Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

קובץ:LAEng81ALes8Ariel.pdf

2020-12-07T11:40:19Z

Relweiz:

לינארית להנדסה תשפא א, סיכומי תרגול אריאל ויצמן

2020-12-07T11:35:51Z

Relweiz:

תרגול 1 - מרוכבים: [[מדיה:LAEng81ALes1Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/Ku6pJZukdcg סרטון]

תרגול 2 - ממ"ל: [[מדיה:LAEng81ALes2Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/pMPsSDroYTQ סרטון]

תרגול 3 - אלגברת מטריצות: [[מדיה:LAEng81ALes3Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/Es5E2bVocx4 סרטון]

תרגול 4 - כפל מטריצות + ריבועיות: [[מדיה:LAEng81ALes4Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/wpqKqSRPyfo סרטון]

תרגול 5 - מטריצות הפיכות: [[מדיה:LAEng81ALesAriel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/tF6hV7pRlJM סרטון]

תרגול 6 - מרחבים וקטוריים: [[מדיה:LAEng81ALes6Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/HBi8--c7hUE סרטון]

תרגול 7 - תלות ופרישה: [[מדיה:LAEng81ALes7Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/u5BOUCmqgJ4 סרטון]

תרגול 8 - בסיס ומימד: [[מדיה:LAEng81ALes8Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/dT_2lRO-28o סרטון]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן

2020-07-12T06:53:17Z

Relweiz:

* תרגול 1 - לוגיקה: [[מדיה:LAS80Les1Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/MxSlgns6RnI סרטון]

* תרגול 2 - פרדיקטים ואינדוקציה: [[מדיה:LAS80Les2Ariel.pdf|סיכום]], [https://youtu.be/Tl5pGrvIwgo סרטון]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן

2020-07-12T06:52:12Z

Relweiz:

[[מדיה:LAS80Les1Ariel.pdf|סיכום תרגול 1 - לוגיקה]], [https://youtu.be/MxSlgns6RnI סרטון תרגול 1 - לוגיקה]

[[מדיה:LAS80Les2Ariel.pdf|סיכום תרגול 2 - פרדיקטים ואינדוקציה]], [https://youtu.be/Tl5pGrvIwgo סרטון תרגול 2 - פרדיקטים ואינדוקציה]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן

2020-07-12T06:50:17Z

Relweiz: יצירת דף עם התוכן "סיכום תרגול 1 - לוגיקה, [ סרטון תרגול 1 - לוגיקה] מדיה:LAS80Les2Ariel.pdf|סיכום תר..."

[[מדיה:LAS80Les1Ariel.pdf|סיכום תרגול 1 - לוגיקה]], [ סרטון תרגול 1 - לוגיקה]

[[מדיה:LAS80Les2Ariel.pdf|סיכום תרגול 2 - פרדיקטים ואינדוקציה]],

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף

2020-07-12T06:49:00Z

Relweiz: /* קישורים */

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]

* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|הרצאות בפועל של ארז שיינר]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגולים של אושרית שטוסל]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]

* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPrIsWy4Y1iQbGp6SlfGBkyY סרטוני התרגול של עוזי חרוש]

* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4m6qlCSozXuQi4b22tzrEz9 סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן|סיכומי וסרטוני התרגול של אריאל ויצמן]]

==הודעות==

קובץ:LAS80Les2Ariel.pdf

2020-07-10T06:44:26Z

Relweiz:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן

2020-07-10T06:43:28Z

Relweiz:

[[מדיה:LAS80Les1Ariel.pdf|סיכום תרגול 1 - שדות]], [https://youtu.be/QnhhmmrQPDY סרטון תרגול 1 - שדות]

[[מדיה:LAS80Les2Ariel.pdf|סיכום תרגול 2 - מערכת משוואות לינארית]], אין סרטון לצערי.

קובץ:LAS80Les1Ariel.pdf

2020-07-10T06:42:34Z

Relweiz:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן

2020-07-10T06:41:08Z

Relweiz: יצירת דף עם התוכן "סיכום תרגול 1 - שדות, [https://youtu.be/QnhhmmrQPDY סרטון תרגול 1 - שדות]"

[[מדיה:LAS80Les1Ariel.pdf|סיכום תרגול 1 - שדות]], [https://youtu.be/QnhhmmrQPDY סרטון תרגול 1 - שדות]

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף

2020-07-10T06:38:23Z

Relweiz: /* קישורים */

[[88-112 אלגברה לינארית 1]]

==קישורים==

*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות והתרגולים]]

*[http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|סרטוני ההרצאות בפועל של ארז שיינר]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגול של אושרית שטוסל]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4mOL49NcqDqAfJFDm4E0jrQ סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]

*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אריאל ויצמן|סיכומי וסרטוני התרגול של אריאל ויצמן]]

==הודעות==

מבחנים ובחנים במבנים אלגבריים להנדסה

2020-07-01T08:56:26Z

Relweiz: /* מבחנים */

==מבחנים==
תשע"ט:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעט]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעט]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעח]]

תשע"ז:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעז]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעז]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעז]]
*[[מדיה:83218testA_2017C.pdf|מבחן מועד א' תשעז קיץ]], [[מדיה:83218testA_2017C-sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעז קיץ]]
*[[מדיה:83218testB_2017C.pdf|מבחן מועד ב' תשעז קיץ]]

תשע"ו:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעו]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעו]]

תשע"ה:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעה]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעה]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעה]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamBsol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשעה]]

תשע"ד:
*הקורס לא התקיים בשנה זאת

תשע"ג:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2013ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעג]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2013ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעג]]. פתרון לשאלה 3: נגדיר <math>c=(1-ab)^{-1}</math> ואז ע"י חישוב ישיר מראים כי <math>(1-ba)^{-1}=1+bca</math>

תשע"ב:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2012ExamA.doc|מבחן מועד א' תשעב]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2012ExamB.doc|מבחן מועד ב' תשעב]]

== בחנים ==
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamAsol.pdf|פתרון]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamBsol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעח]] [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamAsol.pdf|פתרון]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעח]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעז]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעז]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעז]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעו]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעו]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015MiddleExamA.pdf|בוחן תשעה]]

קובץ:Algebraic structuresEngineering2019ExamC.pdf

2020-07-01T08:54:30Z

Relweiz:

מבחנים ובחנים במבנים אלגבריים להנדסה

2020-07-01T08:54:07Z

Relweiz: /* מבחנים */

==מבחנים==
תשע"ט:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעט]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעט]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעח]]

תשע"ז:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעז]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעז]]\
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעז]]
*[[מדיה:83218testA_2017C.pdf|מבחן מועד א' תשעז קיץ]], [[מדיה:83218testA_2017C-sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעז קיץ]]
*[[מדיה:83218testB_2017C.pdf|מבחן מועד ב' תשעז קיץ]]

תשע"ו:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעו]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעו]]

תשע"ה:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעה]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעה]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעה]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamBsol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשעה]]

תשע"ד:
*הקורס לא התקיים בשנה זאת

תשע"ג:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2013ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעג]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2013ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעג]]. פתרון לשאלה 3: נגדיר <math>c=(1-ab)^{-1}</math> ואז ע"י חישוב ישיר מראים כי <math>(1-ba)^{-1}=1+bca</math>

תשע"ב:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2012ExamA.doc|מבחן מועד א' תשעב]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2012ExamB.doc|מבחן מועד ב' תשעב]]

== בחנים ==
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamAsol.pdf|פתרון]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamBsol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעח]] [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamAsol.pdf|פתרון]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעח]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעז]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעז]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעז]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעו]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעו]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015MiddleExamA.pdf|בוחן תשעה]]

קובץ:Algebraic structuresEngineering2019ExamASol.pdf

2020-06-29T09:35:25Z

Relweiz:

מבחנים ובחנים במבנים אלגבריים להנדסה

2020-06-29T09:35:06Z

Relweiz: /* מבחנים */

==מבחנים==
תשע"ט:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעט]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעט]]

תשע"ח:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעח]]

תשע"ז:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעז]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעז]]\
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעז]]
*[[מדיה:83218testA_2017C.pdf|מבחן מועד א' תשעז קיץ]], [[מדיה:83218testA_2017C-sol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעז קיץ]]
*[[מדיה:83218testB_2017C.pdf|מבחן מועד ב' תשעז קיץ]]

תשע"ו:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעו]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016ExamC.pdf|מבחן מועד ג' תשעו]]

תשע"ה:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעה]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamAsol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשעה]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעה]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015ExamBsol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשעה]]

תשע"ד:
*הקורס לא התקיים בשנה זאת

תשע"ג:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2013ExamA.pdf|מבחן מועד א' תשעג]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2013ExamB.pdf|מבחן מועד ב' תשעג]]. פתרון לשאלה 3: נגדיר <math>c=(1-ab)^{-1}</math> ואז ע"י חישוב ישיר מראים כי <math>(1-ba)^{-1}=1+bca</math>

תשע"ב:
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2012ExamA.doc|מבחן מועד א' תשעב]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2012ExamB.doc|מבחן מועד ב' תשעב]]

== בחנים ==
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamAsol.pdf|פתרון]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעט]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2019MiddleExamBsol.pdf|פתרון]].
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעח]] [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamAsol.pdf|פתרון]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעח]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2018MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעח]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעז]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעז]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2017MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעז]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamA.pdf|בוחן ראשון תשעו]],[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamB.pdf|בוחן שני תשעו]], [[מדיה:Algebraic structuresEngineering2016MiddleExamC.pdf|בוחן שלישי תשעו]]
*[[מדיה:Algebraic structuresEngineering2015MiddleExamA.pdf|בוחן תשעה]]

83-118 סמסטר ב תש"ף

2020-05-11T19:42:59Z

Relweiz: /* הודעות וקישורים */

[[83-118 בדידה 2 להנדסה]]

==סגל הקורס==

מרצה: תומר באואר.

מתרגל: אריאל ויצמן (relweiz@gmail.com).

==הודעות וקישורים==

===הרצאות מקוונות===
עד להודעה חדשה, ההרצאות יעברו דרך Zoom. הקישורים יופיעו במודל.
גם קובץ לסיכום ההרצאה השנייה וההקלטה שלה יופיעו שם.

===קישורים מעניינים===

הערך בויקיפדיה על [https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials עצרת יורדת ועצרת עולה] מכיל כמה דוגמאות וכמה זהויות.

[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html איך לכתוב הוכחות] מאת Larry W. Cusick ו[[88-101_חשיבה_מתמטית|הסדנה לחשיבה מתמטית]] יכולים להיות רענון טוב.

===תרגילי בית===
תרגילי הבית יעלו במודל עם תאריך הגשה בערך כל שבוע. אין חובת הגשה, אך כן תהיה בדיקה למי שהגיש.

מומלץ לנסות ולפתור את התרגילים בעצמכם באופן קבוע. עבודה עצמית היא החלק החשוב ביותר בלמידה.

===בחנים===
יתקיימו שני בחנים. פרטים לגבי תאריכים וחומר יעלו בהמשך.

*[[בדידה 2 להנדסה - מבחנים|בחנים ומבחנים משנים עברו]]

==ספרות וסיכומים==
*[http://www2.mta.ac.il/~michalp/discretemath.htm מתמטיקה בדידה] מאת נתי ליניאל ומיכל פרנס, בעיקר פרקים 4-6.
*[http://u.math.biu.ac.il/~radin/courses/88554_combinatorics/88554_lec_hw.htm הרצאות ותרגילים בקורס מבוא לקומבינטוריקה] מאת רון עדין.
* [http://faculty.uml.edu/klevasseur/ads2/ Applied Discrete Structures] מאת Al Doerr ו-Ken Levasseur. זה ספר חופשי שיש לו גרסת HTML וגרסת PDF.
* [http://discrete.openmathbooks.org/dmoi3.html Discrete Mathematics: An Open Introduction] מאת Oscar Levin. זה ספר חופשי שיש לו גרסת HTML וגרסת PDF.
* Combinatorics: A Guided Tour מאת David R. Mazur. הספר זמין [https://biu.primo.exlibrisgroup.com/discovery/fulldisplay?vid=972BIU_INST:972BIU&search_scope=MyInstitution&tab=LibraryCatalog&docid=alma9926232997305776&lang=he&context=L באתר הספרייה].
*[[בדידה 2 להנדסה - מבחנים|בחנים ומבחנים משנים עברו]]

הספרים באנגלית הרשומים מעלה מכילים המון דוגמאות ותרגילים (חלקם עם פתרון), כולל בדיקה אינטראקטיבית בחלק מהנושאים. מצד אחד, יש להם יתרון גדול שהוא שהם כתובים בפירוט ובשפה יותר קלה ולכן מתאימים כאשר נושא מסוים הוא לא מובן. מצד שני, הם לא בהכרח כוללים את כל החומר ולא תמיד כוללים הוכחות מלאות למשפטים.

==מערכי תרגול==

[[מדיה:lessons.pdf|מערך תרגול חלקי]]

[[מדיה:11BdidaHadahaBG.pdf|עקרון ההכלה וההדחה]] - באדיבות אוניברסיטת בן-גוריון.

[[מדיה:regFormulas.pdf|פתרון נוסחאות נסיגה]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 11|מערך התרגול על גרפים]]

[[מעגל אוילר ונוסחת אוילר]]

בדידה 2 להנדסה - מבחנים

2020-03-04T14:26:20Z

Relweiz: /* תשעט */

==תשעט==
[[מדיה:quiz79.pdf|הבוחן]], [[מדיה:quiz79Sol.pdf|ופתרונו]].

[[מדיה: 83118_test_79s.pdf|מבחן לדוגמה]], [[מדיה: 83118_test_79s_ans.pdf|תשובות למבחן]]

[[מדיה: 83118_test_79a.pdf|מבחן מועד א']], [[מדיה: 83118_test_79a_ans.pdf|תשובות למבחן]]

[[מדיה: 83118_test_79b.pdf|מבחן מועד ב']], [[מדיה: 83118_test_79b_ans.pdf|תשובות למבחן]]

[[מדיה: 83118_test_79c.pdf|מבחן מועד ג']], [[מדיה: 83118_test_79c_ans.pdf|תשובות למבחן]]

==תשעח==
[[מדיה:quiz78.pdf|הבוחן]], [[מדיה:quiz78Sol.pdf|ופתרונו]]. תיקון טעות: בשאלה 1 סעיף ב התשובה היא <math>\frac{123!}{(123-15)!}</math>

[[מדיה: discreteMath2_78AsExam.pdf|מבחן לדוגמא]]

[[מדיה: discreteMath2_78ExamA.pdf|מועד א]]

[[מדיה: discreteMath2_78AsExamB.pdf|מועד ב]]

[[מדיה: discreteMath2_78AsExamC.pdf|מועד ג]]

==תשעז==
[[מדיה:examE77.pdf|מבחן לדוגמא]], [[מדיה:examE77Sol.pdf|ופתרונו]]

[[מדיה:examA77.pdf|מועד א]]

[[מדיה:examB77.pdf|מועד ב]]

==תשעו==
[[מדיה:83118Q1.pdf|פתרון בוחן 1]]

[[מדיה:83118Q2N.pdf|פתרון בוחן 2]]

[[מדיה:83118Q34.pdf|פתרון בוחן 3]]

==תשעה==
[[מדיה:Moeda2015bdida2.pdf | מועד א]]
[https://www.dropbox.com/s/voodx53iajgaxqf/solutionpartialmoeda.pdf?dl=0 פתרון חלקי שלא יקבל ניקוד מלא במבחן!!!!!!]

[https://www.dropbox.com/s/cpeq9og52qwnqzo/%D7%91%D7%97%D7%99%D7%A0%D7%94%20%D7%9C%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%20%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%94.pdf?dl=0 מבחן לדוגמה]
[https://www.dropbox.com/s/9u70lyas483efxx/AnswerSampleTest.pdf?dl=0 שלד פתרון-במבחן יש לפרט יותר]

83-118 סמסטר ב תש"ף

2020-03-04T14:23:33Z

Relweiz: יצירת דף עם התוכן "83-118 בדידה 2 להנדסה ==סגל הקורס== מרצה: תומר באואר. מתרגל: אריאל ויצמן (relweiz@gmail.com). ==סילבו..."

[[83-118 בדידה 2 להנדסה]]

==סגל הקורס==

מרצה: תומר באואר.

מתרגל: אריאל ויצמן (relweiz@gmail.com).

==סילבוס וקישורים==
*[http://www2.mta.ac.il/~michalp/discretemath.htm ספר במתמטיקה בדידה (נתי ליניאל ומיכל פרנס)]
*[http://u.math.biu.ac.il/~radin/courses/88554_combinatorics/88554_lec_hw.htm הרצאות ותרגילים בקומבינטוריקה (רון עדין)]
*[[בדידה 2 להנדסה - מבחנים|בחנים ומבחנים משנים עברו]]

==תרגילי בית==
תרגילי הבית יעלו במודל, עם חובת הגשה וציון.

==מערכי תרגול==

[[מדיה:lessons.pdf|מערך תרגול חלקי]]

[[מדיה:11BdidaHadahaBG.pdf|עקרון ההכלה וההדחה]] - באדיבות אוניברסיטת בן-גוריון.

[[מדיה:regFormulas.pdf|פתרון נוסחאות נסיגה]]

[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 11|מערך התרגול על גרפים]]

[[מעגל אוילר ונוסחת אוילר]]

==בחנים==
יתקיימו שני בחנים בתאריכים:

83-118 בדידה 2 להנדסה

2020-03-04T14:20:40Z

Relweiz: /* מועדי לימוד */

'''מתמטיקה בדידה 2''' הינו המשך לקורס הבסיסי במתמטיקה בדידה. מטרת הקורס היא המשך הכרת מושגים בסיסיים במתמטיקה בדידה, תוך שימת דגש על שיטות הוכחה. נושאי הלימוד בקורס הם אינדוקציה, רקורסיה, קומבינטוריקה ומבוא לתורת הגרפים.

== מועדי לימוד ==
*[[83-118 סמסטר ב תש"ף|סמסטר ב' תש"ף]]
*[[83-118 סמסטר ב תשע"ט|סמסטר ב' תשע"ט]]
*[[83-118 סמסטר ב תשעח|סמסטר ב' תשע"ח]]
*[[83-118 סמסטר ב תשעז|סמסטר ב' תשע"ז]]
*[[83-118 סמסטר ב תשעו|סמסטר ב' תשע"ו]]
*[[83-118 סמסטר ב תשעה|סמסטר ב' תשע"ה]]

== קישורים==
*[[בדידה 2 להנדסה - מבחנים|בחנים ומבחנים משנים עברו]]

קובץ:83110TestA20SolA.pdf

2020-02-14T07:47:21Z

Relweiz:

קובץ:83110TestA20A.pdf

2020-02-14T07:46:41Z

Relweiz:

83-110 מבחנים בלינארית להנדסה

2020-02-14T07:45:15Z

Relweiz:

[[83-110 אלגברה לינארית להנדסה]]

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html מבחנים של מתמטיקאים באתר של בועז צבאן]
*מבחנים של ד"ר שיפי רייף :
*[[מדיה:Finalaviv2017a.pdf|תשעז אביב מועד א']]

*[[מדיה:Finalaviv2017b.pdf|תשעז אביב מועד ב']]

*[[מדיה:Final-W2015Michigan.pdf|בחינה מאוניברסיטת מישיגן]]
---------------------------------------------------------------------------------
*[[מדיה:83110TestA20A.pdf|תשף סמסטר א מועד א]] , [[מדיה:83110TestA20SolA.pdf|פתרון תשף סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:83110TestB19A.pdf|תשעט סמסטר א מועד ב]] , [[מדיה:83110TestB19SolA.pdf|פתרון תשעט סמסטר א מועד ב]]
*[[מדיה:83110TestA19A.pdf|תשעט סמסטר א מועד א]] , [[מדיה:83110TestA19SolA.pdf|פתרון תשעט סמסטר א מועד א]]
*[[מדיה:83110TestB18.pdf|תשעח מועד ב]] , [[מדיה:83110TestB18Sol.pdf|פתרון תשעח מועד ב]]
*[[מדיה:83110TestA18.pdf|תשעח מועד א]] , [[מדיה:83110TestA18Sol.pdf|פתרון תשעח מועד א]]
*[[מדיה:LinearEngExam2017B.pdf|תשעז מועד ב]]
*[[מדיה:83110TestA17.pdf|תשעז מועד א]] , [[מדיה:83110TestA17Sol.pdf|פתרון תשעז מועד א]]
** הערה: בשאלה האחרונה היה צריך להוכיח כי "או ש<math>A^n=0</math>" (מה שבסוגריים). בתור צו'פר היה אפשר להוכיח (בניקוד חלקי) גרסא חלשה יותר וקלה יותר של התרגיל של "או A אינה הפיכה"
*[[מדיה:83110TestB16.pdf|תשעו מועד ב]], [[מדיה:83110TestB16Sol.docx|פתרון תשעו מועד ב]]
*[[מדיה:83110TestA16.pdf|תשעו מועד א]], [[מדיה:83110TestA16Sol.pdf|פתרון תשעו מועד א]]
*[[מדיה:LinearEngExam2015B.pdf|תשעה מועד ב]]
*[[מדיה:83110TestA15.pdf|תשעה מועד א]], [[מדיה:83110TestA15Sol.pdf|פתרון תשעה מועד א]]
*[[מדיה:14LinearEngExam014B.pdf|תשעד מועד ב]]
*[[מדיה:14LinearEngExam014A.pdf|תשעד מועד א]], [[מדיה:14LinearEngSol014A.pdf|פתרון תשעד מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam013B.pdf|תשעג מועד ב]], [[מדיה:13LinearEngSol013B.pdf|פתרון תשעג מועד ב]], [[מדיה:13LinearEngExam013BsolDetQe.pdf|פתרון שאלת הדטרמיננטה במבחן תשעג מועד ב]]
*[[מדיה:13LinearEngExam013A.pdf|תשעג מועד א]], [[מדיה:13LinearEngSol013A.pdf|פתרון תשעג מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam012B.doc|תשעב מועד ב]]
*[[מדיה:13LinearEngExam012A.doc| תשעב מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam011B.doc|תשעא מועד ב]]
*[[מדיה:13LinearEngExam011B.doc|תשעא מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam010B.doc|מחן תשע מועד ב]]
*[[מדיה:13LinearEngExam010A.doc|תשע מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam09A.doc|2009 מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam07A.pdf|2007 מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam06B.pdf|2006 מועד ב]]
*[[מדיה:13LinearEngExam06A.pdf|2006 מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam05B.pdf| 2005 מועד ב]]
*[[מדיה:13LinearEngExam05A.pdf| 2005 מועד א]]
*[[מדיה:13LinearEngExam04A.pdf| 2004 מועד א]]

קובץ:HW WithGrade.pdf

2020-02-10T11:03:15Z

Relweiz:

קובץ:HW WithGrade Comments.pdf

2020-02-10T11:02:42Z

Relweiz:

88-617 תשפ סמסטר א

2020-02-10T11:02:12Z

Relweiz: /* תרגילי בית */

[[88-617 מבוא לאנליזה מתקדמת למורים]]

מרצה: תמר בר-און, tamarnachshoni@gmail.com.

מתרגל: אריאל ויצמן, relweiz@gmail.com.

=דף נוסחאות=

*[[מדיה:EquationPage_88617.pdf|דף נוסחאות תשפ]]

=מבחן תשע"ט=

*[[מדיה:ExmMoedA_88617_79.pdf|מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedASol_88617_79.pdf|פתרון מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedB_88617_79.pdf|מועד ב']]

*[[מדיה:ExmMoedBSol_88617_79.pdf|פתרון מועד ב']]

==המבחן==

*[[מדיה:ExmTest1_88617_79.pdf|מבחן לדוגמא]]

*[[מדיה:ExmTest1sol_88617_79.pdf|מבחן לדוגמא- פתרון]]

*[[מדיה:ExmTest2_88617_79.pdf|שאלות לאימון]]

*[[מדיה:ExmTest2sol_88617_79.pdf|שאלות לאימון- פתרונות]]

==רשימת נושאים==

בפונקציות מרוכבות:
1. מספרים מרוכבים: הגדרה, הצגה פולרית וקרטזית, נורמה וצמוד, פעולות חשבוניות.

2. סדרות והתכנסות

3. פונקציות רציפות וגזירות.

4. משוואות קושי רימן.

5. פונקציית האקספוננט המרוכבת.

6. פונקציות טריגונומטריות מרוכבות.

את כל החומר ניתן למצוא בספרי האוניברסיטה הפתוחה של הקורס "פונקציות מרוכבות", יחידות 1-3.

במשוואות דיפרנציאליות:

1. משוואות לינאריות מסדר ראשון.

2. משוואות פרידות.

3. משוואות לינאריות מסדר שני עם מקדמים קבועים- המקרה ההומגוני והמקרה הלא הומוגני עם פולינום או אקספוננט.

==קישורים==

[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים]]

[[אנליזה מתקדמת למורים - מבחנים משנים שעברו | מבחנים משנים שעברו]]

==תרגילי בית==
*[[מדיה:Ex1_88617_80.pdf|תרגיל 1]]. [[מדיה:Ex1_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 1]].
*[[מדיה:Ex2_88617_80.pdf|תרגיל 2]]. [[מדיה:Ex2_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 2]].
*[[מדיה:Ex3_88617_80.pdf|תרגיל 3]]. [[מדיה:Ex3_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 3]].
*[[מדיה:Ex4_88617_80.pdf|תרגיל 4]]. [[מדיה:Ex4_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 4]].
*[[מדיה:Ex5_88617_80Up.pdf|תרגיל 5]]. [[מדיה:Ex5_88617_80SolUp.pdf|פתרון תרגיל 5 מתוקן]].
*[[מדיה:Ex6_88617_80.pdf|תרגיל 6]]. [[מדיה:Ex6_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 6]].
*[[מדיה:Ex7_88617_80.pdf|תרגיל 7]]. [[מדיה:Ex7_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 7]].
*[[מדיה:Ex8_88617_80.pdf|תרגיל 8]]. [[מדיה:Ex8_88617_80SolUp.pdf|פתרון תרגיל 8]].

===תרגיל הגשה עם ציון===

*[[מדיה:HW_WithGrade.pdf|תרגיל הגשה עם ציון]], [[מדיה:HW_WithGrade_Comments.pdf|הערות וציונים]].

קובץ:Ex8 88617 80SolUp.pdf

2020-01-27T14:34:55Z

Relweiz:

88-617 תשפ סמסטר א

2020-01-27T14:34:41Z

Relweiz: /* תרגילי בית */

[[88-617 מבוא לאנליזה מתקדמת למורים]]

מרצה: תמר בר-און, tamarnachshoni@gmail.com.

מתרגל: אריאל ויצמן, relweiz@gmail.com.

=מבחן תשע"ט=

*[[מדיה:ExmMoedA_88617_79.pdf|מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedASol_88617_79.pdf|פתרון מועד א']]

*[[מדיה:ExmMoedB_88617_79.pdf|מועד ב']]

*[[מדיה:ExmMoedBSol_88617_79.pdf|פתרון מועד ב']]

==המבחן==

*[[מדיה:ExmTest1_88617_79.pdf|מבחן לדוגמא]]

*[[מדיה:ExmTest1sol_88617_79.pdf|מבחן לדוגמא- פתרון]]

*[[מדיה:ExmTest2_88617_79.pdf|שאלות לאימון]]

*[[מדיה:ExmTest2sol_88617_79.pdf|שאלות לאימון- פתרונות]]

==רשימת נושאים==

בפונקציות מרוכבות:
1. מספרים מרוכבים: הגדרה, הצגה פולרית וקרטזית, נורמה וצמוד, פעולות חשבוניות.

2. סדרות והתכנסות

3. פונקציות רציפות וגזירות.

4. משוואות קושי רימן.

5. פונקציות טריגונומטריות מרוכבות.

6. חזקות ולוגריתמים מרוכבים.

את כל החומר ניתן למצוא בספרי האוניברסיטה הפתוחה של הקורס "פונקציות מרוכבות", יחידות 1-3.

במשוואות דיפרנציאליות:

1. משוואות לינאריות מסדר ראשון.

2. משפט הקיום והיחידות למשוואות מסדר ראשון.

3. משוואות פרידות.

4. משוואות מדוייקות.

5. גורם אינטגרציה.

6. משוואות שנפתרות באמצעות הצבה.

7. משוואות ברנולי.

8. משוואות הומוגניות.

משוואות מסדר שני:

9. הורדת סדר משוואה.

10. מרחב הפתרונות של משוואה לינארית מסדר שני.

11. משפט הקיום והיחידות למשוואה לינארית מסדר שני.

12. וריאציית הפרמטרים.

13. שיטת השוואת המקדמים.

14. מערכת משוואות לינאריות עם מקדמים קבועים.

==קישורים==

[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים]]

[[אנליזה מתקדמת למורים - מבחנים משנים שעברו | מבחנים משנים שעברו]]

==תרגילי בית==
*[[מדיה:Ex1_88617_80.pdf|תרגיל 1]]. [[מדיה:Ex1_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 1]].
*[[מדיה:Ex2_88617_80.pdf|תרגיל 2]]. [[מדיה:Ex2_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 2]].
*[[מדיה:Ex3_88617_80.pdf|תרגיל 3]]. [[מדיה:Ex3_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 3]].
*[[מדיה:Ex4_88617_80.pdf|תרגיל 4]]. [[מדיה:Ex4_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 4]].
*[[מדיה:Ex5_88617_80Up.pdf|תרגיל 5]]. [[מדיה:Ex5_88617_80SolUp.pdf|פתרון תרגיל 5 מתוקן]].
*[[מדיה:Ex6_88617_80.pdf|תרגיל 6]]. [[מדיה:Ex6_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 6]].
*[[מדיה:Ex7_88617_80.pdf|תרגיל 7]]. [[מדיה:Ex7_88617_80Sol.pdf|פתרון תרגיל 7]].
*[[מדיה:Ex8_88617_80.pdf|תרגיל 8]]. [[מדיה:Ex8_88617_80SolUp.pdf|פתרון תרגיל 8]].

88-617 תשפ סמסטר א

2020-01-27T14:13:41Z

Relweiz: /* תרגילי בית */

קובץ:Ex8 88617 80Sol.pdf

2020-01-27T14:09:16Z

Relweiz:

קובץ:Ex8 88617 80.pdf

2020-01-27T14:08:59Z

Relweiz:

88-617 תשפ סמסטר א

2020-01-27T14:08:42Z

Relweiz: /* תרגילי בית */

קובץ:Ex7 88617 80Sol.pdf

2020-01-15T10:06:30Z

Relweiz:

קובץ:Ex7 88617 80.pdf

2020-01-15T10:06:11Z

Relweiz:

88-617 תשפ סמסטר א

2020-01-15T10:05:25Z

Relweiz: /* תרגילי בית */

תרגול 12 תשעז

2020-01-14T15:51:22Z

Relweiz: /* תרגיל */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==הגדרות בסיסיות לפונקציות==
'''הגדרה:''' יהיו <math>A,B</math> קבוצות ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי:
*התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
*התמונה של R הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>

'''הערה''': ישירות מהגדרה מתקיים כי <math>\mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B</math>.

'''דוגמה:'''
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>\mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}</math>.

'''הגדרה:'''
*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>
*יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>.

'''הגדרה:'''

יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.
(<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת '''חד-חד ערכית''' אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.

פונקציה נקראת '''על''' אם <math>Im(f)=B</math>.

'''הגדרה:'''

תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

===דוגמאות===
באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> חח"ע ואינה על.
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> אינה חח"ע ואינה על.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> לא מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>.
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ואינה על.
* תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>).
* תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.

===תרגיל===
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-<math>f(n)=g(3n-1)</math>.

הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.

====פתרון====
נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f</math> על אזי קיים <math>n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(n)=k</math>. מהנתון נקבל ש-<math>g(3n-1)=k</math>. כעת, כיון ש- <math>n\in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\neq 3n-1</math>, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>g</math> לא חח"ע.

===תרגיל===
נסמן ב-<math>\mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.

נתבונן בפונקציה <math>f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(g)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על?

====פתרון====
הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.

היא כן על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).

===תרגיל===
תהיינה <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות לא ריקות. הוכיחו: <math>|A|\geq |B|</math> אם ורק אם קיימת <math>f:A\to B</math> על.

====הוכחה====
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_m\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>.

===תרגיל===
תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על?

====פתרון====
חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\setminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\setminus f(X)</math>. כלומר <math>f(X)\neq f(Y)</math>.

על: לא. נבחר <math>A=\{1,\dots,7\}</math>. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A))</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.

==הרכבת פונקציות והפיכות==

'''הגדרה:'''
יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>.

הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

'''משפט:'''
*אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי <math>f</math> חח"ע.
*אם <math>g \circ f</math> על אזי <math>g</math> על.
*מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על.

תכונות של הרכבת פונקציות:
# הרכבה היא קיבוצית. כלומר <math>f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 </math>.
# הרכבה '''אינה''' (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי <math>f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 </math>. למשל לפונקציות מעל הטבעיים <math>f(x) =x^2 , g(x) = x+1</math> אזי <math>f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5</math> ולכן <math>f\circ g \neq g \circ f</math>.
#לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ \mathrm{id} =f</math> וגם <math>\mathrm{id} \circ f =f</math>. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.

===פונקציות הפיכות===
'''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>g\circ f = \mathrm{id}_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math> היא '''הפיכה'''.

שימו לב שאם <math>f</math> פונקציה הפיכה, אז גם <math>f^{-1}</math> היא פונקציה הפיכה, ומתקיים <math>(f^{-1})^{-1}=f</math>.

===תרגיל===
(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה <math>f</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

====פתרון====
אם <math>f</math> הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A</math>. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-<math>f</math> חח"ע ועל לפי משפט קודם.

אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.

===דוגמאות===
# פונקציות <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>.
## <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>.
## <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math> לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. פונקציות <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>.
## תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.

===תרגיל ===
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה\חח"ע\על.

====פתרון====

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.

חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.

על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.
בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל
<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.

הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

===תרגיל ===
הוכיחו כי אם <math>g\circ f \circ g =\mathrm{id}</math> אז <math>f</math> הפיכה.

הוכחה:

הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> הימנית חח"ע.

הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> השמאלית על.

קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.

== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f</math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>

כלומר אם <math>a</math> שקול ל <math>b</math> אזי <math>f(a)=f(b)</math>.

למה זה טוב?
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>

טענה: <math>g</math> אכן פונקציה

הוכחה:

1. <math>g</math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. <math>g</math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת <math>f</math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g</math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.

'''דוגמא לחידוד'''

ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.

נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.

תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).

==תמונות חלקיות==

'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>.

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).

==== דוגמאות ====
תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math>

תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math>

תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>

===תרגיל===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע

====פתרון====

יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f[A]</math> ולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.

נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:

יהא <math>x\in f^{-1}[f[A]]</math> לכן <math>f(x) \in f[A]</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>

דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>

===תרגיל===

תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. הוכיחו: <math>f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> חח"ע

תרגול 12 תשעז

2020-01-14T15:33:21Z

Relweiz: /* הגדרות בסיסיות לפונקציות */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==הגדרות בסיסיות לפונקציות==
'''הגדרה:''' יהיו <math>A,B</math> קבוצות ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי:
*התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
*התמונה של R הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>

'''הערה''': ישירות מהגדרה מתקיים כי <math>\mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B</math>.

'''דוגמה:'''
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>\mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}</math>.

'''הגדרה:'''
*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>
*יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>.

'''הגדרה:'''

יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.
(<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת '''חד-חד ערכית''' אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.

פונקציה נקראת '''על''' אם <math>Im(f)=B</math>.

'''הגדרה:'''

תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

===דוגמאות===
באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> חח"ע ואינה על.
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> אינה חח"ע ואינה על.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> לא מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>.
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ועל.
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> חח"ע ואינה על.
* תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>).
* תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.

===תרגיל===
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש-<math>f(n)=g(3n-1)</math>.

הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.

====פתרון====
נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f</math> על אזי קיים <math>n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(n)=k</math>. מהנתון נקבל ש-<math>g(3n-1)=k</math>. כעת, כיון ש- <math>n\in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\neq 3n-1</math>, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>g</math> לא חח"ע.

===תרגיל===
נסמן ב-<math>\mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.

נתבונן בפונקציה <math>f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(g)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על?

====פתרון====
הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.

היא כן על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).

===תרגיל===
יהיו <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> הינה על אם"ם היא חח"ע.

'''הוכחה:'''
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>.

נניח <math>f</math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n</math>
כיוון ש-<math>\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.

נניח <math>f </math> על. נניח בשלילה ש-<math>f</math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז <math>f</math> אינה על, שזו סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.

===תרגיל===
תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על?

====פתרון====
חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\setminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\setminus f(X)</math>. כלומר <math>f(X)\neq f(Y)</math>.

על: לא. נבחר <math>A=\{1,\dots,7\}</math>. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A))</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.

==הרכבת פונקציות והפיכות==

'''הגדרה:'''
יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>.

הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

'''משפט:'''
*אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי <math>f</math> חח"ע.
*אם <math>g \circ f</math> על אזי <math>g</math> על.
*מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על.

תכונות של הרכבת פונקציות:
# הרכבה היא קיבוצית. כלומר <math>f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1 </math>.
# הרכבה '''אינה''' (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי <math>f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1 </math>. למשל לפונקציות מעל הטבעיים <math>f(x) =x^2 , g(x) = x+1</math> אזי <math>f(g(2))=f(3)=9, g(f(2))=g(4)=5</math> ולכן <math>f\circ g \neq g \circ f</math>.
#לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ \mathrm{id} =f</math> וגם <math>\mathrm{id} \circ f =f</math>. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.

===פונקציות הפיכות===
'''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>g\circ f = \mathrm{id}_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math> היא '''הפיכה'''.

שימו לב שאם <math>f</math> פונקציה הפיכה, אז גם <math>f^{-1}</math> היא פונקציה הפיכה, ומתקיים <math>(f^{-1})^{-1}=f</math>.

===תרגיל===
(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה <math>f</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

====פתרון====
אם <math>f</math> הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A</math>. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-<math>f</math> חח"ע ועל לפי משפט קודם.

אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>.

===דוגמאות===
# פונקציות <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(x)=x+1</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x-1 </math>.
## <math>f(x)=x^3</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(x) = x^{1/3} </math>.
## <math>f(x)=\sin (x)</math> אינה הפיכה כי איננה חח"ע למשל <math>\sin(0) =\sin(2\pi k)</math> לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. פונקציות <math>f:P(A)\to P(A)</math> המוגדרות לפי:
## <math>f(B)= B^c</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B^c </math>.
## תהא <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. <math>f(B)= B \triangle C</math> הפיכה וההופכית היא <math>f^{-1}(B) = B \triangle C </math>.
# תהא <math>A</math> קבוצה. אזי אפשר (בעזרת חומר שראינו בתרגול על יחסי שקילות)
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל, וכבר ראינו את הפונקציה ההופכית לה.

===תרגיל ===
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה\חח"ע\על.

====פתרון====

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.

חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.

על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.
בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל
<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.

הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

===תרגיל ===
הוכיחו כי אם <math>g\circ f \circ g =\mathrm{id}</math> אז <math>f</math> הפיכה.

הוכחה:

הרכבה של פונקציה חח"ע <math>(g\circ f) \circ g =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> הימנית חח"ע.

הרכבה של פונקציה על <math>g\circ (f \circ g) =\mathrm{id}</math> גורר שהפונקציה <math>g</math> השמאלית על.

קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.

== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f</math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>

כלומר אם <math>a</math> שקול ל <math>b</math> אזי <math>f(a)=f(b)</math>.

למה זה טוב?
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>

טענה: <math>g</math> אכן פונקציה

הוכחה:

1. <math>g</math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. <math>g</math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת <math>f</math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g</math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.

'''דוגמא לחידוד'''

ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.

נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.

תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).

==תמונות חלקיות==

'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>.

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).

==== דוגמאות ====
תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math>

תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math>

תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>

===תרגיל===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע

====פתרון====

יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f[A]</math> ולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.

נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:

יהא <math>x\in f^{-1}[f[A]]</math> לכן <math>f(x) \in f[A]</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>

דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>

===תרגיל===

תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. הוכיחו: <math>f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> חח"ע

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

2020-01-14T13:05:20Z

Relweiz: /* פתרון */

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==מהי מד"ר?==
מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: <math>y+y'-x^2+2=2y''</math>. המטרה היא למצוא פונקציה <math>y</math> שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה <math>y</math> המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

==מד"ר לינארית מסדר ראשון==
מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

===הומוגנית===

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math>

ומכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!

====תרגיל====
פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x</math>. לכן נקבל <math>y=ce^{-x\ln(x)+x}</math>.

===לא הומוגנית===
האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.

ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר הבאה: <math>y'+y=x</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.

===פתרון פרטי ותנאי התחלה===
כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל <math>c</math> שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש <math>y(0)=1</math> נציב במשוואה הכללית שקיבלנו <math>x=0</math> ונקבל:

<math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>.

====תרגיל====
לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

=====פתרון=====
הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.

כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>

עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה:

<math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

2020-01-14T12:58:35Z

Relweiz: /* לא הומוגנית */

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==מהי מד"ר?==
מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: <math>y+y'-x^2+2=2y''</math>. המטרה היא למצוא פונקציה <math>y</math> שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה <math>y</math> המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

==מד"ר לינארית מסדר ראשון==
מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

===הומוגנית===

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math>

ומכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!

====תרגיל====
פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x</math>. לכן נקבל <math>y=ce^{-x\ln(x)+x}</math>.

===לא הומוגנית===
האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.

ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר הבאה: <math>y'+y=x</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.

===פתרון פרטי ותנאי התחלה===
כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל <math>c</math> שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש <math>y(0)=1</math> נציב במשוואה הכללית שקיבלנו <math>x=0</math> ונקבל:

<math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>.

====תרגיל====
לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

=====פתרון=====
הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=30</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.

כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>

עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה:

<math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

2020-01-14T12:57:41Z

Relweiz: /* הומוגנית */

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==מהי מד"ר?==
מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: <math>y+y'-x^2+2=2y''</math>. המטרה היא למצוא פונקציה <math>y</math> שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה <math>y</math> המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

==מד"ר לינארית מסדר ראשון==
מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

===הומוגנית===

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math>

ומכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!

====תרגיל====
פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x</math>. לכן נקבל <math>y=ce^{-x\ln(x)+x}</math>.

===לא הומוגנית===
האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לה להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.

ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר הבאה: <math>y'+y=x</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1(\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.

===פתרון פרטי ותנאי התחלה===
כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל <math>c</math> שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש <math>y(0)=1</math> נציב במשוואה הכללית שקיבלנו <math>x=0</math> ונקבל:

<math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>.

====תרגיל====
לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

=====פתרון=====
הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=30</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.

כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>

עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה:

<math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

2020-01-14T12:53:18Z

Relweiz: /* תרגיל */

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==מהי מד"ר?==
מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: <math>y+y'-x^2+2=2y''</math>. המטרה היא למצוא פונקציה <math>y</math> שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה <math>y</math> המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

==מד"ר לינארית מסדר ראשון==
מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

===הומוגנית===

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לה להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math>

ומכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!

====תרגיל====
פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x</math>. לכן נקבל <math>y=ce^{-x\ln(x)+x}</math>.

===לא הומוגנית===
האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לה להפתעה הבאה:

<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.

ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר הבאה: <math>y'+y=x</math>.

=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1(\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.

===פתרון פרטי ותנאי התחלה===
כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל <math>c</math> שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש <math>y(0)=1</math> נציב במשוואה הכללית שקיבלנו <math>x=0</math> ונקבל:

<math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>.

====תרגיל====
פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>.

====תרגיל====
לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

=====פתרון=====
הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=30</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.

כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>

עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה:

<math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.

קובץ:Ex6 88617 80Sol.pdf

2020-01-09T14:43:53Z

Relweiz:

קובץ:Ex6 88617 80.pdf

2020-01-09T14:43:30Z

Relweiz:

88-617 תשפ סמסטר א

2020-01-09T14:40:53Z

Relweiz: /* תרגילי בית */

תרגול 9 תשעז

2020-01-08T12:13:28Z

Relweiz:

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס <math>R</math> על קבוצה <math>A</math> נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם <math>R</math> רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספרים השלמים
*היחס 'מוכל-שווה' על קבוצת החזקה <math>P(\{4,5,100\})</math>
*היחס 'מחלק את' על הטבעיים

'''הערה:'''
עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי <math>\leq</math> עליה, נסמן <math>(A,\leq )</math> את הקבוצה עם היחס.

'''הגדרה:''' דיאגרמת הסה (או תרשים הסה, Hasse diagram) הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר <math>x</math> מחובר בקשת לאיבר <math>y</math> מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס (כלומר <math>x>y</math>), ובינם אין עוד איברים (כלומר אין <math>z</math> כך ש-<math>x>z>y</math>). נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.

'''הגדרות:''' יהיו <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''קטן ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'קטן' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''גדול ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'גדול' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה <math>B</math> תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של <math>B</math>.

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר גם לגבי איבר גדול ביותר.

הערה: קטן ביותר גורר מינימלי, וכן גדול ביותר גורר מקסימלי. אבל לא להיפך!

צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה <math>A=\{1,2,...,10\}</math> מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?

===תרגיל===

תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal } \}</math>

====פתרון====

נראה שיש רק יחס אחד כזה, והוא הזהות. יחס הזהות אכן מקיים את התנאי. נניח ש-<math>R</math> יחס סדר המקיים את התנאי ונראה ש-<math>R=I_A</math>:

כיוון ראשון: כל יחס סדר <math>R</math> מקיים <math>I_A\subseteq R</math>.

כיוון שני: יהי <math>(a,b) \in R</math>, אזי כיון ש-<math>a</math> מקסימלי נובע <math>b=a</math> ולכן <math>(a,b)=(a,a)
\in I_A</math> כדרוש.

===תרגיל===

הוכח שאם <math>R</math> יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו <math>R^{-1}</math> יחס סדר חלקי.

====פתרון====
*רפלקסיביות: לכל איבר <math>a</math> מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>.
*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.

'''הגדרה:''' יהי <math>R</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math>. אם לכל שני איברים <math>a,b\in A</math> מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי <math>R</math> נקרא '''יחס סדר מלא'''.

'''דוגמה''':
היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.

====דוגמא ליחס סדר מעניין====
היחס המילוני.

====תרגיל====
הוכיחו שאם <math>R</math> יחס סדר מלא על <math>A</math>, ו- <math>a\in A</math> איבר מינימלי יחיד אז הוא גם קטן ביותר.

==חסמים (בד"כ לא מלמדים בהנדסה)==
'''הגדרות.''' יהיו <math>A</math> קבוצה, <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של <math>B</math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של <math>B</math> הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{sup}(B)</math>
*החסם התחתון (אינפימום) של <math>B</math> הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{inf}(B)</math>

=== דוגמאות ===

'''דוגמה''':
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא
<math>\bigcup _{i\in I} A_i </math>.

'''דוגמה''':
נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),\\(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של <math>B</math> הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא <math>2</math> ולכן הוא החסם העליון של <math>B</math>. אין חסם מלרע ל-<math>B</math> ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

'''הגדרה:'''
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> נגדיר יחס סדר חלקי הנקרא '''היחס המילוני''' <math>R</math> לפי

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>

'''דוגמה''':
עבור היחס 'קטן שווה' על <math>\mathbb{N}</math> נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

אם <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math>, <math>\mathrm{sup}(B)=(2,1)</math>.

אם <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math> ו-<math>\mathrm{sup}(B)</math> לא קיים.

שימו לב ש-<math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

תרגול 9 תשעז

2020-01-08T12:10:08Z

Relweiz:

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס <math>R</math> על קבוצה <math>A</math> נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם <math>R</math> רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספרים השלמים
*היחס 'מוכל-שווה' על קבוצת החזקה <math>P(\{4,5,100\})</math>
*היחס 'מחלק את' על הטבעיים

'''הערה:'''
עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי <math>\leq</math> עליה, נסמן <math>(A,\leq )</math> את הקבוצה עם היחס.

'''הגדרה:''' דיאגרמת הסה (או תרשים הסה, Hasse diagram) הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר <math>x</math> מחובר בקשת לאיבר <math>y</math> מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס (כלומר <math>x>y</math>), ובינם אין עוד איברים (כלומר אין <math>z</math> כך ש-<math>x>z>y</math>). נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.

'''הגדרות:''' יהיו <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''קטן ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'קטן' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''גדול ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'גדול' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה <math>B</math> תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של <math>B</math>.

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר גם לגבי איבר גדול ביותר.

הערה: קטן ביותר גורר מינימלי, וכן גדול ביותר גורר מקסימלי. אבל לא להיפך!

צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה <math>A=\{1,2,...,10\}</math> מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?

===תרגיל===

תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal } \}</math>

====פתרון====

נראה שיש רק יחס אחד כזה, והוא הזהות. יחס הזהות אכן מקיים את התנאי. נניח ש-<math>R</math> יחס סדר המקיים את התנאי ונראה ש-<math>R=I_A</math>:

כיוון ראשון: כל יחס סדר <math>R</math> מקיים <math>I_A\subseteq R</math>.

כיוון שני: יהי <math>(a,b) \in R</math>, אזי כיון ש-<math>a</math> מקסימלי נובע <math>b=a</math> ולכן <math>(a,b)=(a,a)
\in I_A</math> כדרוש.

===תרגיל===

הוכח שאם <math>R</math> יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו <math>R^{-1}</math> יחס סדר חלקי.

====פתרון====
*רפלקסיביות: לכל איבר <math>a</math> מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>.
*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.

====תרגיל====
הוכיחו שאם <math>R</math> יחס סדר מלא על <math>A</math>, ו- <math>a\in A</math> איבר מינימלי יחיד אז הוא גם קטן ביותר.

==חסמים (בד"כ לא מלמדים בהנדסה)==
'''הגדרות.''' יהיו <math>A</math> קבוצה, <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של <math>B</math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של <math>B</math> הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{sup}(B)</math>
*החסם התחתון (אינפימום) של <math>B</math> הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{inf}(B)</math>

=== דוגמאות ===

'''דוגמה''':
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא
<math>\bigcup _{i\in I} A_i </math>.

'''דוגמה''':
נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),\\(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של <math>B</math> הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא <math>2</math> ולכן הוא החסם העליון של <math>B</math>. אין חסם מלרע ל-<math>B</math> ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

'''הגדרה:'''
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.

על <math>A\times B</math> נגדיר יחס סדר חלקי הנקרא '''היחס המילוני''' <math>R</math> לפי

<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>

'''דוגמה''':
עבור היחס 'קטן שווה' על <math>\mathbb{N}</math> נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

אם <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math>, <math>\mathrm{sup}(B)=(2,1)</math>.

אם <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math> ו-<math>\mathrm{sup}(B)</math> לא קיים.

שימו לב ש-<math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

'''הגדרה:''' יהי <math>R</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math>. אם לכל שני איברים <math>a,b\in A</math> מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי <math>R</math> נקרא '''יחס סדר מלא'''.

'''דוגמה''':
היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.

83-116 מבחנים

2020-01-02T10:19:13Z

Relweiz: /* מבחנים ובחנים משנים קודמות */

'''[[83-116 בדידה להנדסה]]'''

==מבחנים ובחנים משנים קודמות==

===תש"ף סמסטר א===
*[[מדיה:Quiz1_80Sol.pdf|בוחן פתור]]

===תשעט סמסטר א===
*[[מדיה:Quiz1_79aSol.pdf|בוחן פתור]]

* [[מדיה:83116ExamA-2019A.pdf | מועד א תשעט סמסטר א]],

* [[מדיה:83116ExamB-2019A.pdf | מועד ב תשעט סמסטר א]],

===תשעח סמסטר ב===
* [[מדיה:83116quiz-2018B.pdf | בוחן תשעח סמסטר ב]], [[מדיה:83116-quiz-2018B-sol.pdf |פתרון]]

* [[מדיה:83116ExamA-2018B.pdf | מועד א תשעח סמסטר ב]],

* [[מדיה:83116ExamB-2018B.pdf | מועד ב תשעח סמסטר ב]],

===תשעח סמסטר א===
* [[מדיה:83116quiz-2018A.pdf | בוחן תשעח סמסטר א]], [[מדיה:83116-quiz-2018A-sol.pdf |פתרון]]

===תשעז סמסטר ב===
*[[מדיה: 17BdidaAvivQuizSol.pdf|בוחן פתור]]

*[[מדיה: 17BdidaAvivExamA.pdf|מועד א]]

*[[מדיה: 17BdidaAvivExamB.pdf|מועד ב]]

===תשעז סמסטר א===
* [[מדיה:quiz77.pdf | בוחן תשעז סמסטר א]], [[מדיה:quiz77Sםך.pdf |פתרון]]
* [[מדיה: moedA.pdf|מועד א]], [[מדיה: moedASol.pdf|פתרון מועד א]]
* [[מדיה: moedB.pdf|מועד ב]]

===תשעו===
* [[מדיה:quiz76.pdf | בוחן תשעו]], אין פתרון, כי זה היה מתרגילי הבית.
* [[מדיה:ExExtra2016.pdf |שאלות חזרה]]
* [[מדיה:ExamEG2016.pdf |מבחן לדוגמא]]

===תשעה===
* [[מדיה:QuizCopyThatOrenTemperedWith.pdf| בוחן תשעה]], [[מדיה:פתרון_לבוחן_בבדידה_להנדסה.pdf | פתרון]]
* [[מדיה:בוחן_לדוגמה_בדידה_להנדסה.pdf | בוחן לדוגמה תשעה]], [[מדיה:פתרון_בוחן_לדוגמה_בדידה_להנדסה.pdf |פתרון]].

===תשעד===
* [[מדיה:83-116-AS.pdf|מועד א עם פתרון]]
* [[מדיה:83-116-BS''.pdf|מועד ב עם פתרון]]

קובץ:Quiz1 80Sol.pdf

2020-01-02T10:15:13Z

Relweiz:

83-116 מבחנים

2020-01-02T10:14:55Z

Relweiz: /* מבחנים ובחנים משנים קודמות */

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6

2019-12-31T12:24:04Z

Relweiz: /* אקסופננט */

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==אקסופננט==

ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה <math>f(x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)</math> גזירה ומקיימת <math>f'(z)=f(z)</math>, וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: <math>e^z=e^x(\cos y+i\sin y)</math>.

לדוגמא, נחשב <math>e^{1+\frac{\pi}{4}i}</math>:

<math>e^{1+\frac{\pi}{4}i}=e^1(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4})=e(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{e\sqrt{2}}{2}i</math>.

====תרגיל====
כידוע, בממשיים מתקיים <math>e^x>0</math>. מה לגבי המרוכבים? האם קיים <math>z\in \mathbb{C}</math> כך ש <math>e^z</math> הוא ממשי וקטן מאפס?

=====פתרון=====
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש <math>x,y\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>e^{x+yi}=e^x(\cos y+i\sin y)=-e</math>.

ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש <math>\sin y=0</math>, ולכן <math>y=0+\pi k</math>. כעת נקבל <math>\cos y\in \{-1,1\}</math>, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה <math>\cos y=-1</math>, ולכן ניקח <math>y=\pi+2\pi k</math>.

מה שקיבלנו עד כה זה <math>e^{x+\pi i}=-e^x</math>, ולכן אם ניקח <math>x=\ln e=1</math> נקבל <math>e^{1+\pi i}=-e</math> כדרוש.

באופן כללי: יהי <math>t<0</math> ממשי. נבחר <math>z=\ln |t|+\pi i</math> ונקבל <math>e^z=-e^{\ln |t|}=-|t|=t</math>.

====תרגיל====
הוכיחו שמתקיים: <math>e^{\overline{z}}=\overline{e^z}</math>
=====פתרון=====
לפי הגדרה: <math>e^{\overline{z}}=e^{x-yi}=e^x(\cos(-y)+i\sin(-y))=e^x(\cos y-i\sin y)=\overline{e^x(\cos y+i\sin y)}=\overline{e^z}</math>.

==טריגו==
הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>.

לדוגמא, נחשב:

<math>\sin(\frac{\pi}{4}+i)=\frac{e^{i(\frac{\pi}{4}+i)}-e^{-i(\frac{\pi}{4}+i)}}{2i}=\frac{e^{-1+\frac{\pi}{4}i}-e^{1-\frac{\pi}{4}i}}{2i}=</math>

<math>=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i</math>

====תרגיל====
הוכיחו: <math>\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w</math>.

=====פתרון=====
נפתח את צד ימין:

<math>\sin z\cos w+\cos z\sin w=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}+\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\cdot \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}=</math>

<math>=\frac{1}{4i}(e^{iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}-e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw})=\frac{1}{4i}(2e^{iz}e^{iw}-2e^{-iz}e^{-iw})=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i}=\sin (z+w)</math>

====תרגיל====
חשבו נגזרת: <math>(\cos z)'</math>

=====פתרון=====
נחשב: <math>(\cos z)'=\left( \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \right)'=\frac{ie^{iz}+(-i)e^{-iz}}{2}=\frac{i\left( e^{iz}-e^{-iz} \right) }{2}=\frac{-e^{iz}+e^{-iz}}{2i}=-\sin z</math>

==לוגריתם==
אנחנו רוצים פונקציה הופכית לאקספוננט. הבעיה היא, שפונקציית האקספונט לא חח"ע. מה עושים? שמים לב שבתחום <math>\{z|-\pi<Im(z)\leq \pi\}</math> היא כן חח"ע, מגדירים שם את ההופכית, וקורים לה <math>\log</math>.

===הגדרה מפורשת===
<math>\log(z)=\ln |z|+iarg(z)</math>

לדוגמא: <math>\log(2\text{cis}\frac{5\pi}{4})=\ln 2+iarg(\log(2\text{cis}\frac{5\pi}{4}))=\ln 2+\frac{-3\pi}{4}i</math>.

====תרגיל====
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z\neq 0</math> שאיננו ממשי שלילי מתקיים: <math>\log(\overline{z})=\overline{\log(z)}</math>.

=====פתרון=====
נשתמש בעובדה מהעבר: <math>arg(\overline{z})=-arg(z)</math> (אתם זוכרים שכשדיברנו על cis אמרנו שבצמוד לוקחים את מינוס הזוית? וכמובן אם הזוית המקורית נמצאת בין מינוס פאי לפאי, אז גם המינוס שלה, וכאן משתמשים בהנחה שהוא לא שלילי). לכן:

<math>\log(\overline{z})=\ln |\overline{z}|+iarg(\overline{z})=\ln |z|-iarg(z)=\overline{\ln |z|+iarg(z)}=\overline{\log(z)}</math>

==חזקות==
בממשיים מגדירים: <math>x^y=e^{y\ln x}</math>. אז נעשה זאת גם כאן: <math>z^w=e^{w\log z}</math>.

לדוגמא: <math>i^{0.5-\frac{2}{\pi}i}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)\log(i)}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)(\ln|i|+iarg(i))}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)\cdot \frac{\pi}{2}i}=e^{1+\frac{\pi}{4}i}=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>

==ענפים שונים==
כאמור, ההגדרות של לוגריתם וחזקה תלויות בבחירת הענף, כלומר, טווח הזוית המגדירה מס' מרוכב. הענף הראשי הוא <math>-\pi \leq \theta \leq \pi</math>. אך ניתן לבחור גם ענפים אחרים כמו <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math>, ולקבל הגדרה שונה ללוגריתם וחזקה.

====תרגיל====
נתבונן בענף <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> ונחשב את <math>L(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i),(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)^i</math>

=====פתרון=====
תחילה, נבדוק מהי הזוית (המתאימה לענף) של <math>\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>: הזוית הרגילה היא <math>-\frac{\pi}{4}</math>, שאינה בענף, ולכן נוסיף <math>2\pi</math> לקבל את הזוית <math>\frac{7\pi}{8}</math> שבענף. כעת נוכל לחשב:

<math>L(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\ln (1) +i\frac{7\pi}{8}=i\frac{7\pi}{8}</math>.

====תרגיל====
חשבו את כל החזקות <math>(1+i)^{1+i}</math>.

=====פתרון=====
ראשית נשים לב שהזוית בענף המרכזי של <math>1+i</math> היא <math>\frac{\pi}{4}</math>, ולכן בענף כלשהו <math>L</math> הזוית היא <math>\frac{\pi}{4}+2\pi k</math> עבור איזשהו <math>k\in \mathbb{Z}</math>. כעת נחשב:

<math>(1+i)^{1+i}=e^{(1+i)\cdot L(1+i)}=e^{(1+i)\cdot (\ln 2 + i(\frac{\pi}{4}+2\pi k))}=e^{\ln 2-\frac{\pi}{4}+2\pi k+(\ln 2+\frac{\pi}{4}+2\pi k)i}</math>

כעת לפי הנוסחא לחישוב אקספוננט נקבל <math>e^{\ln 2-\frac{\pi}{4}+2\pi k}cis(\ln 2+\frac{\pi}{4}+2\pi k)</math>