קוד:אריתמטיקה של גבולות של סדרות - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־22:41, 6 באוקטובר 2014

2014-10-06T22:41:21Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:41, 6 באוקטובר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.		יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.


	\begin{thm}		\begin{thm}
	אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : \|b_n\|<M $ אז $ \lim_{n\to \infty} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-$0$ זו סדרה ששואפת ל-$0$)		אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : \|b_n\|<M $ אז $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-$0$ זו סדרה ששואפת ל-$0$)
	\end{thm}		\end{thm}

שורה 18:		שורה 17:
	$ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-$0$. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \sin(n!) $ (תמיד מתקיים ש- $ \|\sin(x)\|\leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-$0$, $ \frac{1}{n} $		$ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-$0$. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \sin(n!) $ (תמיד מתקיים ש- $ \|\sin(x)\|\leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-$0$, $ \frac{1}{n} $
	\end{example}		\end{example}

	\underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ \| \|a\|-\|b\| \| \leq \|a-b\| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ \|a_n\| \to \|L\| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.

	\begin{thm}		\begin{thm}
שורה 45:		שורה 42:
	\begin{enumerate}		\begin{enumerate}
	\item		\item
	$\lim_{n\to \infty} (a_n+b_n) = a+b $		$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_n+b_n) = a+b $

	\item		\item
	$ \lim_{n\to \infty} (a_n b_n) = ab $		$ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_n b_n) = ab $

	\item אם $c$ קבוע אז $c\cdot a_n \to ca $		\item אם $c$ קבוע אז $c\cdot a_n \to ca $

	\item אם $ a>0 $ אז $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} $		\item אם $ a>0 $ אז $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} $
	\end{enumerate}		\end{enumerate}

שורה 79:		שורה 76:
	\end{enumerate}		\end{enumerate}
	\end{proof}		\end{proof}

			\begin{example}
			נמצא את גבול הסדרה $a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2} $ :
			$$a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2}=\frac{\frac{n^2+5n+6}{n^2}}{\frac{3n^2-2}{n^2}} = \frac{1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}$$
			אבל $ \frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\to 0 $ ומהסעיף השלישי והראשון במשפט הקודם מסיקים ש-$\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2} , \frac{2}{n^2}\to 0 $ ואחרי שנחבר את הקבועים נקבל שהמונה שואף ל-$1$ והמכנה ל-$3$ ומהסעיף הרביעי נקבל ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n = \frac{1}{3} $
			\end{example}

			\begin{remark}
			\begin{enumerate}

			\item אם $a_n$ מתכנסת ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n+b_n$ מתבדרת
			\item אם $a_n,b_n$ מתבדרות אזי $a_n+b_n$ עשויה להתבדר או להתכנס (אי אפשר לדעת באופן כללי, זה תלוי בסדרות עצמן)
			\item אם $a_n\to L\neq 0 $ ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n b_n $ מתבדרת
			\item אם $a_n\to 0 $ ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n b_n$ עשויה להתבדר או להתכנס.
			\item אם $a_n,b_n$ מתבדרות אזי $a_n b_n $ עשויה להתבדר או להתכנס
			\end{enumerate}
			\\$\\$
			הסבר:
			\begin{enumerate}
			\item נניח בשלילה ש- $c_n=a_n+b_n$ מתכנסת אז נראה כי $c_n-a_n=b_n$ מתכנסת כהפרש של מתכנסות.
			\item אפשר להגדיר $a_n=n$ , $b_n=n^2 $ , $c_n=-n$ ולראות ש- $a_n+c_n=0\to 0 $ ולעומת זאת $b_n+c_n=n(n-1)$ וזה מתבדר.
			\item הוכחה בשיעורי הבית
			\item הוכחה בשיעורי הבית
			\item נגדיר $a_n=(-1)^n $ ואז $a_n\cdot a_n = 1\to 1 $ למרות ש-2 הגורמים מתבדרים. מצד שני אם מגדירים $b_n=n$ נקבל ש- $a_n b_n=(-1)^n\cdot n $ שזה לא חסום ולכן מתבדר.
			\end{enumerate}

			\end{remark}


			\underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ \| \|a\|-\|b\| \| \leq \|a-b\| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ \|a_n\| \to \|L\| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.

ארז שיינר: 4 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:41Z

4 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:25, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T15:25:34Z

הצגת שינויים

Ofekgillon10 ב־13:45, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T13:45:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:45, 15 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~

	יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.		יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.

שורה 76:		שורה 73:

	משל		משל
	~~<tex>קוד:זנב</tex>~~
	~~</latex2pdf>~~

Ofekgillon10 ב־22:45, 11 באוגוסט 2014

2014-08-11T22:45:02Z

@@ שורה 38: / שורה 38: @@
 מצאנו $ N $ כנדרש. משל
 <tex>קוד:זנב</tex>
 </latex2pdf>

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות. \underline{משפט:} אם $ a_n \underset{n\to \i..."

2014-08-11T16:44:50Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות. \underline{משפט:} אם $ a_n \underset{n\to \i..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.

\underline{משפט:} אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : |b_n|<M $ אז $ \lim_{n\to \infty} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-0 זו סדרה ששואפת ל-0)

\underline{הוכחה:} יהי $\epsilon>0 $ . כיוון ש- $a_n$ שואפת ל-0, לכל מרחק שיתנו לי קיים $N$ כך שלכל $n>N$, מרחק איברי $a_n$ מ-0 קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי, בפרט עבור המרחק $\frac{\epsilon}{M} $. מתקיים אז ש-

$\exists N \forall n>N : |a_n|<\frac{\epsilon}{M} \Rightarrow \exists N \forall n>N : |a_n| \cdot M <\epsilon $

אבל המרחק של $ a_n b_n $ מ-0 הוא $ |a_n b_n - 0| = |a_n b_n| = |a_n| \cdot |b_n| \leq |a_n| \cdot M $ וראינו בשורה הקודמת שקיים $ N $ כך שלכל $ n>N $ מתקיים ש- $ |a_n| \cdot M \leq \epsilon $ ולכן אם ניקח את אותו $ N $, לכל $ n>N $ יתקיים ש- $|a_n b_n| <\epsilon $, ומכאן, לפי הגדרת הגבול, $ a_n b_n $ שואפת ל-0. משל

דוגמה:

$ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-0. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \sin(n!) $ (תמיד מתקיים ש- $ |\sin(x)|\leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-0, $ \frac{1}{n} $

$ \\ $
\underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.

$\\$
\underline{משפט:} $ a_n \to L \Leftrightarrow a_n-L\to 0 $ .

$\\$
\underline{משפט:} אם 2 הסדרות שואפות ל-0 אז גם הסכום והמכפלה שלהן שואפות ל-0.

\underline{הוכחה:} כדי להוכיח שהמכפלה שואפת ל-0, פשוט נזכור שאחת הסדרות חסומה (כי מתכנסת) והשנייה שואפת ל-0 ולכן המכפלה שלהן שואפת ל-0. עבור סכום, צריך להוכיח ש- $ \forall\epsilon>0 \exists N\forall n>N:|a_n b_n-0|<\epsilon $ . יהי $\epsilon>0$, מהנתון ומהגדרת גבול אנו יודעים ש-

$ \exists N_1\forall n>N_1:|a_n-0|<\frac{\epsilon}{2} $

$ \exists N_2\forall n>N_2:|b_n -0|<\frac{\epsilon}{2} $

לכן אם נגדיר $N=max\{N_1,N_2\}$ יתקיים

$ \forall n>N:|a_n+b_n-0|=|a_n+b_n|\leq |a_n|+|b_n|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $

מצאנו $ N $ כנדרש. משל

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>