פונקציה רציפה במידה שווה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־05:16, 19 ביוני 2017

2017-06-19T05:16:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:16, 19 ביוני 2017
שורה 1:		שורה 1:
	פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\~~epsilon~~>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>\|x-y\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(x)-f(y)\Big\|<\~~epsilon~~</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.		פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>\|x-y\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(x)-f(y)\Big\|<\varepsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

	==משפט==		==משפט==
שורה 10:		שורה 10:
	לכן קיימת תת-סדרה כך ש-		לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
	:<math>\Big\|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big\|\to a\ne 0</math>		:<math>\Big\|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big\|\to a\ne 0</math>
	(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה ~~<math>~~0~~</math>~~ סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).		(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

	נובע מכאן כי הסדרה		נובע מכאן כי הסדרה

יהודה שמחה ב־19:51, 20 בספטמבר 2016

2016-09-20T19:51:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:51, 20 בספטמבר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y</math> ~~בקטע,~~ אם <math>\|x-y\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(x)-f(y)\Big\|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.		פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>\|x-y\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(x)-f(y)\Big\|<\epsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.


	==משפט==		==משפט==
שורה 7:		שורה 6:
	===הוכחה===		===הוכחה===
	תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות		תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות

	:<math>\|x_n-y_n\|\to 0</math>		:<math>\|x_n-y_n\|\to 0</math>

	:<math>\Big\|f(x_n)-f(y_n)\Big\|\not\to 0</math>		:<math>\Big\|f(x_n)-f(y_n)\Big\|\not\to 0</math>


	לכן קיימת תת-סדרה כך ש-		לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

	:<math>\Big\|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big\|\to a\ne 0</math>		:<math>\Big\|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big\|\to a\ne 0</math>

	(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).		(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

	נובע מכאן כי הסדרה		נובע מכאן כי הסדרה

	:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>		:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

	אינה חסומה.		אינה חסומה.

	אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-		אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-

	:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>		:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

	ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.		ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־10:14, 8 בפברואר 2016

2016-02-08T10:14:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:14, 8 בפברואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\ \epsilon>0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> כך שלכל x,y בקטע, אם <math>\ \|x-y\|<\delta</math> אז <math>\ \|f(x)-f(y)\|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.		פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y</math> בקטע, אם <math>\|x-y\|<\delta</math> אז <math>\Big\|f(x)-f(y)\Big\|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.


שורה 6:		שורה 6:

	===הוכחה===		===הוכחה===
	תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות		תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות

	::<math>\|x_n-y_n\|\~~rightarrow~~ 0</math>		:<math>\|x_n-y_n\|\to 0</math>

	::<math>\|f(x_n)-f(y_n)\|\not\~~rightarrow~~ 0</math>		:<math>\Big\|f(x_n)-f(y_n)\Big\|\not\to 0</math>


	לכן קיימת תת סדרה כך ש:		לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

	::<math>\|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\|\~~rightarrow~~ a \~~neq~~ 0</math>		:<math>\Big\|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big\|\to a\ne 0</math>

	(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה ~~אפס~~ סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).		(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

	נובע מכאן כי הסדרה		נובע מכאן כי הסדרה

	::<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>		:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

	אינה חסומה.		אינה חסומה.

	אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש		אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-

	::<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>		:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

	ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.		ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:09, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:09:46Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:09, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	[[~~משפטים/אינפי~~\|~~חזרה למשפטים באינפי~~]]		פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\ \epsilon>0</math> קיים <math>\ \delta > 0</math> כך שלכל x,y בקטע, אם <math>\ \|x-y\|<\delta</math> אז <math>\ \|f(x)-f(y)\|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה\|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.


	==משפט==		==משפט==
שורה 29:		שורה 30:

	ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.		ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/נגזרת חסומה רציפות במש הועבר לפונקציה רציפה במידה שווה

2012-02-15T01:08:06Z

משפטים/אינפי/נגזרת חסומה רציפות במש הועבר לפונקציה רציפה במידה שווה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־01:08, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט== פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו..."

2012-02-02T17:23:02Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט== פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו..."

דף חדש

[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]

==משפט==
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

===הוכחה===
תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות

::<math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math>

::<math>|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0</math>

לכן קיימת תת סדרה כך ש:

::<math>|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})|\rightarrow a \neq 0</math>

(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

::<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש

::<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.