Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-07T16:24:50Z

Serj: /* מועד ב 2009 שאלה 7 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
[[שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/ארכיון 1|ארכיון 1]]

[[שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/ארכיון 2|ארכיון 2]]

=שאלות=

== מבחן תש"ע מועד א' שאלה 3 סעיף ב ==

מספר התמורות של 1..n כך שאף מספר זוגי לא במקומו. נראה לי שהתשובה לשאלה נקטעה באמצע מכיוון שהתשובה מכילה רק את עוצמת כל האיחודים של תמורות של מספרים זוגיים שכן נמצאים במקומם. צריך להוריד את כל האיחודים ממספר התמורות האפשרויות, נכון ?
ולא מופיעה תשובה לסעיף ג' שאני גם לא בטוח לגבי הפתרון שלה.הוכחה קומבינטורית: מספר תתי הקבוצות מגודל זוגי (מקבוצה בגודל זוגי) שוות למספר תתי הקבוצות מגודל אי זוגי (מקבוצה בגודל זוגי).

:לא ברורה לי השאלה הראשונה לגמרי, אבל אני לא רואה שהתשובה שם קטועה. יש שם את סכום האפשרויות לכל הקבוצות, פחות סכום האפשרויות לחיתוך של שתיים, ועוד סכום האפשרויות לחיתוך של שלוש וכן הלאה. בדיוק לפי נוסחאת ההכלה וההדחה.

:אני לא רואה מה הוכחה במה שרשמת. למה שיהיה שיוויון בין שני הדברים האלה? האם מספר תתי הקבוצות מגודל 3 מקבוצה בגודל 100 שווה לתתי הקבוצות מגודל 2 מקבוצה מגודל 3? בוודאי שלא... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה תרגיל 7 ==

מישהו יכול בבקשה להסביר לי למה לחלק 10k כדורים שונים בk תאים שונים זה k בחזקת 10k ולא הפוך (זאת אומרת 10k בחזקת k)
ובנוסף לזה מה ההבדל בין תאים זהים לתאים שונים?
:מכיוון שלכל כדור יש k אפשרויות לבחור תא. לכן כופלים את מספר התאים בעצמו בחזקת מספר הכדורים.
:כאשר התאים שונים, אם הכנסת 2 כדורים לראשון וכדור לשני קיבלת מצד שונה מאשר מישהו שהכניס 2 כדורים לשני וכדור לראשון. אם התאים זהים אין הבדל בין מצבים אלו. (למשל כאשר אתה מנסה לפתור בעייה קומבינטורית של חלוקת אנשים לקופאיות. לא מעניין אותך לאיזה קופאית הם הולכים, אלא רק מעניין אותך שהתורים יתפזרו באופן אחיד). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד א' 2008 שאלה 6,7 ==

דבר ראשון - למה בשאלה 7 במבחן הציפור במקום ה-(2,3) הפוכה? זה אמור לרמוז לנו משהו? (וכן, ניסינו להפוך את המסך).

דבר שני (רציני הפעם... סוג של) - מה היא F בשאלה 6 באותו מבחן? ניסינו לבדוק בפתרונות אבל גם שם ה-F לא כתובה.

בתודה מראש, ג.יפית (שנורא מתעניינת במתמטיקה בדידה)

:היי ג. יפית, כמדומני שרשום שם שF הינה קבוצת כל היחסים מA לB. תנסי, זה כדאי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אפשר אולי קצת עזרה בשאלה 6 בתרגיל 7 ==

במקרה שמספר האנשים יותר גדול מהמקומות בספסל ברור לי למה אין אפשרות כזאת בגלל שאתה רוצה שהחזרות יהיו אסורות ואם תנסה לסדר תקבל ששני אנשים ישבו אחד על השני וזה אסור
אבל איך מסבירים את זה מתמטית?
בנוסף אם אפשר כיוון לשאלה 7
:מה הכוונה אחד יישב על השני? זה בדיוק יחס שאינו חד ערכי בין כסאות לבין האנשים שיושבים עליהם. בכיוון ההפוך, זו פונקציה שאינה חח"ע בין האנשים לבין הכסאות עליהם הם ישובים. ניתן להגדיר באחת הדרכים הללו ולהוכיח שהיא לא תתכן (עקרון שובך היונים, למשל).

:בקשר לשאלה 7- מבלי לפתור אותה בעצמי, זה נשמע כמו הכלה והדחה. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהתא השני. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהשני וגם השלישי יהיה גדול מהשני? וכדומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:הרבה פעמים מגדירים ש k over n כאשר n גדול מ k הוא 0.

== מבחן שנת 2007 מועד ב' ==

בסעיף ג' של שאלה 6 באותו מבחן יש סימן של + בתוך O שאני מזהה מלינארית, אך לא מבין מה משמעותו בבדידה.

עריכה: לא משנה, בשאלה 1 במבחן שנת 2007 מועד א' מצאתי שמשמעותו ההפרש הסימטרי.

== תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10 ==

שאלה 8 - לבחור k שלמים מתוך n מספרים כך שלא יהיו בינהם מספרים עוקבים. תשובה n+1-k מעל k.
אני לא מצליח להבין למה זאת התשובה ?
שאלה 10 - לחלק k שקלים לn ילדים כאשר לא אכפת לנו כמה שקלים כל ילד יקבל. שוב התשובה היא n+1-k מעל k. ושוב אני לא מבין אותה :)
אני מבין שאין חשיבות לסדר אבל זה לא מסתדר לי בראש.

:שים לב, זו לא אותה תשובה בשתי השאלות, באחת זה מינוס k ובשנייה פלוס. בשאלה עם השקלים, היא שקולה לבחירת k ילדים עם חזרות ולא ממשמעות לסדר (אם בחרתי ילד ספציפי 3 פעמים יש לו שלושה שקלים, וזה לא משנה מתי הוא קיבל אותם). לגבי השאלה עם המספרים העוקבים, אני לא בטוח איך אפשר להגיע ישירות לנוסחא. אני הייתי מנסה הכלה והדחה על מנת לפתור את התרגיל, אבל ייתכן ואני מפספס משהו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

הבנתי לגבי הילדים והשקלים, תודה. ומצאתי פתרון עם הסבר טוב לגבי העוקבים - http://math-wiki.com/images/9/94/10BdidaTargil5Sol.pdf. פתרון לשאלה 6.

אני הסתכלתי על זה בדרך טיפה שונה: לקחתי שני מספרים קיצוניים 1-,n+2 ואמרתי שיש k+2 מספרים עכשיו וסכום k+1 ההפרשים באמצע הגדולים שווים 2 הוא n+3 לכן זה שקול למשוואה של k+1 אי שליליים שסכומם (n+3-2(k+1 ויוצאת אותה תשובה.

אתה יכול להסביר קצת יותר ? לא הבנתי.

== תרגיל 5 משנה שעברה שאלה 4 ==

סעיף ד'. להבדיל מהסעיף הקודם, מכפילים את האיחודים בין A1 לA2 ב2. וגך גם עבור שאר האיחודים. לא הצלחתי להבין בשביל מה.
:כמדומני שיש שם טעות בסימונים. אבל בכל מקרה, ההבדל מהסעיף הקודם הוא שכעת אתה לא רוצה בדיוק את האיחוד, אלא את האיחוד ללא החיתוכים (הרי אתה לא רוצה מספר שמתחלק גם ב3 וגם ב4). הורדת החיתוכים היא בדיוק ההבדל בנוסחא (שים לב גם שהאיחוד המשולש נכפל ב3). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== השיעור חזרה מחר ==

האם הוא יעלה לאתר?
:לא, זה יהיה שאלות ותשובות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה כללית על יחס סדר חלקי ואנטי -סימטריות ==

נתונה לי קבוצה A={1,2,3} האם R הזה הוא יחס סדר חלקיR={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}p ? האם ה-איבר (1,2) עושה את היחס אנטי סימטרי וטרנזטיבי? והאם כל יחס שאינו סימטרי הוא אנטיסימטרי? תודה

:כן זה יחס סדר חלקי. האיבר (1,2) לבדו לא "עושה" את זה. לא כל יחס שאינו סימטרי הינו אנטי סימטרי למשל <math>R=\{(1,1)(1,2)(2,1),(1,3)\}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== האם אפשר לקבל פתרונות לתרגיל 3? ==

תודה

== מבחנים, חידות ==

אפשר בבקשה לקבל רשימה עם מבחנים של אפי ושל שי שלא נמצאים במאגר מבחנים פה?

ואפשר בבקשה גם רשימה של כל החידות שהיו? כי חיפשתי ומצאתי רק את הראשונה.. :\

:אין לי מבחנים אחרים, ולא פורסמו חידות אחרות לכלל התלמידים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א ==

"נתונים n כדורים זהים שחורים וכדור לבן אחד ו n+1 קופסאות שונות.כ'''ל קופסא יכולה להכיל לכל היותר כדור אחד'''. בכמה דרכים ניתן למקם '''כדור אחד או יותר'''."
* השאלה סותרת את עצמה ? לגבי כמות הכדורים בקופסא אני מתכוון.
*התשובה כוללת שתיים בחזקת אן ועוד אחד (בתור פורמולה זה התחרבש שלי) למה יש כל פעם שתי אפשרויות ? אם כדור נמצא בקופסא או לא ?

אני אשמח להסבר לגבי השאלה והתשובה.

:אני אסביר קודם את השאלה, אם עדיין לא תבין אסביר גם את התשובה. הכוונה היא לסדר כדור אחד בין הקופסאות, שני כדורים בין הקופסאות וכולה. כלומר, אתה לא חייב לסדר את '''כל''' הכדורים, זו הכוונה והיא אינה סותרת את התנאי שאם בחרת לסדר את כל הכדורים, כל אחד מהם יהיה בקופסא נפרדת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אז לכל כדור יש שתי אופציות, להיות בקופסא או לא להיות בה ?

:::כן, וגם זו שאלה איפה הכדור הלבן נמצא (או שהוא לא נמצא בכלל) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' ==

זאת השאלה הקומבינטורית שהתכוונתי אליה בכיתה.
<math>sigma(0-n) C(2n,2k)= sigma(1-n) C(2n,2k-1)</math>
אין לשאלה תשובה במבחנים. ניחוש שלי: קשור לתת קבוצות בגודל זוגי ותת קבוצות בגודל אי זוגי.
:אני חושב שהכוונה היא זו: <math>0=((-1)+(+1))^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}(-1)^k(1)^{2n-k}=\sum_{k=0}^n{2n \choose 2k}-\sum_{k=1}^n{2n \choose 2k-1}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::לא הבנתי את המעבר מהשלב הראשון לשני. תודה.

:::מימין או משמאל? מימין הסכום על כל המספרים זה הסכום על הזוגיים והאי זוגיים בנפרד, כאשר האי זוגיים הם במינוס בגלל המינוס אחד בחזקת k. מצד שמאל, מתקיים שאחד ועוד מינוס אחד שווה אפס, ואפס בחזקת כל דבר זה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::לא הבנתי מימין. לאן נעלם ה2k איך הם נהפכו לk? יש איזה מעבר ביניים אולי ? כי אני מבין את הבינום (נראה לי) אבל המעבר הזה עדיין לא מובן לי.

:::::זה מה שהסברתי - תסתכל על זה משמאל לכיוון ימין. יש לך סכום על 2n מספרים. פיצלתי אותו לשני סכום של n מספרים - הזוגיים והאי זוגיים. הזוגיים מסומנים ב2k והאי זוגיים ב2k-1. בקיצור, שים לב שמשמאל יש 2n מחוברים וגם מימין יש סה"כ 2n מחוברים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

עכשיו הבנתי ! תודה.

== מועד ב' 2010 ==

בשאלה 5 סעיף ג' מבקשים למצוא מס ת"ק שאינם מכילים את {1,2} אז מספיק למצוא את מספר (ת"ק שאינם מכילים את {1} איחוד עם ת"ק שאינם מכילים את {2}) ?? כי בפתרון לא עושים ככה וגם התשובה לא יוצאת אותו דבר (השוותי ביניהם במחשבון) אם מה שאמרתי לא נכון אז אפשר הסבר גם למה?

:למה זה לא מה שהם עושים בפתרון? זה בדיוק מה שעושים בפתרון. פשוט לפי הכלה והדחה עוצמת האיחוד היא סכום העוצמות פחות עוצמת החיתוך... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::בפתרון הם לוקחים 3 אפשרויות 1-ש{1} מוכל ו{2} לא. 2-ש{2} מוכל ו{1} לא ו3-ש{1,2} לא מוכל. אבל למה כזה ארוך מספיק למצוא ת"ק שבהן {1} מוכל איחוד עם ת"ק שבהן {2} מוכל. לפי הדרך שלי לא יוצאת אותה תשובה כמו הדרך של הפתרון.

:::אולי תרשום את הדרך שלך? כמו שאמרתי, חישוב האיחוד נעשה עם הכלה והדחה. בלי לראות את הדרך אני לא יכול לדעת מה הטעות... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::אמרתי לך אני אמרתי שמס' ת"ק של {1,....n} בגודל K שאינם מכילות את {1,2} זה בעצם מס'(ת"ק שאינן מכילות את {1} איחוד עם ת"ק שאינן מכילות את {2})

:::::עד פה נכון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג ==

אני לא מבין משהו שחוזר בהרבה מאוד שאלות. a<b אלה שתי עוצמות של קבוצות.
למה a^b = 2^b ?
בתשובה רשום שהוכחנו משפט כזה בכיתה כאשר איי גדולה מאחד ובי גדולה מאיי ובי עוצמה אינסופית הנל נכון.
לא מצאתי את המשפט הזה בהרצאות.
:[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7#תכונות האריתמטיקה|הוכחה כאן]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

בעע פספסתי את זה, תודה.

== אפשר הוכחה לכך שכל יחס שקילות מחלק את הקב' למחלקות שקילות ==

אם אנחנו מחלקים קבוצה לתתי קבוצות זרות, היחס שמקשר בין איברי אותה קבוצה הינו יחס שקילויות. האם הכיוון ההפוך גם נכון? כלומר, האם כל יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות זרות שאיחודן נותן את הקבוצה כולה.
התשובה איפוא היא כן, יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות כאלה (תרגיל קל). ניסיתי להוכיח ונתקעתי.

:תגדיר את תתי הקבוצות בתור מחלקות השקילות - מחלקת שקילות של איבר x הינה אוסף כל האיברים שהם ביחס ל-x. כעת, אם נביט בשני מחלקות שקילות של x,y נגלה שהן שוות או זרות. לכן אוסף כל מחלקות השקילות השונות הוא חלוקה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מערך תרגיל 7 ==

תרגיל. הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. קל להראות שקיימת העתקה חח"ע ועל בין '''אוסף הפונקציה''' [http://math-wiki.com/images/math/e/4/3/e4369d72e8e1e9c7123028dd815b3c6b.png] (כל קבוצה חלקית אומרת בעצם על כל איבר של A אם הוא שייך (1) או לא שייך (0). למשל '''הפונקציה''' המתאימה לקבוצה הריקה היא פונקצית האפס, והפונקציה המתאימה לקבוצה כולה היא הפונקציה 1).פונקציה זו עומדת בתנאי התרגיל לעיל ולכן עוצמתה גדולה מעוצמת A אבל זהה לעוצמה של קבוצת החזקה, כפי שרצינו.

אשמח להבהרה :
* אוסף הפונקציות - הכוונה כל הפונקציות האפשריות מאיי לקבוצה 0,1 ?

::כן, אוסף כל הפונקציות שמקורן בA ותמונתן בקבוצה 0,1.

* אוסף הפונקציות שקול לP(A) ? זתאמרת העוצמה שלה שתיים בחזקת איי ? ובגלל זה היא גדולה יותר מהעוצמה של איי ?

::אוסף הפונקציות מעוצמה גדולה יותר לפי התרגיל הראשון באותו דף (שכן עוצמת הקבוצה 0,1 הינה 2). הוא שקול לP(A) לפי ההתאמה החח"ע ועל המתוארת שם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תירגול 5 שנה שעברה שאלה 3 ==

לא הבנתי את ניסוח השאלה. מה הכוונה בלי הגבלות ? מה בלי הגבלות?
:ההגבלות הן בסעיפים הבאים... השאלה היא כמה אפשרויות יש להטלת קובייה n פעמים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מספר יחסי שקילות על קבוצה ==

אני ראיתי תרגיל עם קבוצה מגודל 4 איברים והאם יש לה 18 יחסי שקילות.
ומצאתי 15 יחסי שקילות יש יחסים שלא מצאתי?
יש נוסחא לכזה דבר ?
:שאלה טובה. מזל ששמנו אותה בתרגיל הבית השני שאלה שלוש... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:כן, זה 15. (באופן די מפתיע הנוסחא הרקורסיבית היא הפשוטה ביותר כשיש בה סיגמא ומקדמים בינומיילים, נקרא גם 'מספרי בל')... אני תוהה האם אפשר למצוא לזה נוסחא פשוטה יותר(לחישוב).

== לגבי הבוחן ==

אפשר לפרסם את התשובה לשאלה הראשונה בבוחן, תורת הקבוצות עם הוכח/הפרך?

===תשובה===
א. הוכחה:

*ידוע כי <math>A\cup C \subseteq B</math> נובע בקלות ש <math>A\subseteq B</math> ולכן <math>A\cap B = A</math>. לכן <math>A\subseteq C^C</math> ולכן <math>\forall a\in A : a\notin C</math> ולכן <math>A\cap C = \phi</math>

ב. הוכחה:

*נניח <math>C\subseteq A</math> לכן <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) = (A\cap B)\cup C</math>

*נניח <math>(A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C)</math> קל לראות כי <math>C\subseteq (A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C) \subseteq A</math>

==שאלה ==
אשמח לקבל הסבר על איך פותרים את התרגיל 2 ג במבחן http://math-wiki.com/images/b/b7/BdidaExamMoedA2005.pdf..

:ראה שאלות מעליך... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 4 , שאלה 5 ==

?אני לא בטוח למה הם התכוונו שם- האם זו דוגמא טובה
f(1,{1})={{{1}}}
והאם אפשר ניסוח של התמונה של הפונקציה במילים?

תודה

:בדוגמא שלך יש סוגריים מסולסלים מיותרים. במילים, <math>f(x,U)</math> הינו אוסף כל תתי הקבוצות של U המכילות את x. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מה זה אומר A-B כA,B קבוצות? ==

אם זה הפרש, למה לא רשמו A/B?
:איך אני יכול לדעת מבלי מראה מקום? אם אני אמור להסיק את זה באופן כללי, סימן שזה סימון דיי ברור וזו הסיבה שלפעמים מסמנים הפרש במינוס --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::שאלה 3 http://www.math-wiki.com/images/7/77/BdidaExamMoedB2008.pdf

:::לדעתי זה אכן הפרש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה רבה :)

== מועד ב' שנת 2008 שאלה 6 ==

אפשר כיוון/עזרה/עצם/משהו? אין לי מושג מה קורה פה חוץ משג הכי נראה לי אבל אני לא מבין למה הסדר לא חשוב
:יש לך 10 צעדים סה"כ, מתוכם 5 בכיוון ימין ו5 בכיוון למעלה. יש לך רעיון כמה דרכים יש לסדר את זה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד א' 2008 שאלה 2 ==

http://www.math-wiki.com/images/9/95/BdidaExamMoedA2008Sol.pdf

לא הבנתי למה הורידו רק 6K, ולא בדקו מה קורה עבור מקרים אחרים, כשמחסרים 7K וכד'

:עשינו את השאלה הזו בדיוק ביום שני. אם אתה מחלק 6 לקוביה מסויימת (אחרי האחד שכבר יש לה) אז קיבלת תוצאה לא חוקית. את האחדות הנותרות אתה מחלק בין '''כל''' הקוביות, ולכן הקוביה הספציפית שיש לה כבר 7 יכולה לקבל 8, 9, 10 ועוד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:52, 7 בספטמבר 2011 (IDT)

::אז פה: http://www.math-wiki.com/images/7/77/BdidaExamMoedB2008.pdf בשאלה 2 אני עושה אותו דבר רק עם 101K?

:::כן. אתה צריך לחלק 75*20 בין 20 תלמידים כך שלכל אחד יכול להיות כל ציון בין 0 ל100. כל האפשרויות בהן מישהו קיבל 101 אינן חוקיות לכן אתה מגדיר את A_i להיות כל האפשרויות בהן התלמיד ה-i יקבל '''לפחות''' 101 נקודות (ואולי יותר). שזה אומר לחלק את הנקודות הנותרות בין כל 20 התלמידים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה רבה :)

== יחסי שקילות.. ==

האם יש נוסחא לחישוב מספר יחסי השקילות על קבוצה? לדוגמא מעוצמה 4.?
למדנו את הנוסחא לחישוב יחסים בכללי..
:ייתכן. הייתי קורא את תרגילי הבית ו/או את השאלות והתשובות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

עוד שאלה.. הקבוצה הריקה מוכלת משמ בקבוצה הריקה? זה נובע מלוגיקה לא?
:אני לא בטוח מה ההגדרה של מוכל ממש. אבל הקבוצה הריקה מוכלת בעצמה ושווה לעצמה אז אני בספק... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::לא חייבים להיות בספק. מצד האחד הקבוצה הריקה באגף ימין מוכלת בזאת שבאגף שמאל, וגם זאת שבאגף שמאל מוכלת בזאת שבאגף ימין, יש הכלה דו כיוונית משמע שיוויון, ולכן זאת לא הכלה ממש.
:::זה שיש שיוויון בין הקבוצה הריקה לעצמה זה דיי ברור. השאלה היא האם הכלה ממש מוגדרת על פי אי שיוויון, או על פי איבר ששייך לאחת ולא שייך לאחרת. וכמו שאמרתי, אני לא בטוח מה ההגדרה ולכן אני לא קופץ למסקנות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]
::::הכלה ממש מוגדרת על פי אי שוויון. בכל מקרה, שתי ההגדרות האלה שקולות, ולפי שתיהן אין הכלה ממש

== קומבינטוריקה ==

בכמה אופנים ניתן להכניס 12 כדורים שונים לתוך 3 תאים שונים כך שבכל תא יהיו 4 כדורים, אבל שני כדורים מסויימים לא יהיו באותו התא?

:תבחר שני תאים (6 אפשרויות) שים את שני הכדורים המסויימים בשני התאים (2 דרכים) ואז תבחר 3 מתוך ה10 הנותרים, ועוד 3 מה7 הנותרים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== איחוד ==

<math>\bigcup P(\mathbb{N})=?</math>
:זה האיחוד הכללי על קבוצת החזקה של הטבעיים? איחוד כללי על קבוצת חזקה הוא הקבוצה עצמה, ובמקרה זה הטבעיים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== 10 בחורים רוקדים במעגל. ==

רוצים להגדיל את המעגל ולהכניס אליו 4 בחורות. בכמה דרכים ניתן לעשות זאת אם אין להעמיד 2 בחורות זו ליד זו?
:הכלה והדחה על כך ששתי בחורות מסויימות יהיו צמודות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד ב 2009 שאלה 7 ==

[http://math-wiki.com/images/c/c8/BdidaExamMoedB2009Sol.pdf]

א. סידור n כדורים לבנים וn כדורים שחורים כך שאף שני כדורים שחורים לא יהיו סמוכים. האם התשובה היא אן ועוד אם מעל אן?

הוכחתי את סעיף ב' עם קומבינטוריקה :
ב.1 אנחנו כל פעם בוחרים איבר K כלשהו ועוד 2 איברים ולכן אנחנו מגיעים לגודל קבוצה S?
ב.2. אנחנו בוחרים 2 איברים מתוך הקבוצה והשלישי כבר נבחור או שנבחור 2 איברים כאשר השלישי יבחר מתוך קבוצה קטנה יותר?
ב.3 צריך להוכיח באינדוקציה ? כי לא הצלחתי.

מי שיודע או שיש לו תשובה אחרת שישווה איתי בבקשה.

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T16:37:19Z

Serj: /* לגבי הבוחן */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
[[שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/ארכיון 1|ארכיון 1]]

[[שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/ארכיון 2|ארכיון 2]]

=שאלות=

== מבחן תש"ע מועד א' שאלה 3 סעיף ב ==

מספר התמורות של 1..n כך שאף מספר זוגי לא במקומו. נראה לי שהתשובה לשאלה נקטעה באמצע מכיוון שהתשובה מכילה רק את עוצמת כל האיחודים של תמורות של מספרים זוגיים שכן נמצאים במקומם. צריך להוריד את כל האיחודים ממספר התמורות האפשרויות, נכון ?
ולא מופיעה תשובה לסעיף ג' שאני גם לא בטוח לגבי הפתרון שלה.הוכחה קומבינטורית: מספר תתי הקבוצות מגודל זוגי (מקבוצה בגודל זוגי) שוות למספר תתי הקבוצות מגודל אי זוגי (מקבוצה בגודל זוגי).

:לא ברורה לי השאלה הראשונה לגמרי, אבל אני לא רואה שהתשובה שם קטועה. יש שם את סכום האפשרויות לכל הקבוצות, פחות סכום האפשרויות לחיתוך של שתיים, ועוד סכום האפשרויות לחיתוך של שלוש וכן הלאה. בדיוק לפי נוסחאת ההכלה וההדחה.

:אני לא רואה מה הוכחה במה שרשמת. למה שיהיה שיוויון בין שני הדברים האלה? האם מספר תתי הקבוצות מגודל 3 מקבוצה בגודל 100 שווה לתתי הקבוצות מגודל 2 מקבוצה מגודל 3? בוודאי שלא... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה תרגיל 7 ==

מישהו יכול בבקשה להסביר לי למה לחלק 10k כדורים שונים בk תאים שונים זה k בחזקת 10k ולא הפוך (זאת אומרת 10k בחזקת k)
ובנוסף לזה מה ההבדל בין תאים זהים לתאים שונים?
:מכיוון שלכל כדור יש k אפשרויות לבחור תא. לכן כופלים את מספר התאים בעצמו בחזקת מספר הכדורים.
:כאשר התאים שונים, אם הכנסת 2 כדורים לראשון וכדור לשני קיבלת מצד שונה מאשר מישהו שהכניס 2 כדורים לשני וכדור לראשון. אם התאים זהים אין הבדל בין מצבים אלו. (למשל כאשר אתה מנסה לפתור בעייה קומבינטורית של חלוקת אנשים לקופאיות. לא מעניין אותך לאיזה קופאית הם הולכים, אלא רק מעניין אותך שהתורים יתפזרו באופן אחיד). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מועד א' 2008 שאלה 6,7 ==

דבר ראשון - למה בשאלה 7 במבחן הציפור במקום ה-(2,3) הפוכה? זה אמור לרמוז לנו משהו? (וכן, ניסינו להפוך את המסך).

דבר שני (רציני הפעם... סוג של) - מה היא F בשאלה 6 באותו מבחן? ניסינו לבדוק בפתרונות אבל גם שם ה-F לא כתובה.

בתודה מראש, ג.יפית (שנורא מתעניינת במתמטיקה בדידה)

:היי ג. יפית, כמדומני שרשום שם שF הינה קבוצת כל היחסים מA לB. תנסי, זה כדאי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== אפשר אולי קצת עזרה בשאלה 6 בתרגיל 7 ==

במקרה שמספר האנשים יותר גדול מהמקומות בספסל ברור לי למה אין אפשרות כזאת בגלל שאתה רוצה שהחזרות יהיו אסורות ואם תנסה לסדר תקבל ששני אנשים ישבו אחד על השני וזה אסור
אבל איך מסבירים את זה מתמטית?
בנוסף אם אפשר כיוון לשאלה 7
:מה הכוונה אחד יישב על השני? זה בדיוק יחס שאינו חד ערכי בין כסאות לבין האנשים שיושבים עליהם. בכיוון ההפוך, זו פונקציה שאינה חח"ע בין האנשים לבין הכסאות עליהם הם ישובים. ניתן להגדיר באחת הדרכים הללו ולהוכיח שהיא לא תתכן (עקרון שובך היונים, למשל).

:בקשר לשאלה 7- מבלי לפתור אותה בעצמי, זה נשמע כמו הכלה והדחה. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהתא השני. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהשני וגם השלישי יהיה גדול מהשני? וכדומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:הרבה פעמים מגדירים ש k over n כאשר n גדול מ k הוא 0.

== מבחן שנת 2007 מועד ב' ==

בסעיף ג' של שאלה 6 באותו מבחן יש סימן של + בתוך O שאני מזהה מלינארית, אך לא מבין מה משמעותו בבדידה.

עריכה: לא משנה, בשאלה 1 במבחן שנת 2007 מועד א' מצאתי שמשמעותו ההפרש הסימטרי.

== תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10 ==

שאלה 8 - לבחור k שלמים מתוך n מספרים כך שלא יהיו בינהם מספרים עוקבים. תשובה n+1-k מעל k.
אני לא מצליח להבין למה זאת התשובה ?
שאלה 10 - לחלק k שקלים לn ילדים כאשר לא אכפת לנו כמה שקלים כל ילד יקבל. שוב התשובה היא n+1-k מעל k. ושוב אני לא מבין אותה :)
אני מבין שאין חשיבות לסדר אבל זה לא מסתדר לי בראש.

:שים לב, זו לא אותה תשובה בשתי השאלות, באחת זה מינוס k ובשנייה פלוס. בשאלה עם השקלים, היא שקולה לבחירת k ילדים עם חזרות ולא ממשמעות לסדר (אם בחרתי ילד ספציפי 3 פעמים יש לו שלושה שקלים, וזה לא משנה מתי הוא קיבל אותם). לגבי השאלה עם המספרים העוקבים, אני לא בטוח איך אפשר להגיע ישירות לנוסחא. אני הייתי מנסה הכלה והדחה על מנת לפתור את התרגיל, אבל ייתכן ואני מפספס משהו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

הבנתי לגבי הילדים והשקלים, תודה. ומצאתי פתרון עם הסבר טוב לגבי העוקבים - http://math-wiki.com/images/9/94/10BdidaTargil5Sol.pdf. פתרון לשאלה 6.

אני הסתכלתי על זה בדרך טיפה שונה: לקחתי שני מספרים קיצוניים 1-,n+2 ואמרתי שיש k+2 מספרים עכשיו וסכום k+1 ההפרשים באמצע הגדולים שווים 2 הוא n+3 לכן זה שקול למשוואה של k+1 אי שליליים שסכומם (n+3-2(k+1 ויוצאת אותה תשובה.

אתה יכול להסביר קצת יותר ? לא הבנתי.

== תרגיל 5 משנה שעברה שאלה 4 ==

סעיף ד'. להבדיל מהסעיף הקודם, מכפילים את האיחודים בין A1 לA2 ב2. וגך גם עבור שאר האיחודים. לא הצלחתי להבין בשביל מה.
:כמדומני שיש שם טעות בסימונים. אבל בכל מקרה, ההבדל מהסעיף הקודם הוא שכעת אתה לא רוצה בדיוק את האיחוד, אלא את האיחוד ללא החיתוכים (הרי אתה לא רוצה מספר שמתחלק גם ב3 וגם ב4). הורדת החיתוכים היא בדיוק ההבדל בנוסחא (שים לב גם שהאיחוד המשולש נכפל ב3). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== השיעור חזרה מחר ==

האם הוא יעלה לאתר?
:לא, זה יהיה שאלות ותשובות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה כללית על יחס סדר חלקי ואנטי -סימטריות ==

נתונה לי קבוצה A={1,2,3} האם R הזה הוא יחס סדר חלקיR={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}p ? האם ה-איבר (1,2) עושה את היחס אנטי סימטרי וטרנזטיבי? והאם כל יחס שאינו סימטרי הוא אנטיסימטרי? תודה

:כן זה יחס סדר חלקי. האיבר (1,2) לבדו לא "עושה" את זה. לא כל יחס שאינו סימטרי הינו אנטי סימטרי למשל <math>R=\{(1,1)(1,2)(2,1),(1,3)\}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== האם אפשר לקבל פתרונות לתרגיל 3? ==

תודה

== מבחנים, חידות ==

אפשר בבקשה לקבל רשימה עם מבחנים של אפי ושל שי שלא נמצאים במאגר מבחנים פה?

ואפשר בבקשה גם רשימה של כל החידות שהיו? כי חיפשתי ומצאתי רק את הראשונה.. :\

:אין לי מבחנים אחרים, ולא פורסמו חידות אחרות לכלל התלמידים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א ==

"נתונים n כדורים זהים שחורים וכדור לבן אחד ו n+1 קופסאות שונות.כ'''ל קופסא יכולה להכיל לכל היותר כדור אחד'''. בכמה דרכים ניתן למקם '''כדור אחד או יותר'''."
* השאלה סותרת את עצמה ? לגבי כמות הכדורים בקופסא אני מתכוון.
*התשובה כוללת שתיים בחזקת אן ועוד אחד (בתור פורמולה זה התחרבש שלי) למה יש כל פעם שתי אפשרויות ? אם כדור נמצא בקופסא או לא ?

אני אשמח להסבר לגבי השאלה והתשובה.

:אני אסביר קודם את השאלה, אם עדיין לא תבין אסביר גם את התשובה. הכוונה היא לסדר כדור אחד בין הקופסאות, שני כדורים בין הקופסאות וכולה. כלומר, אתה לא חייב לסדר את '''כל''' הכדורים, זו הכוונה והיא אינה סותרת את התנאי שאם בחרת לסדר את כל הכדורים, כל אחד מהם יהיה בקופסא נפרדת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אז לכל כדור יש שתי אופציות, להיות בקופסא או לא להיות בה ?

:::כן, וגם זו שאלה איפה הכדור הלבן נמצא (או שהוא לא נמצא בכלל) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' ==

זאת השאלה הקומבינטורית שהתכוונתי אליה בכיתה.
<math>sigma(0-n) C(2n,2k)= sigma(1-n) C(2n,2k-1)</math>
אין לשאלה תשובה במבחנים. ניחוש שלי: קשור לתת קבוצות בגודל זוגי ותת קבוצות בגודל אי זוגי.
:אני חושב שהכוונה היא זו: <math>0=((-1)+(+1))^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}(-1)^k(1)^{2n-k}=\sum_{k=0}^n{2n \choose 2k}-\sum_{k=1}^n{2n \choose 2k-1}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::לא הבנתי את המעבר מהשלב הראשון לשני. תודה.

:::מימין או משמאל? מימין הסכום על כל המספרים זה הסכום על הזוגיים והאי זוגיים בנפרד, כאשר האי זוגיים הם במינוס בגלל המינוס אחד בחזקת k. מצד שמאל, מתקיים שאחד ועוד מינוס אחד שווה אפס, ואפס בחזקת כל דבר זה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::לא הבנתי מימין. לאן נעלם ה2k איך הם נהפכו לk? יש איזה מעבר ביניים אולי ? כי אני מבין את הבינום (נראה לי) אבל המעבר הזה עדיין לא מובן לי.

:::::זה מה שהסברתי - תסתכל על זה משמאל לכיוון ימין. יש לך סכום על 2n מספרים. פיצלתי אותו לשני סכום של n מספרים - הזוגיים והאי זוגיים. הזוגיים מסומנים ב2k והאי זוגיים ב2k-1. בקיצור, שים לב שמשמאל יש 2n מחוברים וגם מימין יש סה"כ 2n מחוברים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

עכשיו הבנתי ! תודה.

== מועד ב' 2010 ==

בשאלה 5 סעיף ג' מבקשים למצוא מס ת"ק שאינם מכילים את {1,2} אז מספיק למצוא את מספר (ת"ק שאינם מכילים את {1} איחוד עם ת"ק שאינם מכילים את {2}) ?? כי בפתרון לא עושים ככה וגם התשובה לא יוצאת אותו דבר (השוותי ביניהם במחשבון) אם מה שאמרתי לא נכון אז אפשר הסבר גם למה?

:למה זה לא מה שהם עושים בפתרון? זה בדיוק מה שעושים בפתרון. פשוט לפי הכלה והדחה עוצמת האיחוד היא סכום העוצמות פחות עוצמת החיתוך... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::בפתרון הם לוקחים 3 אפשרויות 1-ש{1} מוכל ו{2} לא. 2-ש{2} מוכל ו{1} לא ו3-ש{1,2} לא מוכל. אבל למה כזה ארוך מספיק למצוא ת"ק שבהן {1} מוכל איחוד עם ת"ק שבהן {2} מוכל. לפי הדרך שלי לא יוצאת אותה תשובה כמו הדרך של הפתרון.

:::אולי תרשום את הדרך שלך? כמו שאמרתי, חישוב האיחוד נעשה עם הכלה והדחה. בלי לראות את הדרך אני לא יכול לדעת מה הטעות... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::::אמרתי לך אני אמרתי שמס' ת"ק של {1,....n} בגודל K שאינם מכילות את {1,2} זה בעצם מס'(ת"ק שאינן מכילות את {1} איחוד עם ת"ק שאינן מכילות את {2})

:::::עד פה נכון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג ==

אני לא מבין משהו שחוזר בהרבה מאוד שאלות. a<b אלה שתי עוצמות של קבוצות.
למה a^b = 2^b ?
בתשובה רשום שהוכחנו משפט כזה בכיתה כאשר איי גדולה מאחד ובי גדולה מאיי ובי עוצמה אינסופית הנל נכון.
לא מצאתי את המשפט הזה בהרצאות.
:[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7#תכונות האריתמטיקה|הוכחה כאן]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

בעע פספסתי את זה, תודה.

== אפשר הוכחה לכך שכל יחס שקילות מחלק את הקב' למחלקות שקילות ==

אם אנחנו מחלקים קבוצה לתתי קבוצות זרות, היחס שמקשר בין איברי אותה קבוצה הינו יחס שקילויות. האם הכיוון ההפוך גם נכון? כלומר, האם כל יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות זרות שאיחודן נותן את הקבוצה כולה.
התשובה איפוא היא כן, יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות כאלה (תרגיל קל). ניסיתי להוכיח ונתקעתי.

:תגדיר את תתי הקבוצות בתור מחלקות השקילות - מחלקת שקילות של איבר x הינה אוסף כל האיברים שהם ביחס ל-x. כעת, אם נביט בשני מחלקות שקילות של x,y נגלה שהן שוות או זרות. לכן אוסף כל מחלקות השקילות השונות הוא חלוקה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מערך תרגיל 7 ==

תרגיל. הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. קל להראות שקיימת העתקה חח"ע ועל בין '''אוסף הפונקציה''' [http://math-wiki.com/images/math/e/4/3/e4369d72e8e1e9c7123028dd815b3c6b.png] (כל קבוצה חלקית אומרת בעצם על כל איבר של A אם הוא שייך (1) או לא שייך (0). למשל '''הפונקציה''' המתאימה לקבוצה הריקה היא פונקצית האפס, והפונקציה המתאימה לקבוצה כולה היא הפונקציה 1).פונקציה זו עומדת בתנאי התרגיל לעיל ולכן עוצמתה גדולה מעוצמת A אבל זהה לעוצמה של קבוצת החזקה, כפי שרצינו.

אשמח להבהרה :
* אוסף הפונקציות - הכוונה כל הפונקציות האפשריות מאיי לקבוצה 0,1 ?

::כן, אוסף כל הפונקציות שמקורן בA ותמונתן בקבוצה 0,1.

* אוסף הפונקציות שקול לP(A) ? זתאמרת העוצמה שלה שתיים בחזקת איי ? ובגלל זה היא גדולה יותר מהעוצמה של איי ?

::אוסף הפונקציות מעוצמה גדולה יותר לפי התרגיל הראשון באותו דף (שכן עוצמת הקבוצה 0,1 הינה 2). הוא שקול לP(A) לפי ההתאמה החח"ע ועל המתוארת שם --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תירגול 5 שנה שעברה שאלה 3 ==

לא הבנתי את ניסוח השאלה. מה הכוונה בלי הגבלות ? מה בלי הגבלות?
:ההגבלות הן בסעיפים הבאים... השאלה היא כמה אפשרויות יש להטלת קובייה n פעמים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== מספר יחסי שקילות על קבוצה ==

אני ראיתי תרגיל עם קבוצה מגודל 4 איברים והאם יש לה 18 יחסי שקילות.
ומצאתי 15 יחסי שקילות יש יחסים שלא מצאתי?
יש נוסחא לכזה דבר ?
:שאלה טובה. מזל ששמנו אותה בתרגיל הבית השני שאלה שלוש... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== לגבי הבוחן ==

אפשר לפרסם את התשובה לשאלה הראשונה בבוחן, תורת הקבוצות עם הוכח/הפרך?

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T12:24:46Z

Serj: /* מערך תרגיל 7 */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T12:13:34Z

Serj: /* עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T11:12:22Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T11:11:28Z

Serj: /* עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T11:10:34Z

Serj: /* עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T11:10:12Z

Serj: /* עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T11:09:46Z

Serj: /* עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T11:03:09Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T10:58:32Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T10:58:11Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T10:54:50Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-06T10:52:15Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-05T21:43:19Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-05T21:42:52Z

Serj: /* תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10 */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-05T21:40:21Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-05T21:39:40Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-05T21:38:47Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג' */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-05T21:34:50Z

Serj: /* מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-04T12:36:25Z

Serj: /* תרגיל 5 משנה שעברה שאלה 4 */ פסקה חדשה

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-04T12:34:03Z

Serj: /* תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10 */

שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

2011-09-04T10:36:25Z

Serj: /* תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10 */ פסקה חדשה