פתרון אינפי 1, תש"נ - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־00:57, 9 בפברואר 2017

2017-02-09T00:57:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:57, 9 בפברואר 2017
שורה 5:		שורה 5:
	נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.		נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

	<math>h(2)=2f(2)=2\~~cdot 1~~=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .		<math>h(2)=2f(2)=2\cdot1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .

	בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . ~~מש"ל.~~		בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . <math>\blacksquare</math>

	==שאלה 3==		==שאלה 3==
	א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\~~sum~~\~~limits_~~{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .		א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .

	ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:		ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
שורה 22:		שורה 22:
	<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math>		<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math>

	<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f~~'''~~(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>		<math>\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math>

	~~<math>=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3</math>~~

	~~<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,~~

	ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.		ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

יהודה שמחה: /* שאלה 6 */

2016-11-07T09:02:10Z

שאלה 6

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:02, 7 בנובמבר 2016
שורה 59:		שורה 59:
	השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):		השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

	המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math> .		המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math> , ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math> .

	לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math> .		לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math> .

	הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math> . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.		הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math> . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.
	<math>x(2)=8-\frac83=5 \frac13~~</math>~~ , ~~<math>~~x(0)=0~~</math>~~ , ~~<math>~~x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac13</math>.		<math>x(2)=8-\frac83=5\frac13\ ,\ x(0)=0\ ,\ x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5\frac13</math> .

יהודה שמחה ב־13:06, 4 בנובמבר 2016

2016-11-04T13:06:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:06, 4 בנובמבר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
	([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )		([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )


	==שאלה 2==		==שאלה 2==
	נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x)</math> .		נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
	<math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

	<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.		<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> .

	בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . מש"ל.		בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . מש"ל.

	==שאלה 3==		==שאלה 3==
	א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.		א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> .

	ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:		ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

	נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>		נחשב נגזרות - <math>f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2</math>
שורה 26:		שורה 24:
	<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>		<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>

	<math>=2^3-4\~~cdot 4~~+4+(3\~~cdot 4~~-8\~~cdot 2~~+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\~~frac66~~(x-2)^3</math>		<math>=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3</math>

	<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,		<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,
שורה 35:		שורה 33:

	==שאלה 4==		==שאלה 4==
	הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)		הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- <math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)

	נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .		נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .
שורה 43:		שורה 41:
	נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>		נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>

	<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \~~vee~~ 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \~~vee~~ x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N)</math>		<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \or 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k\or x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\ (k\in\N)</math>

	זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.		זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

יהודה שמחה ב־19:18, 1 בפברואר 2016

2016-02-01T19:18:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:18, 1 בפברואר 2016
שורה 4:		שורה 4:

	==שאלה 2==		==שאלה 2==
			נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x)</math> .
	נגדיר ~~פונ'~~ <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>.		<math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
	h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 ~~פונ'~~ רציפות.

	<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.		<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>.

	בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=~~x_0f~~(x_0)=1\~~rightarrow~~ f(x_0)=\~~frac{1}~~{x_0}</math>. מש"ל.		בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . מש"ל.

	==שאלה 3==		==שאלה 3==
			א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.
	א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> ~~פונקצייה~~ מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math>. אז <math>\forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math>, כאשר <math>P_n(x)=\~~sum_~~{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math>.

	ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:		ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math>. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
שורה 28:		שורה 26:
	<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>		<math>P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0=</math>

	<math>=2^3-44+4+(34-8*2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\~~frac{6}{6}~~(x-2)^3</math>		<math>=2^3-4\cdot 4+4+(3\cdot 4-8\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac66(x-2)^3</math>

	<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math>,		<math>P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3</math> ,

	ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.		ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

	מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא 0, כצפוי.		מתקיים <math>R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x)</math> ולכן השארית היא <math>0</math> , כצפוי.

	==שאלה 4==		==שאלה 4==
	~~הפונקצייה~~ בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב<math>\pi</math>, ולכן ~~הפונקצייה~~ היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)		הפונקציה בכל מחזור <math>\pi</math> תעלה בדיוק ב- <math>\pi</math> , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב<math>\pi</math> בכל פעם של קטע בודד באורך <math>\pi</math> שלה. (ראו הגרף)

	נימוק פורמלי:<math>f(x+\pi)=x+\pi+sin(2x+2\pi)=x+sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math>.		נימוק פורמלי: <math>f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi</math> .

	גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.		גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

	נגזור: <math>f'(x)=1+~~2cos~~(2x)=0\~~Leftrightarrow~~ cos(2x)=-\~~frac{1}{2}~~</math>		נגזור: <math>f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12</math>

	<math>\~~Leftrightarrow~~ 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \, \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \~~Leftrightarrow~~ x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \; (k \in \~~mathbb{~~N})</math>		<math>\iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N)</math>

	זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו ~~מהנק'~~ הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת ~~השנייה~~ לבדיקת סוג קיצון וכו'.		זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

	גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]		גרף באדיבות וולפראם: [[קובץ:x+sin2x.pdf]]

	==שאלה 5==		==שאלה 5==
	א) סדרה ממשית <math>~~\left~~ \{ a_n~~\right~~ \}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):		א) סדרה ממשית <math>\{a_n\}^\infty</math> תקרא סדרת קושי אם("ם):
	<math>\forall \epsilon >0 \exists N \in\~~mathbb{~~N~~}\forall m~~\in\~~mathbb{N}~~ \forall n\in\~~mathbb{~~N}:(m>N \wedge n>N \~~rightarrow~~ \|a_m-a_n\|<\epsilon )</math>		<math>\forall \epsilon>0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m>N \wedge n>N \to \|a_m-a_n\|<\epsilon)</math>

	ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא ~~רציונלי~~).		ב) ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה- <math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- <math>n</math> של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי).
	היא של ~~רציונליים~~, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו ~~רציונלי~~.		היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

	ג) נשים לב שהטור <math>\sum (~~a_n~~+1~~\right~~ - a_n~~\right~~) = (-1)^(n)(\~~frac{1}~~{2^n} + \~~frac{1}~~{2^nn!}</math>		ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!})</math>

	==שאלה 6==		==שאלה 6==
	השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):		השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

	המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math>.		המהירות היא <math>v(t)=4-t^2</math> ולכן האינטגרל הוא <math>x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C</math>, ועם תנאי ההתחלה <math>x(0)=0</math> נקבל <math>C=0</math> .

	לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math>.		לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של <math>x(t)=4t-\frac{t^3}{3}</math> בתחום <math>[0,3]</math> .

	הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math>. לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים ~~שהפונ'~~ מקבלת בנקודות 2,0,3.		הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה <math>t=2</math> . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3.
	<math>x(2)=8-~~8/3~~=5 \~~frac{1}{3}~~</math>, <math>x(0)=0</math>, <math>x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \~~frac{1}{3}~~</math>.		<math>x(2)=8-\frac83=5 \frac13</math> , <math>x(0)=0</math> , <math>x(3)=12-9=3</math> ולכן ההעתק המקסימלי הוא <math>5 \frac13</math>.

עמנואל: /* שאלה 1 */

2012-07-18T08:51:34Z

שאלה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:51, 18 ביולי 2012
שורה 2:		שורה 2:
	([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )		([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )


	~~==שאלה 1==~~

	~~'''ביקשו בכלל את הנגזרת של <math>1/f</math> ולא של <math>f^{-1}</math>...'''~~
	~~אני צריך ללמוד לקרוא.~~

	~~בכל אופן, הוכחה למה שלא ביקשו:~~

	(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.

	~~הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-<math>x_0</math> ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>.~~

	לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: <math>\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>.

	לפי ההנחות <math>f^{-1}</math> רציפה ב<math>y_0</math>. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0</math>, ובאותו האופן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}</math>, ולכן בסך הכל קיבלנו ש-

	~~<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>~~
	~~זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.~~

	~~<math>(\frac{1}{f})'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}</math>~~

	==שאלה 2==		==שאלה 2==

1111: /* שאלה 5 */

2012-02-17T11:36:45Z

שאלה 5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:36, 17 בפברואר 2012
שורה 78:		שורה 78:
	היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.		היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.

	ג) נשים לב שהטור <math>~~Sigma~~ (a_n+1\right - a_n\right) = (-1)^(n)(frac{1}{2^n} + frac{1}{2^nn!}</math>		ג) נשים לב שהטור <math>\sum (a_n+1\right - a_n\right) = (-1)^(n)(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^nn!}</math>

	==שאלה 6==		==שאלה 6==

1111: /* שאלה 5 */

2012-02-17T11:35:13Z

שאלה 5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:35, 17 בפברואר 2012
שורה 77:		שורה 77:
	ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).		ב)ניקח את הסדרה <math>a_n</math> שהאיבר ה-<math>n</math>-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של <math>\pi</math> (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).
	היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.		היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל <math>\pi</math>, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.

			ג) נשים לב שהטור <math>Sigma (a_n+1\right - a_n\right) = (-1)^(n)(frac{1}{2^n} + frac{1}{2^nn!}</math>

	==שאלה 6==		==שאלה 6==

ארז שיינר ב־08:28, 17 בפברואר 2012

2012-02-17T08:28:07Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:28, 17 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
	([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )		([http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef19f65ab044.pdf המבחן] )

עמנואל: /* שאלה 1 */

2012-02-05T21:09:36Z

שאלה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:09, 5 בפברואר 2012
שורה 4:		שורה 4:
	==שאלה 1==		==שאלה 1==

	<math>~~\frac{~~1}{f~~}'(x_0)=-\frac{~~f~~'(x_0)}~~{~~f^2(x_0)~~}</math>		'''ביקשו בכלל את הנגזרת של <math>1/f</math> ולא של <math>f^{-1}</math>...'''
			אני צריך ללמוד לקרוא.

			בכל אופן, הוכחה למה שלא ביקשו:

	~~<s>~~
	~~ביקשו בכלל את הנגזרת של <math>1/f</math> ולא של <math>f^{-1}</math>... אני צריך ללמוד לקרוא.~~
	(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.		(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.

שורה 18:		שורה 19:
	<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>		<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>
	זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.		זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
	</s>
			<math>(\frac{1}{f})'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}</math>

	==שאלה 2==		==שאלה 2==

עמנואל ב־20:25, 5 בפברואר 2012

2012-02-05T20:25:33Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:25, 5 בפברואר 2012
שורה 4:		שורה 4:
	==שאלה 1==		==שאלה 1==

			<math>\frac{1}{f}'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}</math>

			<s>
			ביקשו בכלל את הנגזרת של <math>1/f</math> ולא של <math>f^{-1}</math>... אני צריך ללמוד לקרוא.
	(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.		(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי <math>f </math> פונקצ' המוגדרת בסביבת <math>x_0</math>. נניח כי <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> וגם <math>f'(x_0) \neq 0</math> וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה <math>f^{-1}</math> ורציפה בנקודה <math>y_0=f(x_0)</math>. אזי <math>f^{-1}</math> גזירה ב-<math>y_0 </math>, ונגזרתה שם שווה ל- <math>\frac{1}{f'(x_0)}</math>.

שורה 14:		שורה 18:
	<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>		<math>\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>
	זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.		זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
			</s>

	==שאלה 2==		==שאלה 2==