מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב - היסטוריית גרסאות

לב זלוטניק: /* פתרון */

2012-04-20T08:11:34Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:11, 20 באפריל 2012
שורה 85:		שורה 85:

	===פתרון===		===פתרון===
			.... -_-

לב זלוטניק: /* פתרון */

2012-04-19T21:25:14Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:25, 19 באפריל 2012
שורה 66:		שורה 66:
	לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.		לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.

	לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש.		לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow f(x)</math> וקיבלנו את הדרוש.

	ב.		ב.

ארז שיינר: /* שאלה 6 */

2012-04-19T21:04:51Z

שאלה 6

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:04, 19 באפריל 2012
שורה 83:		שורה 83:
	=שאלה 6=		=שאלה 6=
	השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.		השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.

			===פתרון===

ארז שיינר: /* שאלה 2 */

2012-04-19T21:04:20Z

שאלה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:04, 19 באפריל 2012
שורה 8:		שורה 8:

	ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>		ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>

			===פתרון===

			א.

			<math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3</math>

			הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.

			ב.

			אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים '''שונים''' של הסדרה.

	=שאלה 3=		=שאלה 3=

ארז שיינר: /* שאלה 1 */

2012-04-19T20:56:58Z

שאלה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:56, 19 באפריל 2012
שורה 1:		שורה 1:
	=שאלה 1=		=שאלה 1=
	צטטו והוכיחו את משפט ~~ליבניץ (או משפט ליפשיץ)~~ על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.		צטטו והוכיחו את [[משפט לייבניץ]] על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

	=שאלה 2=		=שאלה 2=

ארז שיינר: /* שאלה 3 */

2012-04-19T20:55:42Z

שאלה 3

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:55, 19 באפריל 2012
שורה 15:		שורה 15:

	ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>		ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>


			===פתרון===

			א.

			נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של

			::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}</math>

			וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.

			ב.

			<math>\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}</math>

			וזה קטן או שווה לטור '''המתכנס''':

			::<math>\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}</math>

	=שאלה 4=		=שאלה 4=

ארז שיינר: /* שאלה 5 */

2012-04-19T20:47:13Z

שאלה 5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:47, 19 באפריל 2012
שורה 43:		שורה 43:
	=שאלה 5=		=שאלה 5=
	הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.		הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.

			===פתרון===

			בכל קטע מהצורה <math>(\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1))</math> הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.

			הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה <math>h(x)=tan(x)-x</math> מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי [[משפט ערך הביניים]] מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.

	=שאלה 6=		=שאלה 6=
	השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.		השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.

ארז שיינר: /* שאלה 4 */

2012-04-19T20:44:05Z

שאלה 4

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:44, 19 באפריל 2012
שורה 17:		שורה 17:

	=שאלה 4=		=שאלה 4=
	~~===סעיף~~ א~~===~~
			א.

	הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל		הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל
	<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.		<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.


	'''פתרון.~~'''~~		ב.

			הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים
			<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.


			===פתרון===
			א.

	לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.		לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.

	לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש.		לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש.

	~~===סעיף~~ ב~~===~~		ב.
	~~הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון~~. ~~ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים~~
	~~<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה~~ בכל ~~<math>x \in \mathbb{R}</math>~~.		ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.

	=שאלה 5=		=שאלה 5=

ארז שיינר: /* סעיף א */

2012-04-19T20:39:37Z

סעיף א

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:39, 19 באפריל 2012
שורה 20:		שורה 20:
	הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל		הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל
	<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.		<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.


			'''פתרון.'''
			לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.

			לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש.

	===סעיף ב===		===סעיף ב===
	הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים		הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים

לב זלוטניק: יצירת דף עם התוכן "=שאלה 1= צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. א..."

2012-04-19T19:33:51Z

יצירת דף עם התוכן "=שאלה 1= צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. א..."

דף חדש

=שאלה 1=
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

=שאלה 2=
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. <math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}</math>

ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>

=שאלה 3=
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. <math>\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}}</math>

ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>

=שאלה 4=
===סעיף א===
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.
===סעיף ב===
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים
<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.

=שאלה 5=
הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.

=שאלה 6=
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.