Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג

2013-08-26T14:33:39Z

RoyXnadler: /* עזרה בתרגיל 6.14 מן מערך תרגול 10 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שאלה מתרגיל הבית (תרגיל 1) ==

בתרגיל הבית ישנה מטלה:
בנו שדה בן 4 איברים. ציינו מהם האיברים הניטרליים לחיבור וכפל.

לא הבנתי כיצד לענות על השאלה ואני לא יודע אפילו מהיכן להתחיל.

:שדה הינו אוסף של איברים, עם פעולות חיבור וכפל בינהם כך שמתקיימים תוכנות מסוימות (חילוף, פילוג, קיבוציות, וכדומה). את רשימת התכונות ניתן למצוא בהגדרה של [[שדה]].
:ידוע לפי התכונות שבשדה יש איבר נייטלי לחיבור ואיבר נייטרלי לכפל, נקרא להם אחד ואפס. לשני האיברים הנותרים נקרא a,b.
:כך, עליך להגדיר פעולות כפל וחיבור בין האיברים, וחשוב לזכור שהתוצאה '''חייבת להיות בשדה'''. למשל ניתן להגדיר כי <math>1+1=0</math>, ואולי <math>a\cdot b = 1</math>.
:ניתן לרשום את פעולות הכפל והחיבור בטבלאות כמו שראינו בהרצאה.
:דבר אחרון, יש להוכיח כי הפעולות שהגדרת אכן תואמות את כל התכונות של ה[[שדה]]. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:41, 9 ביולי 2013 (IDT)

== תשובות לשאלות ==

יש אפשרות לתת תשובות סופיות או אופציה לתשובה אפשרית לשאלות?
כדי שנוכל לדעת אם צדקנו.. תודה:)

:ארז אמר שכל שבוע יעלו פתרונות של תרגיל הבית מהשבוע הקודם. (אני לא מרצה/מתרגל אז נא לקחת את התשובה שלי בערבון מוגבל)

== תרגיל 1 ==

איך אפשר להראות קיבוץ ופילוג כדי להוכיח שקבוצה היא שדה? צריך להראות את זה על כל האיברים? או שאפשר פשוט להגיד שאני משתמש בכפל וחיבור רגילים רק עם מודולו וזה מספיק? תודה מראש
:תלוי. אם אלה המספרים הרגילים עם הפעולות הרגילות אין צורך להוכיח בשנית. אם אתה ממציא איברים חדשים ופעולות עליהם (כמו a,b) אז כן צריך להראות לכל האיברים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 11:47, 10 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה מס' 7 ==

יצא לי בשאלה 7א מטריצה עם המון 13, השורה הראשונה נראתה (26 13 13- 13), זה נכון או שלא הבנתי את פעולת הכפל?
ב-7ב יצא לי שזו מטריצה זהה לזו המקורית, זה נכון?

תודה למי שעונה...:)

:יצא לי כמוך ב-7ב אבל ב-7א יצא לי מטריצת האפס..

:גם לי יצא מטריצת האפס ב-א' וב-ב' יצאה לי המטריצה המקורית

: *אני שאלתי את השאלה* תראו, כתבתי תוכנית שמכפילה מטריצות ויצא לי <math>\begin{pmatrix} -2 &0 &-2 &-6 \\ -24 &28 &-26 &58 \\ -7 &19 &-13 &44 \\ 13 &-13 &13 &26 \end{pmatrix}</math>
:אז בחישובים אין לי טעות, השאלה היא אם לא הבנתי את הפעולה עצמה.

::לרשותך תוכנה שכופלת מטריצות: [http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/matrix_multiplication.aspx כלי עזר לכפל מטריצות- bluebit]
::כפל מטריצות מתבצע בצורה הבאה: כדי לגלות את האיבר בשורה ה- i ובעמודה ה- j של AB אנחנו נעבור על השורה ה- i של A ועל העמודה ה- j של B, נכפול איבר-איבר (איבר ראשון בשורה ה- i של A כפול איבר ראשון בעמודה ה- j של B, אח"כ אותו דבר על האיבר השני בשורה i של A ועמודה j של B וכך הלאה...) אחרי זה נסכום את כל מה שיצא, וזה יהיה האיבר במקום ה-i,j ב-A*B. -[[משתמש:ofekgillon10| אופק גילון]]

::: עכשיו הבנתי את הכפל, תודה רבה :)

== דוגמא לתרגיל 9 ==

אפשר דוגמא להוכחה בתרגיל 9, כי לא בדיוק תרגלנו את זה או עברנו על דבר כזה בהרצאה.
אם מישהו מוכן לכתוב איך מוכיחים ש"מטריצה משולשית עליונה" סגורה לכפל (או לא), הוא יעזור מאוד. תודה.

* דבר ראשון, אתה צודק שעוד לא ראינו כל כך דוגמאות לזה. ביום ראשון תראו בעזרת ה' יותר דוגמאות להוכחות כאלה.

עכשיו בקשר לשאלה עצמה - לפי ההגדרה מטריצה משולשית עליונה היא מטריצה שבה <math>A_{i,j}=0</math> כאשר <math>j<i</math>.

כלומר (אם אתה מחליט שאתה רוצה להוכיח ולא להפריך) אתה רוצה להוכיח שאם <math>A,B</math> מקיימות את התנאי הזה אז גם <math>AB</math> מקיימת אותו

עכשיו, לפי הגדרת כפל אתה יודע למה שווה <math>(AB)_{i,j}</math>. אתה צריך להראות שאם <math>j<i</math> אז זה שווה ל <math>0</math>.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:35, 11 ביולי 2013 (IDT)

:זה ברור, השאלה היא איך ההוכחה מתבצעת - באיזו דרך. באופן כללי הצלחתי להפוך את הטענה לטענה הבאה: בכל עבור כל שורה <math>i</math> ועמודה <math>j</math>, מובטח שכאשר <math>i>j</math> יהיו אפסים באופן הבא: עד ההגעה ל"אלכסון הראשי" במטריצה הראשונה, האפסים במכפלה ילקחו ממנה, ומן ההגעה האפסים ילקחו מהמטריצה השנייה (מקווה שהבהרתי את עצמי). אבל איך אני מוכיח שבכל המכפלות יש <math>0</math>?

* אני לא בטוח שהבנתי את המשפט "להוכיח שבכל המכפלות יש <math>0</math>." (באיזה מכפלות?). לפי מה שאתה כותב כאן, יש לך כמעט את התשובה ביד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 19:01, 11 ביולי 2013 (IDT)

:הכוונה היא שאחד מהגורמים במכפלה הוא <math>0</math> בכל אחת מהמכפלות <math>\sum_{k=0}^{l}A_{i,k}B_{k,j}</math> ולכן גם הסכום הוא <math>0</math>, ומכאן שערך כל אחד מהתאים עבור <math>i>j</math> הוא גם <math>0</math> ולכן הטענה נכונה.

* אתה הרי יודע ש <math>A,B</math> הם מטריצות משולשיות עליונות ולכן אתה יודע שהרבה מהאיברים שלהם הם <math>0</math>.

אתה רק צריך להסביר למה לכל <math>k</math> שהוא בין <math>1</math> ל <math>l</math> אחד מהגורמים במכפלה שכתבת <math>A_{i,k}</math> או <math>B_{k,j}</math> (או שניהם כמובן) יהיה <math>0</math>. יש לך ממש את התשובה, זה רק עוד טיעון קטן.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:47, 12 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה 4 ==

בוקר טוב !

בשאלה ארבע ישנה מערכת משוואות עם פרמטר b. האם ידוע לנו אודות הפרמטר? האם הוא שונה מאפס? או שהאם הוא יכול להיות גם שווה?

תודה ושבת שלום!

* לא ידוע כלום. יכול להיות שווה ויכול להיות שונה (כמובן שאתה יכול לחלק את התשובה שלך לפי המצבים השונים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:48, 12 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה 8ד' ==

בשאלה 8ד' שכתוב <math>A_{j,k}</math> האם הכוונה היא ל-<math>[A]_{j,k}</math> (סקלר)?
--[[משתמש:Omer rosler|Omer rosler]] 12:02, 12 ביולי 2013 (IDT)

* כן, זה סקלר. האיבר ה <math>j,k</math> של <math>A</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:49, 12 ביולי 2013 (IDT)

== mod 2 ==

אפשר בmod 2 את הדבר הבא?
שבגלל ש-1=1
cis 240=cis60 *cis 180=-1*cis 60=1*cis 60=cis60

:מה זה מוד 2? אנו מכירים את השדה <math>\mathbb{Z}_2</math> שמכיל את האיברים 0 ו-1 בלבד. אין קשר בינו לבין מספרים מרוכבים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:48, 12 ביולי 2013 (IDT)

== שאלות תרגיל 1 ==

בשאלה 7 בסעיף ב׳ קיבלתי שעבור חזקות אי זוגיות המטריצה שמתקבלת שווה למטריצה בהתחלה. האם צריך להוכיח את התכונה? או שמספיק לרשום אותה במילים?
בשאלה 8 בסעיפים ב׳ ו-ד׳ כתוב Ek,l האם זוהי מטריצה אחרת ואם כן מה ידוע עליה?
:לגבי שאלה 7, פשוט תכתוב שהמטריצה בחזקת 2013 שווה למטריצה אחרת בחזקת 2012 ואז למקורית בחזקת 2011, ואז לרשום שבגלל שהמטריצה חזרה להיות מקורית יש מחזוריות - בכל 2 הכפלות המטריצה חוזרת לעצמה. לגבי שאלה 8, ידוע שלמטריצה <math>E_{k,l}</math> יש 1 במיקום ה-<math>k,l</math> ובכל שאר המקומות אפסים. -[[משתמש:The Yair| יאיר]] (אני לא מרצה / מתרגל אז נא לקחת את התשובה בעירבון מוגבל).

בשאלה 7 אתה לא חייב להוכיח את התכונה, כל דרך שבה תסביר למה שווה המטריצה בחזקת 2013 זה בסדר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:05, 14 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה מתרגיל הבית (תרגיל 1) ==

בתרגיל הבית ישנה תרגיל 4:אני לא יודע כלום על משתנים a b
ולא הבנתי כיצד לענות על השאלה ואני לא יודע אפילו מהיכן להתחיל.
אשמח לקבל אולי דוגמא לפתרון תרגיל דומה שמכיל משתנים וגם מסדר MOD או הסבר שיעזור לי לפתור את זה

:a,b הם פרמטרים. בעצם אתה צריך לפתור 3 משוואות ב-3 נעלמים כאשר a,b פרמטרים, ממש כמו בתיכון. ההבדל היחיד פה הוא שאתה ב- <math>\mathbb{Z}_7</math> ולכן עליך לדאוג לכך שאתה משתמש רק באיברי השדה. ככה אם תקבל מצב של a+6+4 (סתם דוגמה), אתה צריך להמיר את זה ל- a+3 ולא a+10. הנה קישור לאלגוריתם לדירוג מטריצה שיכול לעזור : [[מדיה:10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג מטריצות]], מקווה שזה עוזר.- [[משתמש:ofekgillon10|אופק]]

== תרגיל 5 ==

איך אני אמור למצוא מערכת משוואות עבור 121 פתרונות בתרגיל כזה או למשל עבור N פתרונות אחרים?
אם אפשר אני זקוק לדוגמה או הסבר.

:'''משפט:''' למערכת משוואות מעל שדה עם מאפיין <math>p\neq0</math> ועם n משתנים חופשיים, יהיו <math>p^n</math> פתרונות.(ההיגיון הוא שלכל משתנה חופשי יש לי p אפשרויות להציב בו) --[[משתמש:Ofekgillon10|Ofekgillon10]] 21:03, 13 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה 2 ==

בשאלה 2, האם מספיק למצוא את טבלאות החיבור והכפל של השדה, או שחייבים להוכיח שכל התכונות מתקיימות. אם כן, יש דרך לעשות את זה מלבד לעבור על כל האיברים ולהראות?

* צריך גם להוכיח שזה שדה. את הקיום של רוב התכונות קל לראות מהטבלאות. גם את התכונות שלא קל לראות מהטבלאות לא בהכרח צריך לעבור על '''כל''' המקרים הקיימים - כי יכול להיות שקל מאוד להסביר את חלקם. אבל כן, עבור חלק מהתכונות צריך לעבור על חלק מהאפשרויות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:08, 14 ביולי 2013 (IDT)

== שאלה 4 ==

אם לאחר דירוג המטריציה יצא לי שורת אפסים אחת כאשר אני נמצא מעל Z7 אז יש לי 7 פתרונות אפשריים?
והאם אני רושם את התשובה באופן הבא:
פתרון אחד...
אין פתרון...
7 פתרונות...
?

* כן. אם מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> יש משתנה אחד חופשי אז יש <math>7</math> פתרונות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:45, 18 ביולי 2013 (IDT)

::אז בעצם בתשובה אני רושם : אם a=2,5 וגם b=0 יש 7 פתרונות ולא אינסוף פתרונות?

:::מספר הפתרונות שווה למספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים. מעל שדה סופי לא ייתכנו איסוף פתרונות, ולכן אסור לרשום זאת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 2 ==

למדנו בהרצאה (למרות שלא כתבנו) משפט שאומר כי לכל p ראשוני קיים שדה אחד ויחיד בעל <math>p^n</math> איברים.
אם מניחים כי קיים שדה בעל 4 איברים, אפשר להראות כי הכפל והחיבור שלו יכולים להיות מוגדרים בדרך אחת בלבד, לכן זה חייב להיות השדה ללא הוכחת כל התכונות של שדה. כי אם הקבוצה {0,1,a,b} עם הפעולות שהגדרנו לא שדה אז זו סתירה למשפט (הפעולות לא יכולות להיות מוגדרות אחרת כי זו סתירה לתכונות של שדה).
האם זו הוכחה מספקת לשאלה 2?--[[משתמש:Omer rosler|Omer rosler]] 23:33, 19 ביולי 2013 (IDT)

* אם אתה יודע מראש שקיים שדה בגודל <math>4</math> אז זאת הוכחה נכונה. למרות שבעיקרון הכוונה הייתה גם שתוכיחו שזה שדה.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:06, 22 ביולי 2013 (IDT)

== הרצאות כתובות ==

איפה אפשר לראות את ההרצאות המוקלדות? לא התרגולים...
כלומר את כל מה שנרשם בהרצאה (בעיקר הוכחות למשפטים שהיו בהרצאה)

אני לא חושב שיש את ההרצאות מוקלדות איפשהוא. הוכחות למשפטים אפשר למצוא בספרים. כולל אלה שיש להם קישורים באתר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:17, 29 ביולי 2013 (IDT)

== span ==

איך אני מוצא כי (B מוכל ב - V)

SPAN(B) = V

אם נתון לי B?

* תשובה: אם אני מבין את השאלה שלך. אתה שואל, בהינתן קבוצה <math>B</math> איך אני מראה ש <math>span B=V</math>.

יש 2 דרכים די סטנדרטיות:

דרך 1: להראות שבעזרת צירופים לינאריים של איברי <math>B</math> אפשר להגיע לקבוצה שפורשת את <math>V</math>.

דרך 2: להראות ש <math>B</math> מכילה קבוצה בת"ל בגודל המימד של <math>V</math> (ואז לפי השלישי חינם היא גם פורשת).

מקווה שההסבר הזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:09, 30 ביולי 2013 (IDT)

== כמה הגדרות ואי-הבנות ==

החסרתי כמה שיעורים, ולא הצלחתי להשלים את כל החומר. אשמח לתשובה קצרה על כמה שאלות:
* המושגים - <math>Dim, Rank, Char</math>, מה כל אחד מהם אומר?
* כשמתכוונים לבסיס סטנדרטי (S) של <math>\mathbb{R}^3</math>, הכוונה היא לווקטורים <math>(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)</math>?
* מטריצת מעבר בין בסיסים היא בין שני בסיסים שונים שפורשים את אותו מרחב ווקטורי?
תודה מראש...

תשובות:

*

1) <math>char</math> זה מאפיין של שדה. המאפיין של שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא מספר הפעמים שצריך לסכום את <math>1</math> כדי להגיע ל <math>0</math>.

למשל ב <math>\mathbb{Z}_p</math> אם תסכום <math>p</math> פעמים את <math>1</math> תקבל 0.

אם לעולם לא תקבל 0, אז המאפיין הוא <math>0</math>.

לכן <math>char\mathbb{Z}_p=p</math> ו <math>char{\mathbb{Q}}=char{\mathbb{R}}=char{\mathbb{C}}=0</math>

אפשר להוכיח שהמאפיין הוא תמיד <math>0</math> או מספר ראשוני.

2)<math>dim</math>. לכל מרחב וקטורי <math>V</math> המימד שלו <math>dimV</math> הוא מספר הוקטורים שיש בבסיס.

(אחד המשפטים שהוכחתם בהרצאה אומר שכל שני בסיסים הם באותו גודל).

3)<math>rank</math> : דרגה של מטריצה היא המימד של מרחב השורות ומסתבר (זה משפט שראיתם/תראו בהרצאה) שזה שווה למימד של מרחב העמודות.

(יש גם מושג של דרגה של העתקה לינארית - שיש לו קשר הדוק לדרגה של מטריצה אבל לזה עוד לא הגענו).

* כן.

* כן.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:41, 31 ביולי 2013 (IDT)

== מימד של Rn[x] ==

מה המימד של המ"ו Rn[x]=V? ע"פ הבסיסים הסטנדרטיים, DimV=n+1, האם זה נכון?

אם כן, בשאלה 1ג בתרגיל 3, כיצד ייתכן ש-3 ווקטורים יפרשו את R3[x]=V?
אם לא, ומתקיים DimV=n, אז איך בבסיס, לדוגמא של R3[x]=V יש את <math>1,x,x^2,x^3</math>?

:(לא מתרגל / מרצה) אכן, <math>\dim\left (\mathbb{R}_n\left [ x \right ] \right )=n+1</math> (ניתן להוכיח, למשל, עם הבסיס הסטנדרטי). אם הם אינם יכולים לפרוש את הקבוצה, לפי השאלה, יש למצוא בסיס שיכיל את הקבוצה, כלומר להרחיב את הקבוצה הזו לבסיס. --[[משתמש:גיא|גיא בלשר]] 17:03, 31 ביולי 2013 (IDT)

גיא צודק. באמת לא ייתכן ש <math>3</math> וקטורים יפרשו את <math>\mathbb{R}_3[x]</math>. נימוק משיקולי מימד הוא באמת הנימוק הפשוט ביותר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:42, 1 באוגוסט 2013 (IDT)

== תרגיל 4, שאלות 1,2 ==

לגבי שאלה 1ב - איך אני מוצא את הבסיס ל-W?
ולגבי שאלה 2 - למה מתכוונים בסעיף א'? זה לא ברור, לפחות לי.

*תשובה: לגבי 1: אתה יכול לתאר את <math>W</math> בתור פתרון למערכת משוואות הומוגנית.

אחרי שיש לך מערכת משוואות הומוגנית אפשר לפתור אותה, וקל למצוא את הבסיס מהפתרון הכללי. (כמו בתרגיל 3 - שאלה 5).

שאלה 2: צריך למצוא מערכת משוואות לינארית הומוגנית שמרחב הפתרונות שלה הוא בדיוק <math>span \{v_1,v_2,v_3\}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:15, 9 באוגוסט 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלות 3 ו6 ==

בס"ד

*בשאלה 3 סעיף ד'-כיצד ניתן למצוא את מטריצת המעבר?

*בשאלה 6-מה אומר לנו המשפט C(B) n N(A)=0 ?

(n זה החיתוך...) לא הבנתי את המשפט...

תודה מראש :)

:(לא מרצה / מתרגל).
:*לגבי 3-ד', בתרגול קיבלנו אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין בסיסים. מצא את <math>[I]_{C}^{S}</math> ואת <math>[I]_{B}^{S}</math>. כעת הפוך את <math>[I]_{C}^{S}</math> (כלומר מצא את ההופכית) וקיבלת את <math>[I]_{S}^{C}</math> ע"פ המשפט שלמדנו בשיעור. כעת מתקבל <math>[I]_{C}^{B}=[I]_{C}^{S}*[I]_{S}^{B}</math> וקיבלת את מטריצת המעבר מ-B ל-C.
:*לגבי 6 - כל הקטע בשאלה הוא להבין מה אומר המשפט. אני אתן רמז כי חבל לגלות את התשובה, הפתרון יפה. אני אגיד רק שמתקיים <math>Dim(C(A))+Dim(N(A))=n</math> עבור <math>\forall A\in F^{n*n}</math> וכן שכל <math>n+1</math> ווקטורים במ"ו <math>\mathbb{F}^n</math> תלויים ליניארית (כמובן שזכור ש-<math>Dim(SpanA)=|A|</math>). זה אמור להספיק, חבל לגלות הכל.
:-- [[משתמש:Math5|יאיר קורנגוט]] 23:32, 8 באוגוסט 2013 (IDT)

== שאלה 8 ==

בתרגיל בית האחרון (5), לא הבנתי איך תיראה דוגמא להעתקה לינארית בתרגיל השמיני.
איך מביעים העתקה ממרחב הפולינומים למרחב הפולינומים ? ( (?)T =? )

* תשובה: דרך טובה לתאר העתקה זה לומר מה היא עושה לוקטורים של הבסיס הסטנדרטי.

נניח <math>T(1)=0,\quad T(x)=2x</math>.

או לכתוב <math>T(a+bx)=2bx</math>

שזה אותו דבר.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:12, 17 באוגוסט 2013 (IDT)

== שאלה על מרחבים וקטוריים.... ==

אם הווקטור היחיד במרחב וקטורי כלשהו הוא ווקטור האפס,
אז הבסיס למרחב הוא ווקטור האפס או הקבוצה הריקה?

*תשובה: הקבוצה הריקה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:13, 17 באוגוסט 2013 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 11 (דחוף!) ==

בתרגיל 5 שאלה 11 מה זה z עם 3 וp? זה סימון שאני לא חושב שלמדנו...

* אנחנו דיברנו על מרחב וקטורי מהצורה <math>\mathbb{F}^n</math>. במקרה הזה השדה הוא <math>\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:14, 17 באוגוסט 2013 (IDT)

== פעולות שורה/עמודה על דטרמיננטות ==

כאשר אני רוצה לחשב דטרמיננטה של מטריצה, אני יכול לעשות פעולות שורה ופעולות עמודה בערבוב (יעני להחליף בין עמודות, או להוסיף עמודה כפול סקלר לעמודה אחרת, ואח"כ להכפיל שורה בסקלר וכו')? כי לא צריך לשמור על סדר המשתנים והכל... נכון?

* כן, זה לא משנה. זה גם קל להסביר למה זה נכון. ביצוע פעולות שורה הוא כמו כפל של מטריצה מימין במטריצות אלמנטריות, ביצוע פעולות עמודה זה כמו כפל משמאל במטריצות אלמנטריות. אם אתה לוקח מטריצה <math>A</math> ומבצע עליה פעולות שורה ועמודה אז קיבלת

<math>E_k\ldots E_1 A F_1 \ldots F_l=P</math> כאשר <math>E_i,F_j</math> הם מטריצות אלמנטריות ו <math>P</math> זאת המטריצה שקיבלת.

אבל בגלל שדטרמיננטה היא כפלית

<math>|E_k|\ldots|E_1||A||F_1|\ldots|F_l|=|P|</math>

ולכן

<math>|A|=|P||E_1|^{-1}\ldots|E_k|^{-1}|F_1|^{-1}\ldots|F_l|^{-1}</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:44, 19 באוגוסט 2013 (IDT)

== אי הבנה ברשימת המשפטים למבחן ==

לא הבנתי מה בעצם המשפט השלישי. הרי זו ההגדרה של מטריצה הפיכה, אם יש מטריצה אחרת שכאשר כופלים אותה משמאל במטריצה שלנו המכפלה שווה I (מטריצה הזהות).
אז מה בעצם אנו אמורים להוכיח במשפט הזה?

* תשובה: הטענה היא שמטריצה <math>A</math> היא הפיכה אם ורק אם היא הפיכה משמאל.

(ההגדרה של מטריצה הפיכה היא שיש מטריצה <math>B</math> כך ש <math>AB=BA=I</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:51, 24 באוגוסט 2013 (IDT)

== שיעור חזרה ==

באיזו יום יקיים שיעור חזרה,ואם כן באיזה שעות זה יתקיים?

* תרגולי חזרה יתקיימו:

ביום שני ב 12:00 בבניין 604 כיתה 101

ביום שני ב 14:00 בבניין 604 כיתה 101

ביום שלישי בשעה 15:00 (כיתות יפורסמו בהמשך).

הרעיון הוא שכל אחד יוכל להגיע מתי שמתאים לו (שני או שלישי) אי אפשר למצוא זמן שנוח לכולם.

החלוקה למתרגלים לא רלוונטית - שכל אחד יבוא מתי שהוא רוצה.

שימו לב: המטרה העיקרית של שיעור החזרה היא לענות על שאלות של הסטודנטים, אז תכינו מראש את השאלות שיש לכם.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 11:22, 25 באוגוסט 2013 (IDT)

== הגעה לשיעורי תגבור ==

יש סיבה לבוא ליותר משיעור תגבור אחד? נניח גם בשני וגם בשלישי?

* אין סיבה מיוחדת. חילקנו לשני ימים כי לא כולם יכלו להגיע בשני או בשלישי.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:24, 26 באוגוסט 2013 (IDT)

== עזרה בתרגיל 6.14 מן מערך תרגול 10 ==

הפתרון לא מובן.

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג

2013-08-26T14:33:18Z

RoyXnadler: /* עזרה בתרגיל 6.14 מן מערך תרגול 10 */ פסקה חדשה

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6

2013-08-16T15:35:01Z

RoyXnadler:

'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

=עוצמות=

'''הגדרה.''' יהיו A,B שתי קבוצות. אזי:
*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע ועל אז אומרים של A ולB '''יש אותה עוצמה''' (סימון <math>|A|=|B|</math>)
*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע אז אומרים כי העוצמה של A קטנה או שווה לזו של B. (סימון <math>|A|\leq|B|</math>)
* אם <math>|A|\leq|B|</math> וגם <math>|A|\not=|B|</math> אזי אומרים כי העוצמה של A קטנה ממש מהעצמה של B (סימון <math>|A|<|B|</math>)

הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת <math>f:A\to B </math> על אזי <math>|B|\leq|A|</math>
(בעזרת התרגיל מתירגול קודם כי ניתן לצמצם את התחום של f כך שתהא חח"ע)

'''דוגמא.''' יהיו A וB שתי קבוצות סופיות. אזי אם מספר האיברים בהן שווה עוצמתן שווה, ואם מספר האיברים בA גדול מזה של B אזי עוצמתה של A גדולה יותר.

לכל קבוצה סופית בעלת n איברים, נאמר שעוצמתה הינה n.

'''טענה.''' אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>|A|\leq |B|</math>.

הוכחה: נגדיר <math>f:A\to B </math> פונקצית ההכלה השולחת כל איבר לעצמו. פונקציה זו חח"ע ולכן <math>|A|\leq|B|</math>

'''תרגיל''' הוכח כי עוצמת <math>\mathbb{N}</math> שווה ל -<math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>

הוכחה: נגדיר <math>f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\} </math> ע"י <math>f(n)=n-1 </math>.
<math>f</math> חח"ע ועל כי יש לה הופכית <math>g(n)=n+1\;\;\;\;\;g:\mathbb{N}\cup\{0\} \to \mathbb{N}</math>

'''טענה.''' אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A.

הוכחה: נגדיר <math>f:A\to A/R </math> ע"י <math>f(a)=[a]_R</math>. הפונקציה על ולכן <math> |A/R|\leq |A| </math>

'''טענה''' אם <math>|A|=|A'|,\;\; |B|=|B'|</math> אזי <math>|A\times B|=|A'\times B'|</math>

הוכחה: קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>f_1:A\to A'.\;\;f_2:B\to B'</math>

נגדיר פונקציה <math>f:A\times B \to A'\times B'</math> ע"י <math>(a,b)\mapsto (f_1(a),f_2(b))</math>
כיוון ש <math>f_1,f_2</math> חח"ע ועל גם <math>f</math> כזאת.

'''הערה'''
אם נסתכל על קבוצה של קבוצות ניתן להגדיר עליה יחס "עוצמות שוות" והוא יהיה יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. אם זאת, לא ניתן להגדיר יחס זה על כל הקבוצות כולם בשל הסיבה שלא קיימת קבוצת כל הקבוצות.
נראה שימוש בתכונות אלו בתרגילים הבאים.

== עוצמת הטבעיים ==
'''תרגיל.'''
הוכח שעוצמות הקבוצות הבאות שוות: <math>\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}</math>

'''הוכחה:'''
נבנה פונקציות חח"ע ועל ונוכיח מספר טענות עזר בדרך.

* נגדיר <math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> ע"י
**אם n זוגי אזי <math>f(n)=\frac{n}{2}</math>
**אחרת, <math>f(n)=-\frac{n-1}{2}</math>

קל לוודא שפונקציה זו חח"ע ועל לכן עוצמת השלמים ועוצמת הטבעיים שווה.

'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|</math>.

'''הוכחה.'''
נביט באוסף הזוגות הסדורים של מספרים טבעיים, ונחלק אותם לקבוצות לפי סכום האיברים בזוג. בקבוצה הראשונה יהיה הזוג (1,1), בקבוצה השנייה יהיו הזוגות (1,2),(2,1), בקבוצה השלישית יהיו הזוגות (1,3),(2,2),(3,1) וכדומה.

נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}</math> באופן הבא:

*1 נשלח לזוג הראשון בקבוצה הראשונה
*2 נשלח לזוג הראשון בקבוצה השנייה
*3 נשלח לזוג השני בקבוצה השנייה
*4 נשלח לזוג הראשון בקבוצה השלישית
*...

קל לראות שפונקציה זו מוגדרת היטב. לכל מספר טבעי פשוט עוקבים אחרי התהליך הזה ורואים לאיזה זוג הוא נשלח. כמו כן, לכל זוג ניתן לעבור על התהליך עד שיגיע המספר שישלח אליו.

[[קובץ:NutualSquareEqNutural.jpeg]]

כמו כן קל לראות שפונקציה זו חח"ע וגם על.

'''משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)''' אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>

'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>.

הוכחה: כיוון ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|</math> אזי לפי תרגיל ממקודם
<math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>

נזכר ש <math> \mathbb{Q}</math> הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{N}</math>
ולכן

<math>|\mathbb{N}|\leq |\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z} \times \mathbb{N}|\leq |\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|=|\mathbb{N}| </math>

לפי קנטור ברנשטיין נקבל ש <math>|\mathbb{Q}|= |\mathbb{N}|</math>

'''הגדרה'''
* העוצמה של הטבעיים מסומנת <math>\aleph_0</math>
* קבוצה A המקיימת <math>|A|\leq \aleph_0 </math> נקראת '''בת מנייה''' (מקור השם כי ניתן למנות/ למספר את האיברים בה ע"י התאמה חח"ע ועל מהטבעיים במקרה האין סופי או במקרה הסופי פשוט למספר עד n )

== עוצמת הממשיים==

'''תרגיל'''

הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ואפשר כי <math>a=-\infty , b=\infty</math>

הוכחה:
קל לראות כי כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>[a,b]</math>. בעלי אותה עוצמה ע"י הפונקציה

[[קובץ:EqveOfTowIntervals.jpeg]]

באותו אופן כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>(a,b)</math> או <math>(a,b]</math> או <math>[a,b)</math> בעלי אותה עוצמה (כל הקטעים מאותו "סוג")

נמשיך- ט: הקטע <math>[0,1]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>.
ה: נגדיר <math>f:[0,1)\rightarrow [0,1]</math> על ידי:

*אם <math>\nexists n\in\mathbb{N}:x=\frac{1}{n}</math> אזי נגדיר <math>f(x)=x</math>

*אחרת נגדיר <math>f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n-1}</math>

למעשה, כל מספר כמעט נשלח לעצמו פרט לסדרה הבת מנייה

<math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...</math>

הנשלחת לסדרה

<math>\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>.

זה פונקציה חח"ע ועל.

הערה: אותה פונקציה מוכיחה כי הקטע <math>(0,1]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>(0,1)</math>.

ט: הקטע <math>(-1,0]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>.

ה: ע"י הפונקציה <math>f(x)=-x</math>

ט: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל <math>\mathbb{R}</math>.

ה: הפונקציה <math>tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

לסיום נעיר כי כל קרן (קטע עם צד אחד אין סופי) ג"כ בעלת אותה עוצמה כי היא מכילה איזה שהוא קטע ומוכלת בממשיים ולכן עפ"י קנטור ברנשטיין בעלת אותה עוצמה.

'''הגדרה''': העוצמה של הממשיים מסומנת <math>\aleph</math>.

=== עוצמת הטבעיים קטנה ממש מעוצמת הממשיים ===
לשם הוכחת הטענה נשתמש בקבוצה המספרים <math>[0,1)</math> בכתיב עשרוני כלומר כל <math>x\in[0,1)</math>
הוא מהצורה <math>x=0.a_1a_2a_3...</math> כאשר <math>\forall i : a_i\in \{0,1\dots 9\}</math>
לשם נוחות התרגיל נזהה את x עם פונקציה <math>f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}</math> המוגדרת <math>f(i)=a_i</math>

ט: <math>\aleph_0\leq\aleph</math>

ה: נגדיר פונקציה <math>g=\mathbb{N}\to [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math>

ע"י <math>\forall n\in \mathbb{N}:g(n)=e_n(m)=\delta_{n,m}</math> למשל 17 נשלח לפונקציה ששווה 0 בכל מקום פרט ל-17 ששם היא שווה 1

קל לראות כי g חח"ע.

כעת נניח בשלילה כי <math>\aleph_0=\aleph</math> אזי יש פונקציה חח"ע ועל
<math>g=\mathbb{N}\to [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math>
נסמן <math>g(n)=f_n</math>.
נראה כי g אינה על ע"י שנבנה פונקציה f שאין לה מקור:

נגדיר <math>f(n)=1</math> אם <math>f_n(n)=0</math> ו <math>f(n)=0</math> אחרת.
כעת לכל n <math>f_n\not=f</math> כי <math>f_n(n)\not=f(n)</math> עפ"י הגדרת f. סתירה לכל ש g על.

הערה: הזיהוי <math> [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math> אינו מדויק כי <math>0.01=0.00999...</math>
ולכן צריך להשלח לאותה פונקציה. נשאיר כתרגיל את דיוק ההוכחה.

== ==
'''טענה.''' יהיו C,W קבוצות ויהיו <math>X,Y\subseteq W</math>, <math>A,B\subseteq C</math> תתי קבוצות כך ש <math>A\cap B=X\cap Y=\phi</math> וגם <math>A\cup B = C</math> וגם <math>X\cup Y = W</math>. אזי אם קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>g:B\rightarrow Y</math>,<math>f:A\rightarrow X</math> מתקיים ש <math>|C|=|W|</math>

הוכחה:

לפי נתון קיימות 2 פונקציות חח"ע ועל <math>f_1:A\to X,\;\;f_2:B\to Y</math>

נגדיר <math>f:C\to W</math> ע"י <math>f|_A=f_1,\;\;f|_B=f_2</math>. בידקו שאכן f חח"ע ועל.

'''תרגיל ממבחן.'''

א. יהיו A,B קבוצות כך ש <math>|A/B|=|B/A|</math>. הוכח ש <math>|A|=|B|</math>.

ב. מצא קבוצות A וB כך ש <math>|A|=|B|</math> אבל <math>|A/B|\neq |B/A|</math>.

'''פתרון.'''

א. מתקיים <math>A=(A\cap B)\cup A/B, \;\; B=(A\cap B)\cup B/A</math> לפי נתון <math>|A/B|=|B/A|</math>.
כיוון ש <math>|A\cap B|=|A\cap B|</math> לפי תרגיל קודם סימנו.

ב. ניקח את הטבעיים, ואת הטבעיים לאחר שזרקנו מהם את אחד. ברור שנשארנו עם קבוצות שוות עוצמה, אבל ההפרשים בינהם הם <math>\{1\},\phi</math> ואלו קבוצות מעוצמה שונה.

== '''תרגילי העשרה''' (לא מומלץ להעביר בתירגול) ==
'''תרגיל.'''

נגדיר "שמיניה" בתור זוג עיגולים בגדלים כלשהם המשיקים זה לזה בנקודה כלשהי. יהי אוסף אינסופי כלשהו של שמיניות במישור הזרות זו מזו (כלומר אין שתים עם נקודת חיתוך משותפת)

א. הוכח שעוצמת קבוצה זו הינה אלף אפס

ב. הוכח שקיימת קבוצה של אינסוף עיגולים במרחב ללא חיתוך מעוצמת אלף

'''פתרון.'''

א. בהנתן שמיניה מסוימת באוסף, נבחר נקודה רציונאלית אחת מעיגול אחד, ואחת מהעיגול השני. זה נותן לנו פונקציה מהאוסף אל הזוגות הסדורים של מספרים רציונאליים.

כעת, נוכיח כי פונקציה זו הינה חח"ע. נניח בשלילה כי לשתי שמיניות שונות יש נקודות משותפים בשני העיגולים. אם כן, העיגול של האחת נמצא בעיגול של האחרת ולכן גם נקודת ההשקה נמצאת בתוך העיגול האחד. מכיוון שהעיגול השני מכיל נקודה משותפת עם העיגול השני של השמיניה השנייה, חייב להיות חיתוך בינהם בסתירה (ציור פה יקל ממש על ההבנה שלכם...).

לכן עוצמת האוסף קטנה מעוצמת הזוגות הסדורים של הרציונאליים, ולמדנו שזוגות סדורים של קבוצה בת מנייה היא קבוצה בת מנייה. לכן עוצמת האוסף קטנה מבת מנייה אבל מכיוון שהיא אינסופית היא גדולה מבת מנייה ולכן בת מנייה כדרוש.

ב. ניקח את אוסף העיגולים עם מרכז בראשית ורדיוס ממשי חיובי. אין בינהם חיתוך, והכמות שלהם זהה לחצי ציר הממשיים והוא כמובן מעוצמת אלף.

88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6

2013-08-16T15:34:24Z

RoyXnadler: