מרחב ניצב - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* משפט הפירוק הניצב */

2012-12-25T16:21:09Z

משפט הפירוק הניצב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:21, 25 בדצמבר 2012
שורה 12:		שורה 12:
	===משפט הפירוק הניצב===		===משפט הפירוק הניצב===
	יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math>		יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב הוכיחו כי <math>U\oplus U^\perp = V</math>

			===0===
			יהי V מרחב מכפלה פנימית, ותהי <math>S\subseteq V</math>. '''הוכח/הפרך:''' <math>(S^\perp)^\perp=S</math>

	===1===		===1===

ארז שיינר: /* 2 */

2012-12-25T12:18:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:18, 25 בדצמבר 2012
שורה 66:		שורה 66:

	ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math>		ג. <math>(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp</math>



			'''פתרון:'''


			א. '''הפרכה''':

			<math>U=\{0\},W=V</math>


			ב. '''הוכחה''':

			<math>\supseteq</math>

			נניח <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>.

			יהי <math>u+w\in U+W</math> לכן:

			::<math><v,u+w>=<v,u>+<v,w>=0</math>

			כיוון ש <math>v\in U^\perp</math> וגם <math>v\in W^\perp</math>

			ולכן <math>v\in (U+W)^\perp</math>



			<math>\subseteq</math>

			נניח <math>v\in (U+W)^\perp</math>.

			יהי <math>u\in U</math> לכן בפרט <math>u\in U+W</math> ולכן <math><v,u>=0</math>

			לכן <math>v\in U^\perp</math> ובאופן דומה <math>v\in W^\perp</math>

			סה"כ <math>v\in U^\perp\cap W^\perp</math>




			ג. '''הפרכה''':

			<math>U=\{0\},W=V</math>

	===3===		===3===

ארז שיינר: /* 3 */

2012-12-25T12:13:03Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:13, 25 בדצמבר 2012
שורה 69:		שורה 69:
	===3===		===3===
	יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math>		יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>U\oplus W = V</math>. '''הוכיחו/הפריכו''' <math>U^\perp = W</math>


			'''הפרכה:'''
			<math>U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}</math>

ארז שיינר: /* 1 */

2012-12-25T12:12:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:12, 25 בדצמבר 2012
שורה 39:		שורה 39:

	לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>		לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>


			ג.

			נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>.

			לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math>


			ד.

			כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>.

			כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים

			::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math>

			כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math>

	===2===		===2===

ארז שיינר: /* 1 */

2012-12-25T12:07:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:07, 25 בדצמבר 2012
שורה 24:		שורה 24:
	ד. לכל קבוצה <math>S\subseteq V</math> מתקיים <math>\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp</math>		ד. לכל קבוצה <math>S\subseteq V</math> מתקיים <math>\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp</math>


			'''פתרון:'''

			א.

			<math>\{0\}^\perp = \{v\in V\|<v,0>=0\}=V</math>


			ב.

			<math>V^\perp = \{w\in V\|\forall v\in V:<w,v>=0\}</math>

			אם כך, נניח <math>w\in V^\perp</math>, כיוון <math>w\in V</math> מתקיים ביחד <math><w,w>=0</math> ולפי אי שליליות <math>w=0</math>

			לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>

	===2===		===2===

ארז שיינר: /* 1 */

2012-12-24T12:10:29Z

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 ==תרגילים==
 ===1===
@@ שורה 20: / שורה 23: @@
 ד. לכל קבוצה <math>S\subseteq V</math> מתקיים <math>\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp</math>

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי '''קבוצת''' וקטורים $S\subseteq V$ . אזי הקבוצה :: $S^\p..."$

2012-12-24T11:59:57Z

יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי '''קבוצת''' וקטורים <math>S\subseteq V</math>. אזי הקבוצה ::<math>S^\p..."

דף חדש

==הגדרה==
יהי מרחב [[מכפלה פנימית]] V ותהי '''קבוצת''' וקטורים <math>S\subseteq V</math>. אזי הקבוצה

::<math>S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:<v,s>=0\}</math>

הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל <math>S^\perp</math> '''המרחב הניצב''' ל-S

==תרגילים==

===1===
יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. <math>\{0\}^\perp=V</math>

ב. <math>V^\perp = \{0\}</math>

ג. אם <math>S_1\subseteq S_2\subseteq V</math> אזי <math>S_2^\perp\subseteq S_1^\perp</math>

ד. לכל קבוצה <math>S\subseteq V</math> מתקיים <math>\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp</math>

מרחב ניצב - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* משפט הפירוק הניצב */

ארז שיינר: /* 2 */

ארז שיינר: /* 3 */

ארז שיינר: /* 1 */

ארז שיינר: /* 1 */

ארז שיינר: /* 1 */

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי '''קבוצת''' וקטורים S\subseteq V. אזי הקבוצה ::S^\p..."

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי '''קבוצת''' וקטורים $S\subseteq V$ . אזי הקבוצה :: $S^\p..."$