גבול פונקציה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־01:35, 16 ביוני 2017

2017-06-16T01:35:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:35, 16 ביוני 2017
שורה 6:		שורה 6:
	<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>		<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>

	<font size=4 color=#3c498e>~~'''~~הגדרה.~~'''~~ </font>		;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
	<math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל <math>\~~epsilon~~>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל ~~<math>x</math> המקיים~~ <math>0<\|x-a\|<\delta</math> מתקיים <math>\Big\|f(x)-L\Big\|<\~~epsilon~~</math>		<math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<\|x-a\|<\delta</math> מתקיים <math>\Big\|f(x)-L\Big\|<\varepsilon</math> .

	(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math>.)		(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math> .)

	הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל- <math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל- <math>L</math> .		הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל-<math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-<math>L</math> .


	<font size=4 color=#a7adcd>~~'''~~תרגיל.~~'''~~ </font>		;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
	הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim\limits_{x\~~to 2~~}\~~frac~~{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>		הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>

	~~'''~~פתרון~~.'''~~		;פתרון
	יהי <math>\~~epsilon~~>0</math> . צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<\|x-2\|<\delta</math> אזי מתקיים		יהי <math>\varepsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<\|x-2\|<\delta</math> אזי מתקיים
	<math>\left\|\~~frac~~{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|<\~~epsilon~~</math>		<math>\left\|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|<\varepsilon</math>

	נפתח את הביטוי:		נפתח את הביטוי:
	:<math>\left\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|=\left\|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right\|=\left\|\frac{x^2-2x}{x+1}\right\|=\left\|\frac{x(x-2)}{x+1}\right\|</math>		:<math>\left\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|=\left\|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right\|=\left\|\frac{x^2-2x}{x+1}\right\|=\left\|\frac{x(x-2)}{x+1}\right\|</math>
	אנו רואים כי כאשר <math>x\~~to 2~~</math> המונה שואף ~~לאפס,~~ והמכנה ל- ~~<math>~~3~~</math>~~ . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול ~~מאפס~~, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.		אנו רואים כי כאשר <math>x\to2</math> המונה שואף ל-0 והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

	כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<\|x-2\|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:		כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<\|x-2\|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:
	:<math>\left\|\~~frac~~{x(x-2)}{x+1}\right\|<\~~frac~~{\|x(x-2)\|}{2}</math>		:<math>\left\|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right\|<\dfrac{\|x(x-2)\|}{2}</math>
	כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:		כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:
	:<math>\left\|\~~frac~~{x(x-2)}{x+1}\right\|<\~~frac~~{3\|x-2\|}{2}<\~~frac{3}{2}~~\delta</math>		:<math>\left\|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right\|<\dfrac{3\|x-2\|}{2}<\dfrac32\delta</math>
	לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\~~frac{2}{3}~~\~~epsilon~~</math> עבורו מתקיים:		לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\dfrac23\varepsilon</math> עבורו מתקיים:
	:<math>\left\|\~~frac~~{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|<\~~frac{3}{2}~~\delta=\~~epsilon~~</math>		:<math>\left\|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|<\dfrac32\delta=\varepsilon</math>

	==גבול פונקציה לפי היינה==		==גבול פונקציה לפי היינה==

יהודה שמחה: /* גבול פונקציה לפי היינה */

2016-06-07T11:30:50Z

גבול פונקציה לפי היינה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:30, 7 ביוני 2016
שורה 65:		שורה 65:

	נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:		נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:
	:<math>\sin\~~Big~~(\frac{\pi}{2}+2\pi k\~~Big~~)=1</math>		:<math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1</math>

	:<math>\sin\~~Big~~(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\~~Big~~)=-1</math>		:<math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1</math>
	נרצה סדרה המקיימת		נרצה סדרה המקיימת
	:<math>e^{\frac{1}{x_k}}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math>		:<math>e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math>
	ולכן ניקח		ולכן ניקח
	:<math>x_k=\frac{1}{ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>		:<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>
	באופן דומה ניקח		באופן דומה ניקח
	:<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>		:<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>

יהודה שמחה ב־11:21, 7 ביוני 2016

2016-06-07T11:21:44Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־19:49, 6 ביוני 2016

2016-06-06T19:49:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:49, 6 ביוני 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות\|חזרה לפונקציות]]		[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות\|חזרה לפונקציות]]

	כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.		כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה - האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x</math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

	==גבול פונקציה לפי קושי==		==גבול פונקציה לפי קושי==

	<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>		<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>

	<font size=4 color=#3c498e>		<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
	'''הגדרה.'''		<math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x</math> המקיים <math>0<\|x-a\|<\delta</math> מתקיים <math>\Big\|f(x)-L\Big\|<\epsilon</math>
	</font>
	L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0<\|x-a\|<\delta</math> מתקיים <math>\|f(x)-L\|<\epsilon</math>


	~~(הערה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את a.)~~


	~~הסבר ההגדרה~~: ~~לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-~~a ~~אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L~~.		(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math>.)

			הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל- <math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל- <math>L</math> .

	~~<font size=4 color=#a7adcd>~~
	~~'''תרגיל.'''~~
	~~</font>~~

	הוכח לפי ההגדרה כי <math>\~~lim_~~{x\~~rightarrow~~ 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>		<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
			הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''
	יהי ~~אפסילון גדול מאפס~~. צריך להוכיח כי קיים ~~דלתא גדול מאפס~~, כך שאם <math>0<\|x-2\|<\delta</math> אזי מתקיים		יהי <math>\epsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<\|x-2\|<\delta</math> אזי מתקיים
	<math>\~~Big~~\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\~~Big~~\|<\epsilon</math>		<math>\left\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|<\epsilon</math>

	נפתח את הביטוי:		נפתח את הביטוי:

	::<math>\~~Big~~\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\~~Big~~\|=\~~Big~~\|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\~~Big~~\|=\~~Big~~\|\frac{x^2-2x}{x+1}\~~Big~~\|=\~~Big~~\|\frac{x(x-2)}{x+1}\~~Big~~\|</math>		:<math>\left\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|=\left\|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right\|=\left\|\frac{x^2-2x}{x+1}\right\|=\left\|\frac{x(x-2)}{x+1}\right\|</math>


	אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

	~~כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<\|x-2\|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:~~


	::<math>\~~Big\|\frac{x(x-~~2~~)}{x+1}\Big\|~~<~~\frac{\|x(x~~-~~2)\|}{2}~~</math>		אנו רואים כי כאשר <math>x\to 2</math> המונה שואף לאפס, והמכנה ל- <math>3</math> . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.


			כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<\|x-2\|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:
			:<math>\left\|\frac{x(x-2)}{x+1}\right\|<\frac{\|x(x-2)\|}{2}</math>
	כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:		כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:
			:<math>\left\|\frac{x(x-2)}{x+1}\right\|<\frac{3\|x-2\|}{2}<\frac{3}{2}\delta</math>
	::<math>\~~Big~~\|\frac{x(x-2)}{x+1}\~~Big~~\|<\frac{3\|x-2\|}{2}<\frac{3}{2}\delta</math>		לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}\epsilon</math> עבורו מתקיים:
			:<math>\left\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right\|<\frac{3}{2}\delta=\epsilon</math>

	לסיכום, קיים דלתא כך ש <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}\epsilon</math> עבורו מתקיים:


	::<math>\~~Big~~\|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\~~Big~~\|<\frac{3}{2}\delta=\epsilon</math>


	==גבול פונקציה לפי היינה==		==גבול פונקציה לפי היינה==

	<videoflash>wb7n_n5F8iU</videoflash>		<videoflash>wb7n_n5F8iU</videoflash>

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2012-12-16T09:08:01Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:08, 16 בדצמבר 2012
שורה 169:		שורה 169:

	שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס		שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס


			*<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>

			הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה אפס וערכו שם הוא אפס

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2012-12-16T09:04:58Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:04, 16 בדצמבר 2012
שורה 152:		שורה 152:

	'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.		'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.


			*<math>\lim_{x\rightarrow \infty}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math>


			'''פתרון''':

			נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול

			::<math>\lim_{x\rightarrow \infty}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)=\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{1}{y}sin(y) = 1</math>


			*<math>\lim_{x\rightarrow 0}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math>

			'''פתרון''':

			שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2012-12-16T08:58:24Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:58, 16 בדצמבר 2012
שורה 135:		שורה 135:
	חשב את הגבולות הבאים:		חשב את הגבולות הבאים:

	::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}</math>		*<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}</math>


שורה 141:		שורה 141:

	::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\cdot\frac{x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}\frac{x}{sin(x)}=0\cdot 1 = 0</math>		::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\cdot\frac{x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}\frac{x}{sin(x)}=0\cdot 1 = 0</math>



			*<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}</math>


			'''פתרון''':

			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}=2</math>

			'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.

ארז שיינר: /* גבול פונקציה לפי היינה */

2012-12-16T08:52:38Z

גבול פונקציה לפי היינה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:52, 16 בדצמבר 2012
שורה 119:		שורה 119:

	::<math>\lim f(x_k)=1\neq -1 =\lim f(y_k)</math>		::<math>\lim f(x_k)=1\neq -1 =\lim f(y_k)</math>

			==גבולות ידועים==
			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>


			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}=0</math>


			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}</math>


			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>

			==דוגמאות==
			חשב את הגבולות הבאים:

			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}</math>


			'''פתרון''':

			::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\cdot\frac{x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}\frac{x}{sin(x)}=0\cdot 1 = 0</math>

ארז שיינר ב־06:02, 12 בדצמבר 2012

2012-12-12T06:02:31Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:02, 12 בדצמבר 2012
שורה 54:		שורה 54:

	==גבול פונקציה לפי היינה==		==גבול פונקציה לפי היינה==

			<videoflash>wb7n_n5F8iU</videoflash>

	בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.		בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.

ארז שיינר ב־07:12, 11 בדצמבר 2012

2012-12-11T07:12:07Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:12, 11 בדצמבר 2012
שורה 4:		שורה 4:

	==גבול פונקציה לפי קושי==		==גבול פונקציה לפי קושי==

			<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>

	<font size=4 color=#3c498e>		<font size=4 color=#3c498e>
	'''הגדרה.'''		'''הגדרה.'''