גיא ב־17:17, 8 בפברואר 2015

2015-02-08T17:17:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:17, 8 בפברואר 2015
שורה 13:		שורה 13:
	ועבור $w=w_j$,		ועבור $w=w_j$,
	$j=1,\dots,m$.		$j=1,\dots,m$.
	$$\left \langle T\left(v_i \right ),w_j \right \rangle=\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B'}^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=\left(A\left[v_i \right ]_B \right )~~^tA~~^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^tA^te_j=a_{ji}$$		$$\left \langle T\left(v_i \right ),w_j \right \rangle=\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B'}^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=\left(A\left[v_i \right ]_B \right )^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^tA^te_j=a_{ji}$$
	$$\left \langle v_i,T^\left(w_j \right ) \right \rangle=\left[v_i \right ]_B^t\overline{\left[T^\left(w_j \right ) \right ]_B}=\left[v_i \right ]_B^t\overline{A'\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^t\overline{A'}e_j=\overline{a_{ij}'}$$		$$\left \langle v_i,T^\left(w_j \right ) \right \rangle=\left[v_i \right ]_B^t\overline{\left[T^\left(w_j \right ) \right ]_B}=\left[v_i \right ]_B^t\overline{A'\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^t\overline{A'}e_j=\overline{a_{ij}'}$$

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:15Z

2 גרסאות יובאו

דף חדש

הגדרנו את ההעתקה הצמודה, והוכחנו שהיא קיימת ויחידה. כעת, נשאל - מה עם המטריצה המייצגת שלה? כעת, נקבל גם הבהרה לסימון $T^*$:

\begin{thm}

תהי $T^*:W\rightarrow V$ ההעתקה הצמודה ל-$T:V\rightarrow W$. יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, יהי $B'=\left \{ w_1,\dots,w_m \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $W$, ותהי $A$ המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B,B'$. תהי $A'$ המטריצה המייצגת של $T^*$ יחסית ל-$B,B'$. אזי $A'=A^*=\overline{A}^t$.

\end{thm}

\begin{proof}

נחשב את שני הצדדים של השוויון $\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle$ עבור $v=v_i$,
$i=1,\dots,n$
ועבור $w=w_j$,
$j=1,\dots,m$.
$$\left \langle T\left(v_i \right ),w_j \right \rangle=\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B'}^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=\left(A\left[v_i \right ]_B \right )^tA^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^tA^te_j=a_{ji}$$
$$\left \langle v_i,T^*\left(w_j \right ) \right \rangle=\left[v_i \right ]_B^t\overline{\left[T^*\left(w_j \right ) \right ]_B}=\left[v_i \right ]_B^t\overline{A'\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^t\overline{A'}e_j=\overline{a_{ij}'}$$

לפי השוויון $\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle$, נקבל $\overline{a_{ij}'}=a_{ji}$, כלומר $a_{ij}'=\overline{a_{ji}}$. בסך הכל, $A'=A^*=\overline{A}^t$.

\end{proof}

קוד:המטריצה המייצגת של ההעתקה הצמודה - היסטוריית גרסאות

גיא ב־17:17, 8 בפברואר 2015

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו