משפטי אי השלימות של גדל (Gödel) - היסטוריית גרסאות

עוזי ו. ב־13:12, 28 באפריל 2020

2020-04-28T13:12:46Z

עוזי ו. ב־22:32, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T22:32:30Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:32, 15 בפברואר 2012
שורה 25:		שורה 25:

	[[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל\|הוכחת המשפט]]		[[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל\|הוכחת המשפט]]

			[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]

ארז שיינר ב־20:48, 4 בנובמבר 2011

2011-11-04T20:48:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:48, 4 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	חזרה ל[[משפטים]]		חזרה ל[[משפטים]]


	[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.		[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.

ארז שיינר ב־20:48, 4 בנובמבר 2011

2011-11-04T20:48:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:48, 4 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[משפטים]]

	[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.		[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.

ארז שיינר ב־14:27, 12 באוקטובר 2011

2011-10-12T14:27:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:27, 12 באוקטובר 2011
שורה 8:		שורה 8:

	'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.		'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.

			===משפט אי השלימות הראשון של גדל===
			::--מערכת אקסיומתית ראוייה הינה שלימה אם"ם אם היא אינה עקבית.

			במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה.

			[[הוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל\|הוכחת המשפט]]

			===משפט אי השלימות השני של גדל===
			::--מערכת אקסיומתית ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה)

			במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין לנו דרך להיות בטוחים בכך מעבר ל'''אמונה'''.

			[[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל\|הוכחת המשפט]]

ארז שיינר ב־14:15, 12 באוקטובר 2011

2011-10-12T14:15:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:15, 12 באוקטובר 2011
שורה 3:		שורה 3:
	למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6\|עוצמות]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:11BdidaTargil5.pdf\|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.		למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6\|עוצמות]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:11BdidaTargil5.pdf\|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.

	'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של ~~המתמטיקה~~ (המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)		'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)

	'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שניתן להוכחה וגם השלילה שלו ניתנת להוכחה.		'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שניתן להוכחה וגם השלילה שלו ניתנת להוכחה.

	'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.		'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.

ארז שיינר ב־14:03, 12 באוקטובר 2011

2011-10-12T14:03:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:03, 12 באוקטובר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]].		[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.

			למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6\|עוצמות]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:11BdidaTargil5.pdf\|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.

			'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של המתמטיקה (המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)

			'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שניתן להוכחה וגם השלילה שלו ניתנת להוכחה.

			'''הגדרה:''' מערכת אקסיומתית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקור..."

2011-10-12T13:05:21Z

יצירת דף עם התוכן "[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקור..."

דף חדש

[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]].

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:12, 28 באפריל 2020
שורה 2:		שורה 2:


	[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] ~~הינה~~ שפת הבסיס של ~~המתמטיקטים~~ כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה ~~המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים~~ ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.		[http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic לוגיקה מסדר ראשון] היא שפת הבסיס של המתמטיקה, כפי שלמדנו בקורס [[88-101 חשיבה מתמטית]]. זו שפה הבנויה מפסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"), המחוברים באמצעות קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה) וכמתים (לכל, קיים). '''הוכחה''' בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.

	למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6\|~~עוצמות~~]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:11BdidaTargil5.pdf\|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.		למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 6\|עוצמה]]. כמו כן, ראינו ב[[מדיה:11BdidaTargil5.pdf\|תרגיל]] כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.

	'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)		'''הגדרה:''' בלוגיקה מסדר ראשון, '''מערכת אקסיומטית ראוייה''' הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים '''אקסיומות''' המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (אלו המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)

	'''הגדרה:''' מערכת ~~אקסיומתית~~ נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה ~~שניתן להוכחה~~ וגם השלילה שלו ~~ניתנת~~ להוכחה.		'''הגדרה:''' מערכת אקסיומטית נקראת '''עקבית''' אם לא קיים משפט בתאוריה שגם הוא וגם השלילה שלו ניתנים להוכחה.

	'''הגדרה:''' מערכת ~~אקסיומתית~~ נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.		'''הגדרה:''' מערכת אקסיומטית נקראת '''שלימה''' אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.

	===משפט אי השלימות הראשון של גדל===		===משפט אי השלימות הראשון של גדל===
	::--מערכת ~~אקסיומתית~~ ראוייה ~~הינה~~ שלימה אם"ם אם היא אינה עקבית.		::--מערכת אקסיומטית ראוייה היא שלימה אם ורק אם היא אינה עקבית.

	במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה.		במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה.
שורה 20:		שורה 20:

	===משפט אי השלימות השני של גדל===		===משפט אי השלימות השני של גדל===
	::--מערכת ~~אקסיומתית~~ ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה)		::--מערכת אקסיומטית ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה)

	במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין ~~לנו~~ דרך ~~להיות בטוחים בכך מעבר ל'''אמונה'''~~.		במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין דרך להוכיח את העקביות הזו בתוך התאוריה.

	[[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל\|הוכחת המשפט]]		[[הוכחת משפט אי השלימות השני של גדל\|הוכחת המשפט]]

	[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]		[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]