כלל לופיטל - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר ב־15:20, 30 בדצמבר 2020

2020-12-30T15:20:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:20, 30 בדצמבר 2020
שורה 1:		שורה 1:
			=סרטונים מצולמים בנושא=
			<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>


	=כלל לופיטל=		=כלל לופיטל=
	תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-		תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-

יהודה שמחה: /* הוכחה */

2017-09-28T22:57:44Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:57, 28 בספטמבר 2017
שורה 143:		שורה 143:

	הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה		הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
	:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\~~frac~~{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>		:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
	ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .		ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

	כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.		כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש-<math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

	הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)		הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)

יהודה שמחה: /* דוגמא 10 */

2017-09-28T22:55:47Z

דוגמא 10

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:55, 28 בספטמבר 2017
שורה 127:		שורה 127:
	תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>		תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>

	חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>		חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>

	פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\~~frac~~{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- ~~<math>~~0~~</math>~~ נגדיר להיות		פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב-0 נגדיר להיות

	<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\~~dots~~=\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>		<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\cdots=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>

	כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\~~frac~~{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\~~frac1{2}~~\cdot\~~frac~~{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=g(0)~~\frac{1~~}{2^n}</math>		כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=\dfrac{g(0)}{2^n}</math>

	=משפט לופיטל והוכחתו=		=משפט לופיטל והוכחתו=

יהודה שמחה: /* דוגמא 9 */

2017-09-28T22:53:26Z

דוגמא 9

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:53, 28 בספטמבר 2017
שורה 115:		שורה 115:

	===דוגמא 9===		===דוגמא 9===
	חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\~~left[\frac~~{\sin^3(x)~~\cdot~~\ln(x+1)~~\cdot~~\cos(x)}{x^2~~\cdot~~\arctan^2(x)}~~\right]~~</math> .		חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}</math> .

	נפריד אותו לחלקים באופן הבא:		נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
	:<math>\lim\limits_{x\to0}\~~left[\frac~~{\sin^3(x)~~\cdot~~\ln(x+1)~~\cdot~~\cos(x)}{x^2~~\cdot~~\arctan^2(x)}~~\right]~~=\lim\limits_{x\to0}~~\left[~~\left(\~~frac~~{\sin(x)}{x}\right)^3~~\right]~~\cdot\lim\limits_{x\to0}\~~left[\frac~~{\ln(x+1)}{x}~~\right]~~\cdot\lim\limits_{x\to0}~~\left[~~\left(\~~frac~~{x}{\arctan(x)}\right)^2~~\right]~~\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>		:<math>\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^3(x)\ln(x+1)\cos(x)}{x^2\arctan^2(x)}=\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)^3\cdot\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{x}{\arctan(x)}\right)^2\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>

	במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.		במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.

יהודה שמחה: /* הוכחה */

2017-09-14T15:42:03Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:42, 14 בספטמבר 2017
שורה 140:		שורה 140:
	==הוכחה==		==הוכחה==
	נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות		נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
	<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x) & x\ne a\\0 & x=a\end{cases} \quad \tilde{g}=\begin{cases}g(x) & x\ne a\\0 & x=a\end{cases}</math>		<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}\quad\tilde{g}=\begin{cases}g(x)&:x\ne a\\0&:x=a\end{cases}</math>

	הגבול של מנתם ב- <math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה ~~<math>~~1~~</math>~~ , לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> ~~שמקיימת~~ <math>\~~frac~~{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\~~frac~~{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>		הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
			:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
	ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\~~frac~~{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\~~frac~~{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\~~frac~~{f'(c)}{g'(c)}</math> .		ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

	כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.		כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

	הערה: המשפט נכון גם עבור ~~במקרים ש~~: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף- לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)		הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
	או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)		או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־09:12, 7 בנובמבר 2016

2016-11-07T09:12:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:12, 7 בנובמבר 2016
שורה 28:		שורה 28:
	:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>		:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>

	==מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>==		==מקרה שני <math>0\cdot\infty</math>==
	נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .		נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .

שורה 34:		שורה 34:

	===דוגמא 4===		===דוגמא 4===
	חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x~~\cdot~~\ln(x)\Big]</math> .		חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]</math> .

	זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:		זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
	:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x~~\cdot~~\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\~~frac1~~{x}}=</math>		:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=</math>
	נגזור מונה ומכנה ונקבל		נגזור מונה ומכנה ונקבל
	:<math>=\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{\frac{1}{x}}{-\~~frac1~~{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>		:<math>=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
	'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.		'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.

	===דוגמא 5===		===דוגמא 5===
	חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x~~\cdot~~\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .		חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .

	זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:		זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
	:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x~~\cdot~~\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>		:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
	נגזור מונה ומכנה ונקבל		נגזור מונה ומכנה ונקבל
	:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\~~frac1~~{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>		:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>

	כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול		כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
שורה 55:		שורה 55:
	:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>		:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
	אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי		אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
	:<math>\lim\limits_{x\to \infty}\Big[e^x~~\cdot~~\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>		:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>

	==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==		==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==

יהודה שמחה ב־20:06, 20 בספטמבר 2016

2016-09-20T20:06:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:06, 20 בספטמבר 2016
שורה 49:		שורה 49:
	נגזור מונה ומכנה ונקבל		נגזור מונה ומכנה ונקבל
	:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac1{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>		:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac1{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>


	כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול		כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
שורה 59:		שורה 58:

	==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==		==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==

	במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math> .		במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math> .

שורה 81:		שורה 79:

	כעת,		כעת,
	:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\~~frac1~~{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x}=e^0=1</math>		:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x}=e^0=1</math>
	(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).		(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).

שורה 117:		שורה 115:

	===דוגמא 9===		===דוגמא 9===
	חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}</math>.		חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]</math> .

	נפריד אותו לחלקים באופן הבא:		נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
			:<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]=\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^3\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\ln(x+1)}{x}\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\frac{x}{\arctan(x)}\right)^2\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>
	:<math>\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)} = \lim\limits_{x\~~to 0~~}\~~Big~~(\frac{\sin(x)}{x}\~~Big~~)^3\cdot\frac{\ln(x+1)}{x}\cdot \~~Big~~(\frac{x}{\arctan(x)}\~~Big~~)^2\cdot\cos(x)</math>

	במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.		במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.
שורה 127:		שורה 124:
	שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.		שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.

	===דוגמא 10 ===		===דוגמא 10===
	תרגיל: יהא <math>n>1</math>. נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>		תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>

	חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>		חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>

	פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\frac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות		פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\frac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות

	<math>g(0):=\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{f(x)}{x^{n}}=\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dots=\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\~~frac5~~{n!}</math>		<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dots=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>

	כעת <math>\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\~~to 0~~}\frac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=g(0)\~~frac1~~{2^n}</math>		כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=g(0)\frac{1}{2^n}</math>

	=משפט לופיטל והוכחתו=		=משפט לופיטל והוכחתו=
שורה 143:		שורה 140:
	==הוכחה==		==הוכחה==
	נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות		נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
	<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x) & x\ne a\\0 & x=a\end{cases} \quad \tilde{g}=\begin{cases}g(x) & x\ne a\\0 & x=a\end{cases} </math>		<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x) & x\ne a\\0 & x=a\end{cases} \quad \tilde{g}=\begin{cases}g(x) & x\ne a\\0 & x=a\end{cases}</math>

	הגבול של מנתם ב- <math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה <math>1</math>, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math>. על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>		הגבול של מנתם ב- <math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה <math>1</math> , לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>

	ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>.		ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\frac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

	כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.		כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.

יהודה שמחה ב־21:35, 17 בספטמבר 2016

2016-09-17T21:35:10Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה: /* דוגמא 8 */

2016-06-07T11:53:27Z

דוגמא 8

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:53, 7 ביוני 2016
שורה 127:		שורה 127:

	===דוגמא 8===		===דוגמא 8===
	חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]</math>.		חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]</math> .

	זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל		זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
			:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}x\Big(1-\frac{\ln(x)}{x}\Big)=\infty\cdot (1-0)=\infty</math>
	:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-ln(x)\Big] = \lim\limits_{x\to\infty}x\Big(1-\frac{\ln(x)}{x}\Big) = \infty\cdot (1-0)=\infty</math>

	(שוב השתמשנו בדוגמא 1).		(שוב השתמשנו בדוגמא 1).


	==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==		==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==

יהודה שמחה ב־16:53, 26 בינואר 2016

2016-01-26T16:53:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:53, 26 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	=כלל לופיטל=		=כלל לופיטל=
	תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in \R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש		תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math>. ותהי נקודה <math>x_0\in \R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש
	:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>		:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>
	:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>		:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
שורה 151:		שורה 151:
	נפריד אותו לחלקים באופן הבא:		נפריד אותו לחלקים באופן הבא:

	:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)} = \lim\limits_{x\to 0}\Big(\frac{\sin(x)}{x}\Big)^3\cdot\frac{ln(x+1)}{x}\cdot \Big(\frac{x}{\arctan(x)}\Big)^2\cdot\cos(x)</math>		:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)} = \lim\limits_{x\to 0}\Big(\frac{\sin(x)}{x}\Big)^3\cdot\frac{\ln(x+1)}{x}\cdot \Big(\frac{x}{\arctan(x)}\Big)^2\cdot\cos(x)</math>

	במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.		במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.