משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11

2016-07-02T19:26:20Z

Shlomi: /* דוגמא 1 */

=אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.

עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

===דוגמא 1===
חשבו
<ol>
<li><math>\int\frac{dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math>

====פתרון====
נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li>
<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}dx</math>

====פתרון====
נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5 dy=dx</math> . נקבל <math>\int=\int\frac{(y^6-1)^2+y^3}{y^2}6y^5 dy=\int\left((y^6-1)^2+y^3\right)6y^3 dy=\dots</math> . {{משל}}</li>
</ol>

==הצבות טריגונומטריות==
כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math> .

===דוגמא 2===
<ol>
<li><math>\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math>

====פתרון====
נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}</math> . נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)} dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies dt=\cos(y)dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math> . {{משל}}</li>
<li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x dx</math>

====פתרון====
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies dx=\frac32\cos(y)dy</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}dy\\&=3\int\csc(y)dy-3\int\sin(y)dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}y=\int\frac{-dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math> . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li>
<li><math>\int\frac{dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math>

====פתרון====
ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li>
</ol>
==הצבות מיוחדות==
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב <math>x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן <math>\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}</math> וגם <math>\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}</math>.
===דוגמה 3===
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
<ol>
<li><math>\int\csc(x)\mathrm dx</math>
====פתרון====
<math>\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c</math>{{משל}}</li>
<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}</math>
====פתרון====
נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}

'''מסקנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li>
</ol>

----

אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>.

===דוגמה 4===
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math>
====פתרון====
הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11