קוד:טורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 4 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:26Z

4 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־10:58, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T10:58:50Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:58, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\subsection{מהו טור}		\subsection{מהו טור}
	\~~underline~~{~~הגדרה:~~} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר.		\begin{definition}
	$\\$		תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר.
			\end{definition}
			\begin{example}
	דוגמה: הצגה עשרונית - $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} $ כש- $a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ . זה מתכנס משום שהסס"ח היא סדרת קושי.		דוגמה: הצגה עשרונית - $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} $ כש- $a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ . זה מתכנס משום שהסס"ח היא סדרת קושי.
			\end{example}

	\subsection{תכונות בסיסיות של טורים}		\subsection{תכונות בסיסיות של טורים}
	\~~underline~~{~~משפט:~~} נניח הטורים $ \sum_{n=1}^\infty a_n ,\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנסים אזי $ \sum_{n=1}^\infty \alpha a_n+\beta b_n = \alpha\sum_{n=1}^\infty a_n+\beta \sum_{n=1}^\infty b_n$ .		\begin{thm}
			נניח הטורים $ \sum_{n=1}^\infty a_n ,\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנסים אזי
			$$ \sum_{n=1}^\infty \alpha a_n+\beta b_n = \alpha\sum_{n=1}^\infty a_n+\beta \sum_{n=1}^\infty b_n$$
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} ישירות מאריתמטיקה של גבולות		\begin{proof}
	~~$\\$~~		ישירות מאריתמטיקה של גבולות
	~~\underline{מבחן קושי:} הטור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ מתכנס אם ורק אם $~~\~~forall_~~{~~\epsilon>0~~}~~\exists_N \forall_{n>m>N}: \|\sum_{k=m}^n a_k \|<\epsilon $~~		\end{proof}

	\~~underline~~{~~הסבר:~~} ~~בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש-~~ $~~s_n~~$ ~~סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת~~ אם ורק אם ~~היא סדרת קושי.~~		\begin{thm}[מבחן קושי]
	$\\$		הטור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ מתכנס אם ורק אם
	\~~underline~~{~~משפט~~:~~} אם $~~\sum_{n=1}^\~~infty a_n~~ $ ~~מתכנס אזי~~ $\~~lim_~~{~~n\to \infty~~} ~~a_n = 0 $ (המשפט ההפוך לא נכון! ראינו שהטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שואף ל-0)~~		$$\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n>m>N}: \left \|\sum_{k=m}^n a_k \right \|<\epsilon $$
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $		\begin{proof}
	$\\$		בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.
	~~דוגמה:~~ הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+\sqrt{n}+1}{2n+3} $ מתבדר כי האיבר הכללי שואף לחצי		\end{proof}
	$\\$
			\begin{thm}
			אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $ (המשפט ההפוך לא נכון! ראינו שהטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שואף ל-0)
			\end{thm}

			\begin{proof}
			נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $
			\end{proof}
			\begin{example}
			הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+\sqrt{n}+1}{2n+3} $ מתבדר כי האיבר הכללי שואף לחצי
			\end{example}
	\subsection{טורים עם איברים חיוביים}		\subsection{טורים עם איברים חיוביים}
	\~~underline~~{~~משפט:~~} $\sum_{n=1}^\infty a_n , \forall n: a_n\geq 0 $ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלעיל, כלומר $\exists C \forall n : s_n\leq C $		\begin{thm}
			$\sum_{n=1}^\infty a_n , \forall n: a_n\geq 0 $ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלעיל, כלומר $\exists C \forall n : s_n\leq C $
	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} נשים לב שהסס"ח היא סדרה מונוטונית עולה במקרה שכל איברי הטור חיוביים ולכן מתכנסת ל- $\sup$ שלה. אם היא חסומה מלעיל אז הסופרימום ממשי ואז הטור מתכנס, בעוד שאם היא לא חסומה זה אומר ששואפת לאינסוף ולכן הטור מתבדר.		\end{thm}
			\begin{proof}
			נשים לב שהסס"ח היא סדרה מונוטונית עולה במקרה שכל איברי הטור חיוביים ולכן מתכנסת ל- $\sup$ שלה. אם היא חסומה מלעיל אז הסופרימום ממשי ואז הטור מתכנס, בעוד שאם היא לא חסומה זה אומר ששואפת לאינסוף ולכן הטור מתבדר.
			\end{proof}

Ofekgillon10 ב־12:09, 16 באוגוסט 2014

2014-08-16T12:09:00Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:09, 16 באוגוסט 2014
שורה 13:		שורה 13:
	\underline{הסבר:} בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.		\underline{הסבר:} בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.
	$\\$		$\\$
	\underline{משפט:} אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $		\underline{משפט:} אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $ (המשפט ההפוך לא נכון! ראינו שהטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שואף ל-0)

	\underline{הוכחה:} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $		\underline{הוכחה:} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $
			$\\$
			דוגמה: הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+\sqrt{n}+1}{2n+3} $ מתבדר כי האיבר הכללי שואף לחצי
			$\\$
			\subsection{טורים עם איברים חיוביים}
			\underline{משפט:} $\sum_{n=1}^\infty a_n , \forall n: a_n\geq 0 $ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלעיל, כלומר $\exists C \forall n : s_n\leq C $

			\underline{הוכחה:} נשים לב שהסס"ח היא סדרה מונוטונית עולה במקרה שכל איברי הטור חיוביים ולכן מתכנסת ל- $\sup$ שלה. אם היא חסומה מלעיל אז הסופרימום ממשי ואז הטור מתכנס, בעוד שאם היא לא חסומה זה אומר ששואפת לאינסוף ולכן הטור מתבדר.

Ofekgillon10 ב־11:25, 16 באוגוסט 2014

2014-08-16T11:25:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:25, 16 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~

	\subsection{מהו טור}		\subsection{מהו טור}
	\underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר.		\underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר.
שורה 11:		שורה 8:

	\underline{הוכחה:} ישירות מאריתמטיקה של גבולות		\underline{הוכחה:} ישירות מאריתמטיקה של גבולות
			$\\$
			\underline{מבחן קושי:} הטור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ מתכנס אם ורק אם $\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n>m>N}: \|\sum_{k=m}^n a_k \|<\epsilon $

			\underline{הסבר:} בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.
			$\\$
			\underline{משפט:} אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $

	~~<tex>קוד~~:~~זנב</tex>~~		\underline{הוכחה:} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $
	~~</latex2pdf>~~

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש \subsection{מהו טור} \underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $..."

2014-08-16T00:50:54Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \subsection{מהו טור} \underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\subsection{מהו טור}
\underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר.
$\\$
דוגמה: הצגה עשרונית - $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} $ כש- $a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ . זה מתכנס משום שהסס"ח היא סדרת קושי.

\subsection{תכונות בסיסיות של טורים}
\underline{משפט:} נניח הטורים $ \sum_{n=1}^\infty a_n ,\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנסים אזי $ \sum_{n=1}^\infty \alpha a_n+\beta b_n = \alpha\sum_{n=1}^\infty a_n+\beta \sum_{n=1}^\infty b_n$ .

\underline{הוכחה:} ישירות מאריתמטיקה של גבולות

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>