווחים שווים?
האם אתה מכיר פקודה במטלב שמחלקת את אינטרבל לקטעים שווים? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:19, 29 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

איך אני יכול לצייר כמהפונקציות באותה מערכת צירים תלת מימדים גם אם אני משתמש בפקודת ציור שונה ?
: תשתמש בפקודה axis --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:14, 29 באפריל 2012 (IDT)

== else if ==

1)אפשר דוגמה למצב שבו יש הבדל בין כתיבת elseif לelse if? (המצגת מעורפלת בנושא)

: לא קיימת דוגמא כזאת. זאת השאלה של נוחית וגם סיבוך של הקוד. כש אתה כותב elseif, אתה נמצא במבנה if אחד, שזה אומר בין היתר שיהיה סה"כ end אחד בסוף. אם, לעומת זאת, תכתוב מספר פעמים else if, אז הקוד יהיה מסובך לקריאה ולהבנה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:18, 29 באפריל 2012 (IDT)

2)כשמטפלים במקרים שונים של אותו משתנה, האם יש הבדל כלשהו (יעילות, מוסכמה) בין שימוש במבנה elseif לswitch? הרי switch תמיד ניתן להחלפה במבנה הנ"ל...
: אין, שאלה של נוחות גם לכותב וגם לקורא/בודק. אין יש מספר ערכים מדויקים שיש לבדוק, נוח יותר להשתמש ב- switch, אם צריך לבדוק תנאים מורכבים, אינטרוולים וכו', אז if עדיף. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:18, 29 באפריל 2012 (IDT)

== איך אמורים לעלות סרט? ==

?????
: לאן? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:37, 29 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מה הכוונה ב2. התחום של הפונקצייה?
תחום של z,x,y? בנפרד?
: תבדוק איך מוגדרת פונקציה exmesh או ezsurf. אם לא מוגדר במדויק, אלא רשאי לעשות איך שזה נוח לך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:28, 29 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם המחרוזת שמקבלים היא בעצם ציר z ואם כן איך אמורים להכניס לשם פרמטרים אם זה מחרוזת? ז"א את x ,y לא אמורים לקבל כקלט?
תודה
: תבדוק איך מוגדרת פונקציה exmesh או ezsurf. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:30, 29 באפריל 2012 (IDT)

== בקשר לפונקציות ezsurf,ezmesh ==

מה קובע את ציר הz הפונקציה שאנו מכניסים?

תודה
: את ציר ה- z קובעת הפונקציה שאתה מכניס. למעשה z=f(x,y). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 06:56, 30 באפריל 2012 (IDT)

== בקשר לnargin ==

אני יודע שלדוגמא שnargin =2 אז למשתנה הקלט הימני ביותר רק נכנס משהו אבל איך אני בודק אם רק למשתנה לדוגמא באמצע רק נכנס משהו ולשאר לא?
כדי לעשותם ברירת מחדל
או שמה שאתם התכוונתם זה רק להניח שהסדר נשמר ויכול לא להופיע קלט אחרון, או שני האחרונים או כל שלושתם?
ובכל אופן בהמשך לשאלה הזו בשימוש בvarargin אני יכול לשים אותו על כל המשתנים כלומר בתחילת המשתנים של הקלט ואיך אני שואל אם מחרוזת היא ריקה if a=''?זה לא מתסדר לי

תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

האם חייבים ליצור את הסרט בעזרת הפקודה: movie2avi?
האם מותר להסתפק פשוט ב-getframe?
: מה כתוב בשאלה? יש לעשות בהתאם להנחיות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:36, 30 באפריל 2012 (IDT)
:: "את הסרטון יש לבצע כפי שנלמד בהרצאה (getframe,movie2avi וכו')" - זה מחייב movie2avi?

שיחה:88-151 שימושי מחשב תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-30T14:02:51Z

Neta: /* תרגיל 4 שאלה 2 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון| ארכיון 1]]''' - תרגילים 1-2.

'''[[88-151_שימושי_מחשב_במתמטיקה_תשעב_סמסטר_ב_שאלות_ותשובות_ארכיון_1| ארכיון 2]]''' - תרגיל 3.

=שאלות=

== בתרגיל 4, בשאלה ראשונה 2 שאלות: ==
*-אפשר להניח שהמשתמש מכניס את הוקטור של הטווח באופן שמתאים ל-mesh/surf, כלומר הוקטור יהיה מהצורה [minx,maxx,miny,maxy]?
*-איך אני יכול להכניס בתוך תנאי את העניין שנניח והמשתמש לא הכניס פרמטר מסוים?
: שאלה ראשונה - בניסוח השאלה כתוב שיש להעביר לפונקציה את התחום שבו רוצים להעביר אותה. כלומר, לא צריך להניח שמתמש עושה את זה, אלא יש לממש את הדבר.
: שאלה שנייה - אתה יכול למצוא את זה או ב- help של Matlab או במצגת של תרגול 3, איפה שמדברים על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להעמיס שיטות?
אחרת איך אפשר לא להעביר וקטור לפונקציה?
: על איזה שיטות מדובר? מה הכוונה - להעמיס? אין שום בעיה להעביר וקטור לפונקציה - לדוגמא - sin(x), כאשר x הוא וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:38, 24 באפריל 2012 (IDT)
::הבעיה היא שבשאלה דורשים לטפל במצבים שבו הקלט הוא חלקי, ואי אפשר סתם להתעלם מזה שהפונקציה צריכה לקלוט וקטור (מתקבלת שגיאה). לכן עולה השאלה, אם ניתן להעמיס את פונקציה שצריך לבנות? וזאת על מנת שנוכל לטפל גם במקרה כזה.
::: אנחנו לא כותבים ב C++ אלא במטלב. ראה את ההסבר איך עושים את זה במצגת של תרגול 3, בפרק שמדבר על פונקציות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 08:57, 25 באפריל 2012 (IDT)
::::הסתדרתי, אבל צצה שאלה אחרת. באחת התשובות אמרת שאנחנו מקבלים וקטור שמייצג את התחום ואז לממש אותו לוקטור שמתאים לפונקציה, אבל בעצם אנחנו צריכים גם תחום בציר הx וגם בתחום בציר הy. איך העניין הזה מסתדר בעצם? האם הוקטור שאנחנו מקבלים הוא שירשור של שני התחומים? או שאנחנו מקבלים וקטור כפי שאנחנו צריכים לשלוח לezmesh\ezsurf?
::ezmesh/ezsurf מקבל בתחום כל פורמט הגיוני...
::: תממש מה שיותר נוח והגיוני בשלבילך. עדיף שתעשה דומה להגיון שממומש ב- matlab. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:13, 25 באפריל 2012 (IDT)

== לא קשור לשיעורי בית ==

איך אני משנה את השדה שאני רוצה לעבוד אתו?
: איזה שדה? שדה של מה? על מה בדיוק אתה מדבר? קצת הכוונה או דוגמא מאוד תעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:44, 24 באפריל 2012 (IDT)
הכוונה לשדה אלגברי. לדוגמה אם אני רוצה שהחישובים שנעשים יעשו ב<math>\mathbb {Z}_5</math>?
: באופן כללי אין אפשרות כזאת (או שאני לא יודע איך עושים דבר כזה). ספציפית, במקרה של <math>\Z_5</math>, אפשר לעשות כל הפעולות mod 5. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:01, 25 באפריל 2012 (IDT)
מה הבעיה לעשות mod בסוף כל חישוב?
: כיוון שאין לי מושג מה אתה רוצה לעשות, לא יכול לענות האם יש איזושהי בעיה. תסביר מה אתה עושה ומה אתה רוצה לקבל ואשתדל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:15, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 4 בכלליות ==

למה נועדו הערכים אלפה וביתא?
: תשחק עם הפרמטרים, תצייר גרפים עבור <math>\alpha, \beta</math> שונים. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 09:03, 25 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

איפה אפשר למצוא את הדוגמה שמסבירה על movie? או שהיא עדיין לא הועלתה?
: תתחיל מ- help של matlab. כמו כן אפשר לראות את הדוגמא שנתתי בתרגול (היא הועלה לאתר שלי). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:02, 25 באפריל 2012 (IDT)
:: הדוגמה שנתת לא כוללת את הפקודה movie2avi. חובה להשתמש בה? אם כן, איך?
::: help movie2avi. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:54, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

הפונקציה מקבלת וקטור?
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
חייבים לפעול על פי ההדרכה?
: באופן כללי כן, אבל תסביר למה אתה מתכוון. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)

צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את התחום?
צריכים להתייחס גם למקרה שלא מקבלים את הפונקציה?
: צריכים להתייחס למקרה שלא מקבלים אף פרמטר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 21:10, 25 באפריל 2012 (IDT)
: בסעיף 2 של ההסבר כתוב שפונקציה מקבלת את התחום בצורת וקטור.
כן אבל הפונקציה מקבלת 3 נתונים ולא וקטור
: כן. פונקציה מקבלת 3 נתונים כאשר אחד מהם וקטור. מה השאלה? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:13, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם אפשר להניח שהקלט תקין? (בהנחה ויש קלט כמובן)
: כן --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:46, 26 באפריל 2012 (IDT)

== 2 שאלות-על שאלה 4 ==

2 שאלות:
-בשאלה 1:
איך אני אמור לדעת איזה פרמטר המשתמש לא הכניס? כלומר,אני יודע שע"מ לדעת כמה פרמטרים המשתמש הכניס אני משתמש ב-nargin, אבל איך אני אמור לדעת איזה פרמטרים בדיוק הוא הכניס ע"מ לשים איזהשהו defult במקומם?
: אם הסדר הוא: ('function_name('x^2+2*y',[1 2 -1 3],'mesh, אתה רשאי להניח שהסדר נשמר ויכול לא להופיע קלט אחרון, או שני האחרונים או כל שלושתם, אך לא ייתכן שהקלט הראשון לא הועבר כאשר שני ושלישי כן. או, לחילופית, תבדוק איך עובד ביטוי varargin. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:56, 26 באפריל 2012 (IDT)

-בשאלה 2:
יש איזה פונקציה שיוצרת אנימציה, בדומה ל-commet, אבל ב-3D?
: למשל ezplot3. יש עוד כמה. אך אפשר לייצר אנימציה פשוט ע"י שימוש חוזר בפקודות mesh, surf וכו'. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:56, 26 באפריל 2012 (IDT)

תודה:)

== כשאמרתם פרמטר התכוונתם ל1 מנתוני הקלט? ==

כלומר או לפונקציה או לטווח או לserf/mesh?

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

בשאלה 2, נניח והדבורה נמצאת ב9.7
ומתקדמת ב0.5 באותו כיוון
היא תעצר על 10, או תגיע עד 10.2 ושם תעצר?

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

''"הציגו בעזרת subplot כעשרים מצבי ביניים '''במרווחים שווים'''."''
מה הכוונה במרווחים שווים?
האם אתה מכיר פקודה במטלב שמחלקת את אינטרבל לקטעים שווים? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:19, 29 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

איך אני יכול לצייר כמהפונקציות באותה מערכת צירים תלת מימדים גם אם אני משתמש בפקודת ציור שונה ?
: תשתמש בפקודה axis --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:14, 29 באפריל 2012 (IDT)

== else if ==

1)אפשר דוגמה למצב שבו יש הבדל בין כתיבת elseif לelse if? (המצגת מעורפלת בנושא)

: לא קיימת דוגמא כזאת. זאת השאלה של נוחית וגם סיבוך של הקוד. כש אתה כותב elseif, אתה נמצא במבנה if אחד, שזה אומר בין היתר שיהיה סה"כ end אחד בסוף. אם, לעומת זאת, תכתוב מספר פעמים else if, אז הקוד יהיה מסובך לקריאה ולהבנה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:18, 29 באפריל 2012 (IDT)

2)כשמטפלים במקרים שונים של אותו משתנה, האם יש הבדל כלשהו (יעילות, מוסכמה) בין שימוש במבנה elseif לswitch? הרי switch תמיד ניתן להחלפה במבנה הנ"ל...
: אין, שאלה של נוחות גם לכותב וגם לקורא/בודק. אין יש מספר ערכים מדויקים שיש לבדוק, נוח יותר להשתמש ב- switch, אם צריך לבדוק תנאים מורכבים, אינטרוולים וכו', אז if עדיף. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 12:18, 29 באפריל 2012 (IDT)

== איך אמורים לעלות סרט? ==

?????
: לאן? --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 14:37, 29 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מה הכוונה ב2. התחום של הפונקצייה?
תחום של z,x,y? בנפרד?
: תבדוק איך מוגדרת פונקציה exmesh או ezsurf. אם לא מוגדר במדויק, אלא רשאי לעשות איך שזה נוח לך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:28, 29 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

האם המחרוזת שמקבלים היא בעצם ציר z ואם כן איך אמורים להכניס לשם פרמטרים אם זה מחרוזת? ז"א את x ,y לא אמורים לקבל כקלט?
תודה
: תבדוק איך מוגדרת פונקציה exmesh או ezsurf. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:30, 29 באפריל 2012 (IDT)

== בקשר לפונקציות ezsurf,ezmesh ==

מה קובע את ציר הz הפונקציה שאנו מכניסים?

תודה
: את ציר ה- z קובעת הפונקציה שאתה מכניס. למעשה z=f(x,y). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 06:56, 30 באפריל 2012 (IDT)

== בקשר לnargin ==

אני יודע שלדוגמא שnargin =2 אז למשתנה הקלט הימני ביותר רק נכנס משהו אבל איך אני בודק אם רק למשתנה לדוגמא באמצע רק נכנס משהו ולשאר לא?
כדי לעשותם ברירת מחדל
או שמה שאתם התכוונתם זה רק להניח שהסדר נשמר ויכול לא להופיע קלט אחרון, או שני האחרונים או כל שלושתם?
ובכל אופן בהמשך לשאלה הזו בשימוש בvarargin אני יכול לשים אותו על כל המשתנים כלומר בתחילת המשתנים של הקלט ואיך אני שואל אם מחרוזת היא ריקה if a=''?זה לא מתסדר לי

תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

האם חייבים ליצור את הסרט בעזרת הפקודה: movie2avi?
האם מותר להסתפק פשוט ב-getframe?

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות

2012-04-26T12:56:45Z

Neta: /* בחנים */ פסקה חדשה

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T17:58:10Z

Neta: /* דוגמאות */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>
::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T17:54:10Z

Neta: /* דוגמאות */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T17:53:43Z

Neta: /* דוגמאות */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: \int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c

6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T17:43:15Z

Neta: /* דוגמאות */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: \int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 3 (11/3/12)

2012-03-11T08:04:59Z

Neta:

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 3 (11/3/12) ==

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 3 (11/3/12)

2012-03-11T08:04:41Z

Neta: הסרת כל התוכן מדף זה

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 3 (11/3/12)

2012-03-11T08:04:18Z

Neta: יצירת דף עם התוכן "*חזרה להרצאות"

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T08:03:15Z

Neta: /* דוגמאות */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T08:00:09Z

Neta: /* דוגמאות */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T07:55:16Z

Neta:

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-11T07:52:54Z

Neta: /* הרצאה 2 (6/3/12) */

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

===דוגמאות===

1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>

2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>

3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-06T20:59:53Z

Neta: /* דוגמאות */

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-06T20:59:40Z

Neta: /* דוגמאות */

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>

<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-06T20:59:22Z

Neta: /* דוגמאות */

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>
<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-06T20:57:47Z

Neta: /* דוגמאות */

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4)<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5)<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math>
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math>

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

2012-03-06T20:26:21Z

Neta: /* הרצאה 2 (6/3/12) */

== הרצאה 2 (6/3/12) ==

<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>

1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.

2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)

===דוגמאות===

1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>

2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>

3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>

4)<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>

:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>

:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

<big><big>'''אינטגרציה בחלקים:'''</big></big>

נתחיל בנוסחה הידועה <math>[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math> , <big>'''לכן'''</big>: <math>\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)</math> לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

<math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math>

<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>

נתחיל עם כלל השרשרת: <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>.

לכן אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>: <math>\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)</math> ומזה נובע: <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))</math>.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון <math>\int f(g(x))g'(x)dx</math> נסמן <math>y=g(x)</math> ולכן <math>\frac{dy}{dx}=g'(x)</math>. פעולה פורמלית: <math>dy=g'(x)dx</math>. כעת נציב את מה שסימנו:

<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)

2012-03-04T19:45:19Z

Neta:

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)|הרצאה 1 (4/3/12)]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)|הרצאה 2 (6/3/12)]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 3 (11/3/12)|הרצאה 3 (11/3/12)]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 4 (13/3/12)|הרצאה 4 (13/3/12)]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)|הרצאה 5 (18/3/12)]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 6 (20/3/12)|הרצאה 6 (20/3/12)]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 7 (25/3/12)|הרצאה 7 (25/3/12)]]

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)

2012-03-04T19:37:25Z

Neta:

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]

== הרצאה 1 (4/3/12) ==

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)

2012-03-04T19:32:53Z

Neta: /* מערך שיעור 1 */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)|הרצאה 1 (4/3/12)]]

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)

2012-03-04T19:32:46Z

Neta: יצירת דף עם התוכן "== הרצאה 1 (4/3/12) == קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה <big>..."

== הרצאה 1 (4/3/12) ==

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)

2012-03-04T19:32:08Z

Neta: /* מערך שיעור 1 */

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)|הרצאה 1 (4/3/12)]]

== מערך שיעור 1 ==

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)

2012-03-04T19:28:57Z

Neta: /* מערך שיעור 1 */

== מערך שיעור 1 ==

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)

2012-03-04T19:28:19Z

Neta: יצירת דף עם התוכן "== מערך שיעור 1 == השקעתי מלא, אז בבקשה תפתחו קישור כמו שהיה באינפי למערכי שיעור ותדביקו את ז..."

== מערך שיעור 1 ==

השקעתי מלא, אז בבקשה תפתחו קישור כמו שהיה באינפי למערכי שיעור ותדביקו את זה שם (כולל קרדיט לנמרוד ^_^ )

<big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>

נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על <math>f</math>, ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.

5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

{|class="wikitable"
|<math>f(x)</math>
|<math>x</math>
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|-
|.
|.
|}

7) מסרטטים את הגרף.

<big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>

הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.

משפט 1: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.

הוכחה: נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.

סימון מקובל: אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .

{|class="wikitable"
|<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>

טענה נועזת: <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.

הוכחה: <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)

כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,

משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
|[[קובץ:Graf.png]]
|}

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

{|class="wikitable"
|<math>F(x)</math>
|<math>f(x)</math>
|-
|<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
|<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
|-
|<math>ln(x+a)</math>
|<math>(x+a)^{-1}</math>
|-
|<math>\sin (x+a)</math>
|<math>\cos (x+a)</math>
|-
|<math>-\cos (x+a)</math>
|<math>\sin (x+a)</math>
|-
|<math>e^{x+a}</math>
|<math>e^{x+a}</math>
|-
|<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
|<math>a^x</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
|-
|<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
|-
|<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
|<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
|}

שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב

2012-03-04T19:28:03Z

Neta: /* מערך שיעור 1 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב

2012-03-04T19:27:37Z

Neta: /* קישורים */

[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]

=קישורים=
'''<math>\ \Longleftarrow</math>'''[[שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב|שאלות ותשובות]]'''<math>\ \Longrightarrow</math>'''

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים|תרגילים]]

*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|הרצאות (מערכי שיעור)]]

=הודעות=

פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21

2012-01-01T19:27:13Z

Neta:

א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> . סכום החזקות של הפולינום המינימלי של האופרטור הוא 6, ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 6X6. צורת זו'רדן של האופרטור תיראה מהצורה: <math>\begin{pmatrix}
G1 & 0\\
0& G2
\end{pmatrix}</math> כאשר G1, G2 הם בלוקים השייכים לע"ע של האופרטור 2 ו-3 בהתאמה.

אמצא את G1, השייך לע"ע 2:

ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> וריבויו האלגברי של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: <math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2) \right \}</math>.

אמצא את G2, השייך לע"ע 3:

ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. ריבויו האלגברי של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא: <math>diag\left \{ J_2(3)\right \}</math>

ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן:
<math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2),J_2(3) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2),J_2(3) \right \}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 1 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 0 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math>

ב. הפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע <math>\lambda</math> של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: <math>dim(ker(T-\lambda I)</math>
ולכן, עבור הע"ע <math>\lambda=4</math> מספר בלוקי הז'ורדן הם: <math>dim(ker(T-4I))=3</math> כלומר 3. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות:
<math>diag\left \{ J_3(4),J_1(4),J_1(4) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(4),J_2(4),J_1(4) \right \}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 & 0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &0\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &1 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &0\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math>

מ.ש.ל (:

פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21

2011-12-31T22:41:05Z

Neta: יצירת דף עם התוכן "א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> . סכום החזקות של הפולינום המ..."

א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> . סכום החזקות של הפולינום המינימלי של האופרטור הוא 6, ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 6X6. צורת זו'רדן של האופרטור תיראה מהצורה: <math>\begin{pmatrix}
G1 & 0\\
0& G2
\end{pmatrix}</math> כאשר G1, G2 הם בלוקים השייכים לע"ע של האופרטור 2 ו-3 בהתאמה.

אמצא את G1, השייך לע"ע 2:

ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math> וריבויו האלגברי של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: <math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2) \right \}</math>.

אמצא את G2, השייך לע"ע 3:

ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. ריבויו האלגברי של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא: <math>diag\left \{ J_2(3)\right \}</math>

ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן:
<math>diag\left \{ J_2(2), J_2(2),J_2(3) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2),J_2(3) \right \}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 1 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\
0& 0 & 2 & 0 & 0& 0\\
0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\
0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math>

ב. הפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע <math>\lambda</math> של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: <math>n-dim(ker(T-\lambda I)</math>
ולכן, עבור הע"ע <math>\lambda=4</math> מספר בלוקי הז'ורדן הם: <math>n-dim(ker(T-4I))=5-3=2</math> כלומר 2. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות:
<math>diag\left \{ J_4(4),J_1(4) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_3(4),J_2(4) \right \}</math>.

<math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &1 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &0\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 &0 \\
0 & 4 &1 &0 &0 \\
0 & 0 &4 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 4 &1\\
0 & 0 & 0 & 0 &4
\end{pmatrix}</math>

מ.ש.ל (:

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-31T22:08:06Z

Neta: /* אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב) */

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

'''דירוג ביניים:'''

1. עמנואל סגל (11 פתרונות).

2. אלעד איטח (8 פתרונות).

3. נפתלי וקסמן (6 פתרונות).

4. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת ז'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
0 &-6 &6
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &0 &0 &5
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
</math>

<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע למדה. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. <math>dim(V_{2})=3</math>

ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>

[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &1 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math>

א. מצא את הפולינום האופייני של A.
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

[[פתרון 4 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)===

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math> אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענר)===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 \\
0 &0 &4 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

'''עמנואל''': מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון?)

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]

עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיט
על שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ.

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

'''תיקון(עמנואל):''' המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

:'''עמנואל:''' אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה
<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0&1 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>
,
<math>B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &1 &0 \\
0 & 0 & 0&0 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>

ענו נכון/לא נכון:

א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math>

ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)===

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)===

מצא את צורת ז'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &0 \\
1& 4 & 0 & 0\\
2& 3& 3 &0 \\
4 & 5 &6 & 3
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)===

תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]

סעיף זה נועד רק לתלמידים שטרם הצטרפו לתחרות (כלומר, לא פתרו שאלות מהמבחנים שבאתר של ד"ר צבאן).
אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST)

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White)===

תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

<math>A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
1 & 0& 3& -1& 0\\
0 & -1& 2& 3& 0\\
0 & 2& -3& 0& 3
\end{bmatrix}</math>

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]]

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 21 (Donald L. White)===

מצא את כל צורות ז'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!

א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math>

ב. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> ונתון גם ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21|פתרון (נטע צדוק)]]

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-31T21:54:52Z

Neta: /* יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White) */

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-31T21:54:29Z

Neta: /* יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White) */

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

'''דירוג ביניים:'''

1. עמנואל סגל (11 פתרונות).

2. אלעד איטח (8 פתרונות).

3. נפתלי וקסמן (6 פתרונות).

4. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת ז'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
0 &-6 &6
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &0 &0 &5
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
</math>

<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע למדה. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. <math>dim(V_{2})=3</math>

ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>

[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &1 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math>

א. מצא את הפולינום האופייני של A.
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

[[פתרון 4 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)===

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math> אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענר)===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 \\
0 &0 &4 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

'''עמנואל''': מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון?)

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]

עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיט
על שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ.

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

'''תיקון(עמנואל):''' המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

:'''עמנואל:''' אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה
<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0&1 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>
,
<math>B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &1 &0 \\
0 & 0 & 0&0 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>

ענו נכון/לא נכון:

א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math>

ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)===

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)===

מצא את צורת ז'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &0 \\
1& 4 & 0 & 0\\
2& 3& 3 &0 \\
4 & 5 &6 & 3
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)===

תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]

סעיף זה נועד רק לתלמידים שטרם הצטרפו לתחרות (כלומר, לא פתרו שאלות מהמבחנים שבאתר של ד"ר צבאן).
אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST)

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White)===

תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

<math>A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
1 & 0& 3& -1& 0\\
0 & -1& 2& 3& 0\\
0 & 2& -3& 0& 3
\end{bmatrix}</math>

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010,יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]]

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-31T21:54:10Z

Neta: /* יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White) */

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

'''דירוג ביניים:'''

1. עמנואל סגל (11 פתרונות).

2. אלעד איטח (8 פתרונות).

3. נפתלי וקסמן (6 פתרונות).

4. אוהד קליין, אופיר שפיגלמן (2 פתרונות).

5. אתה (אם אינך אחד מהנ"ל).

יאללה לעבודה!

הערה: הדירוג זמני. לאחר חנוכה, נבדוק את הפתרונות, נתקן מה שדרוש תיקון (ובכך נשמיט את הקרדיט על הפתרון מפותרו), ונספור מחדש.

==הנחיות==

0. '''קרא''' בעיון את [[מדיה:JordanAll.pdf|'''החוברת על משפט ג'ורדן''']], כולל התירגול בסוף.
פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. '''חפש מבחנים''' באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן.
למשל, יש בחינות [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן].

2. אם המבחן שמצאת אינו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Exams.html במאגר הבחינות של ד"ר צבאן],
'''שלח''' לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש '''שימוש בכלים של צורת ג'ורדן''', אשר '''טרם נכתבה להלן'''.
כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון,
לפי הדוגמאות להלן.
אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות.
בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו.
(תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד
לא העליתם את הפתרון בויקי.
לעזרה ראה: [[עזרה:תפריט_ראשי|איך כותבים בויקי]].

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!

* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===

להכניס כאן את השאלה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]

==אוניברסיטת בר-אילן==

===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)===
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
ב. מצא צורת ז'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
2&2 &-1 \\
0 &-1 &2 \\
0 &-6 &6
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
2 &1 &0&0 \\
0 &2 &0 &0 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &0 &0 &5
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
</math>

<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
המתאימים לע"ע למדה. אזי:
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. <math>dim(V_{2})=3</math>

ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>

[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &1 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math>

א. מצא את הפולינום האופייני של A.
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

[[פתרון 4 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===

נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון טעון שיפור: אין צורך לעבור למקרה הנילפוטנטי. ראו בחוברת על משפט ג'ורדן.
ב.צ.

===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר)===
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: "קל לראות ש" או "על ידי חישוב ישיר רואים" אינם קבילים.
(גם לא במבחן.) הוסיפו את החישוב!
ב.צ.

===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]

הקרדיט שמור בינתיים, אך הפתרון אינו קביל: יש טענות בלי הסברים. ב.צ.

===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן)===

תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן)===

נתבונן במטריצה
<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0&1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]

למה תיקנת לשגיאה? לפי כללי התעתיק יש לכתוב ז'ורדן... (http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%99%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%93%D7%99%D7%94:%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%AA%D7%A2%D7%AA%D7%99%D7%A7_%D7%9E%D7%A6%D7%A8%D7%A4%D7%AA%D7%99%D7%AA)

===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין)===

יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.

אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי)]]

===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי)===

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
3 &0 & 0\\
0 & 0 &0 \\
0&0 & 0
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]

===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי)===

תהי <math>A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 & 1\\
1& 0 &0 &-2 \\
0& 1 & 2 &0
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל <math>\mathbb{C}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי)]]

==האוניברסיטה העברית==
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט)===
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
3 &1 &0 \\
0 &2 &0 \\
0 &0 &2
\end{pmatrix}
</math> אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,ענר)===
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
<math>A=\begin{pmatrix}
4 &1 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 \\
0 &0 &4 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

'''עמנואל''': מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון?)

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי)===
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?

1. <math>T^{3}=0</math>

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.<math>T^{3}\neq 0</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]

===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי)===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 2 & 1\\
0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}</math>

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

[[פתרון 2(אלעד איטח)]]

=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) ===
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

[[פתרון (אלעד איטח)]]

===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונות המטריצות

<math>
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}
\right),
B=\left(
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
</math>

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===

נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0\\
2 & 3 & 3 & 0\\
4 & 5 & 6 & 3
\end{pmatrix}</math>

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2009_2_1_1.pdf]

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע)===

'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]

===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע)===

השאלה:

תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\
1 & 0 & ... & 0 & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ...\\
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix}</math>
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]

[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]

===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
2&1 & 0 & 0\\
0& 2 & 1 &0 \\
0 & 0& 2 & 1\\
1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>

[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר)===

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

<math>A=\begin{pmatrix}
2 &8 \\
2 &2
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
2 &0 \\
2 &2
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
2 &4 \\
4 &2
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
6 &0 \\
0 &-2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]

עמנואל מצא שגיאות בפתרון, ואני מצאתי שגיאה נוספת (ותיקנתי). לכן, אין זוכים בקרדיט
על שאלה זו. טרם בדקתי את השאלות האחרות. מהרו לתקן לפני שאבדוק :) ב.צ.

===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק)===

כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות

<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>

<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>

הן דומות

'''תיקון(עמנואל):''' המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט)===

<math>A=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0 \\
1 &2 & 0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}</math>

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי)]]

:'''עמנואל:''' אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ז'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע)===

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
1 &0 & 0 &0 \\
4 & 2 &0 & 0\\
7 & 5 & 3 & 0\\
9 &8 & 6 & 2
\end{pmatrix}</math>

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי)]]

===תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר)===
האם <math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
0 & 4 &5 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
6 &5 &3 \\
0 & 4 &2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
דומות מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math> ?

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ז, מועד ב, שאלה 4|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק)===

תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום)===

תהיינה
<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0&1 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>
,
<math>B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 & 0\\
0& 0 &1 &0 \\
0 & 0 & 0&0 \\
0& 0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}</math>

ענו נכון/לא נכון:

א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math>

ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט)===

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג)===

מצא את צורת ז'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &0 \\
1& 4 & 0 & 0\\
2& 3& 3 &0 \\
4 & 5 &6 & 3
\end{pmatrix}
</math>.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]

===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע)===

תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]

==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]

סעיף זה נועד רק לתלמידים שטרם הצטרפו לתחרות (כלומר, לא פתרו שאלות מהמבחנים שבאתר של ד"ר צבאן).
אתם מוזמנים להוסיפן ולפתרן. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 22:01, 31 בדצמבר 2011 (IST)

===יוני 2010, אוניברסיטת קנט (ארה"ב), שאלה 22 (Donald L. White)===

תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

<math>A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
1 & 0& 3& -1& 0\\
0 & -1& 2& 3& 0\\
0 & 2& -3& 0& 3
\end{bmatrix}</math>

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]]

פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22

2011-12-31T21:53:06Z

Neta: יצירת דף עם התוכן "א. נתון שהפולינום האופייני של המטריצה <math>A</math> הוא: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> ולכן הריבוי האלגברי שלו ..."

א. נתון שהפולינום האופייני של המטריצה <math>A</math> הוא: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> ולכן הריבוי האלגברי שלו הוא 5. כלומר, צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A</math> היא מסדר <math>5 \times 5</math>.

בנוסף, ניתן לראות שלמטריצה ערך עצמי יחיד שהוא 3, ולכן כל בלורי ג'ורדן שיופיעו לאורך האלכסון של צורת ז'ורדן של המטריצה יהיו מהצורה הבאה: <math>\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & \cdot & 0\\
0 & 3 & 1 & \cdot & \cdot \\
\cdot & 0 & \cdot & \cdot &0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot &1 \\
0& \cdot & \cdot & 0 & 3
\end{pmatrix}</math> בה על אלכסון הבלוק מצוי הערך העצמי 3, מעליו אפסים, וכל שאר המטריצה מלאה באפסים.

הפולינום המינימלי של המטריצה הוא: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math> והריבוי האלגברי שלו הוא 3. כלומר, בלוק הז'ורדן הגדול ביותר שיופיע במטריצה הוא מסדר <math>3 \times 3</math>. כלומר, ישנן שתי אפשרויות: <math>diag\left \{ J_3(3),J_2(3) \right \}</math> או <math>diag\left \{ J_3(3),J_1(3),J_1(3) \right \}</math>.

ולכן, אלו הן כל האפשרויות לצורת ז'ורדן:

<math>\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0& 0 & 3 & 0 & 0\\
0& 0 & 0 & 3 &1 \\
0& 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math> או <math>\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0& 0 & 3 & 0 & 0\\
0& 0 & 0 &3 &0 \\
0& 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math>

ב. נתונה המטריצה:
<math>A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
1 & 0& 3& -1& 0\\
0 & -1& 2& 3& 0\\
0 & 2& -3& 0& 3
\end{bmatrix}</math>

ידוע לי שהפולינום האופייני והמינימלי שלה הם אלו המופיעים בסעיף הקודם, ונותר לי רק להחליט איזו צורת ז'ורדן מבין השתיים הנ"ל שייכת לה. מספר בלוקי הז'ורדן המופיעים בצורת ז'ורדן של המטריצה שווים ל-<math>n-\rho (A-\lambda I)</math>. ידוע לי ש n=5 ולכן נותר רק למצוא את הדרגה של <math> A-\lambda I</math>, כאשר <math>\lambda</math> הוא הע"ע של A, ולפי הפולינום המינימלי הנתון, ידוע שהוא 3.

<math>A-3I = \begin{bmatrix}
0 &-1 &2 & 0 &0 \\
2& 0& 0 & -2& 0\\
1& 0& 0 & -1& 0\\
0& -1&2 & 0& 0\\
0& 2 & -3 & 0 &0
\end{bmatrix}</math> וניתן לראות, שהשורה השנייה והשלישית ת"ל, והשורה הראשונה והרביעית ת"ל. לכן, זה מותיר אותנו עם 3 שורות שאינן תלויות לינארית, ולכן <math>\rho (A-3 I)=3</math>. כלומר, <math>n-\rho (A-3I)=5-3=2</math>. ולכן, מספר בלוקי הז'ורדן שיופיעו על האלכסון הוא 2. ולכן, צורת הז'ורדן המתאימה היא: <math>diag\left \{ J_3(3),J_2(3) \right \}</math>,
<math>\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0& 0 & 3 & 0 & 0\\
0& 0 & 0 & 3 &1 \\
0& 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}</math>

מ.ש.ל (:

תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

2011-12-31T21:21:18Z

Neta: /* אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב) */

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2011-12-27T15:41:31Z

Neta: /* הבוחן */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1| ארכיון 1]]

=שאלות=

== תרגיל שהוכח במערכי תרגול - גבולות חלקיים ==

במערכי תרגול יש תרגיל (לו מצורפת הוכחה): מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.
העניין הוא שמכיוון שאת איברי סדרה ניתן לשים בקבוצה ולכן עוצמת הקבוצה היא אלף אפס (סדרה היא בת מניה) ואם יוצרים קבוצה של גבולות חלקיים של סדרה, ובקבוצה הזו אמורים להיות כל המספרים הממשיים אז עוצמת הקבוצה היא אלף, משמע יש בה יותר איברים מאשר בסדרה. זה לא מתחבר לי. (אבקש שתסבירו לי את הטעות שלי ולא את ההוכחה)

== בקשר לגבולות חלקיים ==

אחרי שמצאתי גבולות חלקיים ע"י הצבת n זוגי וn אי זוגי איך אני מוכיח שהם הגבולות החלקיים היחידים? הדוגמא בכתה של בחירת סביבה כללית של גבול ולהראות שיש שם מספר סופי של איברים לא ברורה לי אם אפשר הסבר נוסף ודוגמא טובה תודה

יהי M גבול חלקי של הסדרה , אזי קיימת תת-סדרה <math>{a_{n_{k}}}</math> של הסדרה המקורית, המתכנסת אליו. היא בהכרח מכילה כמות אינסופית של איברים במקומות זוגיים, או אינסוף איברים במקומות האי זוגיים [אחרת בתת סדרה יש מספר סופי של איברים. סתירה]. ניקח את תת- תת-הסדרה <math>{a_{n_{k_{m}}}}</math> של אותם אינסוף איברים. סדרה זו היא גם תת סדרה של האיברים במקומות האי זוגיים\זוגיים ולכן מתכנסת לגבול L שהוא הגבול של האיברים במקומות האי זוגיים\זוגיים. אבל בגלל ש <math>{a_{n_{k}}}</math> מתכנסת, אז כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול M. קיבלנו M=L [כי הגבול של <math>{a_{n_{k_{m}}}}</math> מוגדר היטב]

== תאריכי הבחנים ==

למחלקת מתמיקה באוניברסיטת בר אין שלום
יש משהו שמאוד מאוד מפריע לי בהתלנות ואני מרגיש שאני מוכרח לספר, גם לא תוכלו לעשות שום דבר בנידון ואני מאוד מאוד מקווה שתוכלו:
אני חושב שתאריכי הבחנים הם פשוט בדיחה.
בחנים לתיכוניסטים כשיש חופש מהלימודים?!?!? סליחה על המילה אבל זו פשוט שערוריה !!
בזמן החופש מהלימודים אנחנו רוצים לצאת, להנות, לטייל עם המשפחה ועם תנועות הנוער, לטוס , ובעיקר לנוח מהלימודים.אני חושב
שזה ממש לא הזמן המתאים לבוחן כי זה גורם לנו להפסיד המון המווון המון.
אל תשכחו שלמרות שאנחנו סטודנטים אנחנו גם ילדים !!!
בתודה, ובתקווה לקבלת מענה.

:אין חופש מהלימודים בחנוכה באוניברסיטה (הלימודים מפסיקים אחרי ארבע). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

נכון אבל יש חופש מהלימודים !! ואנחנו רוצים לנצל אותו בלחפוש ולנוח ולטייל ולא בללמוד לבחנים או לעשות אותם
בבקשה תבינו אותנו !!!!!!!!!!!!!! תדחו את הבחנים לאחחרי החופש ! לשבוע אחריו! במילא אנחנו מותרים על מלא דברים ביומיום..אז גם בחנוכה ?!
אני חוזר, למרות שאנחנו סטודנטים אנחנו ילדים וכמה שאנחנו רוצים תתואר הזה אנחנו רוצים גם לחיווות !!

ובנוסף :

מה הכוונה הוכח במפורש - עפ"י הגדרה?
האם אני יכול להוכיח שהסדרה אינה סדרת קושי (ולכן היא לא מתכנסת במובן הצר) + מונוטנית עולה = שואפת לאינסוף?

:באיזו שאלה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הרחבה לאריתמטיקה ==

ניסיתי לשווא להוכיח עפ"י הגדרה ש<math>lim a_n^{limb_n}=lim a_n^{b_n}</math> (כאשר הגבולות קיימים). איך עושים את זה? (או מפריכים)
:: לאחר שתלמדו על פונקציות רציפות ותוכיחו שפונקצית ln רציפה, התשובה לשאלה תהיה יותר ברורה.
--[[משתמש:מני ש.|מני]]

== בקשר לתרגיל 5 שאלה 5 סעיף א ==

בקשר לרמז שם : איך אני מוכיח באינדוקציה לא מוצא הנחה טובה כדי להחמיר איתה בk+1 זה פשוט לא מסתדר אפשר עזרה?
תודה
:: אפשר להסתכל בפתרונות. :--[[משתמש:מני ש.|מני]]

== תרגיל 5 שאלה 2 ==

1.על מנת להוכיח ש-0 הוא הגבול החלקי היחיד. מספיק לי להוכיח (בדומה להוכחה בכיתה) שקיימת סביבה של L
(0,2L) כך שב-+R אי זוגיים אין לי כלל איברים ובזוגיים יש לי n0 איברים?

2. יכולתי לצורך העניין לקחת דוג' מספרית נגיד הסביבה של 2 ולהסיק באותה הדרך על (0,4) למשל?
:: יש שוני מהותי בין התרגיל הזה לבין התרגיל שהיה בכיתה. בתרגיל שהיה בכיתה (אם אני זוכר אותו נכון)
היו שני גבולות חלקיים אחד 0 (למעשה כל האיברים במקומות האי זוגים היו אפס , או שזה היו דוקא האיברים במקומות הזוגיים אני לא זוכר) והשני אינסוף.

נניח שהזוגיים שאפו לאינסוף אז ידענו מהגדרת שאיפה לאינסוף שכמעט כל איברי תת הסדרה הזו בקרן
<math>(2L,\infty)</math> ולכן הסקנו שיש בסה"כ לכל היותר מספר סופי של איברים בקטע (0,2L). המצב בתרגיל הזה שונה מאד גם האי זוגיים וגם הזוגים שואפים לאפס. לכן ההוכחה ההיא פשוט לא תעבוד, הטיעון שצינתי קודם ממש אינו נכון במקרה זה וצריך לקחת סביבת אפסילון אחרת.

אפשר להיעזר בעובדה שבמקומות האי זוגיים הסדרה זהותית אפס ובמקומות הזוגיים סדרה מונוטונית יורדת לאפס

שהאיבר הראשון שלה הוא <math>2(\frac{4}{5})^2</math> ברור שאם היה בכלל איזשהו גבול חלקי אחר הוא היה צריך להיות בין 0 ל <math>2(\frac{4}{5})^2</math>. לכן מספיק להראות שלא קיים גבול חלקי L בטווח זה. מכיון שסדרת הזוגיים שואפת לאפס ניתן להסיק שלכל L בטווח זה קיים n0 יחיד כך ש

<math>2(\frac{4}{5})^{2(n_0+1)}\leq L\leq 2(\frac{4}{5})^{2n_0}</math> מזה אפשר להסיק שקיימת סביבת אפסילון לL שאין בה בכלל איברים מאיברי הסדרה ולכן L אינו גבול חלקי.--[[משתמש:מני ש.|מני]]

== תשובות לתרגיל 5 באינפי לאנשי מדעי המחשב ==

שלום רב,
מדוע לא פורסמו התשובות לשאלות של תרגיל 5 במדעי המחשב?
איך נוכל להשוות וכן איך נוכל ללמוד עבור הבוחן שיש שבוע הבא?
תודה רבה.
:תרגיל חמש עוד לא הוגש, כעת עוד לא נכתבו פתרונות. תלמדו מהחומר שכן יש, ואתם מוזמנים לשאול שאלות במקרה ומשהו לא ברור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מערכי התרגול, אינפי1, חסמים ==

שלום ארז,
אני חושב שבמערכי התרגול של חסמים בהוכחת המשפט על חסם עליון חסר טקסט. הטקסט מסתים "מכיוון שאפ " ..
עיונך. =].
:אביט בזה, תודה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בוחן מדמ"ח ==

האם הבוחן הקרוב יכלול שאלות מתרגיל 2 - חסמים? (כן אנחנו יודעים שחייב לדעת חסמים בשביל סדרות, זה רק בשביל למקד קצת יותר).
:לא --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 6 , שאלה 4 ==

האם מותר השימוש במשפט סדרה שלא מתכנסת ל0 הטור שלה מתבדר?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]]

== בקשר ל-ln ==

האם ln(n שואף לאינסוף? ו1 חלקי הביטוי הזה שואף ל0?
ומה קורה במקרה של n =1 ? n מתייחסים אליו?

תודה

:(לא מתרגל): כן, (ln(n שואפת לאינסוף, כי יהי M ממשי, ניקח N = e^M וכל n טבעי שגדול מ N מתקיים ln(n)>M . 1 חלקי הביטוי הזה מתכנס ל 0 כי נראה לי שמשפט כזה היה בשיעורי בית (בכ"מ ממש קל להוכיח שאם סדרה מתכנסת לאינסוף אז ה"הופכית" שלה מתכנסת ל 0). עבור n=1 הביטוי לא מוגדר.

שלום רב,
הבנתי כי הבוחן יכלול שאלות מתריול חמש,
תוכל בבקשה להעלות פתרונות של התרגול?
תודה.
:הועלו פתרונות.

== [מדמ"ח] תרגיל 5 שאלה 2 סעיף ג ==

זה אמנם לא משנה את הפתרון אבל בשלב האחרון בתשובה ששמתם, האיבר האחרון במונה הוא

<math>1 / (n ^ 10)</math>

זה לא אמור להיות

<math>1 / (n ^ 1.5)</math>
?

:צודק, הרי כפלנו את המונה ואת המכנה ב <math>\frac{1}{n^{5/2}}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 4 א' ==

לא הבנתי את הפתרון נראלי שהם דילגו על מספר שלבים ולא הכלילו את הINF בפתרונם
:מראים שם, שאם ניקח תת-סדרה '''מתכנסת''' של <math>a_n</math>, אזי הגבול שלה יהיה גדול או שווה ל <math>-\limsup(-a_n)</math>.
:כמו כן, מצאנו תת סדרה ספציפית המתכנסת לגבול זה.

:ביחד, יוצא שזה הגבול החלקי הכי קטן של <math>a_n</math> או במילים אחרות, <math>\liminf(a_n)=-\limsup(-a_n)</math>
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== [מדמ"ח] תרגיל 5 שאלה 4 סעיף ב ==

ניסיתי שעות להבין את הפתרון ללא הצלחה.
נראה כאילו בכל שורה מגיעים למסקנות לפי חוקים שלא למדנו בכלל או למסקנות לא הגיוניות בכלל (למשל את הסוגריים בפתרון נראה לי שאפשר להפריך).
אתה יכול להסביר מה בדיוק הולך שם?
(עם תקווה קלושה לתגובה עוד היום ^_^)

== שאלה כללית על טורים ==

האם אפשר לכתוב בפוסט הזה את המשפטים כמו אם שני טורים מתכנסים אז הסכום של שניהם גם מתכנס וכן הלאה? האם מכפלת טורים מתכנסים גם היא טור שמתכנס? פשוט אני לא מוצא את זה בשום מקום תודה..
:סכום של טורים מתכנסים מתכנס, מכפלה '''בקבוע''' של טור מתכנס היא מתכנסת. מכפלת טורים היא דבר לא מוגדר, אם אתה כופל איבר איבר אז זה מתכנס אם הטורים חיוביים, ואם לא זה לא חייב להתכנס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

אם הראתי ע"פ כלל מסויים שהוא מתכנס וע"פ כלל מסויים אחר או אולי אותו כלל שהוא מתבדר זה אומר שהיא אפשר להסיק כלום לגביו? תודה
:: כדי להוכיח שמהתבדרות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> לא ניתן להסיק שהטור השני שבשאלה מתבדר מספיקה דוגמא נגדית לטור א' שמתבדר אבל שהטור ב' מתכנס. באופן דומה תספיק דוגמא נגדית אחרת... בשביל להוכיח שלא ניתן להסיק מהתבדרות סוג א' את התכנסות סוג ב'. --[[משתמש:מני ש.|מני]]

מני היקר אני באמת לא מבין איך אתה מסיק מהשאלה שצריך רק שתי דוגמאות נגדיות ולא הוכחה כללית כי הרי הדוגמאות מראות רק לסדרות ספציפיות ולא לכל הסדרות.. תודה....
:: אם השאלה היתה: "הוכח שמהתבדרות הטור החיובי <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> ניתן להסיק שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_{n}^2}</math> מתבדר", מה היה צריך להוכיח? שאם יש טור חיובי '''כלשהו''' <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> המתבדר אז גם
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_{n}^2}</math> מתבדר.

אם מבקשים להוכיח '''שלא''' ניתן להסיק את זה אז המשמעות היא שדווקא צריך למצוא דוגמא נגדית. כנ"ל לגבי '''אי''' האפשרות להסיק שאם
שאם יש טור חיובי כלשהו <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> המתבדר אז
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_{n}^2}</math> מתכנס.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:41, 21 בדצמבר 2011 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 4 ==

לא הבנתי איך הכיוון <math>=></math> מתקיים.
הרי אפשר להציב <math>a_n=\frac{1}{n}</math> ו <math>b_n=(-1)^{n+1}</math> ובמקרה זה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס לפי לייבניץ ואילו הטור
<math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|</math> אינו מתכנס.
לפי הבנתי הדבר צריך להתקיים '''לכל''' סדרה <math>b_n</math> חסומה.
תודה
--[[משתמש:רן|רן]]--

הכיוון שאתה מדבר עליו דורש שהטור יתכנס '''לכל''' סדרה חסומה. הדוגמא שלך לא סותרת את הטענה, כי הטור
<math>\sum_{n=1}^\infty b_n \frac{1}{n}</math>=<math>\sum_{n=1}^\infty b_n a_n</math>
לא מתכנס '''לכל''' סדרה חסומה <math>b_n</math>. למשל, הוא מתבדר עבור הסדרה הקבועה <math>b_n=1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:48, 21 בדצמבר 2011 (IST)

הבנתי תודה רבה.

== הבדלים בהגדרת הגבול ==

ההגדרה שבמערכי התרגול שונה מההגדרה של ד"ר שיין (מניחים שהפונ' מוגדרת על כל הסביבה, ולא רק שזאת נקודת הצטברות).
האם במבחן מותר יהיה להשתמש בכל אחת מההגדרות?

== תרגיל 6 מדעי המחשב קריטריון קושי ==

בשאלה 4 - האם הכוונה לשימוש במבחן ההתכנסות של קושי?
אם לא, האם ניתן להעלות סיכום למערכי התרגול של קריטריון קושי (+דוגמא :))?

:לא מבחן קושי. הכוונה היא להראות שסדרת הסכומים החלקיים הינה סדרת קושי - זה נקרא קריטריון קושי להתכנסות טורים. בשפה של טורים זה נראה כך:

:טור מקיים את קריטריון קושי אם לכל אפסילון גדול מאפס, קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו והלאה, לכל m>n שנבחר מתקיים <math>\Big|\sum_{i=n}^ma_i\Big|<\epsilon</math>

:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== חומר לבוחן תיכוניסטים ב - 28/12 ==

מתרגלים יקרים חג שמח, מהו החומר לבוחן התיכוניסטים שיתקיים ב - 28/12?
תודה רבה!
:תרגילים 4,5,6 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בוחן 2 ==

בש"ב 5 נתתם משפט על גבולות חלקיים שפותר את תרגיל 2 בקלות. האם בבוחן ניתן להשתמש בו?

== תרגיל 6 שאלה 3a ==

למה מציבים דווקא n=0,-1,-2?
:: אפשר להציב כל שלושה ערכים שרוצים כדי לקבל 3 משוואות ולמצוא את <math>A,B,C</math>. זה מה שעושים בשיטת השברים החלקיים. עם זאת נוח להציב ערכים שמאפסים בכל פעם את המקדמים של שניים מתוך שלושת המקדמים של <math>A,B,C</math>, כי אז המשוואות הרבה יותר פשוטות. כך למשל, אם מציבים n=0 מקבלים
<math>2A=1</math> וקל לראות ש <math>A=\frac{1}{2}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:22, 26 בדצמבר 2011 (IST)

== תת-סדרה מונוטונית ==

אפשר דוגמא לסדרה לא-חסומה שאין לה תת-סדרה מונוטונית? (בעקבות תר' 4 שאלה 5)
:: אי אפשר כי לא קיימת דוגמא כזו. גם לסדרה לא חסומה בהכרח יש תת סדרה מונוטונית. לסדרה לא חסומה מלעיל קיימת תת סדרה מונוטונית עולה ממש. לסדרה לא חסומה מלרע קיימת תת סדרה מונוטונית יורדת ממש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:30, 26 בדצמבר 2011 (IST)

== בוחן לתיכוניסטים מספר 2 ==

מישהו יכול לומר לי באיזה שעה יתקיים מחר הבוחן לתיכוניסטים באינפי 1 ואיפה (הבוחן של 28/12)?

בתאריך 28/12/11 שתי כתות

8813205 ד"ר שיין בכתה 101/1

8813207 ד"ר הורוביץ בכתה 502/21

גם התרגיל וגם הבוחן יתקיימו באותה כתה

:עד כמה שידוע לי הבחינות בחדרים צמודים 101/1,2 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן ==

האם צריך לדעת משפטים לבוחן? או רק הגדרות?
תודה מראש!
:איך אפשר לפתור תרגילים בלי משפטים? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::השאלה היא אם אצטרך לדעת את ההגדרה המדוייקת, כמו שבבוחן הקודם נתבקשתי לדעת את הגדרת הגבול במדויק. מובן שלא היה ניתן לפתור את שיעורי הבית ללא ההגדרה, אבל הניסוח במדויק (אפילו שבמקרה זה יחסית כן) לא נתבקש. אצטרך לדעת לכתוב בצורה פורמלית את מבחן ההשוואה הגבולי לדוגמה?

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב

2011-12-27T15:38:18Z

Neta: /* הבוחן */ פסקה חדשה

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-12-25T09:17:59Z

Neta:

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שיעורי בית ==

איפה אפשר לראות את שיעורי הבית ?
:בדף התרגילים, כמובן (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה !

== ריבוי של ע"ע ==

איך מוכיחים שריבוי אלגברי של ע"ע גדול מהריבוי הגיאומטרי שלו? (רמז יהיה נחמד)

:אה, נניח שהריבוי הגיאומטרי של ע"ע a הוא r, אזי קיימים r וקטורים בת"ל ששייכים למרחב העצמי של a. נשלים אותם לבסיס B של המרחב שלנו. הפולינום האופייני של מטר' דומות זהה. נסתכל על המטר' (או הע"ל) שלנו לפי בסיס B, יהיה לנו את השורש a לפחות r פעמים, זה נובע מדטרמיננטה של מטריצת בלוקים (ב r עמודות יהיו לנו וקטורים מהצורה a*ei)

== ליכסון מטריצה ==

אמרו לנו בתירגול שניתן ללכסן אופרטור מגודל N על N רק עם יש לנו N איברים עצמיים שונים.

זה נכון גם עבור מטריצה?

זו הייתה ההוכחה הראשונה בהרצאה ביום שלישי O_O

:דבר ראשון, קל לראות באמצעות מטריצות מייצגות שההבדל בין העתקות לינאריות למטריצות הוא זניח. שנית, אין דבר כזה "איבר עצמי" אם הכוונה שלך היא לע"ע אז המשפט שאמרת לא נכון - לדוגמא אופרטור הזהות. אם התכוונת לו"ע המשפט גם לא נכון, הרי קיימים אינסוף ו"ע (על ידי כפל בקבועים). ניתן לדבר על סכום מימדי המרחבים העצמיים שצריך להיות שווה לN ואז יהיה משפט נכון (גם עבור מטריצות). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ליכסון ==

בהרצאה הוכחנו שהמטריצה היחידה שניתנת לליכסון למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה , האם זה אומר שמטריצת היחידה לכסינה או שלא ?

:היא דומה למטריצה אלכסונית ע"י הכפלה ב I מימין ומשמאל... אז מסתמן שכן.

== תרגיל 1 שאלה 1 ==

מה הפירוש של לטרנספורמציה אין ערכים עצמיים שונים - 0 ערכים עצמיים או ערך עצמי אחד?

כן, או שאין ערכים עצמיים או שיש אחד.

== תרגיל 1 שאלה 5 ==

אפשר רמז או הדרכה לפתרון ?

== מתי מעלים את תרגיל 2 ? ==

?
מצטרף לשאלה

מצטרף לשאלה.

== שאלה ==

ארז שלום,
רציתי לשאול באם תוכל לאפשר לי לשים פה קישור לבלוג שלי שמתעסק בספרות, מידע מדעי וטכנולוגיות. שלחתי לך מיילים אבל כנראה שהמיילים לא הגיעו כי לא ראיתי תגובה. אין בבלוג שלי שום דבר שעובר על זכויות יוצרים. סלבה.

== תרגיל 2 ==

מתי מעלים את תרגיל 2?

== ,תרגילים 2 ו1 ==

מה זה ריבוב? למדנו על ריבוי

זה אותו דבר, ריבוב אלגברי = ריבוי אלגברי, ריבוב גיאומטרי = ריבוי גיאומטרי

== מערכי תרגול ==

האם תוכלו בבקשה להוסיף מערכי תרגול גם ללינארית?

== תשובות לשיעורי הבית ==

למה לא העלו את הפתרון לתרגיל 5 בשיעורי בית 5?
התרגיל היחידי הבעייתי...

== מותר בבוחן להשתמש בהגדרה השנייה של פ"א בלי הסבר? ==

(נוחה יותר כשהכל חיובי)

== אפשר אולגריתם לשילוש מטריצה? ==

תודה

תשובה: נתתי כזה בהוכחה שבהרצאה שלי. אפשר לצלם מאחד התלמידים. בועז

== טעות בפתרון תרגיל 2 שאלה 4 ==

הוציאו קצת לפני סוף הפירוק לגורמים לינארים להוציא (1+ג) {ג=למדה} עשו את הפעולה אך כתבו כאילו הוציאו (1-ג) ואז נוצר ערך עצמי מיותר הפולינום האופייני היה (1+ג)(1-ג)(ג-8) במקום (ג-8)2^(1+ג)

== נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3 ==

הדטרמיננטה של המטריצה <math>\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}</math>

היא: a*e*i+b*f*g+c*d*h-c*e*g-b*d*i-a*f*h

הבודק :)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

בסעיף א', הכוונה לע"ע של A, נכון?
לא למדנו ע"ע של סקלרים ;)

אני חושבת שהכוונה היא ל A^k

== מה זה מרחב -אינווריאנטי ==

והאם הוא יכול להיות שאחד הבסיסים בו ישלח ל0 תודה

== אפשר בבקשה להלעות אלגוריתם לג'רדון מטריצה? ==

תודה

== הודעה חשובה מהבודק ==

נא להגיש תרגילים קריאים!!!
טיוטות לעשות בנפרד ולא בתרגיל המוגש! כמו כן, לא לכתוב את אותה שאלה במקומות שונים - זה מקשה על הבדיקה.

סטודנט שיגיש ש"ב מלאים קשקושים, מחיקות, וטיוטות, עבודתו לא תבדק.

תודה,
הבודק

== צורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית ==

יכול להיות שצורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית לא תהיה בלוק ג'ורדן? שאלה 2 בשאלות האמריקאיות במבחן הזה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2b62ts.pdf

:(לא מתרגל) כל הצורות המוצגות כאופציות הן צורות ג'ורדן.

== טעות נפוצה בשיעורי הבית ==

במהלך תרגיל 4, הופיעה במספר תרגילים הטענה: <math>x</math> ע"ע של <math>A</math> '''אמ"מ''' <math>x^k</math> ע"ע של <math>A^k</math>. מעל שדה <math>F^{n*n}</math>

הראתם בתרגיל 2 את הכיוון שמאל גורר ימין.

הכיוון השני לאו דווקא נכון, ותלוי בשדה!

יתכן כי <math>x^k</math> יהיה בשדה אך <math>x</math> לא יהיה וכתוצאה מזה הוא לא יהיה ע"ע של <math>A</math> בשדה הנ"ל.

לדוגמא,

<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=\pm i</math>

<math>A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> עם ע"ע <math>x=-1</math>

גם <math>A</math> וגם <math>A^2</math> נמצאים ב<math>R^{2*2}</math> וכן <math>x^2</math> נמצא ב<math>R</math>.

אבל, <math>x</math> לא נמצא ב<math>R</math> ולכן הוא אינו ע"ע של <math>A</math> שם.

ולכן, לא ניתן להשתמש בטענה זו בתרגיל 4 שאלה 1 שכן אין אנו יודעים דבר על השדה <math>F</math> הנתון.

הבודק.

:יהי <math>\alpha</math> ע"ע של A אזי <math>\alpha ^{k}</math> ע"ע של <math>A^{k} = 0</math> ולכן <math>\alpha ^ {k} = 0</math> כי 0 הוא הע"ע היחיד של מטריצת האפס... ולכן <math>\alpha = 0</math> וזה הכיוון הראשון.
:[A חייבת להיות לא הפיכה, אחרת <math>A^{k}</math> הפיכה, ובהכרח שונה מ 0, סתירה. לכן קיים צ"ל שמאפס את העמודות של A, ז"א שקיים וקטור v עבורו <math>Av=0</math> וזה אומר ש 0 אכן ע"ע].
:ההוכחה הזו תקפה?

:: ההוכחה הזו אכן תקפה

== הוכחה לאי שוויון המשולש ==

בכיתה משום מה לא הוכחנו את אי שוויון המשולש [המרצה אמר שנחזור לזה] אם מגדירים אורך של וקטור ע"י שורש המכפלה הפנימית.

אז חשבתי על הוכחה אלמנטרית ביותר להוכחת אי-שוויון המשולש: יהיו u,v וקטורים במרחב מכפלה פנימית. נסמן <math>|v|</math> אורך של וקטור v (כדי לקצר את הכתיבה):

<math>0 \leqslant <\frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}, \frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}> = 1+1 - \frac{<u,v>}{|u||v|} - \frac{<v,u>}{|u||v|}</math>

<math>\Rightarrow <u,v> + <v,u> \leqslant 2|u||v| \Rightarrow <u,u>+<u,v> + <v,u> + <v,v> \leqslant <u,u> + 2|u||v| + <v,v> \Rightarrow <u+v,u+v> \leqslant (|u|+|v|)^{2} \Rightarrow |u+v| \leqslant |u| + |v|</math>

קראתי את התרגול ואני לא מבין איך מג'רדנים מטריצה!!
אפשר הסבר טווב ומפורט בבקשה? תודה

מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]

== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==

שאלה 2ג: <math>[T]^K=[T^k]</math>

יהיו S,H הע"ל שהתחום של S הוא הטווח של H אזי <math>[S][H]=[SH]</math> ואינדוקציה

נחמד.

דרך אחרת היא להראות שלכל פול' <math>P</math> מתקיים <math>P[T]_B=[P(T)]_B</math> ובפרט עבור P=t^k. (נכון?)

:איך אתה מוכיח את זה?

::באמצעות מה שניסיתי להוכיח ._.

== הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4 ==

בתרגיל 4, הרבה מכם הניחו שאם <math>A</math> נילפוטנטית אז <math>A</math> היא מטריצה משולשית עם 0 על האלכסון.

הנחה זו '''שגויה'''!.

אמנם, כפי שרבים כתבו, דטרמיננטה של מטריצה נילפוטנטית היא <math>x^n</math> (חלקכם כתב שד"ר קוניאבסקי הוכיח זאת), אז אין זה אומר כלום על טבעה של המטריצה.

לדוגמא, <math>A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}</math> היא נילפוטנטית מסדר 2 (בדקו זאת!) והיא לא בעלת אפסים על האלכסון.

הבודק.

:הם כנראה התכוונו לכך ש-A '''דומה''' למשולשית כזאת, שזה כמובן נכון.

::אם כן, היה צורך לציין זאת או להוכיח את זה. בכל המקרים הנחה זו צוינה כעובדה, ללא נימוק, או הוכחה כלשהי.

== הבוחן ==

על איזה תריגילים הבוחן באינפי וו בלינארית ??

== ציטוט מנתניהו בהשלמה להרצאה ==

מתי הוא אמר את זה?
:"נסיים בציטוט שלא היה". קרא היטב. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]]

== לא הבנתי את חלק מפתרון תר' 6 ==

תשובה 3C - מה עשו שם עם חישוב חזקות? (למה מותר? האם הכוונה ב"בסיס סטנ'" היא לבסיס הסטנ' של מרחב העמודות, שאנחנו אמורים להבין שהוא אוסף העמודות עצמן?)

תשובה 6 - איפה הוכיחו שקיום גורר <math>M^2=0</math>?

האם כדי להוכיח שעבור ערכים כלשהם המטריצה לכסינה, מספיק לדרוש לאחר שראיתי שהיא מתפרקת לגורמים לינאריים, שמספר הערכים העצמיים השונים הוא כמימד מטריצה, או שצריך להראות בהקשדר של וקטורים עצמיים?

שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב

2011-11-16T14:57:40Z

Neta: /* תשובות לשיעורי הבית */ פסקה חדשה

משפטים/לינארית

2011-09-18T06:27:58Z

Neta: /* קישורים למשפטים והוכחותיהם */

=קישורים למשפטים והוכחותיהם=
[[משפטים/לינארית/משפט המימדים|משפט המימדים]]

[[משפטים/לינארית/משפט ההגדרה|משפט ההגדרה]]

[[משפטים/לינארית/משפט הדרגה|משפט הדרגה]]

משפטים/לינארית

2011-09-18T06:27:28Z

Neta: /* קישורים למשפטים והוכחותיהם */

=קישורים למשפטים והוכחותיהם=
[[משפטים/לינארית/משפט המימדים|משפט המימדים]]

[[משפטים/לינארית/משפט ההגדרה|משפט ההגדרה]]

[[משפטים/לינארית/משפט הדרגה|משפט הדרגה]]

משפטון ההחלפה של שטייניץ http://math-wiki.com/images/d/d2/%D7%A9%D7%98%D7%99%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%A5.pdf://-