משפט ז'ורדן - היסטוריית גרסאות

רגב991: /* תכונות של מטריצת ז'ורדן */

2022-12-08T10:06:58Z

תכונות של מטריצת ז'ורדן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:06, 8 בדצמבר 2022
שורה 18:		שורה 18:
	תהי מטריצה <math>A</math> הניתנת לז'ירדון. אזי:		תהי מטריצה <math>A</math> הניתנת לז'ירדון. אזי:
	*כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.		*כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.
	*גודל ~~בולק~~ הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.		*גודל בלוק הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.

	'''דוגמא'''		'''דוגמא'''

איתן799: /* משפט ז'ורדן */

2020-12-02T13:44:50Z

משפט ז'ורדן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:44, 2 בדצמבר 2020
שורה 12:		שורה 12:

	==משפט ז'ורדן==		==משפט ז'ורדן==
	תהי A מטריצה ריבועית, כך ש[[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן.		תהי A מטריצה ריבועית, כך ש[[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ז'ורדן.
	בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.		בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

ארז שיינר: /* תכונות של מטריצת ז'ורדן */

2013-11-19T14:55:14Z

תכונות של מטריצת ז'ורדן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:55, 19 בנובמבר 2013
שורה 30:		שורה 30:
	*<math>J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)</math>		*<math>J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)</math>


			'''דוגמא'''

			הוכיחו כי כל מטריצה דומה למשוחלפת של עצמה.

	'''דוגמא'''		'''דוגמא'''

ארז שיינר: /* תכונות של מטריצת ז'ורדן */

2013-11-19T14:54:34Z

תכונות של מטריצת ז'ורדן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:54, 19 בנובמבר 2013
שורה 43:		שורה 43:
	*<math>J_3(0)\oplus J_3(0) \oplus J_1(0)</math>		*<math>J_3(0)\oplus J_3(0) \oplus J_1(0)</math>
	*<math>J_3(0)\oplus J_2(0) \oplus J_2(0)</math>		*<math>J_3(0)\oplus J_2(0) \oplus J_2(0)</math>


			'''דוגמא'''

			תהיינה שתי מטריצות משולשיות עליונות עם אותו מספר קבוע על האלכסון, כך שכל הקבועים באלכסון המשני גדולים ממש מאפס. הוכיחו כי הן דומות.

	==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==		==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==

ארז שיינר: /* תכונות של מטריצת ז'ורדן */

2013-11-19T14:52:56Z

תכונות של מטריצת ז'ורדן

@@ שורה 29: / שורה 29: @@
 *<math>J_2(1)\oplus J_2(1) \oplus J_3(2)</math>
 *<math>J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)</math>
 ==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==

ארז שיינר: /* משפט ז'ורדן */

2013-11-19T14:50:06Z

משפט ז'ורדן

@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 תהי A מטריצה ריבועית, כך ש[[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן.
 בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.
 ==הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת==

גיא: /* הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת */

2013-02-13T14:23:32Z

הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:23, 13 בפברואר 2013
שורה 19:		שורה 19:
	[[מדיה:JordanAll.pdf\|סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן]]		[[מדיה:JordanAll.pdf\|סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן]]


			[[מדיה:זרדון מטריצה.pdf\|סיכום הכללים, האלגוריתם ודוגמאות על ידי גיא בלשר]] - [[משתמש:גיא\|גיא]]

	==אלגוריתם לז'ירדון מטריצה==		==אלגוריתם לז'ירדון מטריצה==

ארז שיינר: /* אלגוריתם לז'ירדון מטריצה */

2012-12-04T15:20:04Z

אלגוריתם לז'ירדון מטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:20, 4 בדצמבר 2012
שורה 34:		שורה 34:


	:*נמצא בסיס ל <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1})</math>		:*נמצא בסיס ל <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1})</math> באופן הבא:


שורה 46:		שורה 46:


	::*עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול <math>(A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x</math> לבסיס ~~המז'רדן~~ בסדר משמאל לימין.		::*עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול <math>(A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x</math> לבסיס בסדר משמאל לימין.


	*~~אחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי~~ בסיס ~~B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה~~		:*באופן דומה נמצא בסיס עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-2})</math> ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.


	*~~שים~~ את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.		:*נמשיך בתהליך עבור <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-3}),...,V_\lambda</math> עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של <math>\lambda</math>.


			*נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה


			*נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* אלגוריתם לז'ירדון מטריצה */

2012-12-04T15:10:49Z

אלגוריתם לז'ירדון מטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:10, 4 בדצמבר 2012
שורה 25:		שורה 25:


	*~~מצא~~ את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>		*נמצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>


	*עבור כל ע"ע <math>\lambda</math> ~~מצא~~ בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל <math>K_\lambda</math> באופן הבא:		*עבור כל ע"ע <math>\lambda</math> נמצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל <math>K_\lambda</math> באופן הבא:


שורה 34:		שורה 34:


	:*~~נביט במטריצה~~ <math>~~(A-~~\lambda ~~I)^{k-1}</math> ונבחר את עמודות מספר <math>i_1,...,i_p</math> המהוות בסיס למרחב העמודות <math>~~C([A-\lambda I]^{k-1})</math>		:*נמצא בסיס ל <math>V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1})</math>


	:*נפתור את מערכת המשוואות <math>~~x_1AC_~~{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + ~~x_pC_~~{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})</math>		::*נביט במטריצה <math>(A-\lambda I)^{k-1}</math> ונבחר עמודות <math>C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}),...,C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})</math> המהוות בסיס למרחב העמודות <math>C([A-\lambda I]^{k-1})</math>


			::*נפתור את מערכת המשוואות <math>x_1(A-\lambda I)C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + x_p(A-\lambda I)C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})=0</math>


			::*לכל וקטור <math>x=(x_1,...,x_n)</math> בבסיס למרחב הפתרונות למערכת נסמן <math>u_x=x_1e_{i_1}+...+x_pe_{i_p}</math>. '''הערה''': שימו לב כי תמיד מתקיים <math>C_i(A)=Ae_i</math> כאשר <math>e_i</math> הוקטור ה-i בבסיס הסטנדרטי.


			::*עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול <math>(A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x</math> לבסיס המז'רדן בסדר משמאל לימין.

ארז שיינר: /* אלגוריתם לז'ירדון מטריצה */

2012-12-04T14:52:37Z

אלגוריתם לז'ירדון מטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:52, 4 בדצמבר 2012
שורה 24:		שורה 24:
	תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.		תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.

	*מצא את הערכים העצמיים של המטריצה <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>
			*מצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>


	*עבור כל ע"ע <math>\lambda</math> מצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל <math>K_\lambda</math> באופן הבא:		*עבור כל ע"ע <math>\lambda</math> מצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל <math>K_\lambda</math> באופן הבא:


			:*נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק <math>(x-\lambda)</math> בפולינום המינימלי


			:*נביט במטריצה <math>(A-\lambda I)^{k-1}</math> ונבחר את עמודות מספר <math>i_1,...,i_p</math> המהוות בסיס למרחב העמודות <math>C([A-\lambda I]^{k-1})</math>


			:*נפתור את מערכת המשוואות <math>x_1AC_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + x_pC_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})</math>


	*אחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה		*אחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה


	*שים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.		*שים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי <math>J=P^{-1}AP</math> הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.