קוד:אי שיוויונים של גבולות (סדרות) - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־23:54, 6 באוקטובר 2014

2014-10-06T23:54:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:54, 6 באוקטובר 2014
שורה 32:		שורה 32:
	\end{proof}		\end{proof}

			\begin{remark}[גבול לא שומר על אי שיוויון חזק]
			אם ניקח את $y_n=\frac{1}{n} $ ו- $x_n=0 $ אזי $x_n<y_n$ אבל שתי הסדרות מתכנסות ו\textbf{לא נכון} להגיד ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} x_n < \displaystyle{\lim_{n\to \infty} y_n $

			\end{remark}
	\begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד]		\begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד]
	כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $		כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:36Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:47, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T15:47:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:47, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
			\begin{thm}
	נניח $x_n\to L$ אזי		נניח $x_n\to L$ אזי
			\begin{enumerate}
			\item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$

	1. לכל $p<L$ קיים $~~n_1~~ $ כך ש- $n>~~n_1~~ \Rightarrow x_n>p$		\item לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$
			\end{enumerate}
			\end{thm}

	~~2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2~~ \~~Rightarrow x_n<q$~~		\begin{proof}

	~~הוכחה:~~		אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.

	~~אם נציב בהגדרת הגבול של $~~\~~lim_~~{~~n\to \infty~~} ~~x_n = L $ את $\epsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\epsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.~~		\end{proof}

	~~$\\$~~		\begin{cor}
	\~~underline~~{~~מסקנה 1:~~} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $		אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $
			\end{cor}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:		\begin{proof}
	$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ .		אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:
			$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $$
			ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ .
			\end{proof}

	~~$\\$~~		\begin{cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש]
	\~~underline~~{~~מסקנה 2:~~ גבול שומר אי שיוויון חלש}. כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$		כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$
			\end{cor}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון.		\begin{proof}
	~~$\\$~~		נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון.
	\~~underline~~{~~מסקנה 3: גבול סדרה הוא יחיד~~}~~. כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $~~		\end{proof}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $		\begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד]
			כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $
			\end{cor}

			\begin{proof}
			$x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $
			\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "נניח $x_n\to L$ אזי 1. לכל $pn_1 \Rightarrow x_n>p$ 2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n
2014-08-15T09:39:47Z

יצירת דף עם התוכן "נניח $x_n\to L$ אזי 1. לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$ 2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q..."

דף חדש
נניח $x_n\to L$ אזי

1. לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$

2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$

הוכחה:

אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\epsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\epsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.

$\\$
\underline{מסקנה 1:} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $

\underline{הוכחה:} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:
$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ .

$\\$
\underline{מסקנה 2: גבול שומר אי שיוויון חלש}. כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$

\underline{הוכחה:} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון.
$\\$
\underline{מסקנה 3: גבול סדרה הוא יחיד}. כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $

\underline{הוכחה:} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $