משפט ערך הביניים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־15:39, 8 בנובמבר 2016

2016-11-08T15:39:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:39, 8 בנובמבר 2016
שורה 2:		שורה 2:
	<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>		<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>~~\alpha~~</math> ~~בין~~ <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=~~\alpha~~</math> .		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>f(a)<y<f(b)</math> או <math>f(a)>y>f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=y</math> .

	===הוכחה===		===הוכחה===
שורה 12:		שורה 12:

	'''הוכחה:'''		'''הוכחה:'''
	נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.		נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0</math> סיימנו.

	אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.		אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right]</math> או <math>I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

	נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).		נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).

	אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n=\lim b_n=c\in[a,b]</math>		אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b]</math>

	כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה		כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
	:<math>f(c)=\lim f(~~a_n~~)=~~\lim~~ f(~~b_n~~)</math> .		:<math>\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c)</math>

	אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר		אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
שורה 28:		שורה 28:


	כעת נשוב למקרה הכללי. ~~נביט בפונקציה~~ <math>~~g(x)=~~f(x)~~-\alpha~~<~~/math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>~~f~~(a),f(b)</math> ברור כי~~		כעת נשוב למקרה הכללי. נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>f(a)<f(b)</math> .
	~~<math>g(a)\cdot g~~(b)~~< 0~~</math> .

	לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c</math> ~~בקטע~~ כך ש- <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=~~\alpha~~</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>		נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-y</math> . כיון ש- <math>y</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי <math>g(a)\cdot g(b)<0</math> .

			לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>g(c)=0</math> , כלומר <math>f(c)=y</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־11:44, 7 ביוני 2016

2016-06-07T11:44:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:44, 7 ביוני 2016
שורה 2:		שורה 2:
	<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>		<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math>		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math> .

	===הוכחה===		===הוכחה===
	ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:		ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math> . אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .

	כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math>.)		כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math> .)

	'''הוכחה:'''		'''הוכחה:'''
שורה 18:		שורה 18:
	נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).		נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).

	אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math>		אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n=\lim b_n=c\in[a,b]</math>

	כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה		כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה
			:<math>f(c)=\lim f(a_n)=\lim f(b_n)</math> .
	::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.

	אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר		אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר
			:<math>f(c)=0</math>
	::<math>f(c)=0</math>

	כפי שרצינו.		כפי שרצינו.


	כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alpha</math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי		כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alpha</math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי
	<math>g(a)\cdot g(b)< 0</math>.		<math>g(a)\cdot g(b)< 0</math> .

	לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c</math> בקטע כך ש- <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>		לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c</math> בקטע כך ש- <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־16:32, 27 בינואר 2016

2016-01-27T16:32:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:32, 27 בינואר 2016
שורה 2:		שורה 2:
	<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>		<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math>		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===

יהודה שמחה ב־23:32, 26 בינואר 2016

2016-01-26T23:32:38Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:32, 26 בינואר 2016
שורה 7:		שורה 7:
	ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:		ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)\cdot f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .

	כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר </math>x</math>.)		כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר <math>x</math>.)

	'''הוכחה:'''		'''הוכחה:'''
	נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.		נגדיר <math>I_1=[a,b]</math> . כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.

	אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.		אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

יהודה שמחה ב־23:31, 26 בינואר 2016

2016-01-26T23:31:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:31, 26 בינואר 2016
שורה 2:		שורה 2:
	<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>		<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=\alpha</math>		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=\alpha</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===

	ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:		ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע </math>[a,b]</math>. אזי אם <math>f(a)f(b)<0</math> קיימת <math>c\in [a,b]</math> כך ש- <math>f(c)=0</math> .

	כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי ~~לבין נקודה~~ בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא ~~יכול~~ "לדלג" על ציר x.)		כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר </math>x</math>.)

			'''הוכחה:'''
			נגדיר <math>I_1=[a,b]</math>. כעת, אם <math>f(\tfrac{a+b}{2})=0</math> סיימנו.

	~~'''הוכחה.'''~~		אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\tfrac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\tfrac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.
	~~נגדיר~~ <math>~~I_1~~=[a,b]</math>~~. כעת, אם~~ <math>f(\~~frac~~{a+b}{2}~~)=0~~</math> ~~סיימנו~~.

	אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח <math>I_2=[a,\frac{a+b}{2}]</math> או <math>I_2=[\frac{a+b}{2},b]</math> כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.		נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).

	נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך ~~בשתים כל~~ פעם).

	אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math>		אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math>

	כעת, ~~כיוון~~ שהפונקציה רציפה, לפי היינה		כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה

	::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.		::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.

	אבל ~~כיוון~~ שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר		אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר

	::<math>f(c)=0</math>		::<math>f(c)=0</math>
שורה 33:		שורה 31:


			כעת נשוב למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alpha</math>. כיון ש- <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> ברור כי
			<math>g(a)\cdot g(b)< 0</math>.

	~~כעת נחזור למקרה הכללי. נביט בפונקציה <math>g(x)=f(x)-\alpha</math>. כיוון ש <math>\alpha</math> בין <math>f(a)~~,~~f(b)~~</math> ~~ברור כי~~		לפי המשפט לעיל, קיימת <math>c</math> בקטע כך ש- <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
	~~<math>g(a)g(b)< 0~~</math>.

	~~לפי המשפט לעיל, קיימת c~~ בקטע כך ש <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

ארז שיינר ב־07:44, 23 בדצמבר 2012

2012-12-23T07:44:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:44, 23 בדצמבר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	==משפט ערך הביניים==		==משפט ערך הביניים==
			<videoflash>NxqtPr0wWJg</videoflash>

	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=\alpha</math>		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=\alpha</math>

Eitan110: /* הוכחה */

2012-04-19T07:26:27Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:26, 19 באפריל 2012
שורה 18:		שורה 18:
	נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתים כל פעם).		נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתים כל פעם).

	אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math>		אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math>, היא מקיימת את [[הלמה של קנטור]] ויש נקודת גבול משותפת <math>\lim a_n = \lim b_n = c\in [a,b]</math>

	כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה		כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה

עוזי ו. ב־00:59, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T00:59:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:59, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	~~[[משפטים/אינפי\|חזרה למשפטים באינפי]]~~

	==משפט ערך הביניים==		==משפט ערך הביניים==
	תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=\alpha</math>		תהי <math>f</math> פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל <math>\alpha</math> בין <math>f(a),f(b)</math> קיימת <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=\alpha</math>
שורה 38:		שורה 36:

	לפי המשפט לעיל, קיימת c בקטע כך ש <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו.		לפי המשפט לעיל, קיימת c בקטע כך ש <math>g(c)=0</math> כלומר, <math>f(c)=\alpha</math> כפי שרצינו.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/ערך הביניים הועבר למשפט ערך הביניים

2012-02-15T00:57:42Z

משפטים/אינפי/ערך הביניים הועבר למשפט ערך הביניים

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:57, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר ב־10:54, 2 בפברואר 2012

2012-02-02T10:54:43Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:54, 2 בפברואר 2012
שורה 24:		שורה 24:
	כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה		כעת, כיוון שהפונקציה רציפה, לפי היינה

	::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>. אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר		::<math>f(c)=\lim f(a_n) = \lim f(b_n)</math>.

			אבל כיוון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר

	::<math>f(c)=0</math>		::<math>f(c)=0</math>