היטל - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* 2 */

2013-12-31T13:34:34Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:34, 31 בדצמבר 2013
שורה 39:		שורה 39:
	<math>\sum_{i=1}^n\|\|\pi_U(v_i)\|\|^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math>		<math>\sum_{i=1}^n\|\|\pi_U(v_i)\|\|^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math>

	<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math>		<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>\overline{<v_i,u_j>}\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\overline{<u_j,v_i>}<u_j,v_i>>\Big)=</math>

	<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\|\|\pi_V(u_j)\|\|^2</math>		<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\|\|\pi_V(u_j)\|\|^2</math>
שורה 76:		שורה 76:

	אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.		אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.



	===3===		===3===

2013-12-31T13:24:45Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:24, 31 בדצמבר 2013
שורה 22:		שורה 22:
	אזי		אזי

	::<math>\|\|v-\pi_W(v)\|\|=\|\|\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i\|\|=\sum_{i=k+1}^n\|<v,w_i>\|\leq \sum_{i=1}^n\|<v,w_i>\|=\|\|v\|\|</math>		::<math>\|\|v-\pi_W(v)\|\|^2=\|\|\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i\|\|^2=\sum_{i=k+1}^n\|<v,w_i>\|^2\leq \sum_{i=1}^n\|<v,w_i>\|^2=\|\|v\|\|^2</math>

	===2===		===2===

2012-12-25T16:38:34Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:38, 25 בדצמבר 2012
שורה 82:		שורה 82:
	יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math>		יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math>

	א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in Y, v\in V</math>		א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in U, v\in V</math>

2012-12-25T12:03:19Z

@@ שורה 92: / שורה 92: @@
 '''פתרון:'''
-א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math>ולכן
+א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math> ולכן
 ::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math>
@@ שורה 99: / שורה 99: @@
 ::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math>

2012-12-25T09:20:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:20, 25 בדצמבר 2012
שורה 88:		שורה 88:

	הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math>		הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math>


			'''פתרון:'''

			א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math>ולכן

			::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math>

			נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל

			::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math>

2012-12-25T09:16:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:16, 25 בדצמבר 2012
שורה 15:		שורה 15:
	::<math>\|\|v-\pi_W(v)\|\|\leq \|\|v\|\|</math>		::<math>\|\|v-\pi_W(v)\|\|\leq \|\|v\|\|</math>


			'''פתרון:'''

			ניקח בסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_k\}</math> למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_n\}</math> למרחב כולו.

			אזי

			::<math>\|\|v-\pi_W(v)\|\|=\|\|\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i\|\|=\sum_{i=k+1}^n\|<v,w_i>\|\leq \sum_{i=1}^n\|<v,w_i>\|=\|\|v\|\|</math>

	===2===		===2===

2012-12-25T09:10:07Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:10, 25 בדצמבר 2012
שורה 11:		שורה 11:

	===1===		===1===
			יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל <math>v\in V</math>

			::<math>\|\|v-\pi_W(v)\|\|\leq \|\|v\|\|</math>


			===2===
	יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k		יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k

שורה 63:		שורה 69:
	אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.		אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.

	===2===

			===3===
	יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math>		יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math>

2012-12-25T09:06:51Z

@@ שורה 27: / שורה 27: @@
 <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math>
-<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big)</math>
+<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math>
 אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
 ===2===

2012-12-25T08:54:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:54, 25 בדצמבר 2012
שורה 23:		שורה 23:
	א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U		א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U

	<math>\sum_{i=1}^n\|\|\pi_U(v_i)\|\|^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,~~u_i~~>,\sum_{j=1}^k<v_i,~~u_i~~>>\Big)</math>		<math>\sum_{i=1}^n\|\|\pi_U(v_i)\|\|^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math>

			<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math>

			<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\|\|\pi_V(u_j)\|\|^2\Big)</math>


			אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.

	===2===		===2===

2012-12-25T08:44:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:44, 25 בדצמבר 2012
שורה 17:		שורה 17:
	ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:		ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
	::<math>\|G_S\|\leq \|\|s_1\|\|^2\cdot \|\|s_2\|\|^2\cdots \|\|s_n\|\|^2</math>		::<math>\|G_S\|\leq \|\|s_1\|\|^2\cdot \|\|s_2\|\|^2\cdots \|\|s_n\|\|^2</math>


			'''פתרון:'''

			א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U

			<math>\sum_{i=1}^n\|\|\pi_U(v_i)\|\|^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>,\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>>\Big)</math>

	===2===		===2===