משתמש:איתמר שטיין - היסטוריית גרסאות

איתמר שטיין ב־18:11, 20 בפברואר 2014

2014-02-20T18:11:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:11, 20 בפברואר 2014
שורה 3:		שורה 3:

	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)


	~~[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 2]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg3sol.pdf \| פתרון 3]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg4sol.pdf \| פתרון 4]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg5sol.pdf \| פתרון 5]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg6sol.pdf \| פתרון 6]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg7sol.pdf \| פתרון 7]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg8sol.pdf \| פתרון 8]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg9sol.pdf \| פתרון 9]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg10sol.pdf \| פתרון 10]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg11sol.pdf \| פתרון 11]]~~

איתמר שטיין ב־18:08, 20 בפברואר 2014

2014-02-20T18:08:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:08, 20 בפברואר 2014
שורה 6:		שורה 6:

	[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]		[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]
	[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 1]]
			[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 2]]

			[[מדיה:Complextarg3sol.pdf \| פתרון 3]]

			[[מדיה:Complextarg4sol.pdf \| פתרון 4]]

			[[מדיה:Complextarg5sol.pdf \| פתרון 5]]

			[[מדיה:Complextarg6sol.pdf \| פתרון 6]]

			[[מדיה:Complextarg7sol.pdf \| פתרון 7]]

			[[מדיה:Complextarg8sol.pdf \| פתרון 8]]

			[[מדיה:Complextarg9sol.pdf \| פתרון 9]]

			[[מדיה:Complextarg10sol.pdf \| פתרון 10]]

			[[מדיה:Complextarg11sol.pdf \| פתרון 11]]

איתמר שטיין ב־18:07, 20 בפברואר 2014

2014-02-20T18:07:14Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:07, 20 בפברואר 2014
שורה 3:		שורה 3:

	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)


			[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]
			[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 1]]

איתמר שטיין ב־14:21, 27 באוגוסט 2013

2013-08-27T14:21:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:21, 27 באוגוסט 2013
שורה 2:		שורה 2:


	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של ~~אגודות~~. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)

איתמר שטיין: /* הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות */

2013-08-27T14:21:21Z

הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:21, 27 באוגוסט 2013
שורה 3:		שורה 3:

	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)


	~~== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==~~

	~~נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).~~

	~~ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).~~



	~~הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:~~


	~~תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.~~

	~~כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.~~

	~~ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.~~

	~~שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.~~


	~~יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.~~

	~~נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.~~

	~~כלומר~~

	~~<math>D=\begin{bmatrix} \|&\|&&\| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ \|&\|&&\| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>~~


	~~נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.~~

	~~כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.~~

	~~נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>~~

	~~כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>~~

	כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} \|&\|&&\| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ \|&\|&&\| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

	~~נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי~~
	~~<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.~~

	~~נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.~~

	~~נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>~~

	~~כלומר <math>DR=A</math>.~~

	~~סוף שלב א'.~~

	~~שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.~~


	~~לפי כפל שורה שורה~~
	~~<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>~~

	~~כלומר~~

	~~<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>~~

	~~לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>~~

	~~ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>~~

	~~(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)~~

	~~זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.~~

	~~סוף שלב ב'~~

	~~שלב ג': סיום.~~


	~~נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>~~

	~~בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן~~

	~~<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.~~

איתמר שטיין: /* הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות */

2013-08-27T14:17:00Z

הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:17, 27 באוגוסט 2013
שורה 6:		שורה 6:

	== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==		== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

	~~למי שביקש ממני היום הוכחה~~

	נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).		נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

איתמר שטיין ב־14:16, 27 באוגוסט 2013

2013-08-27T14:16:41Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:16, 27 באוגוסט 2013
שורה 3:		שורה 3:

	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)


			== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

			למי שביקש ממני היום הוכחה

			נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

			ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).



			הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:


			תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.

			כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.

			ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

			שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.


			יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.

			נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.

			כלומר

			<math>D=\begin{bmatrix} \|&\|&&\| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ \|&\|&&\| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>


			נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.

			כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.

			נסמן <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>

			כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>

			כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} \|&\|&&\| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ \|&\|&&\| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

			נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
			<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.

			נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.

			נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>

			כלומר <math>DR=A</math>.

			סוף שלב א'.

			שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.


			לפי כפל שורה שורה
			<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>

			כלומר

			<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>

			לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>

			ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>

			(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)

			זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.

			סוף שלב ב'

			שלב ג': סיום.


			נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>

			בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן

			<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.

איתמר שטיין ב־07:44, 19 באוגוסט 2013

2013-08-19T07:44:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:44, 19 באוגוסט 2013
שורה 3:		שורה 3:

	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)


	~~===פתרון הבוחן===~~

	~~====סעיף ב====~~
	~~לא נכון. נבחר <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>U=span\{(1,0)\}</math> ו <math>W=span\{(0,1)\}</math>~~

	~~ברור ש <math>(1,0),(0,1)\in U\cup W</math>~~

	~~אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם <math>(1,1)\in U\cup W</math>~~

	~~אבל זה לא נכון. סתירה.~~

איתמר שטיין: /* סעיף ב */

2013-08-16T06:45:32Z

סעיף ב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:45, 16 באוגוסט 2013
שורה 8:		שורה 8:

	====סעיף ב====		====סעיף ב====
			לא נכון. נבחר <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>U=span\{(1,0)\}</math> ו <math>W=span\{(0,1)\}</math>

			ברור ש <math>(1,0),(0,1)\in U\cup W</math>

			אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם <math>(1,1)\in U\cup W</math>

			אבל זה לא נכון. סתירה.

איתמר שטיין: /* שאלה 3 */

2013-08-16T06:43:16Z

שאלה 3

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:43, 16 באוגוסט 2013
שורה 7:		שורה 7:
	===פתרון הבוחן===		===פתרון הבוחן===

	~~===שאלה 3===~~		====סעיף ב====

	====סעיף ~~א====~~

	~~הוכחה: יהי <math>\alpha_1 (v_1+v_2) + \alpha_2(v_2+v_3) +\alpha_3 (v_1+v_3) = 0</math> צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.~~

	~~צריך להוכיח ש <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0</math>.~~

	~~קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל~~

	~~<math>(\alpha_1+\alpha_3) v_1 +(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0</math>~~

	~~היות ו <math>v_1,v_2,v_3</math> בת"ל. נקבל ש~~

	~~<math>\alpha_1+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3=0</math>~~

	~~זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.~~

	~~קל להסיק ממנה ש~~

	~~<math>\alpha_1=-\alpha_2,\quad \alpha_1=-\alpha_3</math>~~

	~~אבל בגלל ש <math>\alpha_2+\alpha_3=0</math>~~

	~~נקבל ש <math>-2\alpha_1=0</math>~~

	~~בגלל שהמאפיין שונה מ <math>2</math> אפשר לחלק~~ ב ~~<math>2</math> ולקבל~~

	~~<math>-\alpha_1~~=~~0</math> כלומר <math>\alpha_1~~=~~0</math>~~

	~~ומכאן ברור גם <math>\alpha_2~~=~~\alpha_3~~=~~0</math>.~~

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:11, 20 בפברואר 2014
שורה 3:		שורה 3:

	לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)		לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)


	~~[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 2]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg3sol.pdf \| פתרון 3]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg4sol.pdf \| פתרון 4]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg5sol.pdf \| פתרון 5]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg6sol.pdf \| פתרון 6]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg7sol.pdf \| פתרון 7]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg8sol.pdf \| פתרון 8]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg9sol.pdf \| פתרון 9]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg10sol.pdf \| פתרון 10]]~~

	~~[[מדיה:Complextarg11sol.pdf \| פתרון 11]]~~

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:08, 20 בפברואר 2014
שורה 6:		שורה 6:

	[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]		[[מדיה:Complextarg1sol.pdf \| פתרון 1]]
	[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 1]]
			[[מדיה:Complextarg2sol.pdf \| פתרון 2]]

			[[מדיה:Complextarg3sol.pdf \| פתרון 3]]

			[[מדיה:Complextarg4sol.pdf \| פתרון 4]]

			[[מדיה:Complextarg5sol.pdf \| פתרון 5]]

			[[מדיה:Complextarg6sol.pdf \| פתרון 6]]

			[[מדיה:Complextarg7sol.pdf \| פתרון 7]]

			[[מדיה:Complextarg8sol.pdf \| פתרון 8]]

			[[מדיה:Complextarg9sol.pdf \| פתרון 9]]

			[[מדיה:Complextarg10sol.pdf \| פתרון 10]]

			[[מדיה:Complextarg11sol.pdf \| פתרון 11]]