משפט לייבניץ - היסטוריית גרסאות

Avraham816: /* משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים */

2022-07-09T17:51:55Z

משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:51, 9 ביולי 2022
שורה 3:		שורה 3:

	*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס		*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס
	*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le a_{k+1}</math>		*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le \|a_{k+1}\|</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===

יהודה שמחה ב־11:44, 9 בפברואר 2017

2017-02-09T11:44:04Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:44, 9 בפברואר 2017
שורה 2:		שורה 2:
	תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:		תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

	*הטור <math>\~~sum~~\~~limits_~~{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס		*הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס
	*השארית <math>R_k=\~~sum~~\~~limits_~~{n=1}^\infty(-1)^na_n-\~~sum\limits_~~{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le a_{k+1}</math>		*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le a_{k+1}</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===
שורה 10:		שורה 10:
	יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .		יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .

	*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\~~Bigg~~\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\~~Bigg~~\|=\~~Bigg~~\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\~~Bigg~~\|</math>		*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\bigg\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg\|=\bigg\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg\|</math>

	נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:		נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
שורה 23:		שורה 23:
	וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).		וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).

	לפי טיעון דומה, <math>\~~Bigg~~\|\~~sum~~\~~limits_~~{n=k+1}^K (-1)^na_n\~~Bigg~~\|=\~~Bigg~~\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\~~Bigg~~\|\le a_{k+1}</math> ולכן		לפי טיעון דומה, <math>\left\|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right\|=\bigg\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg\|\le a_{k+1}</math> ולכן

	:<math>\|R_k\|=\lim_{K\to\infty}\~~Bigg~~\|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\~~Bigg~~\|\le a_{k+1}</math>		:<math>\|R_k\|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left\|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right\|\le a_{k+1}</math>

	כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>		כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־12:44, 4 בנובמבר 2016

2016-11-04T12:44:47Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:44, 4 בנובמבר 2016
שורה 3:		שורה 3:

	*הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס		*הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
	*השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le a_{k+1}</math>		*השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le a_{k+1}</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.		נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

	יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.		יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> .

	*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\Bigg\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg\|=\Bigg\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg\|</math>		*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\Bigg\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg\|=\Bigg\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg\|</math>

יהודה שמחה ב־04:04, 20 ביולי 2016

2016-07-20T04:04:18Z

יהודה שמחה ב־21:17, 27 בינואר 2016

2016-01-27T21:17:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:17, 27 בינואר 2016
שורה 20:		שורה 20:
	:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>		:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
	וכן הלאה עד שנקבל		וכן הלאה עד שנקבל
	:<math>\|S_m-S_n\|<a_{n+1}</math>		:<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|<a_{n+1}</math>

	וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).		וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).

יהודה שמחה ב־21:16, 27 בינואר 2016

2016-01-27T21:16:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:16, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==		==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==

	תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:		תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

	*הטור <math>\~~sum_~~{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס		*הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
	*השארית <math>R_k=\~~sum_~~{n=1}^\infty (-1)^na_n-\~~sum_~~{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\~~leq~~ a_{k+1}</math>		*השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>\|R_k\|\le a_{k+1}</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור ~~הינה~~ סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.		נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

	יהי ~~אפסילון גדול מאפס~~, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן ~~מאפסילון~~.		יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.

	*<math>\|S_m-S_n\|=\|(-1)^ma_m+~~...~~+(-1)^{n+1}a_{n+1}\|=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-~~...~~\| </math>		*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\Bigg\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg\|=\Bigg\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg\|</math>

	נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:		נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
			:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
	::<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>

	לכן		לכן
			:<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>
	::<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>

	כלומר		כלומר
			:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>
	::<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>

	וכן הלאה עד שנקבל		וכן הלאה עד שנקבל
			:<math>\|S_m-S_n\|<a_{n+1}</math>

	~~::<math>\|S_m-S_n\|<a_{n+1}</math>~~		וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).


	~~וכיוון~~ ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן ~~מאפסילון~~ (ללא תלות ב-m).


	לפי טיעון דומה, <math>\|\~~sum_~~{n=k+1}^K (-1)^na_n\|=\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-~~...~~\|\~~leq~~ a_{k+1}</math> ולכן		לפי טיעון דומה, <math>\Bigg\|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg\|=\Bigg\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg\|\le a_{k+1}</math> ולכן

	::<math>\|R_k\|=\lim_{K\~~rightarrow~~ \infty}\|\~~sum_~~{n=k+1}^K (-1)^na_n\|\~~leq~~ a_{k+1}</math>		:<math>\|R_k\|=\lim_{K\to\infty}\Bigg\|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg\|\le a_{k+1}</math>

	כפי שרצינו.		כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:07, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:07:04Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:07, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	~~[[משפטים/אינפי\|חזרה למשפטים באינפי]]~~

	==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==		==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==

שורה 40:		שורה 38:

	כפי שרצינו.		כפי שרצינו.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/משפט לייבניץ הועבר למשפט לייבניץ

2012-02-15T00:57:05Z

משפטים/אינפי/משפט לייבניץ הועבר למשפט לייבניץ

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:57, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* הוכחה */

2012-02-02T10:37:04Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:37, 2 בפברואר 2012
שורה 9:		שורה 9:

	===הוכחה===		===הוכחה===
			נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

			יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילון.

			*<math>\|S_m-S_n\|=\|(-1)^ma_m+...+(-1)^{n+1}a_{n+1}\|=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-...\| </math>

			נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:

			::<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>

			לכן

			::<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math>

			כלומר

			::<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math>

			וכן הלאה עד שנקבל

			::<math>\|S_m-S_n\|<a_{n+1}</math>


			וכיוון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון (ללא תלות ב-m).


			לפי טיעון דומה, <math>\|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n\|=\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-...\|\leq a_{k+1}</math> ולכן

			::<math>\|R_k\|=\lim_{K\rightarrow \infty}\|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n\|\leq a_{k+1}</math>

			כפי שרצינו.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== תהי $a_n$ ..."

2012-02-02T09:56:48Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== תהי <math>a_n</math>..."

דף חדש

[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]

==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==

תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

*הטור <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס
*השארית <math>R_k=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\leq a_{k+1}</math>

===הוכחה===

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:04, 20 ביולי 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==		==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים==

	תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:		תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:

שורה 9:		שורה 8:
	נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.		נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

	יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני ~~איברים~~ קטן מ- <math>\epsilon</math>.		יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>.

	*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\Bigg\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg\|=\Bigg\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg\|</math>		*<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|=\Bigg\|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg\|=\Bigg\|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg\|</math>

	נראה כי כל ~~איבר~~ "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:		נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
	:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>		:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>
	לכן		לכן
שורה 22:		שורה 21:
	:<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|<a_{n+1}</math>		:<math>\Big\|S_m-S_n\Big\|<a_{n+1}</math>

	וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום ~~מסויים~~ זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).		וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>).

	לפי טיעון דומה, <math>\Bigg\|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg\|=\Bigg\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg\|\le a_{k+1}</math> ולכן		לפי טיעון דומה, <math>\Bigg\|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg\|=\Bigg\|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg\|\le a_{k+1}</math> ולכן