ארז שיינר: /* פתרון */

2009-11-19T20:30:04Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:30, 19 בנובמבר 2009
שורה 59:		שורה 59:
	בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן		בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן

	<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u=0></math>		<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u>=0</math>

ארז שיינר: דף חדש: ==תרגיל 1.8== יהיה $V$ ממ"פ ממימד $n$ . יהיו וקטורים $v_1,...v_n \in V$ . נגדיר את מטריצת גרהם $A$ …

2009-11-17T22:44:35Z

דף חדש: ==תרגיל 1.8== יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math>…

דף חדש

==תרגיל 1.8==
יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math> ע"י <math>a_{ij}=<v_i,v_j></math>. הוכח:

<math>v_1,...v_n\iff |A|=0</math> ת"ל

==פתרון==
נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות <math>A</math>:

<math>\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_j \begin{bmatrix} <v_1,v_j> \\ \vdots \\ <v_n,v_j> \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_1,v_j> \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_n,v_j> \end{bmatrix}=</math>

זה שווה עפ"י '''כמו לינאריות במשתנה שני''' ל

<math>=\begin{bmatrix} <v_1,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \\ \vdots \\ <v_n,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \end{bmatrix}</math>

זה שווה לאפס אם
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>

טענת עזר (נוכיח אותה מיד): <math>\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j =0 \iff \forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>

לכן הגענו למסקנה ש

<math>\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A)=0 \iff \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math>

לכן

יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה <math>A</math> אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים <math>v_1,...v_n</math>.

נובע מיידית ש <math>|A|=0</math> <math>\iff</math> עמודות <math>A</math> ת"ל <math>\iff</math> הוקטורים <math>v_1,...v_n</math> ת"ל

מ.ש.ל

===הוכחת טענת העזר===
'''<math>\Leftarrow</math>'''

נניח

<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>

אזי גם

<math>\forall i : \overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>

ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס

<math>\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>

ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה

<math><\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>

אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i</math> ולכן <math><u,u>=0</math> וזה נכון רק אם <math>u=0</math> כלומר <math>\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math>

'''<math>\Rightarrow</math>'''

בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן

<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u=0></math>

פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* פתרון */

ארז שיינר: דף חדש: ==תרגיל 1.8== יהיה V ממ"פ ממימד n. יהיו וקטורים v_1,...v_n \in V. נגדיר את מטריצת גרהם A…

ארז שיינר: דף חדש: ==תרגיל 1.8== יהיה $V$ ממ"פ ממימד $n$ . יהיו וקטורים $v_1,...v_n \in V$ . נגדיר את מטריצת גרהם $A$ …