התאמת גלואה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־13:56, 2 בספטמבר 2018

2018-09-02T13:56:28Z

עוזי ו. ב־22:25, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T22:25:21Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:25, 15 בפברואר 2012
שורה 57:		שורה 57:

	בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.		בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.

			[[קטגוריה:תורת גלואה]]

Ufirst: /* בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם */

2012-01-13T09:04:47Z

בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:04, 13 בינואר 2012
שורה 56:		שורה 56:
	== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==		== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==

	בקרוב...		בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.

Ufirst: /* חישוב בידיים של ההתאמה */

2012-01-13T09:04:05Z

חישוב בידיים של ההתאמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:04, 13 בינואר 2012
שורה 50:		שורה 50:
	נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math>.		נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math>.

			'''דוגמא:''' בסימונים של הדוגמא הקודמת, מהו <math>E^{<\sigma\alpha^2>}</math>?

			תשובה: התמורה המתאימה ל-<math>\sigma^2\alpha</math> היא <math>(1,3)</math>. לכן, <math>i\sqrt[4]{2}=a_2\in E^{<\sigma\alpha^2>}</math>. אותם שיקולי מימד מהדוגמא הקודמת יראו ש-<math>E^{<\sigma\alpha^2>}=\mathbb{Q}[i\sqrt[4]{2}]</math>.

	== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==		== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==

	בקרוב...		בקרוב...

Ufirst ב־08:49, 13 בינואר 2012

2012-01-13T08:49:11Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:49, 13 בינואר 2012
שורה 49:		שורה 49:

	נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math>.		נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math>.


	== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==		== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==

	בקרוב...		בקרוב...

Ufirst: /* חישוב בידיים של ההתאמה */

2012-01-13T08:48:41Z

חישוב בידיים של ההתאמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:48, 13 בינואר 2012
שורה 48:		שורה 48:
	כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.		כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.

	נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math>.		נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math>.

	== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==		== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==

	בקרוב...		בקרוב...

Ufirst: /* חישוב בידיים של ההתאמה */

2012-01-13T08:48:07Z

חישוב בידיים של ההתאמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:48, 13 בינואר 2012
שורה 48:		שורה 48:
	כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.		כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.

	נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math>.		נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math>.


	== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==		== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==

	בקרוב...		בקרוב...

Ufirst: /* חישוב בידיים של ההתאמה */

2012-01-13T08:46:35Z

חישוב בידיים של ההתאמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:46, 13 בינואר 2012
שורה 18:		שורה 18:
	== חישוב בידיים של ההתאמה ==		== חישוב בידיים של ההתאמה ==

	~~דגכדג~~		נניח ש-<math>E/F</math> הרחבת גלואה ממימד סופי ומצאנו את חבורת גלואה <math>G=Gal(E/F)</math>.

			בהינתן שדה <math>F\subseteq K\subseteq E</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו <math>H=Gal(E/K)</math> ע"י בדיקה אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>K</math>. בפרט, אם <math>K=F[a_1,...,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>a_1,...,a_n</math>.

			לעומת זאת, בהינתן תת חבורה <math>H\leq G</math> לא תמיד ברור מהו תת השדה המתאים לה <math>K=E^H</math>.

			ראשית, נשים לב שהתנאי <math>a\in E^H</math> אומר <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in H</math>. היות וכל <math>\sigma\in H</math> היא העתקה לינארית מעל <math>F</math>, התנאים <math>\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F</math>. בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל-<math>E^H</math> מעל <math>F</math>.

			שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה <math>\sigma a=a</math> למשוואה לינארית מעל <math>F</math> יש לבחור בסיס ל-<math>E</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math>. (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.)

			השיטה הנ"ל אמנם תמיד עובד, אך בדרך כלל לוקחת זמן לביצוע. לכן, אם אפשר עדיף לנסות למצוא איברים <math>a_1,...,a_n\in E^H</math> ולקוות שהם יוצרים את <math>E^H</math> מעל <math>F</math>. כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האיברים ואיך נדע שהם יוצרים את <math>E^H</math>.

			תשובה לשאלה השנייה נובעת מהטענה הבאה:

			'''טענה:''' <math>E^H=F[a_1,\dots,a_n]</math> אם ורק אם <math>H</math> מייצבת את <math>a_1,...,a_n</math> וגם <math>[F[a_1,\dots,a_n]:F]\geq [G:H]</math>.

			'''הוכחה:''' תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת גלואה.

			לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאיברים הם ב-<math>E^H</math> והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות:
			:1. אם <math>\sigma</math> הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב-<math>E</math> נמצא ב-<math>E^\sigma</math>.
			:2. נניח ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהיו <math>a_1,\dots,a_k\in E</math> השורשים של <math>f</math>. אזי ניתן לחשוב על אברי <math>G</math> כתמורות ב-<math>S_k</math> (המתאימות לתמורות על השורשים <math>a_1,\dots,a_k</math>). נשים לב שאם <math>\sigma\in H</math> היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא <math>(n_1,\dots,n_r)</math> אז <math>\sum_{i=1}^ra_{n_i},~\prod_{i=1}^ra_{n_i}\in E^{<\sigma>}</math>.
			:3. באותן הנחות כמו ב-2, אם האינדקס <math>n</math> לא מופיע בייצוג של <math>\sigma\in H</math> כמכפלת מחזורים זרים, אז <math>\sigma a_n=a_n</math>.

			'''דוגמא:''' נניח ש-<math>E=\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2},i],~F=\mathbb{Q}</math>. ההרחבה <math>E/F</math> חבורת גלואה ונוצרת ע"י שתי העתקות <math>\sigma,\alpha</math> הנתונות ע"י:
			: <math>\sigma(i)=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}</math>
			: <math>\alpha(i)=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\sqrt[4]{2}</math>
			האיברים <math>\sigma,\alpha</math> מקיימים את היחסים <math>\alpha^4=\sigma^2=id</math> ו-<math>\alpha\sigma=\alpha^-1\sigma</math> (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות ש-<math>Gal(E/F)\cong D_4</math>). בדקו שהחבורה <math><\sigma\alpha></math> מכילה שני איברים.

			כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.

			נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math>.


			== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==

			בקרוב...

Ufirst: יצירת דף עם התוכן "התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט הי..."

2012-01-13T07:50:17Z

יצירת דף עם התוכן "התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט הי..."

דף חדש

התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט היסודי של תורת גלואה הקובע כי יש התאמה בין שדות ביניים של הרחבת גלואה ובין תתי החבורות של חבורת גלואה שלה.

== המשפט היסודי של תורת גלואה ==

'''משפט:''' תהי <math>E/F</math> הרחבת גלואה ממימד סופי ותהי <math>G=Gal(E/F)</math> אזי קיימת התאמה חח"ע ועל בין:
:א. תתי שדות <math>F\subseteq K\subseteq E</math>
:ב. תתי חבורות <math>H\leq G</math>
ההתאמה שולחת חבורה <math>H</math> אל השדה <math>E^H=\{a\in E|\sigma a=a~\forall\sigma\in H\}</math> ותת שדה <math>F\subseteq K\subseteq E</math> אל החבורה <math>Gal(E/K)</math> (פונקציות אלו הפוכות זו לזו). בנוסף, ההתאמה מקיימת:
:1. <math>|H|=[E:E^H]</math>
:2. <math>[E^H:F]=[G:H]</math>
:3. <math>H_1\subseteq H_2</math> אם ורק אם <math>E^{H_1}\supseteq E^{H_2}</math> (אין טעות; כוון ההכלה מתהפך)
:4. <math>H</math> נורמלית ב-<math>G</math> אם ורק אם <math>E^H/F</math> נורמלית אם ורק אם <math>E^H/F</math> גלואה. במקרה זה, <math>Gal(E^H/F)\cong G/H</math>. האיזומורפיזם נתון ע"י שליחת קוסט <math>\sigma H</math> אל <math>\sigma|_{E^H}</math>.

'''הערה:''' קיים אנלוג של המשפט הנ"ל גם להרחבות גלואה אינסופיות.

== חישוב בידיים של ההתאמה ==

דגכדג