קוד:גבול עליון ותחתון - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:41Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:34, 31 באוגוסט 2014

2014-08-31T15:34:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:34, 31 באוגוסט 2014
שורה 5:		שורה 5:
	מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\geq n\} \subseteq \{x_k : k\geq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $		מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\geq n\} \subseteq \{x_k : k\geq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $

	\~~underline~~{~~הגדרה:~~} הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\~~lim_~~{n\to\infty}} $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא *שגיאה באנדרליין*!!!!!		\begin{definition}
			הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim}_{n\to\infty} x_n $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא $\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n =\lim_{n\to \infty} l_n $.
			\end{definition}

			\begin{thm}
			תהי סדרה חסומה $x_n $ אזי

			הגבול העליון והתחתון זהים אם ורק אם הסדרה $x_n $ מתכנסת (ואז תתכנס לגבול העליון/תחתון)
			\end{thm}

			\begin{proof}
			\boxed{\Leftarrow}
			נראה ש- $l_n\leq x_n \leq L_n $ אבל הקצוות מתכנסים לאותו מספר $L$ ולכן, ממשפט הסנדוויץ', $x_n\to L $

			\boxed{\Rightarrow}
			יהי $\varepsilon>0 $ . אנו יודעים ש- $\exists N \forall n>N : x_n\in (L-\varepsilon,L+\varepsilon) $ ואז לפי ההגדרה $\forall n>N : L-\varepsilon<x_n<L+\varepsilon $ . לכן גם

			$$\forall n>N : L-\varepsilon\leq l_n\leq L_n \leq L+\varepsilon $$

			ובעצם קיבלנו ש- $\exists N \forall n>N : \|L_n -L\|,\|l_n -L\|<\varepsilon $
			\end{proof}

Ofekgillon10 ב־14:44, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T14:44:59Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:44, 15 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
	תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\~~leq~~ n\} , l_n = \inf \{x_k : k \~~leq~~ n\} $ . ברור ש- $l_n\leq L_n $.		תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\geq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \geq n\} $ . ברור ש- $l_n\leq L_n $.

	תזכורת: $ A\subseteq B\subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \inf B\leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B $		תזכורת: $ A\subseteq B\subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \inf B\leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B $

	מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\~~leq~~ n\} \subseteq \{x_k : k\~~leq~~ n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $		מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\geq n\} \subseteq \{x_k : k\geq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $

	\underline{הגדרה:} הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim_{n\to\infty}} $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא *שגיאה באנדרליין*!!!!!		\underline{הגדרה:} הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim_{n\to\infty}} $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא *שגיאה באנדרליין*!!!!!

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\leq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \leq n\} $ . ברור ש- $l_n\l..."

2014-08-15T12:45:24Z

יצירת דף עם התוכן "תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\leq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \leq n\} $ . ברור ש- $l_n\l..."

דף חדש

תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\leq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \leq n\} $ . ברור ש- $l_n\leq L_n $.

תזכורת: $ A\subseteq B\subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \inf B\leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B $

מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\leq n\} \subseteq \{x_k : k\leq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $

\underline{הגדרה:} הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim_{n\to\infty}} $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא ***שגיאה באנדרליין***!!!!!