Harel530: יצירת דף עם התוכן "===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם=== '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות..."

2019-03-19T15:08:38Z

יצירת דף עם התוכן "===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם=== '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות..."

דף חדש

===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
'''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A_1,A_2,\ldots,A_{17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

'''הגדרה:'''
יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:

<math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math>

<math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי

א. <math>\bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>

ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math>

ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

הוכחה:

א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.

ג. נתייחס ל-<math>\mathbb{R}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.

איחוד וחיתוך - היסטוריית גרסאות

Harel530: יצירת דף עם התוכן "===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם=== '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות..."