משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים - היסטוריית גרסאות

אור שחף ב־14:21, 6 במרץ 2019

2019-03-06T14:21:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:21, 6 במרץ 2019
שורה 25:		שורה 25:
	*אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> .		*אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> .
	*הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.		*הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
	*'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b[f+cg]=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .		*'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
	*'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> .		*'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> .
	:*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> .		:*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> .
שורה 38:		שורה 38:
	:*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>		:*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
	*'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .		*'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .
	:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f~~(g(x))dg~~</math>		:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f</math>
	*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.		*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
	*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> .		*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> .

יהודה שמחה ב־16:23, 13 באוקטובר 2016

2016-10-13T16:23:51Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־20:53, 20 בספטמבר 2016

2016-09-20T20:53:25Z

הצגת שינויים

יאיר81: /* טורים */

2016-06-02T20:30:39Z

טורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:30, 2 ביוני 2016
שורה 88:		שורה 88:
	* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.		* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
	* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.		* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.
	* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת ~~פוקציות~~ בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.		* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.

	====טורי חזקות====		====טורי חזקות====
	* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\|a_n\|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>\|x-x_0\|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>\|x-x_0\|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.		* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\|a_n\|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>\|x-x_0\|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>\|x-x_0\|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.
	* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{\|a_n\|}{\|a_{n+1}\|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.		* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{\|a_n\|}{\|a_{n+1}\|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.
	* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא ~~פונציה~~ המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.		* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונקציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.
	:* {{הערה\|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.		:* {{הערה\|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.
	* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.		* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.

אור שחף: /* השתנות חסומה */ שינוי משני מאוד

2011-10-20T15:58:06Z

השתנות חסומה: שינוי משני מאוד

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:58, 20 באוקטובר 2011
שורה 104:		שורה 104:
	* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש <math>g,h</math> מונוטוניות עולות בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.		* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש <math>g,h</math> מונוטוניות עולות בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.
	* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.		* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
	* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.		* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

אור שחף ב־18:52, 30 באוגוסט 2011

2011-08-30T18:52:05Z

הצגת שינויים

אור שחף ב־18:50, 28 באוגוסט 2011

2011-08-28T18:50:02Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:50, 28 באוגוסט 2011
שורה 72:		שורה 72:
	* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left\|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right\|<\varepsilon</math>.		* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left\|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right\|<\varepsilon</math>.
	* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b \|f\|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.		* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b \|f\|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.

			=סדרות וטורים של פונקציות=
			==התכנסות במ"ש==
			===סדרות===
			* <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ \|f(x)-f_n(x)\|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|=0</math>.
			* נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
			* <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.
			* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>.
			* סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \|f_n(x)-f_m(x)\|<\varepsilon</math>.
			===טורים===
			* טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>.
			* '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ \|f_n(x)\|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>
			* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
			* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.
			* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.

			==טורי חזקות==
			* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\|a_n\|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>\|x-x_0\|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>\|x-x_0\|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.
			* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{\|a_n\|}{\|a_{n+1}\|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.
			* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.
			:* {{הערה\|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.
			* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.
			* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>.
			* '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I\ne\varnothing</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.
			* '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו.
			* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש.

			=השתנות חסומה=
			* תהנה <math>g,h</math> פונקציות מונוטוניות עולות ב-<math>[a,b]</math> ונגדיר <math>f=g-h</math> בקטע. אזי ל-<math>f</math> יש השתנות חסומה בקטע.
			* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי קיימות פונקציות מונוטוניות עולות <math>g,h</math> בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.
			* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
			* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

אור שחף ב־10:13, 28 ביולי 2011

2011-07-28T10:13:31Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:13, 28 ביולי 2011
שורה 64:		שורה 64:
	* '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.		* '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
	* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.		* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
	* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>, <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.		* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>, <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math>.
	* תהי <math>f</math> מונוטונית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב-<math>(a,b]</math>.		* תהי <math>f</math> מונוטונית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב-<math>(a,b]</math>.
	* אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.		* אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.

אור שחף: /* אינטגרלים */

2011-07-27T13:21:45Z

אינטגרלים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:21, 27 ביולי 2011
שורה 44:		שורה 44:
	* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.		* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
	* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.		* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
	* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית ~~חסומה ע"י~~ <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math>.		* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math>.
	* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left\|f'(x)\right\|</math>.		* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left\|f'(x)\right\|</math>.
	* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left\|f''(x)\right\|</math>.		* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left\|f''(x)\right\|</math>.

אור שחף ב־17:09, 25 ביולי 2011

2011-07-25T17:09:12Z

הצגת שינויים