קוד:גבולות חד צדדיים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:43Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:09, 26 באוגוסט 2014

2014-08-26T15:09:45Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:09, 26 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~
	לפעמים הפונקציה מתנהגת בצורה שונה לגמרי מכל צד ולכן נוח להגדיר גבולות חד צדדיים. הרעיון בהגדרה שלהם היא כמו הגדרת הגבול אבל להגביל את הטווח שבו אנו מסתכלים על הסביבה של $a$ לסביבה ימנית או שמאלית.		לפעמים הפונקציה מתנהגת בצורה שונה לגמרי מכל צד ולכן נוח להגדיר גבולות חד צדדיים. הרעיון בהגדרה שלהם היא כמו הגדרת הגבול אבל להגביל את הטווח שבו אנו מסתכלים על הסביבה של $a$ לסביבה ימנית או שמאלית.

שורה 24:		שורה 22:
	\begin{theorem}		\begin{theorem}
	הגבול $\lim_{x\to a} f(x)$ קיים ושווה ל-$L$ אם ורק אם הגבולות החד צדדיים קיימים וגם שווים ל-$L$.		הגבול $\lim_{x\to a} f(x)$ קיים ושווה ל-$L$ אם ורק אם הגבולות החד צדדיים קיימים וגם שווים ל-$L$.
	\end{\theorem}		\end{theorem}

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 31:		שורה 29:
	יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta>0 $ כך ש- $\forall x : 0<\|x-a\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ אבל זה בדיוק כמו להגיד ש- $\forall x : 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ ואז מתקיימים הגדרות הגבולות החד צדדיים.		יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta>0 $ כך ש- $\forall x : 0<\|x-a\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ אבל זה בדיוק כמו להגיד ש- $\forall x : 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ ואז מתקיימים הגדרות הגבולות החד צדדיים.

			\boxed{\Rightarrow}

			יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta_1>0 $ כך ש- $\forall x : 0<x-a<\delta_1 \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ וקיים $\delta_2>0 $ כך ש- $\forall x : 0<a-x<\delta_2 \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ ואז אם נגדיר $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} $ נקבל ש- $ 0<\|x-a\|<\delta \Rightarrow 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta $ ובכל מקרה במקרה הזה יתקיים ש- $\|f(x)-L\|<\varepsilon $, כדרוש.

	\end{proof}		\end{proof}
	~~<tex>קוד:זנב</tex>~~
	~~</latex2pdf>~~

Ofekgillon10 ב־15:07, 26 באוגוסט 2014

2014-08-26T15:07:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:07, 26 באוגוסט 2014
שורה 31:		שורה 31:
	יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta>0 $ כך ש- $\forall x : 0<\|x-a\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ אבל זה בדיוק כמו להגיד ש- $\forall x : 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ ואז מתקיימים הגדרות הגבולות החד צדדיים.		יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta>0 $ כך ש- $\forall x : 0<\|x-a\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ אבל זה בדיוק כמו להגיד ש- $\forall x : 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ ואז מתקיימים הגדרות הגבולות החד צדדיים.

	~~\boxed{\Rightarrow}~~

	יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta_1>0 $ כך ש- $\forall x : 0<x-a<\delta_1 \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ וקיים $\delta_2>0 $ כך ש- $\forall x : 0<a-x<\delta_2 \Rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $ ואז אם נגדיר $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} $ נקבל ש- $ 0<\|x-a\|<\delta \Rightarrow 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta $ ובכל מקרה במקרה הזה יתקיים ש- $\|f(x)-L\|<\varepsilon $, כדרוש.

	\end{proof}		\end{proof}
	<tex>קוד:זנב</tex>		<tex>קוד:זנב</tex>
	</latex2pdf>		</latex2pdf>

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש לפעמים הפונקציה מתנהגת בצורה שונה לגמרי מכל צד ולכן נוח להגדיר גבול..."

2014-08-26T15:05:45Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> לפעמים הפונקציה מתנהגת בצורה שונה לגמרי מכל צד ולכן נוח להגדיר גבול..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
לפעמים הפונקציה מתנהגת בצורה שונה לגמרי מכל צד ולכן נוח להגדיר גבולות חד צדדיים. הרעיון בהגדרה שלהם היא כמו הגדרת הגבול אבל להגביל את הטווח שבו אנו מסתכלים על הסביבה של $a$ לסביבה ימנית או שמאלית.

\begin{definition}
אומרים ש- $\lim_{x\to a^+} f(x) = L$ אם מתקיימים 2 דברים שקולים (לפי קושי או לפי היינה):

1. $\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x: 0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $

2. $\forall \{x_n\}_{n=1}^\infty : (x_n>a \land x_n\to a )\Rightarrow f(x_n)\to L

באופן אנלוגי, אומרים ש- $\lim_{x\to a^-} f(x) = L$ אם מתקיימים 2 דברים שקולים (לפי קושי או לפי היינה):

1. $\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x: 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $

2. $\forall \{x_n\}_{n=1}^\infty : (x_n<a \land x_n\to a )\Rightarrow f(x_n)\to L

\end{definition}

לדוגמה, אם נסתכל על פונקציית הסימן $\operatorname{sign}(x)=\begin{cases} 1\ \text{if}\ x>0 \\ 0\ \text{if}\ x=0 \\ -1\ \text{if}\ x<0 \end{cases} $ אז מתקיים ש-

$\lim_{x\to 0^+} f(x)=1 , \lim_{x\to 0^-} f(x) =-1 $.

\begin{theorem}
הגבול $\lim_{x\to a} f(x)$ קיים ושווה ל-$L$ אם ורק אם הגבולות החד צדדיים קיימים וגם שווים ל-$L$.
\end{\theorem}

\begin{proof}
\boxed{\Leftarrow}

יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta>0 $ כך ש- $\forall x : 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $ אבל זה בדיוק כמו להגיד ש- $\forall x : 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $ ואז מתקיימים הגדרות הגבולות החד צדדיים.

\boxed{\Rightarrow}

יהי $\varepsilon>0 $ אזי קיים $\delta_1>0 $ כך ש- $\forall x : 0<x-a<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $ וקיים $\delta_2>0 $ כך ש- $\forall x : 0<a-x<\delta_2 \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $ ואז אם נגדיר $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} $ נקבל ש- $ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow 0<x-a<\delta \lor 0<a-x<\delta $ ובכל מקרה במקרה הזה יתקיים ש- $|f(x)-L|<\varepsilon $, כדרוש.

\end{proof}
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>