המספר e - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת */

2018-11-05T08:14:54Z

נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:14, 5 בנובמבר 2018
שורה 61:		שורה 61:


	~~כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון~~ מתקיים:		נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>.
	:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}~~=1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}+~~\~~cdots>~~1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
			לכן
			:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>


	~~(שימו לב: זה בעצם אי שיוויון ברנולי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>)~~

	לכן מספיק להוכיח כי		לכן מספיק להוכיח כי
שורה 70:		שורה 72:
	אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:		אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
	:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>		:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>


	===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===		===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2017-11-06T07:18:09Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:18, 6 בנובמבר 2017
שורה 120:		שורה 120:

	לכן הגבול הנו:		לכן הגבול הנו:
	:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>		:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>

ארז שיינר: /* נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה */

2017-11-06T07:14:36Z

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:14, 6 בנובמבר 2017
שורה 97:		שורה 97:
	</math>		</math>

	שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים
	<math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>		שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>


			ולבסוף
			:<math>
			\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
			\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
			</math>
			:<math>
			=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1
			</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה */

2017-11-06T07:07:55Z

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:07, 6 בנובמבר 2017
שורה 84:		שורה 84:

	כעת		כעת
	:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=		:<math>
			\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
	\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=		\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
	</math>		</math>
	:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=		:<math>
			=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
	\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=		\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
	</math>		</math>
			:<math>
			=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
			\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
			</math>

			שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים
			<math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה */

2017-11-06T07:03:32Z

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

@@ שורה 77: / שורה 77: @@
 רוצים להוכיח
 :<math>a_{n+1}>a_n</math>
 ==דוגמאות==

ארז שיינר: /* תכונות */

2017-11-06T06:57:23Z

תכונות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:57, 6 בנובמבר 2017
שורה 73:		שורה 73:

	===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===		===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
			נסמן
			:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
			רוצים להוכיח
			:<math>a_{n+1}>a_n</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* תכונות */

2017-11-06T06:55:16Z

תכונות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:55, 6 בנובמבר 2017
שורה 34:		שורה 34:
	;הוכחה:		;הוכחה:

	~~אפשר להוכיח~~ כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.		נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

	מובן מאליו כי		מובן מאליו כי
שורה 46:		שורה 46:


	נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:		===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת===

	נסמן		נסמן
שורה 63:		שורה 63:
	כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:		כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
	:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>		:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>

			(שימו לב: זה בעצם אי שיוויון ברנולי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>)

	לכן מספיק להוכיח כי		לכן מספיק להוכיח כי
	:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>		:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
	אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:		אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
	:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>		:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>


			===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

יהודה שמחה ב־16:55, 11 בפברואר 2017

2017-02-11T16:55:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:55, 11 בפברואר 2017
שורה 2:		שורה 2:

	==המספר e==		==המספר e==
	לסדרה <math>a_n=\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.		לסדרה <math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.

	::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^n</math>		::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n</math>

	'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\~~frac{1}~~{a_n}\right)^{a_n}</math>		'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math>

	'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\~~frac{1}~~{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>		'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>


	<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>		<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>

	חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\~~frac{1}{n}~~\right)^n</math>		חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n</math>


	~~'''~~פתרון~~.'''~~ נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.		;פתרון
			נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

			:<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
			&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math>

	~~:<math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n=</math>~~

			כיון ש- <math>\dfrac{-n}{n-1}\to-1</math> אנו מקבלים כי

	~~:<math>=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>~~		<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e</math>


	~~כיון ש- <math>\frac{-n}{n-1}\to(-1)</math> אנו מקבלים כי~~

	<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\~~frac{1}{n}~~\right)^n=e^{-1}=\~~frac{1}{e}~~</math>

	==תכונות==		==תכונות==
	הסדרה <math>\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי ~~n מתקיים כי:~~		הסדרה <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי:


	:<math>~~\left(1+\frac{1}{n}\right)^{~~n~~}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}~~</math>

			:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>

	;הוכחה:		;הוכחה:
שורה 41:		שורה 37:

	מובן מאליו כי		מובן מאליו כי
			:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
	:<math>\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^{n}<\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^{n+1}</math>

	אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.		אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

	כמו כן:		כמו כן:
			:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>
	:<math>\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^{n+1}=\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^n\cdot\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)\to e\cdot1</math>

	וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.		וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
שורה 56:		שורה 49:

	נסמן		נסמן
			:<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
	:<math>a_n=\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^{n+1}</math>

	רוצים להוכיח		רוצים להוכיח

	:<math>a_{n+1}<a_n</math>		:<math>a_{n+1}<a_n</math>

	כלומר		כלומר
			:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
	:<math>\left(1+\~~frac{1}~~{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^{n+1}</math>

	נפתח את אי-השוויון:		נפתח את אי-השוויון:

	:<math>\left(1+\~~frac{1}~~{n+1}\right)\left(1+\~~frac{1}~~{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\~~frac{1}{n}~~\right)^{n+1}</math>		:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>

	:<math>\left(1+\~~frac{1}~~{n+1}\right)<\left(\frac{1+\~~frac{1}{n}~~}{1+\~~frac{1}~~{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\~~frac~~{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\~~frac{1}~~{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>		:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>


	כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:		כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
			:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
	:<math>\left(1+\~~frac{1}~~{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\~~frac~~{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\~~frac~~{n+1}{n(n+2)}</math>

	לכן מספיק להוכיח כי		לכן מספיק להוכיח כי
			:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
	:<math>1+\~~frac{1}~~{n+1}<1+\~~frac~~{n+1}{n(n+2)}</math>

	אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:		אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
			:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
	:<math>1<\~~frac~~{(n+1)^2}{n(n+2)}=\~~frac~~{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>		<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>

	מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\~~frac~~{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>		מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>

	:<math>\~~frac~~{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\~~frac~~{n^n}{n!}}</math>		:<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math>

	לכן לפי משפט אם <math>\~~frac~~{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .		לכן לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .

	לכן הגבול הנו:		לכן הגבול הנו:
			:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>
	:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\~~frac~~{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\~~frac~~{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>

יהודה שמחה ב־21:15, 8 בנובמבר 2016

2016-11-08T21:15:48Z

הצגת שינויים

ארז שיינר: /* תכונות */

2014-11-16T15:29:07Z

תכונות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:29, 16 בנובמבר 2014
שורה 41:		שורה 41:
	'''הוכחה:'''		'''הוכחה:'''

	קל להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.		אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

	מובן מאליו כי		מובן מאליו כי