משפט לגראנז' (אינפי) - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־15:19, 27 בספטמבר 2016

2016-09-27T15:19:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:19, 27 בספטמבר 2016
שורה 12:		שורה 12:
	<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.		<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

	קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0~~</math> ו- <math>g~~</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .		קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .

	אבל:		אבל:

יהודה שמחה ב־15:18, 27 בספטמבר 2016

2016-09-27T15:18:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:18, 27 בספטמבר 2016
שורה 2:		שורה 2:
	תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .		תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .

	אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\~~frac~~{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .		אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>:		נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> :

	:<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}~~\cdot~~ (x-a)</math>		:<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
	נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.		נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
	:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}~~\cdot~~ (x-a)-f(a)</math>		:<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
			<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

	קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> ~~מקיימת את שאר~~ תנאי משפט רול~~. לכן~~ קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. ~~אבל:~~		קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .

	:<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>		אבל:
			:<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>
	כלומר		כלומר
	:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>		:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

יהודה שמחה ב־00:12, 27 בינואר 2016

2016-01-27T00:12:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:12, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:


	==משפט לגראנז'==		==משפט לגראנז'==
	תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.		תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .

	~~אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>~~

			אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .

	===הוכחה===		===הוכחה===
			נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>:

	~~נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:~~		:<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math>
			נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
	::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>		:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a)</math>

	נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה ~~הרצוייה~~.


	::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>


	קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:


	::<math>0=g'(c)=f'(c)-\~~frac{f~~(b)-f(a)~~}{b-a}~~</math>		קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:

			:<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
	כלומר		כלומר
			:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

	::<math>~~f'(c)=~~\~~frac{f(b)-f(a)}{b-a}~~</math>		כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	~~כפי שרצינו.~~

	~~== ראו גם ==~~

	* [[משפט פרמה (אינפי)\|משפט פרמה]]		==ראו גם==
	* [[משפט רול]]		*[[משפט פרמה (אינפי)\|משפט פרמה]]
			*[[משפט רול]]

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ . אזי קיימת נקודה $c\in (a,b..."$

2012-02-15T01:02:53Z

יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b..."

דף חדש

==משפט לגראנז'==
תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.

אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

===הוכחה===

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:

::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.

::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>

קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:

::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

כלומר

::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

כפי שרצינו.

== ראו גם ==

* [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
* [[משפט רול]]

[[קטגוריה:אינפי]]

משפט לגראנז' (אינפי) - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־15:19, 27 בספטמבר 2016

יהודה שמחה ב־15:18, 27 בספטמבר 2016

יהודה שמחה ב־00:12, 27 בינואר 2016

עוזי ו.: יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע [a,b] וגזירה בקטע (a,b). אזי קיימת נקודה c\in (a,b..."

עוזי ו.: יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ . אזי קיימת נקודה $c\in (a,b..."$