המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה: /* סעיף ב' */

2016-11-04T12:37:21Z

סעיף ב'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:37, 4 בנובמבר 2016
שורה 30:		שורה 30:

	=== סעיף ב'===		=== סעיף ב'===
	כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math> . נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח:		כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math> . נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math> . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח:

	<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)</math>		<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)</math>
שורה 41:		שורה 41:
	כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math>		כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math>

	יהי <math>\epsilon>0</math>. כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|t-x_0\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|<\epsilon</math> . כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math> , לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_0\|\le\|\Delta x\|<\delta</math> כך ש-<math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|<\epsilon</math> .		יהי <math>\epsilon>0</math> . כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|t-x_0\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|<\epsilon</math> . כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math> , לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_0\|\le\|\Delta x\|<\delta</math> כך ש-<math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|<\epsilon</math> .

	מכאן ש- <math>\Bigg\|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math>		מכאן ש- <math>\Bigg\|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math>
שורה 49:		שורה 49:
	<math>\Bigg\|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|<\frac{1}{\|\Delta x\|}\cdot\epsilon\|\Delta x\|=\epsilon</math> .		<math>\Bigg\|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|<\frac{1}{\|\Delta x\|}\cdot\epsilon\|\Delta x\|=\epsilon</math> .

	ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math>, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math> , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math> , מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> .		ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math> , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math> , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math> , מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> .

	<math>\blacksquare</math>		<math>\blacksquare</math>

יהודה שמחה ב־20:02, 17 באוגוסט 2016

2016-08-17T20:02:29Z

יהודה שמחה ב־18:13, 26 בינואר 2016

2016-01-26T18:13:29Z

הצגת שינויים

Arie: /* סעיף ב' */

2015-06-28T00:48:14Z

סעיף ב'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:48, 28 ביוני 2015
שורה 44:		שורה 44:
	<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>		<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

	יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>\|t-x_{0}\|< \delta</math> אז <math>\|f(t)-f(x_{0})\|<0</math>.כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_{0}\| \leq \|\Delta x\|< \delta </math> כך ש-<math>\|f(t)-f(x_{0})\|< \epsilon</math>.		יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>\|t-x_{0}\|< \delta</math> אז <math>\|f(t)-f(x_{0})\|< \epsilon</math>.כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_{0}\| \leq \|\Delta x\|< \delta </math> כך ש-<math>\|f(t)-f(x_{0})\|< \epsilon</math>.

	מכאן ש-		מכאן ש-

לב זלוטניק: /* סעיף א' */

2012-03-31T15:06:44Z

סעיף א'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:06, 31 במרץ 2012
שורה 14:		שורה 14:

	<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.		<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
	נתון ש-f חסומה, נגיד <math>\|f(x)\| \leq M </math>.		נתון ש-f חסומה, נגיד <math>f(x) \leq M </math>.

	לכן מתקיים <math>\|A(x+\Delta x)-A(x)\|=\|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt\| \leq M\|\Delta x\|</math>.		לכן מתקיים <math>\|A(x+\Delta x)-A(x)\|=\|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt\| \leq M\|\Delta x\|</math>.

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

2012-03-29T19:00:25Z

סעיף ב'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:00, 29 במרץ 2012
שורה 47:		שורה 47:

	מכאן ש-		מכאן ש-
	<math>\|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt\|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \|f(t)-f(x_{0})\|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>		<math>\|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt\| \leq \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \|f(t)-f(x_{0})\|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

	אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן		אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן

	<math>\|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt\| ~~\leq~~ \frac{1}{\|\Delta x\|} \cdot \epsilon \|\Delta x\|=\epsilon </math>.		<math>\|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt\| < \frac{1}{\|\Delta x\|} \cdot \epsilon \|\Delta x\|=\epsilon </math>.

	ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.		ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

2012-03-29T18:59:28Z

סעיף ב'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:59, 29 במרץ 2012
שורה 51:		שורה 51:
	אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן		אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן

	<math>\|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt\|<\frac{1}{\|\Delta x\|} \cdot \epsilon \|\Delta x\|=\epsilon </math>.		<math>\|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt\| \leq \frac{1}{\|\Delta x\|} \cdot \epsilon \|\Delta x\|=\epsilon </math>.

	ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.		ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

2012-03-29T16:10:03Z

סעיף ב'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:10, 29 במרץ 2012
שורה 47:		שורה 47:

	מכאן ש-		מכאן ש-
	<math>\|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt\|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>		<math>\|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt\|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \|f(t)-f(x_{0})\|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

	אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן		אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן

ארז שיינר ב־13:24, 29 במרץ 2012

2012-03-29T13:24:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:24, 29 במרץ 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:אינפי]]
	== המשפט ==		== המשפט ==
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

לב זלוטניק: /* סעיף ב' */

2012-03-29T12:09:05Z

סעיף ב'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:09, 29 במרץ 2012
שורה 44:		שורה 44:
	<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>		<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>

	יהי <math>\epsilon >0</math>. ~~אזי~~ קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>\|\Delta x\|< \delta</math>		יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>\|t-x_{0}\|< \delta</math> אז <math>\|f(t)-f(x_{0})\|<0</math>.כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_{0}\| \leq \|\Delta x\|< \delta </math> כך ש-<math>\|f(t)-f(x_{0})\|< \epsilon</math>.

			מכאן ש-
			<math>\|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt\|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>

	~~כיוון שהפונקציה רציפה, מתקיים:~~		אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן

	<math>\|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt\|<~~M \|\Delta x\|~~ \frac{1}{\|\Delta x\|}=M</math>		<math>\|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt\|<\frac{1}{\|\Delta x\|} \cdot \epsilon \|\Delta x\|=\epsilon </math>.

	ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.		ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:02, 17 באוגוסט 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]
	==המשפט==		==המשפט==
	תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם:		תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> . נגדיר גם:
	<math>\forall x\in [a,b]: A(x):= \displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt</math> . אזי מתקיים:		<math>\forall x\in[a,b]:A(x):=\displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

	א) <math>A(x)</math> רציפה.		א) <math>A(x)</math> רציפה.

	ב) לכל <math>x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.		ב) לכל <math>x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> .

	ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו- <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.		ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math> , ו- <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> , מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

	==הוכחה==		==הוכחה==
	=== סעיף א'===		=== סעיף א'===
	נקח <math>x\in [a,b]</math> כלשהו ו- <math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x\in [a,b]</math>. לפי הגדרה: <math>A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt</math> ולכן		נקח <math>x\in [a,b]</math> כלשהו ו- <math>\Delta x</math> "קטן" כך ש- <math>x+\Delta x\in[a,b]</math> . לפי הגדרה: <math>A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt</math> ולכן

	<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. נתון ש- <math>f</math> חסומה, נגיד <math>f(x)\le M </math>.		<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. נתון ש- <math>f</math> חסומה, נגיד <math>f(x)\le M </math> .

	לכן מתקיים <math>\bigg\|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg\|=\Bigg\|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg\|\le M\|\Delta x\|</math>.		לכן מתקיים <math>\bigg\|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg\|=\Bigg\|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg\|\le M\|\Delta x\|</math> .

	כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .		כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math> , אגף ימין שואף ל-0 .
	לכן:		לכן:

שורה 25:		שורה 25:
	<math>\lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,		<math>\lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

	<math>\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x)</math>.		<math>\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x)</math> .

	<math>\blacksquare</math>		<math>\blacksquare</math>

	=== סעיף ב'===		=== סעיף ב'===
	כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח:		כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math> . נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח:

	<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt \to f(x_0)</math>		<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)</math>

	'''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)</math> .		'''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)</math> .

	נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x</math> ולכן		נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x</math> ולכן
	<math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math>.		<math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math> .

	כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math>		כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math>

	יהי <math>\epsilon >0</math>. כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>\|t-x_0\|< \delta</math> אז <math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|< \epsilon</math>. כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_0\|\le \|\Delta x\|< \delta </math> כך ש-<math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|< \epsilon</math>.		יהי <math>\epsilon>0</math>. כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|t-x_0\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|<\epsilon</math> . כעת נניח <math>\|\Delta x\|<\delta</math> , לכן לכל t כזה: <math>\|t-x_0\|\le\|\Delta x\|<\delta</math> כך ש-<math>\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|<\epsilon</math> .

	מכאן ש- <math>\Bigg\|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|\le \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math>		מכאן ש- <math>\Bigg\|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big\|f(t)-f(x_0)\Big\|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math>

	אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=\|\Delta x\| \epsilon</math> ולכן		אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=\|\Delta x\|\epsilon</math> ולכן

	<math>\Bigg\|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\| < \~~frac1~~{\|\Delta x\|}\cdot \epsilon \|\Delta x\|=\epsilon </math>.		<math>\Bigg\|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg\|<\frac{1}{\|\Delta x\|}\cdot\epsilon\|\Delta x\|=\epsilon</math> .

	ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math>, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math>, מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.		ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math>, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math> , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math> , מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> .

	<math>\blacksquare</math>		<math>\blacksquare</math>

	===סעיף ג' ===		===סעיף ג' ===
	ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו.		ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math> , ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> . נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו.

	לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx - \displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=</math>		לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-\displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=</math>

	<math>=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0 = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math>		<math>=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math>

	ולכן בסך הכל :<math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.		ולכן בסך הכל: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math> .

	<math>\blacksquare</math>		<math>\blacksquare</math>