הלמה של קנטור - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־12:47, 4 בנובמבר 2016

2016-11-04T12:47:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:47, 4 בנובמבר 2016
שורה 2:		שורה 2:

	==הלמה של קנטור==		==הלמה של קנטור==
	תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq ~~...~~</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' c הנמצאת בכל הקטעים.		תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' <math>c</math> הנמצאת בכל הקטעים.


	===הוכחה===		===הוכחה===
	נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math>. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על ידי <math>b_1</math>, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על ידי <math>a_1</math>.		נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math> . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על-ידי <math>b_1</math> , ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי <math>a_1</math> .

	לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. ~~כיוון~~ שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim \|b_n-a_n\|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה		לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim \|b_n-a_n\|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
	::<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math>		:<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math>
	מקיימת את הדרוש.		מקיימת את הדרוש.


	נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש <math>c\notin [a_k,b_k]</math>. לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> ~~וכיוון~~ שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. (<math>\lim a_n \~~geq~~ a_k > c</math> או <math>\lim b_n \~~leq~~ b_k < c</math>.)		נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- <math>c\notin[a_k,b_k]</math> . לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- <math>c</math> בסתירה. (<math>\lim a_n\ge a_k>c</math> או <math>\lim b_n\le b_k<c</math>)

	לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\~~neq~~ d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>\|d-c\|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.		לכן הנקודה <math>c</math> שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\ne d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>\|d-c\|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־00:56, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T00:56:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012
שורה 16:		שורה 16:

	לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>\|d-c\|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.		לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>\|d-c\|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/למת קנטור הועבר להלמה של קנטור

2012-02-15T00:56:03Z

משפטים/אינפי/למת קנטור הועבר להלמה של קנטור

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר ב־12:49, 7 בפברואר 2012

2012-02-07T12:49:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:49, 7 בפברואר 2012
שורה 2:		שורה 2:

	==הלמה של קנטור==		==הלמה של קנטור==
	תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\~~subseteq~~ I_2\~~subseteq~~ ...</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' c הנמצאת בכל הקטעים.		תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq ...</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' c הנמצאת בכל הקטעים.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הלמה של קנטור== תהי $I_n$ סדרה של קטעים סגורים המו..."

2012-02-02T08:40:20Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הלמה של קנטור== תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המו..."

דף חדש

[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]

==הלמה של קנטור==
תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\subseteq I_2\subseteq ...</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' c הנמצאת בכל הקטעים.

===הוכחה===
נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math>. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על ידי <math>b_1</math>, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על ידי <math>a_1</math>.

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim |b_n-a_n|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
::<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math>
מקיימת את הדרוש.

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש <math>c\notin [a_k,b_k]</math>. לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. (<math>\lim a_n \geq a_k > c</math> או <math>\lim b_n \leq b_k < c</math>.)

לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>|d-c|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.

הלמה של קנטור - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־12:47, 4 בנובמבר 2016

עוזי ו. ב־00:56, 15 בפברואר 2012

עוזי ו.: משפטים/אינפי/למת קנטור הועבר להלמה של קנטור

ארז שיינר ב־12:49, 7 בפברואר 2012

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הלמה של קנטור== תהי I_n סדרה של קטעים סגורים המו..."

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הלמה של קנטור== תהי $I_n$ סדרה של קטעים סגורים המו..."