Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח

2014-01-13T07:48:05Z

Tomvin6: /* גבול פונקציה */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שתיי שאלות בנושא חסמים ==

1. מה צריך לקיים חסם עליון של קבוצה, שהוא גם המקסימום של הקבוצה?

2. נניח שנתונה הקבוצה הבאה:

zz A={2,3,5,8} zz

החסם העליון שלה הוא 8.

אבל משהו כאן לא ברור לי.

ע"פ הגדרת החסם העליון מתקיים ש-8 חסם מלעיל של A (עם הדרישה הזו אין לי בעיה).

אבל צריכה להתקיים דרישה נוספת, שאיתה דווקא יש בעיה...

הדרישה אומרת שלכל e>0 קיים איבר a ב-A כך ש-a > 8-e.

אבל עבור e=0.1 למשל, (ועבור אפסילונים רבים אחרים), לא קיים איבר a ב-A כך ש- a>8-e.

אם כך, הדרישה השנייה של '''קיום חסם עליון''', אינה מתקיימת. מדוע אז 8 הוא בכל זאת חסם עליון?

:על מנת להיות '''מקסימום''', האיבר צריך להיות שייך לקבוצה. לגבי הדוגמא שנתת, בוודאי שיש איבר a כזה. שכחת את 8 בעצמו! הרי
:<math>\forall \epsilon>0:8>8-\epsilon</math>
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:31, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== איך מוכיחים שהמקסימום של קבוצה הוא הסופרימום של הקבוצה? ==

תודה

:הוכחה: נניח M הוא המקסימום של הקבוצה A, לכן ברור שהוא חסם עליון.
:נותר להוכיח, אם כן, שאין חסם עליון קטן יותר מM.
:נניח בשלילה שיש חסם עליון כזה N שקטן ממש מM.
:כיוון שM מקסימום, הוא שייך לקבוצה.
:לכן, יש איבר בקבוצה (M בעצמו) שגדול יותר מN בסתירה לכך שN הוא חסם מלעיל.
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל שמופיע באתר ==

אומנם מופיע גם הפתרון..אבל יש שם כמה דברים שלא מובנים לי..

השאלה הולכת כך:

יהיו קבוצות A,B מוכלות בממשיים.
כל איבר ב-A קטן או שווה לכל איבר ב-B.

צריך להוכיח ש-supA<=infB.

האמת שזה די אינטואיטיבי..במיוחד אם מסתכלים על שניי תת-קטעים A , B , על הציר הממשי, שמקיימים את הנתון שכל איבר ב-A קטן שווה לכל אביר ב-B.

בסדר..מניחים בשלילה ש-supA>infB

האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?

:לא. אין דרישה שקבוצה תכיל את כל המספרים הממשיים בקטע מסויים. קבוצות יכולות להיות אפילו סופיות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:34, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== מדוע <math>0.99999...=1</math> ==

זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.
:עיקר הבעייה היא שלא למדתם כלל את הגדרת הממשיים, ולכן גם לא את הגדרת המספר <math>0.999...</math>.
:המספר אינו מוגדר על ידי הספרות שלו, אלא על ידי סכום אינסופי מהצורה <math>0.999...=0.9+0.009+0.0009+...</math>
:נראה הגדרת סכום אינסופי שכזה בהמשך הקורס.
:ובכל זאת, על מנת להבין מדוע מספרים אלה שווים, אפשר לראות את ההסבר הבא:
:נסמן <math>x=0.999...</math>, לכן מתקיים <math>10x=9.999...</math>
:לכן מתקיים <math>10x-x=9</math>
:כלומר <math>9x=9</math>
:כלומר <math>x=1</math>.

:המסקנה היא שגם לפי חוקי המתמטיקה שאתם מכירים על מספרים ממשיים, יוצא שזה אותו המספר. כאמור, אני מקווה שנבין את המספרים הממשיים טוב יותר במהלך הסמסטר.
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:39, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== שאלה בחסמים ==

תהי <math>A\subseteq R</math> ונתון ש- <math>0\notin A</math>.

מגדירים את הקבוצה: <math>A^{-1}=\left \{{1/a|a\in A}}{ \right \} </math>.

הוכח/הפרך: אם A חסומה מלעיל, אז <math>A^{-1} </math> חסומה מלעיל.

לדעתי הטענה לא נכונה.

למשל עבור <math>A=(0,1)</math> מתקיים ש-A חסומה מלעיל (למשל ע"י 3), אבל <math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל.

האינטואיציה היא שבגלל ש-<math>A^{-1}</math> מוגדרת להיות 1 חלקי איברי A, אז עבור איברי A שקרובים ל-0, השבר מתהפך והקבוצה

<math>A^{-1}</math>, לא תיהיה חסומה מלעיל.

השאלה שלי היא '''כיצד אני מוכיח את זה בצורה מדוייקת'''.

בעצם מה שאני רוצה להראות, זה ש-<math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל. כלומר להראות שמתקיימת הטענה הבאה:

'''<math>\forall M\exists a\in A^{-1}:a>M</math>'''. שזו בעצם '''השלילה''' של קיום חסם מלעיל.

איך אני מראה את זה???

:השורה האחרונה שלך נכונה. אתה צריך להראות שלכל מספר M קיים איבר בקבוצה שגדול ממנו. איברים בקבוצה הזו הם מהצורה של אחד חלקי איברים מהקטע בין אפס לאחד.
:אז רק צריך להראות ש <math>\frac{1}{M+1}\in A^{-1}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

'''מה נסגר עם הנוסחאות??????????????? אני לא מצליח לראות מה אני כותב. לא הבנתי גם מה אתה כתבת כי הנוסחה לא מופיעה כמו שצריך =\'''

== משמעות הביטוי הבא ==

היי,
שאלה , האם כדי להפריך טענה מסויימת מספיק לתת דוגמא נגדית ? ספציפית? כלומר לבחור 2 קבוצות עם מספרים שלא מקיימים את הטענה ?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 3 שאלה 2 סעיף ג' יש לי תהיה ==

האם הסדרה an=0 סותררת את ההנחה מכיוון ש an אינו גדול ממש מ0 לכל n באשר הוא?

:אם היא מקיימת את תנאיי השאלה, אך לא את המסקנה, היא אכן מהווה דוגמא נגדית. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

==הוכחה שגבול של סדרה הוא אינסוף באמצעות הגדרת הגבול.==
לפי הגדרת גבול של סדרה <math>|an - l| = epsilon</math> לצורך העניין <math>an=n^2/(n+1)</math> השאלה היא איך אני ממשיך מכאן..
כשהגבול הוא מספר, אז זה ברור - מציבים במקום L ופותרים.. אבל כשהגבול הוא אינסופי לא ניתן לחשב..
הבנתי שצריך לבחור אפסילון כלשהו וליצור אי שיוויון, אבל לא הבנתי בדיוק איך עושים זאת ?
אשמח להכוונה,
תודה

:הגדרת הגבול לאינסוף היא הגדרה אחרת. התכנסות זו נקראת "התכנסות במובן הרחב". ניתן לקרוא על זה [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול#התכנסות במובן הרחב|כאן]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 1 ==

איך מוכיחים שמספר אינו גבול של סדרה?

מניחים בשלילה שהוא כן הגבול, ומוצאים אפסילון>0
שעבורו לא מתקיימת הגדרת הגבול. סתירה.

- אופיר.

== שאלה בנוגע לגבולות חלקיים. ==

אם אני מפרק סדרה לתתי סדרות מתכנסות אשר איחודן מהווה את כל איברי הסדרה.
האם אני יכול להניח שהגבולות של התתי סדרות האלה הינם הגבולות החלקיים
*היחידים* של הסדרה?

== תרגיל 6 שאלה 2 ==

לא הבנתי את ניסוח השאלה ״מה ניתן להגיד על התכנסות הטורים?״
האם הכוונה היא לכל אחד מהם בנפרד? או לשניהם ביחד?
האם תיתכן תשובה כגון ״לפחות אחד מהם מתכנס\מתבדר?״

== גבול פונקציה ==

שאלה: מה הגבול כאשר x שואף לאינסוף של:
<math>lim xsin 1/x</math>

אז התשובה היא 1 (כשמציבים T=1/X אבל אני לא מבין למה זה לא אינסוף ?
כי יש שם את X שהיא סדרה ששואפת לאינסוף וזה כפול סינוס (משהו) שהיא סדרה חסומה, אז אינסוף כפול חסום לא אמור להיות אינסוף ??

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח

2013-11-12T14:55:23Z

Tomvin6: /* גבול של סדרה */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שתיי שאלות בנושא חסמים ==

1. מה צריך לקיים חסם עליון של קבוצה, שהוא גם המקסימום של הקבוצה?

2. נניח שנתונה הקבוצה הבאה:

zz A={2,3,5,8} zz

החסם העליון שלה הוא 8.

אבל משהו כאן לא ברור לי.

ע"פ הגדרת החסם העליון מתקיים ש-8 חסם מלעיל של A (עם הדרישה הזו אין לי בעיה).

אבל צריכה להתקיים דרישה נוספת, שאיתה דווקא יש בעיה...

הדרישה אומרת שלכל e>0 קיים איבר a ב-A כך ש-a > 8-e.

אבל עבור e=0.1 למשל, (ועבור אפסילונים רבים אחרים), לא קיים איבר a ב-A כך ש- a>8-e.

אם כך, הדרישה השנייה של '''קיום חסם עליון''', אינה מתקיימת. מדוע אז 8 הוא בכל זאת חסם עליון?

:על מנת להיות '''מקסימום''', האיבר צריך להיות שייך לקבוצה. לגבי הדוגמא שנתת, בוודאי שיש איבר a כזה. שכחת את 8 בעצמו! הרי
:<math>\forall \epsilon>0:8>8-\epsilon</math>
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:31, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== איך מוכיחים שהמקסימום של קבוצה הוא הסופרימום של הקבוצה? ==

תודה

:הוכחה: נניח M הוא המקסימום של הקבוצה A, לכן ברור שהוא חסם עליון.
:נותר להוכיח, אם כן, שאין חסם עליון קטן יותר מM.
:נניח בשלילה שיש חסם עליון כזה N שקטן ממש מM.
:כיוון שM מקסימום, הוא שייך לקבוצה.
:לכן, יש איבר בקבוצה (M בעצמו) שגדול יותר מN בסתירה לכך שN הוא חסם מלעיל.
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל שמופיע באתר ==

אומנם מופיע גם הפתרון..אבל יש שם כמה דברים שלא מובנים לי..

השאלה הולכת כך:

יהיו קבוצות A,B מוכלות בממשיים.
כל איבר ב-A קטן או שווה לכל איבר ב-B.

צריך להוכיח ש-supA<=infB.

האמת שזה די אינטואיטיבי..במיוחד אם מסתכלים על שניי תת-קטעים A , B , על הציר הממשי, שמקיימים את הנתון שכל איבר ב-A קטן שווה לכל אביר ב-B.

בסדר..מניחים בשלילה ש-supA>infB

האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?

:לא. אין דרישה שקבוצה תכיל את כל המספרים הממשיים בקטע מסויים. קבוצות יכולות להיות אפילו סופיות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:34, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== מדוע <math>0.99999...=1</math> ==

זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.
:עיקר הבעייה היא שלא למדתם כלל את הגדרת הממשיים, ולכן גם לא את הגדרת המספר <math>0.999...</math>.
:המספר אינו מוגדר על ידי הספרות שלו, אלא על ידי סכום אינסופי מהצורה <math>0.999...=0.9+0.009+0.0009+...</math>
:נראה הגדרת סכום אינסופי שכזה בהמשך הקורס.
:ובכל זאת, על מנת להבין מדוע מספרים אלה שווים, אפשר לראות את ההסבר הבא:
:נסמן <math>x=0.999...</math>, לכן מתקיים <math>10x=9.999...</math>
:לכן מתקיים <math>10x-x=9</math>
:כלומר <math>9x=9</math>
:כלומר <math>x=1</math>.

:המסקנה היא שגם לפי חוקי המתמטיקה שאתם מכירים על מספרים ממשיים, יוצא שזה אותו המספר. כאמור, אני מקווה שנבין את המספרים הממשיים טוב יותר במהלך הסמסטר.
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:39, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== שאלה בחסמים ==

תהי <math>A\subseteq R</math> ונתון ש- <math>0\notin A</math>.

מגדירים את הקבוצה: <math>A^{-1}=\left \{{1/a|a\in A}}{ \right \} </math>.

הוכח/הפרך: אם A חסומה מלעיל, אז <math>A^{-1} </math> חסומה מלעיל.

לדעתי הטענה לא נכונה.

למשל עבור <math>A=(0,1)</math> מתקיים ש-A חסומה מלעיל (למשל ע"י 3), אבל <math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל.

האינטואיציה היא שבגלל ש-<math>A^{-1}</math> מוגדרת להיות 1 חלקי איברי A, אז עבור איברי A שקרובים ל-0, השבר מתהפך והקבוצה

<math>A^{-1}</math>, לא תיהיה חסומה מלעיל.

השאלה שלי היא '''כיצד אני מוכיח את זה בצורה מדוייקת'''.

בעצם מה שאני רוצה להראות, זה ש-<math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל. כלומר להראות שמתקיימת הטענה הבאה:

'''<math>\forall M\exists a\in A^{-1}:a>M</math>'''. שזו בעצם '''השלילה''' של קיום חסם מלעיל.

איך אני מראה את זה???

:השורה האחרונה שלך נכונה. אתה צריך להראות שלכל מספר M קיים איבר בקבוצה שגדול ממנו. איברים בקבוצה הזו הם מהצורה של אחד חלקי איברים מהקטע בין אפס לאחד.
:אז רק צריך להראות ש <math>\frac{1}{M+1}\in A^{-1}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

'''מה נסגר עם הנוסחאות??????????????? אני לא מצליח לראות מה אני כותב. לא הבנתי גם מה אתה כתבת כי הנוסחה לא מופיעה כמו שצריך =\'''

== משמעות הביטוי הבא ==

היי,
שאלה , האם כדי להפריך טענה מסויימת מספיק לתת דוגמא נגדית ? ספציפית? כלומר לבחור 2 קבוצות עם מספרים שלא מקיימים את הטענה ?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 3 שאלה 2 סעיף ג' יש לי תהיה ==

האם הסדרה an=0 סותררת את ההנחה מכיוון ש an אינו גדול ממש מ0 לכל n באשר הוא?

נושא: הוכחה שגבול של סדרה הוא אינסוף באמצעות הגדרת הגבול.
לפי הגדרת גבול של סדרה <math>|an - l| = epsilon</math> לצורך העניין <math>an=n^2/(n+1)</math> השאלה היא איך אני ממשיך מכאן..
כשהגבול הוא מספר, אז זה ברור - מציבים במקום L ופותרים.. אבל כשהגבול הוא אינסופי לא ניתן לחשב..
הבנתי שצריך לבחור אפסילון כלשהו וליצור אי שיוויון, אבל לא הבנתי בדיוק איך עושים זאת ?
אשמח להכוונה,
תודה

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח

2013-11-11T19:30:47Z

Tomvin6: /* גבול של סדרה */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== שתיי שאלות בנושא חסמים ==

1. מה צריך לקיים חסם עליון של קבוצה, שהוא גם המקסימום של הקבוצה?

2. נניח שנתונה הקבוצה הבאה:

zz A={2,3,5,8} zz

החסם העליון שלה הוא 8.

אבל משהו כאן לא ברור לי.

ע"פ הגדרת החסם העליון מתקיים ש-8 חסם מלעיל של A (עם הדרישה הזו אין לי בעיה).

אבל צריכה להתקיים דרישה נוספת, שאיתה דווקא יש בעיה...

הדרישה אומרת שלכל e>0 קיים איבר a ב-A כך ש-a > 8-e.

אבל עבור e=0.1 למשל, (ועבור אפסילונים רבים אחרים), לא קיים איבר a ב-A כך ש- a>8-e.

אם כך, הדרישה השנייה של '''קיום חסם עליון''', אינה מתקיימת. מדוע אז 8 הוא בכל זאת חסם עליון?

:על מנת להיות '''מקסימום''', האיבר צריך להיות שייך לקבוצה. לגבי הדוגמא שנתת, בוודאי שיש איבר a כזה. שכחת את 8 בעצמו! הרי
:<math>\forall \epsilon>0:8>8-\epsilon</math>
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:31, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== איך מוכיחים שהמקסימום של קבוצה הוא הסופרימום של הקבוצה? ==

תודה

:הוכחה: נניח M הוא המקסימום של הקבוצה A, לכן ברור שהוא חסם עליון.
:נותר להוכיח, אם כן, שאין חסם עליון קטן יותר מM.
:נניח בשלילה שיש חסם עליון כזה N שקטן ממש מM.
:כיוון שM מקסימום, הוא שייך לקבוצה.
:לכן, יש איבר בקבוצה (M בעצמו) שגדול יותר מN בסתירה לכך שN הוא חסם מלעיל.
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== שאלה לגבי תרגיל שמופיע באתר ==

אומנם מופיע גם הפתרון..אבל יש שם כמה דברים שלא מובנים לי..

השאלה הולכת כך:

יהיו קבוצות A,B מוכלות בממשיים.
כל איבר ב-A קטן או שווה לכל איבר ב-B.

צריך להוכיח ש-supA<=infB.

האמת שזה די אינטואיטיבי..במיוחד אם מסתכלים על שניי תת-קטעים A , B , על הציר הממשי, שמקיימים את הנתון שכל איבר ב-A קטן שווה לכל אביר ב-B.

בסדר..מניחים בשלילה ש-supA>infB

האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?

:לא. אין דרישה שקבוצה תכיל את כל המספרים הממשיים בקטע מסויים. קבוצות יכולות להיות אפילו סופיות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:34, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== מדוע <math>0.99999...=1</math> ==

זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.
:עיקר הבעייה היא שלא למדתם כלל את הגדרת הממשיים, ולכן גם לא את הגדרת המספר <math>0.999...</math>.
:המספר אינו מוגדר על ידי הספרות שלו, אלא על ידי סכום אינסופי מהצורה <math>0.999...=0.9+0.009+0.0009+...</math>
:נראה הגדרת סכום אינסופי שכזה בהמשך הקורס.
:ובכל זאת, על מנת להבין מדוע מספרים אלה שווים, אפשר לראות את ההסבר הבא:
:נסמן <math>x=0.999...</math>, לכן מתקיים <math>10x=9.999...</math>
:לכן מתקיים <math>10x-x=9</math>
:כלומר <math>9x=9</math>
:כלומר <math>x=1</math>.

:המסקנה היא שגם לפי חוקי המתמטיקה שאתם מכירים על מספרים ממשיים, יוצא שזה אותו המספר. כאמור, אני מקווה שנבין את המספרים הממשיים טוב יותר במהלך הסמסטר.
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:39, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

== שאלה בחסמים ==

תהי <math>A\subseteq R</math> ונתון ש- <math>0\notin A</math>.

מגדירים את הקבוצה: <math>A^{-1}=\left \{{1/a|a\in A}}{ \right \} </math>.

הוכח/הפרך: אם A חסומה מלעיל, אז <math>A^{-1} </math> חסומה מלעיל.

לדעתי הטענה לא נכונה.

למשל עבור <math>A=(0,1)</math> מתקיים ש-A חסומה מלעיל (למשל ע"י 3), אבל <math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל.

האינטואיציה היא שבגלל ש-<math>A^{-1}</math> מוגדרת להיות 1 חלקי איברי A, אז עבור איברי A שקרובים ל-0, השבר מתהפך והקבוצה

<math>A^{-1}</math>, לא תיהיה חסומה מלעיל.

השאלה שלי היא '''כיצד אני מוכיח את זה בצורה מדוייקת'''.

בעצם מה שאני רוצה להראות, זה ש-<math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל. כלומר להראות שמתקיימת הטענה הבאה:

'''<math>\forall M\exists a\in A^{-1}:a>M</math>'''. שזו בעצם '''השלילה''' של קיום חסם מלעיל.

איך אני מראה את זה???

:השורה האחרונה שלך נכונה. אתה צריך להראות שלכל מספר M קיים איבר בקבוצה שגדול ממנו. איברים בקבוצה הזו הם מהצורה של אחד חלקי איברים מהקטע בין אפס לאחד.
:אז רק צריך להראות ש <math>\frac{1}{M+1}\in A^{-1}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

'''מה נסגר עם הנוסחאות??????????????? אני לא מצליח לראות מה אני כותב. לא הבנתי גם מה אתה כתבת כי הנוסחה לא מופיעה כמו שצריך =\'''

== משמעות הביטוי הבא ==

היי,
שאלה , האם כדי להפריך טענה מסויימת מספיק לתת דוגמא נגדית ? ספציפית? כלומר לבחור 2 קבוצות עם מספרים שלא מקיימים את הטענה ?
:כן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 3 שאלה 2 סעיף ג' יש לי תהיה ==

האם הסדרה an=0 סותררת את ההנחה מכיוון ש an אינו גדול ממש מ0 לכל n באשר הוא?

== גבול של סדרה ==

שאלה,
כדי להוכיח כי גבול של סדרה הוא אינסופי, עליי להראות כי לכל M קיים n0 כך שלכל n0<n, <math>formula</math>
נניח <math>an=n^2:2n+1</math> לא הבנתי איך אני מראה שקיים an שיותר גדול מm...
אני מניח בשלילה שלא קיים... ואז איך אני מראה שקיים ?

שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח

2013-10-31T17:31:01Z

Tomvin6: /* משמעות הביטוי הבא */ פסקה חדשה